SILABUS

1. Identitas Mata Kuliah

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Nomor Kode : MT 306

Jumlah SKS : 3

Semester : 1 (Satu)

Kelompok Mata Kuliah : MKK

Program Studi/ Jenjang : Pendidikan Matematika/ S-1

2. Tujuan

Mahasiswa menguasai semua topik yang terdapat dalam mata kuliah Kapita Selekta

Matematika I sebagai latar belakang untuk mengajarkan matematika di sekolah dan

sebagai dasar pengembangan untuk mata kuliah selanjutnya.

3. Deskripsi Isi

Perkuliahan ini dimaksudkan untuk memantapkan penguasaan para mahasiswa

terhadap konsep-konsep dasar matematika SMP. Mata kuliah ini membahas tentang

materi matematika SMP yang esensial yang meliputi: Bilangan bulat, operasi pada

bilangan bulat, dan sifat-sifat operasi bilangan bulat, Bilangan Pecahan, Bilangan

pecahan, operasi bilangan pecahan, dan sifat-sifat operasi bilangan pecahan masalah,

Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB bentuk aljabar, Operasi Hitung

bentuk Aljabar, Kalimat terbuka, Persamaan linear satu variabel, Pertidaksamaan

linear satu variabel, Nilai keseluruhan dan nilai per unit, Uang dalam perdagangan,

persentase untung rugi, Bunga tunggal dan pajak(Aritmatika Sosial), Pengertian

perbandingan, perbandingan senilai, Perbandingan berbalik nilai, Grafik perbandingan

dua besaran, Himpunan dan unsur-unsurnya, Garis-garis sejajar, Hubungan sudut-

sudut pada dua garis sejajar, Melukis dan membagi sudut, Segi empat, segitiga,

Menghitung besaran-besaran pada segitiga, Menyelesaikan bentuk aljabar,

Menentukan faktor-faktor suku aljabar, Menyelesaikan operasi pecahan bentuk

aljabar, Relasi, menyatakan bentuk fungsi, Menghitung nilai fungsi, Persamaan garis

lurus, Gradien suatu garis lurus, Kedudukan dua garis lurus, Membuat persamaan

garis lurus, Jarak dan titik tengah garis lurus, Persamaan linear satu variabel,

Persamaan linear dua variabel, Ssistem persamaan linear dua variabel, Unsur-unsur

dalam teorema pythagoras, Menentukan teorema pythagoras, Penerapan

teoremapythagoras, Menentukan panjang garis tinggi.

4. Metode/ Pendekatan Pembelajaran

Reciprocal teaching, diskusi, seminar, dan tanya jawab

5. Evaluasi

Kompetensi yang dicapai oleh mahaiswa diukur melalui tes tertulis pada UTS dan

UAS

6. Rincian Materi

Pertemuan ke-1 : Bilangan bulat, operasi pada bilangan bulat, dan

sifat-sifat operasi bilangan bulat, Bilangan

Pecahan

Pertemuan ke-2 : Bilangan pecahan, operasi bilangan pecahan, dan

sifat-sifat operasi bilangan pecahan masalah

Pertemuan ke-3 : Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB

bentuk aljabar, Operasi Hitung bentuk Aljabar

Pertemuan ke-4 : Kalimat terbuka, Persamaan linear satu variabel,

Pertidaksamaan linear satu variabel

Pertemuan ke-5 : Nilai keseluruhan dan nilai per unit, Uang dalam

perdagangan, persentase untung rugi, Bunga

tunggal dan pajak(Aritmatika Sosial)

Pertemuan ke-6 : Pengertian perbandingan, perbandingan senilai,

Perbandingan berbalik nilai, Grafik perbandingan

duabesaran.

Pertemuan ke-7 : Himpunan dan unsur-unsurnya

Pertemuan ke-8 : Ujian Tengah Semester

Pertemuan ke-9 : Garis-garis sejajar, Hubungan sudut-sudut pada

dua garis sejajar, Melukis dan membagi sudut

Pertemuan ke-10 : Segi empat, segitiga, Menghitung besaran-besaran

pada segitiga

Pertemuan ke-11 : Menyelesaikan bentuk aljabar, Menentukan faktor-

faktor suku aljabar, Menyelesaikan operasi

pecahan bentuk aljabar

Pertemuan ke-12 : Relasi, menyatakan bentuk fungsi, Menghitung

nilai fungsi

Pertemuan ke-13 : Persamaan garis lurus, Gradien suatu garis lurus,

Kedudukan dua garis lurus, Membuat persamaan

garis lurus, Jarak dan titik tengah garis lurus

Pertemuan ke-14 : Persamaan linear satu variabel, Persamaan linear

dua variabel, Ssistem persamaan linear dua

variabel,

Pertemuan ke-15 : Unsur-unsur dalam teorema pythagoras,

Menentukan teorema pythagoras, Penerapan

teoremapythagoras, Menentukan panjang garis

tinggi

Pertemuan ke-16 : Ujian Akhir Semester

7. Daftar Buku

a. Sukino dan Simangunsong, W., (2006). Matematika SMP Kelas VII, Jakarta:

Erlangga..

b. Sukino dan Simangunsong, W., (2006). Matematika SMP Kelas VIII, Jakarta:

Erlangga..

c. Wahyudin, (2001). Matematika untuk SLTP Kelas 1, Bandung: Epsilon

d. Wahyudin, (2001). Matematika untuk SLTP Kelas 2, Bandung: Epsilon

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 1 (satu)

Pokok Bahasan : Bilangan bulat, operasi pada bilangan bulat, dan sifat-sifat

operasi bilangan bulat, Bilangan Pecahan

A. Pengertian Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan bilangan negatif.

Bilangan cacah = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...

Bilangan negatif = -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ....

Jadi pengertian bilangan bulat = ... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Keterangan : (titik tiga kali artinya "dan seterusnya")

Semua bilangan dapat dikatakan sebagai bilangan bulat jika bilangan itu tidak ada

tanda koma (,) dan pecahan.

Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan dengan Z (yang berasal dari kata

Zahlen, bahasa Jerman yang artinya bilangan).

Bilangan-bilangan lainnya:

• Bilangan Asli = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

• Bilangan Genap = 2, 4, 6, 8, 10, ...

• Bilangan Ganjil = 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

• Bilangan Prima = 1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...

• Bilangan Desimal = semua bilangan yang memakai tanda koma (,) seperti: 0,5 atau 7,2

dan lain-lain.

• Bilangan Pecahan = semua bilangan yang memakai tanda pecahan (/) seperti 1/2 atau

4/5 dan lain-lain.

B. Operasi pada Bilangan Bulat

Terdapat enam operasi hitung bilangan bulat dan disebut sebagai aturan PEMDAS:

1) Parenthesis (tanda kurung).

2) Exponent (pangkat dan akar).

3) Multiplication (perkalian).

4) Division (pembagian).

5) Addition (penjumlahan).

6) Subtract (pengurangan).

Sesuai dengan urutan di atas, perhitungan yang menggunakan tanda kurung harus

didahulukan terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan pangkat, perkalian, pembagian,

penjumlahan, dan pengurangan. Antara perkalian dan pembagian bisa didahulukan salah

satunya, begitu pula dengan penjumlahan dan pengurangan. Tetapi, perkalian dan pembagian

harus didahulukan, kemudian penjumlahan dan pengurangan.

C. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat.

1) Sifat tertutup, untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga

bilangan bulat.

2) Sifat komutatif, untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

3) Sifat asosiatif, untuk setiap bilangan bulat a, b dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

4) Mempunyai unsur identitas, untuk sembarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 =

0 +a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

5) Mempunyai invers, untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (-a) = (-a) + a = 0.

Invers dari a adalah -a, sedangkan invers dari -a adalah a.

Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka

Jika p dan q bilangan bulat maka

Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

1) tertutup terhadap operasi perkalian;

2) komutatif: p x q = q x p;

3) asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);

4) distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r);

5) distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat pberlaku p x 1 =

1 x p = p.

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.

Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda

kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

1) Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak

di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

2) Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di

sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

3) Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+)

dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan

terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Latihan:

1. Dapatkah kamu memikirkan suatu cara yang paling mudah intuk mengalikan suatu

bilangan dengan 25?

Kalikan bilangan-nilangan berikut dengan 25.

a. 4895 c. 3791

b. 7862 d. 482412

2. Diketahui perbandingan dua bilangan adalah 4:5. Apabila jumlah kedua bilangan

itu sama dengan 36, tentukan:

a. Bilangan terkecil

b. Selisih kedua bilangan itu

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 2 (dua)

Pokok Bahasan : Bilangan pecahan, operasi bilangan pecahan, dan sifat-sifat

operasi bilangan pecahan masalah

A. Pengertian Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ditampilkan dalam bentuk: ; a, b

bilangan bulat dan b≠0.a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Contoh :

Dua buah mangga dibagikan seorang ibu kepada 3 orang anaknya. Berapa bagian yang

didapatkan oleh setiap anaknya?

Jawab:

Masing-masing anaknya memperoleh bagian.

B. Bentuk dan Jenis Pecahan

a. Pecahan Biasa

Contoh: ,

b. Pecahan campuran

Contoh:

c. Pecahan desimal

Contoh: 0,3 ; 0,25

d. Persen ( perseratus)

Contoh: 30% =

e. Permil (perseribu)

Contoh: 20‰ =

C. Pecahan Senilai

Apabila pembilang dan penyebut dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama

Contoh:

1.

D. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk Lain

a. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan campuran (dapat dilakukan apabila

pembilang lebih besar dari penyebut)

Contoh: dibagi 3 didapatkan 1 dengan sisa kelebihan

b. Mengubah pecahan campuran menjadi pecahan biasa

Contoh: caranya : hasil perkalian 4x5 ditambahkan 2 hasilnya 22

c. Mengubah pecahan biasa menjadi pecahan desimal

d. Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan biasa

e. Mengubah pecahan desimal menjadi pecahan campuran

f. Mengubah pecahan biasa ke dalam bentuk persen dan permil

g. Mengubah persen dan permil ke dalam bentuk pecahan biasa

E. Menyederhanakan Pecahan

Bentuk pecahan dapat disederhanakan dengan cara membagi pembilang dan penyebut

dengan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB).

Contoh: Sederhanakan pecahan

Jawab:

1.

FPB dari 9 dan 15 adalah 3

Sehingga

2.

FPB dari 18 dan 45 adalah 9

F. Membandingkan Dua Pecahan

Hubungan antara dua pecahan dapat ditentukan dengan menyamakan penyebut dari

keduapecahan tersebut (dicari KPK dari kedua penyebutnya):

G. Operasi Pada Pecahan

a. Penjumlahan

Penjumlahan antara dua pecahan atau lebih dilakukan dengan menggunakan KPK dari

kedua atau lebih penyebutmya.

1. Jika penyebutnya sama:

ab+ c

b=a+c

b dengan syarat apabila b≠0

2. Jika penyebutnya tidak sama:

ab+ c

d= a+c

kpk (bdand) Syarat b dan d ≠ 0

b. Pengurangan

1. Jika penyebutnya sama:

ab− c

b=a−c

b dengan syarat apabila b ≠ 02. Jika penyebutnya tidak sama :

ab− c

d=

(axd )−(cxb )bxd Syarat b dan d ≠ 0

c. PerkalianPerkalian antara dua pecahan atau lebih dilakukan dengan mengalikan pembilang

dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

ab

x cd= axc

bxd dengan syarat b dan d ≠ 0d. Pembagian

Pembagian bisa disebut sebagai perkalian dengan kebalikan dari pembaginya

a :b=ax 1b

; dengan b ≠ 0

ab

: cd=a

bx d

c ; dengan b,c dan d ≠ 0e. Pemangkatan

( ab )

n

= ab

x ab

x .. . x ab

sebanyak n faktor

dengan syarat b ≠ 0

Latihan:

1. Apabila massa satu atom hidrogen 1,7x10-27 kg, berapakah massa 4.500 atom

hidrogen? (nyatakan jawabanmu dalam bentuk baku)

2. Ayah memberikan uang Rp. 50.000 kepada Nadi dan Dina. Nadi mendapat

1925

bagian dan Dina sisanya.

a. Berapa bagian yang didapat massing-masinganak?

b. Bila Nadi membelanjakan

25 bagian dari uangnya, berapakah sisanya?

c. Bila Dina membelanjakan 60% uangnya, berapak sisanya?

3. Susunlah pecahan berikut dari kecil ke besar!

a.

−710

, 5−8

, 2−3

b.

1114

,1619

,1621

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 3 (satu)

Pokok Bahasan : Bentuk aljabar san unsur-unsurnya, KPK dan FPB bentuk

aljabar, Operasi Hitung bentuk Aljabar

A. Bentuk aljabar dan unsur-unsurnyaPerhatikan ilustrasi berikut:

Bayak boneka rika 5 lebihnya dari boneka Desi. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan

x maka banyak boneka rika inyatakan dengan x +5. Jikaa boneka Desy sebanyak 4 buah

maka boneka Rika sebanyak 9 buah.

Bentuk seperti (x+5) disebut bentuk aljabar.

Bentuk ajabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat

hurup-hurup untuk mewakili bilangan-bilangan yang belum diketahui.

variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya, variabel

disebut juga peubah, yang dilambangkan dengan huruf kecil : a,b, c , … , z

- Konstanta adalah suku dari bentuk aljabar yang berupa bilangan (angka), yang tidak

memuat variabel

- Suku adalah variabel beserta koefisien pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh tanda

penjumlahan ( + ) atau selisih ( - ).

- Koefisien adalah bilangan ( angka )didepan variabel (koefisien bisa positif atau negatif ).

