modul statika bangunan new
TRANSCRIPT
1
BAB I
BESARAN VEKTOR DAN SKALAR
A. Kegiatan 1 : Pengantar Ilmu Statika
I. Standar Kompetensi (KS)
Menerapkan Ilmu Statika dan Tegangan
II. Kompetensi Dasar (KD)
Menjelaskan Besaran Vektor, Besaran Skalar, Sistem Satuan, dan Hukum Newton.
III. Indikator Materi
Besaran Vektor, Besaran Skalar, Sistem Satuan, dan Hukum Newton dapat dimengerti
dengan benar.
IV. Tujuan Pembelajaran
Siswa diharapkan dapat :
1. Menjelaskan pengertian besaran vector dan besaran scalar
2. Menghitung besaran vector dan besaran scalar
V. Materi Pokok
1. Penghantar Ilmu Mekanika
VI. Uraian Materi
1. Pengantar Ilmu Mekanika
2
B. Ilmu gaya atau Mekanika terdiri dari
- Statika
- Kinematika
- Dinamika
a. Statika adalah ilmu yang mempelajari keseimbangan gaya dimana suatu
konstruksi yang tetap diam walaupun pada konstruksi tersebut ada gaya-
gaya yang bekerja.
b. Kinematika adalah ilmu yang hanya mempelajari gerak dari suatu benda
tanpa membahas penyebab getaran itu.
c. Dinamika adalah ilmu yang mempelajari gerakan dan penyebab dari gerakan
tersebut.
Jadi akan dibahas di sini tentang statika karena pada konstruksi bangunan
yang akan dibangun diharapkan tidak aka nada gerakan atau goyangan, jadi
konstruksi akan tetap diam walaupun ada gaya-gaya yang bekerja pada
konstruksi tersebut.
C. Perhitungan Statika Bangunan
Adalah ilmu yang mempelajari stabilitas dan kekuatan dari konstruksi bangunan
atau bagian-bagian dari bangunan itu sendiri.
Perhitungan Statika Bangunan mencakup :
a. Perhitungan stabilitas yaitu perhitungan yang dilakukan agar bangunan selalu
dalam keadaan kokoh. Berarti harus dilakukan pemeriksaan tentang
kedudukan bangunan dengan pondasi dan keadaan tanah sebagai peletakan
pondasi.
b. Perhitunan dimensi yaitu suatu perhitungan yang menentukan ukuran-ukuran
penampang bahan yang diperlukan agar mampu mendukung beban-beban
atau gaya-gaya yang bekerja pada konstruksi dengan tetap
memperhitungkan factor keamanan. Perhitungan dimensi ini penting
dilakukan sebab disamping menjamin juga menimbulkan pengguna bahan
menjadi efisien.
3
c. Perhitungan kekuatan yaitu perhitungan yang dilakukan untuk memeriksa
apabila pada konstruksi terjadi perubahan bentuk, perakitan-perakitan searta
tuntuan yang terjadi melampaui batas yang telah ditentukan atau tidak
d. Perhitungan Kontrol yaitu perhitungan yang dilakukan dengan tujuan
memeriksa apakah bangunan yang akan didirikan cukup kuat dan cukup
kokoh terhadap beban yang direncanakan.
Dalam perhitungan Statika bangunan akan dibahas :
- Besaran Vektor, Besaran Skalar, Sistem Satuan dan Hukum Newton
- Besaran Vektor pada gaya, momen dan kapel
- Diagram gaya normal, momen gaya kapel pada konstruksi bangunan
- Menerapkan teori keseimbangan
- Menerapkan teori tegangan pada konstruksi-konstruksi bangunan
4
D. Pengertian Gaya
Untuk memahami tentang gaya, amati dan perhatikan kejadian sehari-
hari.
Contoh :
Sebuah bola ditendang, maka bola tersebut akan bergulir. Dengan kata
lain terjadi perubahan tempat, dari kedudukan semula ke kedudukan yang
lain.
Sebuah benda yang sedang bergulir ditendang lagi, bola tersebut akan
bergulir lebih cepat, dengan kata lain terjadi perubahan gerak pada bola
tersebut.
Sebuah meja didorong, maka meja tersebut berubah kedudukan. Dari ketiga
contoh di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa :
Gaya adalah sesuatu yang dapat menimbulkan perubahan tempat, gerak atau
bentuk suatu benda.
P
Garis kerja
Titik puncak
Titik puncak
B
5
E. Ciri-ciri gaya
Gaya mempunyai cirri-ciri sebagai berikut :
1. Gaya mempunyai besaran, missal = 100 kg, 1000 N, dan 5 t
2. Gaya mempunyai garis kerja
Garis kerja gaya merupakan garis lurus yang terletak berimpit dengan gaya
itu sendiri.
3. Gaya mempunyai titik tangkap
Titik tangkap adalah suatu titik tempat gaya itu bekerja.
Dari contoh diatas menunjukkan gaya mempunyai titik kerja atau titik tangkap.
B
A
A
Kekanan
Kekiri
Kebawah Keatas
6
4. Gaya mempunyai arah : (kekiri, kekanan, keatas, kebawah)
Jadi gaya adalah sebuah vector yaitu besaran yang mempunyai arah untuk
menggambarkan gaya dalam menyelesaikan soal-soal statika bangunan
diperlukan lambang.
Lambang adalah suatu garis yang berskala dan berarah yang disebut vector.
Gaya mempunyai besaran dan arah yaitu :
Besaran vector adalah besaran yang mempunyai besaran (angka)maupun arah.
Besaran scalar adalah besaran yang mempunyai arah saja.
Contoh besaran vector :
a. P = 50 kg (arah kekanan)
b. Sebuah mobil bergerak dengan kecepatan 100 kg/m, maka kita akan
bertanya, kearah mana mobil tersebut bergerak. Apakah kearah timur atau
kearah barat.
c. Misal : gaya (P) = 100 kg
Skala gaya 1 cm = 20 kg, maka panjang vector = 10020
= 5 cm
Gaya (P) = 100 ton, skala gaya 1 cm = 10 t
Maka vector = 10010
= 10 cm
Jadi skala gaya 1 cm = 20 kg, diartikan tiap 1 cm mewakili 20 kg gaya. Jadi
pembuatan vector sangat penting untuk diketahui agar penyelesaian soal-
soal statika bangunan khususnya dengan cara lukisan atau grafis dengan
benar.
Besarnya gayamempunyai satuan yaitu : kg, ton, dan Newton (N) menurut
standar internasional (SI) satuan gaya menggunakan Newton (N).
P = 100 kg
5 cm
P = 100 kg
10 cm
P1 = 2,5 P2 = 4
Garis kerja gaya
7
Contoh :
F. Menyusun gaya
Menyusun gaya atau menjumlah gaya dimaksudkan untuk menentukan resultan
(R).
Dengan kata lain 2 buah gaya atau lebih dapat digabung menjadi satu gaya
pengganti yang disebut resultan (R).
Menyusun atau menjumlahkan gaya dilakukan dengan 2 cara yaitu :
a. Secara lukisan (grafis)
b. Secara analitis (perhitungan)
Menyusun gaya secara lukisan (grafis) harus menggunakan skala gaya dan
menggambarkan dengan benar.
Contoh:
a. Menyusun gaya dalam satu garis kerja yang searah.
1. Susunlah gaya P1 = 50 kg dan P2 = 80 Kg, sama – sama kearah kanan
sehingga menjadi resultan (R). dengan skala gaya 1 cm = 20 kg.
Tentukan resultan (R) dan arahnya.
Jawab :
P1 = 5020
= 2,5 cm
P2 = 8020
= 4 cm
Jadi R = (2,5 + 4) sm x 20 = 130 kg ( kekanan)
8
b. Menyusun gaya dalam satu garis kerja tetapi arahnya berlawanan.
2. Susunlah dua buah gaya P1 = 150 kg (kekiri) dan P2 = 50 kg (kekanan)
menjadi resultan (R). Skala gaya 1 cm = 25 kg.
