kajian matematis dan aspek pendidikan ...repository.usd.ac.id/31598/2/161442012_full.pdfmateri...

TESIS

KAJIAN MATEMATIS DAN ASPEK PENDIDIKAN TENTANG

METODE BEDA HINGGA DAN RUNGE-KUTTA UNTUK

MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

DARI MASALAH GETARAN

SCOLASTIKA LINTANG RENGGANIS RADITYANI

161442012

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

TESIS

KAJIAN MATEMATIS DAN ASPEK PENDIDIKAN TENTANG

METODE BEDA HINGGA DAN RUNGE-KUTTA UNTUK

MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

DARI MASALAH GETARAN

Diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar

Magister Pendidikan pada Program Magister Pendidikan Matematika


161442012

PROGRAM STUDI MAGISTER PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2018


TESIS

MENYELE SAIKAF{ PER SA I&AAN I}IT'EREI$ SIAL BIA SA

DAR{ &IASALAH G ETAR4.I\

Pembimbing

&e ,*Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.

ii

pada tanggal t3 Maret 2018


TESIS

KAJIAN MATEMATIS I}AN ASPEK PENI}II}IKAN TENTANG METODE

BEDA HNqGGA DAN RUNGE-KUTTA UNTUK MENYELESAIKAN

Pf,RSAMAAN DIFERENSIAL BIASA I}ARI MASALAH GETARAN

Dipersiapkan dan ditulis olsh


151442*12

?7. -Teiah dipertahanka.n di depan Panitia Penguji

paCa tanggal 22 Maret 201 Idan dinyatakan memenuhi syarat

Nama Le*gkap

Ketua : Dr" Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd.

Sekretaris : Dr. Hongki Julie, M.Si.

Anggot* : Sudi Mungkasi, S.Si., &{.Math.Sc., Ph.D.

Anggota : Flartono, S.Si, M.Sc., Ph.D.

Anggota : Dr. Marcellinus Andy Rr:dhito, S.Pd.

Yogyakarta, 22 Maret 2018

Fakultas Keguruan dao llmu Pendidikan

iii


iv

HALAMAN MOTO DAN PERSEMBAHAN

“The process of running toward your goal, to have your passion shown in results

Even if we try and use everything we’ve learned, there’s still some regret

Until that time, everyone has hardships

You can be disappointed in the outcome, but never hate yourself

Troubles are bound to come, hold and believe in yourself continuously

Blessings wait for you.”

(3RACHA)

Karya ini kupersembahkan untuk orang-orang yang aku cintai dan selalu

menerangi hidupku,

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria

Kedua orang tuaku, Papa Donatus dan Mama Paula

Kakak dan adik-adikku, Mbak Raras, Dik Bela, dan Dik Theo

Sanak saudaraku, Mami Tun, Mbak Galuh, dan Om Tarigan

Beloved one, Laurensius Andi Saputra


v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis ini tidak terdapat karya yang pernah

diajukan untuk memperoleh gelar akademik apapun di suatu Perguruan Tinggi, dan

sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah

ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam

naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.


Scolastika Lintang Rengganis Radityani


vi

ABSTRAK

Scolastika Lintang Rengganis Radityani, 2018. Kajian Matematis dan Aspek

Pendidikan Tentang Metode Beda Hingga dan Runge-Kutta Untuk

Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa Dari Masalah Getaran. Tesis.

Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Tesis ini membahas penyelesaian persamaan diferensial biasa dari masalah

getaran. Hal ini penting dilakukan karena masalah ini terkait dengan penerapannya

di dunia nyata, yaitu getaran bangunan. Metode yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah tersebut adalah metode beda hingga dan metode Runge-

Kutta. Metode beda hingga yang digunakan adalah metode beda maju dan beda

pusat, sedangkan metode Runge-Kutta yang digunakan adalah metode Euler dan

Heun. Keempat metode ini dipilih karena kesesuaiannya untuk menyelesaikan

masalah getaran yang berbentuk persamaan diferensial biasa orde dua. Selain itu,

penelitian ini mendeskripsikan proses dan hasil pembelajaran matematika pada

materi grafik fungsi trigonometri menggunakan fenomena getaran di kelas XI TPB

SMK 2 Depok, Yogyakarta. Metode analisis yang digunakan adalah deskriptif

dengan pendekatan kualitatif.

Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa metode beda pusat dan metode Heun

memiliki keakuratan tingkat dua untuk menyelesaikan masalah getaran yang

dimodelkan dalam persamaan diferensial biasa orde dua. Kedua metode ini

menghasilkan solusi yang lebih akurat daripada metode beda maju dan metode

Euler yang memiliki keakuratan tingkat satu. Selanjutnya, berdasarkan hasil

analisis terhadap pembelajaran matematika menggunakan fenomena getaran,

diperoleh sebagai berikut:

1. Proses pembelajaran yang dilakukan antara lain: guru menyampaikan manfaat

pemodelan secara umum dan secara khusus pada materi tesis; guru mereview

materi trigonometri di kelas X; guru membagi siswa dalam kelas menjadi enam

kelompok; setiap kelompok diberi LKS sebagai bahan diskusi yang memiliki

tugas berbeda satu sama lain; setiap kelompok mempresentasikan hasil diskusi

kelompoknya; guru dan siswa bersama-sama membentuk persamaan umum

grafik fungsi trigonometri sinus; setiap siswa mengerjakan soal tes esai.

2. Hasil pembelajaran tersebut, yaitu 83,33% kelompok dapat tepat menggambar

grafik ke bidang kartesius untuk semua kasus sesuai dengan perintah soal,

namun tidak lengkap menuliskan keterangan pada gambar grafik, 44,44%

kelompok dapat membentuk persamaan grafik fungsi sinus dari masalah

getaran, 68,97% siswa dapat membentuk persamaan grafik fungsi sinus dari

masalah getaran, 65,52% siswa dapat tepat menentukan persamaan grafik,

namun tidak tepat menentukan posisi massa.

Kata kunci: getaran, persamaan diferensial biasa, metode numerik, pembelajaran

grafik sinus


vii

ABSTRACT

Scolastika Lintang Rengganis Radityani, 2018. Mathematical Studies and

Educational Aspects on Finite Difference and Runge-Kutta Methods for

Solving Ordinary Differential Equations of Vibration Problems. Master of

Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science Education

Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata Dharma

University, Yogyakarta.

This thesis discusses about solving ordinary differential equations from

vibration problems. This is important because the problem is related to its

application in real-world, i.e. building vibration. The methods used to solve the

problem are finite difference and Runge-Kutta methods. The finite difference

methods include the forward and central differences, while the Runge–Kutta

methods include the Euler and the Heun methods. These four methods are chosen

because of their compatibility to solve vibration problems that modeled into a

second order ordinary differential equations. Moreover, this research aimed to

describe the process and the results of mathematics learning on graphs of

trigonometric function material using vibration phenomenon in class XI TPB SMK

2 Depok, Yogyakarta. The analytical method used in education aspect is descriptive

with qualitative approach.

The research results show that the central difference and the Heun methods are

second order of accuracy to solve the vibration problem that modeled into second

order ordinary differential equations. These two methods produce more accurate

solution than the forward difference and the Euler methods do which having first

order of accuracy. Furthermore, based on the analysis of mathematics learning

using vibration phenomena, the researcher obtain:

1. The learning process that was done are teacher conveyed the benefits of

modeling in general and specifically on thesis material; teacher reviewed

trigonometry material in class X; teacher divided the students in the class into

six groups; each group is given LKS as a discussion material that has a different

task from each other; each group did presentation; teacher and student were

form a general equation graph of sine trigonometric function; every student did

an essay test questions.

2. The learning results are 83.33% of the group can precisely draw the graph into

the Cartesian field for all cases according to the question command, but

incomplete write down the description on the graphic image, 44,44% of the

group can form an equation of the graph from vibration problems, 68.97% of

students can form an equation of the graph from vibration problems, 65.52%

of students can precisely determine the graph equations, but not proper to

determine the position of the mass.

Keywords: vibration, ordinary differential equations, numerical methods, learning

sine graph


viii

LEMBAR PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Scolastika Lintang Rengganis Radityani

Nomor Mahasiswa : 161442012

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma suatu karya ilmiah yang berjudul:

KAJIAN MATEMATIS DAN ASPEK PENDIDIKAN TENTANG METODE

BEDA HINGGA DAN RUNGE-KUTTA UNTUK MENYELESAIKAN

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA DARI MASALAH GETARAN

beserta perangkatnya yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya

memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma baik untuk

menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengolahnya dalam bentuk

pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikan di Internet

atau media lain untuk keperluan akademis tanpa meminta izin dari saya maupun

memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai

penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 22 Maret 2018

Yang menyatakan

Scolastika Lintang Rengganis Radityani


ix

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN TESIS

Sebagian hasil dari tesis ini telah dipresentasikan dalam konferensi

internasional dan/atau dipublikasikan dalam jurnal internasional sebagai berikut:

S.L.R. Radityani dan S. Mungkasi, “Finite Difference and Runge-Kutta Methods

for Solving Vibration Problems”, Journal of Physics: Conference Series,

Volume 909, Nomor 1, Artikel 012044, Tahun 2017 (terindeks Scopus), Link

Artikel: http://dx.doi.org/10.1088/1742-6596/909/1/012044

Selain itu, sebagian hasil lain sedang dalam persiapan untuk dikembangkan

menjadi artikel ilmiah yang disusun oleh penulis (Scolastika Lintang Rengganis

Radityani) dan pembimbing (Sudi Mungkasi).


x

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat penyertaan-

Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis yang berjudul “Kajian Matematis

dan Aspek Pendidikan Tentang Metode Beda Hingga dan Runge-Kutta untuk

Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa dari Masalah Getaran”. Tesis ini

disusun dalam rangka memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Magister

Pendidikan pada Program Studi Magister Pendidikan Matematika, Fakultas

Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma.

Penulis menyadari bahwa penelitian dan penyusunan tesis ini dapat berjalan

baik dan lancar karena adanya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh

karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Drs. Yohanes Harsoyo, S.Pd., M.Si., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd., selaku Ketua Program Studi Magister

Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma yang telah mendukung dan

memberikan kesempatan bagi penulis melanjutkan studi S2 ini.

3. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing

tesis yang telah bersedia meluangkan waktunya untuk membimbing,

memberikan kritik, dan masukan yang membangun selama penyusunan tesis.

4. Bapak Hartono, S.Si, M.Sc., Ph.D. dan Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd.,

selaku dosen penguji tesis yang telah memberikan kritik dan saran demi

sempurnanya tesis ini.

5. Segenap Dosen Program Studi Magister Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma yang telah membagi ilmu dan mendidik penulis selama

menempuh pendidikan di Program Studi Magister Pendidikan Matematika

Universitas Sanata Dharma.

6. Bapak Drs. HB. Kuswidiantoro, selaku guru pengampu mata pelajaran

matematika di kelas XI Teknik Pemesinan B SMK Negeri 2 Depok Yogyakarta

tahun ajaran 2017/2018 yang telah bersedia membantu penulis dalam proses


xi

perizinan penelitian dan memberikan kesempatan kepada penulis melakukan

penelitian di kelas yang beliau ampu.

7. Segenap siswa-siswi kelas XI Teknik Pemesinan B SMK Negeri 2 Depok

Yogyakarta tahun ajaran 2017/2018 atas ketersediannya menjadi subjek

penelitian untuk aspek pendidikan tesis ini.

8. Orangtua penulis, Bapak Donatus Purwanto Mekomana dan Ibu Paula

Elisabeth Sri Kunthi Himawan Purbabatari yang tidak menuntut apapun, selalu

percaya, mendoakan, dan memberikan dukungan secara moril maupun materi.

9. Segenap keluarga, terutama Mbak Galuh dan Om Tarigan yang selalu

mendoakan, memberikan semangat dan dukungan untuk menyelesaikan tesis

ini.

10. Laurensius Andi Saputra yang selalu menyemangati, mendoakan, dan

memberikan banyak bantuan jarak jauh selama proses penyusunan tesis ini.

11. Teman-teman Program Studi Magister Pendidikan Matematika Universitas

Sanata Dharma angkatan 2016 yang telah membantu penulis selama menuntut

ilmu di Universitas Sanata Dharma.

12. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu, yang telah membantu

penulis secara langsung maupun tidak langsung dalam menyelesaikan

penyusunan tesis ini.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan yang perlu ditingkatkan

dalam penulisan tesis ini. Oleh karena itu, penulis terbuka terhadap kritik dan saran

yang membangun bagi sempurnanya tulisan ini. Semoga tesis ini dapat memberikan

manfaat bagi para pembaca dan pihak-pihak yang terkait.


Penulis


xii

DAFTAR ISI

JUDUL

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iii

HALAMAN MOTO DAN PERSEMBAHAN ................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................ v

ABSTRAK ............................................................................................................ vi

ABSTRACT .......................................................................................................... vii

PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ......................................... viii

DAFTAR PUBLIKASI HASIL PENELITIAN ................................................. ix

KATA PENGANTAR ............................................................................................ x

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xii

DAFTAR TABEL............................................................................................... xiv

DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xvi

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ............................................................................... 1

B. Tinjauan Pustaka .......................................................................................... 3

C. Rumusan Masalah ...................................................................................... 10

D. Batasan Masalah......................................................................................... 10

E. Tujuan Penelitian ....................................................................................... 11

F. Manfaat Penelitian ..................................................................................... 11

G. Kebaruan Penelitian ................................................................................... 11

H. Metode Penelitian....................................................................................... 12

I. Sistematika Penulisan................................................................................. 13

BAB II LANDASAN TEORI .............................................................................. 15

A. Persamaan Diferensial ................................................................................ 15

1. Klasifikasi Persamaan Diferensial ...................................................... 16

2. Solusi Persamaan Diferensial .............................................................. 20


xiii

B. Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa ....................................................... 24

1. Masalah Dasar ..................................................................................... 24

2. Model Sistem Pegas-Massa ................................................................. 25

3. Solusi Model Sistem pegas-Massa ...................................................... 26

C. Metode Numerik untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa ...... 29

1. Metode Beda Hingga ........................................................................... 29

2. Metode Runge-Kutta ........................................................................... 31

BAB III HASIL PENELITIAN .......................................................................... 37

A. Skema Iterasi Metode Beda Hingga dan Runge-Kutta .............................. 37

1. Skema Iterasi Metode Beda Maju ....................................................... 38

2. Skema Iterasi Metode Beda Pusat ....................................................... 39

3. Skema Iterasi Metode Euler ................................................................ 40

4. Skema Iterasi Metode Heun ................................................................ 40

B. Analisis Kinerja Metode Beda Hingga dan Runge-Kutta .......................... 41

BAB IV ASPEK PENDIDIKAN ......................................................................... 46

A. Pendahuluan ............................................................................................... 46

B. Metode Pengolahan Data ........................................................................... 48

1. Subjek Penelitian ................................................................................. 48

2. Objek Penelitian .................................................................................. 48

3. Metode dan Instrumen Pengumpulan Data ......................................... 48

4. Teknik Analisis Data ........................................................................... 53

5. Penjadwalan Waktu Pelaksanaan Penelitian ....................................... 53

C. Deskripsi Proses Pembelajaran dan Pembahasan ...................................... 53

D. Deskripsi Hasil Kerja Kelompok dan Pembahasan ................................... 58

E. Deskripsi Hasil Tes Individu dan Pembahasan .......................................... 73

F. Refleksi ...................................................................................................... 82

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 85

A. Kesimpulan ................................................................................................ 85

B. Saran ........................................................................................................... 86

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 88

LAMPIRAN


xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Perbandingan Galat Metode Beda Maju, Beda Pusat, Euler, dan

Heun ....................................................................................................................... 44

Tabel 4.1 Kisi-kisi Lembar Kerja Siswa ............................................................... 50

Tabel 4.2 Kisi-kisi Tes Esai................................................................................... 51

Tabel 4.3 Analisis jawaban subjek terhadap pertanyaan LKS nomor 2:

menggambar grafik fungsi massa terhadap waktu ................................................. 59

Tabel 4.4 Rangkuman hasil analisis jawaban subjek terhadap pertanyaan LKS

nomor 2: menggambar grafik fungsi massa terhadap waktu ................................. 61

Tabel 4.5 Persentase keberhasilan subjek menjawab indikator pertama (LKS) ... 63

Tabel 4.6 Analisis jawaban subjek terhadap pertanyaan LKS nomor 3: menentukan

periode dan amplitudo masing-masing grafik ........................................................ 63


nomor 3: menentukan periode dan amplitudo masing-masing grafik .................... 64


menganalisis grafik ................................................................................................ 66


nomor 4: menganalisis grafik ................................................................................. 67

Tabel 4.10 Analisis jawaban subjek terhadap pertanyaan LKS nomor 5: membuat

kesimpulan ............................................................................................................. 71


nomor 5: membuat kesimpulan .............................................................................. 72

Tabel 4.12 Persentase keberhasilan subjek menjawab indikator kedua (LKS) ..... 73

Tabel 4.13 Analisis jawaban siswa terhadap pertanyaan tes esai nomor 1 ........... 74

Tabel 4.14 Rangkuman hasil analisis jawaban siswa terhadap pertanyaan tes esai

nomor 1 .................................................................................................................. 76

Tabel 4.15 Analisis jawaban siswa terhadap pertanyaan tes esai nomor 2 ........... 78


nomor 2 .................................................................................................................. 79


xv

Tabel 4.17 Persentase keberhasilan subjek menjawab indikator pertama (tes

esai) ........................................................................................................................ 82

Tabel 4.18 Persentase keberhasilan subjek menjawab indikator kedua (tes

esai) ........................................................................................................................ 82


xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Massa pada sistem pegas (dalam Roberts, 2010) ............................. 24

Gambar 2.2 Periode dan amplitudo osilasi gerakan massa pada pegas (dalam

Marwan dan Munzir, 2009).................................................................................... 27

Gambar 2.3 Beberapa pendekatan 𝑢′(𝑥) yang diinterpretasikan sebagai gradien

garis-garis sekan (dalam LeVeque, 2007) .............................................................. 30

Gambar 2.4 Metode Euler (dalam Devaney, 2011) .............................................. 32

Gambar 2.5 Pendekatan Euler 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛)ℎ (dalam Mathews,

1987) ...................................................................................................................... 34

Gambar 2.6 Penggambaran Grafis Metode Heun (a) Prediktor dan (b) Korektor

(dalam Chapra dan Canale, 2010) .......................................................................... 35

Gambar 3.1 Solusi analitik dan numerik dengan ∆𝑡 = 0.5 .................................. 42

Gambar 3.2 Solusi analitik dan numerik dengan ∆𝑡 = 0.25 ................................ 42

Gambar 3.3 Solusi analitik dan numerik dengan ∆𝑡 = 0.0125............................ 43

Gambar 3.4 Solusi analitik dan numerik dengan ∆𝑡 = 0.0625............................ 43

Gambar 3.5 Perbandingan Galat Metode Beda Maju, Beda Pusat, Euler, dan

Heun ....................................................................................................................... 44

Gambar 4.1 Hasil jawaban K03 untuk pertanyaan LKS nomor 2 ........................ 62

Gambar 4.2. Hasil jawaban K04 untuk pertanyaan LKS nomor 3 ....................... 65

Gambar 4.3 Hasil jawaban K01 untuk pertanyaan LKS nomor 3, 4, dan 5 ......... 68



Gambar 4.6 Hasil jawaban K06 untuk pertanyaan LKS nomor 4 dan 5 .............. 70


Gambar 4.8 Hasil jawaban S4 untuk pertanyaan tes esai nomor 1....................... 77

Gambar 4.9 Hasil jawaban S28 untuk pertanyaan tes esai nomor 1..................... 77

Gambar 4.10 Hasil jawaban S4 untuk pertanyaan tes esai nomor 2..................... 81

Gambar 4.11 Hasil jawaban S28 untuk pertanyaan tes esai nomor 2................... 81


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Masalah getaran merupakan topik penelitian yang menarik dalam bidang

fisika, teknik, maupun matematika terapan. Beragam penelitian tentang masalah

getaran telah dilakukan untuk mengurangi efek negatif dari getaran. Salah satu

masalah getaran yang memerlukan perhatian di Indonesia adalah mengenai efek

gempa bumi terhadap struktur bangunan, terutama bangunan bertingkat. Letak

Indonesia yang dikelilingi oleh sejumlah gunung vulkanik aktif dan tiga lempeng

tektonik menyebabkan Indonesia menjadi negara yang rawan terhadap terjadinya

gempa bumi.

