evaluasi premi asuransi jiwa joint life pasangan …

1

EVALUASI PREMI ASURANSI JIWA JOINT

LIFE PASANGAN SUAMI ISTRI DENGAN

MENGGUNAKAN COPULA CLAYTON

SKRIPSI

Saskia Sahrain

11160940000032

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2021 M / 1442 H

i

EVALUASI PREMI ASURANSI JIWA JOINT LIFE PASANGAN

SUAMI ISTRI DENGAN MENGGUNAKAN COPULA CLAYTON

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta

Fakultas Sains dan Teknologi

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh:

Saskia Sahrain

11160940000032

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

2021 M/1442 H

ii

PERNYATAAN KEASLIAN

DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR-BENAR

HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI

SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU

LEMBAGA MANAPUN.

ii

LEMBAR PENGESAHAN

iii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

iv

PERSEMBAHAN DAN MOTTO

For My Beloved Family

MOTTO

“Boleh jadi kamu membenci sesuatu padahal ia amat baik bagimu, dan boleh jadi

(pula) kamu menyukai sesuatu, padahal ia amat buruk bagimu, Allah mengetahui,

sedang kamu tidak mengetahui.”

(QS Al-Baqarah ayat 216)

v

ABSTRAK

Saskia Sahrain, Evaluasi Premi Asuransi Jiwa Joint Life Pasangan Suami Istri

Dengan Menggunakan Copula Clayton. Dibawah bimbingan Irma Fauziah, M.Sc.

dan Mahmudi, M.Si.

Skripsi ini membahas perhitungan premi tahunan asuransi jiwa joint life

berjangka 𝑛-tahun dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas menggunakan

Copula Clayton. Tingkat suku bunga pada penelitian ini diasumsikan sebesar 6%

dengan masa perjanjian 10 tahun dan besar santunan diasumsikan Rp. 100,000,000,-.

Premi tahunan terkecil diperoleh dari asuransi jiwa joint life yang diasumsikan tidak

saling bebas menggunakan Copula Clayton dari pasangan suami istri dengan usia

suami dan usia istri diasumsikan 55 tahun dimana parameter 𝜃 = 2 yaitu sebesar Rp.

1,394,168,-. Sedangkan premi tahunan terbesar diperoleh dari asuransi jiwa joint life

yang diasumsikan saling bebas dari pasangan suami istri dimana usia suami lebih tua

5 tahun dari usia istri. Harga premi untuk pasangan suami istri dengan asumsi tidak

saling bebas menggunakan Copula Clayton lebih murah dibandingkan dengan harga

premi yang dihitung dengan menggunakan asumsi saling bebas. Hal ini disebabkan

karena semakin kecil penyimpangannya dari asumsi saling bebas, maka harga

preminya akan mendekati harga premi dari pasangan suami istri yang diasumsikan

saling bebas.

Kata Kunci : Asuransi Jiwa Berjangka 𝑛 −tahun, Copula Clayton, Joint Life, Saling

Bebas, Tidak Saling Bebas.

vi

ABSTRACT

Saskia Sahrain, Evaluation of Joint Life Insurance Premiums for Married Couples

Using Copula Clayton. Under the guidance of Irma Fauziah, M.Sc. and Mahmudi,

M.Si.

This research discusses the calculation of annual premiums for n-year joint

life insurance assuming independen and dependen to use Copula Clayton. The

interest rate in this study is assumed to be 6% with a 10-year agreement period and

the amount of compensation is assumed to be Rp. 100,000,000,-. The smallest annual

premium is obtained from joint life insurance which is assumed not to be free to use

Copula Clayton from married couples with the age of husband and wife age is

assumed to be 55 years where the parameter 𝜃 = 2 is Rp. 1,394,168,-. While the

largest annual premiums are obtained from joint life insurance that is assumed to be

free from married couples where the husband is 5 years older than the wife's age. The

premium price for married couples assuming they are dependen to use Copula

Clayton is cheaper than the premium price calculated using the independen

assumption. This is because the smaller the deviation from the assumption of

independen, the premium price will be close to the premium price of married couples

who are assumed to independen.

Keywords: Life Insurance Futures n-year, Copula Clayton, Joint Life, Independent,

Dependent.

vii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillahirabbil’alamin puji dan syukur kehadirat Allah Subhanahu wa

Ta’ala yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat

menyelesaikan skripsi yang berjudul “Evaluasi Premi Asuransi Jiwa Joint Life

Pasangan Suami Istri Dengan Menggunakan Copula Clayton”. Shalawat serta salam

semoga tercurah kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad Shallallah ‘Alayhi wa

Sallam, serta keluarga dan para sahabatnya, yang telah memberikan tauladan yang

baik kepada kita semua, semoga kita termasuk umatnya yang kelak mendapatkan

syafa’at di akhirat nanti.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis mendapatkan banyak bantuan, saran dan

bimbingan dari berbagai pihak. Untuk itu, penulis menyampaikan terimakasih kepada

:

1. Ibu Prof. Dr. Lily Surraya Eka Putri, M.Env.Stud selaku Dekan Fakultas Sains

dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika dan Ibu

Irma Fauziah, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

3. Ibu Irma Fauziah, M.Sc selaku pembimbing I yang sudah membimbing, dan

memberikan arahan serta saran kepada penulis selama proses penyusunan

skripsi ini hingga selesai.

viii

4. Bapak Mahmudi, M.Si selaku pembimbing II yang telah memberikan

bimbingan, arahan serta saran kepada penulis selama proses penyusunan

skripsi ini hingga selesai.

5. Bapak dan ibu dosen Matematika yang tidak bisa penulis sebutkan satu

persatu. Terima kasih penulis ucapkan karena berkat kesabarannya dalam

mengajar penulis.

6. Kedua Orang tua penulis, Bapak Noer Sugiarto dan Ibu Yulia Farida, yang

tidak pernah berhenti memberikan doa, kasih sayang, semangat, dukungan

moril maupun materil sehingga penulis dapat menyelesaikan kuliah dan

mendapatkan gelar Sarjana Matematika.

7. Adik penulis, Alzena Azalia dan Aliza Alfaleri yang telah menghibur dan

memberikan candaan kepada penulis selama penyusunan skripsi ini.

8. Riyadi Dwi Prasetio, seseorang yang spesial dan selalu ada saat penulis

merasa kesulitan dalam pengerjaan skripsi, yang telah memberikan begitu

banyak perhatian serta support kepada penulis.

9. Aqmarina Khairiah, Sri Haryani, Laila Siti Nur Asyifa, Nadila Amalia, Cucun

Cunaeti, Kenia, dan Puji Julianti, sahabat yang selalu menghibur dan

memberikan semangat kepada penulis.

Penulis menyadari masih terdapat banyak kekurangan dalam menyusun skripsi

ini. Oleh karena itu, penulis menerima kritik dan saran yang bersifat membangun

agar lebih baik untuk kedepannya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan

menambah wawasan bagi para pembaca.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Jakarta, Januari 2021

Penulis

ix

DAFTAR ISI

PERNYATAAN KEASLIAN ....................................................................................... ii

LEMBAR PENGESAHAN ........................................ Error! Bookmark not defined.

