diktat kuliah statika struktur · diktat kuliah statika struktur disusun oleh: ma’ruf , st., mt....

DIKTAT KULIAH STATIKA STRUKTUR

Disusun Oleh:

MA’RUF , ST., MT.

PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

2016

BAB 1

PRINSIP UMUM DAN KONSEP DASAR MEKANIKA

1.1 MEKANIKA

Mekanika adalah cabang ilmu fisika yang berbicara tentang keadaan diam atau

gerk benda-benda yang mengalami kerja/aksi gaya. Mekanika dibagi lagi

menjadi tiga cabang yaitu; mekanika benda tegar, mekanika benda deformable

(dapat berubah bentuk), dan mekanika fluida.

Mekanika benda tegar dibagi lagi menjadi dua bidang; statika dan dinamika.

Statika berhubungan dengan benda-benda diam maupun bergerak yang

setimbang, sedangkan dinamika berhubungan dengan gerak benda-benda yang

dipercepat.

1.2 KONSEP DASAR

Sebelum memulai studi mekanika benda tegar, penting dipahami beberapa

konsep dan prinsip dasar dalam mekanika.

1. Panjang

Diperluan untuk menempatkan posisi suatu titik dalam ruang dan

menjelaskan ukuran sistem fisis.

2. Waktu

Suatu rentetan pergantian peristiwa-peristiwa.

3. Massa

Sifat materi yang kita dapat bandingkan aksi sebuah benda terhadap benda

lain.

4. Gaya

Umumnya gaya dipandang sebagai “dorongan” atau “tarikan” yang

dilakukan suatu benda terhadap benda lain. Gaya dikarekterisktikan secara

penuh oleh besar, arah dan titik kerjanya.

5. Idealisasi

Digunakan untuk menyederhanakan penerapan teori di dalam mekanika.

6. Partikel

Sesuatu yang memiliki massa namun ukurannya dapat diabaikan. Bila

sebuah benda diidealisasikan sebagai sebuah partikel, prinsip mekanika

akan tereduksi menjadi bentuk yang lebih sederhana , karena geometri

benda tidak dilibatkan.

7. Benda Tegar

Kombinasi sejumlah besar partikel dengan semua partikel berada pada

suatu jarak tetap terhadap satu sama lain baik sebelum maupun setelah

penerapan beban.

8. Gaya Terpusat

Efek pembebanan yang dianggap bekerja pada suatu titik pada sebuah

benda.

9. Tiga Hukum Gerak Newton

a. Hukum Pertama

“Sebuah partikel yang awalnya diam, atau sedang bergerak di garis

lurus dengan kecepatan tetap, akan tetap dalam keadaan ini kecuali

partikel dikenai suatu gaya tidak setimbang.”

b. Hukum Kedua

“Sebuah partikel yang dikenai gaya tidak setimbang F akan mengalami

percepatan a yang mempunyai arah yang sama dan besarnya

berbanding lurus dengan gaya. Secara matematis:

c. Hukum Ketiga

“Gaya mutual aksi dan reaksi antara dua partikel adalah setimbang,

berlawanan dan segaris.”

Aksi = –Reaksi

10. Hukum Gravitasi Newton

Secara matematis:

Dimana: F = gaya gravitasi antara dua partikel

G = konstanta gravitasi universal menurut bukti eksperimental

m1m2 = massa masing-masing partikel

r = jarak antara dua partikel

11. Berat

Setiap dua partikel atau benda memiliki gaya tarik (gravitasional) mutual

yang bekerja diantara mereka. Jika sebuah partikel/benda ditempatkan di

dekat/pada permukaan bumi, satu-satunya gaya gravitasional yang

besarnya cukup terasa adalah gaya antara bumi dan partikel. Gaya ini

disebut berat. Secara matematis:

Dengan mengambil g = G.m/r2

1.3 PROSEDUR ANALISIS UMUM

Cara paling efektif dalam mempelajari prinsip-prinsip mekanika adalah

penyeleasikan soal-soal. Agar berhasil melakukannya, penting untuk

menyajikan pekerjaan dalam suatu cara yang logis dan teratur seperti

disarankan tahap-tahap berikut:

1. Baca soal dengan teliti dan korelasikan situasi fisika sesungguhnya

dengan teori

2. Gambar semua diagram yang perlu dan tabulasikan data

3. Terapkan prinsip relevan, terutama dalam unsur matematika

4. Selesaikan persamaan yang perlu dengan aljabar sepraktis mungkin

5. Pelajari jawaban dengan penilaian teknis dan akal sehat

6. Setelah solusi lengkap, perhatikan ulang soal dan coba cara lain.

BAB II

VEKTOR GAYA

2.1 Vektor dan Skalar

Skalar adalah suatu yang di karakterisasikan oleh suatu bilagan positif atau

negative sedangkan massa , volume, dan panjang adalah besaran besaran scalar

yang sering di gunakan dalam statika

Vector adalah besaran yang memiliki besaran dan arah. Dalam statika besaran

yan paling seriang ditamukan adalah jarak, gaya, dan momen

Notasi vektor dengan huruf yang terdapat tanda panah d atasnya A besarannya

dinyatakan dengan |A| atau A saja. Di sini vector di andakan dengan huruf tebal

misalnya A digunakan untuk menandai vector “A”. Besaran yang bemuatan

positif di simbolkan dengan huruf miring A

2.2 OPERASI VEKTOR

Perkalian dan pembagian vektor dengan skalar .

Perkalian vektor A dengan skalar a menghasilkan aA, didefenisikan sebagai

sebuah vektor yang mempunyai besar [aA]. Tanda arah aA sama seperti A asal a

positif, berlawanan dengan A jika a negative. Akibatnya, negatif sebuah vektor

dibentuk dengan mengalihkan vektor dengan skalar ( -1 ). Pembagian sebuah

vektor oleh skalar dapat didefenisikan dengan menggunakan hukum – hukum

perkalian, karena A/a = (1/a)A, a = 0.

A

-A

Gambar 2.1

Penjumlahan vektor .

Dua vektor A dan B yang berjenis sama dapat di jumlahkan membentuk suatu

vektor “ resultan” R = A + B dengan menggunakan aturan parallelogram

(jajaran genjang). Untuk melakukannya A dan B digantungkan pada pangkal –

pangkalnya. Dan dapat menjumlahkan B dan A menggunakan konstruksi segi

tiga yang merupakan kasus khusus aturan jajaran ganjang dengan cara vektor B

di jumlahkan ke vektor A dalam cara “ke pangkal”, yaitu dengkal B. Dengan

membandingkan terlihat bahwa penjumlahan vektor berisi komutatif, dengan

kata lain, vektor – vektor dapat dijumlahkan dalam salah satu orde, yaitu :

R = A + B = B + A

Sebagai kasus khusus , jika dua vektor A dan B koliner ( segaris ), yaitu

keduanya mempunyai garis kerja yang sama, aturan jajaran genjang mereduksi

menjadi penjumlahan aljabar atau skalar R = A + B.

A

A R=A+B A B

B R=A+B

B (b) (c)

(a) R=B+A

B A

(d)

Pengurangan Vektor.

Selisih resultan antara dua vektor A dan B berjenis sama dapat dinyatakan

sebagai :

R` = A – B = A + (-B)

Pengurangn karena itu di definisikan sebagai kasus khusus penjumlahan,

sehingga aturan – aturan penjumlahan vektor juga berlaku pada pengurangan

vektor.

A -B

-B A A

B

Penguraian vektor.

Sebuah vektor dapat diuraikan menjadi dua „‟ komponen‟‟ yang mempunyai

garis kerja diketahui dengan menggunakan aturan jajaran genjang. Komponen –

komponen yang berkerja sepanjang garis a dan b, orang memulainya pada kepala

B dan menarik garis yang sejajar terhadap a hingga memotong b. Dua komponen

A dan B kemudian digambarkan sedemikian rupa sehingga mereka ditarik dari

pangkal R ke titik – titik potong.

B A R B

2.3 Penjumlahan Vektor Gaya

Bukti eksperimental telah menunjukan bahwa gaya merupakan besaran vektor

karena ia mempunyai besar, arah dan tanda dua arah tertentu dan menjumlah

menurut aturan jajaran genjang. Dua masalah yang biasanya terdapat dalam

statika, salah satunya adalah pencarian gaya resultan dengan mengetahui

komponen-komponennya, dan menguraikan suatu gaya yang diketahui menjadi

dua komponennya.Seperti dijelaskan dalam bagian 2-2,kedua masalah ini

memerlukan penerapan aturan jajaran genjang.

Jika lebih dari dua yang akan di jumlahkan gaya penerapan aturan jajargan

genjang dapat dilakukan unhtuk memperoleh gaya resultan. Misal

bekerja pada titik O, gambar di bawah .Dengan memakai aturan jajaran genjang

untuk menjumlahkan lebih dari dua gaya , seperti ditunjukkan di sini sering kali

memerlukan perhitungan geometrid an trigonometri yang ekstensif untuk

menentukan nilai-nilai numeric untuk vesar dan arah resultan.Malahan,soal-soal

jenis ini dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan “metode komponen-

persegi empat (rectangular)yang dijelaskan Bagian 2.4.

O

Prosedur analisis.

Aturan jajaran genjang. Buatlah suatu sketsa yang memperlihatkan

penjumlahan vektor dengan menggunakan aturan jajaran genjang. Ingatlah

bahwa jumlah total sudut – sudut ini adalah 360 derajat . Sudut – sudut yang tak

diketahui, bersama dengan besar gaya diketahui dan tak diketahui , harus diberi

label secara jelas pada sketsa ini.

Trigonometri. Dengan menggunakan trigonometri, dua sudut yang tidak

diketahui dapat ditentukan dapat ditentukan dari data yang diberikan pada

segitiga. Jika segitiga mengandung sudut 90 derajat hokum sinus atau hokum

kosinus dapat digunakan untuk penyelesaian.

Prosedur analisis.

Aturan jajaran genjang. Buatlah suatu sketsa yang memperlihatkan

penjumlahan vektor dengan menggunakan aturan jajaran genjang. Ingatlah bahwa

jumlah total sudut – sudut ini adalah 360 derajat . Sudut – sudut yang tak diketahui,

bersama dengan besar gaya diketahui dan tak diketahui , harus diberi label secara

jelas pada sketsa ini.

Trigonometri. Dengan menggunakan trigonometri, dua sudut yang tidak

diketahui dapat ditentukan dapat ditentukan dari data yang diberikan pada segitiga.

Jika segitiga mengandung sudut 90 derajat hokum sinus atau hokum kosinus dapat

digunakan untuk penyelesaian.

√

Contoh berikut menampilkan metode ini

secara numeric

Hokum Sinus:

A b C

c a

B

Hukum cosinus:

Contoh:

Sekrup kait (screew)dalam Gambar 2 -10@ mengalami dua gaya,F1 dan f2

Tentukan besar dan arah gaya resultan.

PENYELESAIAN

Gaya resultan di bentuk dari aturan jajaran genjang

Aturan Jajaran Genjang.Penjumlahan ditunjukan dalam Gambar2- 10b.Dua yang

tidak diketahui mempunyai besar FR dan sudut ᶿ (theta). Dari Gambar 2-10b,segitiga

vektor, Gambar 2-10c, disusun.

FR = √

FR = √

FR = 213 N

Trigonometri di tentukan dangan menngunakan hukum kosinus

Sudut 𝛉 di tentukan dengan menurapkan hukum sinus dengan menggunkan nilai

terhitung

𝛉= 39,8”

Jadi arah (phi) diukur dari horizontal adalah

𝜙= 39;8° + 15,0° = 54,8°

2.4Penjumlahan system gaya – gaya koplanar ( sebidang )

Bila resultan lebih dari dua gaya harus dicari, maka lebih mudah untuk

mencari komponen tiap – tiap gaya sepanjang sumbu yang telah ditetapkan julahkan

komponen – komponen ini secara aljabar, dan kemudian bentuk resultan, ketimbang ,

membentuk resultan gaya – gaya dengan penerapan aturan jajaran genjang secara

berturut – turut.

Namun dalam bagian ini akan menguraikan tiap tiap gaya menjadi komponen

komponen rektangularnya dan yang masing – masing berada sepanjang sumbu x

dan y seperti gambar di bawah. Meskipun sumbu yang di tunjukan horizontaldan

vertikal.

Meski begitu mereka dapat d miringkan kesembarang arah

y

F

x

(a)

Notasi Skalar. Karena sumbu x dan y telah menandakan arah positif dan

negative besar dan tanda arah komponen rectangular gaya dapat dinyatakan dengan

skalar aljabar. Misalnya, komponen-komponen F dalam Gambar 2-14a dapat

dinyatakan dengan skalar-skalar positif F, dan F, karena tanda arah mereka masing-

masing sepanjang sumbu x dan y positif. Dengan cara yang sama, komponen-

komponen F’ dalam Gambar 2-14b adalah Fx, dan –Fy. Disini komponen y ialah

negative, karena berarah sepanjang sumbu y negative. Penting diingat bahwa notasi

skalar ini hanya digunakan untuk tujuan-tujuan komputasional, bukan untuk sajian-

sajian grafis dalam gambar. Diseluruh teks, ujung anak panah vektor dalam setiap

gambar menunjukkan tanda arah vektor secara grafis; tanda-tanda aljabar tidak

digunakan untuk tujuan ini. Jadi, vektor-vektor dalam Gambar 2-14a dan 2-14b

ditandai dengan menggunakan notasi (vektor) huruf tebal.1 Huruf miring ditulis dekat

anak panah vektor dalam gambar menunjukkan bedar vektor yang merupakan besaran

positif.

x

(b) F‟

Notasi vektor kartesian.

Juga mungkin menyatakan komponen – komponen gaya dalam vektor –

vektor satuan kartesian. Dengan melakukan metode aljabar vektor menjadi lebih

mudah dilakukan , dan kita akan melihat bahwa hal ini menjadi menguntungkan

untuk menyelesaikan soal – soal tiga dimensi. Dalam dua dimensi vektor – vektor

satan kartesian I dan j digunakan untuk menyatakan tiap – tiap arah sumbu x dan y.

F=

y

j F

x

Resultan gaya coplanar.

Salah satu dari dua motedo tersebut yang baru saja dijelaskan untuk

menyatakan komponen – komponen rectangular sebuah gaya dapat digunakan untuk

menentukan resultan beberapa gaya coplanar. Untuk melakukannya tiap – tiap gaya

pertama kali diuraikan menjadi komponen – komponen x dan y-nya dan kemudian

komponen – komponen bersangkutan dijumlahkan dengan menggunakan aljabar

skalar karena mereka kolinear ( segaris ).

Resultan vektor dengan demikian adalah

= + +

= + - + + +

=( + + ) + ( + - )

=( )I + ( )j

Contoh;

Tentukan komponen-komponen x dan y dari F1 dan F2 yang ditunjukkan dalam

Gambar 2-17a. Ungkapan tiap-tiap gaya sebagai vektor kartasian

PENYELESAIAN

Notasi skalar. Karena F1 bekerja sepanjang sumbu y negative, dan besar F1 100N,

komponen-komponen di tulis dalam bentuk skalar

F1x = 0, F1y = -100N Jawab

Atau secara alternative,

F1x = 0, F1y = 100N↓ Jawab

Dengan aturan jajaran genjang, F2 diurai menjadi komponen-komponen x dan y,

Gambar 2-17b. Besar komponen masing-masing ditentukan dengan trigonometri.

Karena F2x bekerja dalam arah –x dan F2y bekerja dalam +y, kita peroleh.

F2x = -200 sin 60o N = -173 N = 173 N ← Jawab

F2y = 200 cos 60o N = 100 N = 100 N Jawab

Notasi Vektor Kartesian. Setelah menghitung besar komponen-komponen F2. Gambar

2-17b, kita dapat mengungkapkan tiap-tiap gaya sebagai vektor Kartesian.

F1 = 0i + 100 N (-j) Jawab

= (-100j) N

Dan

F2= 200 sin60o N (-i) + 200cos 60

o N (j) Jawab

= (-173i +100j) N

2.5 Vektor – vektor kartesian.

Operasi aljabar vektor , bila diterapkan untuk menyelesaikan soal – soal

dalam tiga dimensi, akan sangat tersederhana jika vektor pertama – tama dinyatakan

dalam bentuk vektor kartesian. Aplikasi – aplikasi serupa akan diilustrasikan untuk

vektor – vektor posisi dan momen dalam bagian – bagian terakhir teks.

System kordinat tangan kanan.

System kordinat tangan – tangan akan digunakan untuk menyusun teori

aljabar vektor yang mengikutinya. Suatu system kordinat rectangular atau kartesian

dikatakan system tangan kanan. Suatu system kordinat rectangular atau kartesia

dikatakan sistem tangan kanan jika ibu jari tangan kanan menunjuk dalam arah

sumbu z positif ketika menuju sumbuh y positif.

Komponen rektangular sebuah vektor

Sebuah vektor A boleh mempunyai satu dua, atau tiga komponen rectangular

sepanjang sumbu kordinat x, y, z bergantung pada bagaimana vektor berorientasi

relatif terhadap sumbu – sumbu. Umumnya, meskipun bila A diarahkan di dalam

oktan kerangka x, y, z.

Kemudiann oleh penerepan jajargenjang beraturan, vektor tersebut di uraikan

menjadi komponen- komponen sebagai A= A’+ A dan kemudian A’ = +

A, dinyatakan oleh penjumlahan vektor dari tiga komponen rektangularnya

A = + +

z

A

x A‟

Vektor satuan

Umunya, sebuah vektor satuan merupakan vektor yang mempunyai besar 1.

Juka A adalah sebuah vektor yang mempunyai besar A = 0, maka vektor satuan yang

mempunyai arah yang sama seprti A dinyatakan dengan

=

A

Dengan menulliskan kembali persamaan ini diperoleh A

A= A

Vektor satuan kartesian.

1

Dalam tiga dimensi, kumpulan vektor satuan artesian I, j, k digunakan masing

– masin untuk menyatakan arah sumbu – sumbu x, y, z. seperti dinyatakan dalam

bagian 2-4, tanda arah ( atau ujung arah panah) vektor – vektor ini akan dijelaskan

secara analitik dengan tanda arah positif atau negative.

Penyajian vektor kartesian

ɀ k

j y

i

x

Dengan menggunakan vektor – vektor satuan kartesian, tiga komponen vektor

persamaan 2-2 dapat ditulis dalam “ bentuk vektor kartesian “ karena komponen –

komponen tersebut berkerja dalam arah I,j dan k positif.

A= + +

Ada suatu keutungan tertentu menuliskan vektor – vektor dalam komponen –

kompone kartesiannya. Karena tiap – tiap komponen ini mempunyai bentuk sama

seperti persamaan 2-4, maka besar dan arah dari tiap – tiap vektor komponen akan

terpisah, dan akan ditunjukkan bahwa hal ini akan menyederhanakan operasi –

operasi aljabar vektro, terutama dalam tiga dimensi.

Besar vektor kartesian

Selalu mungkin untuk memperoleh besar

vektor A menyatakan vektor tersebut dalam

bentuk vektr kartesian. Dari segi tiga siku siku

berwarna, A = √ dari segi tiga siku siku

(berbayang) menggunakan persamaan ini di peroleh

A’= √

Jadi besar A adalah samadengan akar kuadrat

positif dari penjumlahan kuadrat komponen-

komponennya

A =√

Jadi besar A adalah sama dengan akar kuadrat positif dari penjumlahan kuadrat

komponen kopomponenya.

Arah vektor kartesian.

Orientasi vektor A ditentukan oleh sudut arah kordinat a (alfa),β ( beta ), dan

x ( gamma) diukur antar pangkal A dan sumbu – sumbu xy,z positif yang terletak

pada pangkal A. Perhatikan bahwa tanpa memandang dimana A berarah, tiap - tiap

sudut ini akan berada antara 0® dan 180 ®. …

Bilangan – bilangan ini cosines – cosines arah A. sekali dikethui sudut arah kordinat

α,β,x dapat segera ditetukan dari cosines invers.

Suatu cara mudah mendapatkan cosines arah A adalah membentuk suatu

vektor satuan dalam arah A, persamaan 2-3 jika A dinyatakan dalam benruk vektor

kartesian sebagai………( persamaan 2-5), kita peroleh……..dengan…….(persamaan

2-6) membandingkan dengan persamaa 2-7, terlihat bahwa komponen –

Az K

A

Ayj

Ax i

Ay

komponennya, dan ua mempunyai besar 1, maka dari persamaan 2-9 suatu hubungan

penting antara cosines arah dapat di formulasikan sebagai…..

Jika vektor A terletak dalam suatu oktan yang diketahui, persamaan ini dapat

digunakan untuk menentukan salah satu sudut arah koordinat jika dua yang lain

diketahui..

Akhirnya, jika besar dan arah sudut arah kordinat A ditentukan, maka A dapat

diungkapkan dalam bentuk vektor kartesian……..

2.6. Penjumlahan dan pengurangan vektor kartesian.

Operasi – operasi penjumlahan dan pengurangan vektor dari dua vektor atau

lebih menjadi sangat tersederhanakan jika vektor dinyatakan menjadi komponen –

komponen kartesiannya. Pengurangan vektor, merupakan kasusu khusus penjmlahan

vektor, hanya memerluikan pengurangan skalar dari komponen – komponen

bersangkutan I,j,k dan baik A sep pemaupun B.

Sistem gaya setangkup. Konsep penjumlahan vektor di atas dapat di generelasikan

dan di terapkan pada sistem bergaya setangkup.

Resultan gaya merupakan merupakan penjumlahan vektor dari semua gaya dalam

sistem dan di tuliskan

Di sini

Contoh

Ungkapan gaya F yang ditunjukkan bekerja pada cantelan dalam Gambar 2-32a

sebagai sebuah vektor Kartesian.

PENYELESAIAN

Dalam kasus ini sudut 60o dan 30

o yang menentukan arah F bukanlah sudut arah

kordinat, dengan dua penerapan berturutan aturan jajaran genjang ma F dapat di urai

menjadi komponen-kommponen x,y z-nya seperti ditunjukkan dalam Gambar 2-32b.

pertama-tama, dari segitiga berwarna,

F‟ = 4 cos 30okN +3,46kN

Fz = 4 sin30o kN = 3,00kN

Kemudian, dengan mengunakan F‟ dan segitiga berarsir (berbayangan),

Fx = 3,46 cos60o kN = 1,73kN

Fy = 3,46 sin60okN = 3,00kN

Jadi,

F = (1,73i +3,00j + 2,00k)kN Jawab

Sebagai sebuah latihan, tunjukkan besar F memang 4kN dan bahwa sudut arah

kordinat a = 64,3o

2.7. Vektor Posisi

Dalam bagian ini akan diperkenalkan konsep vektor posisi. Akan diperlihatkan dalam

Bagian 2-8 bahwa vektor ini penting dalam memformulasikan suatu vektor gaya

Kartesian yang berarah antara dua arah sembarang dalam ruang, dan kelak dalam Bab

4, kita akan memakainya untuk menemukan momen sebuah gaya.

Kordinat –Kordinat x, y, z. Diseluruh teks ini kita akan menggunakan sistem

kordinat tangan kanan untuk menunjukkan lokasi titik-titik didalam ruang. Lebih

lanjut, kita akan menggunakan konvensi yang telah digunakan dalam banyak buku-

buku teknik, dan bahwa disyaratkan sumbu z positif diarahkan ke atas (arah zenit)

sehingga merupakan ukuran tinggi sebuah benda atau ketinggian sebuah titik.

Sumbu-sumbu x dan y dengan demikian terletak pada bidang horizontal, Gambar 2-

35. Titik-titik dalam ruang ditempatkan relatif terhadap titik asal kordinat, O, dengan

pengukuran-pengukuran berturutan sepanjang sumbu-sumbu x, y, z. Misalnya, dalam

Gambar 2-35 kordinat titik A diperoleh dengan bermula dari titik O dan mengukur xA

= +4 m sepanjang sumbu x, yA = +2 m sepanjang sumbu y, dan zA = -6 m sepanjang

sumbu z. Jadi, A(4,2,-6). Dengan cara serupa, pengukuran-pengukuran sepanjang

sumbu x,y,z dari O ke B menghasilkan kordinat-kordinat B, yaitu B(0,2,0). Juga

perhatikan bahwa C(6,-4,1).

Vektor Posisi. Vektor posisi r didefinisikan sebagai suatu vektor tertentu yang

menempat suatu titik dalam ruang relatif terhadap titik lain. Misalnya, jika r

merentang (membentang) dari titik asal kordinat, O, ke titik P (x,y,z), gambar 2-36a,

maka r dapat dinyatakan dalam bentuk vektor Kartesian sebagai

r = xi + yj + zk

Terutama, perhatikan cara penjumlahan vektor kepala ke pangkal dari tiga komponen

menghasilkan vektor r, Gambar 2-36b. Dengan berawal pada titik asal O, orang

bergerak pada x dalam arah +i, kemudian y dalam arah +j dan akhirnya z dalam arah

+k untuk sampai pada titik P (x,y,z).

Dalam kasus yang lebih umum, vektor posisi dapat diarahkan dari titik A ke titik B

dalam ruang, Gambar 2-37a. Sebagaimana terlihat, vektor ini juga dinyatakan dengan

r. Namun, sebagai suatu hal konvensi, kita akan kadang-kadang menyatakan vektor

ini dengan dua subskrip untuk menunjukkan dari dan ke titik dimana dia diarahkan,

jadi r juga dapat dinyatakan sebagai rAB. Juga perhatikan bahwa rA dan rB dalam

Gambar 2-37a dinyatakan dengan hanya satu subskrip karena mereka membentang

dari titik asal kordinat.

Dari Gambar 2-37a, dengan penjumlahan vektor kepala ke pangkal, kita

mensyaratkan

rA + r = rB

Dengan menyelesaikannya untuk r dan menyatakan r, dan r, dalam bentuk vektor

Kartesian menghasilkan

r = rB – rA = (xBi + yBj + zBk) – (xAi + yAj + xAk)

atau

r = (xB – xA)i + (yB – yA)j + (zB – zA)k (2-3)

Jadi, komponen-komponen i,j,k dari vektor posisi r dapat dibentuk dengan

mengambil koordinat-koordinat pangkal vektor, A (xA, yA, zA) dan mengurangkan

mereka dari koordinat-koordinat kepala yang bersesuaian B (xB, yB, zB). Sekali lagi

perhatikan bagaimana penjumlahan kepala ke pangkal dari tiga komponen-komponen

ini menghasilkan r, yaitu bergerak dari A ke B, Gambar 2-37b, orang pertama kali

menjalani (xB – xA) dalam arah +i, kemudian (yB – yA) dalam arah +j, dan akhirnya (zB

– zA) dalam arah +k.

CONTOH SOAL 2.14

Sebuah karet pita elastik diacantolkan pada titik A dan B seperti ditunjukkan

dalam Gambar 2-38a. Tentukan panjang dan arahnyadiukur dari A menuju B.

PENYELESAIAN

Kita pertama kali menetapkan vektor posisi dari A ke B. Gambar 2-38b.

Menurut persamaan 2-13, kordinat-kordinat pangkal A (1 m, 0, -3 m) dikurangkan

dengan kordinat-kordinat kepala B (-2 m, 2 m, 3 m), yang menghasilkan

r = (-2 m – 1 m)i + (2 m – 0)j + [(3 m – (-3 m)]k

= { -3i + 2j + 6k }

Seperti terlihat, tiga komponen r menyatakan arah dan jarak yang harus

dijalani sepanjang tiap-tiap sumbu agar bergerak dari A ke B, yaitu, sepanjang sumbu

x {-3i} m, sepanjang sumbu y {2j} m, dan akhirnya sepanjang sumbu z {6k} m.

Besar r menyatakan panjang pita karet

r = √ = 7 m Jawab

Dengan merumuskan vektor satuan dalam arah r, kita peroleh komponen-komponen

vektor. Satuan ini menghasilkan sudut arah kordinat

u =

=

i =

j =

k

=

= 115 Jawab

=

= 73,4 Jawab

=

= 31,0 Jawab

Sudut-sudut ini diukur dari sumbu-sumbu positif suatu sistem kordinat terlokasi yang

ditempatkan pada pangkal r, titik A, seperti terlihat dalam Gambar 2-38c.

2.8 Vektor Gaya Yang Diarahkan Sepanjang Garis

Sungguh sering dalam soal-soal statika tiga dimensi, arah gaya ditentukan oleh dua

titik melalui mana garis kerjanya melintas. Situasi demikian ditunjukkan dalam

Gambar 2-39, dengan gaya F diarahkan sepanjang tali AB. Kita dapat memformulasi

F sebagai vektor Kartesian dengan menyadari bahwa dia mempunyai arah dan tanda

arah yang sama seperti vektor posisi r yang diarahkan dari A ke titik B pada tali.

Arah bersama ini dinyatakan oleh vektor satuan u = r / r. Jadi

F = Fu = F

Meskipun kita telah menyajikan F secara symbol dalam Gambar 2-39, perhatikan

bahwa dia punya satuan gaya, dan tidak seperti r, atau kodinat-kordinat x, y, z yang

mempunyai satuan panjang, F tidak dapat diskalakan sepanjang sumbu-sumbu

kordinat.

