modul 6- garis pengaruh, garis pengaruh, statika dan mekanika dasar

STATIKA I

MODUL 6GARIS PENGARUH

Dosen Pengasuh :Ir. Thamrin Nasution

Materi Pembelajaran :1. Balok Diatas Dua Perletakan.2. Balok Menganjur (Overhang).3. Rangkaian Muatan

Beban Terpusat. Beban Terbagi Rata.

4. Balok Bersendi Gerber.

WORKSHOP/PELATIHAN

Tujuan Pembelajaran : Mahasiswa memahami dan mengetahui tentang garis pengaruh, untuk balok diatas dua

perletakan, balok menganjur (overhang), rangkaian muatan dan balok bersendi gerber.

DAFTAR PUSTAKA

a) Soemono, Ir., “STATIKA 1”, Edisi kedua, Cetakan ke-4, Penerbit ITB, Bandung, 1985.

thamrinnst.wordpress.com

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada

pemilik hak cipta photo-photo, buku-buku rujukan dan artikel, yang terlampir

dalam modul pembelajaran ini.

Semoga modul pembelajaran ini bermanfaat.

Wassalam

Penulis

Thamrin [email protected]

Modul kuliah “STATIKA 1” , Modul 6, 2012 Ir. Thamrin NasutionDepartemen Teknik Sipil, FTSP. ITM.

1

GARIS PENGARUHApabila suatu konstruksi jembatan dilalui oleh kenderaan maka pada suatu titik tertentu

(misal titik C) pada gelagar memanjang akan terdapat gaya-gaya dalam seperti gaya lintang danmomen yang berobah besarnya sesuai dengan letak kenderaan pada saat itu, lihat gambar berikut.

Untuk mengetahui berapa sebenarnya besar gaya lintang maksimum dan momenmaksimum yang mungkin terjadi pada titik C apabila dilalui oleh kenderaan, maka diperlukansuatu diagram yang disebut Garis Pengaruh. Untuk menggambarkan diagram ini digunakanbeban bergerak terpusat tunggal dengan nilai P = 1 ton, yang diletakkan pada beberapa titiksecara bergantian seperti berikut.

1). BALOK DIATAS DUA PERLETAKAN.Keterangan :a. Garis pengaruh RA.

P = 1 t berada di A,RA = + P = + 1 (ton)

P = 1 t berada di C, MB = 0RA = + P . (L-a)/L = + 1 . (L-a)/L (ton)

P = 1 t berada di B,RA = 0 (ton)

b. Garis pengaruh RB

P = 1 t berada di A,RB = 0 (ton)

P = 1 t berada di C, MA = 0RB = + P . a/L = + 1 . a/L (ton)

P = 1 t berada di B,RB = + P = + 1 (ton)

c. Garis pengaruh Gaya lintang pada titik C.P = 1 t berada di A, Ra = + P = + 1 t, Dc = Ra – P = 0P = 1 t berada di C (P belum melewati C),

MB = 0RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)Dc = RA – P = P . (L-a)/L – P = P . (L-a)/L – P . L/L = – P . a/LDc = – a/L (ton)

BP1 P2

A


2

P = 1 t berada di C (P sudah melewati C), MB = 0RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)Dc = + RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)

d. Garis pengaruh Momen pada titik C.P = 1 t berada di C,

MB = 0Ra = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)Mc = RA . a = P . (L-a)/L . a = a . (L-a)/L (t.m.)

GP.DC

a

A B

C

P =1 ton

L - a

Garis pengaruhReaksi

L

GP.RA + 1

GP.RB+ 1

(L-a)/L

a/L

-a/L

+(L-a)/LGaris pengaruhGaya Lintang

+ 1

- 1

Garis pengaruhMomen

GP.MC

+ a . (L-a)/L

–

+

+

+

+


3

2). BALOK MENGANJUR (OVERHANG).

Keterangan :a. Garis pengaruh RA.

