BAB 7

GARIS DAN SUDUT

A. SUDUT

1. Pengertian Sudut

Sudut dibentuk dari dua sinar yang titik pangkalnya berimpit. Sinar

digambarkan berupa garis lurus yang di ujungnya tanda panah dan di

pangkalnya tanda titik. Dari gambar 7.1 dapat kita lihat bahwa sudut terdiri

dari dua buah kaki sudut, titik sudut dan daerah sudut.

- Kaki sudut adalah sinar yang membentuk sudut

- Titik sudut adalah titik potong dua sinar

- Daerah sudut (besar sudut) adalah daerah yang dibatasi oleh oleh kaki-

kaki sudut

2. Mengenal Satuan Sudut

a. Ukuran sudut dalam derajat

Ukuran sudut yang sering digunakan adalah derajat.

Misalkan sebuah benda bergerak pada sebuah lintasan yang berbentuk

lingkaran seperti pada gambar 7.2. pada mulanya benda tersebut pada titik

A kemudian ke titik B, C dan akhirnya kembali lagi ke titik A. benda

tersebut dikatakan bergerak dalam satu putaran dan panjang lintasan sama

dengan keliling lingkaran. Satu putaran penuh sama dengan 360 derajat.

1 derajat adalah besar sudut yang diputar oleh jari-jari lingkaran sejauh

putaran atau putaran.

Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit (’) dan detik (”)

Hubungan antara derajat, menit dan detik

b. Ukuran sudut dalam radian

Untuk mengenal dan memahami sudut dalam radian, amati dua buah

lingkaran pada gambar 7.3 dengan pusat pada sebuah titik yang sama.

O adalah titik pusat kedua lingkaran, dan masing-masing adalah

jari-jari lingkaran kecil dan lingkaran besar. Juring adalah

perbesaran dari juring yang berpusat di O sehingga juring

sebangun dengan juring . Sehingga diperoleh hubungan sebagai

berikut :

Nilai perbandingan tidak dipengaruhi oleh panjang

jari-jari lingkaran melainkan hanya tergantung pada besar . Nilai

perbandingan disebut besar dalam ukuran

radian. Sehingga dapat disimpulkan :

1 derajat = 60 menit atau

1 menit = derajat atau

1 menit = 60 detik atau

1 detik = menit atau

1 radian sama dengan besar sudut pusat lingkaran yang

dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya sama dengan

jari-jari.

3. Penjumlahan dan Pengurangan yang Melibatkan Satuan Sudut

Untuk penjumlahan dan pengurangan yang melibatkan satuan sudut, samakan

terlebih dahulu satuannya, ubah satuan derajat, menit dan detik ke dalam

satuan yang sama.

4. Mengukur Sudut dengan Busur Derajat

Busur derajat adalah alat untuk mengukur besar sudut dengan menggunakan

satuan derajat. Garis penghubung angka nol bagian atas dengan nol bagian

bawah disebut garis horizontal dan garis yang tegak lurus dengan garis itu

disebut garis vertical. Perpotongan antara garis horizontal dan garis vertical

disebut pusat busur.

5. Menggambar Sudut dengan Busur Derajat

Untuk menggambar sudut ABC dengan ukuran 500, ikuti langkah-langkah

sebagai berikut :

a. Buat salah satu kaki sudutnya, yaitu .

b. Letakkan busur derajat pada sehingga titik tengah busur derajat

berimpit dengan titik B dan garis lurus yang melalui titik tengah busur itu

berimpit dengan . Jadi yang berimpit dengan garis AB adalah garis

lurus yang melalui titik tengah busur, bukan bagian tepi bawah busur

derajat.

c. Perhatikan angka nol pada busur derajat yang terletak pada . Apakah

terletak di bagian dalam atau bagian luar? Jika terletak di dalam, maka

angka 50 yang digunakan juga yang berada di bagian dalam. Jika nol

terletak di luar, maka angka 50 yang digunakan juga yang berada di

bagian luar. Beri tanda dengan titik tempat angka 50 berada.

6. Melukis Sudut yang Besarnya Sama yang Diketahui

Ukurlah terlebih dahulu besar sudut yang diketahui menggunakan busur

dengan teliti. Kemudian, gambar ulang besar sudut tersebut pada tempat yang

tersedia. Bisa dengan busur tau jangka.

7. Membagi Sudut menjadi Dua Sama Besar

Membagi sebuah sudut menjadi dua sama besar berasal dari sifat

belahketupat, yaitu sudut belahketupat dibagi menjadi dua sama besar oleh

diagonalnya. Membagi sudut menjadi dua sama besar sama dengan melukis

garis bagi sudut.

8. Melukis Sudut-sudut Istimewa

Sudut-sudut istimewa yang akan dilukis adalah sudut-sudut 900, 450 , 600 dan

300.Untuk melukis sudut istimewa tersebut pada bidang polos dapat

menggunakan jangka dan penggaris. Busur derajat digunakan hanya untuk

menggambar atau mengukur sudut.

a. Melukis sudut 900

Langkah-langkah :

a. Buat garis AB

b. Buat busur lingkaran berpusat di titik B sehingga memotong

perpanjangan AB di titik B'

c. Dengan titik A dan B' sebagai pusat, buatlah dua busur lingkaran

berjari-jari sama yang saling berpotongan di luar garis AB' di titik C

d. Hubungkan B dan C, maka ABC = 90o

b. Melukis sudut 450

Langkah-langkah :

a. Buat dua garis saling tegak lurus ( DB AC )

b. Buat busur lingkaran dengan menggunakan jangka dari titik A yang

memotong AC di titik P dan memotong AB di titik Q

c. Buat busur lingkaran dari titik P dan dari titik Q dengan jari-jari yang

sama, sehingga berpotongan di titik R

d. Tarik garis dari titik A ke titik R

e. Garis AR membagi BAC menjadi dua bagian yang sama besar.