- Pangkat atau eksponen adalah angka diatas variabel :

Contoh: (variabel, konstanta, suku, koefisien,pangkat )

- suku satu : 4a

- suku dua : 5a + 7b

- suku tiga : 5a + 7b – 9

- Perhatikan Bentuk Aljabar Berikut :

5a2 – 3a + 7b -9, ( terdiri dari 4 suku )

- suku ke-1 = 5a2, ( 5 disebut koefisien dari variabel a2 )

- suku ke-2 = -3a, ( -3 disebut koefisien dari variabel a )

-suku ke-3 = 7b, ( 7 disebut koefisien dari variabel b )

- suku ke-4 = -9 , ( -9 disebut konstanta )

B. KPK dan FPB dari bentuk aljabar

- KPK : merupakan hasil kali faktor – faktor prima da variabel ( faktor prima dan

Variabel yang sama diambil pangkat yang terbesar )

Contoh : Tentukan KPK dari 20a2b dan 30ab2c

Jawab : 20a2b = 22 x 5 x a2 x b

30ab2c = 2 x 3 x 5 xa x b2xc

Jadi KPK dari 20a2b dan 30ab2c , adalah , 22 x 3 x 5 x a2 = 60a2b2c

- FPB : merupakan hasil kali faktor – faktor prima da variabel yang sama dan

diambil pangkat yang terkecil.

Contoh : Tentukan FPB dari 20a2b dan 30ab2c

Jawab : Dari uraian diatas tampak dengan jelas FPB nya = 2 x 5 a xb = 10ab.

C. Operasi Hitung Pada Bentuk Aljabar

a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Pada bentuk aljabar operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan pada suku–

suku yang sejenis (yang dijumlah hanya koefisiennya saja).

Contoh : Tentukan hasil penjumlahan dari : 10a – 8b + 1 + 2a + 11b – 5

Jawab : (10 +2 )a + ( -8 + 11 )b + ( 1 – 5 )

= ( 12 )a + ( 3 )b + ( -4 )

= 12a +3b – 4 .

b. Operasi Perkalian

Pada bentuk aljabar operasi perkalian yang dikali koefisien dengan koefisien,

dan variabel yang sama pangkatnya dijumlah.

(1) Perkalian bilangan dengan suku banyak .

Contoh : 4 ( 5a – 3b + 2 ) = 4 (5a ) + 4 (-3b ) + 4 ( 2 ) = 20a – 12b + 8

(2) Perkalian suku dua dengan suku dua

Contoh :

( 2a – 5 ) ( 3a + 4 ) = 2a (3a + 4 )-5 (3a + 4 )

= 6a2 + 8a – 15a – 20

= 6a2 – 7a – 20

( 3m -4n ) ( 2m – 5n )= 3m (2m -5n )-4n ( 2m – 5n )

= 6m2 – 15mn -8mn + 20n2

= 6m2 – 23mn + 20n2

c. Operasi Pembagian

Pembagian bentuk aljabar dilakukan dengan membagi koefisien dengan koefisien dan

variabel yang sama pangkatnya dikurangi.

Contoh :

. 24a5b3c : 8a2bc = 3a3b2

. 35m4n2 : ( -7mn ) = -5m3n

D. Pemangkatan Bentuk Aljabar

Pada pemangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan dengan

Segitiga pascal .

1 ……… (a + b)0 , baris ke-1

1 1 ……… (a + b)1 , baris ke-2

1 2 1 ……… (a +b)2 , baris ke-3

1 3 3 1 ……… (a + b)3 , baris ke-4

1 4 6 4 1 ……… (a + b)4 , baris ke-5

1 5 10 10 5 1 ……… (a + b)5 , baris ke-6

1 6 15 20 15 6 1 ……… (a + b)6 , baris ke-7

………….. dan seterusnya …………….. ……… (a + b)n-1 ,baris ke-n

Contoh : Tentukan hasil perpangkatan berikut:

. ( a + b )2 = 1(a)2 + 2(a)1(b)1 +1(b)2

. ( a + b )4 = 1(a)4 + 4(a)3(b) + 6(a)2(b)2 + 4(a)(b)3 + 1(b)4

. ( 2m + 3n )3 = 1(2m)3 + 3(2m)2(3n) + 3(2m)(3n)2 + 1(3n)3

= 1(8m3) + 3(4m2)(3n) + 3(2m)(9n2) + 1(27n3)

= 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3

E. Kuadrat ( pangkat dua ) dari suku tiga

( x + y + z )2 = (x)2+(y)2+(z)2+2(x)(y)+2(x)(z)+2(y)(z)

F. Operasi Hitung Pecahan Pada Bentuk Aljabar

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan, dilakukan dengan syarat menyamakan

penyebut ( mencari KPK dari penyebut )

Contoh :

·

2b3

+ 4 b5

=10 b15

+12 b15

=22 b15

·

54 a

− 38 b

=10 b8 ab

− 3 a8 ab

=10 b−36 a8 ab

b. Opersi perkalian, dengan mengalikan pembilang dengan pembilang.

c. Operasi Pembagian, dengan mengalikan kebalikan dari penyebut.

Latihan:

1. Tentukan koefisien dari : a2 , a , ab , b , b2, m2 , mn , dan n2 .

a. 7a2 – 11ab – a + 9b – 5b2 c. 22m2 + 25mn – 31n + 18

b. -10a2 + 6a – ab + 15b - 8 d. –m2 – 7n2 + 6mn – 14n – 5

2. Tentukan suku – suku sejenis bentuk berikut :

a. 4a2 – 3ab + b – 11 dan 19a2 – 2ab – 16b – 3

b. 2a3 + 7a2 – ab + b2 + 25 dan 8a2 – 9b2 + 2ab – 4b

c. 9x4 + 8x3 + 10x2y – 12xy2 dan -17x4 + yx2 – x2y2 + 4xy2

d. -15m2n2 + 14m2n – mn – 24 dqan -20m2n2 – 25m2n – 30nm + 35

3. Sederhanakan!

a. 23ab – 25ac + 19bc – 21 – 20ba – 20ac + 11bc + 29

b. a2b3 + 17a2b2 – a2b + 8 + 4a2b3 – 25b2a2 – 19ba2 – 20

c. 54m3n – 67mn2 – 43mn -75m3n – 19mn2 -37nm + 13

d. -21xyz – 16xy + 9xz – 24yz + 22yxz – 19xy + 13yz

4. Tentukan hasil penjumlahan berikut :

a. 12a + 16ab – 19 dan -25a – 33ab + 41

b. 47a3 – 56a2 + 78a dan 29a3 + 44a2 – 55a

c. 6( 3m – 5n + 7 ) dan -4( 9m + 8n – 13 )

d. 4x( 7xy + 9yz ) dan 9x( 5xy – 8yz )

5. Tentukan hasil pengurangan berikut :

a. 10a – 15b – 9 dari 13a – 8b – 14

b. 7( 2a + 4b – 5 ) dari 4( 5a – 6b – 3 )

c. 27m + 18n – 11 dari 6( 4m + 5n – 22 )

d. 9( 6x – 4y ) – 38 dari 5( 12x – 8y – 7 )

6. Tentukan FPB dari :

a. 36a3b4c2 dan 90a2bc2

b. 256x4y3z2 ; 120x2y2z3 dan 196x3y4z5

7. Tentukan hasil dari :

a. 6a2b x ( -7a3b4c )

b. 4a4b3 x 12a3b5c : 8a5b

c. 20m8n5 : ( -5m6n4 ) x ( -3m3n )

8. Tentukan hasil dari :

a. ( 2a + 3b + 4c )2

b. ( 5x + 2y – 3z )2

c. ( 3ab – 4ac – 5bc )2

9. Panjang sisi – sisi sebuah segitiga ( 2x + 2 ) cm , ( x + 4 ) cm, dan ( 3X – 6 ) cm. Susunlah

persamaan dalam x , yang menyatakan kelilingnya .

10.Sebuah persegi panjang memilik panjang ( 2x + 8 ) cm dan lebar ( 3x – 4 ) cm. Jika

kelilingnya 68 cm .

a. Susunlah persamaan dalam x , yang menyatakan kelilingnya.

b. Tentukan nilai x.

c. Tentukan luasnya.

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 4 (empat)

Pokok Bahasan : Kalimat terbuka, Persamaan linear satu variabel,

Pertidaksamaan linear satu variabel.

A. Kalimat Pernyataan

Perhatikan kalimat berikut ini :

a. Banyak pemain sepak bola dalam satu tim ada 11 orang

b. Mata uang negara Inggris adalah Dollar

c. Balok merupakan bangun ruang

d. 13 adalah bilangan prima

e. −8<3

f.

34+ 6

7= 9

11

g. Bilangan genap dikalikan dengan bilangan ganjil hasilnya

Manakah diantara kalimat di atas yang benar ? mana yang salah ?

Kalimat yang sudah bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat pernyataan.

Kalimat Terbuka

Masalah buku

Suatu hari Ricki mambawa sebuah tas yang berisi buku. Sebelum tas dibuka Ricki berkata

pada temannya ”banyak buku dalam tas ada 9 buah”. Bagaimana pendapatmu tentang ucapan

Ricki ?,benar atau salah ?

Kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya dinamakan kalimat terbuka. ” suatu

bilangan ” pada kalimat di atas belum diketahui nilainya. Dalam matematika, sesuatu yang

belum diketahui nilainya dinamakan variabel atau peubah. Biasanya disimbolkan dengan

huruf kecil x, y, a, n atau bentuk yang lain. ” 9 dikurangi suatu bilangan hasilnya adalah 5”.

Jika suatu bilangan diganti dengan x, maka kalimat itu dapat ditulis dalam simbol matematika

9 – x = 5.

B. Pengertian Persamaan Linear

Masalah 1 :

Sherly membeli pensil sebanyak 20 buah

a. Sampai dirumah, adiknya meminta beberapa pensil, ternyata pensilnya sisa 17 buah, berapa

pensil yang diminta adikny ?

b. Jika Sherly membutuhkan 8 pensil, dan sisanya dibagikan rata kepada keempat adiknya.

Berapapensil yang diterima oleh masing- masing adiknya ?

Pada masalah di atas :

a. Jika banyak pensil yang diminta oleh adik Sherly dimisalkan x buah, maka diperoleh

kalimat : 20 – x = 17

¨ Manakah variabel atau peubah pada kalimat itu ?

¨ Ada berapa variabelnya ?

¨ Apakah 20 – x = 17 merupakan kalimat terbuka ?

¨ Pada kalimat 20 – x = 17 mengunakan tanda hubung ” = ”

¨ Pada kalimat 20 – x = 17 pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu.

Kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung ” = ” disebut persamaan.

Jika pangkat tertinggi dari variabel suatu persamaan adalah satu maka persamaan itu

disebut persamaan linear.

Persamaan linear yang hanya memuat satu variabel disebut persamaan linear satu variabel

(PLSV). Jadi 20 – x = 17 merupakan salah satu contoh PLSV

b. Jika banyak pensil yang diperoleh masing- masing adik Sherly dimisalkan n, maka

diperoleh persamaan 8 + 4n = 20

¨ Jika n diganti dengan 5, maka kalimat itu menjadi : 8 + 4(5) = 20. Dan bernilai salah

¨ Jika n diganti dengan 3, maka kalimat itu menjadi : 8 + 4(3) = 20. Dan bernilai benar

Penggnti n supaya 8 + 4n = 20 menjadi benar adalah 3

Pengganti dari variabel ( peubah ) sehingga persaman menjadi benar disebut Penyelesaian

persamaan, sedangkan himpunan yang memuat semua penyelesaian disebut himpunan

penyelesaian

TUGAS 1

1. Manakah yang merupakan PLSV ? Berikan alasan !

a. 2x + 6 = 10 e. 5u2 = 80

b. -3y + 8 = -7 f. 3x2 + 2x + 8 = 12

c. 3a – 6 = 2a + 9 g. 4 ( 2t – 5 ) = 3t + 10

d. 4x – 7 = 2y + 1 h. x -3 = x – 3

Pada tugas 1h. x – 3 = x – 3, bukan kalimat terbuka karena untuk x berapapun akan

bernilai benar.

Kalimat x – 3 = x – 3 disebut kesamaan

C. Menyelesaikan Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Himpunan Penyelesaian (HP) adalah himpunan dari penyelesaian-penyelesaian suatu

persamaan .

Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian dan himpunan penyelesaian dari suatu

persamaan linier satu variable , yaitu :

a. Subtitusi ;

b. Mencari persamaan-persamaan yang ekuivalen

Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen, dengan cara :

a. Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama

b. Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan bukan nol yang sama.

Contoh:

Perhatikan persamaan 6x – 3 = 2x + 1 dengan x variable pada himpunan bilangan bulat.

Untuk menentukan penyelesaian dari persamaan tersebut, dapat dilakukan dengan

menyatakannya ke dalam persamaan yang ekuivalen, yaitu sebagai berikut :

Jawab :

6x – 3 = 2x + 1

6x – 3 + 3 = 2x + 1+3

6x = 2x + 4

6x – 2x = 4

4x = 4

x = 1

jadi himpunan pnyelesaiannya adalah 1

D. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel (PLSV)

1. Pertidaksamaan Linier Satu Variabel

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan lambing <, >, ≥, dan ≤ .

Contohnya bentuk pertidaksamaan : y + 7 < 7 dan 2y + 1 > y + 4

Pertidaksamaan linier dengan satu variable adalah suatu kalimat terbuka yang hanya

memuat satu variable dengan derajad satu, yang dihubungkan oleh lambang <, >, ≥, dan

≤. Variablenya hanya satu yaitu y dan berderajad satu. Pertidaksamaan yang demikian

disebut pertidaksamaan linier dengan satu variable (peubah).

2. Menentukan Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Satu variable

Sifat- sifat pertidaksamaan adalah :

a. Jika pada suatu pertidaksamaan kedua ruasnya ditambah atau dikurang dengan bilangan

yang sama, maka akan diperoleh pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan

pertidaksamaan semula

b. Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan positif , maka akan diperoleh

pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula

c. Jika pada suatu pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif , maka akan diperoleh

pertidaksamaan baru yang ekuivalen dengan pertidaksamaan semula bila arah dari

tanda ketidaksamaan dibalik

d. Jika pertidaksamaannya mengandung pecahan, cara menyelesaikannya adalah

mengalikan kedua ruasnya dengan KPK penyebut-penyebutnya sehingga penyebutnya

hilang .