Kerusakan bangunan akibat gempa bumi dapat ditekan dengan merencanakan

struktur bangunan yang memiliki frekuensi natural (Ross, 1989) bangunan tidak

berada di dekat frekuensi lingkungan maupun gempa. Perhitungan frekuensi natural

bangunan dimulai dengan memodelkan getaran struktur bangunan. Pemodelan

getaran pada struktur bangunan bertingkat memiliki prinsip yang sama dengan

pemodelan getaran pada sistem pegas massa. Hal ini dilakukan dengan

mengasumsikan setiap lantai pada bangunan adalah massa dan pilar-pilar

bangunannya adalah pegas yang memiliki kekakuan. Oleh karena itu, getaran pada

bangunan bertingkat dapat dimodelkan menjadi sistem persamaan diferensial biasa

orde dua.


2

Bangunan dengan satu lantai dapat dimodelkan menjadi suatu persamaan

diferensial biasa orde dua

𝑚𝑥" + 𝑘𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ1, (1.1)

dengan frekuensi 𝑓 =1

2𝜋√

𝑘

𝑚. Di sini 𝑚 melambangkan besarnya massa benda dan

𝑘 melambangkan kekakuan pilar bangunan. Lebih lanjut, 𝑡 adalah variabel waktu

dan 𝑥 adalah variabel ruang. Apabila bangunan memiliki banyak tingkat, maka

terbentuk sistem persamaan diferesial biasa orde dua berskala besar. Sistem

persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks

𝑀𝑋" + 𝐾𝑋 = 0, 𝑋 ∈ ℝ𝑛, (1.2)

dengan 𝑋 adalah matriks kolom dan 𝑛 menyatakan besar dimensi ruang 𝑋. Hal ini

membuat sistem persamaan diferensial biasa orde dua semakin sulit untuk

diselesaikan dan sangat mungkin terjadi eror yang besar dalam perhitungan. Oleh

karena itu, dibutuhkan suatu metode penyelesaian yang dapat menghasilkan solusi

yang akurat. Proses untuk mendapatkan metode yang akurat untuk menyelesaikan

persamaan (1.2) diawali dengan meninjau beberapa metode numerik yang sesuai

untuk menyelesaikan persamaan (1.1), yaitu metode beda hingga meliputi beda

maju dan beda pusat, serta metode Runge-Kutta meliputi Euler dan Heun.

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik membandingkan kinerja metode

beda hingga dan Runge-Kutta untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa

dari masalah getaran. Hal ini dilakukan untuk mengetahui metode mana yang dapat

memberikan keakuratan penyelesaian lebih tinggi.


3

B. Tinjauan Pustaka

Penelitian yang pernah dilakukan berhubungan dengan penyelesaian

persamaan diferensial biasa dari masalah getaran, yaitu

Penelitian yang dilakukan oleh Supriyadi dan Mungkasi (2016) dengan judul

“Structural Dynamic Modification using Matrix Perturbation for Vibrations

without Friction”. Tujuan dari penelitian ini adalah menyelidiki berapa banyak

perubahan kekakuan dari suatu struktur apabila massa yang terlibat sedikit berubah.

Hal ini dilakukan agar frekuensi dari sistem yang baru sama atau kira-kira sama

dengan frekuensi struktur asli sebelum terjadi perubahan massa. Peneliti

menekankan tidak ingin melakukan simulasi lain terhadap struktur yang baru untuk

menentukan efek dari perubahan struktur karena peneliti berasumsi bahwa

menjalankan simulasi lagi sangat mahal. Oleh karena itu, peneliti menggunakan

strategi usikan matriks, yaitu menggunakan sifat-sifat struktur asli dan perubahan

massa untuk mendapatkan rumus menghitung perubahan kekakuan ketika terjadi

perubahan massa. Rumus tersebut diturunkan dari model matematika struktur

bangunan yang berbentuk persamaan diferensial biasa orde dua. Pemodelan ini

menggunakan prinsip pemodelan pada sistem pegas-massa yang melibatkan

parameter massa dan kekakuan dan terbatas pada model tanpa gesekan.

Mula-mula peneliti menurunkan rumus dari model skalar tanpa gesekan yang

memiliki satu derajat kebebasan. Selanjutnya, rumus ini diperluas ke masalah yang

memiliki derajat kebebasan lebih tinggi dan berhasil digunakan selama besar

gangguannya relatif tidak berlebihan. Percobaan secara komputasi mengkonfirmasi


4

keakuratan rumus yang diusulkan untuk model ini. Berikut adalah proses

mendapatkan rumus untuk menghitung perubahan kekakuan yang diinginkan ketika

massa sedikit berubah.

Peneliti memulai dari model pegas-massa tanpa gesekan dan tanpa usikan

dengan satu derajat kebebasan, yaitu

𝑚0�̈�0 + 𝑘0𝑥0 = 0, (1.3)

dimana 𝑚0 adalah konstanta yang merepresentasikan massa, 𝑘0 adalah konstanta

yang menyatakan kekakuan dari struktur, 𝑥0 = 𝑥0(𝑡) adalah posisi massa 𝑚0 pada

waktu 𝑡. Solusi umum dari persamaan (1.3) adalah

𝑥0(𝑡) = 𝑐1 cos(𝜔0𝑡) + 𝑐2 sin(𝜔0𝑡), (1.4)

dengan 𝜔0 = √𝑘0/𝑚0, dan 𝑐1, 𝑐2 konstanta, serta didefinisikan 𝜆0 = 𝜔02.

Persamaan (1.3) tersebut memiliki bentuk umum tentang masalah nilai eigen yaitu

(𝑘0 − 𝜆0𝑚0) 𝜙0 = 0, (1.5)

dengan 𝜙0 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆0.

Kemudian, diasumsikan adanya perubahan massa (usikan) yang menyebabkan

perubahan frekuensi. Peneliti membentuk model pegas-massa tanpa gesekan

dengan usikan untuk mengetahui berapa banyak perbedaan kekakuan yang harus

ditambahkan agar frekuensi struktur sama dengan frekuensi struktur asli, yaitu

𝑚�̈�0 + 𝑘𝑥0 = 0, (1.6)

dengan

𝑚 = 𝑚0 + 𝛿𝑚0, (1.7)

𝑘 = 𝑘0 + 𝛿𝑘0, (1.8)


5

dengan nilai 𝛿𝑚0 yang diberikan, maka 𝜔 = √𝑘/𝑚 adalah frekuensi getaran yang

baru. Didefinisikan pula 𝜆 = 𝜔2. Model (1.6) ini juga juga memiliki bentuk umum

tentang masalah nilai eigen yaitu

(𝑘 − 𝜆𝑚) 𝜙 = 0, (1.9)

dimana 𝜙 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆. Adanya

usikan yaitu 𝛿𝑚0, peneliti ingin mencari nilai 𝛿𝑘0 agar struktur yang dimodifikasi

tersebut mempunyai frekuensi yang tepat sama dengan frekuensi struktur asli.

Selanjutnya, dari (1.5) dan (1.9) dapat diturunkan persamaan

𝜆0 = 𝜆 =𝑘

𝑚=

𝑘0+𝛿𝑘0

𝑚0+𝛿𝑚0, (1.10)

sehingga didapatkan rumus untuk mencari 𝛿𝑘0, yaitu

𝛿𝑘0 = 𝜆0𝛿𝑚0. (1.11)

Persamaan (1.11) merupakan rumus yang diusulkan oleh peneliti untuk

menghitung perbedaan kekakuan jika massa yang terlibat dalam struktur dinamik

berubah sehingga didapatkan frekuensi yang sama dengan struktur aslinya. Peneliti

juga menunjukkan bahwa rumus tersebut berhasil digunakan untuk masalah dengan

tingkat kebebasan yang lebih tinggi.

Berdasarkan paparan di atas, dapat diketahui bahwa penelitian tersebut

menggunakan model struktur bangunan yang berbentuk persamaan diferensial

biasa orde dua untuk menurunkan suatu rumus. Rumus tersebut digunakan oleh

peneliti untuk memecahkan permasalahan yang dihadapi terkait dengan perubahan

struktur dinamik. Model yang digunakan dalam penelitian tersebut nantinya sama

dengan model yang digunakan dalam penelitian yang penulis lakukan, yaitu

persamaan diferensial biasa dari masalah getaran dan tidak melibatkan gesekan. Hal


6

yang berbeda dalam penelitian ini adalah penulis mencoba mencari metode yang

dapat menghasilkan penyelesaian paling akurat untuk model tersebut.

Selanjutnya, beberapa penelitian yang pernah dilakukan terkait dengan metode

beda hingga dan Runge-Kutta untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa,

antara lain:

1. Penelitian yang dilakukan oleh Lakshmi dan Muthuselvi (2013) dengan judul

“Numerical Solution for Boundary Value Problem using Finite Difference

Method”. Penelitian ini menyelesaikan persamaan diferensial biasa untuk

masalah nilai batas menggunakan metode beda hingga, yaitu metode beda

pusat. Pertama-tama peneliti menurunkan skema beda pusat untuk persamaan

diferensial biasa linear

𝑥" = 𝑝(𝑡)𝑥′(𝑡) + 𝑞(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝑟(𝑡), (1.12)

dengan kondisi batas 𝑥(𝑎) = 𝛼 dan 𝑥(𝑏) = 𝛽, yaitu

(−ℎ

2𝑝𝑗 − 1)𝑥𝑗−1 + (2 + ℎ2𝑞𝑗)𝑥𝑗 + (

ℎ

2𝑝𝑗 − 1) 𝑥𝑗+1 = −ℎ2𝑟𝑗, (1.13)

untuk 𝑗 = 1,2,…𝑁 − 1. Kemudian, menggunakan skema (1.13) peneliti

menyelidiki keakuratan hasil yang diberikan oleh metode beda hingga tersebut

secara numerik dengan bantuan program MATLAB dibandingkan dengan

solusi analitik untuk persamaan

𝑥”(𝑡) =2𝑡

1+𝑡2𝑥′(𝑡) −

2

1+𝑡2𝑥(𝑡) + 1, (1.14)

dengan 𝑥(0) = 1.25 dan 𝑥(4) = −0.95 pada interval [0,4]. Peneliti

menggunakan empat langkah waktu (ℎ), yaitu ℎ = 0,2; 0,1; 0,05; 0,025 untuk

membandingkan eror yang dihasilkan oleh metode beda hingga tersebut.

Peneliti menyimpulkan bahwa masalah nilai batas yang diselesaikan dengan


7

metode beda hingga memiliki hasil yang tepat dan hal ini diverifikasi dengan

solusi analitiknya.

2. Penelitian yang dilakukan oleh Islam (2015) dengan judul “A Comparative

Study on Numerical Solutions of Initial Value Problems (IVP) for Ordinary

Differential Equations (ODE) with Euler and Runge Kutta Methods”.

Penelitian ini membahas metode Euler dan Runge-Kutta orde empat untuk

menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial biasa. Dua metode

tersebut oleh peneliti dinilai cukup efisien dan sangat cocok untuk

memecahkan masalah ini. Peneliti membandingkan solusi numerik dengan

solusi analitik. Peneliti juga membandingkan solusi numerik metode Euler dan

Runge-Kutta orde empat, serta membandingkan kinerja secara komputasi

kedua metode tersebut dengan menganalisis eror kedua metode. Peneliti

menggunakan satu contoh masalah nilai awal untuk mengetahui keakuratan

kedua metode dalam menyelesaikan masalah nilai awal persamaan diferensial

biasa, yaitu

𝑦′(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥𝑦, (1.15)

dengan 𝑦(0) = 1 pada interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, yang memiliki solusi eksak

𝑦(𝑥) = √𝜋

2𝑒𝑥2

2 erf (𝑥

√2) + 𝑒

𝑥2

2 − 𝑥. (1.16)

Peneliti menggunakan empat nilai ℎ, yaitu ℎ = 0,1; 0,05; 0,025; 0,0125 untuk

melakukan pendekatan solusi numerik dengan metode Euler dan Runge-Kutta

orde empat serta menghitung eror kedua metode. Hasil perhitungan dan

perbandingan metode Euler, Runge-Kutta orde empat, dan solusi analitik

disajikan dalam bentuk tabel, gambar grafik solusi untuk masing-masing nilai


8

ℎ, dan gambar grafik eror untuk setiap langkah ℎ pada masing-masing metode

numerik. Berdasarkan hasil penelitian tersebut peneliti meyimpulkan bahwa

untuk menemukan keakuratan solusi baik menggunakan metode Euler maupun

metode Runge-Kutta orde empat membutuhkan langkah yang lebih kecil.

Namun, metode Euler memiliki keakuratan yang lebih rendah dibandingkan

metode Runge-Kutta orde empat untuk menyelesaikan masalah nilai awal

persamaan diferensial biasa. Peneliti menemukan bahwa metode Runge-Kutta

orde empat secara umum lebih akurat dan lebih cepat konvergen ke solusi

eksak dibandingkan dengan metode Euler. Oleh karena itu, dapat disimpulkan

bahwa metode Runge-Kutta orde empat lebih efisien dalam menemukan solusi

numerik masalah nilai awal.

3. Penelitian yang dilakukan oleh Ahmad dan Charan (2017) dengan judul “A

Comparative Study on Numerical Solution of Ordinary Differential Equation

by Different Method with Initial Value Problem”. Penelitian ini membahas

penyelesaian masalah nilai awal persamaan diferensial biasa orde satu

menggunakan beberapa metode, yaitu Euler’s improved method (metode

Heun), metode Euler yang dimodifikasi, dan Runge-Kutta orde empat dengan

bantuan program MATLAB. Peneliti membandingkan hasil dari ketiga metode

numerik tersebut dengan solusi analitik masing-masing contoh, serta

mebandingkan eror masing-masing metode. Peneliti menggunakan dua contoh

masalah nilai awal persamaan diferensial orde satu untuk menentukan metode

numerik yang lebih cepat konvergen ke solusi analitiknya. Masalah yang

pertama, yaitu


9

𝑦′(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥𝑦, (1.17)

dengan 𝑦(0) = 1 pada interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. Solusi eksak dari masalah tersebut

yaitu

𝑦(𝑥) = √𝜋

2𝑒𝑥2

2 erf (𝑥

√2+ 𝑒

𝑥2

2 − 𝑥). (1.18)

Selanjutnya, masalah nilai awal yang kedua, yaitu

𝑦′(𝑥) = 𝑥𝑦 − 𝑦2, (1.19)

dengan 𝑦(0) = 1 pada interval 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. Solusi eksak dari masalah kedua

tersebut yaitu

𝑦(𝑥) =2𝑒

𝑥2

2

√2𝜋𝑒𝑟𝑓(𝑥

√2)+2

. (1.20)

Peneliti menyajikan hasil numerik dan eror untuk kedua contoh dalam bentuk

tabel perbandingan ketiga metode numerik dan solusi analitik pada setiap

langkah ℎ. Peneliti menggunakan empat langkah ℎ, yaitu ℎ =

0,1; 0,05,0,025,0,0125. Peneliti membahas bahwa hasil perbandingan

menunjukkan jika langkah ℎ mendekati nol, maka eror setiap metode numerik

juga mendekati nol. Oleh karena itu, untuk menentukan hasil yang lebih akurat

diperlukan langkah yang lebih kecil untuk semua metode numerik.

Selanjutnya, peneliti menyimpulkan bahwa metode Runge-Kutta orde empat

secara umum lebih akurat dan efisein untuk mencari solusi secara numerik

masalah nilai awal persamaan diferensial biasa orde satu dibandingkan dengan

Euler’s improved method (metode Heun) dan metode Euler yang dimodifikasi.

