geometri eliptik

5/23/2018 GEOMETRI ELIPTIK

1/20

GEOMETRI ELIPTIK

Disusun Guna Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri non Euclid

Dosen Pengampu: Heri Sutarto, M.Pd

Oleh:

1. Kiki Wulandari (4101410036)2. Pamila Aditianingrum (4101410088)3. Atika Rosiana (4101411116)4. Prasetya Adi Pungkas (4101412061)5. Nila Kumoro Manah (4101412129)

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2014


2/20

1

GEOMETRI ELIPTIK

A. SEJARAH GEOMETRI ELIPTIKIlmu tentang astronomi telah banyak dipelajari berabad-abad sebelum

masehi, hal ini terlihat dengan adanya bukti-bukti peninggalan sejarahtentang

system penanggalan kuno dan peramalan untuk memperkirakan fenomena

alam, masa kesuburan pertanian dan sifat seseorang dipandang darisegi rasi

bintang. Semakin lama, ilmu perbintangan semakin menarik untuk dipelajari

hingga ke hal-hal yang bersifat teoretik. Namun misteri perbitangan secara

teoretik tidak dapat dipecahkan karena teori yang diakui pada masa itu adalah

teori yang berpegang pada postulat Euclid yang membangun konsep bidang

datar. Untuk memecahkan kesulitan tersebut para astronom dan

matematikawan membuat terobosan baru dalam bidang geometri. Sejak saat

itu, para astronom mulai mengumpulkan berbagai referensi sejarah untuk

mendukung terobosan baru tersebut.Berdasarkan catatan sejarah yang ditulis

oleh Claudius Ptolemy(150 SM), seorang ahli geografi, astronomi, dan

astrologi berkebangsaan Yunani, menuliskan pada bukunya Geographica

bahwa untukmenempuh jarak terdekatantara dua titik pada bumi, maka

seseorang harus mengikuti lingkaran yang memuat dua titik tersebut. Selain

itu, Nicolaus Copernicus (1473-1543) menyatakan dalam bukunya bahwa

bumi berputar pada porosnya, ., dan dari ekspedisi penjelajahan

mengelilingi dunia yang dilakukan oleh Christoper Colombus (1451-1506)

dan pendahulu-pendahulunya membuktikan bahwa bumi berbentuk bulat.

Referensi ini membuka ide baru bidang geometri eliptik yang

kemudian memberikan pengaruh besar pada bidang astronomi, geografi, dan

fisika modern. Berdasarkan referensi sejarah tersebut dan beberapa referensi

lain, maka untuk pertamakalinya, matematikawan Benhard Riemann (1826-

1866) memperkenalkan geometri bola sebagai geometri non-Euclid. Dalam

pandangan Riemann pada geometri bola, garis merupakan lingkaran besar

pada bola yang memuat dua titik. Riemann menganalisis postulat kesejajaran

Euclid dan menemukan kejanggalan-kejanggalan. Dari kejanggalan tersebut

Riemann mengembangkan teori geometri bola yang dapat membuktikan


3/20

2

postulat kesejajaran Riemann dan memenuhi definisi titik dan garis yang

didefinisikan oleh Euclid. Pandangan Riemann ini kemudian dimodifikasi

oleh Christian Klein (1849-1925) dengan memandang bahwa setiap pasang

titik antipodal (titik yangberlawanan pada lingkaran besar) merupakan titik

yang identik/sama. Klein mengembangkan model geometri bola dan

menyebutnya dengan variasi geometri eliptik. Selanjutnya disajikan secara

singkat tokoh-tokoh penemu dan pengembang geometri eliptik.