Tentukan :
a. Gambarkan vector P1 dan P2
b. Resultan (R)
Jawab :
a. P1 = 15025
= 6 cm
P2 = 5025
= 2cm
b. R = (6 – 2) cm x 25 = 100 kg (ke kiri)
A
B C
9
II. Besaran Vektor dan Besaran Skalar
Besaran-besaran fisika ditinjau dari pengaruh arah terhadap besaran tersebut dapat
di kelompokkan menjadi :
a. Besaran vector adalah besaran yang mempunyai besar dari arah
Missal : kecepatan, gaya, momentum dll
b. Besaran scalar adalah besaran yang mempunyai besar saja.
Missal : massa, waktu, energi dll
Penggunaan vector
Vector digunakan dengan anak panah
Panjang anak panah : besar vector
Arah anak panah : arah vector
Untuk penulisan besran vector dan besaran scalar secara internasional
ditetapkan bahwa penulisan vector adalah tanda panah diatas lambing besaran,
sementara untuk tulisan cetak digunakan huruf tebal.
Contoh :
N = Satuan Newton
N = Besaran gaya Normal
N = Vektor gaya normal
Sebuah vector dikatakan berubah apabila besar atau arhnya berubah.
Persamaan vector A = B mengandung arti bahwa besar dan arah vector A dan B
adalah sama.
P1
P2α
P1
P2α 𝜷 b
a
10
G. Resultan Vektor
Jika vector A dan B saling tegak lurus, maka besar resultan vector A dan B dapat
dihitung dengan rumus Phytagoras.
Yaitu R = √P12+P22+2 .P1 .P2 .cos α
Contoh : diketahui dua buah gaya P1 dan P2 yang garis kerjanya berpotongan di
titik A sehingga membentuk sudut.
Penyelesaian :
Menurut H. Phytagoras :
R2 = b2 + (P2 + a2)
R2 = b2 + P22 + a2 + 2P2 . a
R2 = a2 + b2 + P22 + 2P2 . a
Jika a2 + b2 = P12 dan a = P1 cosα
R = √P12+P22+2 .P1 .P2 .cos α
Dalil sinus :
P .1sin β =
R
sin(1800−α)
P .1sin β = P sin (1800−α)
R
11
H. Pengabungan Gaya (Resultan)
Pada sebuah benda bekerja berapa gaya, guna memudahkan gaya yang banyak tersebut dapat
digabung, gabungan ini dinamakan Resultan(R) . Gaya yang bekerja pada sebuah benda
tersebut ada yang searah, ada yang berlawanan arah, dan ada pula yang bersudut, tentu saja
resultan yang timbul, arah dan besarnya berbeda.
a. Bila sebuah benda bekerja 2 gaya atau lebih maka resultannya adalah penjumlahan
gaya tersebut.
b. Bila gaya P yang bekerja pada sebuah benda, di mana P1 dan P2 arahnya berlawanan,
c. Gaya P1 bersudut α dengan gaya P2, Resultan antara P1 DAN p2 adalkah merupakan
diagonal antara jajaran genjang yang dibentuk oleh ke dua gaya tersebut. Besar
Resultannya dapat dicari yaitu dengan membuat alip sumbu pada titik pertemuan kedua
gaya tersebut, kemudian diuraikan kearah horizontal
(sumbu x) dan kearah vertical (sumbu Y). Sehingga didapatkanlah rumus :
R = √ ¿
Y
P₂y P₂
P₁y P₁
β α X
P₂x P₁x
Dari gambar di atas dimana P₁ bersudut α dan P₂ bersudut β. P₁ maupun P₂ masing-masing
diproyeksikan ke sumbu X dan Y, sehingga didapat P₁x dan P₂x, serta P₁y dan P₂y. Baik
gaya kearah sumbu X dan Y masing-masing dijumlahkan, sehingga didapat
Rx = P₁x + P₂x
Dan
Ry = P₁y + P y₂Seh ingga
R = √Rx² + Ry².
12
Arah resultannya adalah tangen dari Rx dan Ry, : tg α = (Ry) (Rx).
Contoh perhitungan :
Y Langkah I :
P2 = 2 t P1 = 3t Px1 = P1 . cos 45° = 2,12
Px2 = P2 . cos 30° = -1,73
30° 45° X
Langkah 2 :
Py1 = P1 . sin 45° = 2,12
Py2 = P2 . sin 30° = 1
Langkah 3 :
Px = 2,12 – 1,73 = 0,39
Py = 2,12 + 1 = 3,12
Langkah 4 :
√ Px² + Py ²
√ 0,39² + 3,12²
√ 0,152 + 9,73
√ 9,88
= 3,14
Langkah 5 :
Py = 3,12 = 8
Px 0,39
Arc tg 8
P1 = 20 kg
P2 = 30 kg300
13
I. Evaluasi
1. Apa yang dimaksud dengan gaya?
2. Apa yang dimaksud dengan :
a. Besaran scalar
b. Besaran vector
c. Resultan (R)
3. Diketahui : gaya P = 100 kg
Skala gaya = 1 cm = 10 kg
Hitung panjang vektornya!
4. Jumlah gaya P1 = 80 kg dan P2 = 100 kg bekerja sama-sama kearah kanan.
Skala gaya 1 cm = 40 kg
Tentukan :
a. Hitung vector P1 dan P2
b. Gambarkan
c. Hitung resultan (R) dan arah
5. Susunlah dua buah gaya P1 = 150 kg (kekiri) dan P2 = 50 kg (kekanan)!
Skala gaya 1 cm = 20 kg
Tentukan :
a. Vector P1 dan P2
b. Gambarkan
c. Hitung resultan (R) dan arah
6. Diketahui : P1 = 20 kg dan P2 = 30 kg membentuk sudut 300.
Tentukan resultan P1 dan P2 serta sudut θ yang dibentuk R
P1 = 80 kg
P2 = 100 kg
P1 = 2 cm P2 = 2,5 cm
P2 = 50 kg
P1 = 150 kg
14
Kunci jawaban :
1. Gaya adalah sesuatu yang menyebabkan benda yang diam menjadi
bergerak atau sesuatu yang menyebabkan benda yang sedang bergerak
mengalami perubahan gaya
2. a. Besaran vector adalah besaran yang menpunyai besar (nilai) dan arah
b. Besaran scalar adalah besaran yang mempunyai nilai saja
c. Resultan adalah gabungan atau pengurangan beberapa buah gaya
sebagai
gaya pengganti (R)
3. Diket : P (gaya) = 100 kg
Skala gaya 1 cm = 10 kg
Jadi panjang vector = 10010
= 10 cm
4.
a. Vector P1 = 8040
= 2 cm
b. Vector P1 = 10040
= 2,5 cm
c. R = (2 + 2,5) x 40 kg = 6,5 x 40 = 260 kg
5.
Skala gaya 1 cm = 20 kg
P1 = 7,5 cm P1 = 2,5
P1 = 20 kg
P2 = 30 kg300
15
a. Vector P1 = 15020
= 7,5 cm
Vector P1 = 5020
= 2,5 cm
b.
c. R = (P1 + P2) x 20 kg
R = (7,5 – 2,5) x 20 kg
R = 5 x 20 kg
R = 100 kg
R = √P12+P22+2 .P1 .P2 .cos α
R = √202+302+2 .20 .30 .cos30
R = √400+900+12000 .0,866
R = √1300+10392
R = 108,13 kg
sin β = P sin 300(1800−α )
R
= 20 sin300
R
= 20 .0,5108,13
= 10
108,13
= 0,0925𝜷 = ………………(buka logaritma)
16
B. Kegiatan 2 : Hukum Newton
Indikator Materi
Besaran Scalar dan Besaran Vector, Sistim Satuan dan H. Newton
I. Tujuan Pembelajaran
Siswa diharapkan dapat :
1. Menjelaskan pengertian sistim satuan
2. Menjelaskan pengertian H. Newton
3. Memberi contoh sistim satuan dan H. Newton
II. Materi Pokok
1. Sistim Satuan
2. Hukum Newton
III. Uraian Materi
1. Hukum I Newton :
diungkapkan oleh Galileo menyatakan Hukum pertamanya tentang gerak yaitu :
“Setiap benda akan tetap diam atau bergerak dalam suatu garis lurus kecuali ada
gaya yang bekerja padanya”.