Berdasarkan ketiga penelitian yang dipaparkan di atas, diketahui bahwa

metode numerik beda hingga dan Runge-Kutta cocok digunakan untuk


10

menyelesaikan persamaan diferensial biasa dan memiliki keakuratan hasil yang

mendekati solusi aslinya terlebih jika langkah yang diambil semakin kecil. Oleh

karena itu, dalam penelitian ini penulis menggunakan metode beda hingga, yaitu

beda maju dan beda pusat, serta metode Runge-Kutta, yaitu Euler dan Heun untuk

menyelesaikan persamaan diferensial biasa. Hal yang berbeda dari penelitian-

penelitian yang telah dilakukan adalah pada masalah yang diselesaikan, yaitu

persamaan diferensial biasa dari masalah getaran.

C. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, maka penulis dapat merumuskan masalah dalam

penelitian ini, yaitu

1. Bagaimana analisis kinerja metode beda hingga dan Runge-Kutta untuk

menyelesaikan persamaan diferensial biasa dari masalah getaran?

2. Bagaimana proses dan hasil pembelajaran matematika pada materi grafik

fungsi trigonometri di tingkat Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)

menggunakan fenomena getaran?

D. Batasan Masalah

Masalah yang dibahas dalam penelitian ini terbatas pada model getaran yang

tidak melibatkan gesekan.


11

E. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan yang diharapkan tercapai dari penelitian ini, yaitu

1. Menganalisis kinerja metode beda hingga dan Runge-Kutta untuk

menyelesaikan persamaan diferensial biasa dari masalah getaran.

2. Mendeskripsikan proses dan hasil pembelajaran matematika pada materi grafik

fungsi trigonometri di tingkat Sekolah Menengah Kejuruan (SMK)

menggunakan fenomena getaran.

F. Manfaat Penelitian

Manfaat yang diperoleh melalui hasil penelitian ini, antara lain:

1. Memberikan sumbangan pengetahuan mengenai metode numerik yang tepat

dan akurat untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dari masalah

getaran.

2. Memberikan contoh pembelajaran matematika menggunakan pendekatan baru,

yaitu mengangkat fenomena getaran dalam pembelajaran materi grafik fungsi

trigonometri di tingkat Sekolah Menengah Kejuruan (SMK).

G. Kebaruan Penelitian

Kebaruan penelitian ini adalah mencari metode yang memberikan keakuratan

lebih tinggi dalam menyelesaikan persamaan diferensial biasa dari masalah getaran

di antara metode beda maju, beda pusat, Euler dan Heun. Selain itu, penulis juga

menggunakan fenomena getaran yang dipakai sebagai model masalah dalam


12

penelitian ini untuk pembelajaran materi grafik fungsi trigonometri di tingkat

Sekolah Menengah Kejuruan (SMK).

H. Metode Penelitian

Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka

dengan langkah-langkah penelitian sebagai berikut:

1. Mengumpulkan dan membaca berbagai literatur yang berhubungan dengan

pemodelan getaran struktur bangunan dan metode numerik untuk

menyelesaikan persamaan diferensial biasa.

2. Membuat skema iterasi metode beda hingga (beda maju dan beda pusat) dan

Runge-Kutta (Euler dan Heun) untuk menyelesaikan persamaan diferensial

biasa dari masalah getaran.

3. Membuat program MATLAB berdasarkan skema iterasi yang telah dibuat

untuk keempat metode.

4. Membandingkan kinerja metode beda hingga (beda maju dan beda pusat) dan

Runge-Kutta (Euler dan Heun) untuk menyelesaian persamaan diferensial

biasa dari masalah getaran.

5. Merancang pembelajaran matematika yang menerapkan fenomena getaran

pada materi grafik fungsi trigonometri di tingkat Sekolah Menengah Kejuruan

(SMK).


13

6. Mendeskripsikan proses dan hasil pembelajaran matematika yang menerapkan

fenomena getaran pada materi grafik fungsi trigonometri di tingkat Sekolah

Menengah Kejuruan (SMK).

7. Membuat kesimpulan terhadap hasil penelitian.

I. Sistematika Penulisan

Secara garis besar, tesis ini dibagi menjadi lima pokok bahasan, yaitu

1. Bab I Pendahuluan

Bab ini menjelaskan latar belakang masalah, tinjauan pustaka, rumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, kebaruan

penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan.

2. Bab II Landasan Teori

Bab ini menjelaskan teori-teori yang melandasi pembahasan di Bab III

meliputi konsep dasar persamaan diferensial, aplikasi persamaan diferensial

biasa, dan metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa

yaitu metode beda hingga dan metode Runge-Kutta.

3. Bab III Hasil Penelitian

Bab ini menjelaskan hasil analisis terhadap kinerja metode beda hingga

(beda maju dan beda pusat) dan metode Runge-Kutta (Euler dan Heun) untuk

menyelesaikan persamaan diferensial biasa dari masalah getaran.


14

4. Bab IV Aspek Pendidikan

Bab ini mendeskripsikan proses dan hasil pembelajaran siswa-siswi XI

TPB di SMK Negeri 2 Depok, Yogyakarta terhadap pembelajaran matematika

materi grafik fungsi trigonometri dengan menggunakan fenomena getaran.

5. Bab V Penutup

Bab ini merupakan bab terakhir dalam tesis ini. Bab ini menjelaskan

kesimpulan dari pembahasan Bab III dan Bab IV, serta saran-saran yang dapat

digunakan untuk penelitian selanjutnya.


15

BAB II

LANDASAN TEORI

Bab ini menjelaskan teori-teori yang melandasi pembahasan di Bab III meliputi

konsep dasar persamaan diferensial, aplikasi persamaan diferensial biasa, dan

metode numerik untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa yaitu metode

beda hingga dan metode Runge-Kutta. Landasan teori untuk Bab IV dapat

ditemukan dalam buku-buku referensi perkuliahan tingkat Sarjana Pendidikan

Matematika.

A. Persamaan Diferensial

Definisi 2.1.1 (Roberts, 2010)

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau lebih

turunan dari suatu fungsi atau beberapa fungsi yang tidak diketahui. Persamaan

diferensial dapat diartikan sebagai suatu persamaan yang mengandung

diferensial.

Selanjutnya, Roberts (2010) menjelaskan ketika persamaan diferensial

mengandung satu atau lebih turunan yang diturunkan terhadap variabel tertentu,

variabel tersebut disebut variabel bebas (independent variable). Suatu variabel

disebut variabel terikat (dependent variable), jika turunan dari variabel tersebut

muncul pada persamaan diferensial.


16

1. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Secara garis besar, persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua kategori

besar berdasarkan jenis fungsi yang tidak diketahui yang muncul dalam persamaan

diferensial, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.


Jika fungsi yang tidak diketahui hanya bergantung pada satu variabel bebas dan

persamaan diferensialnya hanya mengandung turunan biasa, maka persamaan

diferensial disebut persamaan diferensial biasa (PDB).


Jika fungsi yang tidak diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas

dan persamaan diferensial mengandung turunan parsial, maka persamaan

diferensial disebut persamaan diferensial parsial (PDP).

Singkatnya persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang

mengandung satu variabel bebas dan persamaan diferensial parsial adalah

persamaan diferensial yang mengandung lebih dari satu variabel bebas. Klasifikasi

selanjutnya adalah berdasarkan derajat/orde (order) persamaan diferensial, baik

persamaan diferensial biasa maupun persamaan diferensial parsial. Derajat/orde

(order) persamaan diferensial adalah tingkat turunan tertinggi yang muncul dalam

persamaan. Penelitian ini fokus pada persamaan diferensial biasa. Bentuk umum

persamaan diferensial biasa orde ke-𝑛 dapat dituliskan secara simbolik sebagai

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦(1), … , 𝑦(𝑛)) = 0. (2.1)


17

Contoh 2.1.1

a. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥, persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial biasa

orde satu. Variabel terikatnya adalah variabel 𝑦 dan variabel bebasnya adalah

variabel 𝑥, sehingga fungsi yang belum diketahui adalah 𝑦(𝑥).

b. 𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 + 5𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 3𝑥 = sin 𝑥, persamaan diferensial tersebut adalah persamaan

diferensial biasa orde empat.

c. 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 − 𝑥 (𝑑𝑦

𝑑𝑥)

2

+ 𝑥2𝑦 = tan 𝑦, persamaan diferensial tersebut adalah

persamaan diferensial biasa orde tiga.

d. (𝑑4𝑦

𝑑𝑡4)3

+ 𝑡𝑦𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 − 𝑦5 = 𝑒𝑡, persamaan diferensial tersebut adalah persamaan

diferensial biasa orde empat. Variabel terikatnya adalah variabel 𝑦 dan variabel

bebasnya adalah variabel 𝑡, sehingga fungsi yang belum diketahui adalah 𝑦(𝑡).

e. 𝜕𝑧

𝜕𝑥+

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑧, persamaan diferensial tersebut adalah persamaan diferensial

parsial orde satu. Variabel terikatnya adalah variabel 𝑧 dan variabel bebasnya

adalah variabel 𝑥 dan 𝑦, sehingga fungsi yang belum diketahui adalah 𝑧(𝑥, 𝑦).

f. 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑦2 +𝜕2𝑢

𝜕𝑧2 =𝑑𝑢

𝑑𝑡, persamaan diferensial tersebut adalah persamaan

diferesial parsial orde dua. Variabel terikatnya adalah variabel 𝑢 dan variabel

bebasnya adalah variabel 𝑥, 𝑦, dan 𝑧, sehingga fungsi yang belum diketahui

adalah 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡).


18

Lebih lanjut, persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial

masing-masing dibagi menjadi dua kelas besar, yaitu persamaan linear dan

persamaan nonlinear, bergantung pada apakah persamaan diferensial linear atau

tidak linear di fungsi yang tidak diketahui dan turunannya.


Persamaan diferensial biasa orde ke-𝑛 adalah linear, jika persamaan diferensial

biasa itu dapat dituliskan dalam bentuk

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + ⋯ + 𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) = 𝑔(𝑥).

Fungsi 𝑎𝑘(𝑥) disebut fungsi-fungsi koefisien.

Berdasarkan Definisi 2.1.4 persamaan diferensial biasa disebut linear jika

memenuhi syarat-syarat berikut (Roberts, 2010).

a. Setiap fungsi koefisien 𝑎𝑘(𝑥) hanya bergantung pada satu variabel terikat 𝑥

dan tidak bergantung pada variabel bebas 𝑦 (fungsi yang belum diketahui).

b. Variabel bebas 𝑦 (fungsi yang belum diketahui) dan semua turunannya 𝑦(𝑘)

secara aljabar hanya berderajat satu. Artinya, pangkat setiap suku yang

melibatkan 𝑦 dan turunan-turunannya adalah satu.

c. Tidak ada suku yang melibatkan perkalian variabel bebas 𝑦 (fungsi yang belum

diketahui) dan turunan-turunannya maupun perkalian dua atau lebih

turunannya.

d. Fungsi 𝑦 atau turunannya seperti 𝑒𝑦 atau cos 𝑦′ tidak boleh muncul dalam

persamaan.


19


Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang

tidak linear.

Contoh 2.1.2

Persamaan diferensial di Contoh 2.1.1 (a) dan (b) adalah contoh persamaan

diferensial biasa linear.

a. 𝑑𝑦

𝑑𝑥= 2𝑥

b. 𝑑4𝑦

𝑑𝑥4 + 5𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 + 3𝑥 = sin 𝑥

Persamaan diferensial di Contoh 2.1.1 (c) dan (d) adalah contoh persamaan

diferensial biasa nonlinear.

c. 𝑑3𝑦

𝑑𝑥3 − 𝑥 (𝑑𝑦

𝑑𝑥)

2

+ 𝑥2𝑦 = tan 𝑦

d. (𝑑4𝑦

𝑑𝑡4)3

+ 𝑡𝑦𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 − 𝑦5 = 𝑒𝑡,

Persaman (c) nonlinear karena suku (𝑑𝑦

𝑑𝑥)

2

dan tan 𝑦. Persamaan (d) nonlinear

karena suku (𝑑4𝑦

𝑑𝑡4)3

, 𝑡𝑦𝑑2𝑦

𝑑𝑡2 , dan 𝑦5.


20

2. Solusi Persamaan Diferensial


Solusi persamaan diferensial biasa orde ke-𝑛

𝐹(𝑥, 𝑦(1), … , 𝑦(𝑛)) = 0

pada suatu interval 𝐼 = (𝑎, 𝑏) adalah fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) yang didefinisikan pada 𝐼,

yang setidaknya 𝑛 kali dapat diturunkan pada interval 𝐼, dan yang memenuhi

persamaan 𝐹(𝑥, 𝑓(1), … , 𝑓(𝑛)) = 0 untuk semua 𝑥 dalam 𝐼.

Solusi 𝑦 = 𝑓(𝑥) setidaknya dapat diturunkan 𝑛 kali pada interval 𝐼, sehingga

fungsi 𝑓(𝑥), 𝑓(1)(𝑥), … , 𝑓(𝑛−1)(𝑥) semuanya kontinu di 𝐼. Biasanya interval 𝐼 tidak

secara eksplisit diberikan, tetapi dipahami sebagai interval terbesar yang mungkin

dengan 𝑦 = 𝑓(𝑥) adalah solusi.

Contoh 2.1.3

Ditunjukkan bahwa 𝑥 = 𝑡𝑒2𝑡 adalah solusi persamaan diferensial biasa linear orde

dua 𝑥” − 4𝑥′ + 4𝑥 = 0 pada interval (−∞, ∞).

Diketahui 𝑥 = 𝑡𝑒2𝑡, maka diperoleh 𝑥′ = 2𝑡𝑒2𝑡 dan 𝑥" = 4𝑡𝑒2𝑡.

Subtitusikan 𝑥′ dan 𝑥" ke dalam persamaan diferensial, sehingga diperoleh

𝑥” − 4𝑥′ + 4𝑥 = 0

4𝑡𝑒2𝑡 − 4(2𝑡𝑒2𝑡) + 4(𝑡𝑒2𝑡) = 0

4𝑡𝑒2𝑡 − 8𝑡𝑒2𝑡 + 4𝑡𝑒2𝑡 = 0


21

Ruas kiri persamaan di atas benar bernilai nol, sehingga sama nilainya dengan ruas

kanan. Hal ini menunjukkan bahwa 𝑥 = 𝑡𝑒2𝑡 merupakan solusi persamaan

diferensial 𝑥” − 4𝑥′ + 4𝑥 = 0.

Contoh 2.1.4

Solusi dari persamaan diferensial 𝑥" = 2𝑡 + 1 diperoleh dengan mengintegralkan

dua kali. Hasil integral pertama, yaitu 𝑥′ = 𝑡2 + 𝑡 + 𝑐1 dan hasil integral kedua

yang juga merupakan solusi dari persamaan diferensial 𝑥" = 2𝑡 + 1 adalah 𝑥(𝑡) =

1

3𝑡3 +

1

2𝑡2 + 𝑐1𝑡 + 𝑐2, dengan 𝑐1 dan 𝑐2 adalah konstanta real.

Persamaan diferensial di Contoh 2.1.4 memiliki tak hingga banyak solusi atau

penyelesaian. Himpunan solusi 𝑥(𝑡) =1

3𝑡3 +

1

2𝑡2 + 𝑐1𝑡 + 𝑐2 disebut keluarga

penyelesaian. Pemberian nama keluarga penyelesaian berdasarkan pada banyaknya

parameter yang termuat di dalam solusi, sehingga solusi 𝑥(𝑡) =1

3𝑡3 +

1

2𝑡2 + 𝑐1𝑡 +

𝑐2 disebut keluarga penyelesaian berparameter-dua. Solusi ini disebut solusi umum

dari persamaan diferensial. Apabila solusi dari persamaan diferensial tidak

mengandung lagi parameter, maka solusi ini disebut solusi khusus persamaan

diferensial.


22

Definisi 2.1.7

Suatu keluarga penyelesaian berparameter-𝑛 dari solusi persamaan diferensial

orde-𝑛 disebut solusi umum persamaan diferensial, jika semua solusi persamaan

diferensial dapat diperoleh dari keluarga penyelesaian berparameter-𝑛 tersebut.

Definisi 2.1.8

Solusi khusus persamaan diferensial orde-𝑛 adalah solusi persamaan diferensial

yang diperoleh dari solusi umum dengan menentukan nilai 𝑛-parameter.

Contoh 2.1.5

Solusi umum persamaan diferensial 𝑥" = 2𝑡 + 1 adalah 𝑥(𝑡) =1

3𝑡3 +

1

2𝑡2 + 𝑐1𝑡 +

𝑐2 yang disebut keluarga penyelesaian berparameter-dua. Jika diambil nilai 𝑐1 = 5

dan 𝑐2 = 1, maka solusi khusus persamaan diferensial tersebut adalah 𝑥(𝑡) =

1

3𝑡3 +

1

2𝑡2 + 5𝑡 + 1.

Solusi khusus persamaan diferensial orde-𝑛 diperoleh dengan menentukan

nilai 𝑛-parameter di solusi umum persamaan diferensial orde-𝑛. Nilai 𝑛-parameter

tersebut diperoleh dengan memasukkan syarat bantu pada solusi umum. Terdapat

dua macam syarat bantu untuk mendapatkan solusi khusus suatu persamaan

diferensial, yaitu syarat awal dan syarat batas. Selengkapnya dijelaskan melalui

definisi berikut.


23

Definisi 2.1.9 (Ross, 1989)

Jika semua syarat berhubungan dengan satu nilai variabel bebas (misalnya 𝑥),

maka syarat tersebut disebut syarat awal atau nilai awal dan persamaan diferensial

yang melibatkan syarat awal disebut masalah nilai awal.

Definisi 2.1.10 (Ross, 1989)

Jika semua syarat berhubungan dengan dua atau lebih nilai variabel bebas

(misalnya 𝑥) yang berbeda, maka syarat tersebut disebut syarat batas atau nilai

batas dan persamaan diferensial yang melibatkan syarat batas disebut masalah

nilai batas.