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ............................................................ iii

PERSEMBAHAN DAN MOTTO ............................................................................... iii

ABSTRAK .................................................................................................................... v

ABSTRACT ................................................................................................................. vi

KATA PENGANTAR ................................................................................................ vii

DAFTAR ISI ................................................................................................................ ix

DAFTAR TABEL ....................................................................................................... xii

DAFTAR SIMBOL .................................................................................................... xiii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang Masalah ..................................................................................... 1

1.2 Perumusan Masalah ............................................................................................ 3

1.3 Tujuan Penelitian ................................................................................................ 4

1.4 Batasan Masalah ................................................................................................. 4

1.5 Manfaat Penelitian .............................................................................................. 5

BAB II LANDASAN TEORI ....................................................................................... 6

2.1 Bunga Majemuk .................................................................................................. 6

2.2 Sisa Waktu Hidup Individu Berumur 𝒙. .............................................................. 6

2.3 Peluang Hidup dan Peluang Meninggal Individu Berumur 𝒙. ............................ 7

2.4 Anuitas Hidup ...................................................................................................... 7

x

2.5 Asuransi Jiwa ...................................................................................................... 7

2.5.1 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏-tahun ................................................................. 8

2.6 Status Joint Life ................................................................................................... 8

2.6.1 Peluang Hidup pada Status Joint Life ........................................................... 9

2.6.2 Peluang Gagal pada Status Joint Life ......................................................... 10

2.6.3 Anuitas Hidup pada Status Joint Life ......................................................... 10

2.6.4 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏 −Tahun pada Status Joint Life ....................... 10

2.7 Tabel Mortalita .................................................................................................. 11

2.7.1 Tabel Mortalita Joint Life ........................................................................... 12

2.8 Copula ............................................................................................................... 13

2.9 Copula Archimedean ......................................................................................... 13

2.9.1 Copula Clayton ........................................................................................... 14

BAB III METODOLOGI PENELITIAN.................................................................... 17

3.1 Data Penelitian .................................................................................................. 17

3.2 Pengolahan Data ................................................................................................ 17

3.3 Alur Penelitian ................................................................................................... 19

HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................... 20

4.1 Penentuan Premi Tahunan Asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 Tahun dengan

Asumsi Saling Bebas ........................................................................................ 20

4.1.1 Penentuan Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi

Saling Bebas ............................................................................................... 20

4.1.2 Penentuan Nilai Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun

dengan Asumsi Saling Bebas ..................................................................... 23

xi

4.1.3 Penentuan Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10 Tahun

dengan Asumsi Saling Bebas ..................................................................... 26

4.2 Penentuan Premi Tahunan Asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 Tahun dengan

Asumsi Tidak Saling Bebas Menggunakan Copula Clayton ........................... 28

4.2.1 Penentuan Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10

Tahun Untuk Copula Clayton..................................................................... 28


Untuk Copula Clayton ................................................................................ 35


Untuk Copula Clayton ................................................................................ 40

4.3 Perbandingan Hasil Simulasi Premi Tahunan ................................................... 43

BAB V PENUTUP ...................................................................................................... 47

5.1 Kesimpulan ........................................................................................................ 47

5.2 Saran .................................................................................................................. 47

DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................. 48

LAMPIRAN ................................................................................................................ 50

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Fungsi Copula Archimedean dan Parameter……………………………...15

Tabel 4. 1 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas dari

berbagai Variasi Usia .................................................................................. 22

Tabel 4. 2 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas dari


Tabel 4. 3 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas dari


Tabel 4. 4 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Clayton

dari Berbagai Variasi Usia .......................................................................... 34

Tabel 4. 5 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Clayton dari

Berbagai Variasi Usia ................................................................................. 39

Tabel 4. 6 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Clayton

dari Berbagai Variasi Usia .......................................................................... 41

xiii

DAFTAR SIMBOL

𝑥 : Peserta berusia 𝑥 tahun

𝑦 : Peserta berusia 𝑦 tahun

𝑣 : Faktor diskonto

𝑖 : Tingkat suku bunga

𝑇(𝑥) : Sisa umur hidup 𝑥

𝑝𝑥𝑡 : Peluang seseorang berusia 𝑥 tahun yang bertahan hidup mencapai usia (𝑥 +

𝑡) tahun

𝑞𝑥𝑡 : Peluang seseorang berusia 𝑥 tahun akan meninggal sebelum usia (𝑥 + 𝑡)

tahun

𝐹(𝑡) : Fungsi distribusi

𝑆(𝑡) : Fungsi survival

𝑏𝑘+1 : Benefit dari usia k+1

𝐴 1 𝑥:�̅�⌉

: Premi tunggal asuransi berjangka 𝑛-tahun dengan pembayaran manfaat

kematian sebesar 1 unit

�̈�𝑥:𝑛|̅̅ ̅ : Anuitas awal berjangka 𝑛-tahun untuk seseorang berusia 𝑥

𝐹𝑇(𝑡) : Peluang 𝑇 < 𝑡

𝑑𝑥 : Banyaknya orang berusia 𝑥 tahun yang meninggal sebelum mencapai usia

(x+1) tahun

𝑙𝑥 : Banyaknya orang berusia 𝑥 tahun yang bertahan hidup

𝜑 : Fungsi pembangkit (generator) dari copula 𝐶

1

BAB I PENDAHULUAN

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Setiap orang pasti pernah membuat rencana dalam hidupnya dan berharap

perjalanan hidupnya berjalan sesuai rencana yang telah dibuatnya. Contohnya adalah

orang tua, dimana orang tua pasti merencanakan kehidupan yang terbaik untuk anak-

anaknya, yaitu dengan membiayai kehidupan anak-anaknya hingga mereka tumbuh

dewasa. Namun, terkadang ada saja halangan yang menyebabkan rencana-rencana

tersebut tidak berjalan semestinya. Kita tidak bisa menghindari bencana-bencana tak

terduga tersebut, tetapi kita dapat menanggulangi sejak dini kemungkinan bencana

yang menghampiri kita.

Untuk menanggulangi bencana yang mungkin terjadi dalam hidup kita, maka

diperlukan pihak yang bertanggung jawab atau pihak yang dapat mengatur finansial

kita. Pihak tersebut adalah perusahaan Asuransi. Asuransi merupakan sarana yang

dapat digunakan untuk mengatur keuangan kita agar terhindar dari bencana yang akan

datang.

Islam juga mengajarkan kita bahwa sebagai orang tua kita harus bertanggung

jawab atas kehidupan anak-anak kita. Mulai dari mengurusnya, membiayai

pendidikan mereka, memberi makan, membelikan pakaian yang layak dan lain

sebagainya. Seperti yang disebutkan dalam QS. An-Nisa ayat 9 :

Artinya : “Hendaklah kalian takut kepada Allah orang-orang yang seandainya

meninggalkan dibelakang mereka anak-anak yang lemah, yang mereka khawatir

2

terhadap (kesejahteraan) mereka. Oleh sebab itu, hendaklah mereka bertakwa

kepada Allah dan hendaklah mereka mengucap perkataan yang benar.” (QS. An-

Nisa : 9)

Oleh karena itu, mengikuti asuransi menjadi pilihan yang tepat bagi setiap orang,

khususnya untuk para orang tua. Jika orang tua atau khususnya kepala rumah tangga

mengalami hal-hal yang tak terduga, maka ahli waris akan mendapatkan dana

santunan yang dapat dimanfaatkan sebagai keperluan hidupnya.

Saat ini perusahaan asuransi jiwa tidak hanya menyediakan produk untuk status

hidup perorangan, tetapi juga status untuk produk gabungan (joint status). Misalnya

asuransi untuk pasangan suami istri. Jika benefit dibayarkan kepada ahli waris setelah

keduanya meninggal (pada kematian peserta yang kedua) maka disebut asuransi last

survivor. Sedangkan untuk benefit yang dibayarkan jika ada salah satu yang

meninggal (pada kematian peserta pertama) maka disebut asuransi joint life.