Contoh 1 :

1. Tentukan himpunan penyelesaian 3x – 7 > 2x + 2 jika x merupakan anggota {1,2,3,4,

… ,15}

Jawab :

3x – 7 > 2x + 2; x є {1, 2, 3, 4… 15}

3x –2x – 7 > 2x - 2x + 2 ( kedua ruas dikurangi 2x)

x – 7 > 2

x – 7 + 7 > 2 + 7 ( kedua ruas dikurangi7 )

x > 9

jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x | x > 9 ; x bilangan asli ≤ 15}

HP = {10, 11, 12, 13, 14, 15}

LATIHAN

1. Buatlah masing- masing empat persamaan yang setara atau ekuivalen dengan persamaan

a. 4y – 12 = 8

b. 6a + 9 = -15

2. Apakah pasangan- pasangan persamaan berikut setara atau tidak ?

a. 2y + 16 = 20 dengan 2y = 4

b. 3x – 5 = 7 dengan x = 5

c. 8n + 12 = 5n – 6 dengan 3n = -18

3. Perhatikan persamaan berikut

a. 4x + 2 = 14

b. 2x + 3 = 6

c. 4x + 9 = 21

d. 12x + 18 = 54

e. 7x + 5 = 3x + 17

Dari persamaan di atas, manakah persamaan yang setara dengan 4x + 6 = 18 ?

3. Pehatikan gambar atau kalimat berikut :

i. Gambar disamping adalah rambu lalu lintas. Artinya adalah kendaraan yang lewat di jalan

itu kecepatannya tidak boleh lebih dari 60 km/jam ( kecepatannya maksimum 60 km/ jam )

ii. Daya angkut 800 kg artinya muatan maksimum yang boleh

diangkut mobil tersebut 800 kg. Dengan kata lain muatan

mobil tersebut harus kurang dari atau sama dengan 800 kg

iii. Usia pemain sepak bola yunior tidak boleh lebih dari 18 tahun.

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 5 (lima)

Pokok Bahasan : Nilai keseluruhan dan nilai per unit, Uang dalam

perdagangan, persentase untung rugi, Bunga tunggal dan

pajak

1. Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Nilai SebagianSeorang pemilik toko menjual satu kotak karet penghapus dengan harga Rp8.400,00.

Ternyata, dalam satu kotak terdapat 12 buah karet penghapus. Seseorang membeli sebuah

karet penghapus dan pemilik toko menjualnya dengan harga Rp700,00. Dalam hal ini, harga

satu kotak karet penghapus = Rp8.400,00 disebut nilai keseluruhan, sedangkan harga satu

buah karet penghapus = Rp700,00 disebut nilai per unit. Seorang pedagang buah membeli 12

buah durian. Ia membayar dengan 3 lembar uang seratus ribuan dan mendapat uang

kembalian sebesar Rp30.000,00.

a. Tentukan harga pembelian seluruhnya.

b. Tentukan harga pembelian tiap buah.

c. Jika pedagang tersebut hanya membeli 8 buah durian, berapakah ia harus membayar?

Penyelesaian:

a. Harga pembelian = 3 Rp100.000,00 – Rp30.000,00

= Rp300.000,00 – Rp30.000,00

= Rp270.000,00

Jadi, harga pembelian seluruhnya adalah Rp270.000,00.

b. Harga durian per buah

Jadi, harga tiap buah durian itu adalah Rp22.500,00.

c. Harga 8 buah = 8 Rp22.500,00

= Rp180.000,00

Jadi, harga 8 buah durian adalah Rp180.000,00.

2. Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung, dan Rugi

Pak Sirait membeli televisi dengan harga Rp1.250.000,00. Sebulan kemudian televisi tersebut

dijual dengan harga Rp1.400.000,00. Dalam hal ini, Pak Sirait mengalami untung

Rp150.000,00. Jika Pak Sirait hanya mampu menjual dengan harga Rp1.050.000,00,

dikatakan Pak Sirait mengalami rugi Rp200.000,00.

Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut. Harga beli adalah harga barang dari

pabrik, grosir, atau tempat lainnya. Harga beli sering disebut modal. Dalam situasi tertentu,

modal adalah harga beli ditambah dengan ongkos atau biaya lainnya.

Harga jual adalah harga barang yang ditetapkan oleh pedagang kepada pembeli. Untung atau

laba adalah selisih antara harga penjualan dengan harga pembelian jika harga penjualan lebih

dari harga pembelian.

Laba = harga penjualan – harga pembelian

Rugi adalah selisih antara harga penjualan dengan harga

pembelian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

Rugi = harga pembelian – harga penjualan

Contoh: Seorang pedagang membeli jeruk sebanyak 40 kg dengan harga Rp6.500,00 per kg.

Kemudian 30 kg di antaranya dijual dengan harga Rp7.000,00 per kg, dan sisanya dijual

dengan harga Rp6.000,00 per kg. Hitunglah

a. harga pembelian;

b. harga penjualan;

c. besarnya untung atau rugi dari hasil penjualan tersebut.

Penyelesaian:

a. Harga pembelian = 40 Rp6.500,00

= Rp260.000,00

Jadi, harga pembelian jeruk adalah Rp260.000,00.

b. Harga penjualan

= (30 Rp7.000,00) + (10 Rp6.000,00)

= Rp210.000,00 + Rp60.000,00

= Rp270.000,00

Jadi, harga penjualannya adalah Rp270.000,00.

c. Karena harga penjualan lebih dari harga pembelian,

maka pedagang tersebut mengalami untung.

Untung = harga penjualan – harga pembelian

= Rp270.000,00 – Rp260.000,00

= Rp10.000,00

Jadi, besarnya keuntungan yang diperoleh pedagang tersebut adalah Rp10.000,00.

3. Persentase Untung atau Rugi

a. Menentukan persentase untung atau rugi

Pada bab yang lalu, kalian telah mengetahui mengenai persen. Coba ingat kembali materi

tersebut. Persen artinya per seratus. Persen ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real.

Dalam perdagangan, besar untung atau rugi terhadap harga pembelian biasanya dinyatakan

dalam bentuk persen. Persentase untung =

untungharg apembelian

x100 %

Persentase rugi =

rugih argapembelian

x100 %

Rumus di atas dapat diterapkan pada contoh soal berikut.

Contoh: Seorang pedagang membeli 1 kuintal beras dengan harga Rp6.000,00 per kg.

Pedagang itu menjual beras tersebut dan memperoleh uang sebanyak Rp620.000,00.

Tentukan persentase untung atau rugi pedagang itu.

Penyelesaian:

Harga pembelian = 100 Rp6.000,00 = Rp600.000,00

Harga penjualan = Rp620.000,00

Harga penjualan lebih dari harga pembelian maka pedagang itu mengalami untung.

Untung = Rp620.000,00 – Rp600.000,00 = Rp20.000,00

Persentase keuntungan pedagang itu adalah

untungh arg apembelian

x100 %=20 .000600 .000

x 100%=3 .33 %

(Menumbuhkan kreativitas)

Amatilah lingkungan di sekitarmu. Carilah barang kebutuhan sehari-hari yang dijual

dengan menggunakan persen. Ceritakan hasil temuanmu di depan kelas.

b. Menentukan harga penjualan dan harga pembelian jika persentase untung atau rugi

diketahui

Jika persentase untung atau rugi diketahui, kita dapat menghitung harga beli atau harga

jualnya. Kalian telah mengetahui bahwa untung (laba) = harga penjualan – harga pembelian,

maka

1) harga penjualan = harga pembelian + untung;

2) harga pembelian = harga penjualan – untung.

Kalian juga telah mengetahui bahwa rugi = harga pembelian – harga penjualan, maka

1) harga penjualan = harga pembelian – rugi;

2) harga pembelian = harga penjualan + rugi.

Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.

b. Harga pembelian Rp75.000,00 dan harga penjualan Rp67.500,00.

1. Tentukan persentase untung atau ruginya.

a. Harga pembelian Rp60.000,00 dan harga penjualan Rp72.000,00.

RABAT (DISKON), BRUTO, TARA, DAN NETO

1. Rabat (Diskon)

Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Pernahkah kalian

pergi ke swalayan menjelang hari raya atau tahun baru? Biasanya menjelang hari raya atau

tahun baru, toko-toko, supermarket atau swalayan memberikan potongan harga untuk

menarik para pembeli yang akan berbelanja. Potongan harga inilah yang disebut rabat

(diskon). Biasanya diskon (rabat) ini diperhitungkan dengan persen. Dalam pemakaiannya,

terdapat perbedaan istilah antara rabat dan diskon. Istilah rabat digunakan oleh produsen

kepada grosir, agen, atau pengecer, sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir, agen,

atau pengecer kepada konsumen.

Contoh:

Seseorang membeli baju di Toko Anugerah seharga Rp85.000,00. Toko tersebut memberikan

diskon 20% untuk setiap pembelian. Berapakah uang yang harus ia bayar?

Penyelesaian:

Harga pembelian = Rp85.000,00

Diskon 20% = 20 ×Rp85.000,00

100= Rp17.000,00

Uang yang harus dibayar = Rp85.000,00 – Rp17.000,00= Rp68.000,00

Jadi, uang yang harus ia bayarkan sebesar Rp68.000,00

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.

Harga bersih = harga kotor – rabat (diskon)

dimana: harga kotor adalah harga barang sebelum dipotong rabat (diskon).

harga bersih adalah harga barang sesudah dipotong rabat (diskon).

2. Bruto, Tara, dan Neto

Coba perhatikan pada saat kalian membeli makanan kecil atau saat ibu membeli gula pasir.

Berat barang yang kalian beli merupakan berat kotor, artinya berat makanan kecil ditambah

berat kemasannya. Berat kemasan barang seperti plastik, karung, kertas disebut tara. Berat

barang beserta kemasannya disebut berat kotor atau bruto, sedangkan berat barangnya saja

disebut berat bersih atau neto. Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut.

Bruto = neto + tara

Neto = bruto – tara

Tara = bruto – neto

Jika diketahui persen tara dan bruto, kalian dapat mencari tara dengan rumus berikut.

Tara = persen tara bruto

Untuk menentukan harga bersih setelah memperoleh potongan berat (tara) dapat dirumuskan

sebagai berikut. Harga bersih = neto harga/satuan berat

BUNGA TABUNGAN DAN PAJAK

1. Bunga Tabungan

Apabila kita menyimpan uang di bank, maka kita akan mendapatkan tambahan uang yang

disebut bunga. Bunga tabungan dihitung berdasarkan persen nilai. Bunga tabungan dihitung

secara periodik, misalnya sebulan sekali atau setahun sekali. Ada dua jenis bunga tabungan,

yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung hanya

berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung

berdasarkan besarnya modal dan bunga. Pada pembahasan ini kita hanya akan mempelajari

mengenai bunga tunggal.

Iwan menabung di sebuah

2. Pajak

Perhatikan setiap ibu kalian membayar pajak listrik. Pajak tersebut biasanya dibayarkan

setiap bulan. Perhatikan pula saat kalian membeli barang, di setiap kemasannya biasanya

tertera tulisan harga ini sudah termasuk pajak. Jadi, menurut kalian, apa sebenarnya pajak

itu?

Pajak adalah suatu kewajiban yang dibebankan kepada masyarakat untuk menyerahkan

sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang telah ditetapkan

pemerintah. Jadi, pajak bersifat mengikat dan memaksa. Banyak sekali jenis-jenis pajak,

antara lain Pajak Bumi dan Bangunan (PBB), Pajak Pertambahan Nilai (PPN), dan Pajak

Penghasilan (PPh). Perhitungan nilai pajak akan kalian pelajari pada bagian ini.

Contoh: Pak Putu memperoleh gaji Rp950.000,00 sebulandengan penghasilan tidak kena

pajak Rp380.000,00. Jika pajak penghasilan (PPh) diketahui 10%, berapakah besar gaji yang

diterima Pak Putu per bulan?

Penyelesaian:

Besar gaji = Rp950.000,00;

Penghasilan tidak kena pajak = Rp380.000,00

PPh = 10%

Besar penghasilan kena pajak

= Rp950.000,00 – Rp380.000,00

= Rp570.000,00

Besar pajak penghasilan = 10% penghasilan kena pajak

10 Rp570.000,00

100

Rp57.000,00

Gaji yang diterima = Rp950.000,00 – Rp57.000,00 = Rp893.000,00

Jadi, besar gaji yang diterima Pak Putu per bulan adalah

Rp893.000,00.

Latihan!

1. Setiap sak semen dengan berat bruto 40 kg dibeli dengan harga Rp24.000,00. Semen

ini dijual eceran dengan harga Rp800,00 tiap kilogramnya, dan tiap sak

pembungkusnya dijual laku Rp500,00. Tentukan keuntungan pengecer tersebut,

apabila semen yang terjual 5 sak dan diketahui tara 114% tiap sak.

2. Seorang pedagang berhasil menjual 200 buah mainan anak-anak dengan memperoleh

uang Rp623.000,00. Setelah dihitung, ternyata ia mengalami rugi sebesar 11%.

Tentukan harga pembelian sebuah mainan anakanak tersebut.

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 6 (enam)

Pokok Bahasan : Pengertian perbandingan, perbandingan senilai, Perbandingan

berbalik nilai, Grafik perbandingan duabesaran

A. Pengertian PerbandinganBerat badan Riam 24 kg, sedangkan berat badan Yoga 30 kg. Perbandingan berat badan Riam

dan oga dapat dinyatakan dengan dua cara berikut.

a. Berat badan Riam kurang dari berat badan Yoga. Dalam hal ini, yang dibandingkan adalah

selisih berat badan.

b. Berat badan Riam : berat badan Yoga = 24 : 30 = 4 : 5. Dalam hal ini, yang dibandingkan

adalah hasil bagi berat badan Riam dan berat badan Yoga.

Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut. Ada dua cara dalam

membandingkan dua besaran sebagai berikut.

a. Dengan mencari selisih.

b. Dengan mencari hasil bagi.

