03_teorema dasar integral garis

7/21/2019 03_Teorema Dasar Integral Garis

http://slidepdf.com/reader/full/03teorema-dasar-integral-garis 1/83

KALKULUS VEKTOR

3



3

Teorema Dasar Integral Garis

Pada bab ini, kita akan mempelajari:

Teorema dasar integral garis

dan menentukan medan vektor konservatif

VECTOR CALCULUS



Ingat Kembali

Teorema Dasar Kalkulus Kedua dapat

dituliskan sebagai:

dengan F’ kontinyu pada [a, b].

'( ) ( ) ( )b

a F x dx F b F a

Persamaan 1



TEOREMA DASAR (TD) UNTUK INTEGRAL GARIS

Misalkan kita anggap gradien vektor

fungsi f dari dua atau tiga variable sebagai

turunan f .

Selanjutnya, teorema berikut dapat dianggap

sebagai versi dari Teorema Dasar untukIntegral Garis.

f



Misal C adalah kurva mulus yang diberikan

oleh fungsi vektor r (t ), a ≤ t ≤ b.

Misal f adalah fungsi dua atau tiga variable

yang dapat diturunakan dengan gradien vektor

kontinyu pada C .

Sehingga,

f

C

f d f b f a r r r

TD UNTUK INTEGRAL GARIS Teorema 2



Teorema 2 mengatakan bahwa kita dan

menghitung integral garis medan vektor

konservatif

(gradient medan vektor field dari fungsipotensial f ) dengan mengethui nilai f

pada titik akhir C .

Kenyataannya, dapat dikatakan bahwa integral

garis adalah perubahan netto dalam f . f

CATATAN



Jika f adalah fungsi dua variabel dan C adalah

kurva bidang dengan titik awal A( x 1, y 1) dan

titik akhir B( x 2, y 2), Teorema 2

menjadi:

2 2 1 1, ,

C f d

f x y f x y

r

CATATAN



Jika f adalah fungsi tiga variabel dan C adalah

kurva ruang yang menghubungkan titik A( x 1,

y 1, z 1) ke titik B( x 2, y 2, z 2),

diperoleh:

2 2 2

1 1 1

, ,

, ,

C f d

f x y z

f x y z

r

CATATAN



Mari kita buktikan Teorema 2

untuk kasus ini.

TD UNTUK INTEGRAL GARIS



'b

C a

b

a

b

a

f d f t t dt

f dx f dy f dz dt x dt y dt z dt

d

f t dt f b f adt

r r r

r r r

TD UNTUK INTEGRAL GARIS Bukti



Meskipun kita telah membuktikan Teorema

2 untuk kurva mulus, ini juga berlaku untuk

kurva mulus sepotong-sepotong.

Hal ini dapat dilihat dengan membagi C menjadi

sejumlah berhingga kurva mulus dan menjumlahkan

hasil integralnya.

TD UNTUK INTEGRAL GARIS



Hitung usaha yang dilakukan oleh medan

gravitasi

dalam memindahkan sebuah partikel dengan

massa m dari titik (3, 4, 12) ke titik (2, 2, 0)sepanjang kurva mulus sepoton-sepotong C .

Lihat contoh pada bab 1 (medan vektor)

3( )

mMG F x x

x

TD UNTUK INTEGRAL GARIS Contoh 1



Dari bab 1, kita tahu bahwa F adalah medan

vektor konservatif, kenyataannya,

, dengan: f F

2 2 2

, , mMG

f x y z x y z

Contoh 1TD UNTUK INTEGRAL GARIS



Jadi, dengan Teorema 2, usaha yang

dilakukan adalah:

2 2 2 2 2

2, 2, 0 3, 4,12

2 2 3 4 12

1 1

132 2

C C W d f d

f f

mMG mMG

mMG

F r r

Contoh 1TD UNTUK INTEGRAL GARIS



TAPAK (LINTASAN)

Anggap C 1 dan C 2 merupakan dua kurva

mulus sepotong-sepotong (disebut tapak atau

lintasan) yang memiliki titik awal A dan titik

akhir B yang sama.

