INTEGRAL GARIS

Penghitungan integral kompleks merupakan dasar untuk memahami konsep-konsep topologi

elementer seperti kurva mulus, lintasan dan orientasi suatu lintasan, definisi dan cara-cara

menghitung integral garis. Sebelum membicarakan integral garis, terlebih dahulu akan dibahas

kurva, kurva mulus, lintasan, dan orientasi suatu lintasan.

1. Kurva

Kurva (lengkungan) C di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk parameter,

yaitu :

C : F⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y ( t ) j⃗ dengan x=x ( t ) dan y= y ( t ) , a≤t≤b , x dan y kontinu pada [a , b ] . Kurva C disebut kurva mulus , jika x dan y kontinu pada selang tertutup [a , b ] .

2.

Lintasan

DEFINISI 1: Fungsi f :[ a , b ]→R disebut kontinu bagian demi bagian, jika terdapat partisi P={x0 , x1 , xn , .. . , xn} dari selang [a , b ] sehingga f kotinu pada selang terbuka ( x i , x i−1 ), i=1, 2 , 3 , .. . , n .

Berdasarkan definisi tersebut, kurva C disebut kurva mulus bagian demi bagian jika di

dalam x=x ( t ) dan y= y ( t ) , a≤ t≤b , berlaku x dan y kontinu bagian demi bagian pada

[a,b]. Kurva mulus bagian demi bagian disebut lintasan. Pada kurva C dengan

x=x ( t ) dan y= y ( t ) , a≤t≤b , titik (x(a), y(a)) disebut titik pangkal kurva C dan titik (x(a),

y(b)) disebut titik ujung kurva C.

Kurva C disebut tertutup sederhana, jika berlaku:

( i) ( x ( t1) , y( t1 )) ≠ (x ( t2 ), y ( t2 )) untuk setiap t1 ,t2 ∈ (a , b )

( ii ) (x (a ) , y (a ))=( x (a ), y (b))

3. Orientasi Lintasan

DEFINISI 2 : Suatu lintasan tertutup sederhana C disebut berorientasi positif

jika C ditelusuri dari titik awal ke titik akhir maka interiornya

1

terletak di sebelah kiri C, sebaliknya berorientasi negatif.

4. Integral Garis

Misalkan C : F⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y ( t ) j⃗ y , a≤t≤b , adalah kurva mulus dan M

permukaan terbatas yaitu paling sedikit terdefinisi pada kurva C.

Kontruksi integral garis ∫C

M ( x , y )dx.

(a) Buatlah partisi Δ untuk selang [a,b] dengan titik pembagian

a=t 0<t 1<t 2< .. . <t n= b selang bagian ke-I dari partisi Δ adalah [ t i - 1 , t i ] dan

panjang partisinya ‖Δ‖ dengan ‖Δ‖ =maks Δt i≤i≤n .

(b) Kurva C terbagi atas n bagian yaitu P0 P1 , P1 P2 ,. .. , Pi - 1 Pi ,. . . , Pn - 1 Pn .

(c) Pilih Pi¿=(c i , d i ) ∈ Pi−1 Pi , i=1, 2 , 3 , .. . , n .

(d) Didefinisikan jumlah ∑i=1

n

M (ci , d i )Δx i , Δxi=x i−x i - 1 dimana x i absis Pi dan

xi - 1 absis Pi−1 , i=1 , 2 , 3 , .. . , n .

(e) Tentukan lim

‖Δ‖→0∑i=1

n

M (c i , d i) Δxi

Jika limit ini ada, maka M terintegralkan pada C. Dalam kasus M terintegralkan pada C,

integral garis dari M(x,y) pada C didefinisikan dengan

∫C

M ( x , y )dx= lim‖Δ‖→0

∑i=1

n

M (c i , d i )Δxi

∫C

M ( x , y )dx artinya proyeksi daerah di bawah permukaan z = M (x,y) dan di atas

kurva C pada bidang XOY yang menghasilkan daerah di atas sumbu X.

2

DEFINISI 3: Diberikan kurva mulus C : F⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y ( t ) j⃗ , a≤t≤b . Jika z=M ( x , y ) permukaan terbatas pada C, maka ;

(a) ∫C

M ( x , y )dx= lim‖Δ‖→ 0

∑i=1

n

M ( x( t i¿ ) , x '( t i

¿)) Δt i

=∫C

M ( x (t ), y ( t )) . x ' ( t )dt

(b) ∫C

M ( x , y )dy= lim‖Δ‖→ 0

∑i=1

n

M ( x( t i¿ ) , y ' ( t i

¿ )) Δt i

=∫C

M ( x (t ), y ( t )) . y ' ( t )dt

` Apabila lintasan integral yang diberikan bukan dalam bentuk parameter, tetapi berbentuk

y = f(x) dan x = g(y) dengan titik awal (a,b) dan titik akhir (c,d) , maka dengan subtitusi

diperoleh :