Hukum ini melibatkan sifat bena yaitu inersia.
Jadi sering disebut Hukum I Newton = Hukum Inersia.
Secara matematis rumus Hukum I Newton : ΣFi = 0, maka V = Konstan
2. Hukum II Newton :
“Percepatan yang dihasilkan oleh resultan gaya yang bekerja pada sebuah benda
sebanding dan searah dengan resultan gaya dan berbanding terbalik dengan
massa benda”.
3. Hukum III Newton :
17
“Jika benda pertama melakukan gaya pada benda ke dua, maka benda ke dua
akan melakukan gaya yang sama besar pada benda pertama”.
Perlu diingat bahwa pasangan gaya yang dimaksud dalam Hukum Newton bekerja
pada dua benda yang berbeda.
Secarra matematis, rumus H.Newton III FA = -FB
Contoh : Buat benda dalam sebuah lift.
1. Lift diam
Dalam kasus ini tidak ada perbedaan sama sekali dengan ketika orang tersebut
berada di luar lift.
Dengan demikian, orang tersebut menekan lantai lift dengan gaya sebesar berat
badannya, yaitu sebesar…… Newton.
2. Lift bergerak keatas atau kebawah dengan kecepatan tetap terus bergerak, tidak
diperlukan gaya.
Hukum III Newton, lantai lift menjaga keatas pada orang, yang besarnya sama
dengan….. juga. Dengan demikian total gaya yang bekerja pda orang yang berbeda
didalam lift sama dengan berat badannya ketika diam dipermukaan tanah.
3. Lift dipercepat keatas
Jika lift bergerak ke atas dengan percepatan a, maka lantai lift juga memberikan
percepatan yang sama besarnya pada orang yang berada dalam lit. berasarkan
Hukum III Newton, orang yang berada didalam lift akan memberikan gaya reaksi,
yaitu gaya yang besarnya sama dengan ma, tetapi arahnya ke bawah. Jadi mg +
ma = m (g + a). Dengan demikian beratbaru orang w, yang berada dalam lift yang
dipercepat ke atas dengan percepatan a adalah w = m (g + a).
4. Lift dipercepat ke bawah
Karena lantai lift tidak bisa memberikan gaya kebawah pada orang, maka sebagian
dari gaya grafitasi mg digunakan untuk mempercepat orang tersebut ke bawah,
yaitu sebesar ma.
Dengan demikian berat orang yang berada di dalam lift yang sedang dipercepat ke
bawah adalah sisa gaya yang ada, yaitu :
W = mg – ma = m (g – a)
18
A. Evaluasi
1. Sebutkan Hukum Newton I, II, dan III!
2. Dua buah gaya yang bekerja pada sebuah balok yang massanya 2 kg, jika F1 = 10 N
dan F2 = 30 N.
Hitunglah percepatan balok!
3. Total gaya yang dihasilkan mesin pesawat Boeing 747 adalah sebesar 8,8 x 105 kg.
a. Berapakah percepatan maksimal yang mungkin selama pesawat landas?
b. Jika pesawat dari keadaan diam, seberapa cepat pesawat bergerak setelah 10 s?
F2 = 30 N F1 = 10 N
19
Kunci Jawaban
1. Hukum Newton I
Setiap benda akan tetap diam atau bergerak dalam suatu garis lurus kecuali ada gaya
yang bekerja padanya.
Hukum II Newton
Percepatan yang dihasilkan oleh resultan gaya yang bekerja pada sebuah benda
sebanding dan searah dengan resultan gaya dan berbanding terbalik dengan massa
benda.
Hukum III Newton
Jika benda pertama melakukan gaya pada benda ke dua, maka benda ke dua akan
melakukan gaya yang sama besar pada benda pertama.
2.
Dengan memilih arah kekanan sebagai arah positif maka F2 bertanda positif (+) sedang
F1 bertanda negative (-)
Sesuai Hukum II Newton
ΣF = m . a
F1 + F2 = m . a
-10 + 30 = 2 kg . a
a = 10 m/s2 (ke kanan)
3. Kita asumsikan bahwa satu-satunya gaya yang bekerja pada pesawat adalah gaya
terbesar 8,8 x 105 N sesuai dengan Hukum II Newton
a. a = Fm
20
= 8,8 x105 N3,0x 105 kg
= 2,9 m/s2
b. Kecepatan pesawat setelah 10 second
V = V0 + at
= 0 + (2,9 m/s2) . (10 s)
= 29 m/s
Dalam satuan km/jam = 29 m/s = 104 km/jam
BAB IIJENIS TUMPUAN MOMEN DAN REAKSI
KEGIATAN 3 :Macam-macam tumpuan dan perhitungan reaksi pada tumpuan statika bangunan
1. TUJUAN
Setelah selesai mempelajari kegiatan belajar ini diharapkan peserta diklat :a. Memahami macam-macam tumpuanb. Menerapkan dan menghitung reaksi tumpuan pada konstruksi statika
2. URAIAN MATERI
A. Macam-macam tumpuan
Dalam konstruksi bangunan ada beberapa macam tumpuan yaitu :
a. Tumpuan bebasApabila kedua ujung balok dapat berputar secara bebas maka tumpuannya disebut tumpuan bebas. Akibat pelenturan pada balok akan terjadi putaran sudut pada ujung balok dan apabila terjaadi pelenturan maka panjang batang mendatar akan berkurang.
Pelenturan
P P
Apabila beban P dihilangkan maka kedudukan balok kembali pada semula (lurus), tetapi kedudukan ujung balok dapat bergeser.
21
Untuk menghindari bergeser/berpindahnya tumpuan akibat pelenturan maka kedua ujung batang diberi tumpuan rol dan engsel sehingga pada kedua tumpuan balok dapat bergerak bebas tetapi tidak terjadi penggeseran/perpindahan tumpuan.
b. Tumpuan engsel/sendiPada tumpuan ini engsel dapat menerima gaya tarik maupun gaya tekan asalkan garis kerjanya melalui titik pusat engsel dan tumpuan ini tidak dapat menerima momen
Ry RA Ry RA
A RxA Rx
Tumpuan ini mampu menerima gaya sembarang sehingga gaya-gaya reaksi berupa gaya sembarang yang melalui titik pusat engsel sehingga dapat diuraikan menjadi komponen gaya datara dan gaya tegak.
c. Tumpuan rolTumpuan rol hanya dapat menerima gaya tekan yang tegak lurus pada bidang perletakan rol, jadi tumpuan rol ini hanya dapat membuat gaya reaksi yang tegak lurus pada bidang perletakan rol.
RA
22
d. Pendel Pendel ialah suatu batang AB dengan ujung-ujung A dan B berupa engsel.Pada batang AB tidak boleh dibebani dengan gaya antara A dan B. gaya reaksi yang ditimbulkan oleh pendel AB ialah gaya yang garis kerjanya berimpit dengan AB.
BPendel
A
e. Tumpuan jepit
Bila suatu balok fdatar dijepit dalam kolom atau dalam tembok, maka jepitan ini dapat menerima gaya dan momen. Dengan demikian reaksi dari jepitan ialah 2 buah gaya Rv dan Ry (atau Ah dan Av), dan momen jepit M.
Rx
Balok MKolom Ry
f. Tumpuan bidang datar (lantai)
23
Karena benda menekan pada bidang datar, maka gaya reaksi oleh bidang datar pada benda ialah gaya normal N yang tegak lurus pada bidang datar itu.
N
B. Menghitung Reaksi Tumpuan pada Konstruksi Statika
a. Menghitung gaya reaksi pada tumpuan bidang datar
Contoh 1 :Suatu benda terletak pada bidang datar yang kasar dengan koefisien gesek f = 0,2. Berat benda a = 1000 kg, gaya P bekerja pada benda tersebut dengan arah horizontal (lihat gambar).