Risiko kematian pasangan suami istri sering diasumsikan saling bebas

(independen) dalam menetapkan harga premi asuransi jiwa gabungan. Namun,

beberapa peneliti, salah satunya Fauziah [1] menunjukkan bahwa terdapat hubungan

antara risiko kematian dari pasangan suami istri. Mereka cenderung mengalami risiko

yang sama terhadap hal-hal berikut : misalnya Stress Cardiomyopathy atau sindrom

patah hati, biasanya hal ini terjadi ketika salah seorang pasangan merasakan

kesedihan yang mendalam atas kepergian pasangannya, biasanya Stress

Cardiomyopathy ini dialami oleh pasangan suami-istri yang berusia 55 tahun keatas.

Kemudian kemungkinan yang kedua yang mengasumsikan adanya keterkaitan antara

kematian suami dan istri adalah kecelakaan yang dialami bersama dan kemungkinan

yang terakhir adalah mengalami penyakit menular. [1]

3

Salah satu pendekatan untuk memodelkan struktur dependensi dari status

pasangan suami istri tersebut adalah dengan metode copula. Copula merupakan suatu

fungsi yang dapat menggabungkan beberapa distribusi marginal menjadi distribusi

bersama. Keluarga copula yang umum dikenal adalah keluarga copula Eliptik yang

terdiri dari copula Gaussian dan copula Student-t, sedangkan copula Archimedean

terdiri dari copula Frank, copula Clayton, dan copula Gumbel. [2].

Fauziah [1] telah melakukan perhitungan premi asuransi jiwa berjangka n-tahun

dengan menggunakan Copula Frank.Hasil penelitiannya adalah produk asuransi last

survivor berjangka untuk pasangan suami istri yang berusia 55 tahun keatas, premi

dimodelkan dengan asumsi dependensi mortalitas pasangan suami istri menggunakan

copula Frank sebagai perlindungan terhadap risiko finansial perusahaan asuransi.

Dan produk asuransi Last Survivor berjangka untuk pasangan suami istri yang berusia

di bawah 55 tahun ke bawah, premi dimodelkan menggunakan asumsi independensi

mortalitas pasangan suami-istri dan asumsi lapse pada setiap status polis Last

Survivor. Selanjutnya Nyoman Widana dan Ni Made Asih [3] mengevaluasi premi

joint life pasangan suami istri dengan menggunakan Copula Frank. Hasil

penelitiannya adalah untuk pasangan suami istri dengan asumsi sisa usianya saling

dependen, lebih murah dibandingkan dengan harga premi yang dihitung

menggunakan asumsi independen. Kemudian semakin kecil penyimpangannya dari

asumsi saling bebas, maka harga preminya akan mendekati harga premi dari

pasangan suami istri dengan sisa usia yang independen.

Berdasarkan uraian tersebut, maka penulis tertarik untuk melakukan penelitian

mengenai bagaimana menentukan harga premi asuransi jiwa joint life dari pasangan

suami istri yang kematiannya dependen dengan menggunakan Copula Clayton.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas, maka pertanyaan

peneliatian yang hendak dipecahkan dalam penelitian ini adalah :

4

1. Bagaimana pengaruh selisih usia pasangan suami istri terhadap besarnya

premi asuransi jiwa joint life menggunakan Copula Clayton?

2. Bagaimana perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa joint life yang

diasumsikan saling bebas dan yang diasumsikan menggunakan Copula

Clayton?

1.3 Tujuan Penelitian

Penelitian ini dilakukan dengan tujuan untuk :

1. Untuk mengetahui pengaruh selisih usia pasangan suami istri terhadap

besarnya premi asuransi jiwa joint life menggunakan Copula Clayton.

2. Untuk mengetahui perbandingan hasil perhitungan premi asuransi jiwa joint

life yang diasumsikan saling bebas dan yang diasumsikan menggunakan

Copula Clayton.

1.4 Batasan Masalah

Masalah pada penelitian ini dibatasi oleh :

1. Asuransi jiwa gabungan yang digunakan adalah asuransi jiwa joint life untuk

pasangan suami istri, dimana kematian pasangan suami istri diasumsikan tidak

saling bebas.

2. Rentang usia suami dan istri diasumsikan berusia 55 tahun sampai 70 tahun

dimana usia suami dan istri diasumsikan seumuran, usia suami lebih tua 5

tahun, dan usia suami lebih muda 5 tahun dari usia istri.

3. Menggunakan salah satu dari keluarga Copula Archimedean, yaitu Copula

Clayton.

4. Suku bunga diasumsikan 6% pertahun.

5. Benefit yang dijanjikan untuk ahli waris sebesar Rp. 100.000.000,00.

6. Benefit diberikan kepada ahli waris ketika kematian pertama dari salah satu

peserta dan diberikan di akhir tahun kematian.

7. Pembayaran premi dilakukan pada setiap awal tahun.

5

8. Premi bersih yang dicari adalah premi bersih asuransi jiwa berjangka 10

tahun.

9. Premi akan hangus jika dalam jangka waktu kontrak asuransi tidak ada peserta

yang meninggal.

10. Diasumsikan selama jangka waktu kontrak asuransi peserta asuransi mampu

membayar premi asuransi setiap tahunnya.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian pada penelitian ini adalah :

1. Bagi Penulis

Penelitian ini berguna untuk melatih kemampuan menulis dan dapat

menambah wawasan peneliti dibidang matematika, serta untuk menerapkan

ilmu yang didapat selama proses perkuliahan.

2. Bagi Masyarakat

Penelitian ini dapat menjadi bahan pertimbangan bagi masyarakat,

khususnya bagi pasangan suami istri yang ingin ikut asuransi jiwa gabungan

joint life.

3. Ilmu Pengetahuan

Secara umum hasil penelitian ini dapat menambah khasanah ilmu

aktuaria, khususnya untuk asuransi jiwa gabungan joint life. Manfaat khusus

bagi ilmu pengetahuan yakni dapat menambah khasanah penelitian sejenis

yang telah ada sebagai referensi bagi penelitian serupa selanjutnya.

6

BAB II LANDASAN TEORI

LANDASAN TEORI

2.1 Bunga Majemuk

Bunga majemuk didefinisikan sebagai suatu perhitungan bunga yang besar

pokok jangka investasi selanjutnya adalah besar pokok sebelumnya ditambah dengan

besar bunga yang diperoleh. Besarnya pendapatan bunga tergantung pada besar

pokok, jangka waktu investasi dan tingkat bunga (𝑖). Dalam bunga majemuk

didefinisikan sebagai faktor diskon (𝑣) sebagai berikut [4]:

𝑣 =

1

1 + 𝑖 (2.1)

2.2 Sisa Waktu Hidup Individu Berumur 𝒙.

Probabilitas seseorang akan meninggal antara usia 𝑥 dan 𝑧 diketahui usianya

lebih dari 𝑥, adalah [5]:

Pr(𝑥 < 𝑋 ≤ 𝑧|𝑋 > 𝑥) =

𝐹𝑋(𝑧) − 𝐹𝑋(𝑥)

1 − 𝐹𝑋(𝑥)

= 𝑆(𝑥) − 𝑆(𝑧)

𝑆(𝑥)

(2.2)

Jadi, misalkan seseorang berumur 𝑥 tahun, dinotasikan sebagai (𝑥), maka sisa umur

hidupnya :

𝑇(𝑥) = 𝑋 − 𝑥|𝑋 > 𝑥 (2.3)

yaitu variabel acak yang menyatakan (𝑥) akan meninggal sesudah mencapai umur 𝑋

tahun, jika diketahui ia masih hidup pada umur 𝑥 tahun.

