kuliah ketiga statika

Ilmu Gaya : Superposisi gaya / resultante gaya

Kuliah ketiga

Tujuan Kuliah

Memberikan pengenalan dasar-dasar ilmu gaya

Diharapkan pada kuliah ketiga mahasiswa mengenali konsep dasar superposisi gaya-gaya yang bekerja segaris dan sebidang

Materi kuliah : konsep dasar tentang superposisi gaya-gaya segaris, gaya-gaya konkuren, gaya-gaya koplanar dan gaya-gaya sejajar dengan cara analitis dan grafis

Pada bagian kedua dari kuliah Statika kita sudah berkenalan dengan Gaya yang secara grafis digambarkan sebagai tanda panah.

Definisi : Gaya merupakan besaran vektor yang dinyatakan dengan Besar (magnitude) dan Arah.

Tempat kerja gaya juga dikenal sebagai garis kerja gaya

Besar gaya 3 tonf dengan arah horizontal (kemiringan arah gaya = 0o)

Besar gaya 3 kN dengan arah 11.3o terhadap horizontal

Catatan : karena gaya digambarkan sebagai Anak Panah (Vektor), maka penggambaran gaya secara grafis harus selalu disertai dengan skala penggambaran.

Pada bagian kedua dari kuliah Statika kita sudah melihat bagaimana dua gaya jika bekerja pada satu benda yang sama. Akibat kedua gaya tersebut seolah-olah benda mengalami gaya pengganti yang besarnya merupakan SUPERPOSISI dari dua gaya. Arah Superposisi dari kedua gaya juga dapat ditentukan dengan cara grafis atau analistis. FR merupakan superposisi dari gaya F1 dan F2. Dalam ilmu gaya, superposisi dari dua atau lebih gaya juga dikenal dengan nama RESULTANTE Gaya. Arah kemiringan dari kedua gaya FX dan FY yaitu sebesar a dapat ditentukan dari a = arctan (FY/FX)

FX

FYarctan

Besar gaya resultante FR dapat dihitung secara ANALITIS dan GRAFIS

FX

FYarctan

22 FFF YXR

Cara Analitis

Cara Grafis

Contoh lain :

kN5.65744S2S1SK2222

SK = 113.15 / 20 x 1 kN = 5.658 kN

SK = 113.40 / 20 x 1 kN = 5.67 kN

Cara Grafis dengan menggambar segitiga gaya

segitiga gaya

Cara Analitis

S2 = 4 kN

S1 = 4 kN

SK = 5.657 kN

Contoh lain :

S3 = 155 / 40 x 1 kN = 3.875 kN

SV = S1 + S2 cos 31o = 2 + 2 cos 31o = 3.7143 kN

SH = S2 sin 31o = 2 sin 31o = 1.0301 kN

kN855.30301.17143.3S3 22

o15.53.7143

1.0301arctan

Cara Analitis

Cara Grafis dengan segitiga gaya

Superposisi gaya dapat dilakukan pada beberapa gaya yang 1. Garis kerjanya sama / berimpit 2. Garis kerjanya tidak sama tetapi

mempunyai titik tangkap sama (Gaya-gaya Konkuren)

3. Garis kerjanya tidak sama dan titik tangkap gayanya tidak sama (gaya-gaya Koplanar)

4. Garis kerjanya sejajar.

1. Garis kerjanya sama / berimpit

1. Superposisi beberapa gaya dengan garis kerja berimpit

Penjumlahan secara grafis : R = P1 + P2 = 5 cm + 3.5 cm = 8.5 cm (menggunakan penggaris) Skala 1cm = 2 kN R = 17 kN Penjumlahan secara analitis : R = P1 + P2 = 10 kN + 7 kN = 17 kN

Penjumlahan secara grafis : Arah vektor (+) ke kanan Arah vektor (-) ke kiri R = P1 + P2 = 5 cm + (- 6 cm) = - 1 cm Skala 1cm = 2 kN R = -2 kN (tanda negatif menunjukkan arah R ke kiri) Penjumlahan secara analitis : R = P1 + P2 = 10 kN + (- 12 kN) = - 2 kN

Garis kerja dua gaya P1 dan P2 membentuk sudut kemiringan 50.2o. P1 = 16.8 kN P2 = 24.2 kN Penjumlahan secara grafis : Arah vektor (+) ke atas Arah vektor (-) ke bawah R = P1 + P2 = 8.4 cm + ( 12.1 cm) = - 3.7 cm Skala 1cm = 2 kN R = -7.4 kN (tanda negatif menunjukkan arah R ke bawah) Penjumlahan secara analitis : R = P1 + P2 = 16.8 kN + ( 24.2 kN) = - 7.4 kN