PROSEDUR ANALISIS

Bila F diarahkan sepanjang suatu garis yang membentang dari titik A ke titik B,

maka F dapat dinyatakan dalam bentuk vektor Kartesian sebagai berikut.

Vektor Posisi. Tentukan vektor posisi r yang diarahkan dari A ke B, dan hitung

besarnya r.

Vektor Satuan. Tentukan vektor satuan u = r / r yang menyatakan arah dan tanda

arah kedua r dan F.

Vektor Gaya. Tentukan F dengan menggabungkan besarna F dan arah u, yaitu F =

Fu.

Prosedur ini dideskripsikan secara numerik dalam soal-soal contoh.

CONTOH 2.15

Orang yang ditunjukkan dalam Gambar 2-40a menarik tali dengan suatu gaya

70 N. Sajikan gaya ini, bekerja pada penopang A, sebagai suatu vektor Kartesian dan

tentukan arahnya.

PENYELESAIAN

Gaya F dirunjukkan dalam Gambar 2-40b. Arah vektor ini, u, ditentukan dari

vector posisi r, yang membentang dari A ke B, Gambarkan 2-40b. Untuk

merumuskan F sebagai vektor Kartesian kita gunakan prosedur berikut.

Vektor Posisi. Kordinat-kordinat titik-titikakhir tali adalah A (0,0,7,5 m) dan B (3m, -

2m, 1,5m). Pembentukan vektor posisi dengan mengurangkan kordinat-kordinat x, y,

dan z dari A dari koordinat-koordinat x, y, z tidak B kita peroleh

r = (3 m – 0)i + (-2 m – 0)j + (1,5 m – 7,5 m)k

= {3i – 2j – 6k}

Tunjukkan pada Gambar 2-40a cara seseorang dapat menuliskan r secara langsung

dengan berjalan dari A {3i} m, kemudian {-2j} m, dan akhirnya {-6k} m untuk

sampai ke B.

Besar r, yang menyatakan panjang tali AB, ialah

Vektor Satuan. Dengan membentuk vektor satuan yang menyatakan arah

r = √ = 7 m

dan tanda arah r dan F diperoleh

u =

=

i -

-

Vektor Gaya. Karena F mempunyai besar 70 N dan arah yang ditentukan

F = Fu = 70 N(

i -

-

)

oleh u, maka

= {30i – 20j – 60k} N Jawab

Seperti ditunjukkan dalam Gambar 2-40b, sudut arah kordinat diukur antara r (atau

F) dengan sumbu positif sistem kordinat terlokasi dengan titik asal ditempatkan di A.

Dari komponen-komponen vektor satuan

=

= 64,6 Jawab

=

= 107 Jawab

=

= 149 Jawab

BAB III

KESETIMBANGAN PARTIKEL

3.1 KESETIMBANGAN PARTIKEL

Kesetimbangan partikel untuk suatu sistem gaya koplanar konkuren akan

dibahas terlebih dahulu.kemudian, dalam bagian terahir pembahasan ini akan

di tinjau soal-soal kesetimbangan yang melibatkan sistem gaya tiga dimensi

yang konkuren (setangkup).

Syarat kesetimbangan partikel

Untuk menjaga suatu keadaan kesetimbangan, maka perlu di penuhi hukum

gerak pertama newton,yng menyatakan bahwa jika gaya resultan yang

bekerja pada suatu partikel tersebut berada dalm keadan kesetimbangan.syarat

ini dapat di nyatakan secara matematik sebagai:

F=0

a F merupakan penjumlahan vektor semua gaya-gaya yang bekerja

pada partikel.

Diagram Benda Bebas

Dalam penyelesaian suatu kesetimbangan harus diperhiitungkan semua gaya

yang berkerja pada partikel, maka pentingnya menggambarkan suatu diagram

benda bebas sebelum menerapkan persamaan kesetimbangan terhadap

penyelesaian sebuah soal tidak dapat diabaikan.

Prosedur untuk menggambar diagram benda bebas:

langkah 1. Bayangkan partikel tersebut sedang terisolasi atau “dibebaskan

dari sekelilingnya”.gambar atau sketsa bentuk umumnya.

langkah 2. Tunjukkan pada sketsa ini semua gaya yang bekerja pada partikel.

Gaya-gaya ini dapat berupa gaya-gaya aktif, yang cenderung

membuat partikel bergerak,juga gaya-gaya reaktif yang akan

terjadi. Untuk memperhitungkan semua ini,mungkin membantu

untuk menyisiri batas partikel,dengan secara hati-hati

memperhatikan tiap-tiap gaya yang bekerja padanya.

langkah 3. gaya gaya yang diketahui harus diberi label dengan besar dan

arahnya yang benar. Besar suatu gaya ialah selalu positif sehingga

jika penyelesaianmenghasilkan skalar “negatif “,tanda minus

menyatakan bahwa kepala anak panah atau tanda arah gaya

berlawanan dengan yang pertama kali di asumsikan.

CONTOH SOAL;

W

A

B

D

C45˚

Sebuah peti pada gambar diatas mempunyai berat 20N. gambarkan diagram

benda bebas peti tersebut, tali B, dan cincin pada B.

PENYELESAIAN;

Fa

Fc

Fb

45˚

b

Gaya tali BA yang bekerj pada cincin

Gaya tali BC yang

bekerja pada cincin

Gaya tali BD yang

bekerja pada cincin

B

D

Fb

Fd

Gaya cincin yang bekerja

pada tali

Gaya peti yang

bekerja pada tali

w

20 N

FdGaya tali yang bekerja

pada peti

3.2 Sistem Gaya Koplanar

Banyak soal kesetimbangan partikel melibatkan suatu sistem gaya koplanar.

agar persamaan vektor terpenuhi, kedua komponen x dan y harus sama

dengan nol, lain dari pada itu ƩF≠0. jadi kita mensyaratkan ;

ƩFx=0 ƩFy=0

Notasi skalar.karena masing–masing dari dua persamaan kesetimbangan

memerlukan penguraian komponen-komponen vektor sepanjang suatu sumbu

yang tertentu (x atau y), kita akan menggunakan notasi skalar untuk

menggambarkan komponen-komponen ketika menerapkan persamaan

persamaan ini.

Prosedur analisis.

Diagram benda bebas . Gambarlah diagram bebas partikel , semua gaya yang

diketahui dan tidak diketahui dan sudut sudut harus diberi label pada diagram.

tanda arah gaya yang mempunyai besar analisis tidak diketahui dapat di

asumsikan.

Persamaan kesetimbangan . tetapkan sumbu x dan y dalam sembarang arah

yang cocok dan terapkan dua persamaan kesetimbangan ;

ƩFx=0 ƩFy=0

CONTOH SOAL;

a

b

c30˚

Tentukan panjang yang di perlukan

untuk tali ac dalam gambar sehingga

lampu 8 kg tergantung seperti dalam

posisi terlihat. Panjang pegas tak

renggang ab adalah l’ab=0.4 m, dan

pegas mempunyai kekuatan kab=300

N/m.

Penyelesaian;

30˚

Tac

Tbc

W=78,5 diagram benda bebas, lampu mempunyai

berat w 78,5 m.diagram benda bebas cincindi A di tunjukkan dalam gambar.

Persamaan kesetimbangan Ʃfx=0; tab-tac cos 30˚=0

Ʃfy=0; tac sin 30˚-78,5N=0

dengan menyelesaikannya,kita memperoleh:

Tac=157n

Tab=136n

Panjang peregangan pegas ab karenanya adalah

Tab=kab.sab; 136=300.sab

sab=0,453 m

Sehingga panjang regangan adalah lab=l’ab+sab=0,4+0,453 =0.853m

Jarak horizontal dari c ke b. Gambar mensyaratkan

2m=lac cos 30˚+0,085

Lac=1,32m

3.4 Sistem Gaya Tiga Dimensi

syarat kesetimbangan partikel adalah∑F=0, dan untuk sistem tiga dimensi

syarat kesetimbangannya adalah ∑Fx=0

∑Fy=0

∑Fz=0

Persamaan ini menyatakan penjumlahan aljabar komponen komponen

gaya x,y,z yang bekerja pada partikel.

PROSEDUR ANALISIS

Prosedur berikut memberikan suatu metode untuk menyelesaikan soal-soal

kesetimbangan gaya tiga dimensi.

Diagram benda bebas. gambarlah diagram benda bebas partikel dan beri label

semua gaya yang diketahui dan tak diketahui pada diagram

Persamaan kesetimbangan .terapkan sumbu kordinat x,y,z denagan titik asal

berada pada partikel dan terapkan persamaan-persamaan kesetimbangan .

CONTOH SOAL;

30˚

Fd

Fc

90 N

4 3

5

C

A B Y

Z

X

sebuah beban 90 N di gantung pada pengait yang ditunjukkan gambar.

beban ditahan oleh 2 kawat dan sebuah pegas yang berkonstanta k = 500N/m.

Tentukan gaya dalam kawat dan peregangan pegas pada kesetimbangan. Kawat

AD berada dalam bidang x-y dan kawat AC berada dalam x-z.

JAWAB;

tinjau Ʃfx=0; Fd sin 30˚-4/5Fc=0 (1)

Ʃfy=0 -Fd cos30˚+Fb=0 (2)

Ʃfz=0 3/5Fc – 90N=0 (3)

dengan menyelesaikan persamaan 3 untuk Fc, kemudian persamaan 1 untuk Fd,

dan akhirnya persamaan 2 untuk Fb,kita peroleh:

Fc=150N jawab

Fd=240N jawab

Fb=208N jawab

dengan demikian peregangan pegas karena itu adalah

Fb = ksab

208N = 500N/m(sab)

Sab = 0,416 jawab

4 RESULTAN SISTEM GAYA

Dalam Bab 3 telah ditunjukkan bahwa syarat bagi kesetimbangan partikel atau suatu sistem gaya

setangkup hanya memerlukan Lrahwa resultan system gayaharus sama dengan nol, yaitu ∑F=0.

Dalam Bab 5 akan diperlihatkan bahwa pembatasan seperti itu memang perlu namun tidak cukup

bagi kesetimbangan benda tegar. Karena sebuah benda mempunyai ukuran fisik.

suatu pembatasan lebih lanjut harus dilakukan terhadap ketidaksetangkupan sistem gaya yang

diberikan, dihadirkan suatu konsep momen. Sebuah momen cenderung untuk memutar benda,

dan kesetimbangan mensyaratkan benda untuk tidak berotasi.

Dalam bab ini suatu definisi formal sebuah momen akan diberikan dan cara-cara mencari momen

seluruh gaya di sehtar sebuah tilik, atau sumber juga akan membicarakan. Kita juga akan

menghadirkan metode untuk menentultan resultan sistem gaya tidak setangkup. Hal ini penting

karena penerapan persamaan untuk penyederhanaan sistem gaya serupa dengan penerapan

persamaan-persamaan kesetimbangan untuk benda tegar. Lebih lanjut, resultan sistem gaya akan

mempengaruhi keadaan kesetimbangan atau gerak benda tegar dalarn cara yang sama

sebagaimana system gaya, dan Karenanya kita dapat rnempelajari perilaku benda tegar dalam

cara yang iebih sederhana dengan menggunakan resultan-resultan.

4.1 Perkalian Silang (Cross)

Momen sebuah gaya akan dirumuskan dengan menggunakan vector Kartesian dalam bagian

berikut. Namun sebelum melakukannya pertama sekali kita perlu memperluas pengetahuan

tentang aljabar vektor dan mengenalkan metode perkalian silang dari multiplikasi vektor.

Perkalian silang dua vektor A dan B menghasilkan vektor C yang ditulis sebagai:

C=AxB

dan dibaca "C sama dengan A cross (kali silang) B."

Magnitudo (besar). magnitudo (besar) C didefinisikan sebagai

perkalian rnagnitudo (besar) A dan B dan sinus sudut 0 antara pangkal vector (0 .jadi C = AB sin

Arah. Vektor C mempunyai arah yang tegak lurus terhadap bidang yang mengandung A dan B

sedemikian arah C ditentukan dengan aturan tangankanan, ,vaitu dengan meiipat jari-jari tangan

kanan dari vektor A (melewati) ke vektor B, ibu jari kemudian menunjuk dalam arah C seperti

ditunjukan dalam Gambar 4- 1.

Dengan mengetahui kedua besar dan arah C, kita dapat menulis

C=AXB=(AB sin )uc

dengan skalar AB sin menyatakan besar (magnitudo) C dan vektor satuanu. menyatakan arah C. Siku-siku Persamaan 4-1 dideskipsikan secara grafis dalam Gambar 4-2.

Hukum-hukum Operasi 1. Hukum komutatif tidak berlaku yartu:

AxB BxA

1{amun,

AxB= BxA Ini ditunjukkan dalam Gambar 4-3 dengan menggunakan aturan tangan kanan. Perkalian silzurg

B x A menghasilkan suatu vektor yang bekerja dalam arah berlawanan dengan C; yaitu B x A -

C.

2. Perkalian dengan sebuah skalar:

AxB) = ( A) x B =A x ( B)= (A x B)

Sifat ini dengan mudah dapat ditunjukkan, karena besar vektor resultan (│ │=AB sin ) dan arahnya sama daiam masing-masing kasus.

3. Hukum distributif

Ax(B+D)=(AxB)+(AxD)

Penbuktian identitas ini ditinggalkan sebagai latihan (lihat Soal 4-l).Penting untuk dicatat bahwa

urutan yang benar perkalian silang harus diperhatikan, karena mereka tidak komulatif.

Forrnulasi Vektar Kartesian. Persama an 4-1 dapat digunakan untuk mencari perkalian

silang suatu pasangan vektor satuan Kartesian. Misalnya, untuk,mencari I x j, besar vektor

resultan adalah (i) (j) (sin 90 ) =

(1) (1) (1) = 1, dan arahnya ditentukan dengan menggunakan aturan tangan kanan. Seperti

ditunjukkan dalam Gambar 4-4, vektor resultan menunjuk dalam arah + k. Jadi I x j = (1) k. Dengan cara yang sama,

Hasil-hasil ini tidak harus diingat; namun sebaiknya, harus dipaharni dengan jelas bagaimana

masing-masing diperoleh dengan menggunakan aturan tangan kanan dan defirrisi perkahan

silang Suatu skema sederhana yang ditunjukkan dalam Cambar 4-5 sangat n:einbantu untuk

rilendapatka'n trasii-h;sil yang serupa bila diperlukan, Jika lingkaran tersebut dibangun seperti

terlihat, maka "penyilangan (pengalian)" dua vektor satuan dalam cara berlawanan jarum jam

mengitari lingkaran menghasiikan vektor satuan ketiga positif; yakni k x i - j. Bergerak searah

jarum jam. suatu vektor satuan negatif akan diperoleh; yakni i x k =-j.

Perhatikan sekarang perkalian silang dua vektor umum A dan B yang dinyatakan dalam bentuk

vektor Kartasian. Kita peroleh

A x B = (AXI +,4Yj + AZk) x (Bi + Bj + Bk)

= AB(I X J) + AB(I X K)

+ AB(j xj) + AB ( j x k)

+ AB(k X i) + A B ( k x j) + AB ( k x k)

Dengan menyelesaikan operasi perkalian silang dan menggabungkan suku-suku

Diperoleh :

Persamaan ini dapat iuga ditulis dalam bentuk determinan yang lebih kompak

Sebagai :

Jadi untuk mencari perkalian silang dari dua vektor Kartesian sembarang A dan B, maka perlu

untuk memperluas determinan yang baris elemen pertamanya terdiri dari vektor-vektor satuan i,

j, dan k dan baris kedua dan ketiganya menyatakan komponen-kornponen x, y, z dari tiap-tiap

dua vektor A

dan B.

Determinan yang mempunyai tiga baris dan tiga kolom dapat diperluas dengan menggunakan

tiga minor, masing-masing dari mereka dikalikan dengan salah satu dari tiga suku dalam baris

pertama. Ada empat elemen dalam masing-masing minor, yaitu;

perkalian dua elemen yang dilalui anak panah miring ke bawah ke arah kanan (A11 A22)

kurang perkalian dua elemen yang dilalui anak panah miring ke bawah ke arah kiri (A12 A21).

Untuk determinan 3 x 3, seperti Persamaan 4-3. tiga minor dapat digenerasi menurut skema

berikut:

Dengan menjunrlahkan hasil-hasil tenebut dan memperhatikan bahwa elemen i harus

memasukkan tanda minus dihasilkan suatu bentuk terluaskan dari A x B yang diberikan oleh

Persamaan 4-2.

4-2.Momen Sebuah Gaya – Formulasi Skalar

Momen sebuah gaya di sekitar suatu titik atau sumbu memberikan ukuran kecendrungan gaya

untuk menyebabkan sebuah benda berotasi di sekitar titik atau sumbu tersebut. Misalnya,

pandang suatu gaya horizontal Fx yang bekerja tegak lurus terhadap gagang kunci Inggris dan

ditempatkan sejauh dy, dari titik O. Gambar 4-1a Terlihat bahwa gaya ini cenderung untuk

menyebabkan pipa berputar di sekitar sumbu z. Makin besar gaya atau panjang dy, makin besar

efek pemutaran. Kecendrungan rotasi ini disebabkan oleh Fx, kadang-kadang disebut dengan

torka. namun sangat sering disebut momen gaya atau momen (M0)z saja. Terutama perhatikan

bahwa sumbu momen (z) tegak lurus bidang (x-y) yang berbayang mengandung F dan d dan

bahwa sumbu ini berpotongan dengan bidang pada titik O. Sekarang penerapan- penerapan gaya

Fz pada kunci Inggris. Gambar 4-1b. Gaya ini tidak akan memutar pipa di sekitar sumbu z.

Malahan, dia cenderung memutarnya di sekitar sumbu x. Ingat di dalam

hati bahwa meskipun sesungguhnya tidak dimungkinkan Untuk "merotasi'' atau memutar pipa

dalam cara ini. Fz tetap menciptakan kecendrungan untuk rotasi dan dengan demikian momen

(Mo)x dihasilkan. Sebagaimana sebelumya, gaya dan jarak d benda pada bidang berbayang-

bayang (y-z) yang tegak lurus terhadap sumbu momen (x). Terakhir jika sebuah raya Fy

diterapkan pada kunci Inggris tersebut, Gambar 4-1c, tak ada momen yang dihasilkan di sekitar

titik O. Ketiadaan efek pemutaran ini muncul, karena garis kerja gaya melalui O dan karenanya

tak ada kecenderungan rotasi yang mungkin.

Magnitudo (besar).

Magnitudo Mo adalah:

Mo = Fd

Dengan d dinyatakan sebagai lengan momen atau jarak tegak lurus dari sumbu pada titik O

terhadap garis kerja. Satuan besar momen terdiri dari gaya kali jarak, yaitu N.m atau lb.ft.

Arah. Arah Mo akan ditentukan dengan menggunakan "aturan tangan kanan". Untuk

melakukan ini. jari jari tangan kanan dilipat sedemikian mereka mengikuti tanda arah rotasi,

yang akan terjadi jika gaya dapat berotasi di sekitar titik O. Gambar 4-2. ibu jari kemudian

menunjuk sepanjang sumbu momen sehingga dia memberikan arah dan tanda arah vektor

momen, yang berarah ke arah atas dan tegak lurus terhadap bidang berbayang yang mengandung

F dan d. Dengan definisi ini, momen Mo dapat dipandang sebagai vektor luncur

(sliding vektor) dan karena itu bekerja pada sembarang titik sepanjang sumbu momen.

Dalam tiga dimensi Mo didekskripsikan sebagai anak panah vektor dengan sebuah lingkaran

diatasnya untuk membedakannya dengan vektor gaya, Gambar 4-2. Suatu pandangan dua

dimensi diberikan dibawah gambar tersebut berlawan arah jarum jam yang menunjukan kerja F.

Ujung anak panah pada lingkaran ini digunakan untuk menunjukan tanda arah rotasi yang

disebabkan oleh F. Namun dengan menggunakan aturan tangan kanan disadari bahwa arah dan

tanda arah vektor momen dalam gambar 4-2 ditentukan oleh ibu jari yang menunjuk keluar

halaman karena jari-jari mengikuti arah lingkaran. Dalam dua dimensi kita akan sering

berhubungan dengan pencarian momen gaya “disekitar suatu titik” (O). momen selalu bekerja

disekitar suatu sumbu yang tegak lurus terhadap bidang yang mengandung F dan d, dan sumbu

ini berpotongan dengan bidang pada titik (O) tersebut.

Momen Resultan Sistem Gaya Koplanar

Jika suatu sistem gaya-gaya yang semuanya berada dalam bidang x-y, maka momen yang

dihasilkan oleh tiap-tiap gaya sekitar titik O akan diarahkan sepanjang sumbu z pada gambar 4-3.

Sebagai akibatnya, momen resultan MRO dari sistem dapat ditentukan dengan menjumlahkan

semua gaya-gaya secara aljabar, ke arah semua vektor momen adalah kolinear. Kita dapat

menulis penjumlahan vektor ini secara simbolik sebagai

RO = ∑ d

4-3. Gaya – Formulasi Vektor

Momen gaya F sekitar titik O, atau sesungguhnya di sekitar surnbu momen

yang melalui O dan tegak lurus bidang yang mengandung O dan F, Gambar

4-13a, dapat juga dinyatakan dengan menggunakan perkalian silang vektor. Yaitu

Di sini r menyatakan vektor posisi yang ditarik dari O ke sembarang titik yang

berada pada garis kerja R Dia kini akan ditunjukkan bahwa rnemang momen

M0, ketika ditentukan oleh yang benar.perkalian silang ini. mempunyai besar dan arah yang

benar

Magnitudo. Magnitudo perkalian silang di atas didefinisikan dari

Persamaan 4-1 sebagai M* = r F sin . Di sini, sudut d diukur antara pangkal-pangkal r dan F. Untuk menetapkan sudut ini, r harus diperlakukan

sebagai sebuah vektor dorang sehingga 6 dapat dibuat dengan

benar. Gambar 4-13b. Karena lengan momen d = r sinθ maka

M = rF sinθ=F(r sin θ) =Fd

yang sesuai dengan Persamaan 4-4.

Arah. Arah dan tanda arah Ma, dalam Persama an 4-6 ditentukan oleh aturan

tangan kanan ketika diterapkan pada perkalian silang. Jadi, dengan

mengembangkan r ke posisi garis putus-putus dan m 4-t3b. Perhatikan bahwa "peiingkaran

(pelipatan)" jari-jari tangan, seperti

lingkaran mengitari vektor momen, menunjukkan tanda arah rotasi yang ditirnbulkan

oleh gaya. Karena perkalian silang tidak kornutatif, maka penting

bahwa urutan yang benar dari r dan F diperhatikan dalam Persamaanelipat jari-jari tangan

kanan dari r mbnuju F t'’r kali silang F', ibu jari diarahkan ke arah atas atau

tegak iurus terhadap bidang yang meneandung r dan F dan ini adalah

dalam arah yang sama seperti M0, momen gaya di sekitar titik O, Gambar 4-t3b. Perhatikan

bahwa "peiingkaran (pelipatan)" jari-jari tangan, seperti

lingkaran mengitari vektor momen, menunjukkan tanda arah rotasi yang ditirnbulkan

oleh gaya. Karena perkalian silang tidak kornutatif, maka penting

bahwa urutan yang benar dari r dan F diperhatikan dalam Persamaan 4-6.

Transmibilitas Gaya. Pandang gaya F yang diterapkan pda titik A dalam gambar 4-14.

yang ditunjukkan oleh F di sekitar titik O adalah M = r x F, namun telah di tunjukan bahwa pada

akibatnya F dapat diterapkan pada titik B atau C dan momen M0=rb x F= rc x F yang sama akan

dapat dihitung . Sebagai akibatnya , F memiliki sifat-sifat satu vector lancar (sliding vector) dan

karenanya dapat bekerja pada titik sembarang garis kerjanya dan tetap menghasilkan momen

yang sama di sekitar titik O .Kita menyatakan F dalam hl ini sebagai yang “dapat di

transmisikan”, dan kita akan membicarakan hal ini lebih lanjut pada bagian 4-7.

Formulasi Vektor Kartesian, jika kita menetapkan sumbu-surrnbu kordinat x, y, z, maka vektor

posisi r dan gaya F dapat dlnyatakan sebagai vektor Kartesian, Gambar 44-15 dengan

menerapkan Persamaan 4-6 kita peroleh

Dengan rx,ry,rz menyatakan kmponen-komponen x,y, z dari vektor poslsl yang ditarik dari

t itik O kesembarang titik pada garis kerja gaya

Fx,Fy,Fz yang menyatakan komponen-komponen x, y, z dari 11ector gaya.

Jika determinan diperiuas, maka seperti Persamaan 4-2 diperoleh

M0=(ryFz-Rzfy)i-(rxFz-rzFx)j+(rxFy-ryFx)k

Pengertian fisis tiga komponen momen ini menjadi terbukti dengan mempelajari

Garnbar 4-15a. Sebagai contoh, komponen i dari M., ditentukan

dari momen-momen Fx, Fy, Fz di sekitar sumbu Terutama, perhatikan

bahwa F , tidak rnenimbulkan suatu momen atau kecenderungan untuk

menyebabkan putaran di sekrtar surnbu x

karena gaya ini sejajar dengan surnbu x. Garis kerja F melalui titik E, dan dengan besar momen

Fx, di sekitar titik A pada sumbu; adalah Oleh aturan tangan kanan karnponen ini bekerjaa pada

arah i negative deimikan juga, F- rnenyumbangkan suatu komponen rnomen ry,Fzi. jadi (M0)x =

(ryFz - rzFx ) seperti ditunjukkan dalam persamaan 4-8. Sebagai suatu latihan, tentukan

komponen-komponen j dan k dari M, dalarn cara ini, dan tunjukkan bahwa memiang bentuk

pengembangan detererminan. Persamaan 4-8, menyatakan momen F di sekitar titik O. Sekali

setelah tertentukan, perhaikan bahwa I1.4, akan selalu tegak iurus terhadap bidang berbayang-

bayang yang mengandung vektor-vektor r dan F, Gambar 4-15b Akan ditunjukkan daiam Contoh

4-5 bahwa komputasi mornen dengan menggunakan perkaiian silang rnempunyai keuntungan

nyata terhadap formulasi skalar ketika memecahkan soal-soal dalam tiga dimensi.Ini karena

umumnya lebih mudah untuk rnenetapkan vektor posisi r terhadap gaya. dan pada menentukan

jarak lengan momen d yang harus diarahkan tegak lurus terhadap garis kerja gaya

Momen Resultan Sistem Gaya. Momen resultan sistem gaya di sekitar titik O dapat ditentukan

dengan penjumlahan vektor yang diambil dari penerapan suksesif (berturut-turut) dari Persamaan

4-7. Resultan ini dapat ditulis secara simbolis sebagai

M = ∑( r x F )

Ditunjukkan dalam Gambar 4-16

Prinsip Momen

Suatu konsep yang sering digunakan dalarn mekanika adalah prinsip momen,

yang kadang-kadang dinyatakan sebagai teorema Varignon kwena pertama

kali dikembangkan oieh rnatematikawan Prancis Varignon (1654 - 1122).Dia,

menyatakan bahwa momen gaya di sekitar suatu titik sama dengan penjumlahan

momen-momen komponen gaya di sekitar titik tersebut. Pembuktian

hadir secara langsung dari hukum distributif perkalian silang vektor. Untuk

rnenunjukkan ini, tinjau gaya F dan dua komponennya, dengan F = F1 + F2

Gambar 4-19. Kita peroleh

M0 = r x F1 + r x F2 = r ( F1 +F2 ) = r xF

Konsep ini mempunyai aplikasi pentrng terhadap penyelesaian saal-soal

dan pernbuktian-pembuktian teorerna yang menyertainya, karena dia sering

lebih mudah untuk menentukan momen-momen komponen gaya dari pada

momen gaya itu sendiri.

4-5.Momen Gaya Mengitari Suatu Sumbu Tertentukan

Ingat bahwa bila momen gaya dihitung di sekitar suatu titik, rnomen dan

sumbunya selalu tegak lurus terhadap bidang yang mengandung gaya dan

lengan momen. Dalam beberapa soal cukup penting untuk mencari komponen-

komponen momen ini sepanjang suatu sumbu tertentukan yang rnelalui

titik tersebut.Untuk menyelesaikan soal ini baik analisis skalar maupun

vektor dapat digunakan.

Analisis Skalar. Sebagai suatu contoh numerik dari masalah ini, perhatikan

pipa yang ditata seperti dalam Gambar 4-22a., yang berada dalam

bidang horizontal dan dikenai suatu gaya vertikal F = 20 N yang diterapkan

pada titik A. Momen gaya ini di sekitar titik 0 mernpunyai besar Mo =

(20 N) (0,5 m) = 10 N.m dan arah yang ditentukan oleh aturan tangan

kanan, seperti ditunjukkan dalam Gambar 4-22a. Momen ini cenderung

untuk memutar pipa mengitari sumbu Ob. Namun, karena alasan-alasan

praktis mungkin periu untuk menentukan komponen M, di sekitar sumbu

y,My, karena komponen ini cenderung untuk melepaskan pipa dari penahan

di O. Dari gambar 4-22a, My mempunyai besar My= 7s (10 N"m) = 6 N.rn

dan tanda arah yang ditunjukkan oleh resolusi (penguraian) vektor.