7

2.3 Peluang Hidup dan Peluang Meninggal Individu Berumur 𝒙.

Peluang seseorang yang berusia 𝑥 akan mencapai usia 𝑥 + 𝑡 tahun dinotasikan

dengan 𝑝𝑥𝑡 dan peluang seseorang berusia 𝑥 akan meninggal sebelum mencapai usia

𝑥 + 𝑡 tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥𝑡 yang secara berturut-turut dinyatakan sebagai [2]

:

𝑝𝑥𝑡 =

𝑙𝑥+𝑡𝑙𝑥

(2.4)

𝑞𝑥 = 1 −𝑡 𝑝𝑥 = 1 −

𝑙𝑥+𝑡𝑙𝑥=𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑡𝑙𝑥

𝑡 (2.5)

Notasi standar (notasi aktuaria) yang berhubungan dengan peluang tentang 𝑇(𝑥)

dinyatakan sebagai :

𝑞𝑥𝑡 = 𝑃[𝑇(𝑥) ≤ 𝑡] = 𝐹(𝑡) = 1 − 𝑆(𝑡) (2.6)

𝑝𝑥𝑡 = 1 − 𝑞𝑥𝑡

= 𝑃[𝑇(𝑥) > 𝑡] = 𝑆(𝑡) (2.7)

2.4 Anuitas Hidup

Anuitas hidup (life Annuity) adalah serangkaian pembayaran yang dilakukan

terus menerus atau pada interval yang sama (seperti bulan, kuartal, tahun) selama

seseorang tersebut masih hidup, yaitu terbatas pada jangka waktu tertentu atau

dibayarkan untuk seumur hidup [5].

2.5 Asuransi Jiwa

Asuransi jiwa adalah sebuah janji dari perusahaan asuransi (pihak

penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwa apabila nasabah mengalami

risiko kematian dalam hidupnya, perusahaan asuransi akan memberikan santunan

(manfaat kematian) dengan jumlah tertentu kepada ahli waris dari nasabah tersebut.

Mengingat asuransi jiwa merupakan kontrak jangka panjang, perusahaan asuransi

harus memperhatikan penetapan suku bunga, administrasi yang efisien, dan investasi

dana yang aman. Selain itu, nasabah juga harus memperhatikan tingkat suku bunga

8

dan kontrak tertulis antara dirinya dan perusahaan. Dalam kontrak, disertakan juga

besarnya premi (sejumlah uang yang harus dibayarkan oleh nasabah), periode

pembayaran, dan besarnya manfaat kematian yang akan dibayarkan oleh perusahaan

asuransi. Kontrak antara perusahaan asuransi dan nasabah tersebut dinamakan polis

asuransi, sedangkan besarnya manfaat kematian tergantung pada peluang meninggal

(umur, riwayat kesehatan, jenis kelamin, pekerjaan), dan suku bunga ditetapkan oleh

pihak perusahaan asuransi [6].

2.5.1 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏-tahun

Dari asuransi jiwa berjangka 𝑛-tahun yang memberikan 1 unit pada akhir

tahun kematian, diperoleh [6]:

𝑏𝑘+1 = {

1 𝑘 = 0,1, … , (𝑛 − 1)0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

(2.8)

𝑣𝑘+1 = 𝑣𝑘+1 (2.9)

𝑍 = {

𝑣𝑘+1 𝑘 = 0,1, … , (𝑛 − 1)0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

(2.10)

Nilai sekarang aktuaria untuk asuransi ini diberikan dengan :

𝐴 1 𝑥:�̅�⌉

= 𝐸[𝑍] = 𝑏𝑡∑𝑣𝑘+1 𝑝𝑥𝑞𝑥+𝑘𝑘

𝑛−1

𝑘=0

(2.11)

2.6 Status Joint Life

Status yang berlangsung sepanjang semua anggota masih tetap hidup dan

berakhir jika ada anggota meninggal, dikenal dengan nama status joint life. Status ini

dinyatakan oleh (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑚) dengan 𝑥𝑖 menyatakan usia dari anggota grup yang

ke 𝑖 dan 𝑚 menyatakan jumlah anggota grup. Selanjutnya nyatakan variabel random

𝑇 sebagai waktu sampai status joint life berakhir (time until failure of a status).

Sehingga [7]:

9

𝑇 = min [𝑇(𝑥1), 𝑇(𝑥2), … , 𝑇(𝑥𝑚)]

(2.12)

dengan 𝑇(𝑥𝑖) menyatakan sisa usia dari (𝑥𝑖) [5].

Untuk kasus 𝑥1 = 𝑥 dan 𝑥2 = 𝑦 maka :

𝐹𝑇(𝑡) = Pr(𝑇 ≤ 𝑡) = Pr (min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] ≤ 𝑡)

= 1 − Pr (𝑇(𝑥) > 𝑡 𝑑𝑎𝑛 𝑇(𝑦) > 𝑡)

(2.13)

Jika sisa usia dari (𝑥) dan (𝑦) saling bebas maka :

𝐹𝑇(𝑡) = 1 − Pr(𝑇(𝑥) > 𝑡) Pr(𝑇(𝑦) > 𝑡)

= 1 − 𝑝𝑥𝑡 𝑝𝑦 = 1 − 𝑝𝑥𝑦𝑡

𝑡

(2.14)

Dan peluang status joint life berakhir dalam selang waktu [𝑘, 𝑘 + 1] adalah :

𝐹𝑇(𝑡) = Pr(𝑘 < 𝑇 ≤ 𝑘 + 1)

= Pr(𝑇 ≤ 𝑘 + 1) − Pr (𝑇 ≤ 𝑘)

= 𝑝𝑥𝑦𝑘 − 𝑝𝑥𝑦𝑘+1

(2.15)

2.6.1 Peluang Hidup pada Status Joint Life

Peluang (𝑥) dan (𝑦) berturut-turut mencapai umur 𝑥 + 𝑡 tahun dan 𝑦 + 𝑡

tahun dimana sisa waktu hidup (x) dan (y) saling bebas, dapat dituliskan sebagai

berikut [5]:

𝑝𝑥𝑦𝑡 = 𝑃(𝑇(𝑥, 𝑦) > 𝑡)

= 𝑃(min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] > 𝑡)

= 𝑃(𝑇(𝑥) > 𝑡, 𝑇(𝑦) > 𝑡)

10

= 𝑃(𝑇(𝑥) > 𝑡)𝑃(𝑇(𝑦) > 𝑡)

= 𝑝𝑥 𝑝𝑦𝑡

𝑡

(2.16)

2.6.2 Peluang Gagal pada Status Joint Life

Peluang bahwa setidaknya salah satu dari (𝑥) dan (𝑦) meninggal dalam kurun

waktu 𝑡 tahun dimana sisa waktu hidup (𝑥) dan (𝑦) saling bebas dapat dituliskan

sebagai berikut:

𝑞𝑥𝑦 = 𝑃(𝑇(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡) 𝑃(𝑇(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑡)𝑡

= 𝑃(min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] ≤ 𝑡)

= 1 − 𝑃(min[𝑇(𝑥), 𝑇(𝑦)] > 𝑡)

= 1 − 𝑃[𝑇(𝑥) > 𝑡, 𝑇(𝑦) > 𝑡]

= 1 − 𝑃(𝑇(𝑥) > 𝑡)𝑃(𝑇(𝑦) > 𝑡)

= 1 − 𝑝𝑥 𝑝𝑦𝑡

𝑡 (2.17)

2.6.3 Anuitas Hidup pada Status Joint Life

Nilai sekarang aktuaria dari pembayaran sebesar 1 satuan pada anuitas hidup

diskrit untuk status joint life yang dibayar di awal tahun selama peserta asuransi

(𝑥, 𝑦) hidup dapat dituliskan sebagai berikut :

�̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ =∑𝑣𝑘𝑛−1

𝑘=0

𝑝𝑥𝑦𝑘 (2.18)