Contoh 2.1.6

a. 𝑥′ = 2𝑡, 𝑥(1) = 4; merupakan masalah nilai awal.

b. 𝑥" + 𝑡 = 0, 𝑥(1) = 3, 𝑥′(1) = −4; merupakan masalah nilai awal.

c. 𝑥" + 𝑡 = 0, 𝑥(0) = 1, 𝑥(𝜋) = 5; merupakan masalah nilai batas.

Contoh 2.1.7

Diberikan persamaan diferensial 𝑥′ = 2𝑡, dengan 𝑥(1) = 4. Persamaan diferensial

𝑥′ = 2𝑡 memiliki solusi umum keluarga berparameter–satu, yaitu 𝑥(𝑡) = 𝑡2 + 𝑐.

Substitusikan syarat bantu (nilai awal) 𝑥(1) = 4 pada solusi umum untuk mencari

nilai 𝑐, sehingga diperoleh 𝑥(1) = 12 + 𝑐 = 4

𝑐 = 3

Jadi, solusi khusus masalah nilai awal tersebut adalah 𝑥(𝑡) = 𝑡2 + 3.


24

B. Aplikasi Persamaan Diferensial Biasa

Bagian ini membahas contoh aplikasi persamaan diferensial biasa pada

masalah getaran massa yang tergantung pada suatu pegas. Pembahasan tersebut

dirangkum dari Ross (1989), Marwan dan Munzir (2009), dan Roberts (2010).

1. Masalah Dasar

Sebuah pegas tergantung secara vertikal pada langit-langit, balok, atau benda

lain yang serupa. Massa diletakkan di ujung bawah pegas dan dibiarkan diam pada

posisi ekuilbriumnya (lihat Gambar 2.1). Sistem ini kemudian digerakkan baik

dengan (1) menarik massa ke bawah posisi ekuilibriumnya atau mendorongnya ke

atas posisi ekuilibriumnya dan kemudian melepaskanya dengan kecepatan awal

(nol atau tidak nol; ke bawah atau ke atas) di 𝑡 = 0; atau (2) memaksa massa

bergerak dari posisi ekuilibriumnya dengan memberikan kecepatan awal yang tidak

nol (ke bawah atau ke atas) di 𝑡 = 0.

Gambar 2.1 Massa pada sistem pegas (dalam Roberts, 2010)

Masalah dari sistem ini adalah menentukan pergerakan massa pada pegas. Hal

ini dilakukan dengan mempertimbangkan beberapa fenomena yang mungkin ada

dan terkait. Disasumsikan sistem berada dalam semacam media, misalnya udara


25

biasa atau mungkin air. Media ini menghasilkan gaya perlawanan yang cenderung

mengulang gerak. Selain itu, dalam sistem ini kemungkinan terdapat gaya eksternal

tertentu, contohnya gaya magnet dari luar sistem yang mungkin bekerja pada massa.

Selanjutnya, untuk dapat memecahkan masalah sistem pegas-massa ini

pertama-tama perlu menentukan model matematika dari sistem dan kemudian

menyelesaikannya. Pemodelan untuk sistem ini memerlukan dua hukum fisika yang

terkait, yaitu hukum kedua Newton karena berkaitan dengan gerakan massa yang

bergerak dengan kecepatan tidak konstan dan hukum Hooke karena berkaitan

dengan pegas.

2. Model Sistem Pegas-Massa

Pergerakan massa terkait dengan Hukum II Newton, yaitu gaya yang bekerja

pada massa adalah sama dengan massa dikali dengan percepatannya. Bentuk

matematika dari hukum tersebut adalah

𝐹 = 𝑚. 𝑎, (2.2)

dengan 𝐹 menyatakan gaya yang bekerja, 𝑚 adalah massa benda, dan 𝑎

melambangkan percepatan gerak benda. Disini 𝑎 =𝑑2𝑥

𝑑𝑡2 = 𝑥", sehingga persamaan

(2.2) dapat dituliskan pula dalam bentuk

𝐹 = 𝑚. 𝑥", (2.3)

dimana 𝑥 menyatakan posisi massa dan 𝑡 adalah variabel waktu. Selanjutnya, gaya

yang bekerja pada massa terdiri dari gaya pegas dan gaya yang timbul akibat

gesekan. Penelitian ini tidak melibatkan gesekan, oleh karena itu yang

dipertimbangkan disini hanya gaya pegas. Gaya pegas terkait dengan hukum


26

Hooke, yaitu besarnya gaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan perpanjangan

tertentu dari sebuah pegas berbanding lurus dengan jumlah perpanjangan ini,

asalkan pemanjangan ini tidak terlalu besar. Persamaan matematika dari hukum

Hooke ini yaitu

𝐹 = −𝑘𝑥, (2.4)

dengan 𝐹 adalah besarnya gaya, 𝑥 yaitu besarnya perpanjangan dalam hal ini adalah

posisi massa, dan 𝑘 adalah konstanta pegas dengan 𝑘 > 0. Dengan demikian, model

sistem pegas-massa tanpa gaya gesek yang terbentuk, yaitu

𝐹 = 𝐹

𝑚𝑥" = −𝑘𝑥

𝑚𝑥" + 𝑘𝑥 = 0, (2.5)

dengan 𝑚, 𝑘, dan 𝑥 secara berturut-turut menyatakan massa benda, konstanta pegas,

dan posisi massa, serta 𝑡 adalah variabel waktu. Apabila model dilengkapi dengan

posisi awal dan kecepatan awal, maka model sistem pegas-massa untuk

menentukan posisi massa merupakan masalah nilai awal

𝑚𝑥" + 𝑘𝑥 = 0; 𝑥(0) = 𝑎0, 𝑥′(0) = 𝑎1 (2.6)

dimana 𝑎0 adalah posisi awal massa dan 𝑎1 adalah kecepatan awal massa.

3. Solusi Model Sistem Pegas-Massa

Model sistem pegas massa tanpa gaya gesek pada persamaan (2.5) merupakan

persamaan diferensial biasa orde dua linier dengan koefisien konstan. Solusi umum

dari persamaan tersebut, yaitu

𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos 𝜔𝑡 + 𝑐2 sin 𝜔𝑡 (2.7)


27

dengan 𝜔 = √𝑘

𝑚 dan 𝑐1, 𝑐2 adalah sebarang konstanta. Solusi umum dalam

persamaan (2.6) dapat dituliskan sebagai

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼), (2.8)

untuk suatu nilai 𝐴 dan 𝛼. Hal ini dapat dipahami karena

sin(𝜔𝑡 + 𝛼) = sin 𝜔𝑡 cos 𝛼 + cos 𝜔𝑡 sin 𝛼, (2.9)

dengan 𝑐1 = 𝐴 cos 𝛼 dan 𝑐2 = 𝐴 sin 𝛼. Apabila konstanta sebarang 𝑐1 dan 𝑐2

diberikan, maka nilai 𝐴 dan 𝛼 dapat ditentukan, yaitu

𝐴 = √𝑐12 + 𝑐2

2 dan 𝛼 = arctan𝑐2

𝑐1, (2.10)

Solusi model sistem pegas-massa tanpa gaya gesek adalah fungsi trigonometri

yang periodik dengan amplitudo (𝐴) yang konstan. Gerakan pegas massa yang

periodik dapat digambarkan sebagai berikut

Gambar 2.2 Periode dan amplitudo osilasi gerakan massa pada pegas (dalam

Marwan dan Munzir, 2009)


28

Sebagaimana yang terlihat pada Gambar 2.2, benda bermassa 𝑚 setelah bergerak

dan mencapai posisi maksimumnya akan kembali ke posisi semula setelah waktu

𝑇. Dalam hal ini 𝑇 disebut sebagai periode osilasi. Secara matematika, sebuah

fungsi dikatakan periodik dengan periode 𝑇, apabila

𝑓(𝑡 + 𝑇) = 𝑓(𝑡). (2.11)

Nilai 𝑇 ditentukan menggunakan keperiodikan fungsi trigonometri (dalam hal ini

sinus). Fungsi sinus periodik dengan periode 2𝜋. Osilasi 𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼)

akan lengkap setelah berosilasi dari 𝑡 hingga 𝑡 + 𝑇, maka

𝑥(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝛼) = 𝐴 sin(𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝛼), (2.12)

diperoleh

[𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝛼] − [𝜔𝑡 + 𝛼] = 2𝜋,

𝜔𝑡 + 𝜔𝑇 + 𝛼 − 𝜔𝑡 − 𝛼 = 2𝜋,

𝜔𝑇 = 2𝜋,

𝑇 =2𝜋

𝜔, (2.13)

karena 𝜔 = √𝑘

𝑚, maka diperoleh

𝑇 = 2𝜋√𝑚

𝑘. (2.14)

Sementara itu, banyaknya osilasi yang terjadi dalam satu satuan waktu

dinamakan frekuensi. Nilai frekuensi dari model sistem pegas-massa, yaitu

𝑓 =1

𝑇=

𝜔

2𝜋=

1

2𝜋√

𝑘

𝑚. (2.15)


29

Sistem pegas-massa berosilasi secara normal dengan frekuensi di atas, sehingga

frekuensi ini disebut sebagai frekuensi natural dari sistem pegas-massa, dengan

massa 𝑚 dan konstanta pegas 𝑘.

C. Metode Numerik untuk Menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa

Bagian ini membahas metode numerik yang digunakan untuk menyelesaikan

persamaan diferensial biasa. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah

metode beda hingga yang meliputi metode beda maju dan beda pusat, dan metode

Runge-Kutta, yaitu metode Euler dan Heun. Penjelasan mengenai metode beda

hingga dirangkum dari LeVeque (2007), sedangkan penjelasan mengenai metode

Runge-Kutta dirangkum dari Mathews (1987), Chapra dan Canale (2010), dan

Devaney (2011).

1. Metode Beda Hingga

Tujuan yang diinginkan adalah mendekati solusi persamaan diferensial, yaitu

untuk menemukan suatu fungsi (atau beberapa pendekatan diskret terhadap fungsi

ini) yang memenuhi hubungan antara berbagai turunannya pada beberapa wilayah

dan/atau waktu yang diberikan dengan beberapa kondisi batas pada ujung-ujung

domainnya. Secara umum, hal ini adalah masalah yang sulit dan jarang sekali dapat

ditemukan solusi secara analitik. Metode beda hingga dilakukan dengan mengganti

turunan dalam persamaan diferensial dengan pendekatan beda hingga. Hal ini

memberikan sistem persamaan aljabar yang besar tetapi terbatas untuk

menyelesaikan persamaan diferensial, sesuatu yang hanya bisa dilakukan oleh

komputer.


30

Sebelum mengatasi masalah ini, pertama-tama dipertimbangkan pertanyaan

tentang bagaimana mendekati turunan dari fungsi yang diketahui dengan rumus

beda hingga yang hanya didasarkan pada nilai fungsi itu sendiri pada titik diskrit.

Misalkan 𝑢(𝑥) mewakili fungsi dari satu variabel, kecuali tidak dinyatakan lain,

fungsi ini akan selalu diasumsikan halus (smooth), yang berarti fungsi dapat

diturunkan beberapa kali dan setiap turunan adalah fungsi yang dibatasi dengan

baik oleh interval yang mengandung titik minat tertentu �̅�.

Misalkan 𝑢′(�̅�) akan didekati dengan pendekatan beda hingga hanya

berdasarkan pada nilai 𝑢 pada sejumlah titik di dekat �̅�. Salah satu pilihan yang

pasti digunakan adalah

𝐷+𝑢(𝑥) ≡𝑢(�̅�+ℎ)−𝑢(�̅�)

ℎ, (2.16)

untuk beberapa nilai ℎ yang kecil. Hal ini dimotivasi oleh definisi standar turunan

dengan membatasi nilai dari ekspresi ℎ → 0. Perlu dicatat bahwa 𝐷+𝑢(𝑥) adalah

gradien garis interpolasi 𝑢 pada titik �̅� dan �̅� + ℎ (lihat Gambar 2.3).

Gambar 2.3 Beberapa pendekatan 𝑢′(�̅�) yang diinterprestasikan sebagai gradien garis-garis sekan (dalam LeVeque, 2007)


31

Persamaan (2.16) adalah pendekatan satu sisi 𝑢 karena 𝑢 hanya dievaluasi pada

nilai 𝑥 ≥ �̅�. Pendekatan satu sisi ini dinamakan metode beda maju. Pendekatan

satu sisi lainnya adalah

𝐷−𝑢(𝑥) ≡𝑢(�̅�)−𝑢(�̅�−ℎ)

ℎ, (2.17)

yang disebut metode beda mundur. Baik persamaan (2.16) maupun (2.17)

merupakan pendekatan dengan keakuratan tingkat satu untuk 𝑢′(�̅�), artinya besar

eror kira-kira sebanding dengan ℎ itu sendiri.

Kemungkinan yang lain adalah menggunakan pendekatan pusat atau disebut

sebagai metode beda pusat, yaitu

𝐷0𝑢(𝑥) ≡𝑢(�̅�+ℎ)−𝑢(�̅�−ℎ)

2ℎ=

1

2(𝐷+𝑢(𝑥) + 𝐷−𝑢(𝑥)). (2.18)

Ini adalah gradien garis interpolasi 𝑢 di titik �̅� + ℎ dan �̅� − ℎ dan sederhananya

adalah rata-rata dari dua pendekatan satu sisi yang telah didefinisikan pada

persamaan (2.16) dan (2.17). Dilihat dari Gambar 2.3 dengan jelas dapat diprediksi

bahwa 𝐷0𝑢(𝑥) memberikan pendekatan yang lebih baik daripada semua

pendekatan satu sisi (beda maju dan beda mundur). Hal ini merupakan pendekatan

dengan keakuratan tingkat dua, artinya erornya proporsional dengan ℎ2 dan

karenanya jauh lebih kecil daripada eror di pendekatan tingkat satu saat ℎ kecil.

2. Metode Runge-Kutta

Tidak semua masalah nilai awal dapat diselesaikan secara eksplisit dan

seringkali tidak mungkin menemukan rumus untuk solusi 𝑦(𝑡). Oleh karena itu,

untuk tujuan teknik dan ilmiah diperlukan suatu metode untuk memperkirakan atau

mendekati solusinya. Jika solusi dengan banyak angka yang signifikan diperlukan,


32

maka perlu digunakan lebih banyak usaha komputasi dan algoritma yang canggih.

Bagian ini secara khusus membahas metode numerik Euler dan Heun untuk

memberikan solusi pendekatan persamaan diferensial biasa.

a. Metode Euler

Metode Euler adalah metode pendekatan pertama untuk menyelesaikan

persamaan diferensial biasa dan berfungsi untuk menggambarkan konsep yang

digunakan oleh metode lanjutan. Metode Euler memiliki keterbatasan

penggunaan karena akumulasi kesalahan yang besar ketika proses perhitungan

berlangsung. Namun, metode ini penting untuk dipelajari karena analisis

kesalahan yang lebih mudah dipahami.

Gambar 2.4 Metode Euler (dalam Devaney, 2011)

Berikut dijelaskan ide dari metode Euler (lihat Gambar 2.4) untuk

mendekati solusi dari persamaan diferensial biasa 𝑑𝑦

𝑑𝑡= 𝑓(𝑦, 𝑡) dengan nilai

awal 𝑦(𝑡0) = 𝑦0. Pertama-tama dipilih langkah sebesar ℎ. Langkah yang

dipilih ini biasanya sangat kecil. Kemudian, mulai dari titik awal (𝑦0, 𝑡0)

𝒉


33

melangkah di sepanjang bidang gradien (slope field) sebesar satuan ℎ dan

dalam arah-𝑡 pada setiap tahap. Hasil gabungan garis-garis lurus kecil akan

menjadi pendekatan solusi dari masalah nilai awal persamaan diferensial biasa.

Lebih tepatnya, mulai dari titik awal (𝑦0, 𝑡0), secara rekursif dibangun

barisan titik (𝑦𝑛, 𝑡𝑛) untuk 𝑛 = 1,2,3, … dan setiap titik (𝑦𝑛, 𝑡𝑛) dan

(𝑦𝑛+1, 𝑡𝑛+1) digabungkan dengan suatu garis lurus. Mulai dari (𝑦0, 𝑡0)

digambar garis miring menuju ke titik dengan koordinat-𝑡 adalah 𝑡0 + ℎ. Ini

adalah nilai dari 𝑡1. Nilai 𝑦 yang bersesuaian dengan 𝑡1 adalah 𝑦1. Kemudian,

hal yang sama dilakukan untuk titik (𝑦1, 𝑡1), yaitu menggambar garis miring

dan bergerak menuju ke titik (𝑦2, 𝑡2), dimana 𝑡2 = 𝑡1 + ℎ. Oleh karena itu,

didapatkan secara rekursif

𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ. (2.19)

Selanjutnya, untuk menentukan nilai 𝑦𝑛+1 jika nilai 𝑦𝑛 dan 𝑡𝑛 diketahui

adalah dengan menggunakan persamaan garis yang melalui satu titik (𝑦𝑛, 𝑡𝑛)

dan gradien garis 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛) yang nilainya diketahui. Persamaan garis tersebut,

yaitu

𝑦 = 𝑀𝑡 + 𝐵, (2.20)

dimana 𝑀 = 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛) adalah gradien garis dan 𝐵 adalah perpotongan-𝑦. Nilai

𝐵 didapatkan dengan mensubstitusikan titik (𝑦𝑛, 𝑡𝑛) dalam persamaan garis

(2.20), sehingga diperoleh

𝑦𝑛 = 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛)𝑡𝑛 + 𝐵, (2.21)

𝐵 = 𝑦𝑛 − 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛)𝑡𝑛. (2.22)

Kemudian, didapatkan persamaan untuk 𝑦𝑛+1, yaitu


34

𝑦𝑛+1 = 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛)(𝑡𝑛 + ℎ) + 𝑦𝑛 − 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛)𝑡𝑛, (2.23)

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛)ℎ. (2.24)

Persamaan (2.19) dan (2.24) adalah skema rekursif untuk menentukan nilai

𝑦𝑛+1 dan 𝑡𝑛+1. Skema tersebut merupakan skema metode Euler untuk

memberikan pendekatan solusi masalah nilai awal persamaan diferensial biasa.