P = 1 t berada di A, RA = + P = + 1 (ton)P = 1 t berada di C,

MB = 0RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)

P = 1 t berada di B, Ra = 0 (ton)P = 1 t berada di D,

MB = 0RA .L + P . b = 0

GP.DC

a

A BC

P =1 ton

L - a

Garis pengaruhReaksi

L

GP.RA + 1

GP.RB+ 1

(L-a)/L

a/L

-a/L

+(L-a)/LGaris pengaruhGaya Lintang

+ 1

- 1

Garis pengaruhMomen

GP.MC

+ a . (L-a)/L

- b/L

b

(L+b)/L

- b/L

+

–

+

+

– –

- a.b/L

+

D

–


4

RA = - P . b/L = - b/L (ton)b. Garis pengaruh RB

P = 1 t berada di A, RB = 0 (ton)P = 1 t berada di C,

MA = 0RB = + P . a/L = + a/L (ton)

P = 1 t berada di B, RB = + P = + 1 (ton)P = 1 t berada di D,

MA = 0- RB .L + P . (L + b) = 0RB = + P . (L + b)/L = + (L + b)/L (ton)

c. Garis pengaruh Gaya lintang pada titik C.P = 1 t berada di A,

RA = + P = + 1 t,Dc = RA – P = 0

P = 1 t berada di C (P belum melewati C), MB = 0RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)Dc = RA – P = P . (L-a)/L – P = P . (L-a)/L – P . L/L = – P . a/LDc = – a/L (ton)

P = 1 t berada di C (P sudah melewati C), MB = 0RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)Dc = + RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)

P = 1 t berada di D, MB = 0RA . L + P . b = 0RA = - P . b/L = - b/L (ton)Dc = - b/L (ton)

d. Garis pengaruh Momen pada titik C.P = 1 t berada di C,

MB = 0RA = + P . (L-a)/L = + (L-a)/L (ton)Mc = RA . a = P . (L-a)/L . a = a . (L-a)/L (t.m.).

P = 1 t berada di D, MB = 0RA .L + P . b = 0RA = - P . b/L = - P . b/L (ton)Mc = RA . a = - P . b/L . a = - a . b/L (t.m.).


5

3). RANGKAIAN MUATAN.Besar gaya lintang maksimum positip/negatip dan momen maksimum untuk muatan

bergerak terpusat (P) dan terbagi rata (q) pada titik C.

A. Muatan terpusat.

a. Gaya lintang maksimum positip, beban berada pada posisi 1.Lihat gambar G.P.Dc posisi 1. Karena P1 > P2, maka P1 ditempatkan pada ordinat terbesar.

- Ordinat-ordinat,Y1 = + (L – a)/L = (10 – 4)/10 = + 0,6Y2 = + Y1 . {(L – a) – 2}/(L – a)

= + 0,6 . {(10 – 4) – 2}/(10 – 4)= + 0,4

- Gaya lintang maksimum positip,DC maks + = + P1 . Y1 + P2 . Y2

= + 2 (t) . 0,6 + 1 (t) . 0,4= + 1,6 ton.

b. Gaya lintang maksimum negatip, beban berada pada posisi 2.Lihat gambar G.P.Dc posisi 2.

- Ordinat-ordinat,

GP.DC

a = 4 m

A B

C

L - a

L = 10 m

-a/L

Y1 = +(L-a)/L+ 1

- 1

P2 = 1 tP1 = 2 t

2 m

P2 = 1 tP1 = 2 t

2 m

Posisi 1Gaya lintang

maksimum positip

Y2

GP.DC

Y1 = -a/L

+(L-a)/L+ 1

- 1

P2 = 1 t P1 = 2 t

2 m


maksimum negatip

Y2

Garis pengaruh Gaya Lintang

+

–

+

–

2 m

L - a

Y1Y2


6

Y1 = – a/L = – 4/10 = – 0,4Y2 = – Y1 . (a – 2)/a

= – 0,4 . (4 – 2)/4= – 0,2

- Gaya lintang maksimum negatip,DC maks - = – P1 . Y1 – P2 . Y2

= – 2 (t) . 0,4 – 1 (t) . 0,2= – 1,0 ton.

c. Momen maksimum.Untuk mendapatkan momen maksimum dilakukan dengan coba-coba, yaitu beban

ditempatkan pada posisi-posisi 1 s/d 5.