R = 36/40 * 8 kN = 7.2 kN Cara Grafis dengan segitiga gaya

Penjelasan Cara Grafis 1. Proyeksikan gaya P1

kearah sumbu X dan Sumbu Y dengan menarik garis sejajar sumbu X dan Sumbu Y

2. Uraikan gaya P2 kearah sumbu X dan sumbu Y

3. Tentukan resultante P1X dan P2X menghasilkan RX () dan ukur panjang RX

4. Tentukan resultante P1Y dan P2Y menghasilkan gaya RY () dan ukur panjang RY

5. Cari resultante RX dan RY menghasilkan gaya R

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

R = 36/40 * 8 kN = 7.2 kN

Cara Analitis :

P1 diuarikan menjadi dua gaya P1X dan P1Y P1X = P1 cos 50.2o = 10.7538 kN P1Y = P1 sin 50.2o = 12.9072 kN P2 diuarikan menjadi dua gaya P2X dan P2Y P2X = P2 cos 50.2o = 15.4907 kN P2Y = P2 sin 50.2o = 18.5925 kN Semua gaya-gaya pada sumbu X disuperposisikan menjadi RX RX = P1X + P2X = 10.7538 kN + (- 15.4907 kN) = -4.7369 kN (ke kiri) () Semua gaya-gaya pada sumbu Y disuperposisikan menjadi RY RY= P1Y + P2Y = 12.9072 kN + (- 18.5925 kN) = -5.6853 kN (ke bawah) ()

Cara Analitis :

Semua gaya-gaya pada sumbu X disuperposisikan menjadi RX RX = P1X + P2X = 10.7538 kN + (- 15.4907 kN) = -4.7369 kN (ke kiri) () Semua gaya-gaya pada sumbu Y disuperposisikan menjadi RY RY= P1Y + P2Y = 12.9072 kN + (- 18.5925 kN) = -5.6853 kN (ke bawah) ()

kN4.76853.57369.4R 22

o2.054.7369

5.6853arctan

Superposisi gaya dapat dilakukan pada beberapa gaya yang 1. Garis kerjanya sama / berimpit 2. Garis kerjanya tidak sama tetapi

mempunyai titik tangkap sama (Gaya-gaya Konkuren)

3. Garis kerjanya tidak sama dan titik tangkap gayanya tidak sama (gaya-gaya Koplanar)


Superposisi dua gaya dengan garis kerja tidak berimpit tetapi mempunyai titik tangkap gaya yang sama (Gaya-gaya Konkuren)

S2 = 4 kN

S1 = 4 kN

SK = 5.657 kN

R = 0.95 cm = 9.5 kN


Cara Analitis

P1X = P1 cos0o = P1 = 6kN P1Y = P1 sin0o = 0 kN P2X = P2 cos45o = 2.97 kN P2Y = P2 sin45o = 2.97 kN RX = P1X + P2X = 8.97 kN RY = P1Y + P2Y = 2.97 kN

9.449kNRY2RX2R

Cara Analitis

Superposisi beberapa gaya (lebih dari dua gaya) dengan garis kerja tidak berimpit tetapi mempunyai titik tangkap gaya yang sama (Gaya-gaya Konkuren)

Sebagai contoh akan dicari superposisi dari 5 gaya P1, P2, P3, P4 dan P5 dengan data-data seperti terlihat pada gambar di samping.

Sudut kemiringan setiap beban ditentukan dari arah sumbu X positif

P1 = 6 KN

P2 = 6.2 KN

15.6O

1

2

71.6135.0

202.9

321.8

P3 = 4.8 KN

P4 = 4.3 KN

P5 = 2.2 KN

3

4

5

59.64

62.1

6

48.08

42.54

21.63

Skala gaya 2 cm = 2 kN

20.00

Cara Grafis dengan membentuk poligon gaya

1. Tentukan titik 0 sembarang. Melalui titik o tarik garis // dan sama dengan panjang gaya P1 (garis o1)

2. Melalui titik 1 tarik garis // dan sama dengan panjang gaya P2 (garis 12)




6. Poligon 012345 merupakan poligon yang tersusun dari garis-garis yang // dan sama dengan gaya-gaya P1,P2, P3, P4 dan P5.