Gambar 2.5 Pendekatan Euler 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛)ℎ (dalam Mathews, 1987)

b. Metode Heun

Salah satu metode untuk memperbaiki pendekatan yang melibatkan

kemiringan (slope), yaitu dengan menentukan dua turunan dalam interval (satu

pada titik awal dan lainnya pada titik akhir). Dua turunan tersebut kemudian

dirata-rata untuk memperbaiki perkiraan kemiringan untuk keseluruhan

interval. Pendekatan ini dinamakan metode Heun, yang digambarkan secara

grafis pada Gambar 2.6.


35

(a) (b)

Gambar 2.6 Penggambaran Grafis Metode Heun (a) Prediktor dan (b)

Korektor (dalam Chapra dan Canale, 2010)

Diingat pada metode Euler, gradien pada awal interval adalah

𝑦𝑛′ = 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛), (2.23)

yang digunakan untuk menentukan nilai 𝑦𝑛+1 dengan skema

𝑦𝑛+10 = 𝑦𝑛 + 𝑓(𝑦𝑛, 𝑡𝑛)ℎ. (2.24)

Metode Euler berhenti sampai pada titik ini. Namun, untuk metode Heun

nilai 𝑦𝑛+1 pada persamaan (2.23) bukanlah hasil akhir, melainkan prediksi

tengah. Itulah asalan mengapa dibedakan dengan superscript 0. Persamaan

(2.24) disebut persamaan prediktor. Hal ini memberikan perkiraan 𝑦𝑛+1 yang

membantu perhitungan perkiraan kemiringan pada akhir interval, yaitu

𝑦𝑛+1′ = 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑦𝑛+1

0 ). (2.25)

Dengan demikian, dua gradien (persamaan (2.23) dan (2.25)) dapat

digabungkan untuk menentukan kemiringan rata-rata pada interval, yaitu

𝑦′̅ =𝑦𝑛

′ +𝑦𝑛+1′

2=

𝑓(𝑡𝑛,𝑦𝑛)+𝑓(𝑡𝑛+1,𝑦𝑛+10 )

2. (2.26)

𝑦

Slope =𝑓(𝑡𝑛,𝑦𝑛)+𝑓(𝑡𝑛+1,𝑦𝑛+1

0 )

2

𝑡 𝑡𝑛 𝑡𝑛+1

𝑦 Slope = 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑦𝑛+1

0 )

Slope =𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛)

𝑡 𝑡𝑛 𝑡𝑛+1


36

Kemiringan rata-rata ini kemudian digunakan untuk mengkestrapolasi secara

linier dari 𝑦𝑛 ke 𝑦𝑛+1 menggunakan metode Euler, yaitu

𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 +𝑓(𝑡𝑛,𝑦𝑛)+𝑓(𝑡𝑛+1,𝑦𝑛+1

0 )

2ℎ, (2.27)

yang disebut sebagai persamaan korektor. Metode Heun menggunakan skema

prediktor-korektor satu langkah pada persamaan (2.24) dan (2.27) untuk

memberikan pendekatan solusi masalah nilai awal persamaan diferensial biasa.


37

BAB III

HASIL PENELITIAN*

Bab ini menjelaskan metode beda hingga dan Runge-Kutta untuk

menyelesaikan persamaan diferensial biasa dari masalah getaran. Penjelasan

diawali dengan membuat skema iterasi metode beda maju, beda pusat, Euler, dan

Heun untuk menyelesaikan persamaan diferensial biasa dari masalah getaran yang

berbentuk persamaan diferensial biasa orde dua. Selanjutnya, dengan bantuan

program MATLAB diberikan hasil penyelesaian keempat metode tersebut dan

membandingkannya dengan hasil analitiknya. Hasil perbandingan disajikan dalam

bentuk gambar grafik solusi dan tabel perbandingan galat untuk setiap langkah

waktu.

A. Skema Iterasi Metode Beda Hingga dan Runge-Kutta

Pemodelan matematika untuk getaran struktur bangunan memiliki prinsip yang

sama seperti pemodelan pada masalah pegas-massa. Penelitian ini mengasumsikan

bahwa masalah getaran tidak melibatkan gesekan. Hal ini dapat terjadi untuk

masalah dengan redaman yang tidak berarti. Model matematika yang terbentuk

untuk masalah getaran ini berbentuk persamaan diferensial biasa orde dua, yaitu

𝑚𝑥" + 𝑘𝑥 = 0, 𝑥 ∈ ℝ1. (3.1)

* Hasil ini telah dipresentasikan dalam International Conference on Science and Applied Science 2017 di

Surakarta, 29 Juli 2017 dan telah dipublikasikan dalam Journal of Physics: Conference Series, Volume 909,

Nomor 1, Artikel 012044, Tahun 2017.


38

Di sini 𝑚 menyatakan besarnya massa benda dan 𝑘 melambangkan kekakuan pilar

bangunan. Selanjutnya, 𝑡 adalah variabel waktu dan 𝑥 adalah variabel ruang.

Persamaan (3.1) tersebut diselesaikan menggunakan metode beda hingga, yaitu

beda maju dan beda pusat, serta metode Runge-Kutta yang meliputi Euler dan

Heun. Berikut adalah skema iterasi keempat metode untuk menyelesaikan

persamaan diferensial biasa dari masalah getaran.

1. Skema Iterasi Metode Beda Maju

Berdasarkan skema metode beda maju, persamaan (3.1) dapat diubah menjadi

𝑚(𝑥′)

𝑡=𝑡𝑛+1−(𝑥′)𝑡=𝑡𝑛

∆𝑡+ 𝑘𝑥|𝑡=𝑡𝑛 = 0, (3.2)

𝑚

𝑥|𝑡=𝑡𝑛+2

−𝑥|𝑡=𝑡𝑛+1

∆𝑡−𝑥|𝑡=𝑡𝑛+1

−𝑥|𝑡=𝑡𝑛

∆𝑡

∆𝑡+ 𝑘𝑥|𝑡=𝑡𝑛 = 0, (3.3)

𝑚𝑥𝑛+2−𝑥𝑛+1

∆𝑡−𝑥𝑛+1−𝑥𝑛

∆𝑡

∆𝑡+ 𝑘𝑥𝑛 = 0, (3.4)

𝑚𝑥𝑛+2−2𝑥𝑛+1+𝑥𝑛

∆𝑡2+ 𝑘𝑥𝑛 = 0, (3.5)

atau dapat diubah menjadi

𝑚𝑥𝑛+1−2𝑥𝑛+𝑥𝑛−1

∆𝑡2+ 𝑘𝑥𝑛−1 = 0, (3.6)

sehingga

𝑚(𝑥𝑛+1 − 2𝑥𝑛 + 𝑥𝑛−1) = −𝑘𝑥𝑛−1∆𝑡2, (3.7)

𝑥𝑛+1 − 2𝑥𝑛 + 𝑥𝑛−1 =−𝑘𝑥𝑛−1∆𝑡2

𝑚, (3.8)

𝑥𝑛+1 =−𝑘𝑥𝑛−1∆𝑡2

𝑚+ 2𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1. (3.9)

Apabila diasumsikan nilai 𝑘 = 1 dan 𝑚 = 1, maka diperoleh skema metode

beda maju untuk persamaan (3.1), yaitu

𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛−1∆𝑡2 + 2𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1. (3.10)


39

2. Skema Iterasi Metode Beda Pusat

Persamaan (3.1) dapat diubah menjadi

𝑚(𝑥′)

𝑡=𝑡𝑛+1−(𝑥′)

𝑡=𝑡𝑛−1

2∆𝑡+ 𝑘𝑥|𝑡=𝑡𝑛 = 0, (3.11)

𝑚

𝑥|𝑡=𝑡𝑛+2

−𝑥|𝑡=𝑡𝑛

2∆𝑡−𝑥|𝑡=𝑡𝑛

−𝑥|𝑡=𝑡𝑛−2

2∆𝑡

2∆𝑡+ 𝑘𝑥|𝑡=𝑡𝑛 = 0, (3.12)

𝑚𝑥𝑛+2−𝑥𝑛

2∆𝑡−𝑥𝑛−𝑥𝑛−2

2∆𝑡

2∆𝑡+ 𝑘𝑥𝑛 = 0, (3.13)


4∆𝑡2+ 𝑘𝑥𝑛 = 0, (3.14)

atau bisa dituliskan sebagai


∆𝑡2+ 𝑘𝑥𝑛 = 0, (3.15)

sehingga didapatkan

𝑚(𝑥𝑛+1 − 2𝑥𝑛 + 𝑥𝑛−1) = −𝑘𝑥𝑛∆𝑡2, (3.16)

𝑥𝑛+1 − 2𝑥𝑛 + 𝑥𝑛−1 =−𝑘𝑥𝑛∆𝑡2

𝑚, (3.17)

𝑥𝑛+1 =−𝑘𝑥𝑛∆𝑡2

𝑚+ 2𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1. (3.18)

Diasumsikan nilai 𝑘 = 1 dan 𝑚 = 1, sehingga diperoleh

𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛∆𝑡2 + 2𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1. (3.19)

Persamaan (3.19) merupakan skema metode beda pusat satu langkah untuk

persamaan (3.1). Apabila dibandingkan, algoritma tersebut memiliki bentuk yang

berbeda dengan persamaan (3.11), yang merupakan algoritma metode beda maju.


40

3. Skema Iterasi Metode Euler

Diberikan persamaan (3.1) dimana nilai 𝑘 = 1 dan 𝑚 = 1, sehingga

didapatkan persamaan

𝑥" + 𝑥 = 0. (3.20)

Selanjutnya, diturunkan suatu sistem persamaan diferensial biasa orde satu dari

persamaan (3.20). Misalkan 𝑥1 = 𝑥 dan 𝑥2 = 𝑥′, sehingga persamaan (3.20)

menjadi

𝑥1′ = 𝑥′ = 𝑥2, (3.21)

𝑥2′ = 𝑥" = −𝑥 = −𝑥1. (3.22)

Sistem persamaan (3.21) dan (3.22) dapat diselesaikan menggunakan skema

metode Euler sebagai berikut

𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 + 𝑓(𝑡𝑛, 𝑋𝑛)∆𝑡, (3.23)

atau dapat ditulis dalam persamaan matriks

𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 + (0 1−1 0

) (𝑥1

𝑛

𝑥2𝑛) ∆𝑡. (3.24)

4. Skema Iterasi Metode Heun

Sistem persamaan diferensial biasa orde satu (3.21) dan (3.22) dapat

diselesaikan menggunakan skema metode Heun, yaitu

𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 +𝑓(𝑡𝑛,𝑋

𝑛)+𝑓(𝑡𝑛+1,𝑋𝑛+1)

2∆𝑡, (3.25)

dengan 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑋𝑛+1) ≈ 𝑓(𝑡𝑛+1, 𝑥𝑛+1̅̅ ̅̅ ̅̅ ), dimana 𝑥𝑛+1̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑋𝑛 + 𝑓(𝑡𝑛, 𝑋

𝑛)∆𝑡 atau

dengan kata lain 𝑥𝑛+1̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑋𝑛+1 pada metode Euler. Oleh karena itu, skema untuk

metode Heun menjadi


41

𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 +𝑓(𝑡𝑛,𝑋

𝑛)+𝑓(𝑡𝑛+1,𝑋𝑛+1)

2∆𝑡, (3.26)

Atau dapat ditulis dalam persamaan matriks

𝑋𝑛+1 = 𝑋𝑛 + [(0 1−1 0

) (𝑥1

𝑛

𝑥2𝑛) + (

0 1−1 0

) (𝑥1

𝑛+1∗

𝑥2𝑛+1∗)]

∆𝑡

2. (3.27)

dimana 𝑥1𝑛+1∗ dan 𝑥2

𝑛+1∗ diperoleh dari metode Euler satu langkah.

B. Analisis Kinerja Metode Beda Hingga dan Runge-Kutta

Bagian ini menyajikan dan membandingkan hasil metode beda maju dan beda

pusat, sekaligus metode Euler dan metode Heun dalam menyelesaikan persamaan

(3.1). Simulasi keempat metode dalam menyelesaikan persamaan (3.1) dilakukan

menggunakan program MATLAB, dengan nilai 0 ≤ 𝑡 ≤ 5 dan ∆𝑡 =

0.5; 0.25; 0.125; 0.0625. Berdasarkan program yang dibuat pada MATLAB

(Lampiran 1), disajikan gambar grafik yang menunjukkan hasil perbandingan

keempat metode tersebut beserta hasil analitiknya.

Perwakilan hasil numerik ditunjukkan pada Gambar 3.1-Gambar 3.4.

Masing-masing gambar menunjukkan solusi analitik beserta solusi numerik.

Berdasarkan gambar grafik tersebut, teramati bahwa metode beda pusat dan metode

Heun mendekati solusi analitik lebih baik daripada metode beda maju dan metode

Euler.


42

Gambar 3.1 Solusi analitik dan numerik dengan ∆𝑡 = 0.5



43




44

Selanjutnya, diberikan perbandingan eror atau galat dengan beberapa langkah

waktu (∆𝑡) pada Tabel 3.1 dan Gambar 3.5. Perhitungan eror dilakukan dengan

mengambil mutlak rata-rata total eror pada masing-masing metode.

Tabel 3.1 Perbandingan Galat Metode Beda Maju, Beda Pusat,

Euler, dan Heun

∆𝑡 Error

Beda Maju Beda Pusat Euler Heun

0.5 1.9924 0.0291 1.8732 0.1284

0.25 0.6659 0.0074 0.6510 0.0313

0.125 0.2671 0.0019 0.2611 0.0078

0.0625 0.1199 0.0005 0.1169 0.0019

Gambar 3.5 Perbandingan Galat Metode Beda Maju, Beda Pusat, Euler, dan

Heun

Berdasarkan Tabel 3.1 diperoleh bahwa saat ∆𝑡 menjadi setengahnya, eror dari

metode beda pusat dan metode Heun menjadi seperempatnya, sedangkan eror dari

metode beda maju dan Euler menjadi setengahnya. Hal ini berarti metode beda

pusat dan metode Heun memiliki keakuratan tingkat dua, sedangkan metode beda


45

maju dan metode Euler memiliki keakuratan tingkat satu. Selain itu, berdasarkan

Gambar 3.5 dapat dilihat bahwa metode beda pusat dan Heun memiliki eror yang

lebih kecil dan lebih cepat konvergen menuju nol dibandingkan metode beda maju

dan Euler ketika langkah yang digunakan semakin diperkecil untuk masing-masing

metode. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa metode beda pusat dan Heun

menghasilkan solusi yang lebih akurat daripada metode beda maju dan Euler.


46

BAB IV

ASPEK PENDIDIKAN

Bab ini memaparkan hasil penelitian di bidang pendidikan untuk tesis ini. Hasil

penelitian dipaparkan dalam bentuk deskripsi mengenai proses dan hasil

pembelajaran matematika pada materi grafik fungsi trigonometri di tingkat Sekolah

Menengah Kejuruan (SMK) menggunakan fenomena getaran.

Aspek pendidikan ini merupakan bentuk sumbangan penelitian penulis

terhadap bidang pendidikan. Penulis sebagai calon pendidik merasa perlu

memberikan pendekatan baru dalam pembelajaran matematika setelah menggeluti

penelitian di bidang matematika terapan. Tujuannya adalah dapat memberikan

pengalaman belajar baru kepada siswa sekaligus dapat memperkenalkan

keterkaitan ilmu matematika yang sekarang ini mereka pelajari dengan kehidupan

sehari-hari. Hal ini diharapkan dapat melatih siswa memodelkan dan

menyelesaikan masalah-masalah nyata, serta memberikan motivasi untuk

mempelajari matematika. Isi materi yang diberikan dalam pembelajaran

disesuaikan dengan fenomena getaran yang digunakan untuk penelitian tesis ini dan

materi yang dipelajari di sekolah.

A. Pendahuluan

Pemodelan matematika memiliki peranan yang besar dalam menyelesaikan

masalah nyata dalam kehidupan manusia. Saat ini pendidikan di tingkat sekolah

menengah mulai memperkenalkan kepada siswa pemodelan matematika untuk


47

menyelesaikan suatu masalah nyata. Siswa dilatih memodelkan dahulu suatu

masalah ke dalam persamaan-persamaan matematika sebelum menyelesaikannya.

Hal ini dilakukan dengan memberikan soal-soal aplikasi pada materi tertentu yang

sesuai, misalnya matriks, program linier, barisan dan deret, fungsi, dan sebagainya.

Penulis tertarik memperkenalkan pemodelan matematika dalam penelitian tesis ini

untuk pembelajaran di tingkat sekolah menengah, khususnya Sekolah Menengah

Kejuruan (SMK). Penulis memilih jenjang SMK karena materi ini sesuai untuk

tingkat pemahaman siswa SMK dan sesuai dengan karakter pembelajaran di SMK

yang didominasi dengan kegiatan praktek sehingga pembelajaran ini diharapkan

dapat lebih bermakna bagi siswa.

Pemodelan matematika dalam tesis ini berkaitan dengan pemodelan getaran

struktur bangunan yang prinsipnya sama dengan pemodelan getaran pada sistem

pegas-massa. Model matematika yang terbentuk adalah persamaan diferensial biasa

orde dua. Penulis mengambil salah satu unsur dari fenomena getaran tersebut

sebagai materi ajar yang disesuaikan dengan tingkat pemahaman siswa SMK.

Unsur tersebut, yaitu gerakan pegas-massa tanpa gaya gesek yang membentuk suatu

grafik fungsi sinus. Persamaan grafik fungsi sinus sebenarnya adalah solusi dari

persamaan diferensial orde dua dari masalah getaran pegas-massa tanpa gesekan.

Solusi tersebut secara umum dapat dituliskan dalam persamaan 𝑥(𝑡) = 𝐴 sin 𝑡,

dimana 𝑥 adalah fungsi posisi massa terhadap waktu 𝑡, 𝐴 menyatakan amplitudo

getaran, dan 𝑡 adalah variabel waktu. Selanjutnya, penulis merencanakan

pembelajaran matematika (rencana pembelajaran terlampir di Lampiran 3)

menggunakan fenomena getaran di tingkat SMK pada materi grafik fungsi


48

trigonometri sinus untuk menyelesaikan masalah sistem harmonik sederhana

(pegas-massa).