B. Menyederhanakan Perbandingan Dua Besaran Sejenis

Sebuah meja berukuran 150 cm dan lebar 100 cm. Perbandingan panjang dan lebar meja

dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu dengan mencari selisihnya, 150 cm – 100 cm = 50 cm

atau dapat pula dengan mencari hasil baginya, yaitu 150 : 100 = 3 : 2. Panjang dan lebar meja

adalah dua besaran sejenis, karena mempunyai satuan yang sama, yaitu cm. Namun, panjang

meja dan luas meja adalah dua besaran tidak sejenis, karena mempunyai satuan yang berbeda

sehingga tidak dapat dibandingkan.

Dalam pembahasan ini, kita akan membandingkan dua besaran sejenis dengan cara mencari

hasil bagi

Contoh: berikut dalam bentuk yang paling sederhana.

a. 2 ½ :1 ¼

b. 400 cm3 : 1 l

Penyelesaian:

a.

212

:114

=52

:54

= 10:5 = 2:1

b. 400 cm3 : 1 l = 400 cm3 : (1 1.000) cm3

= 400 : 1.000

= 4 : 10 = 2 : 5

C. Pengertian Skala

Pernahkah kalian menggambar sebuah rumah? Bandingkan ukuran rumah pada gambar

kalian dengan ukuran rumah sesungguhnya, tentu lebih kecil, bukan? Ukuran rumah pada

gambar kalian adalah salah satu contoh gambar berskala. Pada gambar berskala digunakan

perbandingan. Perbandingan antara ukuran rumah pada gambar dengan ukuran rumah

sebenarnya dinamakan skala.

Skala adalah perbandingan antara jarak pada gambar (model)

dengan jarak sebenarnya.

skala=jarakpadagambar (mod el )

jaraksebenarnyaSecara umum, skala 1 : p artinya setiap jarak 1 cm pada gambar (model) mewakili p cm jarak

sebenarnya.

Catatan

Skala biasanya dituliskan pada bagian bawah peta, denah, model gedung, dan gambar

berskala lainnya. Penulisan skala yang baik adalah dalam bentuk perbandingan paling

sederhana.

D. Bentuk-Bentuk Perbandingan

Secara umum ada dua macam perbandingan, yaitu perbandingan senilai dan perbandingan

berbalik nilai.

1. Perbandingan Senilai (Seharga)

Pernahkah kalian membeli buku di toko buku? Kalian dapat membeli sejumlah buku sesuai

dengan jumlah uang yang kalian punya. Jika harga 1 buah buku Rp2.500,00 maka harga 5

buah buku = 5xRp2.500,00 = Rp12.500,00.

Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang harus dibayar. Perbandingan

seperti ini disebut perbandingan senilai.

Pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan naik/turun sejalan dengan nilai barang

yang dibandingkan

2.Perbandingan Berbalik Nilai (Berbalik Harga)

Kalian telah mempelajari bahwa pada perbandingan senilai, nilai suatu barang akan

naik/turun sejalan dengan nilai barang yang dibandingkan. Pada perbandingan berbalik nilai,

hal ini berlaku sebaliknya.

E. Menggambar Grafik Perbandingan

Pada perbandingan senilai dan perbandingan berbalik nilai, dapat dibuat grafik

perbandingannya. Menurutmu, berupa apakah grafik perbandingan senilai dan berbalik nilai?

Untuk dapat menjawabnya, perhatikan uraian berikut.

a. Grafik perbandingan senilai

Tabel berikut menunjukkan hubungan antara jarak yang dapat ditempuh dan waktu yang

diperlukan oleh seorang siswa yang mengendarai sepeda.

Gambar di atas menunjukkan grafik dari tabel di atas. Tampak bahwa grafik perbandingan

senilai berupa garis lurus. Jika jarak bertambah (makin jauh), waktu yang dibutuhkan

bertambah (makin lama).

b. Grafik perbandingan berbalik nilai

Agar kalian mudah dalam membuat grafik perbandingan, buatlah tabel atau daftar terlebih

Jarak(km) 1 2 3 4 5 6

Waktu(menit) 3 6 9 12 15 18

dahulu.

F. Memecahkan masalah sehari-hari yang melibatkan konsep perbandingan

Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari,banyak di antaranya dapat

diselesaikan dengan konsep perbandingan. Untuk menyelesaikannya, tentukan terlebih

dahulu apakah perbandingan tersebut merupakan perbandingan senilai atau berbalik nilai.

Kemudian, selesaikan perhitungan sesuai dengan jenis perbandingannya. Contoh: Seorang

pedagang membeli 24 kg mangga seharga Rp42.000,00. Pada hari berikutnya, ia membeli 60

kg mangga dengan kualitas yang sama. Tentukan besarnya uang yang harus dibayar oleh

pedagang itu.

Penyelesaian:

Soal di samping termasuk perbandingan senilai, karena semakin banyak mangga yang dibeli,

harga yang harus dibayar juga makin bertambah.

Cara 1

Harga 24 kg mangga = Rp42.000,00

Harga 1 kg mangga =

Rp . 42 . 00024

= Rp1.750,00

Harga 60 kg mangga = 60 x Rp1.750,00

= Rp105.000,00

Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00.

Cara 2

Banyak Mangga Harga yang Harus

( kg) Dibayar (Rp)

24 42.000

60 x

x=6024

x42 .000=105 .000

Jadi, pedagang tersebut harus membayar Rp105.000,00

Kerjakan soal-soal berikut!

1. Untuk menempuh jarak dua kota dengan kecepatan rata-rata 48 km/jam diperlukan waktu

12 jam. Tentukan lama perjalanan jika kecepatannya 60 km/jam.

2. Sebuah keluarga mempunyai persediaan beras yang cukup untuk 4 orang selama 24 hari.

Jika dalam keluarga itu bertambah 2 orang saudaranya, berapa hari persediaan beras tersebut

akan habis?

3. Skala denah suatu gedung diketahui 1 : 600. Denah tersebut berbentuk persegi panjang

dengan ukuran 5,5 cm 4,5 cm.

a. Berapakah ukuran sesungguhnya gedung tersebut?

b. Berapakah luas tanah yang diperlukan untuk membangun gedung tersebut?

c. Berapakah harga tanah seluruhnya,jika harga 1 m2 tanah tersebut Rp350.000,00?

4. Untuk memperbaiki jalan, diperlukan waktu 37 hari dengan jumlah pekerja 16 orang.

Setelah berjalan 7 hari, pekerjaan terhenti selama 6 hari. Tentukan tambahan pekerja yang

diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu tepat waktu.

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 7 (tujuh)

Pokok Bahasan : Himpunan dan unsur-unsurnya

A. PENGERTIAN HIMPUNAN DAN NOTASI HIMPUNAN

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang dapat didefinisikan dengan jelas,

sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak

termasuk dalam himpunan tersebut.

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B,

C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan

menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.

Perhatikan kumpulan berikut ini:

a. Kumpulan lukisan indah.

b. Kumpulan wanita cantik di Indonesia.

Kumpulan lukisan indah tidak dapat disebut himpunan, karena lukisan indah menurut

seseorang belum tentu indah menurut orang lain. Dengan kata lain, kumpulan lukisan indah

tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Demikian halnya dengan kumpulan wanita cantik di

Indonesia. Wanita cantik menurut seseorang belum tentu cantik menurut orang lain. Jadi,

kumpulan wanita cantik bukan termasuk himpunan.

B. MENYATAKAN ANGGOTA SUATU HIMPUNAN

Setiap benda (objek) yang terdapat di dalam himpunan di sebut anggota atau elemen dari

himpunan itu. Untuk menuliskan anggota himpunan dipakai notasi “ ”.

Contoh:

Bila A = {2,3,5,7}, maka:

2 termasuk di A, berarti 2 termasuk anggota A dan ditulis 2   A

3 termasuk di A, berarti 3 termasuk anggota A dan ditulis 3   A

4 tidak termuat di A, berarti 4 termasuk anggota A dan ditulis 4 bukan   A

9 tidak termuat di A, berarti 9 termasuk anggota A dan ditulis 9 bukan   A

Cara Menyatakan Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut:

a. Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh: P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima

antara 10 dan 40}.

b. Dengan notasi pembentuk himpunan.

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua

syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah.

Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh: P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis P = {10 < x < 40, x ∈bilangan prima}.

c. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan

kurung kurawal, dan anggota-anggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh: P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

HIMPUNAN BAGIAN

Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B

dan dinotasikan A ⊂B atau B ⊃A. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan

adalah 2n, dengan n banyaknya anggota himpunan tersebut

HIMPUNAN SEMESTA

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota

atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya

dilambangkan dengan S.

Contoh:

Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut:

a. {2, 3, 5, 7}

b. {kerbau, sapi, kambing

Penyelesaian:

1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A

adalah:

S = {bilangan prima} atau

S = {bilangan asli} atau

S = {bilangan cacah}.

c. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang},

{binatang berkaki empat}, atau {binatang memamah biak}.

Diagram HimpunanTerdiri dari :

Diagram Venn

Diagram Garis

Diagram Cartess

C. Macam macam oprasi himpunan adalah sebagai berikut:

1. PERPADUAN

Perpaduan himpunan A dan B adalah himpunan dari semua elemen – elemen yang

termasuk dalam A atau B atau keduanya. Kita nyatakan perpaduan A dan B dengan

A U B

Atau dibaca “ perpaduan A dan B “

Contoh 1.1 yang diberi arsiran.

Dalam diagram venn diatas, menunujukkan A U B

Contoh 1.2 : misalkan S = {a,b,c,d} dan T= { r,s,c,u} , maka S U T = {a,b,c,d,r,s,u}

Contoh 1.3 : misal P himpunan bilangan- bilangan riil positif dan Q himpunan

bilangan – bilangan rill negative. Maka P U Q, yaitu perpaduan P dan Q, terdiri dari semua

bilangan rill kecuali nol.

Perpaduan A dan B dapat juga dituliskan

A U B = {x l x∈A atau x ∈ B}

Dari perpaduan diatas dapat disimpulkan :

a. sesuai perpaduan dua buah himpunan, maka berarti A ¿ B = B ¿ A

b. A dan B keduanya selalu berupa subhimpunan-subhimpunan dari A ¿ B, yaitu

A ⊂ (A U B) dan B ⊂ (A U B)

2. PERPOTONGAN

Perpotongan adalah himpunan dari elementer-elementer yand dimiliki bersama oleh

kedua himpunan. Dinyatakan dengan

A ∩ B

Dibaca “ perpotongan A dan B

Contoh 2.1 yang diberi arsiran.

Contoh 2.2 misalkanS={a,b,c,d} dan T={f,b,d,g}.Maka

S ∩ T = {b,d}

Perpotongan A dan B dapat juga di definisikan secara ringkas oleh

A ∩ B = {x | x∈ A, x ∈B}

Disini, tanda koma memiliki arti sama dengan “dan”

Pernyataan :

sesuai dengan definisi perpotongan 2 buah himpunan maka

A∩B = B∩A

Pernyataan:

Setiap himpunan A dan B mengandung A ∩ B sebagai subhimpunan , jadi

(A∩B) ⊂ A dan (A∩B) ⊂ B

Jika himpunan A dan B tidak mempunyai elemen yang dimiliki bersama, jadi berarti

A dan B terpisah maka perpotongan A dan Badalah himpunan kosong yaitu

A ∩ B =Ǿ.

3. SELISIH

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan dari elemen yang termasuk A tetapi tidak

termasuk B.

A B

Yang dibaca “selisih A dan B” atau, secara singkat, “A kurang B”.

Contoh 3.1 diagram venn disamping

contoh 3.2 : misal S = {a,b,c,d} dan T={f,b,d,g} maka S T = {a,c}

contoh 3.1 : misalkan R himpunan bilangan riil dan Q himpunan bilangan rasional. Maka R

Q terdiri dari bilangan-bilangan irasional.

Selisih A dapat didefinisikan A dan B dapat juga didefinisikan secara ringkas oleh

A B = {x | x ∈ A , x ∉ B}

Pernyataan :

Himpunan A mengandung A −¿B sebagai subhimpunan,jadi berarti

(A−¿B)⊂A

Pernyataan :

Himpunan-himpunan (A−¿B), A∩B dan (B−¿A) saling terpisah,artinya perpotongan setiap

dua buah himpunan di atas adalah himpunan nol

Selisih dari A dan B kadang-kadang dinyatakan oleh A/B atau A ~ B.

4. Komplemen

Komplemen dari sebuah himpunanA adalah himpunan dari elemen-elemen yang tidak

termasuk A, yaitu, selisih dari himpunan semesta U dan A. Kita nyatakan komplemen dari A

dengan komplemen A dapat didefinisikan secara ringkas oleh atau,secara singkat

Α ' = { x | x∈¿ ,x ∉ Α }

Α ' = { x | x ∉ Α }

Kita nyatakan beberapa pernyataan mengenai himpunan-himpunan yang merupakan

akibat langsung dari definisi komplemen himpunan.