Ketimbang melakukan proses dua tahap yang pertama kali harus mencari

rnomen gaya di sekitar titik O dan kemudian menguraikan momen sepanjang

sumbu y ini, maka juga dirnungkinkan untuk menyelesaikan masalah

ini secara langsung. Untuk melakukan demikian maka perlu ditentukan

jarak tegak lurus atau jarak lengan momen dari garis kerja gaya F ke sumbu

y. Dari Gambar 4-22a jarak ini adalah 0,3 m. Jadi besar momen gayadi sekitar

surnbu y sekali lagi adalah Mr, = (0,3) (20N) = 6 N.m, dan arahny-a

ditentukan oleh aturan tangan kanan seperti yang ditunjukkan.

Umumnya dengan demikian, seperti garis kerja gaya Y tegak lurus terhadap

sernbarang sumbu tertentukan αα, besar momen F di sekitar sumbu

tersebut dapat ditentukan dari persamaan

Ma = F da

Di sini di jarak tegak lurus atau terpendek dari garis kerja gaya ke surnbu.

Arahnya ditentukan dari ibu jari tangan kanan biia jari-jari dilipat menurut

arah rotasi begitu dihasilkan oleh gaya. Terutama, ingat bahwa gaya tidak

akan menyumbangkan momen di sekitar sumbu terspesifikasi jika garis

kerja gaya paralel terhadap sumbu atcu garis kerjanya melalui sumbu

tersebut.

Analisis Vekor. Penyelesaian dua tahap yang terdahulu yaitu pertama

kali mencari momen gaya di sekitar suatu titik pada sumbu dan kemudian

mencari komponen proyeksi momen di sekitar sumbu tersebut dapat juga

dilakukan dengan rnenggunakan suatu analisis vektor, Gambar 4-22b. Di

sini momen di sekitar suatu titik O pertama kali ditentukan dan M0 = ra x F

= (0,3i + 0,4j) x (-20k) = i-8i + 6j) N.m. Kornponen alau proyeksi momen

ini sepanjang sumbu y kemudian ditentukan dari perkalian titik (dot) (Bagian

2.9\.Karena vektor satuan untuk sumbu {atau garis) ini adalah u = j,

makaMy = Mo.u = (-8i+6j).j = 6 nNm. Hasil ini, tentu saja adalah yang

diharapkan, karena dia menyatakan komponen j Cari M0.

Analisls vektor yang dernikian inr terutama menguntungkan untuk

mencari rnomen gaya di sekitar suatu sumbu ketika komponen-komponen

gaya atau lengan-lengan rnomen yang berkaitan sulit untuk ditentukan.

Atas alasan ini, proses dua tahap di atas sekarang akan digeneralisasikan

dan diterapkan untuk benda bentuk sembarang. Untuk melakukan itu, perhatikan

benda dalam Gambar 4-23, yang dikenai gaya F yang bekerja pada

titik A. Di sini kita ingin rnenentukan efek F yang cenderung memutar

benda di sekitar sumbu aa'. Kecenderungan untuk merotasi ini diukur dengan

komponen momen Mo. Untuk menentukan Mo kita pertama menghitung

momen F

di sekitar setiap titik sembarang C yang berada pada surnbu ’ tersebut.

Dalam hal ini Mo dinyatakan dengan perkalian silang Mo = r x F,

dengan r diarahkan dari O ke A. Karena M0 bekerja sepanjang sumbu

momen bb', yang tegak lurus terhadap bidang yang mengandung r dan F,

komponen atau proyeksi Mo, pada sumbu αα' selanjutnya dinyatakan dengan

Mα. Besar M0 ditentukan dengan perkaiian titik, Mα= Mα cos θ = Mα Mα,

dengan uα, vektor satuan yang rnenyatakan arah sumbu aa'. menggabungkan

dua tahap ini sebagai pernyataan urnum, kita rnernperoleh Mα = (r x F) uα.

Karena perkalian titik komutatif, kita juga dapat rnenulis

Ma = ua . ( r x F )

Dalarn aljabar vektor. kombinasi perkalian dot dan siiang ini menghasilkan

suatu skalar Mα disebut perkalian skalar tripel. Diberikan bahwa sumbu-sumbu

x, y, z telah tertetapkan dan komponen-komponen Kartesian tiap-tiap

vektor dapat ditentukan. maka perkalian skalar tripel dapat dltulis

dalam bentuk determinan sebagai

Atau secara sederhana

Bila Mα dievalusi dari Persamaan 4- I l, dia akan menghasilkan suatu skalar

positif atau negatif. Tanda skalar ini menyatakan tanda arah Mα sepanjang

sumbu Mα . Jika dia positif. maka Ma akan mempunyai tanda arah yang sama

dengan uα, sebaliknya jika dia negatif, maka Mα akan bekerja berlawanan

dengan uα.

Sekali Mα ditentukan, kita dapat kernudian menyatakan Mα sebagai vektor

Kartesian, yaiiu

Ma =Maua = [u.(r x F)ua

Akhirnya, jika momen resultan dari serangkaian gaya harus dihitung di

sekitar suatu sumbu, maka komponen-kompcnen momen tiap-tiap sumbu

dijumlahkan bersama secara aljabar, karena tiap-tiap komponen berada sepanjang

sumbu yang sama, yaitr: besarnya adalah

MA = ∑[ua.(r.F)]ua.∑(r.F)

Contoh-contoh berikut mendeskripsikan aplikasi numerik dari konsep-konsep

di atas.

4.6 Momen Kopel

Sebuah kopel didefinisikan sebegai dua gaya paralel yang mernpunyai

besar yang sama, berarah berlawanan dan dipisahkan cleh suatu jarak tegak

lurus d, Gambar 4-26. Karena gaya resultan dari dua gaya ,yang menyusuri

kopel adaiah nol. satu-satunya efek sebuah kopel adalah untuk rnenghasiikan

suatu rotasi atau kecendenrngan rotasi dalam arah tertentukan

(khusus). Sebagai suatu contoh praktis, sebuah kopel dihasilkan pada roda

kernudi mobil ketika rnennbelokkan roda-roda.

Mornen yang dihasilkan oleh sebuah kopel, disebut momen kopel adalah

ekivalen dengan jumlah momen dari kedua gaya kopel, ditentukan di sekitar

setiap titik sembarang O di dalam ruang. Untuk menunjukkan ini. perhatikan

vektor posisi rα dan rb yang diarahkan dari S ke titik-ritik A dan B yang berada

pada garis kerja -F dan F, Gambar 4-27. Momen kopel dihitung di sekitar

O dengan demikian adalah

M = rA x (-F) + rB x (F)

= ( rB -rA) x F

OIeh aturan segitiga penjumlahan vektor, rα+rb = FB atau r = rB - rA.

Sehingga :

M = r x F

Hasil ini nnenunjukkan bahwa sebuah momen kopel adalah merupakan suatu

vektor bebss, yakni dia dapat bekerja pada sembarang titik, karena M bergantung

hanya pada vektor posisi yang diarahkan di antara gaya-gaya dan bukan

vektor-vektor posisi rA dan r". diarahkan dari titik O ke gaya-gaya Karena itu

konsep ini tidak sama dengan momen gaya yang memerlukan suatu titik

(atau surnbu) tetap di sekitar momen-momen yang ditentukan.

Formulasi Skalar. Momen kopel M, Gambar 4-28,didefinisikan sebagai

memiliki suatu besar

M = Fd

dengan F rnerupakan besar salah satu gaya dan d jarak tegak Iurus atau lengan

momen antara gaya-gaya. Arah dan tanda arah momen kopel ditentukan dengan

aturan tangan kanan, dengan ibu jari menunjukkan arah ketika jari-jari

dilipat dengan tanda arah rotasi yang disebabkan oleh kedua gaya. Dalam semua

kasus, M bekerja tegak lurus terhadap bidang yang mengandung gaya-gaya

ini.

Formuasi Vektor. Momen kopel dapat juga dinyatakan dengan perkaiian

silang vektor dengan menggunakan persamaan 4-13, yaitu

M = r x F

Penerapan persamaan ini dengan mudah diingat jika seseorang memikirkannya

, dengan memperlakukan momen kedua gaya di sekitar suatu titik

vang berada pada garis kerja salah satu gaya. Misalnya, jika mornen-momen.

diarnbil di sekitar titik A dalam Gambar 4-27 maka momen -F adalah

nol di sekitar titik ini dan momen F ditentukan dari Persamaan 4-15. Karena

itu, dalam formuiasi r dikali silang dengan gaya F terhadap mana dia diarahkan.

Kopel-Kopel Ekivalen. Dua kopel dikatakan ekivalen jika menghasilkan

momen yang sama. Karena momen dihasilkan oleh sebuah kopel selain

tegak lurus terhadap bidang yang mengandung gaya-gaya kopel, karena

itu penting bahwa gaya-gaya dari kopel-kopel yang sama berada masing-

masing dalam bidang yang sama atau daiam bidang-bidang yang

paralel terhadap satu sama lain. Dalam cara ini, arah masing-masing momen

kopel akan sama, yaitu tegak lurus terhadap bidang-bidang paralel.

Misalnya. dua kopel yang ditunjukkan dalam Gambar 4-29 adalah ekivalen.

Kopel yang satu dihasilkan oleh pasangan gaya-gaya 100 N yang dipisahkan

suatu jarak d = A,5 rn. dan yang lainnya dihasilkan oleh pasangan

gaya-gaya 200 N yang dipisahkan oleh jarak 0,25 m. Karena bidang-bidang

dimana gaya-gaya bekerja adalah paralel terhadap bidang x-y, maka momen

yang dihasilkan oleh kopel masing-rnasing dapat dinyatakan sebagai M

={50k}N.m.

Resultan Momen Kopel. Karena momen kopel merupakan vektor-vektor

bebas, maka mereka dapat diterapkan pada sembarang titik P pada

sebuah benda dan menjumlahnya secara vektorial. Sebagai contoh, dua

kopel yang bekerja pada bidang-bidang berbeda dari suatu benda tegak dalam Gambar 4-30c

dapat diganti dengan momen-momen kopel mereka yang

berkaitan M1 dan M2, Gambar 4-30b dan kemudian vektor-vektor bebas

ini dapat dipisahkan ke titik sembarang F dan menjumlahnya untuk mendapatkan

momen kopel resultan MR=M1 + M2 ditunjukkan da]am Garnbar

4-30c.

Jika ]ebih dari dua momen kopel bekerja pada benda kita dapat menggeneralisasi

konsep ini dan menulis resultan vektor sebagai

MR = ∑ ( r x F )

dengan momen kopel masing-masing dihitung menurut Persamaan 4-15.

Contoh-conloh berikut mendeskripsikan konsep-konsep ini secara numerik.

Umumnya, soal-soal yang diproyeksikan dalam dua dimensi harus diselesaikan

dengan menggunakan suatu anaiisis skalar, karena lengan-lengan momen

dan kompcnen-kornponen gaya mudah dihitung.

4.7 Pergerakan Gaya Pada Benda Tegar

Banyak masalah dalam statika, termasuk reduksi sistem gaya menjadi bentuk

yang paling sederhana mungkin, mensyaratkan untuk menggerakkan

suatu gaya dari satu titik ke titik iain pada sebuah benda tegar. Karena suatu

gaya cenderung untuk memindahkan (mentranslasi) dan merotasi sebuah

benda, maka menjadi penting bahwa dua efek “eksternal" ini tetap sama jika

gaya dipindahkan Cari satu titik ke titik iain pada benda. Dua kasus untuk

lokasi titik O terhadap mana gaya dipindahkan akan ditinjau sekarang.

Titik O Adalah Titik Kerja Gaya, misalnya benda tegar

yang ditunjukan dalam Garnbar 4-35a.yang dikenai suatu gaya F,yang diterapkan

pada titik A Untuk rnemindahkan gaya ke titik O tanpa mempengaruhi

ef'ek-efeir eksternal pada benda. Kita akan pertama kaii menerapkan

gaya-gaya yang sama narnun berlawanan F dan -F pada O, seperti ditunjukkan

dalam Gambar 4-35b. Dua gaya yang ditunjukkan oleh tanda garis

yang memotong mereka itu dapat dihilangkan, dengan tetap membiarkan

gaya pada titik O sebagaimana disyaratkan, Gambar 4-35e. Dengan menggunakan

prosedur pengkonstruksian ini, suatu sistem ekivalen telah dipertahankan

dl antara diagram, masing-masing, sebagaimana ditunjukkan oieh

tanda yang sama. Namun, perhatikan bahwa gaya secara sederhana telah

. "ditransmisikan" sepaniang garis kerjanya, dari titik A, Gambar 4-354, ke

titik O, Gambar,4-35c. Dengan kata lain. gaya dapat dipandang sebagai satu

vektor luncur (sliding vektor) karena dia dapat bekerja pada sembarang

titik O sepanjang garis kerjanya. Dalam bagian 4-3 kita menyatakan konsep sebagai prinip

transibilitas. Dia dapat dinyalakan secaraa formal

sebagai berikut: Gaya-gaya eksternai pada suatu benda tegar tetap tidak

berubah bila suatu gaya, yang bekerj pada suatu titik tertentu pada benda

tersebut, diterapkan pada titik lain yang berada pada garis kerja gaya

tersebut. Penting untuk disadari bahwa hanya efek-efek eksternal, seperti

gerak benda atau gaya-gaya yang diperlukan untuk menahan benda jika dalam

keadaan stasioner, tetap tidak berubah setelah F dipindahkan. Secara

pesii efek-efek internal bergantung pada di mana F ditempatkan. Misalnya.

Bila F bekerja pada A,gaya-gaya dalam benda mempunyai suatu

intensitas tinggi di sekitar A, sebaliknya perpindahan F menjauhi dan titik

ini akan menyebabkan gaya-gaya internal ini berkurang.

Titik O Adalah Pada Garis Kerja Gaya , Kasus ini ditunjukkan

dalam Gambar 4-36a. Dengan F dipindahkan ke titik O tanpa mempengaruhi

efek-efek eksternal pada benda. Dengan mengikuti prosedur yang sama

seperti sebelumnya. kita pertama menerapkan gaya yang sama tapi

berlawanan F dan -F pada titik C, Gambar 4-36b Di sini dua gaya ditunjukkan

oleh suatu tanda slash (garis) yang melewati mereka membentuk

suatu kopel yang mempunyai suatu momen ,yang tegak lurus terhadap F dan

didefinisikan oleh perkalian silang M = r x F. Karena momen kopel merupakan

suatu vektor bebas, dia dapat diterapkan pada sernbarang titik P pada

benda seperti ditujukkan dalarn Gambar 4-36c. Di samping momen kopel

ini, F kini bekerja pada titik C sepertl diinginkan.

Sebagai suatu ilustrasi fisis dua kasus di atas, perhatikan efek pada tangan

ketrka memegang ujung O tongkat yang beratnya dapat diabaikan.

Jika gaya vertikal F diterapkan pada ujung lain A dan tongkat dipegang dalam

posisi vertikal, Gamb ar 4-37a. maka hanya gaya yang dirasakan pada

genggarnan. tanpa memandang di mana F diterapkan sepanjang garis kerjanya

OA, Ini merupakan suatu konsekuensi prinsip transmisibilitas. Bila

tongkat dipegang dalam posisi horizontal, Gambar 4-37h,gaya di A mempunyai

efek menghasilkan suatu gaya yang menuju ke bawah pada pegangan

O dan suatu puntiran searah jarum jam Sebaliknya, efek-efek yang sama

ini dirasakan pada pegangan,jika gaya F diterapkan pada pegangan d

momen kopel M = Fd diterapkan terhadap tongkat.

4.8. Resultan Sebuah Gaya dan Sitem Kopel

Bila suatu benda tegar dlkenai suatu sistem gaya dan momen-momen

kopel, maka sering lebih sederhana untuk mengkaji efek-efek eksternal

pada benda dengan menggunakan resultan gaya dan momen kopel, ketimbang

sistem gaya dan momen kopel. Untuk menunjukkan bagaimana menyederhanakan

suatu sistem gaya dan momen kopel terhadap resultan-resultannya, perhaiikan benda tegar dalam

Gambar 4-39a. Sistem gaya dan momen kopel yang bekerja padanya akan disederhanakan

dengan menggerakkan gaya-gaya dan momen kopel ke titik sembarang 0. Dalam hal ini,momen

kopel M hanya dipindahkan belaka ke titik O, karena dia merupakan

sebuah vektor bebas. Gaya-gaya F1 dan F2 merupakan vektor luncur

(slidiing vector), dan karena O tidak terletak pada garis kerja gaya-gaya ini, masing-masing

harus dipindahkan ke O menurut prosedur vang dinyatakan

dalam Bagian 4.7. Misalnya biia F1 diterapkan pada O, suatu mornen kopel

bersangkutan M1 = r1 x F1, harus juga diterapkan pada benda, Gambar 4-39b. Dengan

penambahan vektor, sistem gaya dan momen kopel yang

ditunjukkan dalam Gambar 4-39b kini dapat direduksi menjadi suatu gaya

resultan ekivalen FR = F1 + F2 dan momen kopel resultan MRO = M + M1

besar rnaupun arah FR adalah tak bergantung pada tempat titik O, karena

mornen-rnomen M1, dan M2 dihitung menggunakan vektor posisi r1 dan r2.

Perhatikan juga bahwa MRO, merupakan suatu vektor bebas dan dapat bekerja

pada sembarang titik pada benda, meskipun titik O umumnya dipilih

sebasai titik aplikasinya.

PROSEDUR ANALISIS

Metode untuk menyederhanakan sembarang gaya dan sistem momen

kopel terhadap suatu gaya resultan yang bekerja pada titik O dan momen

kopel resultan di atas kini akan dinyatakan dalam istilah-istilah

yang umum.Untuk menerapkan metode ini adalah perlu sekali pertarna

menerapkan suatu sistem kordinat x, y, z.

Sistem Tiga Dimensi. Suatu anaiisis Kartesian secara umum digunakan

untuk menyelesaikan soal-soal yang meliputi gaya dan sistem kopel

tiga dimensi untuk mana komponen-komponen gaya dan lengan-lengan

momennya sulit untuk ditentukan.

Penjumlahan Gaya. Gaya resultan adalah ekivalen terhadap penjumlahan vector dari semua

gaya dalam satu system ; yaitu

FR = ∑F

Penjumlahan Momen. Momen kopel resultan adalah ekivalen terhadap

penjumlahan vektor dari semua momen kopel dalam sistem tambah

mornen di sekitar titik O dan semua gaya dalam sistem; yakni.

MRO = ∑M + ∑M0

Sistem Gaya Koplanar . Karena komponen-komponen gaya dan

lengan-lengan momen mudah ditentukan dalam dua dimensi. suatu

analisis skalar memberikan penyelesaian yang paling menyenanghan

terhadap soal-soal yang melibatkan sistem gaya koplanar. Dengan

menganggap bahwa gaya-gaya berada dalam bidang x-y dan momen-momen kopel tegak lurus

terhadap bidang ini (sepanjang sumbu z),

maka resultan-resultannya ditentukan sebagai berikut:

Penjumlahan Gaya. Gaya resultan FR adalah ekivalen terhadap

penjumlahan vektor dari dua kornponennya FRX dan FRY. Tiap-tiap komponen

diperotreh dari penjumlahan (aljabar) scalar dari komponen-komponen semua gaya dalam sistem

yang bekerja dalam arah sama:yakni,

FRx = ∑

FRy = ∑Fy

Penjumlahan Momen. Momen kopel resultan Mko, adalah tegak lurus terhadap

bidang yang mengandung gaya-gaya dan ekivalen terhadap penjumlahan

(aljabar) skalar dari semua momen kopel dalam sistem ditambah dengan

momen di sekitar titik O dari semua gaya dalam sistem; yakni,

MRO = ∑M + ∑Mo

Ketika menentukan momen gaya-gaya di sekitar O, umumnya lebih baik

menggunakan prinsip momen, yaitu menentukan momen komponen-komponen

tiap-tiap gaya ketimbang momen gaya itu sendiri.

Penting diingat bahwa. bila menerapkan setiap dari persamaan-persamaan

ini. perhatian harus diberikan pada tanda arah komponen gaya dan

momen-momen gaya. Jika mereka sepanjang sumbu-sumbu kordinat positif,

mereka menyatakan skalar-skalar posrtif: sebaiiknya jika komponen-komponen ini mempunyai

tanda arah sepaniang sumbu kordinat negatif.

rnereka merupakan skalar-skalar negatif. Dengan rnengikuti konvensi ini

suatu hasil yang positif, Misalnya, rnenunjukkan bahwa vektor resultan

mempunyai suatu tanda arah sepanjang sumbu kordinat positif.

Contoh berikut mendeskipsikan prosedur ini secara numerik.

4.9. Reduksi Lebih Lanjut Sebuah Gaya dan Sistem Kopel .

Penyederhanaan ke Suatu Gaya Resultan Tunggal.Kini tinjau

suatu kasus khusus untuk mana sistem gaya-gaya dan momen kopel bekerja pada sebuah benda

tegar, Gambar 4-41a. dirediuksi pada titik O menjadi

suatu gaya resuitan FR = ∑F dan momen kopel resultan MRO = M0,

yang mana tegalk lurus terhadap satu sama lain, Gambar 4-41b. Kapan saja

hal ini terjadi, kita selanjutnya dapat menyederhanakan gaya dan sistem

momen kopel dengan memidahkan FR ke titik lain P, yang terletak salah

satunya pada benda atau diliuar benda sedemikian hingga tak ada momen

kopel resultan yang harus diterapkan pada benda. Gambar 4-41c. Dengan

kata lain, jika gaya dan sistem momen kopel dalam Gambar 4-41c direduksi

menjadi suatu sistem resultan pada titik FR hanya resultan gaya yang akan

diterapkan pada benda tersebut. Garnbar 4-41c.

Lokasi titik P diukur dari titik O, selalu dapat ditentukan asalkan FR

dan MRO diketahui, Gambar 4-41b. Seperti ditunjukiran dalam Gambar 4-41c, P harus berada

pada surnbu bb, yang tegak lurus terhadap garis kerja

gaya F, dan sumbu Titik ini dipilih sedemikian bahwa jarak d memenuhi persamaan skalar MRO = FR d atau d = MRO∕FR. Dengan FR telah tempatkan,

dia akan rnenghasllkan efek eksternal yang sama pada benda

seperti sistem gaya dan momen kopel dalam Gambar 4-41c, atau resultan-resultan gaya dan

momen kopel dalarn Gambar 4-41b. Kita menyatakan

gaya dan sistem momen kopel dalam Garnbar 4-41a sebagai sedang ekivalen

atau ekipolen (equipoilent) terhadap "sistem" gaya tunggal dalam

Gambar 4-41c, karena sistem masing-masing menghasiikan gaya resultan

dan momen resultan yang sama ketika digantlkan pada titik O.

Jika suatu sistem gaya salah satunya merupakan setangkup {konkuren),

koplanar, atau paralel, dia seialu dapat direduksi, seperti dalam kasus di

atas, menjadi suatu gaya resuitan tunggal FR yang bekerja melalui suatu titik

unik P. Ini karena dalam tiap-tiap dari kasus ini FR dan MRO akan selalu

tegak lurus satu sama lain bila sistem gaya disederhanakan pada sembarang

titik O.

Sisterm Gaya Konkruen. Suatu sistern gaya konkuren telah dibicarakan

secara detail dalam Bab 2. Jelaslah bahwa. semua gaya bekerja pada suatu

titik yang tak ada momen kopel resultan. sehingga titik P secara otomatis

tertentukan, Gambar 4-42.

Sistem Gaya Koplanar .Sistem gaya koplanar, yang mungkin meliputi

momen kopel yang diarahkan tegak lurus terhadap bidang gaya-gaya seperti

dituniukkan dalam Gambar 4-43a, dapat direduksi ke suatu gaya resultan

tunggal, karena bila tiap-tiap gaya dalam sistem dipindahkan ke sembarang

titik O pada bidang x-y, dia akan menghasiikan suatu mornen kopel yang

tegak lurus terhadap bidang, yaitu dalam arah ± k. Momen resultan MRO =

∑M + ∑r x F dengan demikian tegak lurus terhadap gaya resultan FR dapat diposisikan pada suatu jarak d dari O agar menghasllkan momen MRO yang

sama ini di sekitar O, Gambar 4-43c.

Sistem Gaya Paralel. Sistem gaya paralel, yang dapat meliputi momen

kopel yang tegak lurus terhadap gaya-gaya, seperti ditunjukkan dalam

Gambar 4-44a, dapat direduksi menjadi suatu gaya resultan tunggal, karena

Bila tiap-tiap gaya dipindahkan ke sembarang titik O dalam bidang x-y.

dia akan menghasilkan suatu momen kopel yang mernpunyai komponen-kornponen

hanya di sekitar sumbu x dan y. Momen resultan MRO = ∑M + ∑ r x F dengan demikian tegak

lurus terhadap gaya resultan FRO Gambar 4-44b; dan jadi FR dapat dipindahkan ke suatu titik

sejauh d sehingga dia menghasilkan momen yang sama di sekitar O.

PROSEDUR ANALISIS

Teknik yang digunakan unluk rnereduksi suatu sistem gaya koplanar ataupun

yang parairel imenjadi suatu gaya resultan tunggal mengikuti prosedur

umum yang dipaparkan dalam bagian terdahulu. Pertama kali rnenetapkan

suatu sisten kcrdinat x., y, z.Kemudian penyederhanaan mernerlukan dua

langkah berikut:

Penjumlahan Gaya. Gaya resultan F, sama dengan penjumlahan semua

gaya dari sistem, Gambar 4-4la dan 4-41c, yaitu

FR =∑F

Penjumlahan Momen. jarak d dan titik sembarang O ke garis keria FR

ditentukan dengan menyamakan momen FR di sekitar O, MRO, Gambar: 4-41c terhadap jumlah

momen di sekitar titik O dari semua momen kopel dan gaya dalam sistem ∑ Mo, Garnbar 4-4lc;

yaitu

MRO = ∑Mo

Sangat sering suatu analisis skalar dapat digunakan untuk menerapkan persamaan-persamaan ini.

karena komponen-komponen gaya dan lengan-lengan momen dengan mudah ditentukan baik

untuk sistem gaya coplanar mauupun yang paralel.

Reduksi ke suatu Putaran (pilinan). Dalam kasus umum. gaya dan

sistem momen kopel yang bekerja pada sebuah benda, Garnbar 4-39a, akan

mereduksi menjadi suatu gaya resultan tunggal FR dan momen kopel MRO pada

O yang tidak tegak lurus . Malahan, FR akan bekerja pada suatu sudut θ dari, Gambar 4-39c.

Namun. seperti ditunjukkan dalam Gambar 4-45b. MRO

dapat diurai menjadi dua komponen satu tegak lurus M1, dan yang lain parallel M , terhadap

garis kerja FR. Seperti dalam pembahasan sebelumnya, komponen

tegak lurus M dapat dieliminasl dengan menggerakkan FR ke titik P.

sepeiti ditunjukkan dalam Garnbar 4-45b, Titik ini berada pada sumbu bb,

mana tegak lurus pada baik MRO maupun FR. Untuk mempertahankan suatu

ekivaliensi beban. jarak pada O ke P adalah d= M∕Fr.Lebih lanjut. ketika FR

diterapkan pada P. momen FR cederung menyebabkan rotasi benda mengelilingi

O adalah dalam arah yang sama seperti M1 Gambar 4-.45c. Akhirnya

karena M1 merupakan suatu vektor bebas. makanya dapat digrerakkan ke P

sehingga dia kolinear (segaris) dengan FR Cambar 4-45c. Kombinasi gaya

kolinear dan momen kopel ini disebut pilinan atau putaran (sekrup). Sumbu

pilinan mempunyai garis kerja yang sama seperti gaya. Sehingga, pilinan cenderung

menyebabkan suatu translasi sepanjang sumbu dan rotasi di sekitar sumbu tersebut, Dengan

niembandingkan Gambar 4-45a dengan Gambar 4-45c.

terlihat bahwa suatu gaya umum dan sistem momen kopel yang bekerja pada

benda dapat direduksi menjadi suatu pilinan. Sumbu pilinan (puntiran) dan

titik dari mana sumbu ini melalui adalah unik dan selalu dapat ditentukan.

4.10. Reduksi Beban Terdistribusi Sederhana

Dalam banyak situasi suatu luasan permukaan yang sangat besar dari

sebuah benda dapat dikenai beban-beban terdistribusi seperti yang disebabkan

oleh angin, fluida, atau berat material yang ditahan di atas pennukaan

benda. Intensitas beban-beban ini pada tiap titik pada permukaan

didefinisikan sebagai tekanan p (gaya per satuan luas), yang dapat diukur

dalam satuan lb/ft2 atau pascal (Pa), dengan I Pa = 1 N/m

2.