SEJARAH RIEMANN

Georg Friedrich Bernhard Riemann (17 September

182620 Juli 1866). Beliau ialah matematikawan

Jerman yang membuat sumbangan penting pada

analisis dan geometri diferensial, beberapa darinya

meratakan jalan untuk pengembangan lebih lanjut

pada relativitas umum. Namanya dihubungkan

dengan fungsi zeta Riemann, integral Riemann,

lema Riemann, manipol Riemann, teorema

pemetaan Riemann, problem Riemann-Hilbert,

teorema Riemann-Roch, persamaan Cauchy-Riemann dan lain-lain. Ia lahir

di Breselenz, sebuah desa dekat Dannenberg di Kerajaan Hanover di Jerman

sekarang. Ayahnya Friedrich Bernhard Riemann ialah pastor Lutheran di

Breselenz. Bernhard merupakan anak kedua dari 6 bersaudara. Pada 1840

Bernhard pergi ke Hanover untuk tinggal dengan neneknya dan mengunjungi

Lyceum. Setelah kematian neneknya pada 1842 ia pindah ke Johanneum di

Lneburg. Pada 1846, pada usia 19, ia mulai belajar filologi dan teologi di

Universitas Gttingen. Ia mengikuti ceramah Gauss. Pada 1847 ayahnyamengizinkannya berhenti belajar Teologi dan mulai belajar matematika.

Pada 1847 ia pindah ke Berlin, di mana Jacobi, Dirichlet dan Steiner

mengajar. Ia tinggal di Berlin selama 2 tahun dan kembali ke Gttingen pada

1849. Riemann menyelenggarakan ceramah pertamanya pada 1854, yang tak

hanya menemukan bidang geometri Riemann namun menentukan tahapan

untuk relativitas umum Einstein. Ia dipromosikan sebagai guru besar

istimewa di Universitas Gttingen pada 1857 dan menjadi guru besar luar


4/20

3

biasa pada 1859 menyusul kematian Dirichlet. Pada 1862 ia menikahi Elise

Koch. Ia meninggal akibat tuberkulosis pada perjalanan ketiganya ke Italia di

Selasca. Sumbangsih Riemann dalam matematika berada di bidang geometri

diferensial yang menyingkap cara-cara umum untuk membuat pengukuran

dalam ruang dengan sembarang lengkungan dan jumlah dimensi. Sumbangsih

Riemann dalam geometri adalah berupa teori tentang geometri yang berbeda

dengan geometri euclid. Pada tahun 1954 Riemann membacakan disertasinya

tentang penemuannya yang baru di Fakultas Filsafat Gottingen. Ia memulai

dengan asumsi : Garis-garis adalah tidak terbatas, tetapi panjangnya

berhingga.Riemann tidak mengindahkan postulat kesejajaran dari geometri

euckides maupun dari geometri hiperbolik. Postulat kesejajaran dari Riemann

adalah: Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain. Jadi

menurutnya, dua garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar.

Untuk selanjutnya geometri elliptik dikenal sebagai Geometri Riemann.

B. PENGANTAR GEOMETRI ELIPTIKGeometri Eliptik berbeda dengan Geometri Euclid hanya pada

postulat kesejajarannya saja. Postulat kesejajaran dari Riemann adalah

sebagai berikut (Moeharti, 1986: 5.17)

Tidak ada garis-garis sejajar dengan garis lain.

Berdasarkan postulat tersebut, Riemann mengemukakan bahwa dua

garis selalu berpotongan dan tidak ada dua garis sejajar (Budiarto dan

Masriyah, 2007: 172). Dalam geometri Euclid, postulat kesejajaran Euclid,

dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar.

Diketahui: Dua garis yang berbeda l dan m yang tegak lurus terhadap garis n.

Adb. l dan m sejajar.

Andaikan , maka l dan m berpotongan pada suatu titik, misal C.

Misalkan A dan B berturut-turut merupakan titik potong garis l dan m

terhadap garis n.


5/20

4

No. Langkah Alasan

1. Perpanjang sedemikian sehingga

diperoleh , dimana C

terletak di perpanjangan

Ruas garis dapat diperpanjang

2. Melalui C dan B dapat dibuat . Melalui dua titik sebarang

dapat dibuat sebuah garis.