Pernyataan:

Penggabungan sembarang himpunan A dan komplemennya A’ adalah himpunan

semesta, yaitu

Α∪Α ' =U

Selanjutnya himpunan A dan komplemennya A terpisah, yaitu

Α∩Α '=φ

Pernyataan:

Komplemen himpunan Uadalah himpunan-nol φ , dan begitu pula sebaliknya,yaitu

U ' =φ dan φ ' = U

Pernyataan :

Komplemen dari komplemen himpunan A adalah himpunan A sendiri. Secara lebih

singkat, ( Α ' ) '=Α

Pernyataan kita yang berikut memperlihatkan bagaimana selisih dua buah himpunan

dapat didefinisikan dalam komplemen sebuah himpunan dan perpotongan dua buah

himpunan. Lebih terinci, kita peroleh hubungan mendasar berikut:

Pernyataan :

selisih A dan B sama dengan perpotongan A dan komplemen B, Α−Β=Α∩Β '

Bukti dari pernyataan tersebut adalah sebagai akibat langsung dari definisi:

Α−Β={ x|x∈ Α , x∈Β }={ x|x∈ Α , x∈Β ' }=Α∩Β '

D. SIFAT-SIFAT OPERASI HIMPUNAN

1. Sifat komutatif

A ∩ B =  B ∩ A dan A U B = B U A

2. Sifat asosiatif

A ∩ (B ∩ C) =  (A ∩ B) ∩ C  dan A U (B U C) = (A U B) U C

3. Sifat distributif

A ∩ (B U C) =  (A ∩ B) U (A ∩ C)  dan A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)

4. Hukum De Morgan

(A ∩ B)C = S AC ∩ BC dan (A U B)C =  AC U BC

5. Hukum Identitas

A U A = A,  A ∩ A = A, A U Ø = A , A ∩ Ø = Ø dan A U AC =S dan S ∩ AC = Ø

S U A = S, S ∩ A = A, dan   (Ø)C = S , (S)C = Ø, dan (AC)C = A

6. Sifat dasar himpunan

n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – n (A U B) jika A ∩ B  ≠ Ø

n(A U B) = n(A) + n(B) – n (A ∩ B) jika A U B  ≠ Ø

n (A – B) = n(A) – n(A ∩ B)

7. Sifat Absorpsi

Α∩( Α∪Β )=Α,

Α∪( Α∩Β )=Α

8. Sifat Idempoten

Α∩Α=Α , Α∪Α=Α

E. TEOREMA-TEOREMA DALAM OPERASI HIMPUNAN

Operasi-operasi perpaduan, perpotongan,selisih dan komplemen mempunyai sifat-sifat yang

sederhana apabila himpunan-himpunan yang ditinjau dapat diperbandingkan. Teorema-

teorema berikut dapat dibuktikan :

TEOREMA I :Misalkan A subhimpunan B. Maka perpotongan A dan B adalah A,

jadi,bila Α⊂Β maka Α∩Β=Α

TEOREMA II : Misalkan A subhimpunan B. Maka perpaduan A dan B adalah

B, jadi,bila Α⊂Β maka Α∪Β=Β

TEOREMA III : Misalkan A sebuah subhimpunan B. Maka Β' adalah subhimpunan

Α ' , yaitu jika Α⊂Β maka Β' ⊂Α ' .

TEOREMA IV : Misalkan A sebuah subhimpunan dari B. Maka perpaduan A dan (B

−¿A) adalah B, yaitu, bila Α⊂Β maka A∪(B−A )=B

F. SOAL

PERPADUAN

1. Misalkan A = {1,2,3,4}, B={2,4,6,8} dan C={3,4,5,6}. Carilah ( a ) Α∪Β , ( b )

A∪C , ( c ) Β∪C , ( d ) Β∪Β .

2. Misalkan A,B dan C adalah himpunan-himpunan dalam soal 1. Carilah ( 1 ) ( Α∪Β )

¿C ,(2 ) Α∪( Β∪C ) .

PERPOTONGAN

1. Misalakan A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} dan C = {3,4,5,6}. Carilah (a) Α∩Β ,

(b ) Α∩C , (c ) Β∩C , (d ) Β∩Β .

2. Misalkan A,B dan C adalah himpunan-himpunan didalam soal 1. Carilah

(a ) ( Α∩Β )∩C (b ) Α∩(Β∩C ) .SELISIH

1. Misalkan A = {1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} dan C = {3,4,5,6}. Carilah

(a ) ( Α−Β ) , (b ) (C−Α ) , (c ) (Β−C ) , (d ) (Β−Α ) , (e ) ( Β−Β ) .2. Berikan arsiran untuk selisih A dan B yaitu A – B dalam diagram-diagram Venn yang

diperlihatkan dalam soal 1.

KOMPLEMEN

1. Dalam digram-Venn di bawah ini, berikan arsiran untuk

(a ) Β ', (b ) ( Α∪Β ) ', (c ) (Β−Α ) ', (d ) Α '∩Β ' .

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 8 (delapan)

Pokok Bahasan : UTS

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 9 (sembilan)

Pokok Bahasan : Garis-garis sejajar, Hubungan sudut-sudut pada dua garis

sejajar, Melukis dan membagi sudut

A. Pengertian sudutSudut adalah suatu daerah yang terbentuk dari pertemuan/ perpotongan dua garis pada satu titik.

B. Garis-Garis Sejajar

Dua garis lurus disebut sejajar jika garis itu terletak pada satu bidang dan tidak

berpotongan walaupun kedua garis diperpanjang ke segala arah.

. Kaki sudut adalah garis-garis pembentuk sudut

. Titik sudut adalah titik perpotongan atau pertemuan kedua kaki sudut

. Daerah sudut adalah daerah yang dibatasi oleh kedua kaki sudut.

Sifat-sifat garis sejajar :

1. Melalui satu titik di luar sebuah garis dapat dibuat tepat satu garis yang sejajar dengan

garis itu.

2. Jika sebuah garis memotong salah satu dari kedua garis, maka garis tersebut juga

memotong garis yang lainnya.

3. Jika sebuah garis sejajar dengan dua buah garis maka kedua garis itu sejajar pula satu

sama lain.

Sudut-sudut yang terjadi jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain.  Garis k dan l

sejajar dipotong oleh garis a di titik O dan P. 

Berdasarkan gambar di atas, maka :

            Sudut-sudut sehadap yang lain adalah :

            Sudut dalam berseberangan yang lain

adalah :

             Sudut luar berseberangan yang lain

adalah :

              Sudut dalam sepihak yang lain adalah :

             Sudut luar sepihak yang lain adalah :

              Sudut-sudut bertolak belakang lainnya adalah :

C. Hubungan Sudut pada Dua Garis Sejajar

Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar

        Dari gambar di atas, diperoleh :

1. Sudut-sudut sehadap pada garis-garis sejajar sama besar

2.   Sudut-sudut dalam berseberangan sama besar

3.   Sudut-sudut luar berseberangan sama besar

4.  Jumlah sudut-sudut dalam sepihak sama dengan 180o

5.  Jumlah sudut-sudut luar sepihak sama dengan 180o

6.  Sudut-sudut bertolak belakang sama besar

Contoh :

Tiga buah garis masing-masing k, l dan m dalam susunan seperti gambar berikut.

Garis k adalah sejajar dengan garis l dan garis m memotong garis k dan l.

Tentukan:

a) sudut-sudut yang sehadap

b) sudut-sudut yang bertolak belakang

c) sudut-sudut yang berseberangan dalam

d) sudut-sudut yang berseberangan luar

e) sudut-sudut dalam sepihak

f) sudut-sudut luar sepihak

g) sudut-sudut berpelurus

Pembahasan

a) sudut-sudut sehadap adalah:∠A1 dengan ∠B1∠A4 dengan ∠B4∠A2 dengan ∠B2∠B3 dengan ∠B3

b) sudut-sudut bertolak belakang∠A1 dengan ∠A3∠A2 dengan ∠A4∠B1 dengan ∠B3∠B2 dengan ∠B4

c) sudut-sudut berseberangan dalam (dalam berseberangan)∠A3 dengan ∠B1∠A4 dengan ∠B2

d) sudut-sudut berseberangan luar∠A2 dengan ∠B4∠A1 dengan ∠B3

e) sudut-sudut dalam sepihak∠A3 dengan ∠B2∠A4 dengan ∠B1

f) sudut-sudut luar sepihak∠A2 dengan ∠B3∠A1 dengan ∠B4

g) sudut-sudut berpelurus

∠A1 dengan ∠A2∠A1 dengan ∠A4∠A2 dengan ∠A3∠A3 dengan ∠A4∠B1 dengan ∠B2∠B1 dengan ∠B4∠B2 dengan ∠B3∠B3 dengan ∠B4

G. Melukis dan membagi sudut

Untuk menggambar sebuah sudut, misalnya <KLM dengan ukuran 600 , langkah-langkah

yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Gambarlah salah satu kaki <KLM, misalnya KL dengan L sebagai titik sudutnya

2. Letakkan busur derajat pada garis KL sedemikian sehingga garis nol padabusur

berimpit dengan garis KL dan titik L berimpit dengan titik tengah(pusat) busur.

3. Perhatikan angka nol pada busur yang berimpit dengan garis KL,ada yang terletak di

dalam dan di luar. Jika letak angka nol ada pada skala bagian luar, maka angka 60 yang

digunakan pada skala bagian luar. Jika angka nol ada pada skala bagian dalam maka

angka 60 yang digunakan pada skala bagian dalam. Beri tanda titik M pada posisi 600.

4. Lepas busur, kemudian tarik garis dari titik sudut L ke titik M yang sudah ditandai tadi.

Buat keterangan sudut 600 dengan garis lengkung dan arsiran.

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 10 (sepuluh)

Pokok Bahasan : Segi empat (jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, dan

trapesium), segitiga, Menghitung besaran-besaran pada

segitiga

A. Segi empat

1. Jajaran Genjang

Perhatikan bentuk bangunan pada Gambar 1. Bangunan tersebut berbentuk segiempat di

mana sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. Sekarang, Anda perhatikan

setiap sudut-sudut yang berhadapan pada ubin sama besar dan besar sudut-sudut yang

bersebelahan saling berpelurus. Bangun datar yang memiliki ciri-ciri seperti bangunan

pada Gambar 1 disebut jajargenjang. Penampang jajargenjang jika digambar akan

tampak sebagai berikut.

Gambar.1

AB = DC AD = BC

A = C B = D

dan A + D = A + B = B + C = C + D = 180°

Jika keempat sudut pada jajargenjang siku-siku maka akan terbentuk persegipanjang.

Seperti pada bangun datar lainnya, keliling jajargenjang adalah jumlah panjang keempat

sisinya, yaitu sebagai berikut.

K = AB + BC + CD + AD

Oleh karena AB = CD dan BC = AD maka

K = 2AB + 2BC

= 2(AB + BC)

Sebelum mempelajari luas jajargenjang, berikut Anda akan mempelajari terlebih dahulu

tinggi dan alas jajargenjang. Seperti pada segitiga, tinggi jajargenjang adalah garis yang

tegak lurus dengan kedua sisi jajargenjang yang berhadapan. Sisi yang tegak lurus

dengan tinggi disebut alas jajargenjang.

Luas jajargenjang adalah hasil kali alas dengan tingginya. Jika alas jajargenjang

dinyatakan dengan a dan tinggi jajargenjang dinyatakan dengan t maka luas jajargenjang

dapat dicari dengan rumus berikut. L = a × t

2. Belah Ketupat

Berbeda dengan persegi, belahketupat seperti pada Gambar 2 walaupun sama-sama

memiliki sisi-sisi yang sama panjang, pada belahketupat sudut-sudut yang berhadapan

adalah sama besar.

Perhatikan belahketupat ABCD berikut.

Gambar. 2

AB = BC = CD = AD

A = C dan B = D

Jika keempat sudut pada belahketupat siku-siku maka akan terbentuk persegi. Keliling

belahketupat adalah jumlah panjang keempat sisinya. Oleh karena keempat sisi

belahketupat sama panjang, maka keliling belahketupat sama dengan empat kali sisinya.

Perhatikan Gambar 2 di atas

Jika sisi belahketupat dinyatakan dengan s, keliling belahketupat adalah K = 4s

3. Layang-layang

Seperti namanya, layang-layang berbentuk seperti mainan layang-layang. Layang-layang

adalah salah satu bangun segiempat yang masing-masing pasangan sisinya sama panjang

dan sepasang sudut yang berhadapan sama besar.

Perhatikan gambar layang-layang ABCD berikut.

Keliling layang-layang adalah jumlah panjang keempat sisinya. Jika panjang sisi layang-

layang ABCD adalah AB, BC, CD, dan AD dengan AD = CD dan AB = CB maka

keliling layang-layang ABCD adalah K = 2(AD + AB)

Jika diagonal pada layang-layang ABCD adalah AC dan BD maka luas layang-layang

ABCD adalah

L= AC × BD2

B. Segitiga

Perhatikan Gambar. 1 Berikut.

Gambar.1

Perhatikan sisi-sisinya, ada berapa sisi-sisi yang membentuk segitiga ABC? Sisi-sisi

yang membentuk segitiga ABC berturut-turut adalah AB, BC, dan AC. Sudut-sudut yang

terdapat pada segitiga ABC sebagai berikut.

∠ A atau ∠BAC atau ∠ CAB.

∠ B atau ∠ ABC atau∠CBA.

∠C atau ∠ACB atau ∠ BCA.

Jadi, ada tiga sudut yang terdapat pada ∠ ABC. Dari uraian di atas dapat disimpulkan

sebagai berikut. Segitiga adalah bangun datar yang dibatasi oleh tiga buah sisi dan

mempunyai tiga buah titik sudut.

Segitiga biasanya dinotasikan dengan “∆”. Pada suatu segitiga setiap sisinya dapat

dipandang sebagai alas, dimana tinggi tegak lurus alas merupakan salah satu sisi dari suatu

segitiga, sedangkan tingginya adalah garis yang tegak lurus dengan sisi alas dan melalui titik

sudut yang berhadapan dengan sisi alas.

Perhatikan Gambar. 2 berikut.

Gambar. 2

Pada Gambar. 2 di atas, menunjukkan ∆ ABC jika

Alas = AB maka tinggi = CD (CD⊥ AB)

Alas = BC maka tinggi = AE (AE ⊥ BC)

Alas = AC maka tinggi = BF (BF ⊥ AC)

Terdapat macam-mcam bentuk segitiga, ditinjau dari panjang sisinya, besar sudutnya,

dan ditinjau dari panjang sisi dan besar sudutnya, antara lain:

Ditinjau dari panjang sisi-sisinya

Segitiga sebarang

Segitiga sebarang adalah segitiga yang sisi-sisinya tidak sama panjang. Pada Gambar. 3

(i) di bawah tampak bahwa AB≠ BC≠ AC.

Segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki adalah segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang sama panjang.

Pada Gambar (ii) di bawah segitiga sama kaki ABC dengan AB = BC

Segitiga sama sisi

Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga buah sisi sama panjang dan tiga

buah sudut yang sama besar. Pada Gambar.3 (iii) tampak bahwa AB = BC = AC, dan ∠A = ∠ B = ∠ C

Gambar. 3

Ditinjau dari besar sudut-sudutnya

Segitiga lancip

Segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut lancip, sehingga

sudut-sudut yang terdapat pada segitiga tersebut besarnya antara 00 dan 900. Pada

Gambar.4 (i) ketiga sudut ∆ ABC adalah sudut lancip.