- Pada posisi 1.Lihat gambar G.P.Mc posisi 1, karena P1 > P2, maka P1 ditempatkan pada ordinat terbesar,ordinat-ordinat tersebut,

Y1 = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m.Y2 = + Y1 . {(L – a) – 2}/(L – a) = + 6 . {(10 – 4) – 2}/(10 – 4) = + 4 m.

A B

C

L - a

Garis pengaruh Momen

Y1 = + a . (L-a)/L

P2 = 1 tP1 = 2 t

2 m

P2 = 1 tP1 = 2 t

2 mAlternatip penempatanbeban dalam mencarimomen maksimum.

Y2

GP.McPosisi 1

Y1 = + a . (L-a)/L

Y2

P2 = 1 t P1 = 2 t

2 m

GP.McPosisi 2

a = 4 m

L = 10 m

+

+

2 m

a

Y1Y2


7

Momen,Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 6 + 1 . 4 = + 16 t.m.

- Pada posisi 2.Lihat gambar G.P.Mc posisi 2, karena P1 > P2, maka P1 ditempatkan pada ordinat terbesar,ordinat-ordinat tersebut,

Y1 = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m.Y2 = + Y1 . (a – 2)/a = + 6 . (4 – 2)/4 = + 3 m.

Momen,Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 6 + 1 . 3 = + 15 t.m.

- Pada posisi 3.Lihat gambar G.P.Mc posisi 3, resultan R (P1+P2) ditempatkan pada ordinat terbesar (Y).Letak resultan R,

X2 . (P1 + P2) = P1 . (2 m)X2 = 2/(2 + 1) . (2 m) = 4/3 m = 1,33 m.

X1 . (P1 + P2) = P2 . (2 m)

a

A B

C

L - a

L


P2 = 1 tP1 = 2 t

2 m

Alternatip penempatanbeban dalam mencarimomen maksimum.

Y = + a . (L-a)/L

P2 = 1 tP1 = 2 t

2 m

Y2Y1

GP.McPosisi 3

Y = + a . (L-a)/L

Y2 Y1

GP.McPosisi 4

P2 = 1 t P1 = 2 t

2 m

P2 = 1 t P1 = 2 t

2 m

R = 3 t

4/3 m 2/3 m

X1X2

+

+

X1 + X2 = 2 m


8

X1 = 1/(2 + 1) . (2 m) = 2/3 m = 0,67 m.Ordinat-ordinat,

Y = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m.Y1 = + Y . (a – 0,67)/a = + 6 . (4 – 0,67)/4 = + 5 m.Y2 = + Y . {(L – a) – 1,33}/(L – a) = + 6 . {(10 – 4) – 1,33}/(10 – 4) = + 4,67 m

Momen,Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 5 + 1 . 4,67 = + 14,67 t.m.

- Pada posisi 4.Lihat gambar G.P.Mc posisi 4, resultan R (P1+P2) ditempatkan pada ordinat terbesar (Y) tetapiposisi terbalik dari posisi 3.

Ordinat-ordinat,Y = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m.Y1 = + Y . {(L – a) – 0,67}/(L – a) = + 6 . {(10 – 4) – 0,67)/(10 – 4) = + 5,33 m.Y2 = + Y . (a – 1,33)/a = + 6 . (4 – 1,33)/4 = + 4 m.

Momen,Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 5,33 + 1 . 4 = + 14,67 t.m.

- Pada posisi 5.Lihat gambar G.P.Mc posisi 5, P1 dan P2 ditempatkan pada posisi dimana ordinat Y1 dan Y2besarnya sama.Ordinat-ordinat,

Y = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m.Y1 = + Y . {L – (x + 2)}/(L – a) ...................(2)Y2 = + Y . x/(a) ...................(1)

a

A B

C

L - a

L


P2 = 1 tP1 = 2 t

2 m

Alternatip penempatanbeban dalam mencarimomen maksimum.