Kita tahu dari Contoh 4 di bab 2 bahwa,

secara umum,

1 2C C d d F r F r



Namun, satu implikasi dari Teorema 2

adalah bahwa

jika kontinyu.

Yaitu, integral garis suatu medan vektor konservatif

hanya bergantung pada titik awal dan titik akhir dari

kurva.

1 2C C f d f d r r

MEDAN VEKTOR KONSERVATIF

f



Secara umum, jika F merupakan medan

vector kontinyu dengan domain D, kita

katakana bahwa integral garis

adalah bebas tapak jika

untuk setiap dua lintasan C 1 dan C 2 dalam D

yang memiliki titik awal dan titik akhir yang

sama.

C d F r

1 2C C d d F r F r

BEBAS TAPAK



Dengan istilah ini, kita dapat katakana

bahwa:

Integral garis dari medan vektor konservatif

adalah bebas tapak (lintasan).

BEBAS TAPAK



KURVA TERTUTUP

Suatu kurva disebut tertutup jika titik

akhirnya berhimpit dengan titik awalnya,

yaitu,

r (b) = r (a)



Misalkan:

bebas tapak dalam D.

C sembarang lintasan tertutup dalam D

C d F r

BEBAS TAPAK



Selanjutnya, kita dapat memilih sembarang

dua titik A dan B pada C :

Dengan membuat lintasan C 1 dari A ke Bdiikuti dengan lintasan C 2 dari B ke A.

BEBAS TAPAK



Kemudian,

Hal ini karena C 1 dan –C 2 memiliki titik awal dan

akhir yang sama.

1 2

1 2 0

C C C

C C

d d d

d d

F r F r F r

F r F r

BEBAS TAPAK



Sebaliknya, jika adalah benar

kapan saja C merupakan lintasan tertutup

dalam D, maka kita tunjukkan bebas tapak

sebagai berikut.

0C

d

F r

BEBAS TAPAK



Ambil sembarang dua lintasan C 1 dan C 2

dari A ke B dalam D dan tentukan C

merupakan kurva yang terdiri dari C 1 diikuti

dengan –C 2.

BEBAS TAPAK



Selanjutnya,

Sehingga,

Jadi, kita telah membuktikan teorema berikut.

1 2

1 2

0C C C

C C

d d d

d d

F r F r F r

F r F r

1 2C C d d F r F r

BEBAS TAPAK



adalah bebas tapak dalam D

jika dan hanya jika:

untuk setiap lintasan tertutup C dalam D.

C

d

F r

0C

d F r

Teorema 3BEBAS TAPAK



Kita tahu bahwa integral garis dari sembarang

medan vektor konservatif F adalah bebas

tapak.

Ini berarti bahwa untuk setiap

lintasan tertutup.

0C

d F r

BEBAS TAPAK



Interpretasi fisiknya adalah bahwa:

Usaha yang dilakukan oleh suatu medan vektor

konservatif (seperti medan gravitasi atau listrik pada

bab 1) dalam memindahkan sebuah objek padasuatu lintasan tertutup adalah 0.

INTERPRETASI FISIK



Teorema berikut ini mengatakan bahwa

hanya medan vector yang bebas tapak

adalah konservatif.

Akan dinyatakan dan dibuktikan untuk kurva

bidang.

Namun demikian, berlaku juga untuk kurva ruang.

BEBAS TAPAK



Kita anggap bahwa D terbuka—yang

berarti bahwa, untuk setiap titik P dalam D,

ada sebuah disk (piringan) dengan titik

pusat P yang terletak seluruhnya dalam D.

BEBAS TAPAK



Selanjutnya, kita anggap bahwa D

terhubung.

Ini berarti bahwa setiap dua titik dalam D

dapat digabungkan dengan sebuah lintasan

yang terdapat dalam D.

BEBAS TAPAK



Anggap F medan vector yang kontinyu pada

daerah terhubung D.

Jika bebas tapak dalam, maka

F merupakan medan vector konservatif pada

D.