3. Sisi, sudut, sisi

4. Akibat dari ,

maka sisi-sisi yang bersesuaian

adalah sama.

5. Akibat dari ,

maka sisi-sisi yang bersesuaian

adalah sama.

6. , maka BC

dan BC tegak lurus AB

Diketahui

7. dan berhimpit, berarti

8.

Terdapat kontradiksi dengan yang diandaikan, yaitu bahwa ldan mberlainan.

Jadi, pengandaian di atas salah, ini berartil dan msejajar.

Analisis Riemann terhadap pembuktian teorema di atas sebagai berikut.

a. Pandangan penting adalah Langkah 6, bahwa l dan m serupa karenagaris tersebut memiliki titik C dan C secara bersama-sama. Langkah ini

akan gagal jika C dan C tidak berbeda.


6/20

5

b. Euclid mengasumsikan bahwa setiap garis memisahkan bidang menjadidua sisi yang berhadapan (Separation Principle)

c. Dalam pandangan sifat pemisahan, konstruksi dalam Langkah 1pembuktian di atas (untuk memperluas CA melalui panjangnya C)

menjamin bahwa C dan C berada pada sisi sehadap dari n dan merupakan

titik yang berbeda.

d. Tanpa sifat pemisah, keberadaan C dan C tidak memiliki justifikasiformal dan bukti tersebut akan gagal.

Berdasarkan analisis Riemann di atas, maka muncul dua teori baru yang

berangkat dari dua kemungkinan berikut.

a. Jika prinsip pemisahan tersebut diterima, C dan C haruslah merupakantitik yang berbeda. Dengan kata lain, setiap dua garis berpotongan pada

dua titik dan setiap garis memisahkan bidang.

b. Jika mengabaikan prinsippemisahan, maka C dan C merupakan titik yangsama. Dengan kata lain, setiap dua garis berpotongan pada satu titik dan

tidak ada garis yang memisahkan suatau bidang.

Kemungkinan pertama di atas yang mendasari munculnya geometri eliptik

ganda (double elliptic geometry) dan kemungkinan kedua mendasari

munculnya geometri eliptik tunggal (single elliptic geometry). Gambar

berikut ini berturut-turut merupakan model dari geometri eliptik tunggal dan

geometri eliptik ganda.

Model Geometri Eliptik tunggal (Moeharti, 1986: 5.19)

Sebarang dua garis yang berpotongan tepat pada satu titik, tetapi tidak

ada garis yang memisahkan bidang tersebut.


7/20

6

Model Geometri Eliptik ganda (Moeharti, 1986: 5.19)

Dua garis berpotongan tepat pada dua titik, dan setiap garis

memisahkan bidang.

Sifat Kutub pada Bidang Geometri Eliptik

Seperti halnya dalam geometri Euclid dan Lobachevski, geometri

eliptik memenuhi beberapa hal berikut.

a. Hanya ada satu garis yang tegak lurus terhadap garis yang melaluisebuahtitik yang diberikan, jika titik tersebut terletak pada garis yang

diberikan.


8/20

7

b. Tetapi sifat di atas tidak terpenuhi, jika titik tersebut tidak berada padagarisyang diketahui, karena sebarang dua garis yang tegak lurus dengan

garis yangsama akan berpotongan.

c. Untuk setiap garis l pada bidang geometri eliptik, ada titik polar Ksedemikian sehingga semua garis yang melalui K akan tegak lurus dengan

l. Jadi, semua lingkaran besar pada bola dunia melalui kutub utara yang

tegak lurus dengan ekuatornya.

Sifat Kutub

Misalkan l adalah suatu garis. Maka ada suatu titik K yang disebut kutub dari

l sedemikian hingga:

a. setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l tegaklurus pada l,

b. K berjarak sama dari setiap titik pada l.Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut jarak polar. Jarak polar suatu

kutub sampai garisnya adalah konstan.