P2 = 1 t P1 = 2 t

2 m

R = 3 t

4/3 m 2/3 m

X1X2

Y = + a . (L-a)/L

Y2 Y1

GP.McPosisi 5

P2 = 1 t P1 = 2 t

2 m

Y1 = Y2

x

+


9

Dari (1) dan (2),Y1 = Y2Y . {L – (x + 2)}/(L – a) = Y . x/(a){L – (x + 2)} . (a) = x . (L – a)a . L – x . a – 2 . a = x . L – x . ax . L = a . L – 2 . ax = a . (L – 2)/L = 4 . (10 – 2)/10x = 3,2 m (dari kiri).

Maka,Y1 = + Y . {L – (x + 2)}/(L – a) = + 6 . {10 – (3,2 + 2)}/(10 – 4) = + 4,8 mY2 = + Y . x/(a) = 6 . 3,2/4 = 4,8 mY1 = Y2 (memenuhi).

Momen,Mc = + P1 . Y1 + P2 . Y2 = + 2 . 4,8 + 1 . 4,8 = + 14,4 t.m.

Perhatikan tabel berikut ini yang menggambarkan besar momen berdasarkan letak bebanbergerak,

Posisi Momen (t.m’)1 16,002 15,003 14,674 14,675 14,40

Momen maksimum terjadi pada pembebanan posisi 1.


10

B. Muatan terbagi rata.

a. Gaya lintang maksimum positip, beban berada pada posisi 1.Lihat gambar G.P.Dc posisi 1.

- Ordinat-ordinat,Y1 = + (L – a)/L = (10 – 4)/10 = + 0,6Y2 = + Y1 . {(L – a) – 2}/(L – a)

= + 0,6 . {(10 – 4) – 2}/(10 – 4)= + 0,4

- Luas bidang antara Y1 dan Y2,F = (2 m) . (Y1 + Y2)/2 = (2 m) . ( 0,6 + 0,4)/2 = 1 m.

- Gaya lintang maksimum positip,DC maks + = + q . F

= + (2 t/m’) . (1 m)= + 2 ton.

GP.DC

a = 4 m

A B

C

L - a

L = 10 m

-a/L

Y1 = +(L-a)/L+ 1

- 1


maksimum positipY2

GP.DC

Y1 = -a/L

+(L-a)/L+ 1

- 1


maksimum negatip

Y2

Garis pengaruh Gaya Lintang 2 m

q = 2 t/m’

2 m

q = 2 t/m’

2 m

q = 2 t/m’

+

–

–

+

2 m

q = 2 t/m’

Y1 = (L – a)/LY2

L – a

+


11

b. Gaya lintang maksimum negatip, beban berada pada posisi 2.Lihat gambar G.P.Dc posisi 2.

- Ordinat-ordinat,

Y1 = – a/L = – 4/10 = – 0,4Y2 = – Y1 . (a – 2)/a

= – 0,4 . (4 – 2)/4= – 0,2

- Luas bidang yang diarsir,F = – (2 m) . (Y1 + Y2)/2 = – (2 m) . ( 0,4 + 0,2)/2 = 0,6 m.

- Gaya lintang maksimum negatip,DC maks - = – q . F

= – (2 t/m’) . (0,6 m)= – 1,2 ton.

c. Momen maksimum.

a

A B

C

L - a

L


Y1 = + a . (L-a)/L

Y2GP.McPosisi 1

Y1 = + a . (L-a)/L

Y2

GP.McPosisi 2

+

+

2 m

q = 2 t/m’

2 m

q = 2 t/m’

2 m

q = 2 t/m’

2 m

q = 2 t/m’

a

Y1 = - a/LY2–


12

Untuk mendapatkan momen maksimum dilakukan dengan coba-coba, yaitu bebanditempatkan pada posisi-posisi 1 s/d 3.- Pada posisi 1.Lihat gambar G.P.Mc posisi 1, beban ditempatkan sebelah kanan potongan C, ordinat-ordinattersebut,

Y1 = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m.Y2 = + Y1 . {(L – a) – 2}/(L – a) = + 6 . {(10 – 4) – 2}/(10 – 4) = + 4 m.