( i) ∫C

M ( x , y )dx= ∫a

c

M ( x , f ( x ))dx= ∫b

d

M ( g( y ), y ) . g '( y )dy

( ii ) ∫C

M ( x , y )dy= ∫b

d

M ( g( y ), y )dy= ∫a

c

M ( x , f ( x )) . f ' ( y )dx

5. Sifat – sifat Integral Garis ∫C

M ( x , y )dx :

(a) C tetap, integral M dipandang sebagai variabel ;

(a . 1) Jika M kontinu dan C terbatas maka ∫C

M ( x , y ) d x ada

(a . 2) ∫C

[M ( x , y )+N ( x , y ) ] dx= ∫C

M ( x , y )dx+ ∫C

N ( x , y )dx

(a . 3) ∫C

kM( x , y )dx= k∫C

M ( x , y ) d x , k∈R

(b) M tetap, C dipandang sebagai variabel ;

3

Misalkan kurva mulus C : F⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y ( t ) j⃗ , a≤t≤b , maka;

(b.1) (x(a), y(a)) titik pangkal dari C dan (x(b), y(b)) titik ujung dari C.

Perubahan t dari a ke b menghasilkan orientasi dari C. Perubahan t

dari b ke a, akan diperoleh kurva yang sama dengan orientasi yang

berlawanan.

(c ) Jika M kontinu, |M ( x , y )| ≤ k untuk setiap (x , y ) ∈ C , C terbatas dan |C| panjang kurva C , maka |∫

CM ( x , y )dx| ≤ k .|C|.

4

(x(b), y(b))C

-C

(x(a), y(a))

(b . 2) Jika C1 : F⃗ ( t )=x1( t ) i⃗ + y1 ( t ) j⃗ , a1≤t≤b1 , dan C2 : F⃗ ( t )=x2 (t ) i⃗ + y2( t ) j⃗ , a2≤t≤b2 , dengan ( x1(b1) , y1(b1)) = ( x1(b1) , y2(b1) ) , maka C=C1+ C2 .

Secara sama didefinisikan C= ∑i - 1

n

C1 .

(b . 3) ∫- C

M ( x , y )dx = - ∫C

M ( x , y )dx

(b . 4 ) ∫C1+C2

M ( x , y )dx= ∫C1

M ( x , y )dx+∫C2

M ( x , y )dx

Contoh :

Tentukan integral garis terhadap kedua pengubah bagian fungsi M(x,y) = 2x + y2 sepanjang

kurva C = C1 + C2 + C3 dimana;

C1 : Busur lingkaran x2 + y2 = 4 dengan orientasi negatife dari ( -2,0) ke ( 2,0 )

C2 : Ruas garis lurus dari ( 2,0 ) ke ( -2, -2 )

C3 : Ruas garis lurus dari ( -2, -2 ) ke ( -2,0 )

Penyelesaian :

∫C

M ( x , y )dy= ∫C

(2 x+ y 2)dy

= ∫C1

(2 x+ y2)dy+∫C2

(2 x+ y2 )dy+∫C3

(2 x+ y2)dy

dengan C1 : x2 + y2 = 4 , x : - 2 →2 di ubah dalam bentuk parameter, yaitu

C : F⃗ ( t )=x ( t ) i⃗ + y ( t ) j⃗

C1 : F⃗ ( t )=2cos t i⃗ − 2 sin t j⃗ sehingga diperoleh x = 2 cos t dan y = - 2 sin t

berdasarkan definisi 5.3 (b) maka dengan demikian diperoleh,

∫C

M ( x , y )dy=∫C

M ( x ( t ) , y ( t ) ). y ' ( t )dt

∫C

(2 x+ y2 )dy=∫π

2 π

(2(2 cos t )+(-2sin t2 )) .(−2cos t ) dt

¿∫π

2 π

(4 cos t+ 4 sin t2 ).(−2 cos t ) dt

¿∫π

2 π

(−8 cos2 t− 8 sin t2 cos t ) dt

¿−4∫π

2 π

(1− cos 2t ) dt− 8∫π

2 π

s in2 t . d (sin t )

¿−4 [ t +12

sin 2t ]π

2 π

− [83

sin3 t ]π

2 π

5

¿ [−4 ( 2π+ 12

sin 4 π )+ 4 (2 π+ 12

sin 4 π )] − [( 83

sin3 2π )+( 83

sin3 π )]¿ - 8 π+4 π−0

¿ - 4 π

C2 : ( 2,0 ) ke ( -2, -2 )

Maka persamaan garisnya, yaitu;

C2 : y= 12

x−1 , x : 2 →−2 , y : 0 →−2

Dengan demikian diperoleh,

∫C2

M ( x , y )dy=∫0

−2

(2 x+ y2)dy

=∫0

−2

(2(2 y+2)+ y2)dy

=∫0

−2

(4 y+4+ y2 )dy

=∫0

−2

( y+2)2 . d( y+2 )

