integral garis -...

Integral Garis

EXPERT COURSE

#bimbelnyamahasiswa

Definisi

2

b

C a

f (x, y)dS f x(t), y(t) x'(t)2 y'(t)2 dt

b

C a

f (x, y,z)dS f x(t), y(t),z(t) x'(t)2 y'(t)2 z'(t)2 dt

Definisi Integral garis

Integral garis di bidang

Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang)

x=x(t), y=y(t) ; a t b

Maka:

Integral garis di ruang

Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang)

x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b

Maka :

contoh

3

1. Hitung x3 ydS, C adalah kurva x=3t; y=t3 ; 0t1C

Jawab. x’(t)=3; y’(t)=3t2

x3 ydS C

13 t332 3t2 dt3t

0

01

28t3 9 9t4 dt0

1

84 t3 1 t4 dt

13/24

0

6

1 84 1 t

0

43 /21 141 t 2 1 142

LATIHAN

C

1. Hitung 2 x2 ydS, C adalah setengah bagian atas

lingkaraCn lingkaran satuan x2+y2=1

2. Hitung sin x cos ydS , C adalah ruas garis dari (0,0)

ke (,2)

3. Hitung 2x 9zdS, C adalah kurva x=t; y=t2; z=t3;

0t1 C

KERJA

MisalkanrF(x, y) M(x, y) i N(x, y) j adalah gaya yang bekerja pada

A B

F

Tr(t)

pada suatu titik (x,y) di bidangQ

Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B?

Misal rr x i y j adalah vektor posisi Q(x,y)

vektor singgung satuan di Qds

rrT

dr

ds dt dsrr '(t)

r r rrT

dr

dr dt

r '(t)

KERJA (2)

Makar r r rF.T F T cos adalah komponen singgung F di Q

Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh s adalah

W F.Ts

Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkanpartikel dari A ke B adalah

r r

dt dt dt

dr

dx i

dyj d

rr dx i dy j

r C C C

W F.Tds F.dt ds

ds F.drrrr d

rr dtr r

diketahui

Jadi, didapat W M(x,y) iN(x, y)j.dx i dy jC

M(x, y)dxN(x, y)dyC

Kerja (3)

Dengan cara yang sama untuk

F(x,y, z) M(x,y, z) i N(x,y, z) j P(x,y, z)k

gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, maka

r

W M(x,y, z)dx N(x,y, z)dy P(x,y, z)dzC

CONTOH

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gayarF(x, y) (x3 y3) i x2y j dalam memindahkan partikel

sepanjang kurva C : x = t2, y=t3 , -1 t 0

Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah

W M dx N dy ; dx = 2t dt, dy=3t2 dtC

C

x3 y3dx x2 y dy

0

23 222 3 3 3t 3t dt2t dt t t t

1

0

1

2t7

0

2t10 3t10dt 2t7

1

0

41

1

t11

11 t10dt

1t8

4 11 44

1 7

1

CONTOH

C

2. Hitung integral garis ydx x 2dy dengan kurva C : x = 2t,

y=t2-1 , 0 t 2

Jawab. Kerja yang dilakukan adalah

W y dx x2 dy ; dx = 2 dt, dy=2t dtC2

t2 12dt 2t2 2t dt0

2

2t2 2 8t3dt0

2

0

2

t3 2t 2t4

3

16 4 32

3

16

28 100

3 3

LATIHAN

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gayarF(x,y, z) (2x y) i 2z j (y z)k

dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana

C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)

2. Hitung integral garis ydx x 2dy dengan kurva C adalah ruasC

garis dari (1,1) ke (3,-1)

3. Hitung F.drrr

dengan ˆ ˆ22rF xy i xy jsepanjang

C

a. C = C1 U C2

b. C = C3

C1

10

C3

(0,2)

C2

(3,2)

(3,5)

x

y

Integral Garis Bebas Lintasan

HitungF.drr

dengan F y i x jr r

atas lintasanC

a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1)b. C garis y = x2 dari (0,0) ke (1,1)c. C garis y = x3 dari (0,0) ke (1,1)

PENDAHULUAN

TEOREMA A: DASAR INTEGRAL GARISrMisalkan F(x, y) M(x, y) i N(x, y) j dengan C adalah kurva mulus

sepotong-potong dengan titik pangkal (x0,y0) dan titik ujung (x1,y1).