CAR = BAR = ½ x 90o = 45o

c. Melukis sudut 600

Langkah-langkah :

a. Buat garis AB

b. Buat busur lingkaran berpusat di titik A dan jari-jari AB

c. Dengan berpusat di titik B dan jari-jari tetap sama, buatlah busur

lingkaran sehingga kedua busur tadi berpotongan di titik C

d. Hubungkan titik A dan titik C, maka

BAC = 60o

d. Melukis sudut 300

Langkah-langkah :

a. Lukis BAC = 60o

b. Buat busur lingkaran dengan menggunakan jangka dari titik A yang

memotong AC di titik P dan memotong AB di titik Q

c. Buat busur lingkaran dari titik P dan dari titik Q dengan jari-jari yang

sama, sehingga berpotongan di titik R

d. Tarik garis dari titik A ke titik R

e. Garis AR membagi BAC menjadi dua bagian yang sama besar

f. CAR = BAR = ½ x 60o = 30o

9. Jenis-jenis Sudut

a. Sudut siku-siku : sudut yang besarnya 900

b. Sudt lancip : sudut yang besarnya kurang dari 900

c. Sudut tumpul : sudut yang besarnya lebih dari 900

B. HUBUNGAN ANTARA SUDUT

1. Sudut Berpelurus

Jika dua sudut berjumlah 1800, maka salah satu sudut merupakan pelurus

sudut yang lain. Pasangan sudut yang demikian disebut pasangan sudut yang

saling berpelurus.

adalah pelurus , sehinggs :

+ = 1800

adalah sudut lurus, berarti dan saling berpelurus.

2. Sudut Berpenyiku

Jika dua sudut berjumlah 900, maka salah satu sudut merupakan penyiku sudut

yang lain. Dua sudut yang demikian disebut pasangan sudut yang saling

berpenyiku.

+ = 900

adalah sudut siku-siku, berarti dan saling

berpenyiku.

3. Sudut Bertolak Belakang

A

4501350

O B

P

550

350

B

C

DA

T

O

F

BD

E

CA

disebut bertolak belakang dengan , demikian juga

bertolak belakang dengan , dan lainnya.

C. MEMBAGI RUAS GARIS

Sebuah ruas garis dapat menjadi dua bagian yang sama panjang dengan

menggunakan garis sumbu. Jika ruas garis akan dibagi menjadi 3 bagian yang

sama maka ikuti langkah-langkah sebagai berikut :

1. Letakkan titik P pada sembarang tempat.

2. Lukis dengan panjang sembarang.

3. Lukis dengan panjang sembarang.

4. Dengan pusat titik p, lukis sebuah busur dengan jangka sehingga busur

tersebut memotong di titik S.

5. Dengan pusat titik S, lukis sebuah busur dengan jangka sehingga busur

tersebut memotong di titik T dan =

6. Dengan pusat titik T, lukis sebuah busur dengan jangka sehingga busur

tersebut memotong di titik U dan =

7. akan dibagi menjadi 3 bagian, kita sudah menapatkan 3 titik (S, T dan U).

Hubungkan titik U dengan titik Q.

8. Dengan pusat titik U dan jari-jari buat busur sehingga memotong di

K.

9. Dengan pusat titik K dan jari-jari buat busur sehingga berpotongan

dengan busur yang pusatnya titik T di titik L.

10. Dengan pusat titik L dan jari-jari buat busur sehingga berpotongan dengan

busur yang pusatnya titik S di titik M.

11. Tarik garis melalui M dan S yang memotong di N.

12. Tarik garis melalui L dan T yang memotong di O.

D. SIFAT SIFAT GARIS SEJAJAR

1. Kedudukan Dua Garis

Dari gambar kubus ABCD.EFGH di atas terdepat beberapa kedudukan garis

yaitu :

a) Garis AB dan EF disebut sejajar, sering ditulis AB EF.

b) Garis AB dan garis AD disebut berpotongan di titik A.

c) Garis AB dan garis CG disebut bersilangan. Garis yang bersilangan tidak

sejajar dan tidak berpotongan.

2. Sifat-sifat Sudut dari Dua Garis Sejajar.

H G

F

DC

BA

E

ba

QP

43

2 1

3 4

2 1 c

Perhatikan garis a dan garis b. garis a b, garis c memotong kedua garis

tersebut berturut-turut di titik P dan Q sehingga terjadi sudut-sudut berikut P1,

P2, P3, P4, Q1, Q2, Q3, Q4.

a) Pasangan-pasangan sudut P1 dan Q1, sudut P2 dan Q2 disebut pasangan

sudut-sudut sehadap.

b) Pasangan-pasangan sudut P1 dan Q3 disebut pasangan sudut dalam

bersebrangan.

c) Pasangan-pasangan sudut P1 dan Q2 disebut pasangan sudut dalam

sepihak.

d) Pasangan-pasangan sudut P2 dan Q4 disebut pasangan sudut luar

bersebrangan.

e) Pasangan-pasangan sudut P2 dan Q1 disebut pasangan sudut luar sepihak.