7. Tarik garis 05. Panjang garis 05 menunjukkan panjang gaya R (perhatikan arah panah R)

Alternatif cara grafis dengan cara

memproyeksikan semua gaya ke sumbu

X dan sumbu Y dan mencari resultante RX

dan RY

P1X = P1 cos 15.6o = 5.779 kN P1Y = P1 sin 15.6o = 1.613 kN P2X = P2 cos 71.6o = 1.957 kN P2Y = P2 sin 71.6o = 5.883 kN

P3X = P3 cos 135o = -3.394 kN P3Y = P3 sin 135o = 3.394 kN P4X = P4 cos 202.9o = -3.961 kN P4Y = P4 sin 202.9o = -1.673 kN

P5X = P5 cos 321.8o = 1.729 kN P5Y = P5 sin 321.8o = -1.360 kN

Cara Analitis




RX = P1X + P2X + P3X + P4X + P5X = 5.779 + 1.957 + (-3.394) + (-3.961) + 1.729 = 2.11 kN ()

RY = P1Y + P2Y + P3Y + P4Y + P5Y = 1.613 + 5.883 + 3.394 + (-1.673) + (-1.36) = 7.857 kN ()

kN135.8857.711.2R 22

o97.742.11

7.857arctan

P1 = 6 KN

P2 = 6.2 KN

15.6O

1

2

71.6135.0

202.9

321.8

P3 = 4.8 KN

P4 = 4.3 KN

P5 = 2.2 KN

3

4

5

59.64

62.1

648.08

42.54

21.63

R = 8.1KN

73o

P1 = 6 KN

P2 = 6.2 KN

15.6O

1

2

71.6135.0

202.9

321.8

P3 = 4.8 KN

P4 = 4.3 KN

P5 = 2.2 KN

3

4

5

59.64

62.1

6

48.08

42.54

21.63

R = 8.1KN

73o

Perhatikan bagaimana menghitung dan menggambar sudut arah

resultante gaya. Karena menggambar menggunakan busur derajat, maka

gunakan skala terkecil sebagai acuan penggambaran sudut arah resultante.

Resultante gaya-gaya konkuren dapat dihitung dengan cara grafis dan analitis.

Garis kerja resultante gaya-gaya konkuren selalu melalui titik potong

garis kerja semua gaya.

Titik O merupakan titik potong garis kerja semua

gaya konkuren

Catatan

Superposisi gaya dapat dilakukan pada beberapa gaya yang 1. Garis kerjanya sama / berimpit

(colinear / segaris)) 2. Garis kerjanya tidak sama tetapi

mempunyai titik tangkap sama (concurent / konkuren)

3. Garis kerjanya tidak sama dan titik tangkap gayanya tidak sama (coplanar / koplanar / sebidang)


3. Superposisi beberapa gaya dengan garis kerja tidak berimpit dan titik tangkap gaya tidak berimpit (Gaya-gaya Koplanar).

Cara Grafis dengan Poligon Gaya

Cara Grafis segitiga gaya

P1X = P1 cos 0o = 2 kN P1Y = P1 sin 0o = 0 kN P2X = P2 cos 90o = 0 kN P2Y = P2 sin 90o = 3 kN

P3X = P3 cos 45o = 1.481 kN P3Y = P3 sin 45o = 1.481 kN P4X = P4 cos 90o = 0 kN P4Y = P4 sin 90o = 1.5 kN

RX = P1X + P2X + P3X + P4X = - 2 + 0 + 1.481 + 0= 0.519 kN ()

RY = P1Y + P2Y + P3Y + P4Y = 0 - 3 + 1.481 + (-1.5) = -3.019 kN ()

Cara Analitis

RX = P1X + P2X + P3X + P4X = - 2 + 0 + 1.481 + 0= 0.519 kN ()

RY = P1Y + P2Y + P3Y + P4Y = 0 - 3 + 1.481 + (-1.5) = -3.019 kN ()

kN0635.3019.3519.0R 22

o24.800.519

3.019arctan

RX = P1X + P2X + P3X + P4X = - 2 + 0 + 1.5 + 0= 0.5 kN ()

RY = P1Y + P2Y + P3Y + P4Y = 0 - 3 + 1.5 + (-1.5) = -3.0 kN ()

kN041.335.0R22

o54.80

0.5

3.0arctan

Penyelesaian cara grafis dan analitis hanya menghasilkan resultante gaya.

Dimanakah letak garis kerja gaya resultante?