B. Metode Pengolahan Data

1. Subjek Penelitian

Subjek penelitian untuk aspek pendidikan ini adalah siswa-siswi kelas XI B

jurusan Teknik Pemesinan di SMK Negeri 2 Depok, Yogyakarta tahun ajaran

2017/2018.

2. Objek Penelitian

Objek penelitian aspek pendidikan ini adalah proses dan hasil pembelajaran

matematika pada materi grafik fungsi trigonometri di tingkat Sekolah Menengah

Kejuruan (SMK) menggunakan fenomena getaran.

3. Metode dan Instrumen Pengumpulan Data

a. Metode Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data dalam penelitian aspek pendidikan ini

dilakukan melalui pengamatan terhadap jalannya proses pembelajaran

(pengamatan secara langsung saat proses pembelajaran dan pengamatan video

proses pembelajaran), memberikan LKS (kelompok, Lampiran 3), dan tes esai

(individu, Lampiran 4) kepada siswa. Hasil LKS dan tes esai kemudian

dianalisis untuk mengetahui pemahaman siswa setelah mengikuti

pembelajaran matematika materi grafik fungsi trigonometri menggunakan

fenomena getaran. Uji validasi LKS dan tes esai dilakukan oleh Bapak Dr. Sudi

Mungkasi selaku dosen pembimbing.


49

b. Instrumen Pengumpulan Data

Instrumen pengumpulan data yang digunakan dalam penelitian ini, yaitu

1) Lembar Kerja Siswa (LKS)

Peneliti mengumpulkan hasil Lembar Kerja Siswa (LKS) yang diberikan

kepada siswa. LKS tersebut berisi pertanyaan-pertanyaan yang mengarahkan

siswa membentuk persamaan umum grafik fungsi sinus dengan mempelajari

beberapa kasus yang diberikan dari masalah getaran. LKS ini dikerjakan secara

kelompok dengan tujuan agar siswa dapat berdiskusi satu sama lain untuk

membentuk pemahamannya masing-masing terhadap materi. Data yang

diperoleh kemudian dianalisis untuk mengetahui proes berpikir siswa secara

kelompok terhadap materi grafik fungsi sinus dan mengetahui kemampuan

siswa menelaah ciri-ciri fungsi dari masing-masing grafik.

2) Tes Esai

Peneliti mengumpulkan lembar jawaban tes esai yang dikerjakan secara

individu oleh siswa. Tes ini berisi pertanyaaan-pertanyaan mengenai masalah

sistem harmonik sederhana terkait penerapan grafik fungsi sinus. Peneliti

menganalisis data yang yang diperoleh untuk mengetahui pemahaman masing-

masing individu dalam menyelesaikan masalah sistem harmonik sederhana

terkait penerapan grafik fungsi sinus.


50

Tabel 4.1 Kisi-kisi Lembar Kerja Siswa

Kompetensi Dasar Indikator Soal

Kurikulum 2013 edisi revisi 2014

1. Menyajikan grafik fungsi

trigonometri.


1. Membuat grafik fungsi trigonometri

Menggambar grafik fungsi posisi massa

terhadap waktu

1. Diberikan tiga atau empat kasus terkait

gerakan massa yang digantungkan

pada pegas terhadap waktu.

2. Jika sumbu mendatar (𝑥) menyatakan

waktu 𝑡 dan sumbu vertikal (𝑦)

menyatakan posisi massa 𝑦(𝑡), buatlah grafik fungsi yang

menyatakan hubungan waktu dan

posisi massa dari ketiga atau

keempat kasus tersebut!


2. Mendeskripsikan konsep fungsi

trigonometri dan menganalisis grafik

fungsinya, serta menentukan

hubungan nilai fungsi trigonometri

dari sudut-sudut istimewa.

Membentuk persamaan grafik fungsi sinus

dari masalah getaran

3. Setelah grafik tergambar, tentukanlah

periode dan amplitudo dari masing –

masing grafik!

4. Menurut kelompok kalian, apakah

persamaan dan perbedaan dari ketiga

grafik yang kalian gambar? Apakah

penyebab persamaan atau perbedaan

tersebut (hubungkanlah dengan fungsi

dari masing – masing grafik)?

5. Buatlah kesimpulan dari kegiatan

yang kalian lakukan!


51

Tabel 4.2 Kisi-kisi Tes Esai

Kompetensi Dasar Indikator Soal

Kurikulum 2013 edisi revisi

2014

2. Mendeskripsikan konsep

fungsi trigonometri dan

menganalisis grafik

fungsinya, serta

menentukan hubungan

nilai fungsi trigonometri

dari sudut-sudut

istimewa.

Membentuk persamaan

grafik fungsi sinus dari

masalah getaran

1. Diketahui grafik fungsi posisi massa (dalam cm) adalah sebagai

berikut.

a. Tentukan periode dan amplitudo grafik fungsi posisi tersebut.

b. Tentukan persamaan grafik fungsi posisi tersebut.

𝑡

𝑥(𝑡)


52

Menyelesaikan masalah

terkait penerapan grafik

fungsi sinus

2. Diketahui grafik fungsi posisi massa (dalam cm) adalah sebagai

berikut.

a. Tentukan persamaan grafik fungsi posisi tersebut.

b. Tentukan posisi massa (dalam cm) pada saat 𝑡 = 20 𝑠.

𝑡

𝑥(𝑡)


53

4. Teknik Analisis Data

Teknik analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif

kualitatif menurut Miles dan Huberman (1992, dalam Gunawan, 2013), yaitu (1)

reduksi data (data reduction); (2) paparan data (data display); dan (3) penarikan

kesimpulan atau verifikasi (conclusion drawing/verivying). Langkah-langkah

analisis yang dilakukan adalah penulis mereduksi data-data yang diperoleh dalam

penelitian aspek pendidikan ini dengan memilih data yang dapat membantu proses

penarikan kesimpulan. Kemudian, peneliti mengelompokkan data sesuai dengan

hasil jawaban siswa terhadap pertanyaan-pertanyaan yang diberikan. Data tersebut

disajikan dalam bentuk tabel keberhasilan subjek memahami materi grafik fungsi

trigonometri menggunakan fenomena getaran sesuai dengan indikator-indikator

yang telah ditetapkan. Selanjutnya, peneliti menarik kesimpulan berdasarkan hasil

analisis yang ada.

5. Penjadwalan Waktu Pelaksanaan Penelitian

Pengambilan data dilaksanakan pada hari Jumat, 3 November 2017.

C. Deskripsi Proses Pembelajaran dan Pembahasan

Proses pembelajaran dilakukan selama satu kali pertemuan dengan waktu

pelaksanaan 4 JP (4 × 45 menit). Materi pembelajaran yang diberikan adalah

materi grafik fungsi trigonometri menggunakan fenomena getaran. Secara umum,

proses pembelajaran dibagi menjadi tiga kegiatan, yaitu kegiatan pendahuluan,

kegiatan inti, dan penutup. Berikut dideskripsikan proses pembelajaran yang

terjadi, yaitu


54

1. Kegiatan Pendahuluan

Penulis memulai pembelajaran dengan mengucapkan salam dan perkenalan

singkat. Penulis menyampaikan bahwa tujuan dari pembelajaran hari ini adalah

untuk memperkenalkan kepada siswa-siswi tugas akhir penulis dalam bidang

matematika terapan yang dikaitkan dengan materi pembelajaran tingkat SMK.

Penulis kemudian meminta siswa-siswi menyebutkan materi apa saja yang telah

dipelajari di kelas XI. Beberapa siswa menyebutkan telah mempelajari materi

matriks, program linier, fungsi komposisi, dan fungsi invers. Kemudian, penulis

menyampaikan bahwa khususnya pada materi program linier terdapat banyak soal-

soal aplikasi dan penulis memberikan satu contoh soal untuk menyegarkan ingatan

mereka. Selanjutnya, penulis bertanya kepada siswa-siswi langkah awal yang harus

dilakukan sebelum menyelesaikan soal aplikasi tersebut. Semula siswa-siswi

menjawab bahwa sebelum menyelesaikan soal tersebut langkah awal yang

dilakukan adalah membuat tabel, membaca soal, dan sebagainya. Setelah diberikan

pengarahan akhirnya ada siswa yang menjawab bahwa langkah awalnya adalah

membuat persamaan matematika. Penulis berkata bahwa hal tesebut tepat dan

langkah itu disebut pemodelan matematika. Penulis menyampaikan bahwa saat ini

tugas akhir yang penulis lakukan juga diawali dengan pemodelan matematika.

Selanjutnya, penulis menceritakan secara singkat mengenai tugas akhir yang

sedang dikerjakan dan kaitannya dengan materi pembelajaran hari ini. Hal ini

dilakukan untuk memotivasi perserta didik mengikuti pembelajaran.

Materi pembelajaran hari ini adalah membentuk persamaan umum grafik

fungsi trigonometri sinus dan menyelesaikan masalah nyata terkait sistem harmonik


55

sederhana. Penulis kemudian mengingatkan kembali materi grafik fungsi

trigonometri sinus yang telah siswa-siswi pelajari di kelas X semester dua, yaitu

tentang menggambar grafik fungsi sinus 𝑦 = sin 𝑥, menentukan amplitudo, dan

periode grafik. Sebagian besar siswa ternyata masih mengingat tentang materi

tersebut, terutama tentang menentukan periode dan amplitudo grafik. Hal ini

diperlihatkan oleh siswa-siswi yang dapat menjawab dengan tepat besar periode

dan amplitudo grafik fungsi sinus. Ketika ditanya mengenai pengertian periode dan

amplitudo, siswa-siswi mampu memberikan jawaban dengan tepat meskipun

susunan katanya kurang rapi. Penulis kemudian memberikan definisi yang lebih

tepat.

Setelah itu, penulis menengaskan kembali tujuan pembelajaran hari ini dan

menjelaskan langkah-langkah pembelajaran yang akan dilakukan, yaitu diskusi

kelompok, presentasi, dan tes esai untuk mengetahui pemahaman masing-masing

individu. Penulis lalu membagi siswa-siswi menjadi enam kelompok, dimana setiap

kelompok terdiri dari 4-5 orang.

2. Kegiatan Inti

Penulis meminta siswa berkumpul dalam kelompok dan membagikan Lembar

Kerja Siswa (LKS) untuk dikerjakan oleh masing-masing kelompok. Penulis

memberikan instruksi bagaimana mengerjakan LKS tersebut. Siswa diberikan

waktu 30 menit untuk mengerjakan. Setiap kelompok memiliki tugas yang berbeda

satu sama lain. Selama siswa mengerjakan LKS, penulis berkeliling kelas untuk

memberikan topangan kepada kelompok yang merasa kesulitan dengan tugasnya.

Penulis mengamati bahwa sebagian besar kelompok kesulitan menganalisis grafik-


56

grafik yang digambar dan menarik kesimpulan dari kegiatan kelompok yang

dilakukan.

Setelah semua kelompok selesai mengerjakan LKS, penulis meminta setiap

kelompok mempresentasikan hasil diskusinya dimulai dari kelompok 1 sampai

dengan kelompok 6. Kelompok 3 dan 4, serta kelompok 5 dan 6 maju presentasi

bersama-sama agar siswa-siswi dapat membandingkan dengan jelas persamaan atau

perbedaan masing-masing grafik. Hasil diskusi dari setiap kelompok tersebut

selanjutnya dianalisis dan dibahas pada bagian D.

Saat setiap kelompok selesai presentasi, penulis membantu siswa-siswi untuk

menarik kesimpulan dari apa yang telah dikerjakan kelompok. Hal ini dilakukan

untuk memberi penegasan terhadap hasil diskusi kelompok. Tujuan dari kerja

kelompok ini adalah membentuk persamaan umum grafik fungsi trigonometri sinus

apabila gambar grafik diketahui. Penulis membantu siswa-siswi membentuk

persamaan umum grafik fungsi trigonometri sinus dan memberikan penjelasan agar

lebih mudah dipahami.

Setelah semua kelompok presentasi dan diperoleh persamaan umum grafik

fungsi sinus, maka penulis meminta siswa-siswi kembali ke tempat duduknya

masing-masing. Penulis kemudian membagikan soal dan lembar jawab tes esai.

Waktu untuk mengerjakan tes tersebut adalah 30 menit. Hasil tes esai ini dianalisis

dan dibahas pada bagian E.

3. Kegiatan Penutup

Penulis meminta siswa-siswi menuliskan kesan dan pesan dibalik lembar jawab

tes sebagai bentuk evalusi pembelajaran hari ini (Lampiran 16). Selanjutnya,


57

penulis meminta siswa-siswi mengumpulkan lembar jawab tes esai tersebut.

Penulis menutup pembelajaran dengan mengucapkan terima kasih atas keterlibatan

siswa-siswi selama proses pembelajaran.

Secara keseluruhan, proses pembelajaran berjalan dengan lancar sesuai dengan

yang telah direncanakan. Berikut adalah analisis penulis terhadap proses

pembelajaran tersebut.

1. Siswa diberikan waktu 30 menit untuk berdiskusi dalam kelompok. Namun,

proses diskusi berlangsung lebih lama dari waktu yang diberikan. Diskusi

kelompok berlangsung selama 45-60 menit. Hal ini dikarenakan hampir semua

kelompok berlama-lama saat menggambar grafik. Kelompok sering bertanya

tentang bagaimana grafik dari kasus harus digambar. Tampaknya kelompok

kurang memahami instruksi dalam LKS, sehingga sering bertanya untuk

memastikan langkah-langkah menggambar grafik. Kelompok lebih berfokus

pada menggambar grafik, sehingga pertanyaan nomor 3-5 sempat terabaikan

oleh sebagian besar kelompok. Penulis akhirnya mengingatkan kembali bahwa

setelah grafik tergambar ada hal yang lebih penting untuk dijawab oleh

kelompok, yatu pertanyaan nomor 3-5. Kelompok mengalami kesulitan

menjawab pertanyan 4 dan 5, sehingga penulis banyak memberi pengarahan.

Namun, karena keterbatasan waktu dan topangan yang diberikan belum cukup

membantu, maka penulis meminta kelompok untuk menuliskan sesuai dengan

pemahaman mereka.


58

2. Tujuan awal penulis membentuk siswa kedalam beberapa kelompok dan

memberikan kasus yang berbeda satu sama lain adalah agar siswa dapat

merumuskan persamaan umum grafik fungsi trigonometri sinus dengan

mengamati beberapa grafik yang digambar. Penulis ingin peserta didik

menemukan persamaan dan perbedaan antara grafik yang tergambar dengan

fungsi grafik tersebut, kemudian membentuk rumus umum dan

menjeslakannya kepada kelompok lain dengan bahasa mereka sendiri agar

materi lebih mudah dipahami. Penulis berencana memberi topangan dalam

kelompok sampai kelompok mendapatkan kesimpulan. Setelah itu, penulis

hanya menegaskan dan menguatkan penjelasan kelompok ketika presentasi.

Tetapi hal ini ternyata sulit untuk dilakukan, terutama karena waktu yang

terbatas. Dua kelompok tidak menemukan persamaan dan perbedaan grafik,

sedangkan kelompok yang lain kesulitan menghubungkan persamaan dan

perbedaan yang ditemukan dengan fungsi grafik sehingga tujuan tidak tercapai.

Oleh karena itu, ketika kelompok selesai presentasi penulis bersama-sama

dengan peserta didik melalui proses tanya jawab secara klasikal membentuk

persamaan umum tersebut.

D. Deskripsi Hasil Kerja Kelompok dan Pembahasan

Data ini diperoleh dari hasil jawaban siswa terhadap pertanyaan-pertanyaan

yang diajukan dalam Lembar Kerja Siswa (LKS). LKS dikerjakan oleh 6 kelompok

dimana setiap kelompok terdiri dari 4-5 siswa kelas XI TPB SMK Negeri 2 Depok

Yogyakarta tahun ajaran 2017/2018. Nama kelompok 1-6 kemudian disebut K01,


59

K02, K03, K04, K05, dan K06. Berikut adalah deskripsi hasil analisis jawaban

subjek penelitian terhadap pertanyaan dalam LKS.

1. Deskripsi Hasil Analisis Jawaban Subjek Terhadap Pertanyaan Nomor 2


menggambar grafik fungsi massa terhadap waktu

Subjek Keterangan

K01

(S1, S7, S22, S26, S27)

Kelompok dapat menentukan dengan tepat

pasangan koordinat (𝑡, 𝑦(𝑡)) untuk ketiga kasus

yang diberikan dan membuatnya dalam bentuk

tabel.

Kelompok dapat menghubungkan pasangan koordinat yang di dapat ke bidang kartesius

sehingga terbentuk dengan tepat grafik fungsi

posisi untuk ketiga kasus yang diberikan.

Kelompok tepat menggambarkan grafik sesuai dengan perintah soal, yaitu menggambar grafik

kasus 1, 2, dan 3 masing-masing dalam satu bidang.

Kelompok kurang lengkap dalam memberikan keterangan grafik, yaitu tidak menyatakan

keterangan sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦, tidak

menuliskan koordinat sumbu-𝑥, dan tidak menyatakan keterangan nama fungsi grafik.

K02

(S4, S13, S14, S16,

S21)


pasangan koordinat (𝑡, 𝑦(𝑡)) untuk keempat kasus yang diberikan dan membuatnya dalam bentuk

tabel.

Kelompok dapat menghubungkan pasangan

koordinat yang di dapat ke bidang kartesius


posisi untuk keempat kasus yang diberikan.


kasus 1 dan 2 serta grafik kasus 1 dan 3 masing-

masing dalam satu bidang.

Kelompok kurang lengkap dalam memberikan keterangan grafik, yaitu kurang tepat menyatakan

keterangan sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦, tidak

menuliskan koordinat sumbu-𝑥, dan tidak

menyatakan keterangan nama fungsi grafik.