Jika F(x, y) f (x, y)r r

maka

F.dr f (x1 , y1 ) f (x0 , y0 )

C

rr

Integral Garis Bebas Lintasan(2)

rr rJika F(x, y) f (x, y) makaF disebut gaya konservatif dan

f(x,y) disebut fungsi potensial Fr

Contoh: F y i x jr

dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1)x y

f f

i f

jr

C

F.dr f (1,1) f (0,0) 1.10.0 1rr

rrF y i x j f dengan fungsi potensial f = xy

maka

Masalah:

Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif? (F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f).Bagaimana memperoleh f(x,y) jika F(x,y) konservatif?

Integral Garis Bebas Lintasan(3)

x y

z x

y z

PN

i M

P

j N

M

k

DEFINISI: Misal F M i N j Pkr

makai

j

k

x

M

y

N

z

P

r r r rCurlF rotF x F

TEOREMA B

MisalkanF M i N j Pk maka Fr r

konservatif jika dan hanya jikaCurlF rot F 0 atau jika dan hanya jika

r r

z z x

P N

,M

P

x y y

N M

,

r rKhusus jika F M i N j maka F konservatif jika dan hanya jika

x y

N M

Contoh:

1. Diketahui

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f

3 i 1 3 x 2 y 2 jF 2 xyr

b. Hitung F.d r

C

rr

dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1)

Jawab.

a. (i) F Konservatif M N

M=2xy3

N=1+3x2y2

x

N 6 x y 2

6 xy 2y

y xM

N

x

M

y

F KonservatifJadi

(ii) 3 if

i j fx y

f rˆ ˆ

2 x y 3

x y

f

r

F 2 xy 1 3 x 2 y 2 j

f……. (1) 1 3 x 2 y 2 ……. (2)

Contoh (Lanjutan)

x 2y 3 C (y )f (x , y ) ……. (3)

Integralkan (1) terhadap x, diperoleh

f (x , y ) 2 x y 3 dx

Turunkan (3) terhadap y, diperoleh

3 x 2 y 2 C ' (y )y

f……. (4)

Dari (2) dan (4), diperoleh

y

f 3 x 2 y 2 C ' ( y ) 1 3 x 2 y 2

C ' (y ) 1

C (y ) y C

Jadi fungsi potensialnya adalah f(x,y) x2y3 y C

Contoh (Lanjutan)

r (3,1)

F .d r 2 x y 3 dx 1 3 x 2 y 2 dyC (1,4)

b.

f (3, 1) f (1, 4)

32.13 1 12.4 3 4 10 68 58

y C, f(x,y) x2y3

Contoh

2. Diketahui xF (x , y , z ) e cos y yz i xz e x sin y j xy kr

C

ra. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f

b. Hitung F .d rdengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1)

Jawab.

a. (i) F Konservatif y x

M N

x,

z y z

P NP M,

M=ex cosy+yz

e x sin y z

x

yN

M e sin y z

N=xz – ex siny

x

y

Jadi F Konservatif

z

y

x

zN

M

P=xy

Sehingga diperoleh, bahwa

xy

P y

x

xP

x

M N ,z

z y

P M,P N

Contoh (lanjutan)

(ii) xx

r

F e cos y yz i sinyj xy ky y

i j f

k fx

f fxz e

rˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

f xz ex sin y

y

f ex cos y yz ……. (1) ……. (2)

x yz

xf

……. (3)

Integralkan (1) terhadap x, diperoleh

f (x, y, z) ex cos y yzdx

f(x,y, z) ex cos y xyz C(y, z)……. (4)

Turunkan (4) terhadap y, diperoleh

y ex siny xz C (y, z)y

f……. (5)

Contoh (Lanjutan)


ex sin y xz C (y, z) xz ex sinyy

y

f

C y (y , z ) 0

C (y , z ) C (z ) ……. (6)

Masukan (6) ke (4), diperoleh

f (x,y, z) ex cos y xyz C(z) ……. (7)

Turunkan (7) terhadap z, diperoleh

xy C'(z)z

f……. (8)


y

f xy C'(z) xy

C ' ( z ) 0

C ( z ) C ……. (9)

Contoh (Lanjutan)

(1,0,1)

Masukan (9) ke (7), diperoleh

f(x,y, z) ex cosy xyz C

Jadi fungsi potensialnya adalah

f(x,y, z) ex cosy xyz C

C

F .dr

(0,0,0)

r ex cos y yzdx xz ex sin ydy xy dzb.

f (1, 0,1) f (0, 0,0)

e1 cos 0 1 .0 .1 e0 cos 0 0 e 1

, f(x,y, z) ex cosy xyz C

Latihan

Tentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f F fr r

r

r

r

r4. F 2ey yex i 2xey ex j

5. F 2xy z2 i x 2 j 2xz coszkr

1. F 10x 7y i 7x 2y j

2. F 12x 2 3y2 5yi 6xy3y2 5xj

3. F 4y2 cos(xy2 )i 8x cos(xy2 )j

Hitung integral garis berikut:

6.