Dalarn bagian ini kita akan meninjau kasus paling umum dari suatu

beban tekanan terdistribusi, yang seragam sepanjang satu sumbu suatu

benda rektangular datar di atas mana beban diberikan. Sebuah contoh beban

demikian ditunjukkan daiam Gambar 4-51c. Arah intensitas beban tekanan

ditunjukkan dengan anak-anak panah yang ditunjukkan pada diagram intensitas

beban, Keseluruhan beban pada plat karena itu merupakan suatu sistem

gaya-gaya paralel, tak hingga jurnlahnya dan masing-masing bekerja pada

suatu luasan diierensial terpisah dari plat. Di sini fungsi beban, p = p(x) Pa,

Hanyalah merupakan suatu fungsi x karena tekanan adalah seragam sepan jang sumbu y. Jika

kita mengalikan p = p(x) dengan lebar a m dan plat, kita memperoleh W = {p(x) N/m2) am =

W(x) N/m. Fungsi beban ini, yang ditujukkan paa gambar 4-15b ,merupakan ukuran distribusi

beban sepanjang garis y=0 yang berada dalam bidang simetri beban.Sebagaimana terlihat, dia

diukur sebagai sebuah gaya per satuan panjang, ketimbang gaya per satuan luas. Sebagai

akibatnya, diagram intensitas beban untuk w = w(x) dapat dinyatakan oleh suatu sistem gaya-

gaya paralel koplanar. ditunjukkan dalam dua dimensi dalam Gambar 4-51b. Dengan

menggunakan metode-metode dari Bagian 4.9, sistem gaya-gava ini dapat disederhanakan

menjadi suatu gaya resultan tunggal FR dan lokasinya x tertentukan,

Gambar 4-5 1c.

Besar Gaya Resultan. Dari Persamaan 4-21 (FR = ∑F) besar FR

adalah ekivalen dengan jumlah semua gaya dalam sistem. Dalam hal ini

integrasi harus digunakan karena ada suatu jumlah tak hingga dari gaya-gaya

paralel dF yang beker;a sepanjang plat, Gambar 4-51b. Karena dF bekerja pada elemen panjang

dx, dan w(x) merupakan gaya per satuan panjang,

maka pada lokasi x, dF = w(x) dx = dA. Dengan kata lain, besar CF

ditentukan dari luas deferensial berwarna dA di bawah kurva beban. Untuk

seluruh panjang plat,

(4-23)

Jadi, besar gaya resultan adalah sama dengan luas total di bawah diagram beban W = W(x).

BAB V

KESETIMBANGAN BENDA TEGAR

Dalam bab ini akan dibahas tentang konsep –konsep fundamental

kesetimbangan benda tegar , dimana kesetimbangan mensyaratkan adanya

kesetimbangan gaya – gaya,untuk mencegah benda bertranslasi dengan gerak

dipercepat, dan kesetimbangan momen – momen, untuk mencegah benda berotasi

5.1 Syarat Kesetimbangan Benda Tegar

Sebuah partikel berada dalam

kesetimbangan jika dia tetap diam atau bergerak

dengan kecepatan tetap, meninjau hal tersebut

dapat disyaratkan bahwa resultan gaya yang

bekerja pada partikel tersebut sama dengan nol

. suatu diagram benda bebas dari

sembarang partikel ke – i dari benda ditunjukan

dalam gambar 5-1b . terdapat 2 bentuk gaya

yang bekerja padanya. Gaya – gaya internal,

dinyatakan secara simbolik sebagai berikut :

∑

Adalah gaya – gaya yang dilakukan oleh semua partikel lain pada partikel ke – i

dan menghasilkan resultan fi ,untuk penjumlahan ini tidak berlaku i = j karena

partikel ke- i tidak dapat melakukan gaya pada dirinya sendiri. Gaya eksternalnya

menyatakan antara lain efek dari gaya gravitasi, listrik, magnet, atau gaya – gaya

kontak antara partikel ke – i dengan benda/partikel yang berdekatan dan tidak

Gambar 5-1

Halaman 184

termasuk dalam benda. Jika partikel berada dalam kesetimbangan ∑ kemudian

dengan menerapkan hukum Newton pertama maka diperoleh :

Fi + fi = 0

Bila persamaan keseimbangan ini juga diterapkan pada tiap – tiap partikel lain

dari benda tersebut, maka persamaan serupa akan muncul dan jika semua

persamaan ini dijumlahkan secara vaktorial diperoleh :

∑ + ∑ = 0

Penjumlahan gaya – gaya internal tersebut jika diselesaikan akan sama dengan nol

karena gaya – gaya tersebut berupa gaya kolinier yang sama namun

berlawanan,huum Newton ketiga, sehingga hanya gaya eksternal yang akan tetap

ada,sehingga dapat ditulis sebagai

∑

Dengan meninjau momen – momen gaya yang bekerja pada partikel ke – i

disekitar titik sembarang O,gambar 5-1b. dengan menggunakan persamaan

kesetimbangan partikel dan hukum distributive perkalian silang vector diperoleh :

ri x ( Fi + fi ) = ri x Fi + ri x fi = 0

Persamaan serupa dapat ditulis untuk partikel – partikel lain dari benda

dan menjumlahkan mereka semua secara vektorial,kita peroleh

∑ + ∑ = 0

Dengan menggunakan notasi ∑ = ∑ kita dapat menulis

persamaan terdahulu sebagai

∑ = 0

Jadi, persamaan kesetimbangan benda tegar dapat diringkas sebagai

berikut :

∑

∑ = 0

Persamaan ini mensyaratkan bahwa sebuah benda tegar akan berada dalam

kesetimbangan asalkan penjumlahan semua gaya eksternal yang bekerja pada

benda tersebut sama dengan nol dan jumlah momen – momen gaya eksternal

disekitar suatu titik juga sama dengan nol.

Andaikan suatu gaya tambahan F’ dibutuhkan untuk menahan benda

dalam kesetimbangan, akibatnya persamaan kesetimbangan menjadi

∑

∑ = 0

Dengan M’O momen F’ disekitar O.Karena ∑ ∑ = 0 Maka

ita mensyaratkan F’ = 0 ( Juga M’O = 0 ). Akibatnya, gaya tambahan F’ tidak

diperlukan untuk menahan benda, dank arena itu persamaan 5-1 juga syarat yang

cukup untuk kesetimbangan.

5.2 Diagram Benda Bebas

Diagram benda bebas merupakan sketsa bentuk garis – garis pada benda

yang menggambarkanya sebagai sedang “terisolasi” atau “bebas” dari

sekelilingnya, yaitu, suatu “benda bebas”.pada sketsa ini perlu untuk

memperlihatkan semua gaya dan momen kopel pada benda tersebut,sehingga efek

dari gaya maupun momen kopel yang bekerja pada benda tersebut dapat

diperhitungkan.

Adapun berbagai bentuk reaksi yang muncul pada penopang ( penahan )

dan titik – titik penopang antara benda yang dikenai system gaya coplanar.sebagai

aturan umum , jika sebuah penopang ( penahan ) mencegah translasi sebuah benda

dalam satu arah tertentu, maka sebuah gaya akan timbul pada benda tersebut

dalam arah itu.demikian pula jika rotasi dicegah,suatu momen kopel akan

diarahkan pada benda.

Karena sebuah benda tegar merupakan komposisi dari partikel – partikel

maka baik beban internal maupun beban eksternal dapat bekerja padanya. Namun

gaya internal tidak digambarkan dalam diagram ini karena gaya ini selalu dalam

bentuk gaya kolinier yang berlawanan arah sehingga efek total mereka terhadap

benda sama dengan nol.

Berat dan Pusat Gaya Berat ( Gravitasi ) apabila sebuah benda dikenai

suatu medan gravitasi maka masing – masing partikelnya mempunyai suatu berat

spesifik seperti hukum gravitasi Newton,jika kita menganggap bahwa ukuran

benda “kecil” dalam hubunganya dengan bumi, maka layak untuk meninjau gaya

–gaya parallel yang bekerja pada partikel – partikel yang terdapat di dalam batas

benda,sehingga system demikian dapat direduksi menjadi gaya resultan tunggal

yang bekerja melalui titik spesifik. Kita menyatakan resultan gaya ini sebagai

berat W benda, dan terhadap letak titik aplikasinya sebagai pusat gaya berat (

gravitasi ) G. Bila benda seragam atau terbuat dari material homogeny, pusat gaya

berat akan terletak pada pusat geometric atau sertroida benda,namun jika tidak

homogen maka pusat gaya beratnya akan diberikan.

PROSEDUR MENGGAMBAR BENDA BEBAS

1. Bayangkan benda terisolasi atau membuatnya “bebas” dari lingkungan dan

hubungan – hubunganya, den gambarkan ( sketsa ) bentuk garis – garisnya

2. Identifikasi gaya- gaya eksternal dan momen-momen kopel yang bekerja

pada benda. Mereka umumnya dijumpai sebagai ( 1 ) beban – beban yang

diterapkan ( 2 ) reaksi – reaksi yang terjadi pada penopang atau pada titik

kontakan dengan benda – benda lain ( 3 ) berat benda, untuk

memperhitungkan semua efek ini, akan membantu kalau menelusuri

seluruh batas, dengan secara seksama memeprhatikan masing – masing

gaya atau momen kopel yang bekerja padanya.

3. Tunjukkan dimensi benda yang perlu untuk menghitung momen – momen

gaya.gaya dan momen kopel yang diketahui harus diberi label dengan

besar dan arahnya yang benar. Huruf – huruf digunakan untuk menyataan

besar dan sudut arah dari gaya – gaya dan momen kopel yang tidak

diketahui.tetapkan suatu system koordinat x,y sehingga yang tidak

diketahui Ax , By ,dan lain – lain ini dapat diidentifikasi.

Contoh soal :

1. gambarkan diagram benda bebas untuk engkol ABC yang

ditunjukkan dalam gambar 5-6a

PENYELESAIAN :

Diagram benda bebas ditunjukkan dalam gambar

5-6b. pin penopang di B melakukan komponen –

komponen gaya Bx dan By pada engkol bel, masing –

masing mempunyai suatu garis kerja yang diketahui

namun besarnya tak diketahui.

Sambungan pada C melakukan suatu

gaya Fc yang bekerja dalam arah

sambungan dan mempunyai besar

yang tidak diketahui. Dimensi –

dimensi engkol juga dilabelkan pada

diagram benda bebas, karena

informasi ini akan berguna dalam

menghitung momen gaya – gaya. Sebagaimana biasanya, tanda arah tiga

gaya yang tidak diketahui telah diterka. Tanda arah yang benar akan

menjadi nyata setelah menyelesaikan persamaan – persamaan

kesetimbangan.

Meskipun bukan bagian dari soal ini, pandangan tiga dimensi

diagram benda bebas dari pin dan dua daun pin di B, ditunjukkan dalam

gambar 5-6c. karena daun

dipasang tetap pada tembok pada

tiap – tiap tembok; yaitu

B”xB”yM”B Reaksi – reaksi ini

ditunjukkan sama dalam besar dan

arah pada daun masing – masing karena kesimetrian beban dan geometri.

Perhatikan secara seksama bagaimana prinsip aksi-reaksi kolinier”sama

namun berlawanan”digunakan bila menerapkan gaya – gaya B’x dan B’y

pada tiap – tiap daun dan pin. Semua yang tak diketahui ini dapat

diperoleh dari persamaan-persamaan kesetimbangan setelah Bx dan By

diperoleh.

5.3 Persamaan Kesetimbangan

Pada bagian 5.1 telah disebutkan dua persamaan yang merupakan syarat

untuk kesetimbangan benda tegar, bila benda dikenai suatu

sistem gaya yang berada dalam bidang x-y ,maka gaya dapat

diurai menjadi komponen x dan y -nya,sehingga syarat

kesetimbangan dalam dua dimensi ialah :

∑ = 0

∑ = 0

∑ = 0

Meskipun persamaan 5-2 paling sering digunakan

untuk menyelesaikan soal – soal kesetimbangan yang

melibatkan system gaya coplanar. Dua perangkat alternative

dari tiga persamaan kesetimbangan juga bias digunakan, salah

satu perangkat tersebut adalah

∑ = 0

∑ = 0

∑ = 0

Bila menggunakan persamaan ini disyaratkan bahwa

titik – titik momen A dan momen B tidak terletak pada suatu

garis yang tegak lurus terhadap sumbu a.untuk membuktikan

bahwa persamaan 5-3 memberikan syarat-syarat

kesetimbangan, perhatikan diagram benda bebas suatu benda

berbentuk sembarang yang ditunjukkan dalam gambar 5-10a,beban pada diagram

benda bebas dapat diganti dengan suatu gaya resultan tunggal FR = ∑ ,yang

( 5 – 2 )

( 5 – 3 )

bekerja pada titik A, dan sebuah momen kopel resultan MRA = ∑ , Gambar 5-

10b. jika ∑ dipenuhi, maka juga harus bahwa MRA = 0. Lebih lanjut, agar

FR memenuhi ∑ = 0, dia harus tidak mempunyai komponen sepanjang sumbu

a,dan karena itu garis kerjanya harus tegak lurus terhadap sumbu a, Gambar 5-

10c. Akhirnya, jika disyaratkan bahwa ∑ = 0 , dengan B tidak terletak pada

garis kerja FR , maka FR = 0 , dan memang benda yang

ditunjukkan dalam gambar 5-10a harus berada dalam

kesetimbangan.

Perangkat kesetimbangan alternative yang kedua adalah :

∑ = 0

∑ = 0

∑ = 0

Disini perlu bahwa titik A, B dan C tidak berada

pada garis yang sama. Untuk membuktikan bahwa persamaan – persamaan ini bila

terpenuhi akan menjamin kesetimbangan, pandang sekali lagi diagram benda

bebas dalam gambar 5-10c, jika ∑ = 0 terpenuhi maka ∑ = 0 , ∑ = 0

, ∑ = 0 dipenuhi , jika garis kerja F melalui titik B seperti ditunjukkan, dan

akhirnya, jika kita mensyaratkan ∑ = 0 dengan C tidak terletak pada garis AB,

Gambar 5-10b, maka perlu juga bahwa FR = 0, dan benda dalam gambar 5-10a

harus dengan demikian berada dalam kesetimbangan.

PROSEDUR ANALISIS

Prosedur berikut memberikan suatu metode untuk menyelesaikan soal –

soal kesetimbangan gaya coplanar :

Diagram benda bebas . gambarkan diagram benda bebas dari benda seperti yang

dibicarakan dalam bagian 5.2 secara singkat, ini mensyaratkan perlunya

menunjukkan semua gaya eksternal dan momen – momen kopel yang bekerja

pada benda. Besar vector – vector ini harus dilabelkan dan arah mereka

dinyatakan relative terhadap suatu perangkat sumbu x , y tetap. Dimensi benda

yang diperlukan guna menghitung momen – momen gaya juga dimasukkan pada

diagram benda bebas. Identifikasi yang tidak diketahui. Tanda arah suatu gaya

atau momen kopel yang mempunyai besar tak diketahui namun dengan garis kerja

yang diketahui dapat diasumsikan ( diterka )

Persamaan Kesetimbangan. Dengan menggunakan sumbu x , y tetap, terapkan

persamaan kesetimbangan ∑ = 0 , ∑ = 0 , ∑ = 0 ( atau perangkat

alternative Persamaan 5-3 atau 5-4 ). Untuk menghindari harus menyelesaikan

persamaan secara simultan, terapkan persamaan momen ∑ = 0 disekitar suatu

titik ( 0 ) yang terletak pada perpotongan garis – garis kerja dari dua gaya yang tak

diketahui . dalam cara ini momen – momen dari yang tidak diketahui ini adalah

nol disekitar 0 , dan orang dapat mendapatkan suatu penyelesaian langsung untuk

yang tidak diketahui ketiga. Bila menerapkan persamaan gaya ∑ = 0 dan ∑

= 0, arahkan sumbu x dan y sepanjang garis – garis yang akan memberi

penguraian paling sederhana dari gaya – gaya menjadi komponen – komponen x

dan y nya. Jika penyelesaian persamaan kesetimbangan menghasilkan suatu scalar

negative untuk suatu gaya atau momen kopel tak diketahui, maka itu

menunjukkan bahwa tanda arah berlawanan dengan yang telah diasumsikan pada

diagram benda bebas.

5.4 Batang ( Perletakan ) Dua dan Tiga Gaya

Penyelesaian terhadap beberapa soal – soal

kesetimbangan dapat disederhanakan jika seseorang

mampu untuk mengenali batang – batang ( perletakan )

yang dikenai hanya dua atau tiga gaya.

Bila sebuah batang dikenai tak satu pun momen

kopel dan gaya – gaya yang diterapkan hanya pada dua

titik pada batang,maka batang tersebut disebut batang (

perletakan ) dua gaya. Sebuah contoh situasi ini

ditunjukkan gambar 5-18a. gaya – gaya di A dan B

pertama kali dijumlahkan untuk mendapatkan resultan mereka masing – masing

FA dan FB , Gambar 5-18b. dua gaya ini akan menjaga kesetimbangan gaya atau

translasional ( ∑ ) memberikan FA mempunyai besar sama dan berlawanan

arah terhadap FB . lebih lanjut, kesetimbangan momen atau rotasional ( ∑ = 0 )

Dipenuhi jika FA kolinier ( segaris ) dengan FB. sebagai akibatnya, garis kerja

kedua gaya diketahui, karena dia selalu melalui A dan B. jadi, hanya besar gaya

yang harus ditentukan atau dinyatakan

Jika sebuah batang ( perletakan ) dikenai hanya tiga gaya, bahwa gaya –

gaya tersebut harus berupa salah satunya konkruen ( setangkup) atau parallel jika

batang berada dalam kesetimbangan. Untuk menunjukan persyaratan

kesetangkupan ( konkurensi ),anggap benda dalam gambar 5-20a dan andaikan

bahwa setiap dua dari tiga gaya yang bekerja pada benda mempunyai garis kerja

yang memotong pada titik o. untuk memenuhi kesetimbangan momen disekitar o,

yakni ∑ = 0, gaya ketiga harus juga melalui o, yang dengan demikian

membuat system gaya konkuren, jika dua dari tiga gaya parallel, Gambar 5-20b.

titik konkurensi,o,dipandang berada di “takhingga” dan gaya ketiga harus parallel

dengan dua gaya yang lain untuk memotong di”titik” ini.

KESETIMBANGAN DALAM TIGA DIMENSI

5.5 Diagram Benda Bebas

Sebelum kita membuat diagram benda bebas perlu dibicarakan terlebih

dahulu reaksi – reaksi yang mungkin muncul pada penopang ( penahan ).Gaya –

gaya reaktif dan momen kopel yang bekerja pada berbagai bentuk penopang (

penahan ) dan sambungan ( koneksi ), ketika batang – batang ( perletakan )

dipandang dalam tiga dimensi, adalah diterapkan dalam table 5-2. Seperti dalam

kasus dua dimensional, sebuah gaya ditimbulkan oleh sebuah penopang yang

mengekang ( membatasi ) translasi dari batang perletakan yang tercantel (

tersambung ), sebaliknya sebuah momen kopel ditimbulkan ketika rotasi batang

yang tercantel dicegah. Misalnya, dalam table 5-2, sendi peluru ( ball-and-socket

joint ) (4) mencegah setiap translasi batang yang tersambung ( terhubung ); karena

itu sebuah gaya harus bekerja pada batang dititik persambungan. Gaya ini

mempunyai tiga komponen yang mempunyai besar yang tidak diketahui, Fx , Fy ,

Fz, Asalkan komponen – komponen ini diketahui, kita dapat mendapat besar gaya,

F = √ √ √ dan orientasi gaya yang ditentukan oleh sudut arah

kordinat α, β, ×, persamaan 2-7. Karena batang yang terhubung dibolehkan

berputar secara bebas disekitar sembarang sumbu, tak ada momen kopel yang

ditahan oleh sendi peluru.

Harus diperhatikan bahwa penopang bantalan poros tunggal ( 5 ) dan ( 7 ),

pin tunggal ( 8 ), dan engsel tunggal ( 9 ) diperlihatkan untuk menopang baik gaya

maupun komponen – komponen momen gaya. Namun, jika penopang – penopang

ini digunakan dalam hubungan dengan bantalan poros, pin, atau engsel lain guna

menahan benda dalam kesetimbangan, dan menjadikan benda fisis

mempertahankan kekakuanya ketika dibebani dan penopang – penopang

disekutukan ( dijajarkan ) secara benar ketika terhubung ke suatu benda, maka

reaksi-reaksi gaya pada penopang-penopang ini secara sendirian mampu untuk

menopang benda. Dengan kata lain, momen – momen kopel menjadi redundan (

berlebihan ) dan boleh diabaikan pada diagram benda bebas. Alasan untuk ini

akan menjadi jelas setelah mempelajari contoh – contoh yang akan menyusul,

namun secara esensial momen – momen kopel tidak akan ditimbulkan ( muncul )

pada penopang – penopang ini karena rotasi benda dicegah oleh reaksi – reaksi

yang ditimbulkan pada penopang – penopang lain dan bukan oleh penopang

momen – momen kopel.

TABEL 5-2

Bentuk Hubungan ( koneksi ) rekasi Jumlah yang tidak diketahui

Satu yang tidak diketahui.

Reaksi adalah gaya yang

bekerja kearah luar



bekerja tegak lurus

permukaan pada titik

kontakan ( sentuhan )



bekerja tegak lurus terhadap

permukaan titik kontakan

Tiga yang tidak

diketahui.reaksi adalah tiga

komponen gaya rectangular

Bantalan poros jurnal tunggal

empat yang tidak diketahui.

Reaksi adalah dua komponen

gaya dan dua komponen

momen kopel yang bekerja

tegak lurus tehadap sumbu

Lima yang tidak diketahui.

Reaksi adalah dua komponen

gaya dan tiga komponen gaya

dan tiga komponen kopel


Reaksi adalah tiga komponen


momen kopel




momen kopel.




momen kopel.

Enam yang tidak diketahui.


gaya dan tiga komponen

momen kopel

DIAGRAM BENDA BEBAS. Prosedur umum untuk menentukan diagram

benda bebas dari suatu benda tegar telah diberikan dalam bagian 5.2. secara

esensial pertama kali dibutuhkan “pengisolasian” benda dengan menggambarkan

bentuk garis – garis gaya dan momen kopelnya. Ini diikuti dengan pelabelan yang

tepat dari semua gaya dan momen kopel dengan mengacu pada system koordinat

x, y, z yang telah ditetapkan. Sebagai aturan umum, komponen – komponen reaksi

yang mempunyai besar tidak diketahui akan ditunjukkan bekerja dalam diagram

benda bebas dalam tanda arah positif. Dalam cara ini, jika suatu nilai negative

yang diperoleh, maka mereka akan menunjukkan bahwa komponen-komponen

tersebut bekerja dalam arah koordinat negative.

5.6 PERSAMAAN KESETIMBANGAN

1. PROSEDUR ANALISIS

Prosedur berikut memberikan metode untuk menyelesaikan soal-soal

kesetimbangan tiga dimensi.Diagram benda bebas. Buatlah diagram benda bebas

benda. Pastikan bahwa anda telah measukkan semua gaya dan moen kopel yang

bekerja pada benda. Interaksi-interaksi ini biasanya disebabkan oleh bend-benda

yang diterapkan secara eksternal, gaya-gaya kontak yang dilakukan oleh benda

jika cukup signifikan dibanding dengan besar gaya-gaya terapan lainnya.

Tetapkan titik asal sumbu x, y, dan z pada titik yang menyenangkan, dan

oreientasikansumbu sedemikian ia paralel terhadap sebanyak mungkin gaya-gaya

dan momen-momen eksternal. Identifikasikan besaran yang tidak diketahui, dan

secara tunjukkan semua komponen tidak diketahui, mempunyai tanda arah positif

jika tanda arah tidak dapat ditentukan secara pasti. Dimensi benda yang

diperlukan bagi perhitungan momen gaya-gaya juga dimasukkan pada diagram

benda bebas.

Persamaan Kesetimbangan. Terapkan persamaan-persamaan kesetimbangan.

Dalam banyak kasus, soal-soal dapat diselesaikan dengan aplikasi langsung enam

persamaan skalar ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑Fz = 0, ∑ x = 0, ∑ y = 0, ∑ z = 0,

Persamaan 5-6, namun jika komponen-komponen gaya dan kengan momen

tampak sulit ditentukan, maka dianjurkan bahwa penyerlesaian dapat diperoleh

dengan menggunakan persamaan-persamaan vektor ∑ = 0, ∑ , = 0, Persamaan

5-5. Dalam setiap kasus, tidak diperlukan bahwa perangkat sumbu yang diplih

untuk penjumlahan gaya berimpit dengan perangkat sumbu yang dipilihuntuk

penjumlahan momen. Malahan, dianjurkan untuk memilih arah suatu sumbu bagi

penjumlahan momen sedemikian ia berpotongan dengan garis kerja dari

sebanyak mungkin gaya-gaya yang tidak diketahui. Momen-momen gaya yang

melalui titik-titik pada sumbu ini atau gaya-gaya yang paralel terhadap sumbu ini

dengan demikian akan menjadi nol. Lebih lanjut, sembarang perangkat tiga

sumbu yang tidak ortigonal dapat dipilih untuk penjumlahan gaya ataupun

momen. Dengan pemilihan sumbu yang tepat, maka menjadi mungkin untuk

menyelesaikan secara langsung besaran yang tidak diketahui, atau tidak

mereduksi perlunya menyelesaikan sejumlah besar persamaan-persamaan

simultan untuk yang tidak diketahui.

5.7. Pengendala ( Konstrain ) Benda Tegar

Untuk menjaga kesetimbangan benda tegar, maka tidak hanya sekedar

perlu dipenuhi persamaan – persamaan kesetimbangan tapi benda juga harus

ditahan ( dijaga ) atau dikendala ( dikungkung ) secara tepat oleh penahan –

penahanya. Beberapa benda dapat mempunyai penahan – penahan yang lebih dari

pada yang sekedar diperlukan untuk kesetimbangan, sebaliknya benda – benda

lain mungkin tidak mempunyai cukup penahan atau penahan – penahanya

munngkin tertata dalam suatu cara tertentu yang dapat menyebabkan benda

tersebut runtuh ( ambruk ). Tiap – tiap penyebab ini sekarang akan dibicarakan.

Ketika sebuah benda mempunyai penahan – penahan yang rendundan,

yaitu, lebih banyak penahan ( penopang ) daripada sekedar yang diperlukan untuk

menahannya dalam kesetimbangan, maka dia menjadi tidak terdeterminasi secara

static. Tidak

terdeterminasi secara

static bermakna

bahwa akan ada lebih

banyak beban –

beban tidak diketahui

pada benda dari pada

persamaan –

persamaan

kesetimbangan yang ada bagi penyelesaianya. Misalnya,soal dua dimensi, Gambar

5-23a, dan soal tiga dimensi, gambar 5-23, ditunjukkan bersama dengan diagram

– diagram benda bebasnya, adalah keduanya tidak terdeterminasi secara static

dikarenakan reaksi – reaksi penahan tambahan. Dalam kasus dua dimensi, ada

lima yang tidak diketahui, yaitu MA, Ax, Ay,By dan Cy dengan hanya tiga

persamaan kesetimbangan yang dapat ditulis ( ∑ = 0, ∑ = 0 dan ∑ = 0,

persamaan 5-2 ). Soal tiga dimensi mempunyai delapan yang tidak diketahui,

dengan hanya enam persamaan kesetimbangan yang dapat ditulis, Persamaan 5-6.

Persamaan tambahan yang diperlukan untuk memecahkan soal – soal yang tidak

terdeterminasi dari tipe yang ditunjukkan dalam gambar 5-23 secara umum

didapatkan dari syarat – syarat deformasi pada titik – titik penahan. Persamaan –

persamaan ini melibatkan sifat – sifat fisis benda yang dikaji dalam subyek –

subyek yang berkaitan dengan mekanika deformasi, seperti “mekanika bahan”

pengendala Tidak Tepat (Palsu). Dalam beberapa kasus, boleh jadi terdapat

banyak gayayang tidak diketahui pada benda sebanyak persamaan-persamaan

kesetimbangan; namun instabilitas benda dapat saja timbul karena pengendalaan

yang tidak tepat oleh penahan-penahan. Dalam kasus soal-soal tiga dimensi,

benda terkendala (terkungkung) secara tidak tepat jika reaksi-reaksi penahan

semua memotong sebuah sumbu bersama. Untuk soal dua dimensi, sumbu ini

tegak lurus terhadap bidang gaya-gaya dan karenanya tampil sebagai sebuah titik.

Sehingga, bila semua gaya reaktif konkuren (setangkup) pada titik ini, benda

terkendala secara tidak tepat, contoh kedua kasus diberikan dalam Gambar 5-24b,

tidak akan sama dengan nol, jadi rotasi sekitar sumbu x atau titik O akan terjadi3.