9/20

8

C. TEOREMA-TEOREMA DALAM GEOMETRI ELIPTIK

Jika sebarang garis l pada geometri eliptik, kemudian terdapat paling

sedikit satu titik P sehingga setiap garis menghubungakan P ke sebuah titik

di l yang tegak lurus dengan l dan P berjarak sama dari semua titik di l.

Bukti:

Misalkan Q dan R merupakan sebarang titik yang berjarak sama di l dan

membentuk garis m dan n yang tegak lurus dengan l di titik Q dan R.

(Berdasarkan postulat Riemann)

Maka garis m dan n berpotongan di titik P

Sehingga P,Q, dan R tidak segaris.

PQR merupakan sebuah segitiga dengan dua sudut yang kongruen

( (Teorema segitiga samakaki).

Andaikan S merupakan titik tengah dari .

Jika kita menghubungkan titik P ke titik S

Maka , dan berakibat tegak lurus dan

.

Terbukti.

Pada sebarang segitiga siku-siku di geometri eliptik, setiap dua sudut yang

lain mempunyai besar sudut kurang dari, sama dengan, atau lebih dari

sudut siku-siku tergantung dari apakah sisi yang berlawanan itu

Teorema 6.8.2.

Teorema 6.8.1.


10/20

9

mempunyai panjang sisi kurang dari, sama dengan, atau lebih dari jarak

kutubnya.

Bukti:

Misalkan siku-siku di C.

Pada , buat titik P sehingga CP adalah jarak kutub.

mempunyai titik P sebagai titik kutubnya.

Sehingga tegak lurus pada dan merupakan sudut siku-siku.

Jika CB sama dengan jarak kutub maka (adalah sudut siku-siku.

Jika CB kurang dari jarak kutub maka .

Dan jika CB lebih dari jarak kutub maka

.

Pada geometri eliptik sudut puncak segiempat Saccheri adalah kongruen

dan tumpul.

Bukti:

Misalkan segiempat ABCD adalah sebuah segiempat Saccheri dimana

adalah sudut siku-siku dan ruas garis AD BC.

Sebuah teorema dari geometri netral (teorema 3.6.2) menjelaskan bahwa

sudut puncak adalah kongruen.

Akan di buktikan sudut puncak segiempat sacherri adalah tumpul.

Misalkan E dan F titik tengah ruas garis AB dan CD.

Berdasarkan Teorema 3.6.4 pada segiempat Sacherri menjelaskan bahwa

garis yang menghubungkan titik-titik tengah dari sisi atas dan sisi bawah

segiempat Sacherri adalah tegak lurus terhadap keduanya.

Teorema 6.8.3.


11/20

10

Maka ruas garis EF tegak lurus terhadap dan .

Misalkan kita memperpanjang dan hingga keduanya berpotongan

di sebuah titik P. Dengan definisi, P adalah kutub dari , maka EP adalah

jarak kutub.

Karena CP < EP, teorema sebelumnya menjelaskan pada kita bahwa

sehingga .

Terbukti.

Pada geometri eliptik sudut keempat dari segiempat Lambert adalah

tumpul.

Bukti:

Perhatikan gambar berikut.

AFED merupakan segiempat Lambert dimana .

Akan dibuktikan adalah tumpul.

Kita tahu bahwa P adalah titik kutub.

Jika (Teorema 6.8.2.)

Sehingga atau dapat dikatakan sudut D tumpul.

Terbukti.

Pada geometri eliptik, jumlah sudut dari segitiga siku-siku adalah lebih

dari

Teorema 6.8.5.

Corollar 6.8.4.


12/20

11

Bukti:

Misalkan mempunyai sudut siku-siku di C.

Akan ditunjukkan bahwa S(

Buatlah ruas garis AX sehingga

Titik Q merupakan titik tengah ruas garis AB.

