free powerpoint templates

Free Powerpoint Templates Free Powerpoint Templates

DERIVATIF PARSIAL

YULVI ZAIKA

http://www.powerpointstyles.com/


Free Powerpoint Templates

1.Derivatif Fungsi dua Perubah

Derivatif Parsial.Diketahui z = f(x,y) fungsi dengan dua variabel independen x dan y. Karena x dan y independen maka :

(i ). x berubah-ubah sedangkan y tertentu.(ii). y berubah - ubah sedangkan x tertentu.



Derivatif Fungsi dua Perubah

Definisi 2.1i). Derivatif parsial terhadap perubah x Jika x berubah-ubah dan y tertentu maka z merupakan fungsi

x , derivatif parsial z = f(x,y) terhadap x sbb :

x)y,x()y,xx(lim)y,x(

0xx

fff



Derivatif Fungsi dua Perubah

ii). Derivatif parsial terhadap perubah y Jika y berubah-ubah dan x tertentu maka z merupakan fungsi y, derivatif parsial z = f(x,y) terhadap y sbb :

disebut derivatif parsial z = f (x,y) terhadap y.y

)y,x(f)yy,x(f

0ylim)y,x(yfy

z



Menentukan nilai derivatif

Contoh2.1: Menentukan nilai derivatif menggunakan limit

a. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap x jika

f(x,y) = x2 + 2y Jawab : f(x,y) = x2 + 2y maka

)xx2(lim0x

x2x2

x)y,x()y,xx(lim)y,x(

0xx

fff

x)y2x()y2)xx((lim

22

0x




b. Tentukan derivatif parsial fungsi f terhadap y jika

f(x,y) = x2 + 2y

y)y,x()yy,x(lim)y,x(

0Δyy

fff

y)y2x())yy(2x(lim

22

0Δy

22lim0Δy




Contoh 2.2. Jika z = ln (x2 + y2) tunjukkan bahwa

Jawab : untuk menjawab ini perlu ditentukan terlebih dahulu

Selanjutnya tentukan nilai

yzdan

xz

2yzy

xzx

yzy

xzx



Lanjutan Contoh 2.2.

z = ln (x2 + y2) , derivatif parsial terhadap x dan y

dan

maka :

= = 2

yzy

xzx

22

22

yxx2

x)yxln(

xz

22

22

yxy2

y)yxln(

yz

2222 yxy2y

yxx2x



2. Dreivatif Parsial Tingkat nJika fungsi z = f(x,y) mempunyai derivatif parsial di setiap titik (x,y) pada suatu daerah maka

dan merupakan fungsi x dan y yang mungkin juga mempunyai derivatif parsial yang disebut derivatif parsial tingkat dua. Derivatif parsial tersebut dinya takan sbb:

)y,x(xz

xf

)y,x(yz

yf



Menentukan nilai derivatif parsial tingkat nContoh- 2.3. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk

f(x,y) = x2y – 3xy + 2 x2y2 Jawab : Derivatif parsial tingkat satu fungsi itu

fx(x,y) = 2xy – 3y +4 x y2 fy (x,y) = x2 – 3x + 4 x2y

Jadi derivatif parsial tingkat dua fxx (x,y) = 2y + 4y2 fyy (x,y) = 4 x2 fyx (x,y) = 2x – 3 + 8 x y = 2x + 8 x y – 3

dan fxy (x,y) = 2x – 3 + 8 xy = 2x + 8 xy – 3



3.Diferensial TotalTinjau kembali fungsi

z = f(x,y) ; x dan y perubah bebas. derivatif parsial fungsi tersebut terhadap x

dan y dan

dengan mengambil dx = x dan dy = y. diferensial total dari fungsi z dinyatakan dz

didefinisikan sbb :

),( yxfxz

x

)y,x(yfyz

dyyzdx

xzdz



Diferensial Total n variabel

1. Jika z = f( x1 , x2,…. xn ) maka dz = + + … +

2. Jika f(x1 , x2,…. xn ) = c maka df = 0, catatan x1 , x2,…. xn bukan merupakan variabel

independent.

11

dxxf

22

dxxf

nn

dxxf



Contoh soal diferensial total

Contoh-2.4. Tentukan diferensial total untuk r = s2θ + 3 sθ2

Jawab : Karena r = s2 θ + 3sθ 2

maka

sr

= 2s θ + 3 θ 2 dan

r = s2 + 6sθ

Jadi diferensial total z adalah

dr = dssr

+

dr = (2s θ + 3 θ 2)ds + (s2 + 6sθ )dθ



Contoh soal diferensial total

2.5. Tentukan diferensial total untuk z = )yx(

e22

2

1

Jawab: Karena z = )yx(

e22

2

1

maka

)yx(

xexz

222

1

)yx(

yeyz

222

1

Jadi diferensial total z adalah

dz = dxxz

+ dyyz

= - (x + y) )yx(

e22

2

1



Soal-soal Latihan1. Tentukan fx(x,y) dan fy(x,y) jika

a. f(x,y) = x

2yy

2x

b. f(x,y) = sin (3x + 2y)

c. f(x,y) = arc tan xy

2. Tentukan derivatif parsial tingkat dua untuk z jika

a. z = 22 yx b. z = 2x2 – 5xy + y2

c. z = yx

xy

3. a.

twtentukanmaka

tsy,t/sxdenganxlnyxwJika 22

b.

2;;2,

cos;sinsin;sincos;22

saatpadawtentukanmaka

zyxzyxwJika


free powerpoint templates

Documents