ISBN: 978-979-792-552-9

Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah

FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014

6

Teorema Dasar Integral Garis

Erdawati Nurdin

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UIR

da_1910@yahoo.com

Abstrak

Salah satu generalisasi integral tentu (definite integral) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 diperoleh dengan

mengganti himpunan [a,b] dengan kurva C pada bidang xy (R2). Integral yang

dihasilkan C dxF disebut dengan integral garis (line integral), juga sering disebut

integral kurva (curve integral). Seperti halnya pada integral biasa, pada integral garis

juga terdapat teorema yang mendasar dalam perhitungan integral garis. Teorema

tersebut sering disebut Teorema Dasar untuk Integral Garis. Dalam makalah ini

dibuktikan teorema dasar untuk integral garis tersebut.

Kata kunci: Integral tentu, teorema dasar integral, integral garis.

1 Pendahuluan

Salah satu jenis generalisasi integral tentu (definite integral) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎 diperoleh

dengan mengganti himpunan [a,b] yang diintegralkan menjadi himpunan berdimensi

dua dan berdimensi tiga. Hal ini menuntun ke integral lipat-dua atau integral lipat-tiga.

Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh dengan menggantikan [a,b] dengan

kurva C pada bidang xy (R2). Integral yang dihasilkan C dxF . disebut dengan integral

garis (line integral), juga sering disebut integral kurva (curve integral).

Cara yang paling mendasar dalam menghitung integral tentu biasa adalah teorema

dasar kalkulus dua. Dalam bentuk simbol dapat dinyatakan dengan

b

adxxf )( = f(b) – f(a)

Analog dengan hal tesebut, pada integral garis juga terdapat teorema yang

mendasar dalam perhitungan integral garis. Teorema tersebut sering disebut “Teorema

Dasar untuk Integral Garis”, yang berbunyi :

Misalkan C adalah sebuah kurva mulus sepotong-sepotong yang dinyatakan

dengan (x(t), y(t)) untuk t [a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b.

ISBN: 978-979-792-552-9

Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah

FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014

7

misalkan f(x, y) : R2R

2 terdiferensial secara kontinu pada himpunan

terbuka yang mengandung C, maka

Cdxf . = f(b) – f(a)

Dalam makalah ini akan dibuktikan Teorema Dasar untuk Integral Garis. Namun

sebelum itu, akan dibahas beberapa hal yang mendukung pembuktian tersebut,

diantaranya fungsi vektor, hasil kali titik (dot product), medan vektor, fungsi vektor

yang kontinu, operator diferensial vektor dan aturan rantai.

Definisi 2.1. Misalkan f dan g adalah dua fungsi bernilai rill dengan peubah t. Maka

untuk setiap bilangan t dalam daerah definisi bersama dari f dan g terdapat suatu vektor

F yang didefinisikan oleh

F(t) = f(t) i + g(t) j

Dan F dinamakan fungsi vektor.

Definisi 2.2. Jika A = (a1,a2) dan B = (b1,b2) adalah dua vektor di V, maka hasil kali titik

dari A dan B dinyatakan dengan

A.B = (a1,a2).(b1,b2)

= a1b1 + a2b2

Definisi 2.3. Jika F suatu fungsi vektor yang didefinisikan di R2 sehingga

F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j

maka F mengaitkan setiap titik (x,y) dengan suatu vektor. F disebut medan vektor.

Definisi 2.4. Operator diferensial vektor dilambangkan dengan (dibaca: del),

didefinisikan dengan

= jy

ix

Operator diferensial vektor juga disebut nabla.

Definisi 2.5. Fungsi F(t) = f(t)i + g(t)j dikatakan kontinu di titik t = c, jika memenuhi

ketiga syarat berikut:

1. F(t) terdefinisi di t = c (F(c) ada)

2. )(lim tFct

ada

3. F(c) = )(lim tFct

ISBN: 978-979-792-552-9

Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah

FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014

8

Teorema 2.6. Misalkan x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t, dan misalkan z

= f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t),y(t)) dapat didiferensialkan

di t, dan

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Bukti: Misalkan p = (x,y)

p = ( x, y)

z = f(p + p) – f(p)

Karena f dapat terdiferensialkan maka,

z = f(p + p) – f(p)

= f(p). p + ( p). p

= fx(p) x + fy(p) y + ( p). p

Dengan ( p) 0 dan p 0

Jika kedua ruas dibagi dengan t, maka diperoleh

t

z

=

t

y

t

xp

t

ypf

t

xpf yx ,).()()(

Selanjutnya,

t

y

t

x, mendekati

dt

dy

dt

dx, ketika t0. dan ketika t0, x dan

y mendekati 0 (karena x(t) dan y(t) kontinu, dapat didiferensialkan). Jadi p0,

sehingga ( p)0 ketika t0. Dengan demikian, ketika t0 diperoleh :

dt

dz=

dt

dypf

dt

dxpf yx )()(

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

▄

2 Pembahasan

Definisi 3.1. Misalkan F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) : R2 R

2 sebuah medan vektor yang

kontinu dan misalkan kurva C dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t [a,b]. Maka

integral garis F sepanjang C dinotasikan dengan :

C dxF . atau C

dyQdxP

dan dinyatakan dengan

ISBN: 978-979-792-552-9

Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah

FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014

9

C dxF . = b

adtytxtytxQtytxP ))),((.))(),(()),(),((( ''

= b

adttytytxQtxtytxP )())(),(()())(),(( '' (12)

Contoh 3.1. Hitunglah integral garis (P(x, y), Q(x, y)) = (x + y, xy) sepanjang parabola

seperti pada Gambar 3. 1, dimana x(t) = t dan y(t) = t2, t [0 , 2].