Lebih lanjut, dalam kedua kasus itu, menjadi tidak mungkin untuk menyelesaikan

secara lengkap untuk semua yang tidak diketahui, karena orang dapat menulis

sebuah persamaan momen yang tidak melibatkan satu pun reaksi-reaksi penahan

yang tidak diketahui, dan akibatnya, akan mereduksi jumlah persamaan

kesetimbangan yang ada sebesat satu.

Kemudian ketika pengendala tak tepat yang menimbulkan instabilitas

terjadi bila gaya-gaya reaktif semuanya parallel. Contoh-contoh dalam tiga dan

dua dimensinya ini ditunjukkan dalam gambar 5-25. Dalam kedua kasus,

penjumlahan gaya sepanjang sumbu x tidak akan sama dengan nol.

Dalam beberapa kasus, sebuah benda mungkin memiliki lebih sedikit gaya

– gaya reaktif dari pada persamaan – persamaan kesetimbangan yang harus

dipenuhi. Benda kemudian menjadi hanya terkendala secara parsial.

Pengendala yang tepat oleh sebab itu mensyaratkan bahwa (1) garis – garis

kerja gaya – gaya reaktif harus tidak memotong titik – titik pada sumbu secara

bersama – sama dan (2) gaya – gaya reaktif tidak harus semua parallel terhadap

satu sama lain. Bila jumlah gaya reaktif yang diperlukan untuk mengendala benda

yang tepat didalam pertanyaan adalah minimum, maka soal akan dapat

terdeterminasi secara static, sehingga persamaan – persamaan kesetimbangan

dapat digunakan untuk menentukan semua gaya reaktif.

Contoh 5.15

Suatu plat homogen yang

ditunjukkan dalam Gambar 5-27a

mempunyai massa 100kg dan dikenai gaya

dan momen kopel sepanjang pinggirnya.

Jika dia ditopang pada bidang horizontal

dengan sebuah roller di A, sebuah sendi

peluru di B, dan sebuah tali di C, tentukan

komponen reaksi pada penahan-penahan.

PENYELESAIAN (ANALISIS

SKALAR)

Diagram Benda Bebas. Terhadap lima

reaksi tidak diketahui yang bekerja pada

plat, seperti ditunjukkan dalam Gambar 5-

27b. Tiap-tiap reaksi ini dianggap bekerja

dalamarah kordinat positif.

Persamaan Kesetimbangan. Karena geometri tiga dimensi lebih sederhana,

analisis skalar memberikan suatu penyelesaian langsung terhadap soal ini.

Penjumlahan gaya sepanjang tiap-tiap sumbu menghasilkan

∑ x = 0 Bx = 0

∑ y = 0 BY = 0

∑ z = 0; AZ + BZ + TC + 300 N – 981 N = 0

Ingat bahwa momen gaya disekitar suatu sumbu sama dengan perkalian

besar gaya dengan jarak tegak lurus (lengan momen) dari garis kerja gaya

terhadap sumbu. Tanda arah momen ditentukan oleh aturan tangan kanan. Jadi,

degan menjumlahkan momen-momen gaya pada diagram benda bebas, dengan

momen-momen positif bekerja sepanjang sumbu x atau y positif, kita peroleh

∑ x = 0; Tc (2m) – 981 N(1m) + Bz(2m) = 0 2

∑ y = 0;

300 N(1,5m) + 981 N(1,5m) – Bz(3m) – Az(3m) – 200 N.m = 0

3

Komponen-komponen gaya di B dapat dieleminasi jika sumbu x’, y

’, z

’ yang

digunakan. Kita peroleh

∑ x = 0; 981 N(1m) + 300 N(2m) – Az(2m) = 0

4

∑ y = 0

-300 N(1,5m) – 981 N(1,5) – 200 N.m + Tc(3m) = 0 5

Dengan menyelesaikan Persamaan 1 melalui 3 atau lebih enak dengan

Persamaan 1, 4 dan 5 diperoleh

Az = 790 N Bz = -217 N Tc = 707 N

Tanda menunjukkan bahwa Bz bekerja kearah bawah.

Perhatikan bahwa menyelesaikan soal ini tidak memerlukan penggunaan

jumlah momen diasekitar sumbu z. Plat terkendala secara parsial karena penahan-

penahan tidak akan mencegahnya berputar disekitar sumbu z jika suatu gaya

diterapkan terhadap dalam bidang x-y.

1

BAB 6

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Dalam rangka untuk mempelajari analisis struktur.

1.2 Tujuan

Tujuan disusunnya makalah ini adalah untuk memahami lebih dalam

analisis struktur.

1.3. Metode Penulisan

Makalah ini merupakan suatu karya tulis yang memerlukan studi secara tidak

langsung, yaitu menggunakan sumber buku yang kami dapat.

2

BAB II

ISI

ANALISIS STRUKTUR

Dalam bab ini kita akan menggunakan persamaan-persamaan kesetimbangan

untuk menganalisis struktur-struktur yang tersusun dari batang-batang perletakan

tersambung-pen. Analisi didasarkan pada prinsip-prinsip yang jika suatu struktur

berada dalam kesetimbangan. Dengan menerapkan persamaan-persamaan

kesetimbangan terhadap berbagai bagian penopang, rangka, atau mesin sederhana,

kita akan dapat menentukan semua gaya yang bekerja pada persambungan-

persambungan,

2.1 Penopang perletakan sederhana

Suatu penopang perletakan (trust) merupakan struktur yang tersusun dari batang-

batang pipih yang tergabung bersama pada titik-titik ujungnya. Batang-batang

tersebut lazim yang di gunakan dalam kontruksi yang terdiri dari topangan kayu

atau batang-batnag logam. Persambungan sendi biasanya di bentuk dengan cara

pembuatan atau pengelasan ujung-ujung batang perletakan suatu plat

persambungan bersama, di sebut plat topangan siku.

3

Topangan Perletakan Bidang Datar. Topangan perletakan bidang datar terletak pada suatu

bidang tunggal dan sering digunakan untuk menopang atap atau -jemhatan. Topangan

terletakan ABCDE yang ditunjukkan dalam Gambar 6_2a, merupakan contoh topangan

penyangga atap yang umum. Dalam gambar ini, beban atap diteruskan ke topangan pada

sendi-sendi sambungan dengan serangkaian balok lintang, seperti DD'. Karena beban

yang diberikan bekerja dalam bidang yang sama dengan topangan, Gambar 6-ib, analisis

gaya_gaya yang timbul dalam batang-batang topangan adalah dua dimensi ."

Asumsi desain. Untuk mendesain baik batang maupun persambungan sebuah

topangan, pertama kalinya perlu di tentukan gaya yang

akan timbul dalam tiap-tiap batang ketika topangan

tersebut di kenai beban tertentu. Oleh karena itu, dua

asumsi penting akan di buat:

1. semua beban di terapkan pada sendi. Dalam

banyak situasi, seperti pada topanagn jembatan

atau atap, asusmsi ini benar. Sering kali analsis

gaya berat batang di abaikan karena gaya-gaya

yang di topang oleh batang relatif lebih besar di

bandingkan dengan beratnya.

2. batang-batang digabungkan bersama dengan pen-

pen licin, dalam kasus yang di gunakan sendi

4

persambungan yang dibaut atau di la, asumsi ini memuaskanasalkan garis

pusat batang-batang yang bertautan konkuren.

Topangan sederhana

Untuk mencegah runtuh, bentuk topangan harus tegak

jelasnya bentuk empat batang ABCD dalam gambar 6-5

akan ambroh kecuali kalau sebuah diagonal misalnya

AC,ditambahkan sebagai penyangga. Bentuk paling

sederhana yang kuat atau stabil adalah segitiga. Sebagai

akibatnya ,sebuah topangan sederhana dikonstruksi

dengan cara memulainya dengan suatu elemen segitiga

(triangular) dasar, seperti ABC dalam Gambar 6-6, dan

menyambungkan dua batang (AD dan BD) untuk

membentuk suatu elemen tambahan. Jadi terlihat bahwa tiap elemen tambahan

dua batang ditempatkan pada topangan, jumlah senti untuk suatu topangan

sederhana akan bertambah satu.

2.2 Metode Sendi Persambungan

Jika sebuah topangan berada dalam kesetimbangan, maka tiap-tiap sendi

persambungannya harus berada juga daram kesetimbangan. Metode sendi

persambungan didasarkan pada kondisi ini, karena sendi berusaha rnemenuhi

syarat-syarat kesetimbangan terhadap gaya-gaya yang dilakukan pada pin (pen) di

setiap sendi persambungan topangan. Karena batang batang topangan seluruhnya

merupakan batang perletakan dua gaya lurus yang terletak dalam bidang yang

sama, maka sistem gaya yang bekerja pada masing-masing pin bersifat coplanar

dan konkuren. Sebagai akibatnya, kesetimbangan rotasional atau kesetimbangan

momen secara otomatis terpenuhi pada sendi persambungan (atau pin), dan hanya

perlu untuk memenuhi ∑Fx=0 dan ∑Fy=0 guna menjaga kesetimbangan

translasional atau kesetimbangan gaya.

Pada semua kasus, analisis harus bermula pada suatu sendi yang mempunyai

sedikitnya satu yang diketahui dan paling banyak dua gaya yang tidak diketahui,

5

seperti dalam gambar. Dalam cara ini, aplikasi ∑Fx=0 dan ∑Fy=0 menghasilkan

dua persamaan aljabar yang dapat diselesaikan untuk dua yang tidak diketahui.

Ketika menerapkan persamaan-persamaan ini, tanda arah yang benar dari gaya

batang yang tak diketahui dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu dari

dua metode yang mungkin.

1. Selalu anggap gaya-gaya batang tidak diketahui yang pada diagram benda

bebas sendi berada dalam regangan, yakni .”menarik” pin.jika hal ini

dilakukan maka penyelesaian numerik persamaan persimbangan akan

menghasilkan skalar-skalar positif untuk batang-batang yang mengalami

regangan dan scalar negative untuk batang yang mengalami kompresi.

2. Tanda arah yang benar dari gaya batang yang tak di ketahui, dalam banyak

kasus, dapat ditentukan “dengan peninjauan”.

2.2.1 Prosedur Analisis

Prosedur berikut memberikan suatu cara umum untuk meanalisis suatu topangan

mengunakan persambungan.

Batang Perletakan Nol-gaya

Analisis topangan menggunakan metode sendi akan sangat tersederhanakan jika

orang dapat menentukan pertama-tama batang-batang yang tak menahan beban.

Batang-batang perletakan nol-gaya ini digunakan untuk meningkatkan stabilitas

topangan selama kontroksi dan untuk memberikan topangan jika beban diterapkan

berubah.

6

Dengan demikian, jika tiga batang perletakan menbentuk sebuah sendi topangan

untuk dua dari batang perletakanya kolinear maka batang ketiga merupakan suatu

batang perletakan nol gaya asalkan tak ada gaya eksternal atau reabsi penopang

yang diterapkan pada sendi. Topangan yang ditunjukkan dalam Gambar dengan

demikian sesuai untuk menopang beban p.

7

2.3 Metode Bagian

Metode yang digunakan untuk meentukan beban-beban

yang bekerja dalam sebuah benda. Metode ini didasarkan

pada prinsip bahwa jika sebuah benda berada dalam

kesetimbangan, maka setiap bagian benda berada dalam

kesetimbangan. Untuk menerapkan metode ini, kita

melewatkan suatu pemisah imajiner yang melalui benda,

sehingga memotongnya menjadi dua bagian. Bila

diagram benda bebas salah satu bagian digambarkan,

maka beban yang bekerja pada bagian tersbut harus

dimasukan pada bagian tersebut harus dimasukan pada

diagram tersebut. Setelah itu, kemudian diterapkan

persmaan-persamaan kesetimbangan terhadap bagian

tersebut untuk menentukan beban pada bagian itu.

8

2.3.1 Prosedur Analisis

Prosedur berikut memberikann suatu cara untuk menerapkan metode bagian untuk

menentukan gaya-gaya dalam batang suatu topangan.

Diagram benda bebas. Buatlah suatu keputusan tentang cara “memotong” atau

membagi suatu topangan melalui suatu batang di mana gaya-gaya akan di

tentukan.

Persamaan kesetimbangan. Dalam hal ini, momen-momen harus di jumlah di

sekitar suatu titik yang berada pada perpotongan garis-garis kerja dua gaya yang

tidak di ketahui, sehingga gaya tak diketahui ketiga di tentukan secara langsaung

dari persamaan momen.

10

Metode Bagian (Partisi). Jika hanya beberapa gaya-Eaya batang yang akan

ditentukan, maka metode bagian (partisi) dapat digunakan. Bila suatu pembagi

imajiner melalui suatu topangan, dan topangan dipisahkan menjadi dua bagian,

sistem gaya yang bekerja pada salah saru bagian harus memenurut enam

persamaan kesetimbangan scalar: ∑Fx=0, ∑fy=0, ∑Fz=0, ∑My=0, ∑Mz=0.

Dengan pemilihan bagian dan sumbu yang tepat untuk menjumlahkan gaya dan

momen, maka banyak gaya batang tak diketahui pada topangan ruang dapat

dihitung secara langsung, dengan menggunakan suatu persamaan kesetimbangan

tunggal.

2.4 Rangka Mesin

Rangka dan mesin merupakan dua bentuk struktur lazim yang sering tersusun dari

batang-batang perletakan banyak gaya tersusun dari batang-batang yang dikenai

lebih dari dua gaya. Rangka umumnya stasioner dan digunakan untuk menahan

beban-beban, sebaliknya mesin mengandung bagian-bagian yang bergerak dan

dirancang untuk mengirim dan mempengaruhi efek-efek gaya.

Dalam hubungan ini, hal_hal penting berikut harus diperhatikan :

l. Isolasilah tiap-tiap bagian dengan menggambarkan bentuk-bentuk garis (gaya

dan momen)-nya. Kemudian tunjukkan semua gaya dan/atau momen kopel yang

bekerja pada bagian tersebut. pastikan untuk melabel atau mengidentifikasi

tiap_tiap gaya dan momen kopel yang diketahui dan tak diketahui dengan

mengacu pada system koordinat x, y yang tetap. Juga, tunjukkan setiap dimensi

yang digunakan untuk memperhitungkan momen. Sangat sering persamaan

persamaan kesetimbangan akan menjadi lebih mudah diterapkan jika gaya_gaya

disajikan dengan komponen-komponen rektangularnya. Biaslnya, tanda arah gaya

atau momen kopel tak diketahui dapat diasumsikan.

2' Identifikasi seinua batang-batang perletakan dua gaya di dalam struktur dan

nyatakan diagram benda bebasnya seperti rnemiliki dua gaya yang sama namun

berlawanan yang bekerja pada titik-titik aplikasi mereka masing-masing. Garis

kerja gaya_gaya ditentukan dengan garis yang menghubungkan dua titik dengan

gaya-gaya. Dengan mengetahui batang-batang perletakan dua gaya, kita dapat:

11

menghindari untuk menyeresaikan sejumlah persamaan kesetimbangan yang tidak

perlu.

3’. Gaya-gaya bersama terhadap sembarang dua batang berkontakan yang

bekerja dengan besar yang sama namun berlawanan tanda arah pada tiap=tiap

batang. Jika dua batang di perlukan sebagai sautu “sistem” batang berhubungan,

maka gaya-gaya ini merupakan gaya-gaya interval dan tidak di perlihatkan pada

diagram benda bebas system, namun jika diagram benda bebas dari tiap-tiap

batang perletakan digambarkan, maka gaya-gaya merupakan gaya-gaya

“eksternal” dan harus di tunjukkan pada masing-masing diagram benda bebas.

Persamaan kesetimbangan. Asalkan struktur tertopang secara benar dan miliki

tidak banyak penyangga atau batang dari yang diperlukan untuk mencegahnya

runtuh,maka gaya-gaya diketahui pada penopang-penopang dan hubungan-

hubungan dapat ditentukan dari persamaan kesetimbangan.Jika struktur terletak

dalam bidang x-y,maka untuk masing-masing diagram benda bebas yang

menggambarkan beban harus memenuhi hanya ∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0 dan ∑ Mo = 0.

12

2.4.1 Prosedur Analisi

Prosedur analisis berikut memberikan suatu metode untuk reaksi-reaksi

menentukan gabungan rangka dan mesin (struktur) yang terdiri dari batang-batang

perletakan banyak gaya.

Diagram benda bebas. Gambarkan diagram benda bebas keseluruhan sftuktur,

sebagian struktur atau masing-masing dari batang-batang perletakannya. pilihan

harus dibuat sedemikian hingga membanwa kepada penyelesaian soal yang lebih

ringkas.

Persamaan kesetimbangan. Hitunglah jumlah total yang tidak diketahui untuk

memastikan bahwa suatu ilumiah ekivalen persamaan kesetimbangan yang

dituliskan untuk penyerasian. Ingat bahwa tiga persamaan kesetimbangan yang

dapat dituliskan untuk tiap-tiap benda tegar dapat dinyatakan dalam dua dimensi'

Sering kali, penyelesian untuk yang tidak diketahui akan menjadi mudah jika

dijumlahkan momen-momen yang disekitar suatu titik yang terletak pada

perpotongan garis_garis kerja sebanyak gaya-gaya yang tidak diketahui. Setelah

didapatkan penyelesaianya, berar yang tidak diketahui tersebut ditemukan

bertanda negatif berarti tanda arah gaya merupakan kebalikan yang ditunjukkan

pada diagram bebas.

BAB 7

GAYA-GAYA INTERNAL

7.1 Gaya-Gaya Internal Yang Timbul Dalam Batang-

Batang Struktur

Metode Bagian (Pemotongan) merupakan suatu penyelidikan terhadap beban-

beban yang bekerja di dalam batang yang di perlukan untuk mengimbangi beban

yang bekerja eksternal terhadapnya.

Dalam mekanika, terdapat gaya normal, gaya gesek dan momen. Dalam

gambar diatas, gaya normal (N) adalah gaya yang bekerja normal terhadap batang

pada bagian (belahan) terpotong, dan gaya yang bekerja searah garis singgung/

tangensial disebut gaya gesek (V), adapun gaya momen tersional(puntiran)

disimbolkan M

Contoh soal:

Batang dibuat tetap pada ujungnya dan dibebani seperti terlihat dalam gambar.

X

Z

Y

v

My

Mz

Mx

N

Tentukan gaya normal internal pada titik D dan C.

PENYELESAIAN:

Reaksi penahan. Diagram benda bebas keseluruhan batang ditunjukkan dalam

gambar. Hanya gaya normal yang bekerja pada penahan tetap, karna beban-beban

dierapkan secara sistematis sepanjang sumbu batang.

= 0 -16kN+12kN-4kN=0 = 8 kN

Diagram benda bebas. Gaya-gaya internal di B dan C akan dicari dengan

menggunakan diagram bendabebasbatang terpotong yang ditunjukan dalam gambar.

Terutama, segmen AB dan DC yang akan dipilih disini, karna memiliki jumlah gaya

yang paling sedikit.

Persamaan Kesetimbangan:

+↑£ = 0 8kN-Nb= 0 Nb= 8kN Segmen AB

+↑£ = 0 Nc-4kN=0 Nc= 4kN Segmen DC

D

C

12 kN

16kN

B

A

B

C

D

12 kN

12 kN

A

4 kN

8 kN

Nb 4 kN

Nc

A

7.2 Persamaan Diagram Geser dan Momen

Balok-balok (Beam) merupakan batang-batang structural yang dirancang

untuk menompang beban-beban yang diterapkan tegak lurus terhadap sumbu-

sumbunya.

Variasi V dan M sebagai fungsi posisi x sepanjang sumbu balok dapat

diperoleh dengan menggunakan metodee bagiann (pemotongan). Jika hasil-hasil

diplot, variasi grafik V danM sebagai fungsi x diistilhkan masing-masing sebagai

diagram geser dan diagram momen lengkung.

Umumnya fungsi-fungsi geser internal dan momen lengkung internal akan

berupa diskontinyu atau kemiringannya akan diskontinyu pada titik dimana beban

terdistribusi berubah atau dimana gaya-gaya terpusat atau momen kopel terpusat

diterapkan.

7. 3 Hubungan Antara Beban Terdistribusi , Gesekan, Dan Momen

↓↑£ = 0 V-W(x) Δx-(V+ΔV)= 0 ΔV= -W(x). Δx

+£ = 0 -V.Δx-M+w(x).Δx[ ] +(M+ΔM)=0

ΔM= V.Δx-w(x).k

Diagram benda bebas untuk segmen kecil balok yang mempunyai panjan Δx.

Beban terdistribusi telah diganti oleh gaya resultan ΔF=w(x).Δx yang bekerja pada

suatu jarak fraksional k(Δx)dari ujung kanan , dengan 0<k<1.

Persamaan 7.3 menyatakan bahwa perubahan dalam gaya gesek antara titik

satu dengan yang lain sama dengan negative luas dibawah kurva beban terdistribusi

antara titik-titik ini.

=-w(x)

Kemiringan diagram geser=negative Intensif B.T

7.4 Kawat

Kawat fleksibel dan rantai biasa digunakan untuk menopang dan menyalurkan

beban dari satu batang (bagian) ke yang lain. Dalam aplikasi di bidang jembatan

gantung dan roda-roda trem listrik (trolley), berat kawat dapat diabaikan karena

terlalu kecil menurut perbandingan. Sedangkan pada aplikasi saluran transmisi dan

penopang antenna radio dan Derek, berat kawat menjadi bagian dari analisis struktur.

a. Kawat Dikenai Beban Terpusat

Bila kawat yang beratnya dapat diabaikan menahan beberapa beban

terpusat, maka kawat akan mengambil bentuk beberapa segmen garis lurus

masing-masing dikenai suatu gaya tensil konstan.

b. Kawat Dikenai Beban Terdistribusi

Lihat gambar! Pada kaat tersebit, dikenai gaya w = w(x) dalam arah x. Gaya

tensil dalam kawat berubah secara kontinu, baik besar maupun arah.

Perubahan ini dinyatakan dalam ΔT. Resultan gaya beban terdistribusi

dinyatakan dengan w = w(x.k.Δx), yang bekerja pada suatu jarak fraksional

k(Δx) dari titik O dengan 0 < k < 1. Dengan menetapkan persamaan

kesetimbangan diperoleh:

Pers. 7-4b-1 ∑

Pers. 7-4b-2 ∑

Pers. 7-4b-3 ∑

Membagi masing-masing persamaan dengan Δx dan megambil limit Δx → 0,

Δy → 0, Δθ → 0, dan ΔT → 0, diperoleh:

Pers. 7-4b-4

Pers. 7-4b-5

Pers. 7-4b-6

Mengintegrasi pers. 7-4b-4, diperoleh:

Pers. 7-4b-7

FH adalah komponen horizontal gaya tensil pada setiap titik sepanjang kawat.

Mengintegrasi Pers. 7-4b-5, diperoleh:

Pers. 7-4b-8 ∫

Membagi pers. 7-4b-7 dengan Pers. 7-4b-8, kemudian menggunakan Pers. 7-

4b-6, diperoleh:

∫

Dengan melakukan integrasi untuk kedua kali diperoleh:

Pers. 7-4b-9

∫ ∫

c. Kawat Dikenai Bebannya Sendiri

Bila berat kawat menjadi penting dalam analisis gaya, maka fungsi beban

sepanjang kawat menjadi fungsi panjang busur s ketimbang panjang proyeksi

x. Melalui penerapan pers. Kesetimbangan, akan diperoleh timbale balik yang

identik dengan pers. 7.4b-4 sampai pers. 7.4b-6, namun dx diganti ds.

pers. 7.4c-1

∫

pers. 7.4c-2

∫

untuk mengintegrasikan dengan pers. 7.4c-2, mka dy/dx diganti dengan dy/ds,

karena

√

Maka

√

Dengan demikian

√

∫

Dengan memisahkan variable dan mengintegrasinya diperoleh:

pers. 7.4c-3 ∫

√

∫

1

BAB VIII

GESEKAN

8.1 karakteristik gesekan kering

gesekan kering sering di sebut gesekan coulumb,karena karakteristiknya

dipelajari secara luas oleh c.a coulumb pada 1781.secara spesifik gesekan kering

terjadi antara permukaan permukaan kontakan benda-benda karena kejadian fluida

pelumas.

Teori gesekan kering. teori gesekan kering dapat di jelaskan dengan baik dengan

meninjau efek-efek epa yang disebabkan oleh tarikan pada suatu balok dengan

berat seragam W yang berada pada permukaan kasar. Tiap-tiap gaya reaktif

menyumbangkan suatu komponen friksional∆Fn dan komponen normal ∆Nn.

kesetimbangan. Agar analisis suatu objek sederhana,efek beban beban normal

dan friksional terdistribusi akan ditunjukkan oleh resultan resultan N dan F nya

yang dinyatakan pada diagran benda bebas suatu objek.

*disamping interaksi mekanik seperti yang dijelaskan disini, suatu pembicaraan

rinci tentang sifat sifat gaya-gaya gesekan harus juga memasukkan efek-efek

temperature,kerapatan,kelicinan,dan gaya tarik atonomik atau molekuler antara

permukaan-permukaan yang berkontakan.

2

Gerak ambang

W

N

P

FS

Pada gerak ambang berlaku persamaan;

*Fs=μsN

*Fk= μkN

Karakteristik gesekan kering. Aturan yang berlaku.

1. Gaya gesekan bekerja dalam arah tangen terhadap permukaan-permukaan

yang berkontakan dalam suatu arah yang berlawanan dengan gerak relatif

atau kecenderungan gerak dari satu permukaan terhadap yang lain.

2. Besar gaya gesekkan statik maksimum Fs, yang dapat ditimbulkan tak

bergantung dengan luas kontakan, asal tekanan normal tidak sangat rendah

ataupun cukup besar untuk berdeformasi hebat atau meretakkan

permukaan benda-enda yamg berkontakan

3. Besar gaya statik maksimum umumnya lebih besar dari pada besar gaya

gesekan kinetik untuk sembarang dua permukaan kontakan. Namun jika

salah satu benda bergerak dengan kecepatan sangat rendah terhadap

permukaan yang lain, Fk menjadi hampir sama dengan Fs yakni, μs= μk.

4. Bila gelinciran pada permukaan kontakan hampir terjadi, besar gaya

gesekan statik maksimun adalah berbanding lurus dengan besar gaya

normal,sedemikian Fs= μsN,

5. Bila gelinciran pada permukaan kontakan terjadi, besar gaya gesekan

kinetik sebanding dengan besar gaya normal,sedemikian Fk= μkN.

3

Sudut gesekan.

• ϴ

ϴ

Fs=μsN

W

N

Sudut gesekan statik ɸs=tan-1 μs

Sudut gesekan kinetik ɸk=tan-1 μk

Sudut diam ϴs=tan-1

μs

8.2 MASALAH-MASALAH YANG MELIBATKAN GESEKAN KERING

Jenis-jenis masalah gesekan. Umumnya ada tiga jenis masalah mekanika

yang melibatkan gesek kering.

1.kesetimbangan. soal-soal dalam katagori ini secara tegas merupakan masalah

kesetimbangan yang mensyaratkan jumlah total yang tidak diketahui sama dengan

jumlah total persamaan kesetimbangan yang ada.

2.Gerak ambang pada semua titik. dalam hal ini jumlah total yang tidak

diketahui akan sama dengan jumlah total persamaan kesetimbangan yang tersedia

tambah jumlah total persamaan gesekan yang ada F= μsN.khususnya ,jika gerak

dalam keadaan ambang pada titik-ttik kontakan ,maka Fs= μsN; sebaliknya jika

benda menggelincir maka Fs= μkN.

3.Perobohan atau gerak ambang pada beberapa titik . disini jumlah total yang

tidak diketahui akan kurang dari jumlah persamaan kesetimbangan yang tersedia

tambah jumlah total persamaan gesekan atau persamaan kondisioanal (syarat)

untuk perobohan .

4

Persamaan keseimbangan versus persamaan gesekan.

Telah dinyatakan sebelumnya bahwa gaya gesekan selalu bekerja agar

supaya melawan gerak relatif atau menghambat gerak benda pada permukaan

kontaknya. Namun perlu diketahui bahwa kita dapat mengasumsikan tanda arah

gesekan dalam soal soal yang mensyaratkan F menjadi suatu “gaya

kesetimbangan” dan memenuhi pertidaksamaan F < μsN. Tanda arah yang benar

diketahui setelah menyelesaikan persamaan-persamaan kesetimbangan untuk

F.namun ,dalam kasus-kasus di mana persamaan gesekan F = μN digunakan

dalam penyelesaian soal keuntungan mengasumsikan tanda arah F menjadi tidak

berarti, karena persamaan gesekan hanya menghubungkan besar atau magnitudo-

magnitudo dari dua vektor tegak lurus.akibatnya ,F harus selalu ditunjukkan

bekerja dengan tanda arahnya yang tepat pada diagram benda bebas kapan saja

persamaan gesekan digunakan dalam penyelesaian soal.

