dark water drops - dosen.ikipsiliwangi.ac.id · dasar adalah 12.000 meter persegi. berapa ukuran...

Powerpoint Templates


KONSEP ESSENSIAL MATEMATIKA SM

PERSAMAAN KUADRAT

http://www.powerpointstyles.com/



Kajian Permasalahan

Sebuah perusahaan konstruksi mendapat order pembuatan sebuah gedung pusat perbelanjaan. Menurut rencana, gedung tersebut mempunyai alas berbentuk persegipanjang. Pemesan meminta agar lebar gedung mempunyai selisih 70 meter dengan panjangnya dan luas lantai dasar adalah 12.000 meter persegi. Berapa ukuran panjang dan lebar gedung tersebut ?



Definisi Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat suatu persamaan dimana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua.

Bentuk umum : ax2 + bx + c = 0 Dimana a ≠ 0, a, b, c, Є R Contoh 1. 2x2 + 4x – 1 = 0 dimana a = 2, b = 4, dan c = -1

2. x2 + 3x = 0 dimana a = 1, b = 3, dan c = 0

3. x2 – 9 = 0 dimana a = 1, b = 0, dan c = -9



Menentukan Akar-akar PK

Ada tiga cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar atau menyelesaiakan persamaan kuadrat, yaitu : 1. Metode faktorisasi 2. Metode melengkapkan kuadrat sempurna 3. Rumus kuadrat / rumus abc



Metode faktorisasi

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c =

0 dengan faktorisasi, terlebih dahulu cari dua

bilangan yang memenuhi syarat berikut : 1.Hasil kalinya adalah sama dengan ac 2. Jumlahnya adalah sama dengan b Misalkan dua bilangan tersebut : x1 dan x2 maka:

x1 . x2 = a.c dan x1 + x2 = b



Kasus a = 1

Bentuk umum : x2 + bx + c = 0, kita rubah

menjadi bentuk : (x + x1)(x + x2) = 0 x2 + bx + c = (x + x1)(x + x2) = x2 + x1.x + x2.x + x1.x2

= x2 + (x1 +x2)x + x1.x2

Misalkan dua bilangan di atas adalah : x1 dan x2 maka: x1 . x2 = c dan x1 + x2 = b



Kasus a ≠ 1

Pada kasus a ≠ 1, persamaan ax2 + bx + c = 0,

kita rubah menjadi bentuk : , atau x2 + dx + e = 0, dengan

d = dan e = . Selanjutnya Anda selesaikan seperti kasus a = 1

Agar lebih jelas perhatikan contoh berikut :

0xxac

ab2

ab

ac



Contoh 1

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 – 9 = 0.

Solusi a=1, b = 0, c = -9. kasus 1 kita cari x1 . x2 = -9 dan x1 + x2 = 0, maka x1 = 3 dan

x2 = -3.

x2 - 9 = 0 ⇔ (x + 3)(x – 3) = 0

⇔ x + 3 = 0 atau x – 3 = 0

⇔ x = - 3 atau x = 3

Penyelesaiannya x = -3 atau x = 3



Contoh 2

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 4x - x2 = 0.

Solusi a=-1, b = 4, c = 0. kasus 1 kita cari x1 . x2 = 0 dan x1 + x2 = 4, maka x1 = 4 dan

x2 = 0.

4x - x2 = 0 ⇔ x(4 – x) = 0

⇔ x = 0 atau 4 – x = 0

⇔ x = 0 atau x = 4

Penyelesaiannya x = 0 atau x = 4



Contoh 3

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : x2 - x – 6 = 0.

Solusi a = 1, b = -1, c = -6. kasus 1 kita cari x1 . x2 = -6 dan x1 + x2 = -1, maka x1 = -3

dan x2 = 2.

x2 - x – 6 = 0 ⇔ (x – 3)(x + 2) = 0

⇔ x – 3 = 0 atau x + 2 = 0

⇔ x = 3 atau x = -2

Penyelesaiannya x = 3 atau x = -2



Contoh 4

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 + 3x – 35 = 0.

Solusi a = 2, b = 3, c = -35. kasus 2 kita cari x1 . x2 = dan x1 + x2 = , maka x1 =

dan x2 =

2x2 + 3x – 35 = 0 ⇔ 2(x )(x + ) = 0

⇔ x - = 0 atau x + = 0

⇔ x = atau x = -

Penyelesaiannya x = atau x = -

23

235

27

210

27 2

10

27

210

27

210

27

210



Contoh 5

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat : 2x2 - 5x – 3 = 0.

Solusi a = 2, b = -5, c = -3. kasus 2 ⇔ 2x2 - 5x – 3 = 0

⇔ 2x2 - 6x + x – 3 = 0

⇔ 2x(x - 3) + 1(x - 3) = 0

⇔ (2x + 1)(x - 3) = 0

⇔ 2x + 1 = 0 atau x - 3 = 0

⇔ 2x = -1 atau x = 3

⇔ x = -1/2 atau x = 3



Metode Melengkapkan Kuadrat

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0

dengan melengkapkan kuadrat sempurna

dirubah menjadi bentuk (x + p)2 = q, dengan q ≥ 0.