Yaitu, ada sebuah fungsi f sehingga

C d F r

f F

MEDAN VEKTOR KONSERVATIF Teorema 4



Misalkan A( x 0 , y 0 ) sebuah titik dalam D.

Kita cari fungsi potensial f yang diinginkan

dengan mendefinisikan

untuk setiap titik ( x , y ) dalam D.

0 0

,

,( , )

x y

x y f x y d F r

BuktiMEDAN VEKTOR KONSERVATIF



Karena bebas tapak, tidak masalah

lintasan C mana saja dari ( x 0 , y 0 ) ke ( x , y )

yang digunakan untuk menghitung f ( x , y ).

Karena D terbuka, ada sebuah piringan di

dalam D dengan pusat ( x , y ).

C

d

F r




Pilih sembarang titik ( x 1, y ) dalam piringan

dengan < x .

Selanjutnya, misalkan C terdiri dari

sembarang lintasan C 1 dari ( x 0 , y 0 ) ke ( x 1, y )diikuti dengan

segmen garis

horizontal C 2 dari

( x 1, y ) ke ( x , y ).




Selanjutnya,

Perhatikan bahwa integral pertama tidak

bergantung pada x.

Sehingga,

f ( x, y) F d rC 1 F d rC

2 F d r

a,b

x1, y

F d rC

2

2

( , ) 0C

f x y d x x

F r




Jika kita tulis F = P i +Q j,

maka

Pada C 2, y konstan; jadi, dy = 0.

2 2C C d P dx Q dy F r




Menggunakan t sebagai parameter, dengan

x 1 ≤ t ≤ x ,

diperoleh:

2

1

( , )

, ,

C

x

x

f x y P dx Q dy x x

P t y dt P x y x




Dengan cara yang sama, menggunakan

segmen garis vertikal, ditunjukkan bahwa:

y f ( x, y)

y P dx Q dy

C 2

y

Q x,t dt y

1

y

Q x, y




Jadi,

Ini mengatakan bahwa F adalah konservatif.

P Q

f f

x y f

F i j

i j




Pertanyaan:

Bagaimana menentukan apakah suatu

medan vector konservatif atau tidak?

MENENTUKAN MEDAN VEKTOR KONSERVATIF



Anggap sudah diketahui bahwa F = P i + Q j

adalah konservatif —dengan P dan Q memiliki

turunan parsial orde-pertama yang kontinyu.

Selanjutnya, ada fungsi f sehingga ,

yaitu, F f

dan

f f P Q x y




Oleh karena itu, dengan Teorema

Clairaut,

2 2

P f f Q y y x x y x




Jika

F( x , y ) = P ( x , y ) i + Q( x , y ) j

adalah medan vektor konservatif, dengan P dan Q memiliki turunan parsial orde-pertama

kontinyu pada domain D, selanjutnya, di

seluruh D,

diperoleh: P Q

y x

Teorema 5MEDAN VEKTOR KONSERVATIF



Kebalikan dari Teorema 5

adalah benar hanya untuk daerah

dengan tipe khusus.




KURVA SEDERHANA

Untuk menjelaskannya, pertama kita butuh

konsep kurva sederhana—suatu kurva yang

tidak memiliki perpotongan dengan dirinya

sendiri dimana sajaantara titik-titik ujungnya.

r (a) = r (b) untuk kurvatertutup sederhana.

Namun, r (t1) ≠ r (t2)

ketika a < t 1

< t 2

< b.



Misalkan F = P i + Q j merupakan medan

vektor pada suatu daerah terhubung-

sederhana D.

Anggap bahwa P dan Q memiliki turunan

parsial orde-pertama kontinyu dan

di seluruh D.

maka, F adalah konservatif.

P Q

y x

Teorema 6MEDAN VEKTOR KONSERVATIF



Tentukan apakah medan vektor

F( x , y ) = ( x – y ) i + ( x – 2) j

konservatif atau tidak.

Misalkan P ( x , y ) = x – y dan Q( x , y ) = x – 2.

Selanjutknya,

Karena ∂P /∂y ≠ ∂Q/∂ x , F bukan medan vektor

konservatif berdasarkan Teorema 5.