K03

(S8, S10, S11, S17,

S29)


pasangan koordinat (𝑡, 𝑦(𝑡)) untuk ketiga kasus yang diberikan dan membuatnya dalam bentuk


60

Subjek Keterangan

tabel. Namun, kelompok tidak menuliskan secara

lengkap pasangan titik-titik untuk kasus 1 dan 3

dalam tabel.




Kelompok belum tepat menggambarkan grafik

sesuai dengan perintah soal, yaitu tidak

menggambar grafik kasus 1 dan 3 dalam satu

bidang kartesius.


keterangan sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦, tidak lengkap

menuliskan koordinat sumbu-𝑥 (hanya menuliskan

koordinat yang memotong sumbu-𝑥), dan hanya menyatakan keterangan nama fungsi grafik untuk

kasus 2.

K04

(S2, S9, S23, S25, S28)



tabel.




Kelompok tepat menggambarkan grafik sesuai

dengan perintah soal, yaitu menggambar grafik




keterangan sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦, menuliskan

koordinat sumbu-𝑥 pada kurva bukan di sumbu, dan

tidak lengkap menuliskan angka pada sumbu-𝑦

(hanya 1,0, −1).

K05

(S6, S15, S18, S19,

S24)



tabel.

Kelompok dapat menghubungkan pasangan

koordinat yang di dapat ke bidang kartesius




61

Subjek Keterangan




Kelompok kurang lengkap dalam memberikan

keterangan grafik, yaitu tidak menyatakan

keterangan sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦.

K06

(S3, S5, S12, S20)



tabel.



posisi untuk ketiga kasus yang diberikan. Grafik

yang digambar terlihat kurang halus (smooth).

Kelompok tepat menggambarkan grafik sesuai

dengan perintah soal, yaitu menggambar grafik



Kelompok kurang tepat menyatakan keterangan

sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦 dan hanya memberi keterangan sumbu di gambar grafik kasus 1 dan 2.

Rangkuman hasil analisis tersebut, yaitu


nomor 2: menggambar grafik fungsi massa terhadap waktu

Keterangan Subjek Jumlah

Tepat menggambar grafik ke bidang kartesius

untuk semua kasus sesuai dengan perintah soal,

namun tidak lengkap menuliskan keterangan pada

gambar grafik.

K01, K02, K04,

K05, K06

5

Tepat menggambar grafik ke bidang kartesius

untuk semua kasus, namun tidak sesuai dengan

perintah soal dan tidak lengkap menuliskan

keterangan pada gambar grafik.

K03 1

Berdasarkan hasil analisis yang pada Tabel 4.3 dan Tabel 4.4, maka terlihat

bahwa semua kelompok dapat menyajikan dengan tepat grafik fungsi posisi massa


62

terhadap waktu untuk semua kasus yang diberikan. Namun, semua kelompok

kurang lengkap memberikan keterangan pada gambar grafik yang telah dibuat. Jika

dirangkum, maka kekurangan yang dibuat oleh sebagian besar kelompok adalah

tidak menyatakan keterangan pada sumbu-𝑥 dan sumbu-𝑦, tidak menuliskan

koordinat sumbu-𝑥, dan tidak memberikan keterangan nama fungsi grafik.

Selanjutnya, beberapa kesalahan yang dilakukan oleh satu kelompok tertentu

adalah tidak menuliskan secara lengkap pasangan titik-titik untuk kasus 1 dan 3

dalam tabel, menggambarkan grafik dengan tajam (bukan kurva mulus), dan belum

tepat menggambarkan grafik sesuai dengan perintah soal, yaitu tidak menggambar

grafik kasus 1 dan 3 dalam satu bidang kartesius.

Berikut adalah hasil jawaban K03 (S8, S10, S11, S17, S29) terhadap

pertanyaan LKS nomor 2.

(a)

(b)

Gambar 4.1 Hasil jawaban K03 untuk pertanyaan LKS nomor 2


63

Apabila dibandingkan dengan jawaban kelompok lain, K03 memiliki jawaban

yang paling kurang lengkap. Seperti yang dilihat dalam Gambar 4.1, K03 tidak

menuliskan secara lengkap pasangan koordinat sesuai dengan kasus yang diberikan,

meskipun gambar grafik fungsi posisi untuk semua kasus digambar dengan tepat.

Selanjutnya, semua kelompok menggambar grafik fungsi posisi sesuai dengan

perintah yang ada di LKS, yaitu menggambarkan dua grafik dalam satu bidang atau

menggambar masing-masing grafik dalam satu bidang kartesius. Namun, hal ini

tidak dilakukan oleh K03. Kelompok tersebut tidak menggambar grafik kasus 1 dan

3 dalam satu bidang. Hal ini akan membuat kelompok kesulitan menganalisis

perbedaan dan persamaan grafik untuk membentuk suatu rumus umum.

Selanjutnya, berdasarkan hasil analisis yang telah diuraikan diatas, penulis

menyajikan persentase keberhasilan subjek secara kelompok untuk menjawab

indikator pertama soal LKS, yaitu

Tabel 4.5 Persentase keberhasilan subjek menjawab indikator pertama (LKS)

Menggambar grafik fungsi posisi massa terhadap

waktu: tepat menggambar grafik ke bidang kartesius

untuk semua kasus sesuai dengan perintah soal, namun

tidak lengkap menuliskan keterangan pada gambar

grafik.

Subjek (kelompok) 5

Persentase (%) 83,33



menentukan periode dan amplitudo masing-masing grafik

Subjek Keterangan

K01

(S1, S7, S22, S26, S27)


amplitudo dan periode ketiga kasus.

K02

(S4, S13, S14, S16, S21)


amplitudo dan periode keempat kasus.


64

Subjek Keterangan

K03

(S8, S10, S11, S17, S29)



K04

(S2, S9, S23, S25, S28)


amplitudo ketiga kasus, namun hanya tepat

menentukan periode kasus 1.

K05

(S6, S15, S18, S19, S24)



K06

(S3, S5, S12, S20)





nomor 3: menentukan periode dan amplitudo masing-masing grafik


Tepat menentukan amplitudo dan periode dari

semua kasus yang diberikan.

K01, K02, K03,

K05, K06

5

Tepat menentukan amplitudo, namun hanya dapat

menentukan dengan tepat satu periode dari ketiga

kasus yang diberikan.

K04 1

Berdasarkan hasil analisis yang pada Tabel 4.6 dan Tabel 4.7, terlihat bahwa

semua kelompok dapat menentukan dengan tepat amplitudo dan periode dari semua

kasus yang diberikan. Hanya K04 (S2, S9, S23, S25, S28) yang membuat kesalahan

dalam menentukan periode kasus 2 dan 3, sehingga hanya benar menyebutkan nilai

periode kasus 1 yang diberikan. Berikut adalah jawaban dari K04 terhadap

pertanyaan nomor 3.


65

(a)

(b)

Gambar 4.2. Hasil jawaban K04 untuk pertanyaan LKS nomor 3

Gambar 4.2 menunjukkan bahwa K04 menentukan nilai periode untuk kasus

2 dan 3 adalah 9. Seharusnya ketiga kasus memiliki periode yang sama, yaitu 8


66

detik. Penulis menganalisis bahwa kelompok hanya memperhatikan waktu dari

akhir gelombang untuk menentukan periode. Kelompok kurang memahami bahwa

periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali gelombang atau

pengertian mudahnya adalah waktu untuk menempuh satu bukit dan satu lembah.

Hal ini menyebabkan kelompok terkecoh dengan gambar grafik dari kasus 2 dan 3,

dimana grafik tersebut terbentuk dari pergeseran ke kanan dan kiri grafik kasus 1.

Kelompok akhirnya kesulitan menganalisis dan mencari hubungan antara gambar

grafik dan persamaan fungsi grafik tersebut karena sudah salah dalam menentukan

periode. Jika penentuan periode dilakukan dengan benar, maka kelompok akan

lebih mudah menjawab pertanyaan nomor 4 dan 5.



menganalisis grafik

Subjek Keterangan

K01

(S1, S7, S22, S26, S27)

Kelompok tepat menganalisis ketiga kasus, namun

kurang lengkap memberi penjelasan dalam mencari

hubungan antara persamaan fungsi dan gambar

grafik dari fungsi tersebut.

K02

(S4, S13, S14, S16, S21)

Kelompok dapat dengan tepat menganalisis dan

mencari hubungan antara persamaan fungsi dan

gambar grafik dari fungsi tersebut.

K03

(S8, S10, S11, S17, S29)

Kelompok dapat menganalisis perbedaan dan

persamaan ketiga kasus, namun tidak dapat mencari

hubungan antara persamaan fungsi dan gambar

grafik dari fungsi tersebut.

K04

(S2, S9, S23, S25, S28)

Kelompok tidak menjawab pertanyaan.

K05

(S6, S15, S18, S19, S24)

Kelompok tidak menjawab pertanyaan.

K06

(S3, S5, S12, S20)

Kelompok dapat dengan tepat menganalisis dan




67



nomor 4: menganalisis grafik


Tepat menganalisis dan mencari hubungan antara

persamaan fungsi dan gambar grafik dari fungsi

tersebut.

K02, K06 2

Tepat menganalisis semua kasus yang diberikan,

namun kurang lengkap memberi penjelasan dalam



K01 1

Dapat menganalisis perbedaan dan persamaan

semua kasus yang diberikan, namun tidak dapat



K03 1

Tidak menjawab pertanyaan. K04, K05 2

Berdasarkan hasil analisis yang pada Tabel 4.8 dan Tabel 4.9, terlihat bahwa

sebagian besar kelompok mengalami kesulitan dalam menganalisis dan mencari

hubungan antara grafik dengan persamaan fungsi grafik tersebut. Saat proses

pembelajaran berlangsung, setiap kelompok membutuhkan beberapa topangan

sebelum dapat menjawab pertanyaan nomor 4. Topangan yang diberikan berupa

penjelasan mengenai maksud pertanyaan dan meminta siswa membandingkan

gambar grafik, periode, dan amplitudo dengan bentuk fungsi grafik yang terdapat

pada masing-masing kasus. Terdapat dua kelompok yang dapat menjawab

pertanyaan nomor 4 dengan cukup tepat, yaitu K01 dan K03, serta terdapat dua

kelompok yang menjawab pertanyaan nomor 4 dengan tepat, yaitu K02 dan K06.

Berikut adalah jawaban keempat kelompok terhadap pertanyaan nomor 4.

(a)


68

(b)

(c)

Gambar 4.3 Hasil jawaban K01 untuk pertanyaan LKS nomor 3,4, dan 5


Berdasarkan Gambar 4.3 dan Gambar 4.4 terlihat bahwa K01 dan K03 dapat

mencari persamaan dan perbedaan dari kasus-kasus yang diberikan. Jawaban K01

di nomor 3 tentang besar amplitudo sekaligus menjawab pertanyaan nomor 4

tentang persamaan dari ketiga kasus yang diberikan. Selanjutnya, jawaban K01 di


69

nomor 4 kurang tepat karena kelompok menghubungkannya dengan panjang

gelombang. Ketika ditanya saat presentasi definisi dari panjang gelombang,

kelompok menjawabnya dengan menggunakan definisi periode getaran. Jadi, yang

dimaksud oleh kelompok dengan panjang gelombang sebenarnya adalah periode

getaran. Hal tersebut diperkuat dengan jawaban K01 di nomor 5. Kelompok

menuliskan perbedaan ketiga kasus adalah pada periodenya. Selanjutnya, K03

menjawab pertanyaan nomor 4 dengan menuliskan perbedaan dari ketiga kasus

adalah pada periodenya. Kelompok menuliskan persamaan grafik fungsi yang

memiliki periode berbeda satu sama lain. Selain itu, K03 menjawab pertanyaan

nomor 4 dengan menuliskan persamaan dari ketiga kasus adalah pada besar

amplitudonya.

Berdasarkan jawaban-jawaban tersebut terlihat bahwa kedua kelompok, yaitu

K01 dan K03 berhenti pada menganalisis perbedaan dan persamaan diantara

beberapa kasus. Kedua kelompok tidak menghubungkannya dengan bentuk dari

fungsi grafik di setiap kasus, sehingga kelompok kesulitan melakukan identifikasi

lebih lanjut untuk membentuk rumus umum yang menjadi tujuan LKS. Rumus yang

ditulis K01 pada jawaban nomor 5 adalah kesimpulan yang dibuat kelompok untuk

membentuk rumus umum grafik fungsi sinus berdasarkan perbedaan periode, tetapi

kelompok tidak memberikan penjelasan lebih lanjut secara tertulis. Saat presentasi,

K01 juga terlihat kesulitan memberikan penjelasan kepada kelompok lain. Hal ini

karena rumus tersebut diperoleh kelompok berdasakan topangan yang penulis

berikan saat diskusi kelompok dan tampaknya K01 susah menyampaikan

penjelasan yang penulis berikan.


70


(a)

(b)

Gambar 4.6 Hasil jawaban K06 untuk pertanyaan LKS nomor 4 dan 5

Gambar 4.5 dan Gambar 4.6 memperlihatkan bahwa K02 dan K06 dapat

menghubungkan perbedaan dan persamaan yang ditemui dengan bentuk dari fungsi

grafik. K02 langsung dapat membuat kesimpulan jika nilai di depan sin sama maka


71

ampitudonya sama dan jika 𝑥 nya sama, maka periodenya sama. Ketika

dikonfirmasikan kepada kelompok, maka yang dimaksud dengan 𝑥 adalah nilai di

depan 𝑡, K02 memisalkannya dengan 𝑥. Hal ini diperkuat dengan kesimpulan yang

diberikan di pertanyaan nomor 5. Hanya saja K02 mengganti variabel 𝑥 dengan

variabel 𝑏 sesuai dengan kesepakatan bersama.

Selanjutnya, K06 sebenarnya tidak secara jelas memberikan jawaban mengenai

hasil analisisnya di nomor 4, tetapi jika melihat jawaban pertanyaan nomor 5 dapat

diketahui bahwa K06 mengalisis dan menghubungkan grafik dengan bentuk fungsi

grafik secara lengkap. Meskipun K06 belum bisa membuat kesimpulan seperti yang

K02 lakukan.


Tabel 4.10 Analisis jawaban subjek terhadap pertanyaan LKS nomor 5: membuat

kesimpulan

Subjek Keterangan

K01

(S1, S7, S22, S26, S27)

Kelompok dapat menyimpulkan hubungan antara

besar periode grafik dan persamaan fungsi grafik,

namun kurang lengkap memberikan penjelasan.

K02

(S4, S13, S14, S16, S21)

Kelompok dapat menyimpulkan hubungan antara

besar amplitudo grafik dan persamaan fungsi grafik.

K03

(S8, S10, S11, S17, S29)

Kelompok tidak membuat kesimpulan.

K04

(S2, S9, S23, S25, S28)


K05

(S6, S15, S18, S19, S24)


K06

(S3, S5, S12, S20)

Kelompok kurang dapat menyimpulkan hubungan

antara posisi grafik dan persamaan fungsi grafik.


72



nomor 5: membuat kesimpulan


Dapat menyimpulkan hubungan antara besar

amplitudo grafik dan persamaan fungsi grafik.

K02 1

Dapat menyimpulkan hubungan antara besar

periode grafik dan persamaan fungsi grafik, namun

kurang lengkap memberikan penjelasan.

K01 1

Kurang dapat menyimpulkan hubungan antara

posisi grafik dan persamaan fungsi grafik.

K06 1

Tidak membuat kesimpulan K03, K04, K05 3

Berdasarkan hasil analisis yang pada Tabel 4.10 dan Tabel 4.11, dapat

diketahui bahwa sebagian besar kelompok tidak dapat membuat kesimpulan terkait

pembentukan rumus umum grafik fungsi sinus. Saat proses pembelajaran, penulis

menuntun siswa secara lisan untuk membentuk persamaan umum tersebut.

Terdapat 1 kelompok yang membuat kesimpulan dengan tepat setelah diberikan

beberapa petunjuk dan topangan, yaitu K02 (S4, S13, S14, S16, S21). Berikut

adalah kesimpulan yang dibuat oleh K02.


Gambar 4.7 menunjukkan bahwa K02 dapat menyimpulkan rumus umum

grafik sinus terkait dengan besar amplitudo. Nilai 𝑏 yang dikerjakan oleh K02

dibuat bersama-sama di kelas sesuai dengan topangan yang penulis berikan. Penulis


73

mengingatkan kembali nilai periode grafik sinus, kemudian menghubungkannya

dengan kasus di K01 sehingga dapat dibentuk rumus umum mencari nilai 𝑏 dari

gambar grafik.

Selanjutnya, berdasarkan hasil analisis yang telah diuraikan pada poin D.2

sampai dengan D.4, penulis menyajikan persentase keberhasilan subjek secara

kelompok untuk menjawab indikator kedua soal LKS, yaitu

Tabel 4.12 Persentase keberhasilan subjek menjawab indikator kedua (LKS)

Membentuk persamaan grafik fungsi sinus dari

masalah getaran

Menentukan

periode dan

amplitudo

Menganalisis

grafik

Membuat

kesimpulan

Subjek (kelompok) 4 2 1

Persentase (%) 83,33 33,33 15,67

Persentase Total (%) 44,44

E. Deskripsi Hasil Tes Individu dan Pembahasan

Data ini diperoleh dari hasil jawaban siswa terhadap pertanyaan-pertanyaan

yang diajukan dalam tes esai. Tes esai diberikan setelah siswa selesai mengerjakan

LKS dalam kelompok. Tes ini dikerjakan secara individu oleh 29 orang siswa-siswi

kelas XI TPB SMK Negeri 2 Depok Yogyakarta tahun ajaran 2017/2018. Tujuan

diberikannya tes ini adalah untuk mengetahui bagaimana mengetahui pemahaman

masing-masing individu dalam menyelesaikan masalah sistem harmonik sederhana

terkait penerapan grafik fungsi sinus. Berikut adalah deskripsi hasil analisis

jawaban subjek penelitian terhadap pertanyaan dalam tes esai.


74


Tabel 4.13 Analisis jawaban siswa terhadap pertanyaan tes esai nomor 1

Subjek Keterangan

S1 Tepat menentukan periode dan amplitudo.

