Tugas Kelompok 3Mata kuliah : Geometri euclid dan Non Euclid Dosen : Dr. Izwita Dewi, M.Pd

USAHA SACCHERI DALAM MEMPERTAHANKAN

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES

DISUSUN OLEH :

1. DEKSON (NIM O81188710044)

2. ISWANDI (NIM O81188710046)

3. JAHINOMA GULTOM (NIM O81188710047)

4. POLMAR BANJARNAHOR (NIM O81188710055)

PROGARAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS NEGERI MEDAN 2010

USAHA SACCHERI DALAM MEMPERTAHANKAN

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLIDES

Girolamo Saccheri (1667 – 1773) menulis sebuah buku Éuclides Vindicatus”. Dia

mencoba menguji kebenaran postulat kesejajaran euclides dengan cara baru. Caranya

dengan mengasunsikan bahwa postulat kesejajaran Euclides itu salah, menunjukan

adanya kontradiksi, yang secara logis berarti Memvalidasikan ( mengesahkan )

postulat kesejajaran Euclides dengan menggunakan prinsipbukti tak langsung.

Pengujian Sacheri dimulai dengan mempelajari suatu segi empat yang mempunyai dua

sisi yang sama dan tegak lurus pada sisi yang ketiga.

Definisi:

Segi empat ABCD disebut segiempat SACCHERI jika ∠ B = ∠ C = 90o dan AB

= DC

Gambar dibawah :

Saccheri mampu membuktikan ∠ A = ∠ D, dan selanjutnya mempertimbangkan tiga

kemungkinan mengenai sudut A dan sudu t D :

(1) Hipotsis sudut siku-siku (∠ A = ∠ D = 90o )

(2) Hipotesis sudut tumpul (∠ A = ∠ D > 90o )

(3) Hipotesis sudut lancip (∠ A = ∠ D < 90o )

Jika postulat kesejajaran Euclides diasumsikan, maka hipotesis sudut siku-siku benar

(karena postulat kesejajaran Euclides berakibat bahwa jumlah sudut sebarang segi

empat adalah 360o ).

B C

A D

Dasar argument Saccheri adalah sebagai berikut :

Dengan menunjukkan bahwa hipotesis sudut tumpul dan hipotesis sudut lancip

keduanya menimbulkan suatu kontradiksi, berarti postulat kesejajaran Euclides

benar.

Dalam tulisan ini kami berupaya membultikan bahwa hipotesis dan hipotesis sudut

lancip keduanya menimbulkan suatu kontradiksi dengan pembuktian dibawah ini:

Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa sudut-sudut puncaknya adalah sama sebagai

berikut :

Tentukan E sebagai titik tengah BC.seperti gambar dibawah ini,

Maka ∆BEA kongruen dengan ∆CED (s, sd, s)

AE = DE

∠ A1 = ∠ D1 ,

Sekarang diambil F sebagai titik tengah AD.

AF = FD

AE = DE Jadi ∆AEF kongruen dengan ∆DEF ( s, s, s ) maka

FE = FE ∠ A2 = ∠ D2 ,

B C

A D

EB C

AD

Sehingga terdapatlah ∠ A1 + ∠ A2 = ∠ D1 + ∠ D2 , Maka sudut-sudut

puncak sisiempat Saccheri sama (∠ A = ∠ D )

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa hipotesisi (2) dan Hipotrsisi (3) salah.

Andaikan (∠ A = ∠ D > 90o ) , karena (∠ A = ∠ D > 90o , dan AB = CD , maka ∠ B

= ∠ C < 90o . Hal ini kontradiksi dengan definisi yaitu; (∠ B = ∠ C = 90o , sehingga

pengandaian salah

Andaikan (∠ A = ∠ D < 90o ) , karena (∠ A = ∠ D < 90o , dan AB = CD , maka ∠ B

= ∠ C > 90o . Hal ini kontradiksi dengan definisi yaitu; (∠ B = ∠ C = 90o , sehingga

pengandaian salah

Dengan demikian, hipotesis (2) dan (3) salah

Dengan menggunakan serangkaian teorem secara hati-hati, Saccheri mampu

membuktikan bahwa hipotesis sudut tumpul menimbulkan suatu kontradiksi.

Selanjutnya dia memperhatikan implikasi dari sudut lancip. Di antaranya berupa

sejumlah teorema yang tidak biasa (unusual), yang dua diantaranya dapat dinyatakan

sebagai berikut:

(i) Jumlah sudut-sudut sebaang segitiga adalah kurang dari 180 o.

(ii) Jika l dan m adalah dua garis dalam suatu bidang, maka salah satu sifat

berikut akan terpenuhi:

( a) l dan m berpotongan, keduanya memancar dari titik perpotongannya.

(b) l dan m tidak berpotongan, tetapi mempunyai garis tegak lurus

persekutuan, sehingga ke dua garis memencar dalam dua arah dari arah

garis tegak lurus persekutuan.

B C

A D

(c) l dan m tidak berpotongan, dan tidak mempunyai garis tegak lurus

persekutuan, sehingga kedua garis konvergen pada satu arah tetapi

divergen pada arah yang lain.

Contoh soal:

1. Buktikanlah bahwa sisi atas segiempat Saccheri lebih besar atau sama dengan

sisi alasnya.

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa AD > BC pada gambar dibawah ini

Ambil BE = EC

BA = CD (diketahui) ∆ECD kongruen dengan ∆EBA

∠ B = ∠ C = 900 (diketahui)

maka EA = ED AF = FD ∆DFE kongruen dengan ∆EAF

EF = EF

Andaikan AD = BC maka FD = EC

ED = ED (berimpit) dan ∠ DCA = ∠ DFE Sehingga

∆DFE kongruen dengan ∆DCE maka diperoleh

∠ FED = ∠ EDC dan ∠ FDE = ∠ CED maka

∠ FED + ∠ CED = ∠ EDC + ∠ FDE atau ∠ FED = ∠ FDC= 900

Terdapat pertentangan dengan yang telah dibuktikan yaitu ∠ FDC lancip yaitu

sudut puncak sisiempat Saccheri

Jadi tidak mungkin FD = EC, maka FD > EC atau AD > BC (terbukti)

B C

A D

E

F

DAFTAR PUSTAKA

2. Prenowitz, W. Jordan, M. 1965. Basic Concept of Geometry. Blaisdell

Publishing Company : Waltham, Massachusetts. Tronto. London.

3. Soemadi, H. Masriyah, MPd. , 2000, Sistem Geometri, Surabaya, University

Press IKIP Surabaya.

DAFTAR PUSTAKA

2. Prenowitz, W. Jordan, M. 1965. Basic Concept of Geometry. Blaisdell

Publishing Company : Waltham, Massachusetts. Tronto. London.

3. Soemadi, H. Masriyah, MPd. , 2000, Sistem Geometri, Surabaya, University

Press IKIP Surabaya.