1 1 P Q

y x

Contoh 2MEDAN VEKTOR KONSERVATIF



CONSERVATIVE VECTOR FIELDS

The vectors in the figure that start on

the closed curve C all appear to point in

roughly the same direction as C .

Thus, it looks as if

and so F is not conservative.

The calculation in Example

2 confirms this impression.

0C

dr F



Tentukan apakah medan vektor

F( x , y ) = (3 + 2 xy ) i + ( x 2 – 3y 2) j

konservatif atau tidak.

Misalkan P ( x , y ) = 3 + 2 xy dan Q( x , y ) = x 2 – 3y 2.

maka,2 P Q x

y x

Contoh 3MEDAN VEKTOR KONSERVATIF



Juga, domain F adalah seluruh bidang

(D = ), yang terbuka dan terhubung-sederhana.

Oleh karena itu, kita dapat menggunakan

Teorema 6 dan menyimpulkan bahwa F adalah

medan vektor konservatif.

Contoh 3

° 2




CONSERVATIVE VECTOR FIELDS

Some vectors near the curves C 1 and C 2 in

the figure point in approximately the same

direction as the curves, whereas others point

in the opposite direction.

So, it appears plausible

that line integrals around

all closed paths are 0. Example 3 shows that F

is indeed conservative.



MENCARI FUNGSI POTENSIAL

Dalam Contoh 3, Teorema 6 mengatakan

bahwa F adalah medan vektor konservati.

Namun demikian, ini tidak mengatakan

kepada kita bagaimana mencari fungsi

(potensial) f sehingga . f F



Pembuktian dari Teorema 4 memberikan

petunjuk kepada kita bagaimana mencari

f .

Kita gunakan “integral parsial” seperti pada

contoh berikut ini.

MENCARI FUNGSI POTENSIAL



a. Jika F( x , y ) = (3 + 2 xy ) i + ( x 2 – 3y 2) j,

tentukan fungsi f sehingga .

b. Hitung integral garis ,

dengan C adalah kurva yang diberikan oleh

r (t ) = et sin t i + et cos t j 0 ≤ t ≤ π

f F

C d F r

Contoh 4MENCARI FUNGSI POTENSIAL



Dari Contoh 3, kita tahu bahwa F adalah

konservatif.

Jadi, ada sebuah fungsi f dengan ,

yaitu,f x ( x , y ) = 3 + 2 xy

f y ( x , y ) = x 2 – 3y 2

f F

Cth. 4 a—Pers. 7 & 8MENCARI FUNGSI POTENSIAL



Mengintegrasikan Persamaan 7 terhadap x ,

kita dapatkan:

f ( x , y ) = 3 x + x 2y + g(y )

Perhatikan bahwa konstanta integrasi adalah

konstanta terhadap x , yaitu, fungsi y , kita sebut

g (y ).

Cth. 4 a—Pers. 9MENCARI FUNGSI POTENSIAL



Berikutnya, kita turunkan kedua sisi dari

persamaan 9 terhadap y :

f y ( x , y ) = x 2 + g’ (y )

Cth. 4 a—Pers. 10MENCARI FUNGSI POTENSIAL



Membandingkan Persamaan 8 dan 10,

kita lihat bahwa:

g’ (y ) = –3y 2

Integrasikan terhadap y ,

diperoleh:

g(y ) = –y 3 + K

dengan K adalah konstanta.

Contoh 4 aMENCARI FUNGSI POTENSIAL



Menempatkan ini dalam Persamaan 9,

diperoleh

f ( x , y ) = 3 x + x 2y – y 3 + K

sebagai fungsi potensial yang diinginkan.

Contoh 4 aMENCARI FUNGSI POTENSIAL



Untuk menggunakan Teorema 2, kita semua

telah mengetahui bahwa titik awal dan akhir

dari C , disebut,

r (0) = (0, 1)

r (π ) = (0, –eπ )

Contoh 4 bMENCARI FUNGSI POTENSIAL



Dalam bentuk f ( x , y ) pada bagian a,

sembarang nilai konstanta K memenuhi.

Jadi, kita pilih K = 0.