Prosedur analisis

Diagram benda bebas.gambarkan diagram benda bebas yang diperlukan dan di

tentukan jumlah yang tidak di ketahui atau persamaan yang diperlukan untuk

penyelesaian yang lengkap. kecuali tidak dinyatakan dalam soal, tunjukkan selalu

gaya-gaya gesekan sebagai yang tidak di ketahui;yakni,jangan mengasumsikan

bahwa F= μN.

Persamaan gesekan dan kesetimbangan. Terapkan persamaan kesetimbangan

dan persamaan gesekan yang perlu (atau persamaan kondisional jika perobohan

terlibat) dan selesaikan yang tidak di ketahui.

5

CONTOH SOAL:

4m

8m

ϴ

20N

ϴ

Nb

Fb

x

o

balok homogen yang di tunjukkan pada gambar diatas, mempunyai berat

20 N dan diam pada bidang miring denbgan μs=0,55. Tentikansudut kemiringan

bidang terbesar, ϴ,sebelum balok bergerak.

Penyelesaian:

menerapkan persaman kesetimbangan di peroleh

∑Fx=0, 20 sinϴN-Fb=0 (1)

∑Fy=0, Nb-20cosϴN=0 (2)

∑Fz=0, 20 sin ϴN(4m)-20 cos ϴN(x) (3)

(gerak miring balok), ini memerlukan penggunaan persamaan gesekan

Fs= μsN; Fb=0.55Nb (4)

Dengan menyelesaikan persamaan 1 dan 4 menghasilkan

Nb=17.5 Fb=9,64 ϴ=28,8˚ x=2,2 m

Karena x=2.2m>2m,balok akan roboh sebelum menggelincir.

(robohnya balok). Ini mensyaratkan

X=2m (5)

Dengan menyelesaikan persamaan 1 dan 3 dengan menggunakan persamaan 5

diperoleh;

Nb=17,9N ϴ= 26,6˚ Fb=8,94N

6

8.3 baji

p

Baji merupakan suatu mesin sederhana yang sering digunakan untuk

mentrasformasi suatu gaya yang di terapkan kedalam gaya-gaya yang jauh lebih

besar, diarahkan pada sudut hampir siku-siku terhadap gaya yang di terapkan.juga

baji dapat di gunakan untuk memberikan pergeseran-pergeseran kecil atau

pengaturan - pengaturan terhadap beban-beban berat.

Contoh soal;

Batu seragam mempunyai massa 500kg dan ditahan dalam posisi horizontal

dengan menggunakan sebuah baji di B seperti ditunjukkan pada gambar. Jika

koefsien gesekan statiknya adalah μs= 0,3 pada permukaan yang berkontakan

dengan baji, tentukan gaya P yang diperlukan untuk memindahkan baji.apakah

baji mengunci diri? Asumsikan baha batu tidak tergelincir (selip) di A.

1m

AB

C7˚

P

7˚

Nc

p

Nb

0,3 Nb

0,3 Nc

PENYELESAIAN

Dari diagram benda bebas batu,

∑Ma = 0; -0,4905m N (0,5) + (Nb cos 7˚ N) + (0,3Nb sin 7˚N)(1m)=0

Na= 2383,1 N

Dengan menggunakan hasil ini untuk baji, kita peroleh

∑Fx = 0,2383, 1 sin 7˚N – 0,3(2383,1 cos 7˚ N) + P - 0,3 Nc + P - 0,3Nc = 0

7

∑Fy=0; Nc-2383,1 cos 7˚N - 0,3(2383,1 sin 7˚N) = 0

Nc = 2452,5N

P = 1154,9N

Karena P positif, maka baji harus ditarik kelar. Jelasnya, jika P nol, baji

akan tetap ditempatnya dan gaya-gaya gesekan Fc dan Fb yang timbul pada titik-

titik kontakan akan memenuhi Fb < μsNb dan Fc < μsNc.

8.4. gaya-gaya gesekan pada sekrup

analisis Gesekan. Bila sebuah sekrup dikenai beban aksial besar,maka

gaya-gaya gesekan yang ditimbulkan pada ulir menjadi penting jika kita akan

menentukan momen M yang diperlukan untuk memutar sekrup.

Gerak sekrup naik.asal M cukup besar,sekrup( dan dengan demikian balok) salah

satunya dapat di bawa ke ambang gerak naik atau gerak dapat terjadi.

M=Wr tan (ϴ + ɸ )

Gerak sekrup turun (ϴ >ɸ ). Jika permukaan sekrup sangat licin, maka sekrup

dimungkinkan untuk berotasi turun jika besar, momen tereduksi menjadi,

katakan, M’ < M misalnya(bukan arah momennya)

M=Wr tan (ϴ - ɸ )

Sekrup mengunci diri. jika momen M (atau efeknya S ) dihilangkan, maka sekrup

akan tetap mengunci diri;yakni, dia akan menopang beban W dengan gaya gaya

gesekan sendiri asalkan ɸ > ϴ .

Gerak sekrup turun(ϴ < ɸ ).bila permukaan sekrup sangat besar, maka sekrup

tidak akan berotasi turun.malahan ,arah momen terapan harus dibalik agar

menyebabkan berat .

M”= Wr tan (ϴ - ɸ )

8

8.5 Gaya-Gaya Gesekan Pada Sabuk Datar

T1T2

β

ϴ

Gerak ambang sabuk relatif terhadap permukaan

Analisis Gesekan.

Diagram benda bebas segmen sabuk yang berkontakan dengan permukaan

ditunjukkan seperti pada gambar. disini gaya normal N dan gaya gesekan F, yang

bekerja pada titik yang berbeda sepanjang sabuk,akan berubah berubah baik besar

maupun arahnya. Karena distribusi gaya yang tak diketahui ini, maka analisis soal

akan berlangsung pada basic dengan pertama kali mempelajari gaya-gaya yang

bekerja pada elemen diferensial sabuk. Untuk gaya gaya gesekan pada sabuk datar

mempunyai persamaan yaitu: T2=T1eμβ

Dengan T2,T1 = tegangan sabuk

μ = koefisien gesekan statik atau kinetik antara sabuk dengan permukaan

kontakan.

β= sudut sabuk terhadap kontak permukaan diukur dalam radian .

e = 2,7,8.... basis logaritma natural.

9

Contoh soal;

45˚

A CB

T

Tegangan maksimum yang dapat di timbulkan dalam sabuk yang di

tunjukkan dalam gambar adalah 500N. Jika kerekan di An bebas berputar dan

koefisien gesekan statik pada drum tetap B dan C adalah μs=0,25, tentukan masa

silinder terbesar yang dapat di angkat olek sabuk. Anggaplah bahwa gaya T yang

diterapkan pada ujung sabuk adalah diarahkan secara vertikal ke bawah, seperti

terlihat.

PENYELESAIAN;

T2=T1eμβ

500N = T1e0,25(3/4)π

T1=500/ e0,25(3/4)π

=277,4 N

Karena kerekakan di A bebas berputar,kesetimbangan mensyaratkan

bahwa tegangan dalam sabuk tetap sama pada kedua sisi kerekan.

Bagian sabuk yang melalui drum di C ditunjukkan dalam gambar.berat

W<277,4 N.karena T2=T1eμβ

277,4N = We0,25(3/4)π

W = 153,9 N

m= W/g; 153,9/9,81

m=15,7 kg jawab

10

8.6 Gaya-gaya gesekan pada bantalan poros,kolar,bantalan pivot, dan

piringan

Bantalan poros pivot (pivot bearing) dan bantalan poros kolar ( collar

bearring) paling umum digunakan dalam mesin untuk menahan suatu beban

aksial pada sumbu yang berputar.

Analisis Gesekan. M =

μsP(

)

Persamaan ini hanya berlaku untuk permukaan-permukaan bantalan poros yang di

kenai tekanan konstan. jika tekanan tidak seragam , variasi tekanan sebagai

fungsi luas bantalan harus di tentukan sebelum melakukan integrasi untuk

mendapat momen.

8.7 gaya-gaya gesekan pada bantalan poros jurnal

bila suatu sumbu atas roda dikenai beban lateral , maka suatu bantalan poros

jurnal paling umum digunakan sebagai penahan.bantalan-bantalan poros jurnal

berpelumas baik di perlukan dengan hukum mekanika fluida ,dimana kekentalan

lubrikan (pelumas),laju rotasi,dan besar jarak ruang antara sumbu dan bantalan

poros diperlukan untuk menentukan resistensi gesekan bantalan poros.

Analisis gesekan. rumus yang di gunakan

M = Rr sin ɸk

M ≈ Rr μk

11

8.8 resistansi gelindingan (rolling resistance)

w

p

N

Gerak

N

Nd

Nr

jika sebuah silinder tegar berat W mnggelinding pada kecepatan konstan

sepanjang permukaan tegar(keras).maka gaya normal yang dilakukan oleh

permukaan pada silinder bekerja pada titik tangen kontakan.asaslkan silinder tidak

mengalami resistans gesekan dari udara ,maka gerak akan berlanjut untuk waktu

tidak terbatas.namun sesungguhnya tak ada material yang tegar sempurna, dan

karenanya reaksi permukaan pada silinder ter diri dari suatu distribusi tekanan

normal.

P =

Dengan P=GAYA PERGERAKAN

a=KOEFISIENRESISTANSI GELINDINGAN

jarak a diistilahkan sebagai koefisien resistansi gelinding,yang mempunyai

dimensi panjang.

*sesungguhnya, gaya deformasi Nd menyebabkan energi menjadi

tersimpan di dalam material begitu besarnya atau nilainya di tingkatkan,

sebaliknya gaya pemulihan Nr begitu besarnya menjadi berkurang, maka akan

membuat beberapa energi ini terlepas. sementara, energi yang tinggal atau sisa

adalah hilang karena digunakan untuk memanaskan permukaan ,dan jika berat

silinder sangat besar,maka dia bertanggung jawab atas deformasi permukaan

permanen. Kerja harus di lakukan oleh gaya horizontal P untuk mengejar

kehilangan ini.

12

Contoh soal;

ϴ

100mm

98,1 cos 1.2˚N

98,1 N

98,1 SIN 1,2˚

1,2˚

O

N

Bola baja 10 kg yang ditunjukkan dalan gambar diatas mempunyai jari-jari

100mm dan diam pada suatu bidang miring yang terbuat dari kayu . jika ϴ di

besarkan sedemikian sehingga bola akan mulai menggelinding menuruni bidang

miring dengan kecepatan konstan bila ϴ=1,2˚,tentukan koefisien resistansi

gelindingan.

PENYELESAIAN;

Seperti ditunjukkan diagram bebas, ketika bola mendapatkan gerak

ambang,reaksi normal N yang bekerja pada titik A ditentukan oleh domensi

a.dengan mengurai berat menjadi komponen komponen paralel dan tegak lurus

terhadap bidang miring, dan dengan menunjukkan momen-momen disekitar titik

A, makam di peroleh (dengan pendekatan )

∑Ma=0; 98,1 cos 1,2˚(a) – 98,1 sin 1,2˚(100) = 0

Setelah menyelesaikannya , kita peroleh

A = 2,1 mm

13

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Dari paparan diatas dapat disimpulkan :

Friksi (gesekan) kering dapat didefinisikan sebagai gaya resistansi yang

bekerja pada benda yang mencegah atau menghambat gelinciran (luncuran)benda

relatif terhadap benda kedua atau permukaan dengan mana dia berkontakan.

disamping interaksi mekanika,suatu pembicaraan rinci tentang sifat-sifat

gaya-gaya gesekan harus juga memasukkan efek-efek temperature , kerapatan,

kelicinan, dan gaya tarik atonomik atau molekuler antara permukaan-permukaan

yang berkontakan gerak.

Terdapat masalah masalah yang melibatkan gesekan kering adalah

masalah kesetimbangan, gerak ambang pada suatu titik, dan perobohan atau gerak

ambang pada semua titik.

Prosedur analisis digunakan untuk menyelesaikan soal-soal mengenai

kesetimbangan partikel adalah menggambaran diagram bend bebas terlebih

dahulu dan menerapkan persamaan friksi(gesekan).

14

DAFTAR PUSTAKA

R.C. hibbeler,1998.mekanika teknik statika. Jakarta: penerbit Prenhalindo.

kanginan,marthen.2008. fisika antuk SMA kelas X. Jakarta: penerbit

Erlangga.

kanginan,marthen.2008.seribupena fisika antuk SMA kelas XI. Jakarta: penerbit

Erlangga.

kanginan,marthen.2008. fisika antuk SMA kelas XI. Jakarta: penerbit

Erlangga.

www.google.com

www.wikipedia.com

http://www.google.com/

http://www.wikipedia.com/

TUGAS KELOMPOK MATA KULIAH

STATISTIKA STRUKTUR

HMKB 216

Di susun oleh:

Kelvin Yangsen :H1F111017

Deni Setiadi :H1F111049

Adiin :H1F10735

Geni Catur Putra.D :H1F111057

Andi Cahyo Enelis :H1F111003

M. Abdorrahman Gani :H1F111036

Akhmad Syaiful Nuha :H1F111050

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

FAKULTAS TEKNIK

PROGRAM STUDI S1 TEKNIK MESIN

BANJARBARU

2012

BAB IX

PUSAT BERAT DAN SENTROIDA

Dalam bab ini kita akan membahas metode yang digunakan untuk menentukan

lokasi pusat berat dan pusat massa suatu sistem partikel – partikel diskrit, dan

kemudian kita akan mengembangkan aplikasinya terhadap benda – benda yang

berbentuk sembarang. Metode analisis yang sama juga akan digunakan untuk

menentukan pusat geometri, atau SENTROIDA, dan garis, luas dan volume.

Setelah Sentroida ditentukan, kemudian kita akan membahas cara mencari luasan

dan volume suatu permukaan benda putaran (revolusi) dan menentukan resultan –

resultan dari berbagai tipe beban – beban terdistribusi.

PUSAT BERAT DAN PUSAT MASSA UNTUK

SISTEM PARTIKEL

Pusat berat. Perhatikan sistem n partikel yang berdiam didalam suatu daerah

ruang seperti ditunjukkan dalam gambar 9-1. Berat partikel terdiri dari suatu

sistem gaya – gaya partikel yang dapat digantikan oleh suatu berat resultan

(ekivalen) tunggal dan suatu titik tertentu aplikasi tertentu. Titik ini disebut pusat

berat G. Untuk mendapatkan kordinat – kordinat x, y, z,nya, kita hsrus

menggunakan prinsip – prinsip yang dipaparkan dalam bagian 4.9. ini

mensyaratkan bahwa berat resultan akan sama dengan berat total semua n partikel,

yaitu..

WR = ∑W

Pusat massa. Untuk mempelajari soal-soal yang menyangkut gerak materi

dibawah pengaruh gaya. Yakni, dinamika, maka perlu untuk melokasikan

(menempatkan) suatu titik yang disebut pusat massa. Asalkan percepatan grapitasi

g untuk setiap partikel konstan, maka W = mg. Dengan mensubstitusi kedalam

persamaan 9-1 dan menghilangkan g dari pembilang dan penyebut diperoleh.

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Dengan membandingkannya, maka letak pusat berat berimpit dengan letak pusat

massa. Namun, ingat bahwa partikel-partikel mempunyai "berat" hanya bila di

bawah pengaruh gaya tarik gravitasi, sebaliknya pusal massa tak bergantung gaya

berat (gravitasi). Misalnya, tidak akan mempunyai makna untuk mendefinisikan

pusat berat sistem partikel yang menyatakan planet-planet sistem tata surya kita,

namun sementara itu pusat massa sistem ini penting.

Pusat Berat, Pusat Massa dan Sentroida Benda

Pusat Berat. Bila prinsip-prinsip yang digunakan untuk menentukan persamaan

9-l diterapkan pada suatu sistem partikel yang menyusun suatu benda tegar yang

mempunyai berat total W, maka akan didapatkan bentuk yang sama seperti

persamaan-persamaan tersebut kecuali bahwa tiap-tiap partikel yang terletak pada

dipikirkan memiliki suatu berat diferensial dW, Gambar 9-2. Sebagai akibatnya lebih diperlukan pengintregrasian ketimbang penjumlahan diskrit suku

suku. Persamaan-persamaan yang dimaksud adalah:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Pusat Massa. Densitas (kerapatan) p, atau massa per satuan volume,

dihubungkan'dengan ƴ melalui persamaan ƴ = pg, dengan g percepatan gravitasi.

Dengan mensubstitusi hubungan ini ke dalam Persamaan 9-4 dan menghilangkan

g dari pembilang dan penyebut dihasilkan persamaan yang serupa (dengan p

menggantikan ƴ) yang dapat digunakan untuk menentukan pusat massa benda.

Sentroida, Sentroida rnerupakan titik yang menyatakan pusat geometrik sebuah

benda. Letaknya dapat ditentukan dengan rumus yang serupa dengan yang

digunakan untuk menentukan pusat berat benda atau pusal massa benda.

Khususnya, jika material yang menyusun sebuah benda itu Seragam atau

homogen, densitas, atau berat jenis akan konstan di seluruh benda, dan dengan

demikian suku ini akan dikeluarkan dari integral dan lenyap baik dalam

pembilang maupun penyebut Persamaan 9-4. Rumus-rumus tersebut menentukan

sentroida benda karena tidak bergantung berat benda dan bahkan hanya

bergantung pada geometri benda. Tiga kasus spesifik ini akan dibahas.

Volume. Jika sebuah benda dibagi-bagi meniadi elernen-elemen volume dV,

Gambar 9-3, maka letak sentroida c (x, y, z) volume benda dapat ditentukan

dengan menghitung "momen-momen" dari elemen–elemen tersebut di sekitar

sumbu kordinat. Rumus-rumus yang dirnaksud adalah.

PROSEDUR ANALISIS

prosedur berikut memberikan metode untuk menentukan pusat berat atau

sentroida sebuah benda atau bentuk menggunakan suatu integrasi tunggal.

Elemen Diferensial Pilihlah suatu sistem kordinatnya yang sesuai dan tentukan

sumbu-sumbu kordinat. Kemudian pilih elemen diferensial yang sesuai untuk

integrasi. Jika sumbu-sumbu x, y, z digunakan, rnaka garis-garis elemen

diferensial dL ini dinyatakan sebagai suatu segmen garis diferensial; untuk luasan

elemen dA umumnya merupakan sebuah persegi yang mempunyai panjang dan

lebar diferensial berhingga; dan untuk volume elemen dL dapat berupa kepingan

melingkar yang mempunyai jari-jari dan ketebalan diferensial berhingga, atau

sebuah cangkang (kulit) yang mempunyai panjang dan jari-jari berhingga dan

ketebalan diferensial. Tempatkan elemen sedemikian hingga dia memotong

batas bentuk pada titik sentbarang (x, y, z).

Ukuran dan Lengan Momen. Nyatakan panjang dL, luas dA, atau volume dV

dari elemen dalam hubungannya dengan kordinat yang digunakan untuk

menentukan batas bentuk. Tentukan kordinat atau lengan momen dari sentroida atau pusat berat elemen.

pengintegrasian.Substitusi data yang dihitung di atas ke dalam persamaan-

persamaan yang sesuai (Persamaan 9-4 sarnpai 9-7) dan lakukan pengintegrasian2.

Perhatikan bahwa integrasi dapat diselesaikan hanya bila fungsi dalam integral

dinyatakan dalam variabel yang sama dengan ketebalan diferensial dari elemen.

Batas integral kemudian ditentukan dari dua lokasi ekstrim ketebalan diferensial

elemen, sehingga bila elemen-elemen "dijumlahkan" atau pengintegrasian

dilakukan, maka seluruh daerah tercakup.

2

Rumus-rumus integrasi diberikan dalam lampiran A.

Benda-benda Paduan (Komposit)

Suatu benda paduan terdiri dari sejumlah benda-benda berbentuk "lebih

sederhana" yang terhubung, yang dapat berupa persegi empat, segitiga, setengah

lingkaran, dan sebagainya. Benda tersebut sering kali dapat dipisah atau dibagi ke

dalam bagian-bagian paduannya (penyusunnya), dan asalkan berat dan letak pusat

berat dari masing-masing bagian tersebut diketahui, kita dapat meniadakan

(mengeliminasi) perlunya pengintegralan dalam menentukan pusat berat

keseluruhan benda. Metode untuk melakukannya memerlukan suatu penanganan

terhadap tiap-tiap bagian penyusun sebagai sebuah partikel dan mengikuti

prosedur yang diberikan dalam Bagian 9.1. Rumus-rumus yang analog dengan

Persamaan 9- l berlaku, karena kita harus rnemperhitungkan sejumlah berat yang

berhingga. Dengan menulis ulang rumus-rumus tersebut, kita peroleh:

(9-6)

Di sini menyatakan kordinafkordinal pusat berat G dari benda paduan. menyatakan

kordinat - kordinat pusat berat G dari masing - masing bagian menyusunan benda. ∑ jumlah berat dasri semua bagian penyusunan benda, atau singkatnya berat total benda. Bila benda mempunyai kerapatan atau berat jenis konstan, pusat

berat berimpit dengan sentroida benda. Sentroida untuk garis. luasan, dan volurne

penyusun dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan yang analog dengan

Persamaan 9-8; tetapi, W masing-masing diganti dengan L, A, dan V Sentroida

untuk bentuk - bentuk garis, luas, cangkang dan volume yang lazim adalah

diberikan dalam tabel pada bagian dalam sampul belakang.

Prosedur analisis Prosedur berikut memberikan suatu rnetoda untuk menentukan pusat berat benda

atau sentroida suatu benda geometri paduan yang digarnbarkan dengan sebuah

garis, luasan, atau volume.

Bagian-bagian Penyusun. Dengan menggunakan sebuah sketsa, bagilah benda

menjadi sejumlah berhingga dari bagian-bagian penyusun yang mempunyai

bentuk-bentuk yang lebih sederhana. Jika bagian penyusun mempunyai sebuah

rongga (hole), atau daerah geometrik yang tidak mempunyai material, maka

tinjaulah bagian penyusun tanpa rongga, dan kemudin rongga sebagai suatu

bagian penyusun tambahan yang mempunyai berat atau ukuran negatif.

Lengan momen. Tetapkan sumbu kordinat pada sketsa dan tentukan kordinat-

kordinat dari pusat, berat atau sentrsida dari tiap-tiap bagian.

Penjumlahan. Tentukan dengan menerapkan persamaan-persamaan pusat berat. Persamaan 9-8 atau persamaan-persamaan sentrilda yang analog. Jika benda

simetris di sekitar sebuah sumbu, ingat bahwa sentroida benda terletak pada

sumbu ini.

Teorema Pappus dan Guldinus

Dua teorema Pappus dan Guldinus, yang pertama kali dikembangkan oleh Pappus

dari Alexandria (Iskandariah) selama abad ketiga sesudah Masehi dan kemudian

dinyatakan ulang di kemudian hari oleh matematikawan Swiss Paul Guldin atau

Guldinus (1577-1643), digunakan untuk mencari luas permukaan dan volume

sembarang benda yang diputar.

Luas permukaan suatu putaran dihasilkan dengan memutar sebuah kurva bidang

di sekitar sebuah surnbu tetap yang tak berpotongan dalam bidang kurva;

sebaliknya volume putaran dihasilkan dengan memutar sebuah luasan bidang

(datar) di sekitar suatu sumbu yang tak berpotongan dalam bidang luasan.

Misalnya, jika garis AB yang ditunjukkan dalam Gambar 9-20 diputar terhadap

suatu sumbu tetap, maka akan dihasilkan luasan permukaan sebuah kerucut, jika

luasan segitiga (triangular) ABC yang ditunjukkan dalam Gambar 9-2l diputar

terhadap sumbu, maka akan dihasilkan volume sebuah kerucut.

Pernyataan-pernyataan dan pembuktian-pembuktian teorema Pappus dan Culdinus

sebagai berikut. Pembuktian-pembuktian mensyaratkan bahwa kurva-kurva dan

luasan yang dihasilkan tidak memotong sumbu putarnya; sebaliknya, dua bagian

pada masing-masing sisi sumbu akan menghasilkan luasan atau volume yang

mempunyai tanda-tanda berlawanan dan dengan demikian akan saling

meniadakan satu satu dengan yang lain.

Luasan Permukaan

Luas sebuah permukaan putaran sama dengan perkalian panjang kurva

pembentuk dan jarak yang dilalui oleh sentroida kurva dalam menghasilkan

luasan permukaan.

Bukti. Bila panjang diferensial dL pada kurva yang ditunjukkan dalam Gambar 9-

22 diputar di sekitar sebuah sumbu melalui suatu jarak 2πr, maka akan dihasilkan

suatu cincin yang mempunyai luas permukaan dA = 2πr dL. Keseluruhan luasan

permukaan, dihasilkan dengan memutar keseluruhan kurva di sekitar sumbu

tersebut, dengan demikian adalah A = 2π∫ dL. Persamaan ini dapat

disederhanakan, dengan memperhatikan bahwa Ietak r sentroida untuk garis

panjang total L dapat ditentukan dari persamaan yang mempunyai bentuk

Persamaan 9-7 , yaitu ∫ . Ladi luas pemukaan total menjadi A = .

Umumnya, meskipun, jika garis tidak mengalami sebuah putaran penuh, maka..

Dengan A = luas permukgan putaran

d= sudut putaran diukur dalam radian,

jarak tegak lurus dari sumbu putaran sentroida luasan pembentuk

A= panjang kurva pembentuk.

Volume

Volume sebuah benda'putaran sama engan perkalian luasan pembentuk dengan

jarak yang dilatui oteh sentroida luasan dalqm membentuk (menghasilkan)

volume.

Bukti. Bila luasan diferensial dA yang ditunjukkan dalam Gambar 9-23 diputar di

sekitar sebuah sumbu sejauh jarak 2 , maka akan dihasilkan sebuah cincin yang

mempunyai volume dV = 2 dA. Volume keseluruhan yang dihasilkan dengan

memutar A terhadap sumbu, dengan demikian adalah V = 2 ∫ dA. Di sini

integral dapat dieliminasi dengan menggunakan sebuah persarnaan yang analog

dengan Persamaan 9-6,∫ , dengan F menyatakan letak sentroida C

luasan pembentuk A, dan volume menjadi V = 2 A. Secara umum,

V= A

dengan V = Volume putaran.

= sudut putaran diukur dalam radian, .

= jarak tegak lurus dari sumbu putaran sentroida luasan pembentuk.

A = Luasan pembentuk.

Bentuk (benda) Paduan, Kita juga dapat menerapkan dua teorema di atas

terhadap garis atau luasan yang mungkin tersusun dari serangkaian bagian-bagian

paduan. Dalam hal ini luas permukaan atau volurne total yang dihasilkan adalah

penjumlahan luasan permukaan atau volume yang dihasilkan oleh masing-masing

bagian paduan. Karena masing-masing bagian mengalami (menjalani) sudut

putaran yang sama, d, dan jarak dari sumbu putaran ke sentroida dari rnasing-

masing bagian paduan adalah maka

A = ∑

Dan

V = ∑

Resultan Sistem Gaya Terdistribusi Umum

Dalam Bagian 4-10 kita telah membahas metode yang digunakan untuk

menyederhanakan suatu pembebanan terdistribusi yang seragam sepanjang sumbu

suatu permukaan rektangular. Dalam bagian ini kita akan menggeneralisasi

metoda ini untuk memasukkan permukaan-perrnukaan yang mempunyai bentuk

sembarang dan dikenai suatu distribusi beban yang variabel (berubah-ubah).

Sebagai suatu aplikasi khusus, dalam Bagian 9-6 kita akan mencari beban resultan

yang bekerla pada permukaan benda yang dibenamkan dalam fluida.

Distribusi Tekanan di atas suatu Permukaan. Perhatikan plat datar yang

ditunjukkan dalam Gambar 9-25a, yang dikenai fungsi beban P=P(x,y)Pa, dengan

1 pascal, Pa = I N/m2. Dengan mengetahui fungsi ini kita dapat menentukan besar

gaya infinitesimal DF yang bekerja pada luasan diferensial dA m2 dari plat, yang

terletak pada titik sembarang (x,y). Besar gaya ini adalah dF= [p(x,y) N/m2] =

[p(x,y)dA] N. Keseluruhan beban plat dengan demikian disajikan sebagai suatu

sistem gaya-gaya paralel yang tidak hingga jumlahnya dan masing-masing

bekerja pada luasan-luasan diferensial terpisah dA. Sistem gaya-gaya paralel ini

sekarang akan disederhanakan menjadi suatu gaya resultan tunggal Fr Yang

bekerja melalui sebuah titik unik ( ) pada plat, Gambar 9-25b.

Besar Gaya Resultan. Untuk menentukan besar FR, adalah perlu untuk

menjumlahkan tiap-tiap gaya diferensial dF yang bekerja pada luas permukaan

keseluruhan A dari plat. Jumlah ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai

sebuah integral:

FR=∑ FR=∫ ( ) ∫

Perhatikan bahwa p (x,y )dA = dV elemen volume diferensial berarsir yang

ditunjukkan dalam Gambar 9-25a. Dengan demikian, hasilnya menunjukkan

bahwa besar gaya resultan sama dengan volume total dibawah diagrambeban-

terdistribusi.