=[ 13( y+2)3]0

−2

=[ 13( -2+2 )3− 1

3( 0+2)3 ] = −1

3( 8)

= −2 2

3

C3 : ( -2, -2 ) ke ( -2, 0 )

Maka persamaan garisnya, yaitu;

C3 : x : −2 , y : - 2 →0

Dengan demikian diperoleh,

∫C3

M ( x , y )dy=∫−2

0

(2 x+ y2)dy

6

= ∫−2

0

(2(−2)+ y2 )dy

=∫−2

0

(−4+ y2 )dy

=[-4y + 13

y3]−2

0

=[( -4 (0 )+13(0 )3 )− (-4 (-2 )+ 1

3( -2 )3 )]

= −163

= −5 13

Jadi , ∫C

M ( x , y )dy= ∫C

(2 x+ y 2)dy= ∫C1

(2 x+ y2)dy+∫C2

(2 x+ y2 )dy+∫C3

(2 x+ y2)dy

= 4 π -2 23

−5 13 = −4 π−8

Arti dari ∫C

(2x+ y2 )dy= −4 π−8 adalah proyeksi daerah di bawah z = 2x + y2 dan di atas C

pada bidang YOZ yang menghasilkan daerah di bawah sumbu Y.

Soal Latihan.

1. Hitunglah ∫C

y dy+( x− y )dyjika ;

a. C adalah busur parabola x = y2 dari (0,0) ke (4,2)

b. C adalah garis lurus dari (4,2) ke (0,0)

c. C adalah garis lurus dari (0,0) ke (4,0) dilanjutkan dari (0,4) ke (4,2)

Jawaban:

(1.a) Penyelesaian :

∫C

y dy+( x− y )dy = ∫C

y dy+∫C( x− y )dy

7

= ∫C

[ y+( x− y )] dy

= ∫C

x dy , subtitusi busur parabola x = y2

= ∫C

y2 dy ,karena integral terhadap dy maka batasnya dari 0 sampai 2

= ∫0

2

y2dy

= [ 13

y3 ]02

= 83

(1.b) Penyelesaian :

Gradien garis (m) =

y2− y1

x2−x1 = 0−2

0−4 = −2

−4 = 1

2

Maka persamaan garis ;

y = m x

y=12

x → x=2y

∫C

x dy =∫2

0

2y dy = [ y2]20

= −4

(1.c) Penyelesaian :

Gradien garis (m1) =

y2− y1

x2−x1 = 0−0

0−4 = 0

−4 = 0

Maka persamaan garis ;

y = 0

8

Gambar (1.a)

x = y2

x

y

0

2

4

Gambar (1.b)

y

x

y=12

x

P (4,2)

O (0,0)

2

4

Gradien garis (m2) =

y2− y1

x2−x1 = 2−4

4−0 = −2

4 = −1

2

Maka persamaan garis ;

y− y1=m( x−x1 )

y−2 = −12

( x−4 )

y =− 12

x+2+2

y =−12

x + 4 → x= −2y+8

∫C

x dy =∫4

2

(−2y+8 ) dy

= [− y2+8y ]42

= −4

2. Tentukan integral garis fungsi M(x,y)= x+y sepanjang lintasan C+K dengan

C : garis dari (0,0) ke (2,0) dan K: garis dari (2,0) ke (2,2).

Penyelesaian :

C : y = 0 , 0≤ x ≤2

K : x = 2 , 0≤ y ≤2

Pada kurva C :dy=0 dan pada kurva K : dx=0

∫C+ K

M ( x , y )dx= ∫C

M ( x , y )dx+∫K

M ( x , y )dx

= ∫C

( x+ y )dx

= ∫0

2

x dx

9

4xy

21

Gambar (1.c)

y

x

4

0

2

4

Gambar (2)

0

y

x

K

C

2

2

= [ 12

x2]02

= 2

∫C+ K

M ( x , y )dy= ∫C

M ( x , y )dy+∫K

M ( x , y )dy

= ∫K

( x+ y )dy

= ∫0

2

(2+ y ) dy

= [2y + 12

y2 ]02

= 6

3. Tentukan besarnya usaha yang dilakukan medan vektor (gaya). F (x,y) = (x+2y) i + (x-y)

j untuk memindahkan partikel sepanjang kurva (lintasan) C yang diberikan dengan persamaan : x

= cos t, y = 4 sin t dengan 0 ≤ t ≤ π4 .

Penyelesaian :

W =∫C

( x+2y )dx+(x− y )dy

=∫0

π4

[(2cost+8sint )(−2sint )+(2cost−4sint )( 4cost) ]dt

= ∫0

π4

[(−4cost . sint−16sin2 t )+(8cos2 t−16sint .cost )] dt

=∫0

π4

(−2 sin2t+8 cos2t−8+4 cos2t+4−8 sint )dt

= [−cos2t−4sin2t−8t−2sin2t+4t−8cost ]0π4

=3 − π− 4√2

10

11