A. Hasil kali SilangMisalkan A dan B adalah himpunan yang tidak kosong. Hasil kali silang (hasil kali Cartesius) dari himpunan A dan himpunan B ditulis A B didefinisikan sebagai berikut:

Dengan perkataan lain, A B adalah himpunan dari semua pasangan terurut dengan komponen pertama diambil elemen dari A dan komponen kedua diambil elemen dari B.Contoh:1) Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, makaA B = {(1, a), (1, B), (2, a), (2, B), (3, a), (3, B)}, sedangkanB A = {(A, 1), (A, 2), (A, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.2)

Misalkan N = himpunan semua bilangan asli dan Z adalah himpunan semua bilangan bulat. N Z={(A, B) A N dan B Z}.Periksalah bahwa (1, -5), (3, 2), (7, 0), (8, -7), (11, -13) semuanya anggota dari N Z. Tetapi (0, 1), (-2, 4), (-3, 7), (-5, -2), (-11, 17) masing-masing bukan anggota dari N Z.3) Apabila A = {1, 2}, maka A A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. A A dapat ditulis sebagai A2

A A A = A3 = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)} Selanjutnya dapat dinyatakan, jika A, B dan C adalah himpunan-himpunan yang tidak kosong, maka A B C={(x, y, z) A, y B dan Z C}

Sedangkan untuk himpunan-himpunan A, A2, A3, ..., A, maka A1 A2 A3 ...An = {(x1, x2, x3,...,xn ) | A untuk i = l, 2,...,n}Pasangan terurut dari elemen, seperti (x1, x2) disebut pasangan, pasangan terurut dari 3 elemen disebut tripel, untuk 4 elemen disebut quadrupel dan untuk n elemen disebut n-tupel. Selanjutnya didefinisikan: (A, B) = (c, d) jika dan hanya jika A = c dan B = d.Maka A B= P Q jika dan hanya jika A = P dan B = Q, sehingga pada umumnya A B B A.

A B = B A jika dan hanya jika A = BPerhatikan himpunan A = {2, 4, 5} dan B = (A, b, c). Tuliskanlah semua pasangan terurut dari A B. Banyaknya pasangan terurut dalam A B ada 9 buah. Pandang suatu himpunan bagian dari A B, misalnya

= {(2, a), (4, B), (5, B)}Himpunan pasangan terurut ini dapat dinyatakan sebagai diagram panah berikut ini.

2

4

5a

b

c

ABGambar 1

Nampak pada Gambar 1 bahwa setiap elemen dari himpunan A dipasangkan dengan tepat satu elemen dari himpunan B. Konsep seperti ini dalam matematika disebut pemetaan (fungsi atau mapping). Gambar 1 tersebut menyatakan suatu diagram fungsi dari himpunan A ke himpunan B. Jadi dapat dikatakan bahwa pemetaan dari A ke B merupakan himpunan bagian dari A B. Selanjutnya berikut ini, kita bicarakan secara khusus pengertian pemetaan.B. Pemetaan dan MacamnyaSalah satu konsep yang penting dalam setiap cabang matematika adalah pemetaan atau fungsi. Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat satu elemen dari himpunan B, disebut pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. Misalkan cara atau aturan yang mengaitkan tersebut diberi simbol f, maka dikatakan bahwa f adalah pemetaan dari A ke B dan dilambangkan sebagai

dibaca: fungsi f dari A ke B atau f adalah pemetaan dari A ke B. Pemetaan f ini dapat dilukiskan dengan diagram seperti pada gambar 2.

ABGambar 2

Selanjutnya himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f, dan B disebut daerah kawan (kodomain, dari f. Apabila A A maka suatu elemen dari B yang merupakan pasangan dari A disebut peta (bayangan atau image) dari A dan dinyatakan dengan simbol f (A).Contoh:Misalkan A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z}

Misalkan didefinisikan seperti pada diagram berikut ini.abcdxyz

ABGambar 3

Pada pemetaan ini dapat dikatakan bahwa f (A) = x; r(b) y, r(c) = y dan f (d) = Z. Pemetaan f ini dapat pula ditulis sebagai himpunan pasangan terurutf = {(A, x), (b, y), (c, y), (d, z) }Perlu ditekankan sekali lagi bahwa setiap elemen dari A harus dipasangkan dengan tepat satu elemen dari B. Berarti tidak ada elemen dari A yang tidak dipasangkan dan tidak ada elemen dari A yang dipasangkan dengan lebih dari satu elemen dari B. Tetapi satu elemen dari B boleh memperoleh pasangan lebih dari satu elemen dari A atau boleh tidak memperoleh pasangan elemen dari A.

Contoh:Misalkan S={1,2,3,4,5} dan t = {a, b, c, d, e}.Di antara diagram berikut ini, manakah yang menyatakan suatu pemetaan dari s ke T?12345abcdeST(iii)12345abcdeST(ii)12345abcdeST(i)

Gambar 4Diagram (i) bukan merupakan pemetaan, sebab ada elemen dari S, yaitu 4 yang tidak dipasangkan dengan elemen dari T. Diagram (ii) bukan merupakan pemetaan pula, sebab ada elemen dari S. yaitu s yang dipasangkan dengan dua elemen dari T, yaitu d dan e. Diagram (iii) menyatakan suatu pemetaan dari s ke T, meskipun ada elemen dari t yang tidak memperoleh pasangan, dan ada elemen dari t yang memperoleh pasangan lebih dari satu elemen dan S.