P
GHitunglah gaya P bila benda pada saat akan bergerak.Penyelesaian :
N = GW
P
G = 1000
ΣV = 0 ΣH = 0N – G = 0 P – W = 0N – 1000 kg = 0 P – f.N = 0N = 1000 kg P-0,2.1000 kg = 0
P-200 kg = 0P = 200 kgJadi besar gaya P = 200 kg
Contoh 2 :Suatu benda terletak pada bidang datar yang kasar dengan koefisien gesek f = 0,2. Berat benda 1000kg, gaya P bekerja pada benda tersebut dengan
24
arah kerja membentuk sudut sebesar 30° terhadap bidang datar (lihat gambar)
30°
G
G
Penyelesaian : NP sin 30°
P cos 30°
P
G = 1000
ΣV=0N+Psin30°-G=0N+P.0,5-1000kg=0ΣH=0Pcos30°-W=0P.0,866-fN=0P.0,866-0,2(1000kg-0,5P)=00,866P-200kg+0,1P=00,966P-200kg0,966P=200kgP= 200kg 0,966 P= 207,04 kg
b. Menghitung gaya reaksi pada tumpuan jepit
1. Menghitung gaya reaksi pada tumpuan jepitan akibat beban terpusat sebuah gelagar panjang I ditumpu jepitan pada A dan pada ujung B bekerja beban terpusat P.
Pada tumpuan jepitan A terdapat tiga gaya reaksi yang tidak diketahui besarnya. Gaya reaksi dapat ditentukan dengan syarat-syarat keseimvbangan yaitu ΣH=0, ΣV=0 dan ΣM=0
25
Ah
A B
Av
Diagram gaya luar yang bekerja maka besar gaya reaksi tumpuannya adalah:ΣH=0; Ah=0VV=O; AV-P=0 AV=PΣMA=0; MA+P.l=0 MA= -P.l.
Contoh 1 :sebuah gelagar dijepit sempurna di A (B= ujung bebas), padanya sebuah beban terpusat P=2 ton di titik B.
P= 2t
A B
4 m
Hitunglah besar gaya reaksi pada tumpuan A bila diketahui panjang gelagar AB =4m
Penyelesaian : P = 2t
AHA MA B
Av 4m
H=0; Ah-0=0 ΣMA=0; MA+P.4m=0Ah=0 MA+2t.4m=0ΣV=0;AV-P=0 MA+8tm=0AV-2t=0 MA+8tm=0AV=2t
26
Contoh 2 :Sebuah gelagar panjang 5m ditumpu jepit di A dan ujung lainnya bebas, padanya bekerja dua buah gaya yaitu P1 = 5ton dan P2=2 ton seperti pada gambar.
P1=5t P2 = 2t
60°A
2m 3m
Hitunglah besar gaya-gaya reaksi pada tumpuan
PenyelesaianP1=5t P2 = 2t
Pv
MA Ph
Ah
2m 5m Av
Pv = P1sin60° Besarnya reaksi tumpuan : AV-6,33t= 5t.0,866 ΣH=0; Ah-Ph=0 AV=6,33t=4,33t Ah-2,5t=0 ΣMA=0;MA+PV.2m+P2.5m=0Ph=P1cos60° Ah=2,5t MA+4,33t.2m+2t.5m=0=5t.0,5 ΣV=0; AV-PV-P2=0 MA+18,66tm+10tm=0=2,5t AV-4,33t-2t=0 MA=-18,66tm
2. Menghitung gaya reaksi pada tumpuan jepitan akibat beban merata
Sebuah gelagar panjang l ditumpu jepitan pada A dan pada ujung B bebas, padanya bekerja muatan merata penuh sebesar q t/m
q = t/m
A B
27
L
Untuk menghitung reaksi tumpuan, maka muatan merata q t/m sepanjang l diganti dengan sebuah muatan terpusat Q. besar Q = q.l.Untuk memudahkan dalam menghitung reaksi-reaksi tumpuannya, dapat dibuat gambar diagram gaya luar sebagai berikut :
MA Ah Q=
A B
Av Q
½ L ½ LΣH=0; Ah=0ΣV=0; AV-Q=0AV-q.l=0AV=q.lΣMA=0; MA+Q.1/2.l=0MA+q.l.1/2.l=0MA+1/2q.l²
Contoh 1 :Sebuah gelagar dijepit sempurna di A (B ujung bebas), padanya bekerja muatan terbagi rata sebesar q=1 t/m. (lihat gambar)
q = 1 t/m
A B
4 m
Hitunglah besar gaya reaksi pada tumpuan A bila diketahui panjang gelagar AB = 4m
Penyelesaian :
Ah
28
A MA Q = 4t BAv
2 m 2 m
Besar Q=q.l=1 t/m=4tBesar reaksi tumpuannya sebagai berikut :ΣH=0; Ah=0ΣV=0; Av-Q=0AV-4t=0AV=4tΣMA=0;MA+Q.2m=0MA+4t.2m=0MA+8tm MA=8tm
Contoh 2 :Sebuah gelagar dijepit sempurna di A (B ujung bebas), padanya bekerja muatan terbagi rata sebesar q=2 t/m dan muatan terpusat P=2t (lihat gambar)
P = 2tq=2t/m
A B
4 m 2 m
Hitunglah gaya-gaya reaksi pada tumpuan A bila diketahui panjang balok AB=6m.
Penyelesaian : P = 2t
Ah
A MA Q = 8t BAv 2m 2m 2m
29
Besar Q=q.l’=2t/m.4m=8tBesar reaksi tumpuannya sebagi berikut :ΣH=0; Ah=0ΣV=0;AV-Q-P=0AV-10t=0AV=10tΣMA=0; MA+Q.2m+P.6m=0MA+8t.2m+2m.6m=0MA+16tm+12tm=0MA+28tm=0 MA= -28tm
3. Menghitung gaya reaksi pada tumpuan jepitan akibat beban terbagi tidak merata
Sebuah gelagar panjang l ditumpu jepit pada A dan ujung B bebas, padanya bekerja muatan/beban terbagi tidak merata q t/m
q = t/m
A B
L
Untuk menghitung reaksi tumpuan maka muatan terbagi tidak merata sepanjang l diganti dengan sebuah muatan terpusat Q. besar Q = ½ q.l. diagram luarnya :
q = t/m
A MA Q BAv 1/3 L 2/3 L
30
ΣH=0; Ah=0ΣV=0;AV-Q=0AV-1/2q.l=0AV=1/2q.lΣMA=0; MA+Q.1/3l=0MA+1/2q.l.1/3l=0MA= -1/6q.l²
Contoh 1 :Sebuah gelagar dijepit sempurna di A (B ujung bebas), padanya bekerja muatan terbagi rata sebesar q=2 t/m dan muatan terpusat P=2t (lihat gambar). Hitung besar gaya reaksi tumpuannya bila diketahui panjang balok 5m.
