Bila T1 adalah suatu transformasi dari titik A(x,y) ke titik A(x,y) dilanjutkan dengan transformasi T2 adalah transformasi dari titik A(x,y) ke titik A(x,y) maka dua transformasi berturut-turut tsb disebut Komposisi Transformasi dan ditulis T2 o T1

a Misalkan T1 = b

c dilanjutkan dengan T2 = d maka T2OT1adalah : a c

b d c

2T1 b

T2

d

1

3

a

Contoh :Transformasi titik A dengan R90 dilanjutkan denganR45 Maka A11 adalah .

A1 A A11450 900

P(0,0)

Diketahui garis g dan h dan segitiga ABC seperti pada gambar. Tentukan Mg[Mh(ABC)]

A

g

CB

h

A

C

Mg[Mh(ABC)] berarti kita refleksikan dahulu ABC terhadap garis h menjadi ABC. Karena titik B berada di garis h, maka B=B Setelah itu barulah refleksikan ABC terhadap garis g menjadi ABC

B

A

g

C B C A h

Bila T1 dinyatakan dengan matriks a

p q dan T2 dengan matriks r s

b c d

maka dua Transformasi berturut-turut mulamula T1 dilanjutkan dengan T2 ditulis T2 o T1 =

p q r s

a b c d

Contoh Soal:

Matriks

yang

bersesuaian

dengan

dilatasi dengan pusat (0,0) dan faktor

skala 3 dilanjutkan dengan refleksiterhadap garis y = x adalah

Pembahasan M1= Matrik dilatasi skala 3 adalah

3 0 0 3

M2 = Matrik refleksi terhadap y = x adalah 0 1

1 0

Matriks

yang0 1 1 0

bersesuaian3 0 0 3

dengan

M1

dilanjutkan M2 ditulis M2 o M 1 =

=

0 0 0 3 3 0 0 0

= 0 3 3 0 0 3 3 0

Jadi matriknya adalah

Andaikan F dan G dua transformasi, dengan F:V G:V V V

Maka produk atau komposisi dari F dan G yangditulis sebagai G 0 F didefinisikan sebagai:

( G 0 F ) (x) = G [ F (x) ] . x VJika F : V V dan G : V V masingmasing suatu

transformasi, maka hasil kali H=G0F:V V adalah juga suatu transformasi.

Untuk membuktikan bahwa H injektif, harus kita Untuk perlihatkan bahwa kalau PQ maka H(P)H(Q) ini harus dibuktikan dua hal yaitu: Andaikan H(P)=H(Q), maka G[F(P)]=G[F(Q)] 1) H Surjektif G injektif maka F(P)=F(Q). Karena Oleh karena F injektif maka pula P=Q ini bertentangan dengan pengandaian bahwa PQ. Jadi pemisalan bahwa H(P)=H(Q) tidak benar. Sehingga transformasi maka Karena F haruslah H(P)H(Q)daerah nilai F adalah Jadi H injektif seluruh bidang V, dan daerah asal G juga seluruh Vsebab G suatu transformasi. Ambil y V, apakah ada x sehingga H(x) = y? Akan dibuktikan y = H(x). Injektif transformasi maka y V z V y = G(z). Karena G Karena F suatu transformasi maka pada z x V z = F(x). Maka y = G[F(x)] atau y = G o F (x). Jadi y = H(x). Jadi H surjektif.

2) H

Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi F : V V yang didefinisikan sebagai berikut X g maka T (X) = x Jika x g maka T(X) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g yang tegak lurus.x

T(X)

Ambil T(X) kemudian transformasikan Misalkan sebagai berikut:

X kedua.

g

x(T o Mh)(x)

T(X)

(Mh o T)(x)

Y

gX h

Ambil sebuah garis h g dan Mh adalah refleksi dari garis h, jadi hasil kali Mh[T(x)]= Y adalah suatu tranformasi pula sehingga : Y = (Mh o T)(x).

Andaikan x = ( x, y ) maka T (x) = ( x,y) dan Mh [T(x)] = (-x, y). Oleh karena Mh[T(x)] = T[Mh(x) maka (Mh o T)(x) = (T o Mh )(x)

Akan tetapi sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku. Untuk memperlihatkan ini ambil lagi garis g dan garis h yang tidak tegak lurus.

h

x

T(X)(T o Mh)(x)

g

X(Mh o T)(x)

Tampak bahwa Mh[T (x)] T[ Mh(x)] . Jadi (Mh o T)(x) (T o Mh)(x)