Segitiga tumpul

Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut tumpul. Pada

Gambar 4(ii) tampak bahwa ∠ ABC adalah sudut tumpul.

Segitiga siku-siku

Segitia siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya merupakan sudut siku-siku,

yakni 900.

Gambar. 4

Ditinjau dari panjang sisi dan besar sudutnya

Segitiga siku-siku sama kaki

Segitiga siku-siku sama kaki adalah segitiga yang keda sisinya sama panjang dan salah

satu sudutnya merupakan sudut siku-siku. (Lihat Gambar. 5)

Segitiga tumpul sama kaki

Segitiga tumpul sama kaki adalah segitiga yang kedua sisinya sama panjang dan salah

satu sudutnya merupakan sudut tumpul. (Lihat Gambar. 5)

Gambar. 5

Kesimpulan

Suatu segitiga yang mempunyai dua buah sisi yang sama panjang disebut segitiga

sama kaki

Suatu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang disebut segitiga sama sisi

Jumlah besar sudut-sudut segitiga adalah 1800

Segitiga sama kaki dapat diperoleh dari dua segitiga siku-siku yang kongruen

Segitga sama kaki mempunyai dua sisi yang sama panjang, dan mempinyai dua sudut

yang sama besar yang berhadapan dengan sisi-sisi itu.

Segitiga sama kaki mempunyai saru sumbu simetri

Segitiga sama kaki dapat menempati bingkainya dengan dua cara

Segitiga sama sisi mempunyai tiga sisi yang sama panjang, dan mempunyai tiga sudut

yang sama besar

Segitiga sama sisi dapat menempati bingkaina dengan 6 cara

Segitiga sama sisi mempunyai tiga buah sumbu simetri

Keliling suatu segitiga

Jika K adalah panjang keliling suatu segitiga yang sama panjang sis-sisinya adalah a, b, c

satuan panjang maka:

K = a + b + c

Catatan Penting.

1. Pada setiap segitiga selalu berlaku bahwa jumlah dua buah sisinya selalu lebih

panjang dari pada sisi ketiga

2. Jika suatu segitiga memiliki sisi a, b, dan c maka akan berlaku salah satu dari

ketidak samaa berikut:

a. a+b>c b. a+c>b c. b+c>a

Ketidaksamaan tersebut dinamakan ketidaksamaan segitiga

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 11(sebelas)

Pokok Bahasan : Menyelesaikan bentuk aljabar, Menentukan faktor-faktor suku

aljabar, Menyelesaikan operasi pecahan bentuk aljabar

A. Bentuk Aljabar Dan Unsur-UnsurnyaPerhatikan ilustrasi berikut:

Bayak boneka rika 5 lebihnya dari boneka Desi. Jika banyak boneka Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka rika inyatakan dengan x +5. Jikaa boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9 buah.

Bentuk seperti (x+5) disebut bentuk aljabar.

Bentuk ajabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya memuat hurup-hurup untuk mewakili bilangan-bilangan yang belum diketahui.

1. Variabel, konstanta, dan factorPerhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Pada bentuk  variabr tetrsebut, huruf x dan y disebut  variabel.

Variabel adalah lambang penganti sutu bilangan yang belumdi ketahui nilainya dengan jelas.

Variabel disebut juga peubah. Variabel  biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, …,z.

Adapun bilangan Sembilan pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.

Konstanta adalah sukudari suatau bentuk aljabar yang berupa biangan dan  tidak memuat variabel.

Jika suatu bilangan a dapat di ubah menjadi a = p xq dengn a,p,q bilangn bulat,maka p dan q disebur faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas ,5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 × x atau 5x = 1 ×5x. jadi, factor-faktor dari 5x adalah 1, 5,x,dan 5x.

Adapun yang dimaksud koefisien dalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x +3y +8x -6y + 9 . koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3 pada suku 8x adalah 8 dan pada suku -6y adalah -6 .

2. Suku sejenis dan suku tak sejenia        suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki pariabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama

contoh :5x dan -2x, 3a2, dan a2,y dan 4y,……a        b. suku-suku takes jenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing ariabel yang tidak sama.

Contoar : 2x dan -3x2, -y dan –x3, 5x dan -2y,….Contoh: tentukan kuefisien dari x2 dan vaktor dari masing-masing bentuk aljabar berikut.a. 7x2

b. 3x2 + 5c. 2x2 + 4x – 3penyelesaian:

a. 7x2 = 7 × x × xkoefisien dari x2 adalah 7Faktor dari 7x2 adalah 1,7,x, x2, 7x, dan 7x2

b. 3x2 +5 = 3 × x × x + 5 × 1koevisien dari x2 adalah 3factor dari 3x2 adalah 1, 3, x, x2, 3x, dan 3x2

factor dari 5 adalah 1 dan 5.

c. 2x2 + 4x – 3 = 2 × x × x + 4 × x -3 × 1

koefisien dari 2x2 adalah 2Faktor dari 2x2 adalah 1, 2, x, x2, dan 2xKoefisien dari 4x adalah 4

Faktor dari4x adalah 1, 4, x, dan 4x

Faktor dari -3 adalah -3, -1, 1, dan 3

B.  Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar

Pada bentuk aljabar, operasi penjumlahan dan pengurangan hanya dapat dilakukan padasuku-suku yang sejenis.

Contoh:

Tentukan hasilpenjumlahan dan pengurangan bentuk aljabarberikut:

a. -4ax + 7ax

b. (2x2 – 3x +2) + (4x2 -5x + 1)c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)Penyelesaian:

a. -4ax + 7ax = (-4 – 7 ) ax

= 3ax

b. (2x2 – 3x +2) + (4x2 -5x + 1) = 2x2 – 3x +2 + 4x2 -5x + 1= 2x2 + 4x2 – 3x – 5x +2 + 1=(2 + 4)x2 +(-3 – 5) x + (2 +1) (kelompokkan suku-suku sejenis)= 6 x2 – 8x +3c. (3a2 + 5) – (4a2 – 3a + 2)  = 3a2 + 5 – 4a2 + 3a – 2= 3a2 - 4a2 +3a – 2=(3 – 4) a2 +3a + (5 – 2)= – a2 +3a +3

2. Perkalian .a. Perkalian suatu bilangan konstanta k dengan bentuk aljabar suku satu dan suku dua dinyatakan sebagai berikut.

k(ax) = kax:

k(ax + b) = kax +kb

contoh:

jabarkan bentukaljabar berikut,kemudian sederhanaknlah.

a. 4(p + q)

b. 5 (ax +by)

c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1)

d. -8 (2x – y +3z)

Penyelesaian:

a. 4(p+q) = 4p + 4q

b. 5 (ax + by) = 5ax +5by

c. 3(x – 3) + 6 (7x + 1) = 3x – 6 + 42x +6

= (3 + 42) x – 6 + 6

= 45x

d. -8 (2x – y +3z)    = -16x + 8y – 24 z

b. Perkalian antara dua bentuk aljabar di nyatakan sebagai berikut:

(ax +b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd(ax +b) (cx2 + dx +e) = acx3 + (ad +bc)x2 + (ae + bd) x + be

(x + b) (x – a) = x2 – a2

Contoh:

Tentukn hasilperkalian bentuk aljabar berikut dalam bentuk jumlah atau selisih.

a. (2x +3) (3x – 2)

b.(-4a + b) (4a +2b)

Penyelesaian:

a. Cara (1) dengan sifatdistributif

(2x +3) (3x – 2) = 2x (3x – 2) + 3(3x – 2)

= 6x2 – 4x + 9x – 9= 6x2 + 5x – 6Cara (2) dengan skema

(2x +3) (3x – 2)

= 2x × 3x + 2x × (-2) + 3 × 3x + 3 × (-2)

= 6x2 – 4x + 9x – 6= 6x2 + 5x – 6b. cara (1) dengan sifat distributive.

(-4a + b) (4a +2b) = -4a (4a +2b) +b ( 4a + 2b)

= – 16a2 – 8ab + 4ab + 2b2

= -16a2 – 4ab + 2b2

Cara (2) dengan skema.

(-4a + b) (4a +2b)

= (-4a) × 4a + (-4a) × 2b + b ×4b + b × 2b

= – 16a2 – 8ab+4ab + 2b2

= – 16a2 – 4ab + 2b2

3. PerkalianPada perpankatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segi di

(a  + b)0= 0(a + b)1= a + b(a +b)2 = a2 + 2ab + b2

(a +b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4

(a + b)5

(a + b)6 dstContoh:

Jabarkan bentuk aljabar berikut

a. (3x + 5)2

b. (2x – 3y)2

c. (x + 3y)3

d. (a – 4)4

Penyelesaian:

a. (3x + 5)2 = 1 (3x)2 + 2 × 3x × 5 + 1 × 52

= 9x2 + 30x + 25b. b. (2x – 3y)2= 1 (2x)2 + 2(2x) (-3y) +1 × (-3y)2

= 4x2 – 12xy + 9y2

c. (x + 3y)3 = 1 (x3) + 3 × x2 × (3y)1 + 3 × x × (3y)2 + 1 ×(3y)3

= x3 + 9x2y +27y3

d. (a – 4)4 = 1a4+ 4 × a3 ×(-4)1 + 6 × a2 × (-4)2 + 4  × a × (-4)3 +1 × (-4)4

= a4 – 16 × a3 +  6a2 × 16 + 4a × (-64) + 1 × 256= a4 – 16a3 + 96a2 – 256a + 2564. PembagianHasil bagi dua bentuk aljabar dapat kalian peroleh dengan menentukan terlebih dahulu factor sekutu masing – masing bentuk aljabar tersebut, kemudian melakukan pembagian pada pembilng dan penyebut.

Contoh:

Sederhanakanlah pembagian bentuk aljabar berikut

a. 3xy :2y

b. 6a3b2 : 3a2bc. (x3y : (x2y3 : xy)d. (24p2q + 18pq2) : 3pqPenyelesaian

a.   faktor sekutu y

b. 6a3b2 : 3a2b =

== 2ab

c. (x3y : (x2y3 : xy) = x3y :

= x3y :

= x3y : xy =   = x2

d. (24p2q + 18pq2) : 3pq = 

== 2 (4p + 3q)

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 12 (duabelas)

Pokok Bahasan : Relasi, menyatakan bentuk fungsi, Menghitung nilai fungsi

A. Relasi,Pemetaan(fungsi),Grafik

Relasi  antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3 cara, yaitu :

dengan diagram panah

dengan himpunan pasangan berurutan, dan

dengan diagram kartesius.

Contoh pemetaan/fungsi :

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

       

   Pada Himpunan pasangan berurutan : terdapat dua unsur himpunan A yg ditulis lebih dari

satu kali.

Contoh pemetaan/fungsi :

{(a,1),(b,1),(c,2),(d,3)}

Contoh bukan pemetaan/fungsi :

{(a,1),(b,2),(b,3),(c,3)}

9. Fungsi (Pemetaan)

Perhatikan relasi yang dinyatakan dengan diagram panah di bawah ini: Fungsi/pemetaan dari

himpunan A ke himpun

Fungsi atau pemetaan dari himpunan  A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan

setiap anggota A dengan tepat satu anggota B. Tepat satunya artinya tidak boleh dari dan

tidak boleh kurang dari satu.

Himpunan A disebut daerah asal (domain).

Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain).

Himpunan dari anggota-anggota him,punan B yang mempunyai pasangan di A disebut daerah

hasil (range).

c.       Nilai Fungsi

Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk:

f : x → f(x)

Nilai fungsi untuk setiap nilai x yang diberikan dihitung dengan cara mensubtitusikan nilai x

pada fungsi tersebut.

Contoh:

Fungsi f(x) = 5x – 4. Nilai f(-3) adalah...

d.    Daerah Hasil Fungsi

Daerah hasil (range) dari suatu fungsi adalah himpunan nilai-nilai fungsi dari setiap anggota

daerah asal (domain.

e.    Grafik Fungsi

Gambar grafik suatu fungsi dalam koordinat Cartecius dapat diperoleh dengan langkah-

langkah berikut.

1)     Menentukan pasangan berurutan fungsi tersebut.

2)      Menggambarkan pasangan berurutan sebagai titik dalam koordinat Cartecius

Latihan:

1. Nyatakan relasi antara dua himpunan berikut dengan himpunan pasangan berurutan:

a. A = { becak , mobil , kapal , pesawat terbang , kereta api , perahu }

B = { darat , laut , udara } Aturan relasi: alat transportasi

Buatlah diagram panah dari relasi tiga kalinya dari antara K = {9, 12, 15, 21} dan L = {3,

4, 5, 7}

Diketahui enam orang anak di kelas VIII SMP Palangkaraya, yaitu Dina, Alfa, Sita, Bima,

Doni, dan Rudi. Mereka mempunyai ukuran sepatu yang berbeda-beda. Dina dan Sita

mempunyai ukuran sepatu yang sama yaitu nomor 38. Alfa mempunyai ukuran sepatu 37.

Bima mempunyai ukuran sepatu nomor 40. Sedangkan Doni dan Rudi mempunyai ukuran

sepatu yang sama yaitu 39.

a. Gambarlah diagram panah yang menghubungkan semua nama anak di kelas VIII SMP

Palangkaraya dengan semua ukuran sepatunya. Denpasar Kendari Padang

Surabaya Bali Jawa timur Jawa Barat Sulawesi tenggara Sumatera Barat

b. Gambarlah relasi tersebut dengan menggunakan koordinat Cartesius.

c. Tulislah semua pasangan berurutan yang menyatakan relasi tersebut.