Luas bidang yang diarsir,F = + (2 m) . (Y1 + Y2)/2 = + (2 m) . {6 m + 4 m}/2 = 10 m2.

Momen,Mc = + q . F

= + (2 t/m’) . (10 m2)= + 20 t.m’.

- Pada posisi 2.Lihat gambar G.P.Mc posisi 2, beban ditempatkan disebelah kiri pada potongan C, ordinat-ordinat tersebut,

Y1 = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m.Y2 = + Y1 . (a – 2)/a = + 6 . (4 – 2)/4 = + 3 m.

Luas bidang yang diarsir,F = + (2 m) . (Y1 + Y2)/2 = + (2 m) . {6 m + 3 m}/2 = 9 m2.

Momen,Mc = + q . F

= + (2 t/m’) . (9 m2)= + 18 t.m’.

2 m

q = 2 t/m’

Y1Y2

a

2 m

q = 2 t/m’

Y1Y2

L – a


13

- Pada posisi 3.Lihat gambar G.P.Mc posisi 3, beban ditempatkan pada posisi dimana ordinat Y1 dan Y2besarnya sama.

Ordinat-ordinat,Y = + a . (L – a)/L = + 4 . (10 – 4)/10 = + 6 m.Y1 = + Y . x/a ...................(1)Y2 = + Y . {L – (x + 2)}/(L – a) ...................(2)

Dari (1) dan (2),Y1 = Y2Y . x/a = Y . {L – (x + 2)}/(L – a)x . (L – a) = {L – (x + 2)} . ax . L – x . a = a . L – x . a – 2 . ax . L = a . L – 2 . ax = a . (L – 2)/L = 4 . (10 – 2)/10x = 3,2 m (dari kiri).

Maka,Y1 = + Y . x/a = 6 . 3,2/4 = 4,8 m.Y2 = + Y . {L – (x + 2)}/(L – a) = + 6 . {10 – (3,2 + 2)}/(10 – 4)

a

A B

C

L - a

L


Y = + a . (L-a)/L

Y2Y1

GP.McPosisi 3

Y1 = Y2

x

+

2 m

q = 2 t/m’

2 m

q = 2 t/m’

Y1 Y2F1 F2


14

= + 4,8 m (Y1 = Y2 memenuhi).

Luas bidang yang diarsir,F = F1 + F2

= + (a – x) . (Y1 + Y)/2 + {2 m – (a – x)} . (Y2 + Y)/2= + (4m – 3,2m) . {6m + 4,8m}/2 + {2m – (4m – 3,2m)} . {6m + 4,8m}/2= 4,32 + 6,48

F = 10,8 m2.

Momen,Mc = + q . F

= + (2 t/m’) . (10,8 m2)= + 21,6 t.m’.

Perhatikan tabel berikut ini yang menggambarkan besar momen berdasarkan letak bebanbergerak,

Posisi Momen (t.m’)1 20,002 18,003 21,60

Momen maksimum terjadi pada pembebanan posisi 3.

SILAHKAN COBA

Muatan bergerak,

Diminta : Hitunglah gaya lintang maksimum positip dan negatip dan momen maksimum positipdan negatip pada tampang C.

Dimana, X = angka terakhir no.stb, misal 99101023, maka X = 3(meter/ton).

A C B D

a = 2,5 m

b = 3 mL = (6+X) m

L - a

P1 = (3+X) t

a = 2 m

P2 = (1+X) t


15

4). BALOK BERSENDI GERBER.

A B CD

L

S

L1b

a L - a

GP.RA

+ 1

- b/L

+ (L – a)/L

+1+ (L+b)/L

+ a/LGP.RB

+ 1

- 1 - b/L

GP.DC

- a/L

+(L-a)/L

GP.MC

+ a.(L-a)/L

- a.b/L

+

+

+

+

– –

–


16

modul 6- garis pengaruh, garis pengaruh, statika dan mekanika dasar

Engineering