Gambar 3.1. Parabola y(t) = t

2

Penyelesaian :

Karena x(t) = t maka x’(t) = 1

y(t) = t2 maka y

’(t) = 2t

t [0 , 2].

sehingga

C

dyQdxP = 2

0

32 )2,1(.),( dttttt

= 2

0

42 2 dtttt

=

2

0

532

5

3

3

1

2

1ttt

= )0()2(5

3)2(

3

1)2(

2

1 532

=15

715

Definisi 3.2. Misalkan C adalah kurva mulus sepotong-sepotong, yaitu terdiri dari

beberapa kurva mulus C1, C2, … , Cn. Maka integral garis F(x, y) sepanjang C

didefinisikan sebagai jumlah dari integral-integral pada masing-masing kurva. Dapat

dinotasikan dengan

C dxF . = 1

.C

dxF + 2

.C

dxF + … + nC

dxF .

=

n

iCi

dxF1

.

3

2

4 t = 2

t = 0 1

1 2

C

4

ISBN: 978-979-792-552-9

Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah

FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014

10

Teorema 3.1. Misalkan C adalah sebuah kurva mulus sepotong-sepotong yang

dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t [a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b.

misalkan f(x, y) : R2R

2 terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka yang

mengandung C, maka

Cdxf . = f(b) – f(a)

Teorema ini biasa disebut sebagai teorema dasar untuk integral garis.

Bukti: Karena C adalah kurva yang dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t [a, b] maka

Cdxf . =

b

adtytxtytxf ))),((.)(),(( '' (1)

Berdasarkan Teorema 2.6, karena f dan C fungsi yang terdiferensial, maka f(x(t), y(t))

juga terdiferensial, maka

))(),(( tytxfdt

d= )(),((.))(),(( '' tytxtytxf (2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh

Cdxf . =

b

adttytxf

dt

d)(),((

= f(x(b), y(b)) – f(x(a), y(a))

= f(b) – f(a),

karena C berawal di a = (x(a), y(a)) dan berakhir di b = (x(b), y(b)). Ini merupakan

pembuktian untuk kurva tunggal.

Selanjutnya misalkan C merupakan kurva mulus sepotong-sepotong yang terdiri atas

kurva-kurva C1, C2, … , Cn , dimana C1 bergerak dari a = a0 ke a1, C2 bergerak dari a1

ke a2, … , dan Cn bergerak dari an-1 ke an = b. Berdasarkan Definisi 3.2 untuk kurva

mulus sepotong-sepotong dan hasil yang diperoleh untuk masing-masing kurva Ci,

maka

Cdxf . =

n

iCi

dxf1

.

=

n

i

ii afaf1

1)()(

= ( f(a1) + f(a2) + … + f(an-1) + f(an)) – (f(a0) + f(a1) +

f(a2) + … + f(an-1) )

= f(an) – f(a0)

= f(b) – f(a) ▄

ISBN: 978-979-792-552-9

Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah

FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014

11

Contoh 3.2. Misalkan f(x,y) = xy2 – 2x. hitunglah C

dxf . untuk kurva C yang

dinyatakan dengan

9,

4

5 2

2t

t

t, untuk t [0, 4].

Penyelesaian: Karena t [0, 4] maka a =

9)0(,

4)0(

)0(5 2

2 = (0,3)

b =

9)4(,

4)4(

)4(5 2

2= (1,5)

Cdxf . = f(b) – f(a)

= f(1,5) – f(0,3)

= (1(5)2 – 2(5)) – (0(3)

2 – 2(3))

= 23

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa untuk sebuah

kurva C yang mulus sepotong-sepotong yang dinyatakan dengan (x(t), y(t)) dimana t

[a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b. misalkan f(x, y) : R2R

2 terdiferensial

secara kontinu pada himpunan terbuka yang mengandung C, berlaku

Cdxf . = f(b) – f(a)

Daftar Pustaka

[1] Belding, D. F & Kevin, J. 1991. Foundation of Analysis. Prentice Hall, New Jersey.

[2] Leithold, L. 1991. Kalkulus dan Ilmu Analitik, terj. S. M. Nababan. Erlangga,

Jakarta.

[3] Marsden, J. E & Anthony, J. T. 1996. Vector Calculus. W.H. Freeman and

Company, New York.

[4] Mursita, D. 2006. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Rekayasa Sains,

Bandung.

[5] Parcell, E. J & Steven E. R. 2004. Kalkulus. Erlangga, Jakarta.