Hubungkan titik Q dengan titik R sehingga ruas garis QR tegak lurus

dengan ruas garis BC.

Hubungkan titik Q dengan titik P sehingga ruas garis QP tegak lurus

dengan ruas garis AX.

Jelas , maka segiempat ACRP merupakan segiempat

Lambert.

Berdasarkan sebab akibat 6.8.4 bahwa sudut keempat dari segiempat

Lambert adalah tumpul, maka . Karena sudut PAQ = sudut

QBR, maka sudut BAC + sudut ABC > , sehingga jumlah sudut dalam

segitiga siku-siku ABC yaitu sudut BAC + sudut ABC + sudut ACB >

.

Terbukti.

Pada geometri eliptik jumlah sudut dari segitiga sebarang adalah lebih dari

.

Bukti:

Teorema 6.8.6.


13/20

12

Misalkan diberikan garis l, dan garis m dan n yang tegak lurus dengan

garis l di titik A dan B.

Berdasarkan postulat kejajaran eliptik, garis m dan n akan berpotongan di

P yang merupakan kutub dari l.

Perhatikan segitiga PAB adalah segitiga samakaki(

Maka jumlah sudut segitiga PAB adalah

Terbukti bahwa jumlah besar sudut suatu segitiga lebih besar dari

Pada geometri eliptik jumlah dari besar sudut dalam dari setiap segiempat

cembung lebih besar dari

Bukti:

Dipunyai segiempat ABCD.

Akan di buktikan

Perhatikan segiempat ABCD.

Terdapat segitiga ABC dan segitiga ACD.

Berdasarkan teorema 6.8.6.

Terbukti.

A

B

C

1

2

21

D

Corollar 6.8.7.


14/20

13

Tidak ada bujur sangkar dalam geometri eliptik.

Bukti:

Andaikan ada bujur sangkar dalam geometri eliptik.

Berarti ada segiempat ABCD dengan semua sisinya sama panjang

dan semua sudutnya siku-siku.

Jadi jumlah besar sudut segiempat ABCD =

Hal ini kontradiksi dengan sebab akibat 6.8.7. yaitu jumlah besar sudut

suatu segiempat lebih besar dari .

Jadi tidak ada bujur sangkar dalam geometri eliptik.

Jika tiga sudut dari suatu segitiga adalah kongruen secara berurutan kepada

tiga sudut dari segitiga kedua, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Bukti:

Misalkan sudut A, B, dan C adalah sudut-sudut dari kongruen

secara berurutan dengan sudut A, B, dan C pada .

Adb.

Jika salah satu sisi yang bersesuaian, sebut AB dan AB kongruen, maka

segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Adt. Andaikan misalkan .

Tentukan titik D pada AB sehingga .

Tentukan titik E pada AC sehingga .

Jelas (dibuat) , (diketahui), dan .

Maka (S Sd S).

Akibatnya jelas bahwa BCED adalah segiempat dengan jumlah sudutnya

sama dengan .

Teorema 6.8.9.

Corollary 6.8.8.


15/20

14

Terjadi kontradiksi dengan teorema sebelumnya bahwa jumlah sudut pada

segiempat lebih dari .

Jadi .

Karena (diketahui), (telah dibuktikan), dan

, maka .

Terbukti.

Luas segitiga adalah sebanding dengan kelebihannya, yaitu, luas

[( ], dimana k adalah konstanta tergantung

pada satuan panjang yang dipilih.

Bukti:

Adb.( [( ]

Berdasarkan definisi segibanyak secara umum, luas dari segitiga adalah

sebanding dengan defectnya, atau dapat dituliskan:

( (

Diketahui bahwa ( .

Karena definisi dari defect suatu segitiga adalah selisih antara dan

jumlah sudut dalam segitiga tersebut, maka:

( (

Jadi luas dari segitiga adalah

( (

( [( ]

Jadi teorema terbukti.