Misalkan f suatu pemetaan Dari himpunan A ke himpunan B, yaitu . ingat bahwa tidak setiap elemen dari B perlu memperoleh pasangan sebagai peta, elemen dan A. Himpunan semua elemen dari B yang merupakan peta elemen dan A disebut daerah hasil atau jelajah (range) dan f dan dinyatakan dengan f (A). Perhatikan bahwa .

Jadi pemetaan mempunyai daerah hasil dan .

Selanjutnya, bila , maka disebut peta dan D oleh pemetaan f.Contoh:

Misalkan B adalah himpunan semua bilangan bulat, dan pemetaan didefinisikan oleh

Kalimat disebut rumus definisi dari pemetaan f. Periksalah bahwa

.Contoh:Misalkan s = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dan t = {0, 2, 4, 6, 8}.

Pemetaan didefinisikan seperti pada diagram panah pada Gambar 5.

Gambar 5

Daerah hasil dan f adalah Jika adalah himpunan semua bilangan asli, maka Daerah hasil dari adalah {0,2, 4, 6}. Jika A = {0, 1, 2, 3}, maka (A) = {0, 2, 4}. Perhatikan bahwa g-1(1) = 2. Dikatakan bahwa 2 adalah peta atau bayangan dari 1 oleh pemetaan g, dan dikatakan pula bahwa 1 adalah prapeta (bayangan invers) dari 2 oleh pemetaan g, dan ditulis g-1(2) = {1}. Selanjutnya, pada contoh ini, dapat diperiksa bahwa g-1(0) = {0}, g-1(4) = {2, 3}dan g-1(6) = {4, 5}serta g-1({0, 2, 4}) = {0, 1, 2, 3}. Hal ini dapat dikatakan secara umum sebagai berikut.

Misalkan adalah suatu pemetaan jika , maka himpunan semua elemen dari s yang dipetakan ke t disebut prapeta dari t oleh f dan dinyatakan dengan lambang f 1 (t).

Jadi adalah himpunan semua prapeta dari t oleh pemetaan f.

Jika , makaadalah himpunan semua elemen dari s yang merupakan prapeta elemen dari B.

Contoh:

Misalkan A adalah himpunan semua bilangan asli. Pemetaan didefinisikan oleh Range (daerah hasil) dari f adalah .

Jika maka, tetapi . Periksalahbahwa Contoh:

Misalkan Z adalah himpunan semua bilangan bulat dan N adalah himpunan semua bilangan asli. Pemetaan didefinisikan oleh

Misalkan pula dan maka

Nampak bahwa

dan

Nampak bahwa

Jika P = {1, 2, 3, 4} dan Q = {3, 4, 5}, coba tunjukkanlah bahwa Contoh ini merupakan gambaran dari teorema-teorema berikut ini.Teorema 2.1

Jika suatu pemetaan dan A, B S, maka(i)

(ii)

(iii)

Jika A B maka f (A) f (B)

Bukti:(i) Ambil sebarang y f (A B). Maka ada x A B sedemikian hingga y = f (x).Karena x A B, maka x A dan x B, sehingga f (x) f (A) dan f (x) f (B).Berarti f (x) f (A) f (B). Karena y = f (x), maka y f (A) f (B).Jadi jika y f (A B) maka y f (A) f (B);

sehingga f (A B) f (A) f (B).(ii) Kita harus membuktikan kesamaan dua himpunan, sehingga pada (ii) kita harus menunjukkan bahwa f (A B) C f (A) f (B) dan f (A) f (B) f (A B).Ambil sebarang y f (A B). Maka ada x A B sedemikian hingga y = f (x).Karena x A B, maka x A atau x B, sehingga f (x) f (A) atau f (x) f (B). Hal ini berarti f (x) f (A) f (B). Karena y = f (x), maka y f (A) f (B). Jadi jika y f (A B) maka y f (A) f (B).

Berarti f (A B) f (A) f (B).Sebaliknya, diambil sebarang t f (A) f (B).Maka t f (A) atau t f (B).Jika t f (A), maka ada s A sehingga t = f (s)Jika t f (B), maka ada r B sehingga t = f (r)Karena s A dan r B maka s, r A B, sehingga f (s), f (r) f (A B). Karena t = f (s) = f (r), maka t f (A B). Jadi jika t f (A) f (B) maka t f (A B).Berarti f (A) f (B) C f (A B)Terbukti bahwa f (A B) = f (A) f (B).Pembuktian untuk (iii), karena mudah, diserahkan pada Anda sebagai latihan.

Teorema 2.2

Jadi (1)Sebaliknya, diambil sebarang y f-1 (P) f-1 (Q), Maka y f-1 (P) dan y f-1(Q); Berarti f (y) P dan f (y) Q, sehingga f (y) P Q, ini berarti y f-1(P Q)

Jadi (2)Dari (1) dan (2) disimpulkan bahwa

Pembuktian (ii) diserahkan pada Anda, sebagai latihan