P = 2 t q = 2 t/m
A B1m 1m 3m
Penyelesaian :P = 2t q = 2t/m
Ah
A MA Q=3t B Av 1m 1m 1m 2m
Besar Q=1/2q.l=1/2.2t/m.3m =3tBesar reaksi tumpuannya sebagi berikut :ΣH=O; Ah=0ΣV=0; AV-P-Q=0 AV-2t-3t=0 AV-5t=0 AV=5tΣMA=0; MA+P.1m+Q.3m=0 MA+2t.1m+Q.3m=0 MA+2tm+9tm=0 MA+11tm=0, MA= -11tm
Contoh 2 :
31
Sebuah gelagar dijepit sempurna di A (B ujung bebas), padanya bekerja muatan terbagi rata sebesar q=1 t/m dan muatan terbagi tidak merata q= 2t/m (lihat gambar)
q = 2 t/mq =1t/m
A B
Hitunglah besar gaya reaksi tumpuannya bila diketahui panjang balok AB=5m
Penyelesaian : q = 2t/m
AhA B
Av 1m 1m 1m 2m
Q = 2t Q = 3t
Besar Q1=q1.l’=1 t/m.2m= 2tQ2=1/2.q2.l’’=1/2.2t/m.3m=3tBesar gaya reaksi tumpuan sebagai berikut :ΣH=0;Ah=0 ΣMA=0; MA+Q1.1m+Q2.3m=0ΣV=0; AV-Q1-Q2=0 MA+2t.1m+3t.3m AV-2t-3t=0 MA+2tm+9tm=0 AV-5t=0 MA+11tm=0 AV=5t MA= -11tm
c. Menghitung gaya reaksi pada tumpuan sendi dan rol
32
1. Menghitung gaya reaksi pada gelagar di atas tumpuan sendi dan rol dengan beban terpusat P
Sebuah gelagar AB panjang l terletak di atas tumpuan sendi A dan rol B mendapat beban terpusat P seperti pada gambar. P
A B
a bL
Untuk menghitung reaksi tumpuan digunakan tiga syarat keseimbangan yaitu ΣH=0,ΣV=0,ΣM=0.Untuk memudahkan dalam membuat perasamaan yang dibentuk dari ketiga syarat keseimbangan tersebut dibuat dulu gambar diagram gaya luar.
P
Ah A B
Av Bva b
L
ΣH=0; Ah=0 ΣV=0; AV+BV-P=0AV+BV=P ΣMB=0ΣMA=0 +AV.l-P.b=0+P.a-BV.l=0 AV.l=P.b-BV.l=-P.a AV=P.bBV= -P.a l -lBV=P.a l
Untuk mengontrol hasil perhitungan apakah AV dan BV tersebut benar/tidak, dapat digunakan syarat keseimbangan, ΣV=0 yaitu sebagai berikut :Kontrol : ΣV=0AV+BV=PP.b + P.a = P
33
l lP (a+b) = P LP=PP-P=0 (cocok)
Contoh 1 :Sebuah gelagar AB panjang 5m terletak di mana A di tumpu sendi dan B
ditumpu rol. Padanya bekerja muatan terpusat P=3 ton (lihat gambar) P= 3t
A B
2m 3m
Hitung besar reaksi tumpuannya.
Penyelesaian : P= 3t
Ah A B
2m 3m Av Bv
ΣH=0; Ah=0ΣV=0; AV+BV-P=0AV+BV-3t=0AV+BV=3tΣMA=0 ΣMB=0P.2m-BV.5m=0 AV.5m-P.3m=03t.2m-BV.5m=0 AV.5m-3t.3m=06tm.-BV.5m=0 AV.5m-9tm=0 -BV.5m=-6tm AV.5m=9tmBV= -6tm AV= 9tm -5tm 5tmBV=1,2t AV=1,8tmKontrol : ΣV=0AV+BV=3t1,8t+1,2t=5t
34
3t=3t3t-3t=0 (cocok)
Contoh 2 :Sebuah gelagar AB panjang 5m terletak di mana A di tumpu sendi dan B ditumpu rol. Padanya bekerja muatan terpusat P1=5t dan P2=3ton seperti pada gambar.
P= 3tP1=5t
A 60° B
1m 2m 3m
Hitung besar gaya reaksi tumpuannya.
Penyelesaian : P2= 3t
Pv P1=5tAh A B
Ph
Av Bv 1m 2m 3m
Ph= P1 cos 60° Pv=P1sin60° = 5t.0,5 = 5t/0,866 = 2,5t = 4,33tΣMA=0 ΣMB=0PV.1m+P2.3m-BV.5m=0 AV.5m-PV.4m-P2.2m=04,33t.1m+3t.3m-BV.5m=0 AV.5m-4,33t.4m-3t.2m=04,33tm+9tm-BV.5m=0 AV.5m-17,32tm-6tm=013,33tm-BV.5m=0 AV.5m-23,32tm=0-BV.5m=13,33tm AV.5m=23,32tm
35
BV= -13,33tm AV= 23,32tm -5tm 5mBV=-2,666t AV=4,664tKontrol ΣV=0AV+BV=7,33t4,664t+2,666t=7,3337,33t=7,33t7,33t-7,33t=0 (cocok)
2. Menghitung gaya reaksi pada tumpuan sendi dan rol akibat muatan q t/m.
Suatu gelagar AB panjang l mendapat beban merata q t/m (A ditumpu sendi dan B ditumpu rol)
q t/m
A B
Diagram gaya luarnya sebagai berikut :
Ah
A BQ=q.l
Av Bv
½ l ½ l
Untuk menghitung reaksi tumpuan maka muatan merata dapat diganti dengan sebuah/beberapa buah muatan terpusat Q.Q = q.lBesarnya reaksi-reaksi tumpuannya :ΣH=0; Ah=0 AV+BV-q.l=0ΣV=0; AV=BV-Q=0 AV+BV=q.l
ΣMA=0 ΣMB=0Q.1/2l-BV.l=0 AV.l-Q.1/2.l=0
36
q.l.1/2.l-BV.l=0 AV.l-q.l.1/2.l=01/2q.l²-BV.l=0 AV.l-1/2.q.l²=0 ½q.l2-BV.l=0 AV.l=1/2.q.l²BV= -1/2.q.l² AV=1/2.q.l² l -l BV=1/2.q.l
Untuk mengecek hasil perhitungan reaksi tumpuan digunakan ΣV=0, control ΣV=0AV+BV=q.l1/2q.l+1/2q.l=q.lq.l=q.lq.l-q.l=0 (cocok)
Contoh 1:Sebuah gelagar AB panjang 4m dimana A ditumpu sendi dan B ditumpu rol, padanya bekerja muatan merata penuh q = 1t/m. (lihat gambar)
1 t/m
A Bl =4m
Hitunglah besar gaya reaksi pada tumpuan sendi dan rol tersebut :
Penyelesaian :
Ah
A BQ
Av Bv
2m 2m
Untuk menghitung reaksi tumpuan maka muatan merata diganti dengan sebuah muatan terpusat.Q = q.l
= 1 t/m.4m= 4t
Besarnya reaksi tumpuan: ΣH=0;Ah=0ΣV=0;AV+BV-Q=0AV+BV-4t=0AV+BV=4t
37
ΣMA=0 ΣMB=0Q.2m-BV-4m=0 AV.4m-Q.2m=04t.2m-BV.4m=0 AV.4m-4t.2m=08tm-BV.4m=0 AV.4m-8tm=0-BV.4m= -8tm AV.4m=8tmBV= -8tm AV= 8tm -4tm 4mBV=2t AB = 2tKontrol : ΣV=0AV+BV=4t2t+2t=4t4t=4t4t-4t=0 (cocok)
Contoh 2 : Sebuah gelagar AB panjang 6m dimana A ditumpu sendi dan B ditumpu rol, padanya bekerja muatan merata q = 1t/m. sepanjang 4m dan beban terpusat P=2t (lihat gambar) 2 t/m P=2t
A B
4m 1m 1m
Hitunglah besar gaya reaksi-reaksi tumpuannya.
