Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom[MA1124] KALKULUS IIIntegral Garis Integral GarisIntegral Garis Integral Garis Definisi Integral garisIntegral garis di bidangMisalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang)x=x(t), y=y(t) ; a t bmaka ( ) ( ) ( ) + =b2 2dt ) t ( ' y ) t ( ' x ) t ( y ), t ( x f dS ) y , x ( f2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II2Integral garis di ruangMisalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang)x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a t bmaka ( ) ( ) ( ) + =C a2 2dt ) t ( ' y ) t ( ' x ) t ( y ), t ( x f dS ) y , x ( f( ) ( ) ( ) ( ) + + =Cba2 2 2dt ) t ( ' z ) t ( ' y ) t ( ' x ) t ( z ), t ( y ), t ( x f dS ) z , y , x ( fSifat Sifat--sifat integral garis sifat integral garis1. Jika C = C1UC2U UCn, maka 2. Jika C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga C, maka + + + =n 2 1C C C CdS ) y , x ( f ... dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f dS ) y , x ( fC1C2AB Cn2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II3C, maka = C CdS ) y , x ( f dS ) y , x ( fContoh Contoh1. Hitung, C adalah kurva x=3t; y=t3; 0t1 ( )+CdS y x3Jawab. x(t)=3; y(t)=3t2( )+CdS y x3( ) ( ) ( )+ + =1022 333 3 3 dt t t t+ =14 39 9 28 dt t t2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II4+ =04 39 9 28 dt t t+ =104 31 84 dt t t( )102 / 3416184 ||

\|+ = t( ) ( )102 / 341 14 t + = ( ) 1 2 2 14 =Contoh Contoh2. Hitung, C adalah terdiri dari busur parabola( )CdS x 2y=x2dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal dari (1,1) ke (1,2). C(1,2)Jawab.Untuk C1: (0,0)(1,1) , berupa busur y = x2.2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II5C1C2(1,1)Untuk C1: (0,0)(1,1) , berupa busur y = x2.Persamaan parameter C1: misalkan x = ty = t2x(t)=1 y(t)=2t( )12CdS xSehingga( )+ =1022 1 2 dt t t0 t 1+ =1024 1 2 dt t tContoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan)( )12CdS x+ =1024 1 2 dt t t( )102 / 324 132.41t + =( ) 1 5 561 =( )22CdS xSehingga+ =2121 0 2 dt2 ) 1 2 ( 2 221= = = tJadi, 2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II66Untuk C2: (1,1)(1,2)(berupa ruas garis)Persamaan parameter C1: misalkanx(t)=0 y(t)=11 t 2Jadi, ( ) ( ) ( ) + =2 12 2 2C C CdS x dS x dS x( ) 2 1 5 561+ =( ) 11 5 561+ =x = 1y = tLatihan Latihan1.Hitung , C adalah setengah bagian atas lingkaran lingkaran satuan x2+y2=1( )+C2dS y x 22.Hitung , C adalah ruas garis dari (0,0) ke (,2)( )+CdS y cos x sin3.Hitung , C adalah kurva x=t; y=t2; z=t3; ( )+ dS z 9 x 22/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II73.Hitung , C adalah kurva x=t; y=t ; z=t ; 0t1 ( )+CdS z 9 x 2Kerja KerjaMisalkan j) y , x ( N i) y , x ( M ) y , x ( F + =radalah gaya yang bekerja padapada suatu titik (x,y) di bidangABr(t)FTQ2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II8Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B? ABMisal jy ix r + =radalah vektor posisi Q(x,y)vektor singgung satuan di Qdsr dTrr=) t ( ' r) t ( ' rdsdtdtr ddsr dTrr r rr= = =Kerja (2) Kerja (2)Maka = cos T F T . Fr r r radalah komponen singgung F di QKerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh s adalahKerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan partikel dari A ke B adalah s T . F W = r r2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II9partikel dari A ke B adalah jdy idx r d jdtdyidtdxdtr d+ = + =rr = = =C C Cr d . F dsdsdtdtr d. F ds T . F Wrrrr r rdiketahuiJadi, didapat ( )( )+ =+ + =CCdy ) y , x ( N dx ) y , x ( Mjdy idx . j) y , x ( N i) y , x ( M WKerja (3) Kerja (3)Dengan cara yang sama untuk gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, makak z y x P j z y x N i z y x M z y x F) , , () , , () , , ( ) , , ( + + =r+ + =Cdz z y x P dy z y x N dx z y x M W ) , , ( ) , , ( ) , , (2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II10Contoh Contoh1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gayaj y x i y x y x F ) ( ) , (2 3 3+ =rdalam memindahkan partikelsepanjang kurva C : x = t2, y=t3, -1 t 0Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah + = dy N dx M W; dx = 2t dt, dy=3t2 dt2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II11C( )+ =Cdy y x dx y x2 3 3( ) ( ) ( ) ( )+ =01223 233323 2 dt t t t dt t t t( )+ =0110 10 73 2 2 dt t t t( ) =0110 72 dt t t0111 811141 = t t44711141 =||