Langkah-langkah : 1. Pastikan koefisien dari x2 adalah 1, bila belum

bernilai 1 bagilah dengan bilangan sedemikian hingga koefisiennya adalah 1.

2. Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan setengah koefisien dari x, kemudian kuadratkan

3. Buatlah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas kanan disederhanakan.


Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk

(x + p)2 = q, dengan q 0

Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan

bentuk persamaan yang terakhir.

(x + p) = , atau x = -p

q q

Contoh soal Tentukan nilai x dari persamaan x2 – 2x – 2 = 0

Penyelesaian :

x2 – 2x + 1 + (-1) – 2 = 0

(x – 1)2 – 3 = 0

(x – 1)2 = 3

(x – 1)2 =

x – 1 = atau x – 1 = -

x1 = 1 + atau x =1 -

jadi HP = {1 – , 1 + }

3

33

33

33

Rumus abc (Al-khawarizmi)

Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx +

c = 0 adalah dengan menggunakan rumus kuadrat atau sering

disebut rumus abc.

Rumus persamaan kuadrat dapat diperoleh dengan cara

sebagai berikut : (cobalah melengkapi)

ax2 + bx + c = 0

ax2 + bx = - c

2

22

4a

4acb

2a

bx

Rumus abc (Al-khawarizmi)

Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0

Maka

2a

4acbbx

2

12


Contoh 6


Solusi a=1, b = 0, c = -9. (karena nilai b tidak ada maka

persamaan tersebut di ubah menjadi)

x2 - 9 = 0 ⇔ x2 = 9

⇔ x = ±√9

⇔ x = ± 3

⇔ x = - 3 atau x = 3




Contoh 7


Solusi a=-1, b = 4, c = 0. 4x - x2 = 0 ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔(½.b)2 = (½.4)2 = 4 ⇔ x2 - 4x + 4 = 0 + 4

⇔ (x – 2)2 = 4

⇔ (x – 2) = ±√ 4

⇔ x – 2 = 2 atau x – 2 = - 2

⇔ x = 2 + 2 atau x = -2 + 2

⇔ x = 4 atau x = 0




Contoh 8


Solusi a = 1, b = -1, c = -6. x2 - x – 6 = 0 ⇔ x2 - x = 6 ⇔(½.b)2 = (½.1)2 = ¼

⇔ x2 - x + ¼ = 6 + ¼

⇔ (x - ½)2 = 6¼

⇔ (x - ½) = ±√25/4

⇔ x - ½ = ±5/2

⇔ x - ½ = 5/2 atau x - ½ = - 5/2

⇔ x = 5/2 + ½ atau x = - 5/2 + ½

⇔ x = 6/2 atau x - ½) = - 4/2

Penyelesaiannya x = 3 atau x = -2



Contoh 9


Solusi a = 2, b = 3, c = -35. Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna ! Apakah hasilnya sama dengan menggunakan metode memfaktorkan !



Contoh 10


Solusi a = 2, b = -5, c = -3. Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna ! Apakah hasilnya sama dengan menggunakan metode memfaktorkan !



Rumus kuadrat / abc

Untuk menyelesaikan persamaan ax2 + bx + c = 0

dengan rumus kuadrat/abc maka : Atau dan

a

acbbx

2

42

2,1

a

acbbx

2

42

1

a

acbbx

2

42

2



Contoh 11


Solusi a=1, b = 0, c = -9.

⇔

⇔ ⇔

⇔ dan


a

acbbx

2

42

2,1

1.2

)9.(1.400 2

2,1

x

2

3602,1

x

2

602,1

x

32

601

x 3

2

602

x



Contoh 12


Solusi a=-1, b = 4, c = 0.

⇔

⇔ ⇔

⇔ dan


a

acbbx

2

42

2,1

)1.(2

0).1.(444 2

2,1

x

2

01642,1

x

2

442,1

x

02

0

2

441

x 4

2

8

2

442

x



Contoh 13


Solusi a = 1, b = -1, c = -6. Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat/ rumus abc ! Apakah hasilnya sama dengan cara memfaktorkan dan melengkapkan kuadrat !



Contoh 14


Solusi a = 2, b = 3, c = -35. Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat/ rumus abc ! Apakah hasilnya sama dengan cara memfaktorkan dan melengkapkan kuadrat !



Contoh 15


Solusi a = 2, b = -5, c = -3. Coba Anda cari hasil akar-akarnya dengan menggunakan rumus kuadrat/ rumus abc ! Apakah hasilnya sama dengan cara memfaktorkan dan melengkapkan kuadrat !



Latihan

Jika salah satu akar dari persamaan x^2-4x+c=0 adalah 2, maka

nilai c adalah….