Penyelesaian : Ah P=2t
A B Q=8t
Av Bv
2m 2m 1m 1m
Untuk menghitung reaksi tumpuan maka muatan merata q=2t/m sepanjang 4m diganti dengan sebuah muatan terpusat Q. Q=q.l=2t/m. 4km=8t.Besarnya reaksi tumpuannya :ΣH=0; Ah=0 ΣV=0; AV+BV-Q-P=0AV+BV-8t-2t=0 AV+BV-10t=0
AV+BV=10tΣMA=0 ΣMB=0Q.2m+P.5m-BV.6m=0 AV.6m-Q.4m-P.1m=08t.2m+2t.5m-BV.6m=0 AV.6m-8t.4m-2t.1m=0
38
16tm+10tm-BV.6m=0 AV.6m-32tm-2tm=026tm-BV-6m=0 AV.6m-34tm=0-BV.6m= -26tm AV.6m=34tmBV= -26tm AV= 34 tm -6m 6BV=4,333t AV=5,667t
3. Menghitung reaksi pada gelagar diatas tumpuan sendi dan rol dengan beban terbagi tidak merata.
A B
untuk menghitung reaksi tumpuan, maka muatan terbagi tidak merata diganti dengan muatan terpusat Q.Besar Q=1/2.q.lDiagram gaya luarnya
Ah q=t/m
A Q B
Av Bv2/3 l 1/3 l
Reaksi tumpuannya sebagai berikut :ΣH=0; Ah=0 ΣV=0; AV+BV-Q=0AV+BV-1/2l=0AV+BV=1/2q.lΣMA=0 ΣMB=0Q.2/3.l-BV.l=0 AV.l-Q.1/3.l=01/2q.l2/3.l-BV.l=0 AV.l-1/2q.l.1/3.l=02/6.q.l²-BV.l=0 AV.l-1/6q.l²=0-BV.l=-2/8.q.l² AV.l=1/6q.l²BV=-2/6.q.l² AV=1/6.q.l²BV=2/6q.l AV=1/6q.lKontrol :ΣV=0AV+BV=1/2q.l1/6q.l+2/3q.l=1/2q.l3/6q.l=1/2q.l1/2q.l=1/2q.l ( cocok )
39
Contoh :Sebuah gelagar AB panjang 6m dimana A ditumpu sendi dan B ditumpu rol, padanya bekerja muatan terbagi rata Q = 2t/m. sepanjang 4m dan sebuah muatan terpusat P=2ton (lihat gambar)
P=2t q = 2t/m
A B
3m 2m 1m
Hitung besar gaya reaksi tumpuannya.Penyelesaian : P = 2t
Ah
A B Q=3t
Av Bv
2m 1m 2m 1m
Besar Q = ½ q.l=1/2.2t/m.3m=3tBesarnya gaya reaksi tumpuannya sebagai berikut :
ΣH=0; Ah=0ΣV=0; AV+BV-Q-P=0AV+BV-3t-2t=0AV+BV-5t=0AV+BV=5tΣMA=0Q.2m+P2.5m-BV.6m=03t.2m+2t.3m-BV.6m=06tm+10tm-BV.6m=016tm-BV.6m=0-BV.6m=-16tmBV=-16tm -6mBV=2,667tΣMB=0AV.6m-Q.4m-P.1m=0AV.6m-3t.4m-2t.1m=0AV.6m-12tm-2tm=0AV.6m-14tm=0AV.6m=14tmAV=14tm 6m
40
AV= 2,333tKontrol ΣV=0AV+BV=5t2,333t+2,667=5t5t=5t5t-5t=0 (cocok)
4. Menghitung gaya reaksi pada gelagar di atas tumpuan sendi dan rol dengan kantilever.Contoh 1Sebuah gelagar panjang 6 m di atas tumpuan sendi A dan rol B mendapat beban terpusat P1 dan P2 seperti pada gambar di bawah ini
P2 = 1 t
P = 4ton
A B
2 m 3 m 1m
6 m
Hitung besarnya gaya reaksi tumpuannya.
Penyelesaiannya :
P2 = 1 t
Ah A P = 4ton B
Av Bv
2 m 3 m 1m
6 m
P2 =1t
Besar gaya reaksinya sebagai berikut:
41
∑H=0;Ah=0
∑V=0;Av+Bv-P1-P2=0
Av+Bv-4t-1t=0
Av+Bv=5t
∑MA=0 ∑MB=0
P1.2m+P2.6m-Bv.5m=0 Av.5m-P1.3m+P2.1m=0
4t.2m+1t.6m-Bv.5m=0 Av.5m-4t.3m+1t.1m=0
8tm+6tm-Bv.5m=0 Av.5m-12tm-1tm=0
-Bv.5m=-14 Av.5m-11tm=0
Bv=2,8t Av=2,2t
Kontrol : ∑V=0
Av+Bv=5t
2,2t+2,8t=5t (cocok)
Contoh 2
Sebuah gelagar panjang 6m terletak di atas tumpuan sendi A dan rol B mendapat beban terpusat P=1t dan beban terbagi rata q=1t/m seperti gambar di bawah ini.
q= 1 t/m P2= 1t
A B
4m 1m 1m
Hitunglah besar gayanyaPenyelesaian :
q= 1 t/m P2= 1t
Ah A B
Av Q=4t Bv
4m 1m 1m
Besar Q=q.l= 1t/m.4m = 4t
∑H=0; Ah=0 Kontrol : ∑V=0∑V=0;Av+Bv-Q-P=0 Av+Bv=5tAv+Bv-4t-1t=0 2,2t+2,8t=5t (cocok)Av+Bv=5t∑MA=0
42
Q.2m+P.6m-Bv.5m=04t.2m-1t.6m-Bv.5m=014tm-Bv.5m=0Bv=2,8tm
BAB IIIDiagram Gaya Normal, Momen Gaya, Pada Konstruksi Bangunan
A. Menghitung gaya reaksi dengan cara grafis :Pada dasarnya untuk mencari gaya reaksi secara grafis dengan jalan :
1. Menguraikan gaya setelah diketahui arah gaya dari gaya aksinya dengan arah berlawanan.2. Menyusun gaya-gaya dengan cara polygon dan dengan system lukisan kutub untuk
menemukan besarnya resultan ditentukan reaksi pada rol dan reaksi gaya engsel. Setelah itu baru ditetapkan arah gaya reaksi pada engsel maupun rol dengan cara menguasai gaya resultan reaksi (khususnya untuk resultan reaksi yang membentuk sudut dengan batang tumpuan).
Contoh 1 :Menghitung gaya reaksi pada tumpuan sendi dan rol pada gelagar dengan beban terpusat P= 5
43
P= 5 ton
A
2 m 3 m
5 m
Besar Av = 3cm x 1t = 3t1cm
Bv = 2 cm x 1t = 2t1 cm
Langkah-langkah Cara Grafis :a. Tentukan skala gaya dan skala panjangb. Lukis diagram gaya luarnya mengacu pada soal dan perpanjang garis kerjs Av, Bv, dan
P
44
c. Buat lukisan kutub dengan titik kutub O (letaknya titik kutub bebas asal tidak berhimpit dengan gaya P) dari jari-jari kutun I dan II.
d. Lukis garis 1 sejajar dengan garis kutub I hingga memotong garis kerja P dan Av.e. Lukis garis 2 sejajar jari-jari kutub II, yang melalui pemotonga garis 1 dan garis kerja P
dan melalui garis kerja Bv.f. Lukis garis penutup ab = garis pembagi pada lukisan kutub.g. Lukis garis pembagi ab pada lukisan kutub yang melalui titik kutub O dan memotong R
menjadi dua bagian yaitu Av dan Bv.h. Ukur panjang garis Av dan Bv lalu kalikan dengan skala gaya maka didapat reaksi
tumpuan A dan B.
Contoh 2 :Sebuah balok panjang 6m terletak di atas tumpuan sendi A dan rol B, menerima beban terpusat P1=5 ton dan P2= 4 ton.
45
46
47
48
Penyelesaian :Untuk menentukan titik kutub O pada lukisan kutub disuahakan dengan bilangan bulat (tidak sembarangan) guna memudahkan dalam perhitungan reaksi tumpuan MA.Skala Gaya : 1cm = 1tSkala Panjang : 1cm = 1mSkala momen : 1cm = 5tm
49
BAB IVTEORI KESETIMBANGAN
Kegiatan 4 :
Suatu konstruksi bangunan yang dibebani oleh gaya-gaya dan ditumpu sedemikian, sehingga gaya-gaya reaksi dapat ditentukan dengan syarat kesetimbangan, maka konstruksi bangunan tersebut disebut Statis Tertentu. Suatu konstruksi bangunan ditumpu sedemikian, sehingga jumlah reaksi n lebih banyak dari jumlah persamaan keseimbangan, maka konstruksi bangunan tersebut adalah Statis Tak Tertentu.