\| =Contoh Contoh2. Hitung integral garis +C2dy x ydxdengan kurva C : x = 2t, y=t2-1 , 0 t 2Jawab. Kerja yang dilakukan adalah + =Cdy x dx y W2; dx = 2 dt, dy=2t dt( ) ( )+ =2222 2 2 1 dt t t dt t2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II12( ) ( )+ =02 2 2 1 dt t t dt t( )+ =203 28 2 2 dt t t204 32 232t t t + =32 4316+ =310028316= + =Latihan Latihan1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gayak z y j z i y x z y x F) (2) 2 ( ) , , ( + + =rdalam memindahkan partikel sepanjang C, dimanaC adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)2. Hitung integral garis +2dy x ydx dengan kurva C adalah ruas2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II132. Hitung integral garis +Cdy x ydx dengan kurva C adalah ruasgaris dari (1,1) ke (3,-1) 3. Hitung Cr d . Frrdengan jxy ixy F2 2+ =rsepanjanga. C = C1U C2b. C = C3C1C2C3(0,2)(3,2)(3,5)xyIntegral Garis Bebas Lintasan Integral Garis Bebas LintasanHitungCr d . Frrdenganjx iy F + =ratas lintasana. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1)b. C garis y = x2dari (0,0) ke (1,1)c. C garis y = x3dari (0,0) ke (1,1)PENDAHULUAN2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II14TEOREMA A: DASAR INTEGRAL GARISMisalkan j) y , x ( N i) y , x ( M ) y , x ( F + =rdengan C adalah kurva mulussepotong-potong dengan titik pangkal (x0,y0) dan titik ujung (x1,y1).Jika ) y , x ( f ) y , x ( F = r rmaka) y , x ( f ) y , x ( f r d . F0 0 1 1C =rrIntegral Garis Bebas Lintasan(2) Integral Garis Bebas Lintasan(2)disebut gaya konservatif dan f(x,y) disebut fungsi potensialFrContoh:Jika ) y , x ( f ) y , x ( F = r rmakaFrjx iy F + =rdengan C kurva dari (0,0) ke (1,1)jyfixff+= r2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II15Contoh:maka 1 0 . 0 1 . 1 ) 0 , 0 ( f ) 1 , 1 ( f r d . FC= = =rrjx iy F + = dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1)f jx iy F = + =r rdengan fungsi potensial f = xyMasalah: Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif? (F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f). Bagaimana memperoleh f(x,y) jika F(x,y) konservatif?Integral Garis Bebas Lintasan(3) Integral Garis Bebas Lintasan(3)kyMxNjxPzMizNyP|||