Jika akar akar dari persamaan ax^2+bx+c=0 adalah -1 dan 3,

carilah nilai a,b dan c

Selamat Mencoba



Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Jenis-jenis akar persamaan kuadrat bergantung pada nilai D = b2 – 4ac. D disebut diskriminan. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai D. a. Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai

dua akar real yang berbeda b. Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai

dua akar real yang sama atau akar kembar c. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai

akar tidak real (imajiner)



Contoh 16

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari x2 – 9 = 0.

Jawab a=1, b = 0, c = -9. ⇔ D = b2 – 4ac

⇔ D = 02 – 4.1.(-9)

⇔ D = 0 + 36

⇔ D = 36

Jadi D = 36, maka nilai D > 0, sehingga mempunyai

dua akar real yang berbeda.



Contoh 17

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari 4x - x2 = 0.

Jawab a=-1, b = 4, c = 0. ⇔ D = b2 – 4ac

⇔ D = 42 – 4.(-1).0

⇔ D = 16 – 0

⇔ D = 16 Jadi D = 16, maka nilai D > 0, sehingga mempunyai

dua akar real yang berbeda.



Contoh 18

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari x2 + x + 3 = 0.

Solusi a = 1, b = 1, c = 3. ⇔ D = b2 – 4ac

⇔ D = 12 – 4.1.3

⇔ D = 1 – 12

⇔ D = -11 Jadi D = -11, maka nilai D < 0, sehingga tidak

mempunyai akar real (akar imajiner).



Contoh 19

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari x2 + 10x + 25 = 0.

Solusi a = 1, b = 10, c = 25. ⇔ D = b2 – 4ac

⇔ D = 102 – 4.1.25

⇔ D = 100 – 100

⇔ D = 0 Jadi D = 0, sehingga mempunyai dua akar sama atau

akar kembar.



Contoh 20

Selidiki jenis akar-akar Persamaan Kuadrat dari 2x2 - 5x – 3 = 0.

Solusi a = 2, b = -5, c = -3. Coba Anda cari jenis akar-akar persamaan kuadrat seperti contoh sebelumnya !



Rumus Jumlah & Hasil Kali PK

Akar-akar persamaan kuadrat : dan Jika kedua akar tersebut dijumlahkan, maka :

X1 + X2 = + = Jika kedua akar tersebut dikalikan, maka :

X1 . X2 = . =

a

acbbx

2

42

2

a

acbbx

2

42

1

2a

4acbb 2

2a

4acbb 2

a

b

2a

4acbb 2

2a

4acbb 2

a

c



Contoh 21

Jika X1 dan X2 akar-akar Kuadrat dari x2 – 9

= 0. Tentukan :

a. X1 + X2 = b. X1 . X2 = c. = Penyelesaian a=1, b = 0, c = -9. a. X1 + X2 = b. X1 . X2 =

⇔ ⇔

2

2

2

1 xx

a

b

01

0

a

c

91

9-



Penyelesaian c

c. Penyelesaian a=1, b = 0, c = -9.

⇔ (0)2 – 2(-9)

⇔ 0 + 18

⇔ 18

2

2

2

1 xx

2

2

2

1 xx 21

2

21 x2xxx



Contoh 22

Jika X1 dan X2 akar-akar Kuadrat dari 4x - x2

= 0. Tentukan :

a. X1 + X2 = b. X1 . X2 = c. = Penyelesaian a=-1, b = 4, c = 0.

a. X1 + X2 = b. X1 . X2 =

⇔ ⇔

2

2

2

1 xx

a

b

4(-1)

4

a

c

0(-1)

0



Penyelesaian c

c. Penyelesaian a=-1, b = 4, c = 0.

⇔ (4)2 – 2(0)

⇔ 16 – 0

⇔ 16

2

2

2

1 xx

2

2

2

1 xx 21

2

21 x2xxx



Contoh 23 dan Contoh 25

Contoh 23. Jika X1 dan X2 akar-akar Kuadrat dari x2 + x + 3 = 0. !

Contoh 25. Jika X1 dan X2 akar-akar Kuadrat dari x2 + 10x + 25 = 0. !

Masing-masing contoh coba Anda cari :

a. X1 + X2 = b. X1 . X2 = c.

2

2

2

1 xx



Latihan

1. Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 6x - 5

= 0, maka x12 + x22 adalah.....

2. Akar-akar persamaan 2x2 - 6x - p = 0 adalah x1 dan x2. Jika

x1 - x2 = 5, maka nilai p adalah.....

Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x2 - 9x + 4 = 0

adalah.....

3. Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 6x - 5

= 0, maka x12 + x22 adalah.....

4. Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 - 5x + 9

= 0, maka x13 + x23 sama dengan.....

Selamat Mencoba


dark water drops - dosen.ikipsiliwangi.ac.id · dasar adalah 12.000 meter persegi. berapa ukuran...

Documents