Syarat-syarat keseimbangan :
∑H = 0 atau ∑X = 0 ∑V = 0 atau ∑Y = 0 ∑M = 0
A. Konstruksi bangunan Statis tak Tertentu P
Ah
A MA B
Av L
B. Konstruksi bangunan Statis Tertentu :
a. Balok pada tumpuan engsel (2 reaksi) dan (1 rol)
P
Ah A
B
Av Bv
A b
L
50
b. Balok ditumpu pada engsel ( 2 reaksi ) dan pendel ( 1 reaksi )
P
Ah A B Pendel
B
Av
C
c. Balok dijepit pada salah satu ujung ( 3 reaksi ) sedang ujung yang lainyya bebas
P
Ah
A MA B
Av
C. Cantilever Dengan Pembebanan Titik
1. Prinsip Adanya Reaksi Tumpuan dengan pembebanan titik
Konstruksi Cantilever termasuk konstruksi sederhana yang sering dijumpai.
Konstruksi ini sering disebut juga dengan Overstek atau Overhang. Ciri konstruksi ini
salah satu ujungnya adalah bebas. Konstruksi Cantilever sering didapatkan pada
bangunan-bangunan, yaitu pada atap beton bertulang tanpa tiang penyangga.
P
A B
L
RA
Gambar Konstruksi Cantilever ( Jepit dan Ujung Bebas )
Konstruksi ini digambarkan dengan batang AB yang dijepit pada ujung A dan
ujung B bebas, yang dibebani oleh gaya P. akibat dari gaya P, batang AB akan ke
bawah karena ada jepitan di A, maka pada jepitan akan memberikan reaksi ke atas
sebesar gaya P sesuai dengan hukum aksi sama dengan reaksi.
51
Jadi, reaksi di A = RA = P. RA bekerja ke atas, dan P ke bawah. Dengan
demikian RA – P = 0, sesuai dengan syarat kesetimbangan ∑V = 0. Kemungkinan
yang lain adalah, batang akan melengkung, karena adanya momen gaya pada jepitan
sebesar PxL. Agar terjadi kesetimbangan dan batang tetap dalam keadaan lurus, maka
pada batang harus ada momen reaksi yang besarnya sama dengan momen luar yang
terjadi akibat pembebanan gaya P. Jumlah momen reaksi dan momen luar harus sama
dengan nol
P
M
L
Momen reaksi + Momen Luar = 0 ( momen reaksi berni,ai negative )Besarnya momen luar adalah sama dengan momen statis, yaitu masing-masing gaya dikalikan dengan jaraknya ke tumpuan ( jepitannya ). Momen reaksi besarnya sama dengan besarnya reaksi di tumpuan dikalikan dengan jarak di tumpuan ( jepitan ) ke garis kerja resultan gaya-gaya tersebut.
2. Menghitung reaksi tumpuanContoh soal :
P1= 4t P2= 3t
A C B
2m 2m
Penyelesaian :
Reaksi Tumpuannya adalah :
RA = P1 +P2
= 4t + 3t
= 7t
Momen reaksi atau momen jepitnya = - momen luar
Karena ∑M=0, maka momen reaksi + momen luar = 0
Jadi, momen jepit = - momen di A
∑MA = 0
MA + P1.2 + P2.4 = 0
MA + 4,2 + 3.4 = 0
MA + 8 + 12 = 0
MA = - 20 tm
52
Bidang Momen :
MA = - (P.L)
= - (P1.2 + P2.4 )
= - 20 tm
MC = MA + RA.2
= - 20 + 7.2
= - 6 tm
MB = MA + RA.4 – P1.2
= - 20 + 7.4 – 4.2
= 0 tm
Di sini ditentukan bahwa dalam menggambar diagram bidang momen untuk
cantilever, momennya dianggap negative. Momen-momen pada masing-masing titik
diperoleh dari perkalian antara gaya ( P ) dan jarak ( X ) atau M = P.X yang merupakan
persamaan pangkat satu. Jadi, dalam penggambaran diagram bidang momennya
merupakan garis lurus. Titik-titik momennya dihubungkan oleh garis lurus, sehingga
membentuk bidang momen.
Garis Netral adalah garis yang digambarkan sejajar dengan sumbu batang untuk
memproyeksikan titik-titiki tertentu yang dicari momen dan gaya gesernya. Momen
Positif digambarkan di bawah garis netral dan diberi tanda ( + ) atau diarsir tegak.
Momen negative digambarkan di atas garis netral dan diberi tanda ( - ) atau diarsir
mendatar.
Diagram gaya geser digambarkan di atas garis netral apabila posiif serta
diarsir tegak. Diagram geser digambarkan di bawah garis netral bila negative serta
diarsir mendatar. Penggambaran diagram dibuat dengan menggunakan skala gaya
ataupun skala panjang.
3. Menghitung gaya Geser Penampang
Gaya geser penampang disebut juga gaya geser melintang atau gaya lintang
yang disingkat dengan huruf D ( defleksi )
P1= 4t P2= 3t
A C B
2m 2m
53
Bidang Lintang ( D )
DA = RA = 7 ton
DC = DA = 7 ton
D’C = DA – P1
= 7 – 4 = 3 ton
DB = D’C = 3 ton
D’B = DB – P2
= 3 – 3 = 0 ton
Catatan :
Bila diantara A dan B tidak ada tambahan gaya, maka garis D antara A dan B
sejajar dengan sumbu batang.
DC = 7 ton. Artinya gaya melintang kiri dari C ialah 7 ton
D’C = 3 ton. Artinya gaya melintang kanan dari C ialah 3 ton.
4. Melukis Diagram Gaya Momen dan Diagram Gaya Geser
Untuk menggambarkan diagram momen dan diagram geser, digunakan urutan sebagai
berikut.
a. Mencari reaksi tumpuan
b. Mencari momen dititik-titik sembarang pada jarak x dari titik
c. Menghitung gaya geser di titik tertentu
Untuk keperluan menggambar diagram, maka momen pada cantilever selalu
dianggap negative, yang digambarkan di atas garis netral atau garis nol.
Penyelesaian contoh soal :
54
P1= 4t P2= 3t
A C B
2m 2m
Reaksi Tumpuannya adalah :
RA = P1 +P2
= 4t + 3t = 7t
∑MA = 0
MA + P1.2 + P2.4 = 0
MA + 4,2 + 3.4 = 0
MA + 8 + 12 = 0
MA = - 20 tm
Bidang Momen :
MA = - (P.L)
= - (P1.2 + P2.4 )
= - 20 tm
MC = MA + RA.2
= - 20 + 7.2
= - 6 tm
MB = MA + RA.4 – P1.2
= - 20 + 7.4 – 4.2
= 0 tm
Di sini ditentukan bahwa dalam menggambarkan diagram bidang momen untuk
cantilever, momennya dianggap negative.
Bidang Lintang ( D )
DA = RA = 7 ton
DC = DA = 7 ton
D’C = DA – P1
= 7 – 4 = 3 ton
DB = D’C = 3 ton
D’B = DB – P2
= 3 – 3 = 0 ton
Gambar Bidang Lintang dan Momen
55
P1= 4t P2= 3t
A C B
2m 2m
7 t
DA DC Bidang D
3 t
( + ) DB
MA = - 20 tm Bidang Momen MC = - 6 tm
( - ) MB = 0 tm
D. Pembebanan Terbagi Rata1. Menghitung Reaksi Tumpuan dengan pembebanan terbagi rata
56
Beban merata sebesar q.l. akan bekerja pada pusat berat balok. Jadi merupakan Resultan dari seluruh beban. Untuk balok resultannya terletak ditengah-tengah atau sejauh ½ L dari tumpuan A. gaya resultan untuk beban merata biasanya disingkat dengan huruf Q.