Letak Gaya Resultan. Letak ( ) dari FR ditentukkan dengan menetapkan

momen-momen semua gaya dF di sekitar sumbu y dan x masing-masing. Dari

Gambar 9-25a dan 9-25b, dengan menggunakan Persamaan 9-13, kita peroleh

Sehingga, dapat dilihat bahwa garis kerja gaya resultan melalui pusat goemetri

atau sentroida volume dibawah diagram beban terdistribusi.

Tekanan Fluida

Menurut hukum Pascal, fluida yang diam akan menghasilkan suatu tekanan yang

sama dan semua arah. Besar p, yang diukur sebagai gaya persatuan luas,

bergantung pada berat jenis yatau rapat masa p fluida dan kedalaman titik z dari

permukaan fluida3. Hubungan tersebut dapat dinyatakan secara matematis sebagai

berikut :

P = YZ = PYZ

dengan I percepatan gravitasi. Persamaan 9-15 hanya berlaku untuk fluida- fluida

yang dianggap inkompresibel, seperti dalam kasus sebagian besar zat cair. Gas

merupakan fluida yang kompresibel, dan karena itu rapat massanya berubah

secara berarti terhadap tekanan maupun temperatur. Persamaan 9-15 tak dapat

digunakan. Untuk mendeskripsikan bagaimana Persamaan 9- l5 diterapkan,

perhatikan plat yang terbenam seperti ditunjukkan dalam Gambar 9-26.Tiga titik

pada plat telah ditentukan. Karena titik A dan B keduanya pada kedalaman Z2 dan

permukaan zat cair, tekanan pada titik-titik ini mempunyai besar P2= YZ2.

Demikian juga, titik C berada pada tekanan z, sehingga, P1 = gz1. Dalam semua

kasus, tekanan bekerja normal (tegak lurus) terhadap luasan permukaan dA yang

terletak pada titik tertentukan, Gambar 9-26. Dengan menggunakan Persamaan 9-

15 dan hasil-hasil Bagian 9-5, menjadi mungkin untuk menentukkan gaya resultan

yang disebabkan oleh distribusi tekanan zat cair, dan menentukkan letaknya pada

permukaan plat yang terbenam. Tiga bentuk berbeda plat kini akan dibahas.

Plat datar dengan lebar konstan. Sebuah plat persegi empat dafar dengan lebar

konstan, yang dibenamkan pada zat cair yang mempunyai Berat jenis (spesifik)

ditunjukkan dalam Gambar 9-27a. Bidang plat membuat sudut yang horizontal,

sedemikian pinggir bagian atasnya terletak pada kedalaman Z1, dari permukaan

zat cair dan pinggir bagian bawahnya terletak pada ke dalam Z2. Karena tekanan

bertambah secara linear terhadap kedalaman, persamaan 9-15, distribusi tekanan

pada permukaan plat dinyatakan dengan suatu volume trapesium yang

mempunyai suatu intensitas P1 = YZ1 pada kedalaman pz= YZ2 pada kedalaman Z2.

Seperti dinyatakan dalam Bagian 9-5, besar gaya resultan FR sama dengan

volume diagram beban ini dan FR mempunyai garis kerja yang melalui sentroida

volume C. Sehingga Fo tidak bekerja pada sentroida plat; tapi agaknya, dia

bekerja pada titik P, disebut pusat tekanan.

Karena plat mempunyai lebar konstan, maka distribusi beban dapat juga

dipandang dalarn dua dimensi, Cambar 9-27b. Di sini intensitas beban diukur

sebagai gaya/panjang dan berubah secara linear dari w1 = bp1= byz1 ke w2 = bp2

=byz2. Besar FR dalam hal ini sama dengan luas trapesium, dan FR mempunyai garis kerja yang melalui sentroida luasan C. Untuk aplikasi numerik, luas dan

letak sentroida untuk trapesium ditabulasi pada bagian dalam sampul belakang.

plat Lengkung dengan Lebar Konstan. Bila plat yang terbenam nya lengkung,

maka tekanan yang bekerja pada plat akan secara kontinyu berubah arah, dan

karenanya perhitungan besar FR dan letaknya P lebih sulit dari pada untuk plat

datar. Pandangan tiga-dan dua-dimensi dari distribusi beban ditunjukkan masing-

masing dalam Gambar 9-78a dan 9-28b. Di sini integrasi dapat digunakan untuk

menentukan FR dan letak sentroida C atau pusat tekanan p.

BAB X

MOMEN INERSIA

10.1. Definisi momen Inersia untuk Luasan

Momen Inersia dinyatakan sebagai integral momen

sebuah luasan, seperti ∫ d.

Terminologi “momen inersia” seperti yang

digunakan disini sesungguhnya kurang tepat

namun,dia telah diadopsi karena kemiripannya

dengan integral yang berbentuk sama yang berkaitan

dengan massa.

Momen inersia suatu luasan timbul ketika seseorang harus menghitung

momen beban terdistribusi yang berubah rubah secara linear dari sumbu momen.

Contoh yang umum jenis pembebanan ini terjadi karena tekanan zat cair yang

bekerja pada permukaan plat yang terbenam. Telah telah ditunjukkan dalam

bagian 9-6 bahwa tekanan, atau gaya persatuan luas, yang dilakukan pada suatu

titik yang terletak pada suatu jarak z dibawah permukaan zat cair adalah p = z.

Persamaan 9-15, dengan adalah berat jenis (spesifik) zat cair. Jadi besar gaya yang

dilakukan oleh suatu zat cair pada luasan “dA” suatu plat terbenamditunjukkan

dalam gambar 10-1 adalah dF = p dA = rz dA. Moemn gaya disekitar sumbu xplat

ini adalah dM = z dF = rz2 dA, dan karena itu momen yang dihasilkan oleh

“keseluruhan” distribusi tekanan adalah M = r∫ . Disini integral menyatakan

momen inersia luasan plat disekitar sumbu x. Karena integral dari bentuk ini

sering timbul dalam rumus-rumus yang digunakan dalam mekanika fluida,

mekanika bahan mekanika struktur (bangunan), desain mesin, maka seorang

insinyur harus familiar dengan metode metode yang digunakan dalam

komputasinya.

Momen Inersia. Perhatikan luasan A ditunjukkan

dalam Gambar 10-2, yang terletak dalam bidang x-y.

Perdefinisi, momen-momen inersia luasan bidang

diferensial dA disekitar sumbu x dan y masing-masing

adalah dlx = y2 dA dan dly = y

2 dA. Untuk seluruh

luasan momen inersia ditentukan dengan integrasi;

yaitu,

lx = ∫

2 dA

ly = ∫

2 dA

Kita juga dapat merumuskan momen kedua luasan diferensial dA disekitar

tiang O atau sumbu z. Gambar 10-2. Ini dinyatakan sebagai momen inersia polar

(kutub), dJO. Disini r adalah jarak tegak lurus dari tiang (sumbu z) ke elemen dA.

Untu seluruh luasan momen inersia kutub adalah :

JO = ∫

2dA = lx + ly

Hubungan antara JO dan lx ly dimungkinkan karena r2 = x

2 + y

2, Gambar 10-2.

Dari formulasi diatas terlihat bahwa lx ly dan JO akan “selalu positif”

karena mereka melibatkan jarak yangdikuadratkan dengan luasan. Selanjutnya,

satuan-satuan untuk momen inersia melibatkan panjang yang dipangkat empat,

misalnya, m4,

mm4.

10.2. Teorema Sumbu – Paralel Sebuah Luasa

Jika momen inersia sebuah luasan disekitar suatu sumb yang

melalui sentroidanya diketahui, maka lebih menyenangkan

untuk ditentukan momen inersia luasan disekitar sumb

paralel yang bersangkutan dengan teorema sumbu paralel

(sejajar). Untuk menurunkan teorema ini, perhatikan cara

mencari momen inersia suatu luasan diarsir yang ditunjukkan

dalam Gambar 10-3 disekitar sumbu x. Dalam hal ini, elemen diferensial dA

terlihat pada jarak sembarang y’ dari sumbu x’ sentroidal, sebaliknya jarak tetap

antara sumbu-sumbu paralel x dan x’ didefinisikan sebagai dy. Karena momen

inersia dari dA disekitar sumbu x adalah dlx = (y’ + dy)2 dA, maka untuk seluruh

luasan,

lx = ∫

y’ +

dy)2 dA

= ∫

2dA + 2dy ∫

+

∫

Integral pertama menyatakan momen inersia luasan disekitar sumbu sentroidal,

lx’. Integral keduanya nol karena sumbu x’ melalui sentroida luasan C; yakni (...)

= 0 karena (...). Dengan menyadari bahwa integral ketiga menyatakan luasan total

A, hasil akhir dengan demikian adalah

lx = x’ + A

Pernyataan yang sama dapat dituliskan untuk ly, yaitu,

ly = x’ + A

Akhirnya, untuk momen inersia kutub disekitar suatu sumbu tegak lurus terhadap

bidang x-y dan melalui O (sumbu), Gambar 10-3, kita peroleh

JO = O + A

Bentuk tiap-tiap persamaan ini menyatakan bahwa momen inersia sebuah luasan

disekitar sebuah luasan ditambah dengan perkalian. Luasan dan kuadrat jarak

tegak lurus antara sumbu-sumbu.

10.3. Jari-jari Girasi (Putaran) Sebuah Luasan

Jari-jarigGirasi (putaran) sebuah luasan bidang mempunyai satuan panjang dan

merupakan sebah besaran yang sering digunakan untuk mendesain kolom-kolom

(tiang-tiang) dalam mekanika struktur (bangunan). Asalkan luasan-luasan dan

momen-momen inersia diketahui, maka jari-jari girasi dapat ditentukan dari

rumus-rumus :

ky = √

ky = √

kO = √

Bentuk persamaan-persamaan ini mudah diingat, karena mirip dengan

persamaan-persamaan untuk mencari momen inersia luasan diferensial disekitar

suatu sumbu. Misalnya, lx = k2xA; sebliknya untuk luasan diferensial, dlx = y

2 dA.

10.4. Momen Inersia Sebuah Luasan dengan Intergrasi

Bila batas-batas sebuah luasan bidang (planar) dinyatakan dengan fungsi

matematik, maka Persamaan 10-1 dapat diintegrasikan untuk menentukan momen

inersia luasan. Jika elemen luasan yang dipilihuntuk integrasi mempunyai ukuran

diferensial dalam dua arah seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 10-2, maka

suatu integrasi ganda harus dilakukan untuk mengevaluasi momen inersia. Namun

lebih mudah melakukan integrasi tunggal dengan memilih suatu elemen yang

mempunyai suatu ukuran atau tebal diferensial hanya dalam satu arah.

PROSEDUR ANALISIS

Jika suatu integrasi tunggal dilakukan untuk menentukan momen inersia sebuah

disekitar suatu sumbu-sumbu, maka pertama kali perlu dispesifikasi (ditentukan)

elemen diferensial dA. Sering kali elemen ini berupa suatu persegi panjang,

hingga dia akan mempunyai panjang dan lebar diferensial yang berhingga.

Elemen harus ditempatkan sedemikian hingga dia memotong batas luasan pada

titik sembarang (x,y). Ada dua cara yang mungkin dalam mengorientasikan

elemen terhadap sumbu disekitar momen Inersia yang akan ditentukan.

Kasus 1. Panjang elemen dapat diorientasikan paralel

terhadap sumbu. Situasi ini terjadi bila elemen persegi

panjang yang ditunjukkan dalam Gambar 10-4 dipakai

untuk menentukan ly luasan. Aplikasi langsung

Persamaan 10-1, yakni, ly = ∫ 2 dA, dapat dilakukan

dalam kasus ini, karena elemer mempunyai tebal

infinitesimal dx dan dengan demikiakn semua bagian

elemen berada pada jarak lengan momen yang sama x

dari sumbu y.

Kasus 2. Panjang elemen dapat diorientasi tegak lurus terhadap sumbu. Disini

persamaan 10-1 tidak berlaku, karena semua bagian elemen tidak akan berada

pada jarak lengan momen yang sama dari sumbu. Misalnya, jika elemen persegi

panjang dalam Gambar 10-4 digunakan untuk menentukan lx luasan, maka perlu

pertama kali menghitung momen inersia elemen disekitar suatu sumbu horizontal

melalui sentroida elemen dan kemudian menentukan momen elemen disekitar

sumbu x dengan menggunakan teorema sumbu-paralel. Integrasi hasil ini akan

menghasilkan lx.

Tentukan momen inersia luasan berarsir yang ditunjukkan dalam Gambar

10-6a disekitar sumbu x.

Penyelesaian (Kasus 1)

Elemen diferensial luasan yang paralel dengan sumbu x, seperti

ditunjukkan dalam Gambar 10-6a, merupakan yang dipilih untuk integrasi.

Karena elemen mempunyai tebal dy dan memotong kurva pada titik sembarang

(x,y), maka luasnya adalah dA = (100-x) dy. Selanjutnya, semua bagian elemen

berada pada jarak yang sama y dari sumbu x. Dengan mkengintegrasikan terhadap

y, dan y = 0 ke y = 200 mm, diperoleh.

lx = ∫

2 dA = ∫

2 (100 - x) dy

=∫

2(

)dy = 100∫

2dy -

∫

dy

= 107 (106) mm

4

Penyelesaian (Kasus 2)

Elemen diferensial yang paralel terhadap sumbu y, sperti ditunjukkan

dalam gambar 10-6b, adalah yang dipilih untuk integrasi. Dia memotong kurva

pada titik sembarang (x,y). Dalam hal ini, semua bagian

elemen tidak berada pada jarak yang sama dari sumbu x,

dan dengan demikian teorema sumbu paralel harus

digunakan untuk menentukan momen inersia elemen

terhadap sumbu ini. Untuk sebuah persegi panjang yang

mempunyai alas b dan tinggi h, momen inersia disekitar

sumbu sentroidalnya telah ditentukan dalam bagian (a)

contoh 10-1. Didapatkan bahwa x’ = ⁄ bh3. Untuk elemen

diferensial yang ditunjukkan dalam gambar 10-6b, b = dx

dan h = y, sehingga x’ = ⁄ dx y3. Karena sentroida

elemennya pada = y/2 dari sumbu x, maka momen inersia

elemen disekitar sumbu ini adalah

dlx = d x’ + dA 2 =

dx y

3 + y dx (

)2

=

y

3 dx

[ Hasil ini dapat juga disimpulkan dari bagian (b) Contoh 10-1

]

Dengan mengintegrasi terhadap x = 0 ke x = 100 mm,

diperoleh

lx = ∫ x = ∫

y

3 dx = ∫

= 107 (106)

10.5. Momen Inersia untuk Luasan Paduan

Luasan paduan (komposit) terdiri dari serangkaian bagian-bagian atau bentuk-

bentuk lebih sederhana yang saling berhubunga, seperti setengah lingkaran,

persegi panjang, dan segitiga. Asalkan momen inersia tiap-tiap bagian ini

diketahui atau dapat ditentukan disekitar suatu sumbu bersama, maka momen

inersia luasan paduan sama dengan jumlah aljabar momen-momen inersia dari

semua bagiannya.

PROSEDUR ANALISIS

Prosedur berikut memberikan metode untuk menentukan momen inersia suatu

luasan paduan disekitar suatu sumbu acuan.

Bagian paduan. Dengan menggunakan sebuah sketsa, bagiolah luasan menjadi

bagian-bagian paduannyadan tunjukkan jarak tegak lurus dari tiap bagian

kesumbu acuan.

Teorema Sumbu-Paralel. Momen inersia dan tiap-tiap bagian harus ditentukan

disekitar sumbu sentroidanya,yang paralel terhadap sumbu acuan. Untuk

perhitungan gunakan tabel yang diberikan padabagian dalam sampul belakang.

Jika sumbu sentroida tidak berimpit dengan sumbu acuan, teorema sumbu-paralel,

l = x’ + A , harus digunakan untuk menentukan momen inersia bagian disekitar

sumbu acuan.

Penjumlahan. Momen inersia seluruh luasan disekitar sumbu acuan ditentukan

dengan menjumlahkan hasil-hasil dari bagian-bagian paduannya. Terutama jika

bagian paduan mempunyai “rongga” momen inersianya dicari dengan

“mengurangkan” momen inersia rongga dari momen inersia seluruh bagian yang

mencakup rongga.

Contoh 10-5

Hitunglah momen inersia luasan paduan yang ditunjukkan dalam Gambar

10-9a disekitar sumbu x.

Penyelesaian

Bagian-bagian Paduan. Luasan paduan diperoleh dengan mengurangkan

lingkaran pada persegi ditunjukkan dalam Gambar 10-9b. Sentroida masing-

masing luasan terletak dalam gambar.

Teorema Sumbu-Paralel. Momen inersia disekitar sumbu x ditentukan dengan

menggunakan terorema sumbu-paralel dan data dalam tabel pada bagian dalam

sampul belakang.

Lingkaran

lx = x’ + A

=

(25 + (25 (75)

2 = 11,4 (10

6) mm

4

Persegi Panjang

lx = x’ + A

=

(100)(150 +

(100)(150 = 112,5 (106) mm

4

Penjumlahan

lx = -11,4(106) +

112,5(106)

= 101(106) mm

4

10.6 Perkalian Inersia Sebuah Luasan

Umumnya moment inersia sebuah

luasan berbeda untuk setiapsumbu terhadap

mana dia di hitung. Dalam beberapa aplikasi

desain struktur (bangunan logam) atau mesin

kita perlu mengetahui orientasi sumbu-sumbu

tersebut yang akan memberi tiap-tiap momen

inersia luasan maksimum dan luasan minimum.

Jika element luasan yang terletak pada titik (x,y). di definisikan sebagai dlxy= xy

dA jadi untuk seluruh luasan A perkalian inersianya adalah:

IO = ∫

Jika element luas yang dipilih mempunyai ukuran differensial dalam dua arah,

suatu integrasi ganda harus dilakukan guna mengevaluasi . namun, sangat

sering mudah memilih elemen yang mempunyai ukuran atau tebal differansial

dalam satu arah saja, dalam hal evaluasi tersebut hanya memerlukan suatu

integrasi tunggal.

Seperti halnya moment inersia, perkalian inersia mempunyai satuan panjang yang

berpangkat empat, seperti: m4,mm

4. Namun, karena x atau y dapat berupa besaran

seperti negative , sementara elemen luasan selalu positif maka perkalian inersia

dapat positif negative atau non, tergantung pada letak atau orientasi sumbu

koordinat. Misalkan, perkalian inersia Ixy

untuk sebuah luasanya akan nol jika salah

satu sumbu x atau y merupakan sumbu

simetri bagi luasan untuk menunjukannya.

Theorema Sumbu-Paralel. Perhatikan

luasan berasir yang ditunjukan dalam

Gambar 10-12, dengan x’ dan y’

menyatakan pasangan sumbu yang melalui

sentroida luasan. dan x’ dan y’menytakan

pasangan sumbu parallel yang terkait

dengannya. Karena perkalian inersia dA terhadap x dan y adalh dl xy=(x’+dx)

Ixy=∫

Suku pertama pada sebelah kanan menyatakan perkalian inersia luasan

terhadap sumbu sentroidal, Ix’y’. integral

interral dalam suku suku dan ketiga adalah nol

karena momen momen luasan diambil di

sekitar sumbu sentroidal. Maka hasil akhir

dengan demikian adalah

Similaritas (kemiripan) antara persamaan ini

dengan theorama sumber parallel untuk

momen inersia akan di lihat. Terutama,

penting bahwa tanda tanda alkabar dx dan dy di pertahankan ketika menerapkan

persamaan 10-8, seperti di ilustrasikan dalam contoh 10-8, theorem sumbu

peralelmenemukan aplikasi pentingnya dalam menentukan perkalian inerssia

luasan paduan terhadap pasangan sumbu x dan y.

10.7 Inersia Luasan Di sekitar Sumbu Miring.

Dalam desain struktur (bangunan) dan mesin kadang kadang perlu menghitung

momen dan perkalian inersia, I Ix dan Iy. sebuah luasan terhadap suatu pasangan

sumbu yang miring u dan v bila nilai nilai Iy’ Ix dan Ixy diketahui untuk

melalkukannya kita akan menggunakan persamaan persamaan tranformasi yang

menghubungkan koordinat koordinat x, y dan koordi nat koordinat u , v. Dari

gambar : 10-17, persamaan persamaan ini adalah:

Dengan menggunakan persamaan persamaan ini, momen momen dan perkalian

inersia dA di sekiter sumbu u dan v menjadi:

= dA

= dA

=

Dengan mengekspansi tiap tiap pernyataan dan mengintegrasi, dengan

mengetahui bahwa I x = ∫ dA, ly = ∫ 2 dA, dan Ixy = ∫ , kita peroleh

Iu = Ix + Iy sin2 - 2 Ixy sin cos

Iv = Ix + Iycos2 - 2 Ixy sin cos

Iuv = Ix sin cos - Iy sin cos +Ixy (cos2 – sin

2

Persamaan persamaan ini dapat disederhanakan dengan menggunakan identitas

identitas trigonometri sin

Jika pernyataan ini dapat disederhanakan dengan mengguanakan idetitas identitas

trigonometri sin 2 = 2 sin cos dan cos 2 =cos2 – sin

2 sehingga:

Iu =

+

- Ixy

Iu =

+

+ Ixy

Iu =

+ Ixy

Jika persamaaan yang pertama dan keduadi jum;ahkan bersama, kita dapat

memperhatikan bahwa momen inersia kutub di sekitar sumbu z yang melalui titk

O tak bergantung orientasi sumbu u dan v ; yaitu

J o = Iu + Iv =Ix + Iy

Momen inersia utama. Dari persamaan 10-9, dapat dilihat bahwa Iu’ I dan I

tergantung pada sudut inklinasi ( kemiringan) , , sumbu u, v, agar momen

momen inersia luasan, Iu dan Iv’ menjadi maksimum dan minimum. Pasangan

sumbu khusus ini disebut sumbu

sumbu utama luasan, dan momen

momen inersia yang berkaitan

terhada sumbu sumbu ini di sebut

momen momen inersia utama.

Umumnya, asa sebuah pasangan

sumbu utama untuk setiap titik asal O

yang dipilih , meskipun dalam desain

struktur dan mesin, sentroida luasan

merupakan suatu letak penting bagi

O.

Sudut yang menyatakan orientasi sumbu utama luasan, dapat

diproleh dengan mendeferinsiasi bagian yang pertama persamaan 10-9 terhadap

dan menetapkan hasilnyasama degan nol, sehingga;

(

)

Karena itu, pada

( ) ⁄

Persamaan ini mempunyai dua akar, , yang terpisah 900 dan

dengan demikian menyatakan inklinasi sumbu utama. Untuk mensubtitusinya

kedalam sinus dan kosinus dari dan , ini dapa dilakukan dengan

menggunaan segitiga segitiga Yng ditunjukan dalam gamba 10-18,dan didasarkan

pada persamaan 10-10.

√(

)

⁄

(

) √(

)

⁄

Untuk

√(

)

⁄

(

) √(

)

⁄

Dengan mensubtutitusi dua pasangan hubungan trigonometri inikedalam yang

pertama atau yang ke duadari prsamaan 10-9 dan penyederhankannya kita peroleh

√(

)

10.8 Lingkaran Mohr Momen Inersia

Penyelesaian 10-9 sampai 10-11 mempunyai

penyelesaian grafik yang menyenagkan untuk digunakan

dan umumnya mudah diingat. Dengan mengkuadratkan

bagian pertama dan ketiga persamaan 10-9 dan

menjumlahkan, diperoleh bahwa

(

)

(

)

Dalam soal tertentu, Iu dan Iw merupakan variable

dan IX, IY, dan Ixy konstanta diketahui. Jadi,persamaan diatas

dapat ditulis dalam bentuk berikut

bila persamaan ini diplot pada suatu pasangan sumbu

yang menyatakan momen inersia dan perkalian inersia

masing – masing, gambar 10-20, grafik yang dihasilkan

menyatakan suatu lingkaran berjari – jari

√(

)

Yang pusatnya terletak pada titik ( a,0), dengan a=( IX + IY )/2. Lingkaran yang

dikontruksi demikian disebut lingkaran Mohr, dinamakan menurut insinyur

jerman Otto Mohr ( 1835 -1918 )

PROSEDUR ANALISIS

Tujuan utama menggunakan lingkaran Mohr adalah untuk mendapatkan cara yang

lebih enak untuk mentransformasikan IX, IY, dan Ixy kedalam momen inersia

utama. Prosedur berikut memberikan metode untuk ini.

Penentuan IX, IY, dan Ixy., tetapkan momen sumbu x , y luasan, dengan titik asal

terletak pada titik P yang dimaksud, dan ditentukan IX, IY, dan Ixy. GAMBAR 10-

20a

Membuat lingkaran, buatlah sistemkordinat persegi panjang sederhana hingga

absis menyatakan momen inersia I, Dan ordinat menyatakan perkalian inersia Ixy,

Gambar10-20b.tentukan pusat lingkaran,0,yang terletak pada jarak =( IX + IY )/2

dari titik asal, dan plot titik acuan A yang mempunyai koordinat ( IX , Ixy ).,meurut

definisi IX selalu positif dan sebliknya. Hubungkan titik acuan A dengan pusat

lingkaran, dan tentukan jarak OA dengan trigonometri, jarak ini menyatakan jari –

jari lingkaran, Gambar 10-20b. akhirnya gambarkan lingkaran

Momen inersia utama. Titik – titik dengan lingkaran memotong absis memberikan

nilai – nilai momen inersia utama IMIN dan Imaks . perhatikan bahwa perkalian

inersia akan menjadi nol pada titik – titik ini, gambar 10-20b

10.9 Momen Inersia massa

Momen inersia massa sebuah benda merupakan sifat yang menyatakan

ukuran resistensi benda terhadap kecepatan angular. Karena dia digunakan dalam

dinamika untuk mempelajari gerak rotasional, mka metode untuk perhitungan

akan di bicarakan.

Kita mnedevinisikan momen inersia massa sebagai integral “momen

kedua” disekitar sumbu dari semua elemen massa dm yang menyusun benda.

Sebagai contoh: momen inersia disekitar sumbu z adalah

∫

Disini “lengan momen” r merupakan jarak tegak lurus dari sumbu terhadap

elemen sembarang dm. karena performulasian melibatkan r, nilai I unik untuk

setiap sumbu z terhadap mana dia di hitung. Namun, sumbu yang umumnya

dipilih untuk analisis adalah yang melalui pusat masa benda G. momen inersia

yang dihitung disekitar sumbu ini akan didefinisikan sebagai . Ingat bahwa

karena r dikuadratkan dalam persamaan 10-13, momen inersia massa selalu

merupakan besaran positif. Satuan yang bias di gunakan dalam penguuran adalah

kg.m2.

PROSEDUR ANALISIS

Untuk mengintegrasikan, kita hanya akan meninjau benda benda

simetrik yang mempumyai permukaan permukaan yang dihasilkan

dengan memutar kurva di sekitar sebuah sumbu,

Jiak benda berdiri terdiri dari material yang mempunyai rapat massa

yang dapat berubah, , massa elemental dan benda dapat

dinyatakan sebagai rapat massa dan volumenya sebagi .

Dengan mensubtitusi dm kedalam persamaan 10-13, momen inersia

benda kemudian dihitung dengan menggunakan elemen volume untuk

mengintegrasi yaitu

∫

Dalam kasus khusus , suku ii dapat dikeluarkan dari

integral dan pengintegrasian kemudian merupakan suatu fungsi

geometri murni:

∫

Bila volume elemen yang dipilih untuk integrasi mempunyai ukuran differansial

dalam semua ketiga arah, misalnya, dV=dx dy dz, momen inersia benda harus

ditentukan dengan menggunakan “integrasi rangkap tiga”. Namun, proses

integrasi dapat disederhanakan menjadi integrasi tunggal asalkan volume

elemental yang dipilih mempunyai ukuran atau tebal differansial hanya dalam

satu arah saja. Elemen kulit atau cakram(piringan) sering digunakan untuk tujuan

ini.

Elemen kulit, jika elemen kulit mempunyai tinggi z, jari jari y dan tebal dy dipilih

untuk tujuan integrasi. Maka volume . elemen ini dapat

digunakan dalam persamaan 10-14 untuk menentukan momen inersia Iz benda

disekitar sumbu z, kerena elemen keseluruhan , karena “ketipisanya” terletak pada

jarak tegak lurus r=y yang sama dari sumbu z.

Element Cakram. Jika sebuah elemen cakram mempunyai jari jari y dan tebal dz

dipilih utuk integrasi ,maka volume . Namun, elemen akan

berhingga dalam arah radial, dan sebagai akibatanya bagian bagian tidak

semuanya berada pada jarak radial r yang sama dari sumbu z.