Teorema 6.8.10.


16/20

15

D. LATIHAN SOAL1. Sebutkan sifat-sifat kutub pada geometri eliptik.2. Pada geometri eliptik buktikan bahwa panjang dari puncak segiempat

Saccheri kurang dari panjang alasnya.

3. Pada geometri eliptik buktikan bahwa panjang dari garis yangmenghubungkan titik tengah alas dan puncak dari segiempat Saccheri

lebih dari panjang sisi-sisinya.

4. Pada geometri eliptik buktikan bahwa pada sebuah segiempat Lambertpanjang dari setiap sisi yang mengandung sudut tumpul kurang dari

panjang sisi yang berlawanan dengannya.

5. Perhatikan gambar di bawah ini.Buktikan bahwa segitiga UBA

kongruen dengan segitiga UB' A'!

PENYELESAIAN

1. Misalkan l adalah suatu garis. Maka ada suatu titik K yang disebut kutubdari l sedemikian hingga:

a) setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada ltegak lurus pada l,

b) K berjarak sama dari setiap titik pada l.2.

Dipunyai segiempat Saccheri.

A

B

C

D


17/20

16

, , ,

Adb.

Bukti:

Jika kita menghubungkan BD, maka akan ada 3 kemungkinan yaitu:

(1) ,(2) , atau(3) .Dari setiap kemungkinan diperoleh:

(1) Andaikan .Jelas (diketahui)

(berimpit)

Jadi (S Sd S).

Akibatnya .

Karena maka

(definisi segiempat Saccheri)

Sehingga .

Terjadi kontradiksi dengan teorema 6.8.6.

Jadi pengandaian salah.

(2) Andaikan .Akibatnya .

Karena maka


Sehingga .

Terjadi kontradiksi dengan teorema 6.8.6.

Jadi pengandaian salah.

(3) Andaikan .Akibatnya .

Karena maka



18/20

17

Sehingga .

Tidak terjadi kontradiksi, maka pengandaian berlaku.

Jadi .

Dengan kata lain atau .

Jadi terbukti bahwa panjang dari puncak segiempat Saccheri kurang dari

panjang alasnya.

3.

Dipunyai segiempat Saccheri ABCD

Ambil titik E pertengahan dan F pertengahan .

Berdasarkan teorema pada geometri netral, maka tegak lurus pada

dan .

Adb.

Andaikan

Misalkan G pada sehingga .

Maka memotong di dalam dan ABCE adalah segiempat

Saccheri.

Karena ABCE adalah segiempat Saccheri maka tumpul.

Tapi karena maka sudut dalam dari (, maka

.

Terjadi kontradiksi, sehingga pengandaian salah.

Jadi .

4. Dipunyai segiempat Saccheri ABCD.Ambil titik E pertengahan dan F pertengahan .

Berdasarkan teorema pada geometri netral, maka tegak lurus pada

dan .

A

B

C

D

E

F


19/20

18

Maka terbentuk segiempat Lambert AEFD dan BEFC.

Pada segiempat Lambert AEFD dengan tumpul:

Adb. dan .

Karena F titik tengah maka

.

Karena E titik tengah maka

.

Telah dibuktikan bahwa , maka

Pada soal sebelumnya telah dibuktikan bahwa .Jadi terbukti bahwa pada sebuah segiempat Lambert panjang dari setiap

sisi yang mengandung sudut tumpul kurang dari panjang sisi yang

berlawanan dengannya.

5. Adb. Perhatikan

( berdasarkan teorema 6.8.1)

Karena dan

Jadi (S S S).

Terbukti.


20/20

19

DAFTAR PUSTAKA

Wallace, Edward and West, Stephen. 1992.Roads to Geometry.New York:

Prentice Hall.

Susanto,F dkk.2011.Geometri Eliptik.Makalah.Semarang:Unnes.

geometri eliptik

Documents