Empat siswa yang bernama Sirwanto, Cahyo, Soni dan Agung sedang membaca buku di

perpustakaan yang menyediakan jenis buku: ilmiah, fiksi, non fiksi, ensiklopedia dan

komik. Sirwanto dan Soni membaca buku non fiksi, Cahyo asyik membaca komik dan

Agung lagi serius membaca buku ilmiah.

a. Jika A adalah himpunan siswa dan B adalah himpunan jenis buku, tulis himpunan A dan

himpunan B dengan cara mendaftar anggotanya.

b. Buat diagram panah relasi dari himpunan A ke himpunan B dan tulis aturan relasinya.

c. Relasi tersebut apakah fungsi?

d. Tulis Domain, Kodomain dan Rangenya

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 13(tigabelas)

Pokok Bahasan : Persamaan garis lurus, Gradien suatu garis lurus, Kedudukan

dua garis lurus, Membuat persamaan garis lurus, Jarak dan

titik tengah garis lurus

A. Pengertian Persamaan Garis Lurus

Sebelum memahami pengertian persamaan garis lurus, ada baiknya kamu mengingat kembali

materi tentang koordinat Cartesius persamaan garis lurus selalu digambarkan dalam koordinat

Cartesius. Untuk itu, pelajarilah uraian berikut.

1. Koordinat Cartesius

Pada bab sebelumnya, kamu telah mengenal tentang bidang Cartesius. Coba kamu perhatikan

Gambar 3.1 dengan seksama. Gambar tersebut menunjukkan bidang koordinat Cartesius yang

memiliki sumbu mendatar (disebut sumbu-x) dan sumbu tegak (disebut sumbu-y). Titik

potong kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal atau titik pusat koordinat. Pada Gambar

3.1, titik pusat koordinat Cartesius ditunjukkan oleh titik O (0, 0). Sekarang, bagaimana

menggambar titik atau garis pada bidang koordinat Cartesius?

a. Menggambar Titik pada Koordinat Cartesius

Setiap titik pada bidang koordinat Cartesius dinyatakan dengan pasangan berurutan x dan y,

di mana x merupakan koordinat sumbu-x (disebut absis) dan y merupakan koordinat sumbu-y

(disebut ordinat). Jadi, titik pada bidang koordinat Cartesius dapat dituliskan (x, y). Pada

Gambar 3.2 , terlihat ada 6 buah titik koordinat pada bidang koordinat Cartesius. Dengan

menggunakan aturan penulisan titik koordinat, keenam titik tersebut dapat dituliskan dalam

bentuk sebagai berikut.

b. Menggambar Garis pada Koordinat Cartesius

Kamu telah memahami bagaimana menggambar titik pada bidang koordinat Cartesius.

Sekarang bagaimana menggambar garis lurus pada bidang yang sama? Coba perhatikan

Gambar 3.3

Perlu diingat, garis lurus adalah kumpulan titik-titik yang letaknya sejajar. Dari Gambar

3.3(a) , terlihat bahwa titik-titik P, Q, R, S, T, dan U memiliki letak yang sejajar dengan suatu

garis lurus, misalkan garis k, seperti yang digambarkan pada Gambar 3.3(b). S ebuah garis

lurus dapat terbentuk dengan syarat sedikitnya ada dua titik pada bidang koordinat Cartesius.

2. Menggambarkan Persamaan Garis Lurus

Setelah kamu mempelajari materi sebelumnya, apa yang dapat kamu ketahui tentang

persamaan garis lurus? Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan

ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Cara menggambar

persamaan garis lurus adalah dengan menentukan nilai x atau y secara acak. Perlu diingat

bahwa dua titik sudah cukup untuk membuat garis lurus pada bidang koordinat Cartesius.

Gradien

Coba kamu perhatikan dengan saksama Gambar 3.4 berikut ini.

Dari Gambar 3.4 terlihat suatu garis lurus pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut

melalui titik A(–6, –3), B(–4, –2), C(–2, –1), D(2, 1), E(4, 2), dan F(6, 3). Perbandingan

antara ordinat (y) dan absis (x) untuk masing-masing titik tersebut adalah sebagai berikut.

Perhatikan perbandingan ordinat dengan absis untuk setiap titik tersebut.

Semua titik memiliki nilai perbandingan yang sama, yaitu 1/2. Nilai tetap atau konstanta dari

perbandingan ordinat dan absis ini disebut sebagai gradien.

Biasanya gradien dilambangkan dengan m. Apa sebenarnya yang dimaksud dengan gradien?

Coba kamu pelajari uraian berikut ini.

1. Pengertian Gradien

Pernahkah kamu mendaki gunung? Jika ya, kamu pasti akan menyusuri lereng gunung untuk

dapat sampai ke puncak. Lereng gunung memiliki kemiringan tanah yang tidak sama, ada

yang curam ada juga yang landai. Sama halnya dengan garis yang memiliki kemiringan

tertentu. Tingkat kemiringan garis inilah yang disebut gradien. Perhatikan kembali garis lurus

pada Gambar 3.4, berdasarkan perbandingan ordinat dan absis maka tingkat kemiringan atau

gradien garis tersebut adalah1/2.

2. Perhitungan Gradien

Ada berbagai cara untuk menghitung gradien dari suatu persamaan garis. Hal ini bergantung

pada letak titik koordinat dan bentuk persamaan garis yang diberikan. Berikut ini akan

diuraikan cara menghitung gradien berdasarkan titik koordinat atau bentuk persamaan garis.

a. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, gradien suatu garis dapat ditentukan melalui

perbandingan antara ordinat dan absis sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

Dari uraian ini terlihat bahwa nilai gradien dalam suatu persamaan garis sama dengan besar

nilai konstanta m yang terletak di depan variabel x, dengan syarat, persamaan garis tersebut

diubah terlebih dahulu ke dalam bentuk y = mx.

b. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis y = mx + c

Sama halnya dengan perhitungan gradien pada persamaan garis y = mx, perhitungan gradien

pada garis y = mx + c dilakukan dengan cara menentukan nilai konstanta di depan variabel x.

c. Menghitung Gradien pada Persamaan Garis ax + by + c = 0

Sama seperti sebelumnya, gradien pada persamaan garis ax + by + c = 0 dapat ditentukan

dengan cara mengubah terlebih dahulu persamaan garis tersebut ke dalam bentuk y = mx + c.

Kemudian, nilai gradien diperoleh dari nilai konstanta m di depan variabel x.

d. Menghitung Gradien pada Garis yang Melalui Dua Titik

Coba kamu perhatikan Gambar 3.5 berikut.

Gambar 3.5 menunjukkan tiga buah segitiga ABC, DEF, dan GHI yang memiliki sisi miring

dengan tingkat kemiringan atau gradien yang berbedabeda. Dengan menggunakan

perbandingan ordinat dan absis, gradien untuk masing-masing segitiga dapat dihitung sebagai

berikut.

Sekarang, perhatikan Gambar 3.6 . Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis lurus pada

bidang koordinat yang melalui titik P dan R. Untuk mencari gradien garis tersebut, kamu

tinggal menentukan gradien PR pada segitiga PQR. Dengan menggunakan perbandingan

ordinat dan absis, akan diperoleh gradien garis yang melalui titik P dan R, yaitu:

Jadi, gradien garis yang melalui P(1, 3) dan R(7, 6) pada Gambar 3.6 adalah 1/2. Dari uraian

tersebut diperoleh rumus umum untuk mencari gradien pada garis yang melalui dua titik,

sebagai berikut.

3. Sifat-Sifat Gradien

Ada beberapa sifat gradien yang perlu kamu ketahui, di antaranya adalah gradien garis yang

sejajar dengan sumbu-x, gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y, gradien dua garis yang

sejajar, dan gradien dua garis yang saling tegak lurus. Berikut ini akan diuraikan sifat-sifat

gradien tersebut.

a. Gradien Garis yang Sejajar dengan Sumbu-x

Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.7 , terlihat garis k yang melalui titik A(–1, 2) dan B(3, 2). Garis tersebut

sejajar dengan sumbu-x. Untuk menghitung gradien garis k, gunakan cara sebagai berikut.

Untuk titik A(–1, 2) maka x1 = –1, y1 = 2.

Untuk titik B(3, 2) maka x2 = 3, y2 = 2.

Coba kamu periksa titik-titik lain pada garis k dan hitunglah gradiennya. Apakah nilai

gradiennya sama dengan 0? Uraian tersebut memperjelas tentang gradien garis yang sejajar

dengan sumbu-x, yaitu sebagai berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu- x maka nilai gradiennya adalah nol.

b. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu-y

Perhatikan gambar berikut.

Pada Gambar 3.8 , garis l yang melalui titik C(1, 3) dan D(1, –1). letaknya sejajar dengan

sumbu-y. Gradien garis tersebut adalah sebagai berikut.

Untuk titik C(1, 3) maka x1 = 1, y1 = 3.

Untuk titik D(1, –1) maka x2 = 1, y2 = –1.

Perhitungan di atas, memperjelas sifat gradien berikut.

Jika garis sejajar dengan sumbu-y maka garis tersebut tidak memiliki gradien.

c. Gradien Dua Garis yang Sejajar

Sekarang coba kamu perhatikan Gambar 3.9

Garis k dan l merupakan dua garis yang sejajar. Bagaimana gradien kedua garis tersebut?

Perhatikan uraian berikut.

• Garis k melalui titik A(–2, 0) dan B(0, 2).

Untuk titik A(–2, 0) maka x1 = –2, y1 = 0.

Untuk titik B(0, 2) maka x2 = 0, y2 = 2.

• Garis l melalui titik C(0, –1) dan D(1, 0).

Untuk titik C(0, –1) maka x1 = 0, y1 = –1.

Untuk titik D(1, 0) maka x2 = 1, y2 = 0.

Dari uraian tersebut terlihat bahwa garis k dan l memiliki gradien yang sama.

Setiap garis yang sejajar memiliki gradien yang sama.

d. Gradien Dua Garis yang Tegak Lurus

Coba kamu perhatikan Gambar 3.10 . Pada gambar tersebut terlihat garis k tegak lurus

dengan garis l.

Gradien kedua garis tersebut dapat dihitung dengan cara sebagai berikut.

• Garis k melalui titik C(3, 0) dan D(0, 3).

Untuk titik C(3, 0) maka x1 = 3, y1 = 0.

Untuk titik D(0, 3) maka x2 = 0, y2 = 3.

• Garis l melalui titik A(–1, 0) dan B(0, 1).

Untuk titik A(–1, 0) maka x1 = –1, y1 = 0.

Untuk titik B(0, 1) maka x2 = 0, y2 = 1.

Hasil kali kedua gradien tersebut adalah

mAB × mCD = 1 × –1 = –1

Uraian tersebut memperjelas hal berikut:

Hasil kali antara dua gradien dari garis yang saling tegak lurus adalah –1.

C. Menentukan Persamaan Garis Lurus

Pada subbab sebelumnya, kamu telah mempelajari bagaimana menggambar persamaan garis

lurus pada bidang koordinat Cartesius dan menentukan gradien dari suatu persamaan garis.

Sekarang, bagaimana menentukan persamaan garis dari suatu titik atau gradien? Masih

ingatkah kamu tentang gradien yang diperoleh dari perbandingan ordinat dan absis? Bentuk

tersebut dapat dituliskan sebagai berikut.

Bentuk y = mx merupakan bentuk persamaan garis lurus sederhana. Dikatakan sebagai

bentuk sederhana karena garis yang dibentuk oleh persamaan garis tersebut selalu melalui

titik pusat koordinat. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Contoh Soal

Contoh Soal :Tentukan persamaan garis untuk garis yang melalui titik O (0, 0) dan

memiliki:

a. gradien 2,

b. gradien –3,

c. gradien 1.

Jawab :

y = 2xa. y = mx maka y = (2)x

y = –3xb. y = mx maka y = (–3)x

y = xc. y = mx maka y = (1)x

Adapun bentuk umum dari persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai berikut.

Persamaan garis ini hampir sama dengan bentuk sederhananya, namun diberi tambahan

konstanta (diberi lambang c). Hal ini menunjukkan bahwa garis yang dibentuk oleh

persamaan garis tersebut tidak akan melalui titik O(0, 0).

Setelah kamu memahami bentuk sederhana dan bentuk umum persamaan garis, berikut ini

akan diuraikan bagaimana menentukan sebuah persamaan garis dari titik koordinat atau

gradien.

1. Menentukan Persamaan Garis dari Gradien dan Titik Koordinat

Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 3.1. Gambar tersebut menunjukkan sebuah garis k

pada bidang koordinat Cartesius. Garis tersebut melalui titik A(x1, y1) dan tidak melalui titik

pusat koordinat sehingga persamaan garis pada Gambar 3.11 dapat dituliskan:

y1 = mx1 + c ….(1)

Adapun bentuk umum persamaan garis yang tidak melalui titik pusat koordinat dituliskan:

y = mx + c ….(2)

Jika ditentukan selisih dari persamaan (2) dan persamaan (1) maka diperoleh:

Selanjutnya diperoleh rumus umum untuk menentukan persamaan garis jika diketahui

gradien dan titik koordinat, yaitu:

2. Menentukan Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik

Pada bagian sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menentukan persamaan garis yang

melalui satu titik koordinat dan gradiennya diketahui. Sekarang, kamu akan mempelajari

bagaimana menentukan persamaan garis yang melalui dua titik. Caranya hampir sama dengan

rumus umum yang telah dipelajari sebelumnya.

Coba kamu perhatikan uraian berikut :

• y – y1 = m (x – x1) adalah rumus umum persamaan garis dari gradien dan titik koordinat.

Jadi, rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui dua titik koordinat adalah

3. Menentukan Koordinat Titik Potong dari Dua Garis Lurus

Coba kamu perhatikan Gambar 3.12

Dari Gambar 3.12 , terdapat dua garis dalam bidang koordinat, yaitu garis k dan l. Dalam

Gambar 3.12(a) , kedua garis tersebut sejajar. Adapun pada Gambar 3.12(b) , kedua garis

tersebut tidak sejajar sehingga keduanya berpotongan di suatu titik, yaitu titik A (x1, y1).

Jadi, koordinat titik potong dapat dicari dari dua garis yang tidak sejajar.