8 m

8 m

X

Y

P1 =

2 k

N

45o

P2 = 2 kN

P1 =

2 k

N

P2 = 2 kN

//I-II

//I-III

I

II

III

IV

R = 3.6

kN

107.70

23.0

R = 3.6

kNA

B

C

60.00

Skala 6 mm = 2 kN

R = 107.7/60*2 kN = 3.6 kN

Konsep Dasar Mencari Resultante Dua Gaya Koplanar

XY

P1 =

2 k

N

P2 = 2 kN

45o

8 m

8 m

60.00

Skala 6 mm = 2 kN

II

IIII

IV

//I-II

//I-III

A

B

B

107.70

23.0

R = 107.7/60*2 kN = 3.6 kN

P1 =

2 k

N

P2 = 2 kN

R = 3.6

kN

R = 3.6

kN

Pada perhitungan resultante / superposisi beberapa gaya yang bekerja secara koplanar hanya mencari berapa besarnya resultante dan arah resultante gaya tersebut.

Dimanakah letak garis kerja resultante gaya-gaya koplanar tersebut ?

1. Gambar garis kerja setiap gaya yang bekerja pada benda

Mencari resultante gaya-gaya koplanar dan arah garis kerja resultante gaya secara grafis (dengan segitiga gaya)

(1)

1. Gambar garis kerja setiap gaya yang bekerja pada benda

(1)

2. Tentukan titik T12 yang merupakan titik potong garis kerja gaya P1 dan gaya P2. Pada titik T12 tentukan resultante gaya P1 dan P2. R12 adalah resultante gaya P1 dan P2 yang bekerja pada titik T12.

(2)

3. Tentukan titik T124 yang merupakan titk potong garis kerja gaya R12 dan P4. Pada titik T124 tentukan resultante gaya R12 dan P4. R124 adalah resultante gaya R12 dan P4 yang bekerja pada titik T124. R124 juga merupakan resultante dari gaya P1, P2 dan P4

(3)

4. Tentukan titik T1243 yang merupakan titk potong garis kerja gaya R124 dan P3. Pada titik T1243 tentukan resultante gaya R124 dan P3. R1243 adalah resultante gaya R124 dan gaya P3 yang bekerja pada titik T1243. R1243 juga merupakan resultante dari gaya P1, P2, P4 dan P3

(4)

Panjang Gaya R1243 = 60.79 mmBesar gaya R1243 = 3.0395 kN

Sudut kemiringan garis kerja gaya R1243= 80.9o

Titik tangkap R1243 (-54.44,-54.44)

(4)

Kesimpulan :

Akibat gaya P1, P2, P3 dan P4 maka benda akan didorong dengan gaya R1243 dengan garis kerja membentuk sudut 80.9o dan garis kerja gaya R1243 melalui titik T1243 dengan koordinat (-54.44, -54.44)

Jika gambar benda dimasukkan kedalam hasil analisa secara grafis maka akan terlihat bahwa garis kerja resultante gaya-gaya P1, P2, P3 dan P4 (garis kerja gaya R1243)

kira-kira akan melalui titik (-40,40). Garis kerja R1243 melalui titik (-40,40) dan membentuk

sudut 80.9o. Sudut kemiringan R1243 hasil perhitungan dengan cara grafis hampir sama dengan

cara analitis (80.24o)

(4)

Kesimpulan :

Garis kerja resultante gaya gaya P1, P2, P3 dan P4 (gaya R1243) kira-kira akan melalui titik (-40,40) dengan besar

resultante R1243 = 3.04 kN hampir sama dengan cara anlaitis

sebesar 3.06 kN.

Untuk mencari resultante gaya-gaya koplanar dapat dilakukan dengan

urutan gaya yang berbeda.

Latihan : pada kasus yang sama bagaimana proses perhitungan

resultante gaya-gaya tersebut jika urutan gayanya adalah P2-P3-P4-P1

Superposisi gaya dapat dilakukan pada beberapa gaya yang 1. Garis kerjanya sama / berimpit

(colinear / segaris)) 2. Garis kerjanya tidak sama tetapi

mempunyai titik tangkap sama (concurent / konkuren)

3. Garis kerjanya tidak sama dan titik tangkap gayanya tidak sama (coplanar / koplanar / sebidang)


4. Pengantar : superposisi beberapa gaya dengan garis kerja yang sejajar.

Berat balok diabaikan

Kedua beban W1 dan W2 mempunyai berat yang sama (10 kN) dan jarak terhadap as juga sama (300 cm)

Akibat kedua beban tersebut maka balok tidak berputar. Balok ada pada kondisi seimbang

Pada kedua ujung balok bekerja beban sama W1 = W2 = 10 kN Jarak beban ke as tumpuan a1 = a2 = 300 cm Balok akan tetap mendatar karena pada balok terjadi keseimbangan gaya vertikal maupun momen putar. R = resultante gaya W1 dan W2 RW = reaksi akibat beban W1 dan W2 R = W1 + W2 RW = R (garis kerja gaya RW dan R berimpit / satu garis) M1 = M2 = 30 kN m

Benda akan seimbang dan garis kerja resultante gaya W1 dan W2 akan mempunyai garis kerja yang sama dengan garis kerja gaya RW (R dan RW mempunyai garis keja yang sama dan arahnya berlawanan.