\|+||

\|+|||

\|=DEFINISI: MisalkP jN iM F + + =rmakaP N Mz y xkji=F x F rot F Curlr r r r = =TEOREMA B2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II16TEOREMA BMisalkan kP jN iM F + + =rmaka Frkonservatif jika dan hanya jikaatau jika dan hanya jika 0 F rot F Curl = =r rxPzM,zNyP,yMxN===Khusus jika jN iM F + =rmakaFrkonservatif jika dan hanya jikayMxN=Contoh: Contoh:1. Diketahuia. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan fb. Hitung( )j y x i xy F3 122 2 3+ + =rr d . FCrrdengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1)Jawab.a. (i)FrKonservatifxNyM=M 2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II17M=2xy3N=1+3x2y226 y xxN=2 6 xyyM=xNyM=FrKonservatifJadi(ii)( )j y x i xy F3 122 2 3+ + =rf jyfixf =+=r 32 y xxf=2 23 1 y xyf+ =. (1). (2)Contoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan)dx y x y x f=32 ) , () ( ) , (3 2y C y x y x f + = . (3)Integralkan (1) terhadap x, diperoleh Turunkan (3) terhadap y, diperoleh f 2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II18) ( ' 32 2y C y xyf+ =. (4)Dari (2) dan (4), diperoleh 2 2 2 23 1 ) ( ' 3 y x y C y xyf+ = + =1 ) ( ' = y CC y y C + = ) (Jadi fungsi potensialnya adalah C y y x y x f + + =3 2) , (Contoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan)=Cr d Frr. ( )+ +) 1 , 3 () 4 , 1 (2 2 33 1 2 dy y x dx y xb. ) 4 , 1 ( ) 1 , 3 ( f f =( ) ( ) 4 4 . 1 1 1 . 33 2 3 2+ + =58 68 10 = =C y y x y x f + + =3 2) , ( ,2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II19Contoh Contoh2. Diketahuia. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan fb. Hitung( ) ( ) k xy j y e xz i yz y e z y x Fx x sincos ) , , ( + + + =rr d FCrr.dengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1)Jawab.a. (i)FrKonservatifxNyM=zMxP=,zNyP=,2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II20x y M=excosy+yzN=xz ex siny z y exNx+ =sinz y eyMx+ =sinxNyM=FrKonservatifJadixzN=yzM=P=xySehingga diperoleh, bahwaxyP=yxP=zMxP=,zNyP=,z x z y Contoh (lanjutan) Contoh (lanjutan)(ii)( ) ( ) k xy j y e xz i yz y e Fx x sincos + + + =rf kyfjyfixf =++=r yz y exfx+ =cos y e xzyfxsin =. (1). (2)y xzf=. (3)Integralkan (1) terhadap x, diperoleh 2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II21( )dx yz y e z y x fx+ = cos ) , , () , ( cos ) , , ( z y C xyz y e z y x fx+ + = . (4)Integralkan (1) terhadap x, diperoleh Turunkan (4) terhadap y, diperoleh ) , ( sin z y C xz y eyfyx+ + =. (5)Contoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan)Dari (2) dan (5), diperoleh y e xz z y C xz y eyfxyxsin ) , ( sin = + + =0 ) , ( = z y C y) ( ) , ( z C z y C =. (6)Masukan (6) ke(4), diperoleh 2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II22) ( cos ) , , ( z C xyz y e z y x fx+ + = . (7)Masukan (6) ke(4), diperoleh Turunkan (7) terhadap z, diperoleh ) ( 'z C xyzf+ =. (8)Dari (3) dan (8), diperoleh xy z C xyyf= + =) ( '0 ) ( ' = z CC z C = ) ( . (9)Contoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan)=r d Frr. ( ) ( ) dz xy dy y e xz dx yz y ex x+ + +) 1 , 0 , 1 (sin cosb. Jadi fungsi potensialnya adalahC xyz y e z y x fx+ + = cos ) , , (Masukan (9) ke(7), diperoleh C xyz y e z y x fx+ + = cos ) , , (2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II23=Cr d F . ( ) ( ) dz xy dy y e xz dx yz y ex x+ + +) 0 , 0 , 0 (sin cosb. ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 1 ( f f =( ) ( ) 0 0 cos 1 . 0 . 1 0 cos0 1+ + = e e1 =eC xyz y e z y x fx+ + = cos ) , , ( ,Penyataan berikut ekivalen Penyataan berikut ekivalen1. f F =r runtuk suatu f (F konservatif)2. r d . FCrrbebas lintasan3. 0 r d . FC=rr2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II24Sudah Jelas???Latihan LatihanTentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f ( ) f F = r r1. ( ) ( )jy 2 x 7 iy 7 x 10 F =r2. ( ) ( )jx 5 y 3 xy 6 iy 5 y 3 x 12 F2 2 2+ + + + =r3. ( ) ( )j) xy cos( x 8 i) xy cos( y 4 F2 2 2+ =r4. ( ) ( )je xe 2 iye e 2 Fx y x y + =r5. ( ) ( )kz cos xz 2 jx iz xy 2 F2 2 + + + + =rHitung integral garis berikut:2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II25Hitung integral garis berikut:6.( ) ( )+ + +) 1 , 3 () 2 , 1 (2 2dy xy 2 x dx xy 2 y7.( ) ( )+)2, 1 () 0 , 0 (x xdy y cos e dx y sin e8.( ) ( ) ( )+ + + +) 1 , 1 , 1 () 0 , 0 , 0 (2 2 2 3dz 1 xz 4 dy y x 9 dx z 2 xy 69.( ) ( ) ( ) + + + + +) 0 , , () 0 , 0 , 0 (dz xy 2 z dy xz 2 y sin dx yz 2 x cos10. ( ) ( ) ( )+ + + ) 4 , 1 , 1 () 0 , 0 , 0 (y xdz xy dy e xz dx e yz11.( ) ( ) ( ) + + + C2 2dz xyz 4 1 dy xz 3 y 2 dx yz 6 x 3C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)Teorema Green di Bidang Teorema Green di Bidang Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutuptertutup sederhana sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C maka |||

|= + dAyMxNdy N dx M2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II26Bukti.Perhatikan ||