Sekarang, bagaimana cara menentukan koordinat titik potong dari dua persamaan garis yang

diketahui? Ada dua cara yang dapat digunakan, yaitu cara menggambar (cara grafik) dan cara

substitusi. Untuk itu, pelajari uraian berikut.

a. Cara Grafik

Dengan cara ini, dua persamaan garis digambar ke dalam bidang koordinat Cartesius

sehingga koordinat titik potong kedua garis tersebut dapat dilihat dari gambar.

b. Cara Substitusi

Dengan cara substitusi, salah satu variabel dari persamaan garis yang diketahui dimasukkan

(disubstitusikan) ke dalam variabel yang sama dari persamaan garis yang lain.

4. Aplikasi Persaman Garis Lurus

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang yang menggunakan aplikasi

persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-waktu dalam fisika dan

perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi. Coba kamu pelajari Contoh Soal.

Aplikasi Persaman Garis Lurus Dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali bidang-bidang

yang menggunakan aplikasi persamaan garis lurus. Misalnya, perhitungan kecepatan-jarak-

waktu dalam fisika dan perhitungan harga barang dan titik impas dalam ekonomi.

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 14(empatbelas)

Pokok Bahasan : Persamaan linear satu variabel, Persamaan linear dua variabel,

Ssistem persamaan linear dua variabel,

A. Pengertian SPLDV

Untuk memahami pengertian dan konsep dasar SPLDV, ada baiknya mengulang kembali

materi tentang persamaan linear satu variabel. Pelajarilah uraian berikut secara saksama.

1. Persamaan Linear Satu Variabel

Di Kelas VII, kamu telah mempelajari materi tentang persamaan linear satu variabel. Masih

ingatkah kamu apa yang dimaksud dengan persamaan linear satu variabel? Coba kamu

perhatikan bentuk-bentuk persamaan berikut.

Bentuk-bentuk persamaan tersebut memiliki satu variabel yang belum diketahui nilainya.

Bentuk persamaan seperti inilah yang dimaksud dengan linear satu variabel. Untuk lebih

jelasnya, coba kamu perhatikan dan pelajari Contoh Soal 4.1 secara seksama.

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya, untuk penyelesaian dari persamaan linear satu

variabel dapat digunakan beberapa cara. Salah satu di antaranya dengan sifat kesamaan.

Perhatikan uraian persamaan berikut.

Jadi, diperoleh nilai x = 4 dan himpunan penyelesaian, Hp = {4}. Untuk lebih jelasnya, coba

kamu perhatikan dan pelajari Contoh Soal 4.2 berikut.

1. Pengertian persamaan linear dua variabel (PLDV)

Persamaan linear dua variabel ialah persamaan yang mengandung dua variabel dimana

pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya sama dengan satu.

Bentuk Umum PLDV :

ax + by = c

x dan y disebut variabel

Sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variable yang

mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum SPLDV :

ax + by = c

px + qy = r

dengan x , y disebut variabel

a, b, p, q disebut keifisien

c , r disebut konstanta

C. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable (SPLDV)

Cara penyelesaian SPLDV dapat dilakukan dengan dua cara yaitu :

1. Metode Substitusi

Menggantikan satu variable dengan variable dari persamaan yang lain

contoh :

Carilah penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 8 dan 2x – y = 6

jawab :

Kita ambil persamaan pertama yang akan disubstitusikan yaitu x + 2y = 8

Kemudian persamaan tersebut kita ubah menjadi x = 8 – 2y,

Kemudian persamaan yang diubah tersebut disubstitusikan ke persamaan

2x – y = 6 menjadi :

2 (8 – 2y) – y = 6 ; (x persamaan kedua menjadi x = 8 – 2y)

16 – 4y – y = 6

16 – 5y = 6

-5y = 6 – 16

-5y = -10

5y = 10

y =10/5 = 2

masukkan nilai y=2 ke dalam salah satu persamaan :

x + 2y = 8

x + 2. 2. = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

Jadi penyelesaian sistem persamaan tersebut adalah x = 4 dan y = 2.

Himpunan penyelesaiannya : HP = {4, 2}

2. Metode Eliminasi

Dengan cara menghilangkan salaj satu variable x atau y.

contoh :

Selesaikan soal di atas dengan cara eliminasi:

Jawab ;

x + 2y = 8

2x – y = 6

(i) mengeliminasi variable x

x + 2y = 8 | x 2 | 2x + 4y = 16

2x – y = 6 | x 1 | 2x - y = 6 - ………*

5y = 10

y = 2

masukkan nilai y = 2 ke dalam suatu persamaan

x + 2 y = 8

x + 2. 2 = 8

x + 4 = 8

x = 8 – 4

x = 4

HP = {4, 2}

(ii) mengeliminasi variable y

x + 2y = 8 | x 1 | x + 2y = 8

2x – y = 6 | x 2 | 4x - 2y = 12 + ……*

5x = 20

x =

5

20

x = 4

masukkan nilai x = 4 ke dalam suatu persamaan

4 + 2y = 8

2y = 8 – 4

2y = 4

y =

2

4 = 2

HP = {4, 2}

* catatan

nilai + atau – digunakan untuk menghilangkan/eliminasi salah satu variable agar menjadi 0

Contoh (i) yang dieliminasi adalah x :

x dalam persamaan satu + dan persamaan dua + digunakan tanda -

(ii) yang dieliminasi adalah y :

y dalam persamaan satu +, persamaan dua - atau sebaliknya digunakan tanda +

D. Penggunaan sistem persamaan linear dua variable

Contoh:

Harga 2 buah mangga dan 3 buah jeruk adalah Rp. 6000, kemudian apabila membeli 5

buah mangga dan 4 buah jeruk adalah Rp11.500,-

buah jeruk ?

Jawab :

Dalam menyelesaikan persoalan cerita seperti di atas diperlukan penggunaan model

matematika.

Misal: harga 1 buah mangga adalah x dan harga 1 buah jeruk adalah y

Maka model matematika soal tersebut di atas adalah :

2x + 3 y = 6000

5x + 4 y = 11500

Ditanya 4 x + 5 y = ?

Kita eliminasi variable x :

2x + 3 y = 6000 | x 5 | = 10x + 15 y = 30.000

5x + 4 y = 11500 | x 2 | = 10x + 8 y = 23.000 - ( karena x persamaan 1 dan 2 +)

7y = 7000

y =

7

7000

y = 1000

masukkan ke dalam suatu persamaan :

2x + 3 y = 6000

2x + 3 . 1000 = 6000

2x + 3000 = 6000

2x = 6000 – 3000

2x = 3000

x =3000/2

x = 1500

didapatkan x = 1500 (harga sebuah mangga) dan y = 1000 (harga sebuah jeruk)

sehingga uang yang harus dibayar untuk membeli 4 buah mangga dan 5 buah jeruk

adalah 4 x + 5 y = 4. 1500 + 5. 1000 = 6000 + 5000

= Rp. 11.000,-

4. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variable dengan menggunakan grafik garis

lurus.

Penyelesaiannya didapatkan dengan menggunakan titik potong antara dua garis

lurus tersebut pada grafik garis lurus.

Contoh : kita ambil contoh soal di atas

Tentukan penyelesaian dari x + 2y = 8 dan 2x – y = 6

Langkah-langkah penyelesaiannya :

1. Menentukan titik-titik potong pada sumbu x dan sumbu y dari kedua persamaan

Persamaan (1)

x + 2y = 8

titik potong dengan sumbu x apabila y = 0

x + 2y = 8

x + 2.0 = 8

x = 8

titik potong dengan sumbu y apabila x = 0

x + 2y = 8

0 + 2.y = 8

2y = 8

y =

2

8 = 4

tabelnya :

X+2y=8

X 8 0

y 0 4

2x - y = 6

titik potong dengan sumbu x apabila y = 0

2x - y = 6

2x - .0 = 6

2x = 6

x =6/2= 3

titik potong dengan sumbu y apabila x = 02x - y = 60 - .y = 6-y = 6y = -6

tabelnya :

1. Buatlah grafik garis lurus menggunakan tabel-tabel di atas :

2. Menentukan titik potong kedua persamaan tersebut (x,y)

Terlihat titik potongnya adalah x =4 dan y =2 ,

Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah (4,2)

2x-y=6X 3 0y 0 -6

X+2y=8X 8 0y 0 4

2x-y=6X 3 0y 0 -6

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 15(limabelas)

Pokok Bahasan : Unsur-unsur dalam teorema pythagoras, Menentukan teorema

pythagoras, Penerapan teoremapythagoras, Menentukan

panjang garis tinggi

A. Teorema Pythagoras

1. Pengertian Teorema Pythagoras

Siapakah Pythagoras itu? Pythagoras adalah seorang ahli matematika dan filsafat

berkebangsaan Yunani yang hidup pada tahun 569 – 475 sebelum Masehi. Sebagai ahli

metematika, ia mengungkapkan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku

adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi - sisi yang lain. Untuk membuktikan hal ini,

coba kamu lakukan Kegiatan 5.1.

2. Penulisan Teorema Pythagoras

Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari teorema Pythagoras pada segitiga siku-

siku. Coba perhatikan Gambar 5.3. Gambar tersebut menunjukkan sebuah segitiga siku-siku

ABC dengan panjang sisi miring b, panjang sisi alas c, dan tinggi a. Berdasarkan, teorema

Pythagoras, dalam segitiga siku-siku tersebut berlaku:

Sekarang, bagaimana menentukan panjang sisi-sisi yang lain? seperti panjang sisi alas c atau

tinggi a? Dengan menggunakan rumus umum teorema Pythagoras, diperoleh perhitungan

sebagai berikut.

Dari uraian tersebut, penulisan teorema Pythagoras pada setiap sisi segitiga siku-siku dapat

dituliskan sebagai berikut.

3. Penggunaan Teorema Pythagoras

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, teorema Pythagoras banyak sekali digunakan

dalam perhitungan bidang matematika yang lain. Misalnya, menghitung panjang sisi-sisi

segitiga, menentukan diagonal pada bangun datar, sampai perhitungan diagonal ruang pada

suatu bangun ruang. Berikut ini akan diuraikan penggunaan teorema Pythagoras pada segitiga

dan bangun datar.

a. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Sisi-Sisi Segitiga.

Pada materi sebelumnya, kamu telah mempelajari cara menghitung panjang

. b. Penggunaan Teorema Pythagoras pada Bangun Datar

Pada kondisi tertentu, teorema Pythagoras digunakan dalam perhitungan bangun datar.

Misalnya, menghitung panjang diagonal, menghitung sisi miring trapesium, dan lain

sebagainya

4. Penerapan Teorema Pythagoras

Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali masalah - masalah yang dapat dipecahkan

menggunakan teorema Pythagoras. Untuk mempermudah perhitungan, alangkah baiknya jika

permasalahan tersebut dituangkan dalam bentuk gambar.

Latihan!

Soal No. 1

Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:

Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki

panjang 28 cm.

Tentukan luas segitiga tersebut!

Pembahasan

Tentukan tinggi segitiga terlebih dahulu:

Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi sehingga didapat hasil:

Soal No. 2

Perhatikan gambar segitiga berikut!

Tentukan panjang sisi AB!

Pembahasan

Perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut 45° adalah sebagai

berikut:

Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian didapat:

Berikutnya akan dibahas soal-soal segitiga yang menggunakan perbandingan  dengan sudut-

sudut 30o dan 60o

Soal No. 3

Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!

Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!

Pembahasan

Tengok perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung sudut 30° dan 60°

kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC:

Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:

Soal No. 4

Perhatikan gambar!

Panjang AD adalah....

A. 15 cm

B. 17 cm

C. 24 cm

D. 25 cm

(Dari Soal UN Matematika SMP - 2011 Teorema Pythagoras)

Pembahasan

Tentukan panjang AC dari segitiga ABC terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan

mencari panjang AD dari segitiga ACD, keduanya adalah sisi miring pada masing-masing

segitiga.

B. Garis-Garis Pada Segitiga

Di kelas VII, kamu telah mengenal berbagai macam garis pada segitiga. Garis-garis pada

segitiga tersebut adalah garis tinggi, garis berat, garis bagi, dan garis sumbu. Masih ingatkah

kamu pengertian untuk masing-masing garis tersebut ?

Pada subbab ini, kamu akan mempelajari bagaimana menentukan dan menghitung panjang

garis-garis pada segitiga. Namun, garis-garis pada segitiga yang dibahas pada bab ini dibatasi

hanya garis tinggi dan garis berat.

1. Garis Tinggi Pada Segitiga

Sebelum mempelajari perhitungan garis tinggi pada segitiga, kamu harus memahami terlebih

dahulu proyeksi titik atau garis pada suatu garis. Proyeksi merupakan dasar perhitungan garis

tinggi pada segitiga. Coba kamu pelajari uraian berikut.

a. Proyeksi

Untuk memahami apa yang dimaksud dengan proyeksi, coba kamu perhatikan Gambar

5.7(a). Pada gambar tersebut terlihat titik P diproyeksikan terhadap garis AB. Hasil proyeksi

titik P tersebut adalah titik P'. Sekarang, coba kamu perhatikan Gambar 5.7(b) gambar

tersebut menunjukan proyeksi titik P terhadap garis AB dengan posisi yang berbeda. Hasil

proyeksi titik P tersebut adalah P'.

Dari uraian ini apa yang dapat kamu ketahui? Proyeksi sebuah titik adalah pembentukan

bayangan suatu titik terhadap satu bidang, dengan syarat garis hubung titik dan titik hasil

proyeksinya harus tegak lurus dengan bidang tersebut.

Bagaimana panjang garis proyeksi tersebut ? Ada dua macam perhitungan yang dapat kamu

lakukan. Berdasarkan materi persamaan garis lurus yang telah kamu pelajari, dapat diuraikan

sebagai berikut.

http://www.crayonpedia.org/mw/Berkas:Pythagoras_24.jpg

HAND OUT PERKULIAHAN

Nama Mata Kuliah : Kapita Selekta Matematika I

Kode Mata Kuliah : MT 306

Jumlah SKS : 3 (Tiga)

Pertemuan ke : 16 (enambelas)

Pokok Bahasan : UAS (Ujian Akhir Semester)