2.6.4 Asuransi Jiwa Berjangka 𝒏 −Tahun pada Status Joint Life

Asuransi jiwa berjangka 𝑛 −tahun pada status joint life adalah asuransi jiwa

untuk peserta (𝑥, 𝑦) dengan benefit sebesar 1 satuan yang diberikan jika salah satu

11

peserta asuransi meninggal dalam kurun waktu 𝑛 −tahun. Benefit diberikan di akhir

tahun kematian peserta asuransi. Nilai sekarang aktuaria dari benefit tersebut ialah :

𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 = 𝑏𝑡∑ 𝑣𝑘+1

𝑛−1

𝑘=0

( 𝑝𝑥𝑦 − 𝑘

𝑝𝑥𝑦)𝑘+1

(2.19)

2.7 Tabel Mortalita

Salah satu tujuan dari asuransi jiwa ialah menanggung kerugian dalam hal

keuangan akibat terjadinya peristiwa kematian. Sangat sukar untuk mengetahui

kapankah seseorang akan meninggal dalam suatu jangka waktu tertentu. Akan tetapi,

kita dapat mengamati jumlah orang meninggal pada suatu kelompok orang dalam

jumlah besar dalam jangka waktu tertentu. Berdasarkan pengalaman tersebut, kita

dapat memperkirakan kerugian yang dialami oleh kelompok tersebut. Alat yang tepat

dan mudah digunakan untuk memperhitungkan kemungkinan mati dan hidupnya

seseorang dalam jangka waktu tertentu ialah suatu daftar yang memuat kehidupan dan

kematian kelompok orang-orang tersebut. Daftar inilah yang kita namakan sebagai

tabel mortalita.

Tabel mortalita akan memuat peluang seseorang meninggal berdasarkan

umurnya pada kelompok orang yang diasuransikan (dalam hal ini pemegang polis

asuransi). Idealnya, tabel tersebut akan sedekat mungkin menggambarkan peluang

yang sesungguhnya pada kelompok orang diasuransikan.

Misalkan kita mengumpulkan sejumlah bayi yang baru lahir pada suatu rumah

bersalin yang tentunya berumur 0 tahun. Kelompok orang seperti ini yang

mempunyai ciri yang sama, dalam arti lahir secara bersamaan disebut cohort.

Kemudian, jumlah bayi-bayi tersebut dinyatakan dengan 𝑙0, selanjutnya bayi-bayi

yang mencapai umur 1 tahun dinyatakan dengan 𝑙1, sehingga diperoleh :

𝑑0 = 𝑙0 − 𝑙1 (2.20)

12

𝑑0 menyatakan bayi berumur 0 tahun yang meninggal sebelum mencapai usia 1

tahun. Kemudian, bayi yang berumur 1 tahun dan mencapai usia 2 tahun dinyatakan

dengan 𝑙2, sedangkan yang meninggal sebelum mencapai usia 2 tahun dinyatakan

dengan 𝑑1 di mana:

𝑑1 = 𝑙1 − 𝑙2 (2.21)

Proses ini dapat terus dilanjutkan hingga semua orang dalam kelompok

tersebut meninggal. Dari keterangan tersebut diperoleh hubungan :

𝑑𝑥 = 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+1 (2.22)

dengan 𝑑𝑥 menyatakan banyaknya orang berumur 𝑥 tahun yang meninggal sebelum

mencapai usia (𝑥 + 1) tahun dan 𝑙𝑥 menyatakan banyaknya orang yang berumur 𝑥

tahun. Data-data inilah yang tercakup dalam tabel mortalita.

2.7.1 Tabel Mortalita Joint Life

Tabel mortalita joint life merupakan tabel tingkat kematian gabungan dari

orang yang berusia 𝑥 tahun dengan orang yang berusia 𝑦 tahun. Fungsi gabungan

yang menyatakan banyaknya orang berusia 𝑥 tahun yang masih hidup dikalikan

dengan banyaknya orang berumur 𝑦 tahun yang masih hidup dinotasikan dengan 𝑙𝑥𝑦

dan dirumuskan sebagai berikut :

𝑙𝑥𝑦 = 𝑙𝑥𝑙𝑦 (2.23)

Peluang orang berusia 𝑥 tahun dan 𝑦 tahun akan tetap hidup selama 1 tahun

dinotasikan dengan 𝑝𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut :

𝑝𝑥𝑦 = 𝑝𝑥𝑝𝑦 =

𝑙𝑥+1𝑙𝑥

𝑙𝑦+1

𝑙𝑦=𝑙𝑥𝑦+1

𝑙𝑥𝑦 (2.24)

Peluang orang berusia 𝑥 tahun dan 𝑦 tahun akan tetap hidup selama 𝑡 tahun

dinotasikan dengan 𝑝𝑥𝑦𝑡 dan dirumuskan sebagai berikut :

13

𝑝𝑥𝑦 = 𝑝𝑥𝑡

𝑝𝑦 =𝑙𝑥+𝑡𝑙𝑥

𝑙𝑦+𝑡

𝑙𝑦𝑡 =

𝑙𝑥𝑦+𝑡

𝑙𝑥𝑦𝑡 (2.25)

Peluang salah satu di antara (𝑥) dan (𝑦) meninggal dalam jangka waktu 1

tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥𝑦 dan dirumuskan sebagai berikut :

𝑞𝑥𝑦 = 1 − 𝑝𝑥𝑦 = 1 − (

𝑙𝑥𝑦+1

𝑙𝑥𝑦) =

𝑙𝑥𝑦 − 𝑙𝑥𝑦+1

𝑙𝑥𝑦 (2.26)

Peluang salah satu diantara (𝑥) dan (𝑦) meninggal dalam jangka waktu 𝑡

tahun dinotasikan dengan 𝑞𝑥𝑦𝑡 dan dirumuskan sebagai berikut :

𝑞𝑥𝑦𝑡 = 1 − ( 𝑝𝑥𝑦𝑡

) = 1 − (𝑙𝑥𝑦+𝑡

𝑙𝑥𝑦) =

𝑙𝑥𝑦 − 𝑙𝑥𝑦+𝑡

𝑙𝑥𝑦 (2.27)

2.8 Copula

Copula adalah suatu fungsi yang menggabungkan beberapa distribusi

marginal menjadi distribusi bersama. Copula merupakan pendekatan yang berguna

untuk memahami dan mendeteksi struktur dependensi variabel random. Konsep

copula pertama kali diperkenalkan oleh A. Sklar pada tahun 1959. Kelebihan dari

pendekatan copula adalah distribusi marginalnya tidak harus sama [8].

Definisi. Copula berdimensi 𝑛 yang dinotasikan dengan 𝐶 adalah fungsi distribusi

multivariate 𝐹 dari variabel-variabel random 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 dengan distribusi

marginalnya 𝐹1, 𝐹2, … , 𝐹𝑛 berdistribusi uniform standar yaitu 𝑋𝑖~𝑈𝑁𝐼𝐹(0,1), 𝑖 =

1,2, … , 𝑛. Fungsi copula ini merupakan fungsi yang memiliki domain [0,1]𝑛 dan

range [0,1], yang dilambangkan dengan 𝐶: [0,1]𝑛 → [0,1].

2.9 Copula Archimedean

Copula Archimedean merupakan salah satu kelas dari copula yang special,

karena beberapa alas an diantaranya adalah copula ini mudah dikonstruksikan,

banyak variasi keluarga copula yang masuk ke dalam kelas ini, dan struktur

14

dependensinya bervariasi. Copula Archimedean sering digunakan diberbagai bidang

aplikasi, diantaranya pada bidang keuangan dan bidang asuransi. Secara umum,

bentuk Copula Archimedean adalah [8] :

𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝜑[−1](𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣)), (2.28)

dengan 0 ≤ 𝑢, 𝑣 ≤ 1. Dengan demikian, 𝐶(𝑢, 𝑣) adalah Copula Archimedean dan 𝜑

merupakan fungsi pembangkit (generator) dari copula 𝐶 dengan 𝜑(0) = ∞ dan

𝜑(1) = 0 sehingga 𝜑[−1] = 𝜑−1.