7.(0,0)

(3,1)

y2 2xydx x 2 2xydy

(1,2)

(1,2)

ex sin ydx ex cos ydy

8. (1,1,1)

(0,0,0)

3 2 2 2 4xz1dzdy6xy 2z dx 9x y

(,,0)

9. cosx 2yzdx siny 2xzdy z 2xydz

(0,0,0)

(1,1,4)

(0,0,0)

yx dx xz e dy xydz10. yze

11.3x 2 6yzdx 2y3xzdy1 4xyz2dzC

C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)

Teorema Green di Bidang

Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutup sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C maka N M

Bukti.

Perhatikan

dAM dx N dy C S x y

x

y

S

C1

C4

C3

C2

y=f(x)

a

y=g(x)

b

C = C1 U C2 U C3 U C4

S = {(x,y)|a x b, g(x) y f(x)}

Mdx Mdx MdxMdxMdx

a ab

C C1 C2 C3 C4

b a b b

C

M(x,g(x)) dx M(x, f (x)) dx M(x,f (x))dx M(x,g(x))dxMdx

2/11/2010[MA1124]

KALKULUS II

22

b f ( x)a

b f (x)

a g( x)

C

dAy

a g( x)

Mdydx

M(x,y)

yMdx

Teorema Green di Bidang

Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan x sederhana, kita peroleh

S

C

x

NdANdy

Sehingga diperoleh N M

CS

dA Mdx Ndy x y

Contoh

C

C1

C2

(2,4)

(0,0)

Hitung y2dx 4xydy dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri

dari busur parabola y = x2 dari titik asal (2,4) dan segmen garis (2,4) ke titik (0,0)Jawab.

Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan Integral garis biasa dan teorema Green

1. Integral garisUntuk C1: (0,0) (2,4) , berupa busur y = x2.

Persamaan parameter C1: misalkan x = t y = t2

C1

x’(t)=1 y’(t)=2t

Sehingga2

0

y2dx 4xy dy t22 dt 4.t.t2.2t dt

0 t 2

2

t4 8 t4dt0

Contoh (Lanjutan)

2

9 t4dt0

2

0

9

5t5

5

288

Untuk C2: (2,4) (0,0) (berupa ruas garis)

Persamaan parameter C2: misalkan

(x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4)

x’(t)=-2 , y’(t)=-4 0 t 1x = 2 – 2t, y = 4 – 4t

Sehingga

y2dx 4xy dyC2 0

1

1

4 4t2 2dt 42 2t4 4t 4dt

160 320t 160t2 dt0

Contoh (lanjutan)

C2

1

0

y2dx 4xy dy 160 320t 160t2dt1

0

2

2 3

3

320 160

t t

t 160

3

160

5 3

288

160

15

64

C1 C2C

Jadi,

y2dx 4xy dy y2dx 4xy dy y2dx 4xy dy

Contoh (Lanjutan)

2. Teorema Green.

C S

dA x y

N M y2 dx 4xy dy

2 2x

4y 2ydy dxy=2x

(2,4)

y

S

4

4yx

2yyN

M

S={(x,y)| 0 x 2, x2 y 2x}

Dengan:

M=y2

N=4 yx

dx

0 x2

2

y22x

x2

02

4x2 x4 dx0 2

0

53 1

5

4

3xx

3 5 15

32 32 64

y=x2

(0,0)x

2

Latihan

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya

F(x, y) (sin x y)i (ey x 2 ) jr

dalam menggerakkan suatu obyekmengitari satu kali x2 + y2 = 4 dalam arah positif.

2. Hitung 2xydx y2dy dengan C kurva tertutup yang terbentuk

oleh y =C x/2 dan x = y2 antara (0,0) dan (4,2)

3. Hitung xydx (x y)dydengan C segitiga yg titik-titik sudutnyaC

(0,0), (2,0), dan (0,1)

4. HitungC

(e3x 2y)dx (x 2 sin y)dy dengan C persegipanjang yg titik

titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4)

5. Hitung (x 2 4x y)dx (2x 2 3y)dy dengan C ellipsC

9x2 + 16 y2 = 144

integral garis -...

Documents