Selanjutnya, diperoleh:

Cara ini lebih singkat daripada cara langsung untuk

menghitung integral garis seperti yang sudah

dipelajari pada bab 2.

3 3

0, 0,1

1 1

C C dr f dr f e f

e e

F




Jika

F( x , y , z ) = y 2 i + (2 xy + e3z ) j + 3ye3z k

tentukan fungsi f sehingga . f F




Jika ada fungsi f yang memenuhi,

maka

f x ( x , y , z ) = y 2

f y ( x , y , z ) = 2 xy + e3z

f z ( x , y , z ) =3ye3z

Cth. 5—Pers. 11-13MENCARI FUNGSI POTENSIAL



Mengintegrasikan Persamaan 11 terhadap x ,

kita dapatkan:

f ( x , y , z ) = xy 2 + g (y , z )

dengan g (y , z ) adalah konstanta terhadap x .

Cth. 5—Persamaan 14MENCARI FUNGSI POTENSIAL

C h 5C GS O S



Selanjutnya, turunkan Persamaan 14

terhadap y , kita dapatkan:

f y ( x , y , z ) = 2 xy + g y (y , z )

Bandingkan dengan Persamaan 12

memberikan:g y (y , z ) = e3z


C t h 5MENCARI FUNGSI POTENSIAL



Sehingga,

g (y , z ) = ye3z + h(z )

Jadi, kita tulis ulang Persamaan 14 sebagai:

f ( x , y , z ) = xy 2

+ ye3z

+ h(z )





Terakhir, turunkan terhadap z

dan bandingkan dengan Persamaan 13,

diperoleh:

h’ (z ) = 0

Sehingga, h(z ) = K , konstanta.





Fungsi potensialnya adalah:

f ( x , y , z ) = xy 2 + ye3z + K

Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa . f F


CONSERVATION OF ENERGY




Let’s apply the ideas of this chapter to

a continuous force field F that moves

an object along a path C given by:

r (t ), a ≤ t ≤ b

where:

r (a) = A is the initial point of C .

r (b) = B is the terminal point of C .




By Newton’s Second Law of Motion,

the force F(r (t )) at a point on C is related to

the acceleration a(t ) = r ’’ (t ) by the equation

F(r (t )) = mr ’’(t )





So, the work done by the force on

the object is:

'

'' '

C

b

a

b

a

W

dr

t t dt

m t t dt

F

F r r

r r






(Th. 3,

Sec. 13.2,

Formula 4)

(FTC)

2 2

2 2

' '2

' '2 2

' '2

b

a

bb

a a

m d t t dt

dt

m d mt dt t

dt

m b a

r r

r r

r r

CONSERVATION OF ENERGY Equation 15



Therefore,

where v = r ’ is the velocity.

2 21 12 2

( ) ( )W m b m a v v


KINETIC ENERGY



The quantity

that is, half the mass times the square

of the speed, is called the kinetic energyof the object.

21

2 ( )m t v

KINETIC ENERGY




Therefore, we can rewrite Equation 15

as:

W = K (B) – K ( A)

This says that the work done by the force field

along C is equal to the change in kinetic energy

at the endpoints of C .





Now, let’s further assume that F is

a conservative force field.

That is, we can write . f F


POTENTIAL ENERGY



In physics, the potential energy of an object

at the point ( x , y , z ) is defined as:

P ( x , y , z ) = –f ( x , y , z )

So, we have . P F

POTENTIAL ENERGY




Then, by Theorem 2, we have:

C

C

W d

P d

P b P a

P A P B

F r

r

r r





Comparing that equation with

Equation 16, we see that:

P ( A) + K ( A) = P (B) + K (B)





P ( A) + K ( A) = P (B) + K (B)

says that:

If an object moves from one point A toanother point B under the influence of

a conservative force field, then the sum

of its potential energy and its kinetic energy

remains constant.


LAW OF CONSERVATION OF ENERGY



This is called the Law of Conservation

of Energy.

It is the reason the vector field is called

conservative.

LAW OF CONSERVATION OF ENERGY

03_teorema dasar integral garis

Documents