2.9.1 Copula Clayton

Copula Archimedean satu parameter dibentuk menggunakan generator 𝝋𝜽(𝒕),

dengan index parameter 𝜃. Dengan memilih satu fungsi generator, maka akan

diperoleh subkelas bagian atau family dari copula Archimedean, diantaranya

subfamili Gumbel, Clayton, Frank, dan lain sebagainya [8]:

Fungsi generator untuk Copula Clayton adalah :

𝜑𝜃(𝑡) = (𝑡−𝜃 − 1) (2.29)

Dan fungsi inversnya adalah

𝜑𝜃−1(𝑡) = (𝑡 + 1)−

1𝜃 (2.30)

Maka dengan mensubstitusikan fungsi generator dan fungsi invers dari Copula

Clayton ke dalam persamaan (2.28), diperoleh persamaan Copula Clayton sebagai

berikut :

𝐶(𝑢, 𝑣) = 𝜑[−1](𝜑(𝑢) + 𝜑(𝑣))

= 𝜑[−1][(𝑢−𝜃 − 1) + (𝑣−𝜃 − 1)]

= 𝜑[−1][𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 2 ]

15

= [(𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 2) + 1]−1

𝜃

= (𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 1)−1𝜃

Maka persamaan Copula Clayton yang dihasilkan yaitu :

𝐶𝜃(𝑢, 𝑣) = (𝑢

−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 1)−1𝜃, 𝜃 > 0 (2.31)

Kemudian menurut Syemyakin [9] parameter untuk Copula Clayton adalah sebagai

berikut :

Tabel 2. 1 Fungsi Copula Archimedean dan Parameter

Kelas

Copula

Fungsi Copula

Parameter

Frank

𝐶𝐹(𝑢, 𝑣; 𝜃) = −1

𝜃𝑙𝑜𝑔 [1 +

(exp(−𝜃𝑢) − 1)(exp(−𝜃𝑣) − 1)

exp(−𝜃) − 1]

𝜃 ≠ 0

Clayton

𝐶𝑐(𝑢, 𝑣; 𝜃) = (𝑢−𝜃 + 𝑣−𝜃 − 1 )

−1𝜃

𝜃 > 0

Gumbel

𝐶𝐺(𝑢, 𝑣; 𝜃) = 𝑒𝑥𝑝 {−[(− log𝑢)𝜃 + (− log 𝑣)𝜃]

1𝜃}

𝜃 ≥ 1

16

Peluang salah satu tertanggung dari suami ataupun istri akan hidup mencapai usia

𝑥 + 𝑘 dan 𝑦 + 𝑘 tahun dinotasikan dengan 𝑝𝑥𝑦̅̅̅̅𝑘 berdasarkan copula clayton

dinyatakan sebagai [9]:

𝑝𝑥𝑦̅̅̅̅𝑘 = 1 − ( 𝑞𝑥

−𝜃 + 𝑞𝑦−𝜃 − 1𝑘

𝑘 )

−1𝜃 (2.32)

Anuitas awal berjangka 𝑛 tahun untuk status joint life dinotasikan dengan �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅

menggunakan copula clayton, yang besarnya adalah

�̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ = ∑𝑉𝑡( 𝑝𝑥 +𝑡 𝑝𝑦 − (1 − ( 𝑞𝑥

−𝜃 + 𝑞𝑦−𝜃 − 1𝑡

𝑡 )

−1𝜃)𝑡

)

𝑛−1

𝑡=0

(2.33)

Nilai tunai manfaat asuransi berjangka 𝑛 tahun atau premi tunggal bersih asuransi

joint life menggunakan copula clayton adalah

𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 = 𝑏𝑡∑ 𝑉𝑡+1 {[ 𝑝𝑥𝑡

+ 𝑝𝑦 − (1 − ( 𝑞𝑥−𝜃 + 𝑞𝑦

−𝜃 − 1𝑡

𝑡

)−1𝜃)

𝑡

]

𝑛−1

𝑡=0

− [ 𝑝𝑥𝑡+1 + 𝑝𝑦𝑡+1

− (1 − ( 𝑞𝑥−𝜃 + 𝑞𝑦

−𝜃 − 1𝑡+1

𝑡+1

)−1𝜃)]}

(2.34)

Dan besar preminya adalah

𝑃 =

𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅1

�̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ (2.35)

17

BAB III METODOLOGI PENELITIAN

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Data Penelitian

Penelitian ini akan menghitung besar premi pada asuransi jiwa Joint Life

berjangka 10 tahun dimana premi diasumsikan saling bebas dan tidak saling bebas

dengan menggunakan Copula Clayton. Peserta asuransi diasumsikan pasangan suami

istri dimana rentang usia suami dan istri diasumsikan berusia 55 tahun sampai 70

tahun, dengan usia suami dan istri diasumsikan seumuran, usia suami lebih tua 5

tahun dan usia suami lebih muda 5 tahun dari usia istri. Kemudian menurut BI 7-Day

Repo Rate suku bunga tertinggi dari tanggal 21 April 2016 sampai 13 Oktober 2020

adalah 6%, maka penelitian ini menggunakan suku bunga 6%. Untuk menentukan

peluang hidup dan peluang kematian menggunakan Tabel Mortalita Indonesia (TMI)

tahun 2011 untuk laki-laki dan perempuan [10]. Parameter untuk perhitungan Copula

Clayton pada penelitian ini adalah parameter yang diperoleh pada penelitian

sebelumnya, Dicky dkk. (2017) mengasumsikan parameter untuk Copula Clayton

dengan nilai 𝜃 sebesar 1, 1.5, dan 2.

3.2 Pengolahan Data

Penelitian ini menggunakan software Rstudio dalam melakukan perhitungan

premi baik untuk asumsi saling bebas maupun asumsi tidak saling bebas, yaitu

menggunakan Copula Clayton. Langkah-langkah perhitungan premi asuransi jiwa

Joint Life berjangka 10 tahun adalah sebagai berikut :

1. Menentukan usia peserta, jangka waktu perjanjian, dan mengasumsikan besar

santunan.

2. Mengasumsikan parameter untuk Copula Clayton.

3. Menghitung nilai premi tunggal 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10

tahun yang diasumsikan saling bebas menggunakan persamaan (2.19).

18

4. Menghitung nilai anuitas �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun

yang diasumsikan saling bebas menggunakan persamaan (2.18).

5. Menghitung premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun yang

diasumsikan saling bebas menggunakan persamaan (2.35). Premi tahunan

yang dihitung yaitu premi untuk rentang usia suami dan istri diasumsikan

berusia 55 tahun sampai 70 tahun dimana usia suami dan istri diasumsikan

seumuran, usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih muda 5 tahun

dari istri.

6. Menghitung nilai premi tunggal 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10

tahun yang diasumsikan tidak saling bebas menggunakan persamaan (2.34).

7. Menghitung nilai anuitas �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅ asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun

yang diasumsikan tidak saling bebas menggunakan persamaan (2.33).

8. Menghitung premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun yang

diasumsikan tidak saling bebas menggunakan persamaan (2.35). Premi

tahunan yang dihitung yaitu premi untuk rentang usia suami dan istri

diasumsikan berusia 55 tahun sampai 70 tahun dimana usia suami dan istri

diasumsikan seumuran, usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih

muda 5 tahun dari istri menggunakan parameter Copula Clayton yang

berbeda-beda.