\= +S CdAy xdy N dx MC = C1 U C2 U C3 U C4S = {(x,y)|a x b, g(x) y f(x)}xySC1C4C3C2y=g(x)y=f(x)ab + + + =4C3C2C1C Cdx M dx M dx M dx M dx M(((

= + = babaabba Cdx )) x ( g , x ( M dx )) x ( f , x ( M dx )) x ( f , x ( M dx )) x ( g , x ( M dx M =(((

=ba) x ( f) x ( gba) x ( f) x ( g CdAyMdydxy) y , x ( Mdx MTeorema Green di Bidang Teorema Green di BidangSama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan x sederhana, kita perolehSehingga diperoleh =S CdAxNdy N + =||

|dy N dx M dAM N2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II27 + =|||

\|C Sdy N dx M dAyMxNContoh ContohHitung+C2xydy 4 dx ydengan C adalah kurva tertutup yang terdiridari busur parabola y = x2dari titik asal (2,4) dan segmen garis(2,4) ke titik (0,0)Jawab.Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan Integral garis biasa dan teorema Green2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II281. Integral garisC1C2(2,4)(0,0)Untuk C1: (0,0)(2,4) , berupa busur y = x2.Persamaan parameter C1: misalkan x = ty = t2x(t)=1 y(t)=2t+142Cdy xy dx ySehingga( ) dt t t t dt t 2 . . . 422022+ =0 t 2( )+ =204 48 dt t tContoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan)=2049 dt t20559t =5288=Untuk C2: (2,4)(0,0)(berupa ruas garis)Persamaan parameter C2: misalkan(x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4)2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II29x(t)=-2 , y(t)=-40 t 1(x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4)x = 2 2t, y = 4 4t Sehingga+242Cdy xy dx y ( ) ( ) ( )( )( )dt t t dt t 4 4 4 2 2 4 2 4 4102 + =( )+ =102160 320 160 dt t tContoh (lanjutan) Contoh (lanjutan)Jadi, +242Cdy xy dx y ( )+ =102160 320 160 dt t t103 231602320160||

\|+ = t t t3160 =2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II30Jadi, 31605288 =1564= + + + = +2 14 4 42 2 2C C Cdy xy dx y dy xy dx y dy xy dx yContoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan)2. Teorema Green. |||