Tepat menentukan persamaan grafik.


Tepat menentukan persamaan grafik, namun tidak terdapat proses.

S3

Tepat menentukan periode, tidak tepat menentukan amplitudo, serta tidak mencantumkan satuan periode dan amplitudo.

Tidak tepat menentukan persamaan grafik karena salah nilai

amplitudo dan tidak terdapat proses.



S5

Tepat menentukan periode dan amplitudo, namun tidak

mencantumkan satuan periode dan amplitudo.


S6

Tepat menentukan periode, tidak tepat menentukan amplitudo, serta

tidak mencantumkan satuan periode dan amplitudo.

Tidak tepat menentukan persamaan grafik karena salah nilai amplitudo dan tidak terdapat proses.

S7 Tepat menentukan periode dan amplitudo, namun tidak








S10 Tidak menjawab pertanyaan.

S11


mencantumkan satuan periode.


S12



Tidak tepat menentukan persamaan grafik dan tidak terdapat proses.









75

Subjek Keterangan










S19




S20



















mencantumkan satuan amplitudo.




S28

Tepat menentukan periode dan amplitudo, namun tidak mencantumkan satuan periode dan amplitudo.

Tidak tepat menentukan persamaan grafik, yaitu salah

menempatkan nilai d menjadi nilai c pada rumus umum persamaan

grafik sinus 𝑦 = a sin(b𝑡 ± c) ± d.

S29

Tepat menentukan periode dan amplitudo, namun salah mencantumkan satuan periode.

Tidak tepat menentukan persamaan grafik dan tidak terdapat proses.


76



nomor 1


Tepat menentukan periode, amplitudo, dan

persamaan grafik, serta mencantumkan satuan

periode dan amplitudo.

S1, S4, S8, S21,

S27

5


persamaan grafik, namun tidak mencantumkan

satuan periode dan amplitudo.

S5, S7, S9, S14,

S16, S17, S18,

S20, S22, S25

10



satuan periode.

S11, S15, S19,

S23, S24

5



satuan amplitudo.

S26 1


persamaan grafik, namun tidak terdapat proses

mengerjakan.

S02 1

Tepat menentukan periode dan amplitudo, namun

tidak tepat menentukan persamaan grafik.

S12, S28, S29

3

Hanya tepat menentukan periode dan tidak

mencantumkan satuannya.

S3, S6 2

Tidak menjawab pertanyaan. S10, S13 2

Berdasarkan hasil analisis yang pada Tabel 4.13 dan Tabel 4.14, terlihat

bahwa siswa dapat dengan tepat menentukan periode dan amplitudo dari grafik

fungsi posisi massa terhadap waktu yang diberikan di soal. Hanya saja sebagian

besar tidak mencantumkan satuan. Selain itu, hampir seluruh siswa dapat

membentuk persamaan umum grafik fungsi posisi massa terhadap waktu. Berikut

adalah beberapa jawaban siswa terhadap pertanyaan nomor 1.


77

Gambar 4.8 Hasil jawaban S4 untuk pertanyaan tes esai nomor 1


Gambar 4.8 menunjukkan jawaban dari siswa yang menjawab pertanyaan

nomor 1 dengan tepat dan lengkap. S4 menguraikan prosesnya menjawab

pertanyaan dengan runtut. Terdapat 3 siswa lainnya yang menjawab dengan tepat

dan runtut seperti S4.

Gambar 4.9 menunjukkan beberapa kesalahan yang sering dilakukan siswa

lainnya saat menjawab pertanyaan 1 (a), yaitu tepat menentukan periode dan

amplitudo tetapi tidak mencantumkan satuannya. Selanjutnya, S28 tidak tepat

membentuk persamaan grafik fungsi posisis massa terhadap waktu karena salah

menentukan nilai variabel 𝑑 menjadi nilai variabel 𝑐. Kesalahan ini juga dilakukan

oleh beberapa siswa lainnya meskipun tidak banyak.


78


Tabel 4.15 Analisis jawaban siswa terhadap pertanyaan tes esai nomor 2

Subjek Keterangan

S1 Tepat menentukan persamaan grafik.

Tidak tepat menentukan posisi massa saat 𝑡 = 20 𝑠.



S3 Tepat menentukan persamaan grafik, namun tidak terdapat proses.





Posisi massa saat 𝑡 = 20 𝑠 masih berupa persamaan yang belum

dihitung nilai sinusnya.



S7 Tidak tepat menentukan persamaan grafik karena kesalahan

menentukan amplitudo.













S15


Tidak tepat menentukan posisi massa saat 𝑡 = 20 𝑠 dan penulisan jawaban tidak terstruktur.



S17


Posisi massa saat 𝑡 = 20 𝑠 masih berupa persamaan yang belum dihitung nilai sinusnya.

S18 Tidak tepat menentukan persamaan grafik karena kesalahan

menentukan amplitudo.




79

Subjek Keterangan








S23

Tidak tepat menentukan persamaan grafik karena terdapat

kesalahan saat menentukan variabel 𝑏.
















nomor 2


Tepat menentukan persamaan grafik. S1, S2, S4, S5,

S8, S9, S11,

S14, S15, S16,

S17, S19, S20,

S21, S22, S24,

S25, S26, S27

19

Tepat menentukan persamaan grafik, namun tidak

terdapat proses mengerjakan.

S3, S6, S12,

S28, S29

5

Tidak tepat menentukan persamaan grafik. S7, S18, S23

3


tepat menentukan posisi massa saat 𝑡 = 20 𝑠.

S1, S2, S4, S7,

S8, S9, S11,

S14, S16, S18,

S19, S20, S21,

19


80


S22, S23, S24,

S25, S26, S27


tepat menentukan posisi massa saat 𝑡 = 20 𝑠 dan

penulisan jawaban tidak terstruktur.

S15 1

Tepat menentukan persamaan grafik, namun posisi

massa saat 𝑡 = 20 𝑠 masih berupa persamaan yang

belum dihitung nilai sinusnya.

S5, S17

2

Tidak menjawab pertanyaan tentang menentukan

persamaan grafik.

S10, S13 2

Tidak menjawab pertanyaan tentang menentukan

posisi massa saat 𝑡 = 20 𝑠.

S10, S12, S13 3

Berdasarkan hasil analisis yang pada Tabel 4.15 dan Tabel 4.16, menunjukkan

bahwa hampir semua siswa dapat menentukan dengan tepat persamaan grafik

fungsi posisi massa terhadap waktu yang diberikan dalam soal. Namun, semua

siswa tidak dapat menentukan posisi massa saat detik ke−20. Hal ini karena mereka

terkendala menghitung nilai sin 900, sehingga jawaban akhir yang diberikan salah.

Namun, sebagian besar proses siswa mengerjakan soal nomor 2 (b) sudah tepat.

Siswa sudah mengerti bagaimana cara menyelesaikan masalah yang diminta pada

soal. Berikut adalah beberapa jawaban siswa terhadap pertanyaan nomor 2.


81



Gambar 4.10 dan Gambar 4.11 menunjukkan bahwa subjek dapat

menentukan persamaan grafik pada soal dengan tepat. Hanya saja S4 menjelaskan

proses secara runtut untuk membentuk persamaan grafik, sedangkan S28 tidak

menjelaskan proses secara lengkap. Sebagian besar subjek menjawab secara

lengkap seperti yang dilakukan oleh S4.


82

Selanjutnya, sama seperti semua subjek yang lain, S4 dan S28 salah menjawab

pertanyaan 2 (b). Hal ini karena subjek salah menentukan nilai sin 900. Namun,

semua subjek mengetahui bagaimana harus menyelesaikan pertanyaan 2 (b), yaitu

dengan mensubstitusikan nilai 𝑡 dengan 20. Akan tetapi, hanya beberapa subjek

yang menuliskannya secara lengkap seperti S4. Sebagian besar subjek hanya

mensubstitusikan nilai 𝑡 tanpa memberi keterangan.

Berdasarkan hasil analisis yang telah diuraikan di poin E.1 dan E.2, penulis

menyajikan persentase keberhasilan subjek secara kelompok untuk menjawab

indikator pertama dan kedua soal tes esai, yaitu

Tabel 4.17 Persentase keberhasilan subjek menjawab indikator pertama (tes esai)

Membentuk persamaan grafik fungsi sinus dari

masalah getaran

Soal nomor 1 Soal 2 (b)

Subjek 21 19

Persentase (%) 72,41 65,52

Persentase Total (%) 68,97

Tabel 4.18 Persentase keberhasilan subjek menjawab indikator kedua (tes esai)

Menyelesaikan masalah terkait penerapan grafik fungsi

sinus: tepat menentukan persamaan grafik, namun tidak

tepat menentukan posisi massa

Subjek 19

Persentase (%) 65,52

F. Refleksi

Selama penyusunan tesis ini, ada beberapa hal yang mengubah pandangan

penulis dalam melakukan penelitian. Pertama, berdasarkan bimbingan dari dosen

pembimbing tesis, penulis memulai penelitian dengan menuliskan ide pokok

penelitian dalam format jurnal, setelah itu baru mengembangkannya dalam bentuk


83

karya ilmiah tesis. Awalnya penulis merasa terlalu fokus menyusun jurnal bukan

menyusun tesis. Ketika hasil penelitian lolos untuk terbit dalam jurnal internasional

bereputasi, penulis baru menyadari bahwa apa yang penulis kerjakan selama ini

merupakan bagian juga dalam penyusunan tesis dan tidak menghambat proses

penyusunannya. Penulis menjadi tahu bahwa penelitian ini layak untuk dikerjakan

dalam bentuk karya ilmiah tesis karena pasti terdapat keterbaruan di dalamnya.

Selain itu, penyusunan hasil penelitian tersebut ke dalam format tesis tidak

membutuhkan waktu yang lama seperti perkiraan awal, sebab semua ide pokok

sudah tertuang dalam jurnal. Penulis hanya perlu mengembangkannya dalam

bentuk karya ilmiah tesis. Proses ini memberikan penulis pengalaman baru dalam

melakukan penelitian untuk penyusunan tugas akhir.

Kedua, selama melakukan penelitian aspek pendidikan untuk tesis ini, penulis

merasa lebih mandiri dalam menemukan ide pembelajaran dan menganalisis data

penelitian. Tidak mudah bagi penulis menghubungkan kajian matematis tesis ini

untuk pembelajaran di tingkat sekolah menengah. Penulis juga dikejar waktu karena

telah mendapatkan izin dari sekolah untuk melakukan pengambilan data setelah

Ujian Tengah Semester (UTS). Ketika izin tersebut keluar, materi untuk penelitian

belum siap dan beberapa kali penulis mengubah materi pembelajaran karena tidak

sesuai dengan fenomena dalam kajian matematis tesis ini. Akhirnya, dosen

pembimbing menyarankan untuk fokus saja pada fenomena getaran. Penulis sempat

merasa putus asa karena begitu sulitnya menemukan ide untuk membuat

pembelajaran yang terkait dengan fenomena getaran. Setelah itu, hampir setiap hari

penulis mencoba berdiskusi dan bertukar pendapat dengan teman mengenai ide


84

pembelajaran yang sesuai secara materi dan tingkat pemahaman siswa SMK. Proses

diskusi tersebut sangat membantu penulis mengeluarkan ide-ide pembelajaran,

sampai akhirnya penulis memutuskan materi grafik trigonometri fungsi sinus

sebagai materi pembelajaran yang sesuai dengan materi tesis dan tingkat

pemahaman siswa sekolah menengah. Kemudian, penulis menyusun rencana

pembelajaran dan mempersiapkan instrumen pembelajaran (LKS dan tes esai).

Penulis meminta saran kepada teman dan dosen pembimbing demi sempurnanya

rencana pembelajaran tersebut.

Ketika pengambilan data penelitian untuk aspek pendidikan selesai dilakukan,

penulis kembali menemui kendala tentang bagaimana sebaiknya menganalisis data

tersebut. Hal ini karena penulis tidak memiliki pengalaman mengolah data

penelitian pendidikan untuk tugas akhir. Penulis kembali melakukan diskusi dengan

teman dan mencari tahu sendiri cara analisis yang sesuai dengan tujuan penelitian.

Akhirnya, selama kurang lebih dua bulan, penulis berhasil menganalisis dan dapat

mengambil kesimpulan mengenai proses dan hasil pembelajaran matematika yang

berhubungan dengan kajian matematis tesis ini. Penelitian aspek pendidikan ini

mengajarkan kepada penulis untuk membuat keputusan dalam menentukan

langkah-langkah penelitian secara mandiri, dimana sebelumnya penulis sering

mengandalkan arahan dari dosen pembimbing. Hal ini memunculkan harapan dan

keinginan penulis untuk dapat membuat suatu karya ilmiah secara mandiri pula di

masa mendatang.


85

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Berdasarkan penelitian dan hasil pembahasan yang telah dilakukan, maka

dapat disimpulkan bahwa:

1. Metode beda pusat dan metode Heun masing-masing memiliki keakuratan

tingkat dua untuk menyelesaikan masalah getaran yang dimodelkan dalam

persamaan diferensial biasa. Kedua metode ini menghasilkan solusi yang lebih

akurat daripada metode beda maju dan metode Euler yang masing-masing

hanya memiliki keakuratan tingkat satu.

2. Proses pembelajaran matematika yang dilakukan pada materi grafik fungsi

trigonometri sinus menggunakan fenomena getaran di kelas XI TPB SMK

Negeri 2 Depok, Yogyakarta adalah

a. guru menyampaikan manfaat pemodelan secara umum dan secara khusus

pada materi tesis,

b. guru mereview materi trigonometri di kelas X tentang menggambar grafik

fungsi 𝑦 = sin𝑥, menentukan amplitudo, dan periode grafik,

c. guru membagi siswa dalam kelas menjadi enam kelompok dan setiap

kelompok terdiri dari 4-5 orang,

d. setiap kelompok diberi LKS sebagai bahan diskusi yang memiliki tugas

berbeda satu sama lain,

e. setiap kelompok mempresentasikan hasil diskusi kelompoknya,


86

f. guru dan siswa bersama-sama membentuk persamaan umum grafik fungsi

trigonometri sinus,

g. setiap siswa mengerjakan soal tes esai.

3. Deskripsi hasil belajar siswa kelas XI TPB SMK Negeri 2 Depok, Yogyakarta

setelah mengikuti pembelajaran matematika materi grafik fungsi trigonometri

sinus menggunakan fenomena getaran adalah

a. 83,33% kelompok dapat tepat menggambar grafik ke bidang kartesius

untuk semua kasus sesuai dengan perintah soal, namun tidak lengkap

menuliskan keterangan pada gambar grafik.

b. 44,44% kelompok dapat membentuk persamaan grafik fungsi sinus dari

masalah getaran.

c. 68,97% siswa dapat membentuk persamaan grafik fungsi sinus dari

masalah getaran.

d. 65,52% siswa dapat tepat menentukan persamaan grafik, namun tidak

tepat menentukan posisi massa.

B. Saran

Adapun beberapa saran yang dapat penulis berikan untuk penelitian

selanjutnya, yaitu:

1. Penelitian ini menganalisis kinerja metode beda hingga dan Runge-Kutta untuk

menyelesaikan persamaan diferensial dari masalah getaran tanpa melibatkan

gaya gesek. Oleh karena itu, penelitian selanjutnya dapat menentukan metode


87

akurat untuk menyelesaikan persamaan diferensial dari masalah getaran yang

melibatkan gaya gesek.

2. Penelitian selanjutnya dapat mengembangkan pembelajaran matematika

menggunakan fenomena nyata yang lain agar siswa mampu menemukan

keterkaitan antara matematika dan penerapannya dalam kehidupan sehari-hari.


88

DAFTAR PUSTAKA

Ahmad, Najmuddin dan Charan, Shiv, 2017, A Comparative Study on Numerical

Solution of Ordinary Differential Equation by Different Method with Initial

Value Problem, International Journal of Recent Scientific Research, 10, 8:

21134-21139.

Chapra, S. C. dan Canale, R. P., 2015, Numerical Methods for Engineers, Seventh

Edition, United States of America: McGraw-Hill Education.

Devaney, R. L., 2011, Mastering Differential Equations: The Visual Method,

United States of America: The Great Courses.

Gunawan, Imam, 2013, Metode Penelitian Kualitatif: Teori dan Praktik, Jakarta:

PT Bumi Aksara.

Islam, Amirul Md., 2015, A Comparative Study on Numerical Solutions of Initial

Value Problems (IVP) for Ordinary Differential Equations (ODE) with Euler

and Runge Kutta Methods, American Journal of Computational Mathematics,

5: 393-404.

Lakshmi, R. dan Muthuselvi, M., 2013, Numerical Solution for Boundary Value

Problem Using Finite Difference Method, IJIRSET, 10, 2: 5305-5313.

LeVeque, R. J., 2007, Finite Difference Methods for Ordinary and Partial

Differential Equations Steady-State and Time-Dependent Problems, United

States of America: SIAM.

Marwan dan Munzir, Said, 2009, Persamaan Diferensial, Yogyakarta: Graha Ilmu.

Mathews, J. H., 1987, Numerical Methods for Computer Science, Engineering, and

Mathematics, United States of America: Prentice-Hall, Inc.

Radityani, S. L. R. dan Mungkasi, S., 2017, Finite Difference and Runge kutta

Methods for Solving Vibration Problems, J. Phys.: Conf. Ser., 909: 012044.

Roberts, C. E, 2010, Ordinary Differential Equations: Application, Models, and

Computing, New York: CPR Press Taylor & Francis Group.

Ross, S. L., 1989, Introduction to Ordinary Differential Equations, Fourth Edition,

United States of America: John Wiley & Sons, Inc.

Supriyadi, B. dan Mungkasi, S., 2016, Structural Dynamic Modification using

Matrix Perturbation for Vibrations without Friction, J. Phys.: Conf. Ser., 776:

012078.

Yizengaw, N., Convergence Analysis of Finite Difference Method for Differential

Equation, J. Phys. Math., 3, 8: 1000240.


kajian matematis dan aspek pendidikan ...repository.usd.ac.id/31598/2/161442012_full.pdfmateri...

Documents