9. Membandingkan premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun

dengan asumsi tidak saling bebas, untuk usia pasangan suami istri yang

seumuran, usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih muda 5 tahun

dari istri.

10. Membandingkan premi tahunan 𝑃 asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 tahun

dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas, untuk usia pasangan suami

istri yang seumuran, usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih muda

5 tahun dari istri.

19

3.3 Alur Penelitian

Prosedur pada penelitian ini adalah sebagai berikut :

Mulai

Menentukan usia peserta, waktu perjanjian, dan asumsi besar santunan

Dengan asumsi saling bebas Dengan asumsi tidak saling bebas

Menghitung nilai 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1

Menghitung nilai �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅

Memperoleh premi

asuransi jiwa joint life

Mengasumsikan parameter

untuk Copula Clayton

Menghitung nilai 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1

Menghitung nilai �̈�𝑥𝑦:𝑛|̅̅ ̅

Memperoleh premi

asuransi jiwa joint life

Membandingkan premi asuransi jiwa joint life yang

diasumsikan tidak saling bebas berdasarkan usia

Membandingkan premi asuransi jiwa joint life yang

diasumsikan saling bebas dan tidak saling bebas

Selesai

20

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Penentuan Premi Tahunan Asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 Tahun

dengan Asumsi Saling Bebas

Pada pembahasan ini, usia peserta yang digunakan yaitu suami istri dengan

rentang usia 55 sampai 70 tahun dimana usia suami dan istri diasumsikan seumuran,

usia suami lebih tua 5 tahun, dan usia suami lebih muda 5 tahun dari usia istri.

Kemudian besarnya santunan yang diperoleh yaitu sebesar Rp. 100,000,000,- dengan

jangka waktu perjanjian selama 10 tahun.

4.1.1 Penentuan Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi

Saling Bebas

Nilai premi tunggal asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun pada kasus

saling bebas dapat dinotasikan dengan 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 dimana peserta laki-laki berusia 60

tahun dan peserta perempuan berusia 55 tahun serta masa perjanjian adalah 10 tahun,

maka diperoleh :

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 ∑ 𝑣𝑘+1( 𝑝60:55𝑘

− 𝑝60:55𝑘+1 )

10−1

𝑘=0

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 [𝑣

1( 0𝑝60:55 − 1𝑝60:55) + 𝑣2( 1𝑝60:55 − 2𝑝60:55) + 𝑣

3( 2𝑝60:55 − 3𝑝60:55)

+

𝐴60: 55; 10 𝑣4( 3𝑝60:55 − 4𝑝60:55) + 𝑣5( 4𝑝60:55 − 5𝑝60:55) + 𝑣

6( 5𝑝60:55 − 6𝑝60:55) +

𝐴60: 55; 10 𝑣7( 6𝑝60:55 − 7𝑝60:55) + 𝑣8( 7𝑝60:55 − 8𝑝60:55) + 𝑣

9( 8𝑝60:55 − 9𝑝60:55) +

𝐴60: 55; 10 𝑣10( 9𝑝60:55 − 10𝑝60:55) ]

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 [𝑣

1( 0𝑝60 0𝑝55 − 1𝑝60 1𝑝55)+ 𝑣2( 1𝑝60 1𝑝55 − 2𝑝60 2𝑝55)+

21

𝐴60:55;10 = 𝑣3( 2𝑝60 2𝑝55 − 3𝑝60 3𝑝55) + 𝑣

4( 3𝑝60 3𝑝55 − 4𝑝60 4𝑝55) +

𝐴60:55;10 = 𝑣5( 4𝑝60 4𝑝55 − 5𝑝60 5𝑝55) + 𝑣

6( 5𝑝60 5𝑝55 − 6𝑝60 6𝑝55) +

𝐴60:55;10 = 𝑣7( 6𝑝60 6𝑝55 − 7𝑝60 7𝑝55) + 𝑣

8( 7𝑝60 7𝑝55 − 8𝑝60 8𝑝55) +

𝐴60:55;10 = 𝑣9( 8𝑝60 8𝑝55 − 9𝑝60 9𝑝55) + 𝑣

10( 9𝑝60 9𝑝55 − 10𝑝60 10𝑝55)]

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 [𝑣

1 (𝑙60𝑙60∙𝑙55𝑙55−𝑙61𝑙60∙ 𝑙56𝑙55)+ 𝑣2 (

𝑙61𝑙60∙ 𝑙56𝑙55−𝑙62𝑙60∙ 𝑙57𝑙55)

+ 𝑣3 (𝑙62𝑙60∙ 𝑙57𝑙55−𝑙63𝑙60∙ 𝑙58𝑙55)+ 𝑣4 (

𝑙63𝑙60∙ 𝑙58𝑙55−𝑙64𝑙60∙ 𝑙59𝑙55)

+ 𝑣5 (𝑙64𝑙60∙ 𝑙59𝑙55−𝑙65𝑙60∙ 𝑙60𝑙55)+ 𝑣6 (

𝑙65𝑙60∙ 𝑙60𝑙55−𝑙66𝑙60∙ 𝑙61𝑙55)

+ 𝑣7 (𝑙66𝑙60∙ 𝑙61𝑙55−𝑙67𝑙60∙ 𝑙62𝑙55)+ 𝑣8 (

𝑙67𝑙60∙ 𝑙62𝑙55−𝑙68𝑙60∙ 𝑙63𝑙55)

+ 𝑣9 (𝑙68𝑙60∙ 𝑙63𝑙55−𝑙69𝑙60∙ 𝑙64𝑙55)+ 𝑣10 (

𝑙69𝑙60∙ 𝑙64𝑙55−𝑙70𝑙60∙ 𝑙65𝑙55)] (4.1)

Dalam persamaan (4.1), untuk mencari nilai 𝑙60+𝑡

𝑙60 dan

𝑙55+𝑡

𝑙55 dapat dilihat pada Tabel

Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 yang akan ditampilkan pada lampiran 1.

Kemudian berdasarkan persamaan (4.1) diperoleh nilai premi tunggal asuransi jiwa

joint life berjangka 10 tahun dengan usia suami lebih tua 5 tahun dimana usia suami

60 tahun dan usia istri 55 tahun yaitu :

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 18,506,490

Selanjutnya, penentuan premi tunggal asuransi jiwa joint life berjangka 10

tahun dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dari berbagai variasi

usia disajikan pada Tabel 4.1 berikut.

22

Tabel 4. 1 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas

dari berbagai Variasi Usia

Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun

Usia Suami Usia Istri Premi Tunggal

60 55 Rp 18,506,490

61 56 Rp 19,856,260

62 57 Rp 21,307,910

63 58 Rp 22,899,200

64 59 Rp 24,630,970

65 60 Rp 26,500,960

66 61 Rp 28,505,050

67 62 Rp 30,645,060

68 63 Rp 32,934,990

69 64 Rp 35,368,580

70 65 Rp 37,962,210

Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun


55 60 Rp 17,197,230

56 61 Rp 18,510,500

57 62 Rp 19,924,230

58 63 Rp 21,444,170

59 64 Rp 23,060,980

60 65 Rp 24,777,230

61 66 Rp 26,604,960

62 67 Rp 28,547,230

63 68 Rp 30,623,330

64 69 Rp 32,823,440

65 70 Rp 35,133,110

Usia Suami dan Istri Seumuran


55 55 Rp 14,673,480

56 56 Rp 15,750,920

57 57 Rp 16,894,300

58 58 Rp 18,118,890

59 59 Rp 19,443,500

60 60 Rp 20,877,960

23

61 61 Rp 22,434,200

62 62 Rp 24,120,080

63 63 Rp 25,961,710

64 64 Rp 27,932,940

65 65 Rp 30,024,160

66 66 Rp 32,231,040

67 67 Rp 34,550,460

68 68 Rp 36,990,390

69 69 Rp 39,556,480

70 70 Rp 42,256,800

Berdasarkan Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa premi tunggal asuransi jiwa joint

life dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dengan usia suami lebih

tua 5 tahun nilainya paling besar diantara nilai premi dari pasangan suami istri dengan

usia suami lebih muda 5 tahun dan usia suami yang seumuran dengan usia istri.