\|= +S CdAyMxNdy xy dx y 42( ) =20222 4xxdx dy y y=222dx yxy=x2y=2x(2,4)yS S42/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II31M=y2N=4 yx yxN4 =yyM2 =S={(x,y)| 0 x 2, x2 y 2x}Dengan:=0222dx yxx =204 24 dx x x205 35134x x =1564532332= =y=x2(0,0)xS S2Latihan Latihan1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gayaj) x e ( i) y x (sin ) y , x ( F2 y + =rdalam menggerakkan suatu obyekmengitari satu kali x2 + y2 = 4 dalam arah positif.2. Hitung +C2dy y dx xy 2 dengan C kurva tertutup yang terbentukoleh y = x/2 dan x = y2antara (0,0) dan (4,2) 3. Hitung + + dy ) y x ( dx xy dengan C segitiga yg titik-titik sudutnya2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II323. Hitung + +Cdy ) y x ( dx xy dengan C segitiga yg titik-titik sudutnya(0,0), (2,0), dan (0,1) 4. Hitung + + +C2 x 3dy ) y sin x ( dx ) y 2 e ( dengan C persegipanjang yg titik titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4)5. Hitung + + +C2 2dy ) y 3 x 2 ( dx ) y x 4 x (dengan C ellips 9x2 + 16 y2= 144Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom[MA1124] KALKULUS IIIntegral Permukaan Integral PermukaanLuas Permukaan Luas Permukaan Misalkan diketahui partisi permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) zk F TiSikjf if F dengan ,kFk. Fcosy x i + = = rrrGbac dGiRRi2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II34 RiSi~ Ti = Risec iSi= luas Gidan Ri = luas Ri = xiyiTi = luas bidang singgung yang terletak diatas Rii= sudut antara Ridan TidA 1 f f dSadalah G Permukaan LuasR 1 f f S Jadi1 f f sec1 f f11 f f1cosR2y2xGi2y2x i2y2x i2y2x2y2xi + + = + + = + + = + +=+ += Contoh ContohHitung luas permukaan G : z = x2+ y2dibawah bidang z=4ZGz = 4Jawab.Bagian G yang dimaksud diproyeksikanpada daerah S (daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2+y2=4).x2+y2=42/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II35xySMisalkan f(x,y)=x2+y2. Maka didapatfx= 2x, fy=2y + + = + + =S Sy xGdA y x dA f f dS 1 4 4 12 22 2Sehingga luas permukaan G adalahdengan S={(x,y)| -2 x 2,y }24 x 24 x x2+y2=4Contoh (Lanjutan) Contoh (Lanjutan)Dengan koordinat polar, batasan S berubah menjadiS={(r,)|0 r 2, 0 2 }Jadi + + =S GdA y x dS 1 4 42 2 2 22/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II36 + =202021 4 d dr r r( )+ =20202 / 321 432.81d r( )20. 1 17 17121 = ( ) 1 17 176 = Latihan Luas Permukaan Latihan Luas Permukaan1. Hitung luas permukaan G : z = x2+ y2dibawah bidang z =42. Hitung luas permukaan G :yang tepat berada24 y z =di atas persegi panjang dengan titik sudut (1,0),(2,0),(2,1),(1,1)3. Hitung luas permukaan G : silinder z2+ x2= 16 di oktan 2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II373. Hitung luas permukaan G : silinder z2+ x2= 16 di oktan I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 34. Hitung luas permukaan G : silinder z2+ y2= 9 di oktan I antara y =x, y = 3xIntegral Permukaan Integral Permukaan Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan GzGc d) z , y , x (i i iGiMisalkan permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) z-MisalkanR proyeksi G pada bidang XOY-Partisi R menjadi n bagian; R1, R2,,Rn-Pilih G ) z , y , x ( dan R ) y , x ( 2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II38xybac d) y , x (i iRRi-Pilih(partisi G yang bersesuaian dgn R)-Bentuk jumlah riemann Integral permukaan dari g atas G=f(x,y) adalahi i i i i i iG ) z , y , x ( dan R ) y , x ( i in1 ii i i iG luas G dengan , G ) z , y , x ( g = == =n1 ii i i i0 PGG ) z , y , x ( g lim dS ) z , y , x ( gatau + + =R2y2xGdA 1 f f ) z , y , x ( g dS ) z , y , x ( gIntegral Permukaan (2) Integral Permukaan (2)Dengan cara yang sama diperoleh 1. Jika permukaan G berupa grafik x = f(y,z), (y,z) R (Proyeksi G pada bidang YOZ), maka2. Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z) R + + =R2z2yGdA f f 1 ) z , y ), z , y ( f ( g dS ) z , y , x ( g2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II392. Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z) R (Proyeksi G pada bidang XOZ), maka + + =R2z2xGdA f 1 f ) z ), z , x ( f , x ( g dS ) z , y , x ( gContoh Contoh1. Hitung GdS z , G adalah permukaan2 2y x 4 z =Jawab.2 24 y x z =2 2 24 y x z =42 2 2= + + y x zG bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2. 2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II4022Zxy2x2+y2=4RR (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaranx2+y2=4.2 24 y x z =( )2 22 / 12 242 . 421y xxx y x fx = =( )2 22 / 12 242 . 421y xyy y x fy = =2 2 2 22 22 222 222 244444 41y x y xy xy xyy xxf fx x = + + = + +Kita punya , makaG G + + =Ry xGdA f f z dS z 12 2Jadi =RdAy xy x2 22 2444= dA 2Contoh (lanjutan) Contoh (lanjutan)2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II41Rdimana daerah R={(r,)|0 r 2, 0 2 }, sehingga =R GdA dS z 2 =20202 d dr r 8 =Latihan Integral Permukaan Latihan Integral Permukaan1. Hitung, dengan G bagian kerucut z2= x2 + y2di antara z = 1 dan z = 2G2 2dS z x2. Hitunga. g(x,y,z) = x2 + y2 + z , dengan G: z = x+y+1, 0x1, 0y1GdS ) z , y , x ( g2/11/2010 [MA 1124]KALKULUS II42b. g(x,y,z) = x , dengan G: x+y+2z = 4, 0x1, 0y1c. g(x,y,z) = x+y , dengan G: , 0x3, 0y124 x z =d. g(x,y,z) =, dengan G: z =x2-y2, 0x2+y21 1 4 42 2+ + y xe. g(x,y,z) = x + y , dengan G adalah permukaan kubus,0x1, 0y1, 0z1