Jika pada balok bekerja dua gaya W1 dan W2 masing-masing dengan berat 10 KN, maka balok akan berdiri seimbang. Posisi resultante dari kedua gaya W1 dan W2 yaitu R akan terletak di tengah bentang balok atau pada posisi titik penumpu. Jika ada dua gaya

bekerja sejajar dengan besar gaya sama, maka posisi resultante di tengah-tengah antara kedua beban. Besar Resultante = jumlah kedua beban

Pada uraian di atas cara mencari posisi resultante gaya W1 dan W2 dicari dengan keseimbangan momen kiri (M1) dan momen kanan (M2) yang terjadi pada garis kerja atau posisi tumpuan. Cara lain juga dapat dilakukan dengan mencari keseimbangan momen di titik 1 atau titik 2 atau di titik mana saja pada balok.

Jika kita kembali pada konsep keseimbangan struktur maka keseimbangan akan terpenuhi jika memenuhi 3 syarat :

V = 0 H = 0 M = 0

Jika kita kembali pada konsep keseimbangan struktur maka keseimbangan akan terpenuhi jika memenuhi 3 syarat : V = 0 (jumlah gaya-gaya vertikal = 0) H = 0 (jumlah gaya-gaya horizontal = 0) M = 0 (jumlah momen putar = 0)

Pada contoh balok di samping, akibat kedua gaya W1 dan W2 maka akan timbul reaksi RW yang nilainya sama dengan W1 + W2 (Gaya-gaya seimbang pada arah vertikal V = 0. Karena pada balok tidak ada gaya horizontal, maka H = 0. Jika ditinjau keseimbangan gaya-gaya pada titik 1, maka pada balok bekerja dua momen M2 dan MW. M2 = W2 * 600 = 10 kN * 6 m = 60 kNm MW = RW * 300 = 20 kN * 3 m = 60 kNm M2 = MW M = 0.

Jika ditinjau keseimbangan gaya gaya pada titik 2 Pada balok bekerja dua momen M1 dan MW. M1 = W1 * 600 = 10 kN * 6 m = 60 kNm MW = RW * 300 = 20 kN * 3 m = 60 kNm M1 = MW M = 0.

Jika ditinjau keseimbangan pada titik 3 Pada balok bekerja tiga momen M1, M2 dan MW. M1 = W1 * 150 = 10 kN * 1.5 m = 15 kNm M2 = W2 * 450 = 10 kN * 4.5 m = 45 kNm MW = RW * 150 = 20 kN * 1.5 m = 30 kNm M1 + MW = M2 M = 0.

Ga

ris K

erj

a G

ay

a W

1

Ga

ris K

erj

a G

ay

aW

2

1 2H Garis Kerja Gaya H

W1 = 10 kN W2 = 10 kN

RW1H

Garis Kerja Gaya RW1H

TW1W2

RW2H

H

RW1HRW2H

K

RW1W2

40

RW1W2

20.00

Skala 20 mm = 10 kN

20.0

0

20.0

0

600

300 300

Ga

ris K

erj

a G

ay

a R

W1

W2

Garis Kerja Gaya RW2H

Pengantar Menentukan

Resultante Gaya-Gaya Sejajar Secara

Grafis

Disamping cara analitis tersebut, untuk mencari posisi gaya resultante juga dapat dilakukan dengan cara grafis.

Buat gaya bantu H sebarang (mis 12.75

kN) pada dua titik 1 dan 2 dengan arah

saling berlawanan. Pada titik 1 arah

gaya H kekanan dan pada titik 2 arah

gaya H kekiri

Buat resultante gaya W1 dan H (RW1H) di titik 1.

Buat resultante gaya W2 dan H (RW2H) di titik 2.

Kedua garis kerja gaya RW1H dan RW2H

berpotongan pada titik TW1W2.

Melalui titik TW1W2 buat resultante gaya RW1H

dan RW2H menjadi RW1W2. Garis kerja RW1W2

akan memotong garis kerja H di titik K.

Titik K mempunyai jarak 300 cm dari titik 1 dan

300 cm dari titik 2

RW1W2 merupakan resultante dari gaya W1, dan W2. Panjang

vektor gaya RW1W2 = 40 mm

RW1W2 = 40/20*10 kN = 20 kN

kuliah ketiga statika

Documents