Teorema sumbu parallel. Jika momen inersia benda di sekitar sebuah sumbu

melalui pusat massa benda diketahui, maka momen inersia di sekitar sembarang

sumbu parallel yang lain akan dapet ditentukan dengan menggunakan teorema

sumbu paralel, teorema ini dapat diturunkan dengan dengna meninjau benda yang

ditunjukan . Sumbu z’ melalui pusat massa G, sebaiknya sumbu z parallel terkait

lainnya berada pada suatu jarak konstan d yang memisahkan. Dengan memilih

elemen massa differential dm yang terletak pada titik ’ ’ dan dengan

menggunakan teorema phytagoras,

, kita dapat menyatakan

momen inersia benda di sekitar sumbu z sebagai.

∫ ∫ [

]

∫

∫ ∫

Karena r’2=x’

2+y’

2 integral yang pertama menyatakan IG integral kedua sama

dengan nol, karena sumbu z’ melalui pusat massa total benda m, denga demikian,

momen inersia di sekitar sumbu z dapat di tuliskan sebagai

Dengan IG = momen inersia di sekitar sumbu z’ yang melalui pusat massa G.

m=massa benda

d=jarak tegak lurus antara sumbu sumbu parallel

Jari Jari Girasi (putaran). Kadang kadang, momen inersia benda di sekitar suatu

sumbu tertentu di bahass dalam beberapa buku panganan (text book) dengan

menggunakan jari jari girasi, k. nilai ini mempunyai satuan panjang, bila jari jari

dan massa benda diketahui, maka momen inersia dapat di tentukan dari persamaan

atau √

Perhatian kemiripan(sinilaritas) antara devinisi kedalam rumus ini dengan r dalam

persamaan dl=r2 dm, yang mendevinisikan momen inersia massa elemental benda

disekitar sebuah sumbu.

Benda Benda Paduan. Jika sebuah benda disusun dari sejumlah bentuk

sederhana seprti cakram, bola dan batang, maka miomen inersia benda disekitar

sembarang sumbu z dapat di tentukan dengan menjumlahkan secara aljabar

momen momen inersia dari semua bentuk penyusun yang dihitung disekitar

sumbu z. penjumlahan aljjabar perlu karena suatu bagian penysun paduan harus

dipandang sebagai sebuah kuantiatif negative jika dia telah termasuk di dalam

bagian yang lain-miasalnya, sebuah “rongga” dihitung jika pusat massa tiap tiap

bagian penyusun paduan tidak terletak pada sumbu z. Untuk pehitungan, maka

I=∑ dengan IG untuk tiap tiap bagian penyusun dihitung dengan

integrasi atau dapat ditentukan dari tabel, seperti yang diberiakan pada bagia alam

sampul belakang.

1

BAB XI

Usaha Virtual

Dalam bab ini kita akan menggunakan prinsip usaha virtual dan metode energy potensial

untuk menentukan posisi kesetimbangan serangkaian benda tegar yang saling

berhubungan.Meskipun aplikasinya secara matematis lebih rumit daripada menggunakan

persamaan-persamaan kesetimbangan, sekali persamaan usaha virtual akan fungsi energy-

potensial berhasil ditetapkan, maka penyelesaian akan dapat diperoleh secara langsung

tanpa harus memecah-mecah system guna mendapatkan hubungan timbale-balik antara

gaya-gaya yang muncul pada persambungan-persambungan .Selanjutnya dengan

menggunakan metode energy-potensial, kita akan dapat menyelidiki kesetimbangan atau

stabilitas konfigurasi.

11.1. Definisi Usaha dan Usaha Virtual

Usaha sebuah Gaya.Dalam mekanika sebuah gaya F hanya melakukan usaha ( kerja ) bila

dia mengalami suatu pergeseran (perpindahan) dalam arag gaya.Misalnya, perhatikan gaya

F dalam gambar 11.1, yang terletak pada lintrasan s yang dinyatakan dengan vector posisi

r.Jika gaya bergerak sepanjang lintasan ke posisi baru v2 = r + dr, makapergeserannya

adalah dr dan karenanya usaha dU merupakan sebuah besaran scalar,yang didefinisikan

oleh perkalian titik (dot).

dU = F.dr

Karena dr infinitesimal,maka besar dr dapat dinyatakn dengan ds,segmen busur

diferensial sepanjang lintasan.Jika sudut antara ekor-ekor dr adalah F adalah Gambar

11.1,maka menurut definisi perkalian titik,persamaan di atas dapat juga ditulis sebagai

Du = F.ds.Cos

Usaha yang dinyatakn dalam persamaan ini dapat diinterpretasikan menurut salah satu dari

dua cara:salah satunya sebagai perkalian F dengan komponen pergeseran (perpindahan)

dalam arah gaya yaitu ds Cos atau sebagai perkalian ds dengan komponen gaya dalam

arah pergeseran yaitu F.Cos Perhatikan bahwa jika 00 0 90

0, maka komponen gaya dan

pergeseran mempunyai tanda arah yang asama sehingga usahanya positif; sebaliknya jika

900 0 180

0, vector-vektor ini mempunyai tanda arah berlawanan,dan karenanya

usahanya negative.Juga, dU = 0 jika gaya tegak lurus terhadap pergeseran, karena cos 900 =

0, atau jika gaya diterapkan pada suatu titik tetap (tidak berpindah),maka pergeseran

ds = 0

2

Satuan dasar untuk usaha jalan menggabungkan satuan-satuan dari gaya dan

pergeseran.Dalam system SI satu Joule (J) adalah ekivalen dengan usaha yang dilakukan

oleh sebuah gaya 1 newton yang bergerak 1 meter dalam arah gaya (1J = 1 N.m).Sistem I-

PS, usaha didefinisikan dalam satuan f…lb.Momen gaya mempunyai gabungan satuan yang

sama;namun konsep momen dan usahanya tidak dapat dikaitkan.Momen adalah besaran

vector sebaliknya usaha adalah scalar.

Usaha sebuah Kopel.Dua gaya dari sebuah kopel melakukan usaha bila kopel berputar

disekitar sebuah sumbu tegak lurus terhadap bidang kopel.Untuk menunjukkannya

perhatikan benda dalam gambar 11.2a,yang dikenai sebuah kopel yang momennnya

mempunyai besar

M = Fr. Setiap pergeseran diferensial umum dari benda dapat dipandang sebagai kombinasi

translasi dan rotasi.Bila benda bertranslasi sedemikian hingga komponen pergeserans

sepanjang garis kerja tiap-tiap gaya adalah dst,maka dengan jelas usaha “positif” dari satu

gaya (F.dst) meniadakan usaha “negatif” dari yang lain (-F.ds),gambar 11.2b.Kini tinjau

rotasi diferensial a benda disekitar sumbu tegak lurus terhadap bidang kopel,yang

memotong bidsang pada titik 0, Gambar 11.2c.(Untuk penurunan,setiap titik lain dal;am

bidang dapat juga ditinjau). Seperti terelihat, tiap-tiap gaya mengalami suatu pergeseran ds0

= (r/2) ddalam arah gaya, sehingga usaha kedua gayanya adalah

dU = F

d } + = F

d } = (Fr) d

atau

dU = M.d

Usaha resultan positif bila tanda arah M sama dengan tanda arah d , dan negative bila

momen mempunyai tanda arah yanbg berlawanan.Seperti dalam kasus vector momen,maka

arah dan tanda arah d ditentukan dengan aturan tangan kanan , dengan jari-jari kanan

mengikuti rotasi atau cruel Ibu jari menunjukkan arah d .Sehingga, garis kerja d akan

pararel dengan garis kerja M jika pergerakan benda terjadi dalam bidang yang sama.Namun

jika benda berotasi dalam ruang, maka diperlukan komponen d yang berarahM. Jadi,

umumnya,usaha yang dilakukan oleh sebuah kopel didefinisikan dengan perkalian titik

dU=M.d

Usaha Virtual (Khayalan).Definisi usaha sebuah gaya dan sebuah kopel telah dinyatakan

dalam hal pergeseran sesungguhnya yang diungkapkan oleh pergeseran diferensial yang

mempunyai besar ds dan d. Kini perhatikan sebuah pergeseran imajiner atau virtual

3

(khayal), yang menunjukkan adanya suatu peregeseran atau rotasi yang diasumsikan dan

tidak sesungguhnya ada.Pergeseran ini adalah besaran diferensial orde pertama dan akan

dinotasikan masing-masing dengan symbol-simbol dan (delta s dan delta ).Usaha

virtual yang dilakukan oleh sebuah gaya yang mengalami suatu pergeseran virtual

adalah

U = F cos

( 11-1)

Dengan cara serupa, bila kopel mengalami suatu rotasi virtual dalam bidang gaya-gaya

kopel, usaha virtual adalah

U = M

( 11-2 )

11.2. Prinsip Usaha Virtual untuk Partikel dan Benda Tegar

Jika sebuah partikel berada dalam kesetimbangan,maka resultan system gaya yang

bekerja padanya harus sama dengan nol. Sehingga jika partikel mengalami suatu pergeseran

imajiner atau virtual dalam arah x, y,atau z,maka usaha virtual ( U) yang dilakukan oleh

system gaya harus sama dengan nol karena komponen –komponen ∑Fx = 0, ∑Fy = 0, ∑Fz

= 0. Sebagai alternative, ini dapat dinyatakan sebagai

U = 0

Sebagai contoh, jika partikel dalam Gambar 11-3 diberi suatu pergeseran virtual x, maka

hanya komponen x dari gaya-gaya yang bekerja pada partikel yang melakukan usaha.(Tak

ada usaha yang dilakukan oleh komponen-komponen y dan z karena mereka tegak lurus

pergeseran). Persamaan usaha virtual dengan demikian adalah

U = 0; F1x x + F2x x +

F3x x = 0

Dengan memfaktorkan keluar x, yang ada pada setiap suku, diperoleh

( F1x + F2x + F3x ) x = 0

Karena x 0, maka persamaan ini hanya terpenuhi jika penjumlahan komponen gaya

dalam arah x adalah sama dengan nol, yaitu ∑Fx = 0. Dua persamaan usaha virtual yang

lain dapat ditulis dengan mengasumsikan pergeseran-pergeseran virtual y dan z masing-

masing dalam arah y dan z. Namun dengan melakukan hal ini, sama saja memenuhi

persamaan-persamaan kesetimbangan ∑Fy = 0 dan ∑Fz = 0 untuk partikel

4

Dalam cara serupa sebuah benda tegar yang dikenai sebuah system gaya coplanar

akan berada dalam kesetimbangan asalkan komponen ∑Fx = 0, ∑Fy = 0 dan ∑Fz = 0. Kita

juga dapat menuliskan suatu pasangan tiga persamaan usaha virtual untuk benda, masing-

masing dengan mensyaratkan U = 0. Jika persamaan-persamaan ini melibatkan translasi

virtual terpisah dalam perubahan y dan sebuah rotasi virtual di sekitar suatu sumbu tegak

lurus terhadap bidang x-y dan melalui titik 0, maka dapat ditunjukkan bahwa mereka akan

berkaitan dengan tiga persamaan kesetimbangan yang disebutkan di atas. Bila menuliskan

persamaan-persamaan ini, kita tidak perlu memperhitungkan usaha yang dilakukan oleh

gaya-gaya internal yang bekerja dalam benda, karena sebuah benda tegar tidak

berdeformasi (berubah bentuk) bila dikenai beban eksternal dan selanjutnya, bila benda

bergerak melalui suatu pergeseran virtual, maka gaya-gaya internal muncul dalam

pasangan-pasangan kolinear yang sama namun berlawanan, sehingga usaha yang hadir

yang dilakukan oleh tiap-tiap pasdangan gaya saling meniadakan (menghapus ).

Namun seperti partikel, tak ada keuntungan tanbahan yang akan diperoleh dengan

menyelesaikan soal-soal kesetimbangan benda- tegar menggunakan prinsip usaha virtual.

Hal ini karena untuk tiap-tiap aplikasi persamaan usaha virtual pergeseran virtual tersebut,

yang ada pada setiap suku, difaktorkan keluar, dengan meninggalkan persamaan yang telah

dapat diperoleh dengan cara yang lebih langsung dengan menetapkan persamaan-

persamaan kesetimbangan.

11.3. Prinsip Usaha Virtual untuk Sistem Benda-benda Tegar Bersambungan

Metode usaha virtual sangat sesuai untuk menyelesaikan soal-soal keseimbangan yang

melibatkan system beberapa benda tegar bersambungan seperti yang ditunjukkan dalam

Gambar 11-4. Namun sebelum kita dapat menerapkan prinsip usaha virtual pada system-

sistem ini, kita harus pertama-tama menentukan jumlah derajat kebebasan untuk sebuah

system dan menetapkan koordinat-koordinat yang menentukan posisi system.

Derajat Kebebasan.Suatu system benda-benda bersanbungan mengambil suatu bentuk

unik yang dapat ditentukan (dispesifikasikan) asalkan kita mengetahui posisi sejunlah titik-

titik spesifik pada system. Posisi-posisi ini ditentukan dengan menggunakan koordinat-

kordinat bebas q yang diukur dari suatu titik-titik acuan tetap. Untuk setiap koordinat yang

telah ditetapkan, system akan mempunyai sebuah derajat kebebasan untuk pergeseran

sepanjang sumbu koordinat yang konsisten dengan kerja pengendaraan (constraining)

penopang-penopang. Jadi suatu system n derajat kebebasan memerlukan n koordinat bebas

qn untuk menyatakan letak semua batang-batang perletakannya. Sebagai contoh, suatu

5

susunan batang penghubung dan balok gelincir yang ditunjukkan dalam Gambar 11-4a

adalah contoh system satu derajat kebebasan. Koordinat bebas q = 0 dapat digunakan untuk

menyatakan letak dari dua batang penghubung (link) yang bersambungan dan balok.

Koordinat x dapat juga digunakan sebagai koordinat bebas. Namun karena balok dibatasi

bergerak didalam rongga (slot) maka x tidak bebas dari , dia dapat dihubungkan dengan

menggunakan hokum cosines b2 = a

2 + x

2 – 2 ax cos. Susunan batang penghubung ganda

yang ditunjukan dalam Gambar 11-4b, merupakan contoh system dua derajat kebebasan.

Untuk menentukan letak batang penghubung, sudut-sudut koordinat 1 , dan 2 harus

diketahui karena rotasi satu batang penghubung adalah tidak bergantung dari rotasi batang

yang lain.

Prinsip Usaha Virtual. Prinsip usaha virtual untuk sebuah system benda-benda tegar yang

persambungan-persambungannya tak bergesekan dapat dinyatakan sebagai berikut: Sebuah

system benda-benda tegar bersambungan berada dalam kesetimbangan asalkan usaha

virtual yang dilakukan oleh semua gaya dan kopel-kopel eksternal yang bekerja padasistem

adalah nol untuk tiap-tiap pergeseran virtual bebas dari system. Secara matematik, ini

dapat dinyatakan sebagai

U = 0

(11-3)

Dengan U menyatakan usaha virtual semua gaya (dan kopel-kopel) eksternal yang bekerja

pada system selama setiap pergeseran virtual bebas.

Seperti dinyatakan di atas, jika sebuah system mempunyai derajat kebebasan dia

akan mengambil n koordinat bebas qx untuk menyatakan secara lengkap letak system.

Sehingga untuk system tersebut adalah mungkin untuk menuliskan n persamaan usaha

virtual bebas, saat untuk setiap pergeseran virtual pada sepanjang masing-masing sumbu

koordinat bebas, sementara sisanya n – 1 koordinat bebas dibuat tetap.

PROSEDUR ANALISIS

Prosedur berikut memberikan metode untuk menerapkan persamaan usaha virtual untuk

menyelesaikan soal-soal yang melibatkan suatu system benda-benda tegar bersambungaqn

tak bergesekan (licin) yang mempunyai sebuah derajat kebebasan tunggal.

Diagram Benda-Bebas. Gambarkan diagram benda bebas seluruh system benda-benda

yang bersambungan dan tentukan koordinat bebas q. Sketlah “posisi terdefleksi

6

(menyimpang)” system pada diagram benda bebas bila system mengalami pergeseran

virtual positif q. Dari ini tentukan (nyatakan) gaya-gaya dan kopel-kopel “aktif”, yaitu

mereka yang melakukan usaha.

Pergeseran Virtual. Tunjukkan koordinat-koordinat posisi s diukur dari suatu titik tetap

pada diagram benda bebas terhadap masing-masing jumlah gaya-gaya dan kopel-kopel

“aktif”. Tiap-tiap sumbu koordinat harus pararel terhadap garis kerja “gaya” aktif terhadap

mana dia diarahkan, sehingga usaha virtual sepanjang sumbu koordinat dapat dihitung.

Hubungan tiap-tiap koordinat posisi s pada koordinat bebas q: kemudian

diferensiasi pernyataan-pernyataan ini guna menyatakan pergeseran virtual s1 dalam y

Persamaan Usaha Vertikal. Tuliskan persamaan usaha vertical untuk system dengan

menganggap bahwa semua koordinat posisi s mengalami pergeseran virtual positif ( 1).

Dengan menggunakan hubungan-hubungan untuk nyatakan usaha dari tiap-tiap gaya dan

kopel-kopel “aktif” dalam persamaan dalam kaitan dengan pergeseran virtual bebas tunggal

. Dengan memfaktorkan keluar pergeseran, bersama ini, kita tinggalkan dengan sebuah

persamaan yang umumnya dapat diselesaikan untuk sebuah gaya, kopel atau posisi

kesetimbangan yang tidak diketahui.

Jika system mengandung n derajat kebebasan koordinat bebas qn harus

dinyatakan dalam hal ini, ikuti prosedur diatas dan biarkan (tinggalkan) hanya satu

koordinat bebas yang mengalami pergeseran virtual sementara n – 1 koordinat sisa dibuat

tetap. Dalam cara ini,persamaan-persamaan usaha virtual dapat dituliskan, satu untuk tiap

koordinat bebas.

Contoh-contoh berikut akan membantu memperjelas penerapan prosedur ini.

Tentukan sudut untuk kesetimbangan ubntaian dua-barang yang ditunjukkan

dalam Gambar 11-5a, tiap-tiap batang mempunyai masa 10 Kg.

PENYELESAIAN

Diagram Benda Bebas. Sistem hanya memiliki satu derajat kebebasan karena letak kedua

batang penghubung dapat ditentukan dengan koordinat bebas tunggal ( q = 0 ). Seperti

ditunjukkan pada diagram benda-benda bebas dalam Gambar 11-5b, bila mengalami rotasi

virtual positif ( searah jarum jam), hanya gaya-gaya aktif, F dan dua berat 98,1 N, yang

melakukan usaha ( Gaya-gaya Dx dan Dy adalah tetap (diam) dan By tidak bergerak

sepanjang garis kerjanya ).

7

Pergeseran Virtual. Jika titik asal koordinat ditetapkan pada penopang pin tetap D, maka

letak F dan W dapat dinyatakan dengan koordinat-koordinatposisi xB dan yB seperti

ditunjukkan dalam gambar. Guna menentukan usaha, perhatikan bahwa koordinat-

koordinat ini pararel terhadap garis-garis kerja dari gaya-gaya yang bersangkutan

dengannya.

Dengan menyatakan koordinat posisi dalam koordinat bebas dan mengambil

derifativnya, diperoleh

XB = 2 (1 cos ) m xB = -2 sin m

(1)

YW = ½ (1sin ) m yB = 0.5 cos m

(2)

Terlihat dengan tanda-tanda persamaan ini dan ditunjukkan dalam Gambar 11-5b, bahwa

suatu penambah dalam (yaitu ) menyebabkan penurunan dalam xB dan peningkatan

dalam yW.

Persamaan Usaha Virtual. Jika pergeseran virtual xB dan yW keduanya positif maka gaya-

gaya W dan F akan melakukan usaha positif karena gaya-gaya dan pergeseran yang terkait

dengannya akan mempunyai tanda arah yang sama. Sehingga persamaan usaha virtual

untuk pergeseran adalah U = 0 W yW + W vW + F xB = 0

Dengan mensubstitusi Persamaan 1 dan 2 ke dalam Persamaan 3 guna menghubungkan

pergeseran virtual terhadap pergeseran virtual bersama diperoleh 98.1(0.5 cos v) +

98.1(0.5 cos ) + 25(-2 sin ) = 0

Perhatikan bahwa “usaha negative" dilakukan oleh F (gaya dalam tanda berlawanan

dengan pergeseran) telah diperhitungkan dalam persamaan diatas dengan ”tanda negative"

Persamaan (1). Dengan memfaktorkan keluar pergeseran bersama dan

menyelesaikannya untuk , ingat bahwa 0 diperoleh

(98.1 cos - 50 sin ) = 0

= tan-1

= 63.0

0 Jawab

Jika soal ini telah diselesaikan dengan menggunakan persamaan kesetimbangan, maka

perlu untuk mengurai batang-batang penghubung dan menerapkan tiga persamaan n scalar

terhadap tiap-tiap batang penghubung (link). Prinsip usaha virtual, dengan bantuan

kalkulus, telah meniadakan perlunya tugas ini sehingga jawabnya diperoleh secara

langsung

8

11.4. Gaya-Gaya Konservatif

Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya bila sebuah gaya dia mengalami

pergeseran diferensial telah didefinisikan sebagai

U = F Cos ds. Jika gaya digerakan sepanjang suatu lintasan yang mempunyai panjang

berhingga s, maka usaha ditentukan dengan melakukan integrasi terhadap lintasan yaitu

U = ∫ ds

Untuk mengevaluasi integral, maka perlu diperoleh hubungan timbale balik antara F

dengan komponen pergeseram ds cos . Namun dalam beberapa keadaan yang dilakukan

oleh sebuah gaya akantidak tergantung pada lintasannya, bahkan akan tergantung pada

hanya letak awal dan akhir saja dari gaya sepanjang lintasan. Gaya yang mempunyai sifat

ini disebut gaya konservatif.

Berat. Perhatikan benda salam Gambar 11-9, yang pada mulanya berada di P’. Jika benda

digerakkan turun sepanjang lintasan sembarang A ke posisi putus-putus, maka untuk suatu

pergeseran ds tertentu sepanjang lintasan komponen pergeseran dalam arah W mempunyai

besar dy = ds cos, seperti terlihat. Karena baik gaya maupun pergeseran berada dalam arah

yang sama,maka usahanya positif sehingga,

U = ∫ ds = ∫ dy

Atau

U = Vy

Dalam cara yang sama usaha yang dilakukan oleh berat bila benda bergerak ke atas sejauh

y kembali ke P’, sepanjang lintasan sembarang A’ adalah U = -Wy

Mengapa usaha negative ?

Berat benda merupakan sebuah gaya konseervatif karena uasaha yang dilakukan

oleh berat bergantung hanya pada pergeseran vertikal benda dan tidak bergantung pada

lintasan terhadap mana benda bergerak

Pegas elastis. Gaya yang ditimbulkan oleh pegas elastic (Fs = ks) juga merupakan gaya

konservatif. Jika pegas dihubungkan ke sebuah benda dan benda digerakkan sepanjang

lintasan, sedemikian menyebabkan pegas mengalami pemanjangan atau pemendekkan dari

posisi s1 ke posisi selanjutnya s2, maka usaha akan negative, karena pegas melakukan gaya

F, pada benda yang berlawanan arah terhadap pergeseran bend ads,Gambar 11-10. Baik

untuk perpanjangan maupun untuk pemendekkan usaha adalah tidak bergantung lintasan

dan sehingga

9

U = ∫

ds = ∫

ds

= - (

ks 1

2 -

ks 1

2 )

Gesekan. Berkebalikan dengan gaya konservatif perhatikan gaya gesekan yang dulakukan

pada sebuah benda yang bergerak oleh suatu permukaan tetap. Usaha yang dilakukan oleh

gaya gesekan bergantung pada lintasan;makin panjang lintasan, makin besar usaha.

Akibatnya gaya gesekan tidak konservatif, dan usaha yang dilakukan didisipasi dari benda

dalam bentuk panas

11.5. Energi Potensial

Bila gaya konservatif bekerja pada benda maka dia member benda kemampuan untuk

melakukan usaha. Kemampuan ini diukur sebagai energy potensial tergantung pada letak

benda.

Energi Potensial Gravitasi. Jika benda ditempatkan sejauh y diatas secara horizontal tetap

atau acuan (datum). Gambar 11-9, maka berat benda mempunyai energy potensial gravitasi

Positiv Vg karena W mempunyai kapasitas (kemampuan) melakukan usaha positif bila

benda digerakkan kembali turun ke muka acuan (datum). Demikian pula, jika benda

ditempatkan sejauh y di bawah muka acuan Vg akan negative karena berat melakukan

usaha negative bila benda digerakkan kembali naik ke muka acuan (datum). Pada muka

acuan Vg = 0

Dengan mengukur y sebagai positif kea rah atas, energy potensial gravitasi dari

berat benda W dengan demikian menjadi

Vg = Wy

(11-4)

Energi Potensial Elastik. Energi potensial elastic Ve yang dilakukan pegas pada benda,

ketika pegas teregang atau terkompresi (s=0) ke posisi akhir s adalah

Ve = ½ ks2

(11-5)

Disini Ve selalu positif karena dalam posisi terdeformasi pegas mempunyai kemampuan

melakukan usaha positif dalam mengembalikan benda kembali ke posisi tidak terdeformasi

pegas. Gambar 11-10.

Fungsi Potensial . Dalam kasus umum, jika benda dikenai oleh baik gaya gravitasi maupun

gaya gaya elastic, maka energy potensial atau fungsi potensial V benda dapat dinyatakan

sebagai penjumlahan aljabar.

10

V = V + Ve

(11-6)

Dengan pengukuran V bergantung pada letak benda terhadap muka acuan yang dipilih

sesuai dengan persamaan 11-4 dan 11-5.

Umumnya jika sebuah system benda-benda yang berhubungan dan tak bergesekan

mempunyai suatu derajat kebebasan tunggal sedemikian posisinya dari muka acuan

(datum) didefinisikan oleh koordinat umum q, maka fungsi potensial untuk system dapat

dinyatakan sebagai V = V(q). Usaha yang dilakukan oleh semua gaya konservatif yang

bekerja pada system tidak menggerakkan system dari q1 ke q2 diukur dengan selisih V yaitu

U1-2 = V(q1) - V(q2)

(11-7)

Sebagai contoh fungsi potensial untuk sebuah system yang terdiri dari sebuah balok dengan

berat W yang ditopang oleh sebuah pegas. Gambar 11-11a, dapat dinyatakan dalam

koordinat umumnya ( q =) y, diukur dari mana acuan tetap yang terletak pada panjang

pegas tak tergantung kita peroleh

V = Vg + Ve

(11-8)

Jika balok bergerak dari y1 ke posisi arah bawah yang lebih jauh y2, maka usaha W dan Fs

adalah

U1-2 = V(y1) – V(y2)) = -W ( y1 – y2) + 1/2ky21 –

1/2ky22

11.6. Kriteria Energi Potensial untuk Kesetimbangan

Sistem Yang Mempunyai satu Derajat Kebebasan. Bila pergeseran suatu sitem

berhubungan tak bergesekan adalah infinitesimal yaitu dari q ke q + dq, maka persamaan

11-7 menjadi

dU = V (q) – V (q+dq) atau dU = -dV

Selanjutnya, jika system mengalami pergeseran virtual q daripada pergeseran actual dq = -

V. Untuk kesetimbangan, prinsip usaha virtual mensyaratkan bahwa U = 0 dan jika

fungsi potensial untuk sitem diketahui, ini juga disyaratkan bahwa V = 0. Kita juga dapat

mensyaratkan persyaratan sebagai

= 0

(11-9)

11

Jadi bila suatu sistem berhubungan yang tak bergesekan dari benda-benda tegar berada

dalam kesetimbangan maka variasi pertama atau perubahan V akan nol. Perubahan ini

ditentukan dengan mengambil derifativ (turunan) pertama fungsi potensial dan menetapkan

sama dengan nol. Sebagai contoh dengan mengggunakan persamaan 11-8 untuk

menentukan posisi kesetimbangan untuk pegas dan balok dalam Gambar 11-11a kita

peroleh

= W – ky = 0

Sehingga posisi kesetimbangan y = yeq adalah

Yeq =

Tentusaja hasil yang sama akan diperoleh dengan menerapkan Fy = 0 terhadap gaya-gaya

yang bekerja pada diagram benda-benda balok Gambar 11-11b.

Sistem Dengan n Derajat Kebebasan. Bila sitem benda-benda saling berhubungan

mempunyai derajat kebebasan, maka energy potensial yang tersimpan dalam system akan

menjadi sebuah fungsi n koordinat bebas qn yaitu V = V(q1q2…..qn). Guna menerapkan

criteria kesetimbangan V dengan menggunakan “aturan rantai” kalkulus diferensial, yaitu

V =

1 +

2 + …. +

= 0

Karena pergeseran virtual q1, q2 ….. qn tidak saling bergantung satu sama lain, maka

persamaan akan terpenuhi asalkan

= 0,

= 0 …….

= 0

Jadi dimungkinkan menulis n persamaan bebas untuk system yang mempunyai n derajat

kebebasan.

diktat kuliah statika struktur · diktat kuliah statika struktur disusun oleh: ma’ruf , st., mt....

Documents