Jadi Q = q.LBesarnya reaksi tumpuan di A adalah RA = q.L
A B
Q
L Gbr. Konstruksi Cantilever dengan Pembebanan Merata
2. Momen Pada konstruksi beban merata dan panjang balok A-B=L. resultan beban yang bekerja sejauh ½ L dari A maka :MA = -(Q. ½ L) dimana Q = q.L
MA= -( ½ q.l²) q t/m
A BQ
5m
½ L ½ L
MA
Bidang Momen( - )
MBGbr. Bidang Momen Pada Balok Yang Menerima Muatan Terbagi Rata
Besarnya momen semakin mendekati jepitan akan semakin kecil dan bahkan di ujung batang sampai nol. Garis momen yang terbentuk adalah garis lengkung atau
57
bidang momen berbentuk parabola dengan harga maksimum di A dan harga minimum di B. dalam konstruksicantilever, momen maksimum berharga negative sama dengan momen minimum.
3.Gaya geser, Diagram Gaya Geser, dan Gaya Geser Maksimum Gaya geser di tumpuan jepit A sebesar reaksi di A, sedangkan reaksi di A besarnya sama dengan berat beban merata seluruhnya q,LJadi, DA = RA = q.L
Ditinjau dari titik A :DA = q.L
A B
QL
Bila ditinjau di titik C yang jaraknya ½ L dari A, makaDc = RA – q. ½ LDc = q.L. ½ Dc = ½ .q.L
A C B
Q ½ L ½ L
Gaya geser pada penampang di titik yang jaraknya x dari A :Dx = RA – qxDx = q.L- qxDx = q ( L - x )Diagram gaya geser berupa garis lurus
Harga D maksimum bila x = 0 atau di titik A.DA = q. (L – x)Untuk x = 0DA = q.L
Harga D minimum tercapai bila x = L atau dititik B
58
DB = q ( L – x )DB = q ( L – L )DB = 0
q t/m
A B
½ L ½ L
DA
Bidang D
DBGbr. Bidang Lintang Pada Balok Yang Menerima Muatan Terbagi Rata
Contoh soal :Perhatikan gambar dibawah ini. Hitunglah :
59
a. Hitung Reaksi, momen dan gaya lintang.b. Gambarkan diagram momen dan lintang
q=10t/m
A B
Q5m
Penyelesaian : Reaksi tumpuan :
Σv=oRA –ql=0RA – 10,5 =0
RA =50ton
Bidang Lintang (D) :DA = RA = 50 tonBidang Lintang dengan jarak X :Dx = q.xDB = RA – qx
= 50-50= 0 ton
Momen :MA = - ½ ql²
= - ½ 10.5²= -125 tm
Momen dengan jarak X:MX = MA + ½ qx²MB = MA + ½ qx²
= -125 + ½ .10.5²= 0 tm
Gambar bidang M dan D :
60
q=10 t/m
A BQ
½ L ½ L
MA = -125 tm
Bidang Momen( - )
MB
DA = 50 t
Bidang Lintang ( + )
0 DB=0
E. Pembebanan Kombinasi
61
1. Menghitung Reaksi Tumpuan dengan Pembebanan Kombinasi
Yang dimaksud dengan pembebanan kombinasi adalah balok yang dibebani oleh beban titik dan bebab merata sekaligus. Untuk menghitung reaksi tumpuan, maka masing-masing pembebanan dihitung sendiri-sendiri kemudian dijumlahkan. Misalnya pada konstruksi dibawah ini :
Contoh soal :
P1 = 5t P2 = 2t q= 1t/m
1m 1m 1m 5m
Penyelesaian :
Reaksi Tumpuan :∑ V = 0RA – P1 – P2 – Q = 0RA – 5 – 1 – ( 1x 5 ) = 0RA – 5 – 2 – 5 = 0RA = 12 ton
∑ MA = 0MA + P1.1 + P2. Q.5,5 = 0MA + 5.1 + 2.2 + (1,5) 5,5 = 0MA +5 +4 +27,5 = 0MA – 36,5 = 0MA = 36,5 tm
2. Menghitung Gaya Geser atau Bidang Lintang ( D )
62
Pada konstruksi cantilever dengan beban kombinasi, gaya geser dihitung seperti perhitungan gaya geser pada umunya, yaitu reaksi tumpuan dikurangi beban pada bentangan sampai titik yang ditinjau.
Bidang Lintang ( D ) :- DA = RA
= 12 ton
- DB = DA= 12 ton
- D’B = DB – P1= 12 – 5= 7 ton
- DC = D’B= 7ton
- D’C = DC – P2= 7 – 2= 5 ton
- DD = D’C= 5 ton
- DE = DD – Q= 5 – ( 1.5 )= 0 ton
Catatan : DC = 7 ton, artinya gaya melintang kiri dari C ialah 7 ton D’C = 5 ton, artinya gaya melintang kanan dari C ialah 5 ton
3. Menghitung momen penampang ( M )
63
Demikian juga pada momen penampang. Momen penampang-momen penampang yang terjadi di hitung sendiri-sendiri kemudian dijumlahkan.
Bidang Momen ( M ) :
- MA = - ( P1.1 +P2.2 +Q.5,5 )= - ( 5.1 +2.2+(1.5). 5,5 )= - (5 + 4 + 27,5 )= -36,5 tm
- MB = MA + RA.1= -36,5 + 12.1= -24,5 tm
- MC = MA + RA.2 – P1.1= -36,5 +12.2 – 5.1= -17,5 tm
- MD = MA + RA.2 – P1.1= -36,5 + 12.3 – 5.2 – 2.1= -12,5 tm
- ME = MA + RA.8 – P1.7 – P2.6 –Q.2,5= -36,5 + 12.8 – 5.7 – 2.6 – (1.5). 2,5= 0 tm
4. Gambar Bidang Momen (M) dab Bidang Lintang (D) untuk Beban Kombinasi :
P1 = 5t q= 1t/m Skala Gaya 1cm : 3t Skala Momen 1cm :5tm Skala Panjang 1cm : 1m
64
P2 = 2t
1m 1m 1m 5m
DA = 12 t DB
D’B = 7 ton DC
D’C = 5 ton ( + )
DE = 0
MA = - 36,5 tm
MB = - 24,5 tm
MC = -17,5 tm
MD = -12,5 tm( - )
ME = 0 tm
BAB VMenerapkan Teori Tegangan Pada Konstruksi Bangunan
65
Kegiatan 5 :
Tegangan adalah beban yang diterima setiap satuan luas penampang, bila pada suatu bagian benda yang mempunyai luas penampang F cm² bekerja suatu gaya P kg, maka gaya itu akan diteruskan ke sepanjang batang tersebut.Beban – beban yang bekerja pada suatu benda : Beban Tarik, Beban Tekan, Beban Geser, dan sebagainya.
Macam-macam tegangan yang terjadi :
Tegangan Tarik, Tegangan Tekan, Tegangan Geser, dan sebagainya.
A. Tegangan TarikAdalah tegangan yang terjadi pada suatu benda bila gaya luar yang bekerja pada benda merupakan gaya tarik.
σ tr = P kg/cm² F
Tegangan tarikA
P P
B
B. Tegangan TekanAdalah tegangan yang terjadi dalam benda tersebut bila gaya luar yang bekerja pada suatu bagian benda merupakan gaya tekan.
66
σd = P kg/cm² F
Tegangan tekan
A
P P
B
C. Tegangan GeserAdalah tegangan yang terjadi bila gaya luar yang bekerja menimbulkan gaya geser pada suatu bagian benda itu.
ζd = P kg/cm² F
Tegangan Geser F
D. Tegangan Lentur
67
Adalah tegangan yang terjadi bila pada suatu bagian benda (batang) bekerja momen lentur, sehingga pada lapisan-lapisan batang terjadi tegangan tarik dan tegangan tekan.
σI = M1 kg/cm² W1
D.Tegangan Lentur
A B
Batang dibebani pada lengkung
Tegangan Lentur
A B
Batang dibebani pada batang lentur
E. Tegangan Puntir
68
Adalah tegangan yang terjadi dimana penampang yang berdiri tegak lurus terhadap sumbu batang.
ζP = MP kg/cm² WP
Tegangan Puntir
P
P
Ø D SumbuBatang
-MP P
P
Perubahan Bentuk Oleh Puntiran