Nilai anuitas asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun dimana pembayaran

dilakukan pada kematian pertama di akhir tahun kematian dapat diperoleh

menggunakan persamaan (2.18), dengan peserta asuransi laki-laki berusia 60 tahun

dan peserta perempuan berusia 55 tahun serta masa perjanjian selama 10 tahun,

sehingga persamaan (2.18) akan menjadi :

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ =∑𝑣𝑡9

𝑡=0

𝑝60 55𝑡

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ = 0𝑝60:55 + 𝑣 ∙ 1𝑝60:55 + 𝑣2 ∙ 2𝑝60:55 + 𝑣

3 ∙ 3𝑝60:55 + 𝑣4 ∙ 4𝑝60:55 + 𝑣

5

∙ 5𝑝60:55 + 𝑣6 ∙ 6𝑝60:55 + 𝑣

7 ∙ 7𝑝60:55 + 𝑣8 ∙ 8𝑝60:55 + 𝑣

9 ∙ 9𝑝60:55

24

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ = 0𝑝60 0𝑝55 + 𝑣( 1𝑝60 1𝑝55) + 𝑣2( 2𝑝60 2𝑝55) + 𝑣

3( 3𝑝60 3𝑝55)

+ 𝑣4( 4𝑝60 4𝑝55) + 𝑣5( 5𝑝60 5𝑝55) + 𝑣

6( 6𝑝60 6𝑝55) + 𝑣7( 7𝑝60 7𝑝55)

+ 𝑣8( 8𝑝60 8𝑝55) + 𝑣9( 9𝑝60 9𝑝55)

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ =𝑙60

𝑙60∙𝑙55

𝑙55+ 𝑣 (

𝑙61

𝑙60∙ 𝑙56

𝑙55) + 𝑣2 (

𝑙62

𝑙60∙ 𝑙57

𝑙55) + 𝑣3 (

𝑙63

𝑙60∙ 𝑙58

𝑙55) + 𝑣4 (

𝑙64

𝑙60∙ 𝑙59

𝑙55)

+ 𝑣5 (𝑙65

𝑙60∙ 𝑙60

𝑙55) + 𝑣6 (

𝑙66

𝑙60∙ 𝑙61

𝑙55) + 𝑣7 (

𝑙67

𝑙60∙ 𝑙62

𝑙55) + 𝑣8 (

𝑙68

𝑙60∙ 𝑙63

𝑙55)

+ 𝑣9 (𝑙69

𝑙60∙ 𝑙64

𝑙55) (4.2)

Untuk menghitung nilai �̈�60:55;10|̅̅ ̅̅̅ pada persamaan (4.2), nilai 𝑙60+𝑡

𝑙60 dan

𝑙55+𝑡

𝑙55 diperoleh

dari Tabel Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 untuk suami berusia 60 tahun dan

istri berusia 55 tahun. Kemudian berdasarkan persamaan (4.2) diperoleh nilai anuitas

asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun dengan usia suami lebih tua 5 tahun

dimana usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun yaitu :

�̈�60:55;10|̅̅ ̅̅̅ = 7.073105

Selanjutnya, penentuan anuitas asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun

dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dari berbagai variasi usia

disajikan pada Tabel 4. 2.

Tabel 4. 2 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas dari

berbagai Variasi Usia


Usia Suami Usia Istri Anuitas

60 55 7.073105

61 56 7.018385

62 57 6.959616

63 58 6.895953

64 59 6.826284

25

65 60 6.749878

66 61 6.666193

67 62 6.574597

68 63 6.474089

69 64 6.365344

70 65 6.246515



55 60 7.131380

56 61 7.078597

57 62 7.021206

58 63 6.958542

59 64 6.891277

60 65 6.818657

61 66 6.740166

62 67 6.655469

63 68 6.564547

64 69 6.467103

65 70 6.363237



55 55 7.225746

56 56 7.182408

57 57 7.137716

58 58 7.090427

59 59 7.039038

60 60 6.982151

61 61 6.918700

62 62 6.848182

63 63 6.770335

64 64 6.686194

65 65 6.595667

66 66 6.498757

67 67 6.395033

68 68 6.283789

69 69 6.164479

26

70 70 6.035558

Berdasarkan Tabel 4. 2 dapat dilihat bahwa anuitas asuransi jiwa joint life

dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dengan usia suami seumuran

dengan usia istri nilainya paling besar diantara nilai anuitas dari pasangan suami istri

dengan usia suami lebih muda 5 tahun dan usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri.



Setelah menghitung nilai premi tunggal dan anuitas untuk asuransi jiwa joint

life berjangka 𝑛-tahun maka kita dapat menghitung premi tahunan menggunakan

persamaan (2.35), dengan peserta asuransi laki-laki berusia 60 tahun dan peserta

asuransi perempuan berusia 55 tahun dengan masa perjanjian 10 tahun dan benefit

(𝑏𝑡) sebesar 𝑅𝑝. 100,000,000,− dapat ditulis sebagai berikut :

𝑃 =

𝐴

60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅1

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅ ̅.

(4.3)

Berdasarkan persamaan (4.3) diperoleh premi tahunan asuransi jiwa joint life

berjangka 10 tahun dengan usia suami lebih tua 5 tahun dimana usia suami 60 tahun

dan usia istri 55 tahun yaitu

𝑃 =𝑅𝑝. 18,506,490

7.073105

𝑃 = 𝑅𝑝. 2,616,459

Selanjutnya, penentuan premi tahunan asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun

dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dari berbagai variasi usia

disajikan pada Tabel 4. 3.

27

Tabel 4. 3 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life dengan Asumsi Saling Bebas

dari berbagai Variasi Usia


Usia Suami Usia Istri Premi Tahunan

60 55 Rp 2,616,459

61 56 Rp 2,829,178

62 57 Rp 3,061,650

63 58 Rp 3,320,673

64 59 Rp 3,608,255

65 60 Rp 3,926,139

66 61 Rp 4,276,061

67 62 Rp 4,661,132

68 63 Rp 5,087,201

69 64 Rp 5,556,429

70 65 Rp 6,077,342



55 60 Rp 2,411,487

56 61 Rp 2,614,995

57 62 Rp 2,837,722

58 63 Rp 3,081,704

59 64 Rp 3,346,402

60 65 Rp 3,633,741

61 66 Rp 3,947,226

62 67 Rp 4,289,289

63 68 Rp 4,664,957

64 69 Rp 5,075,448

65 70 Rp 5,521,264



55 55 Rp 2,030,721

56 56 Rp 2,192,986

57 57 Rp 2,366,905

58 58 Rp 2,555,402

59 59 Rp 2,762,238

60 60 Rp 2,990,190

28

61 61 Rp 3,242,546

62 62 Rp 3,522,114

63 63 Rp 3,834,627

64 64 Rp 4,177,704

65 65 Rp 4,552,104

66 66 Rp 4,959,570

67 67 Rp 5,402,703

68 68 Rp 5,886,637

69 69 Rp 6,416,842

70 70 Rp 7,001,307

Berdasarkan Tabel 4. 3 dapat dilihat bahwa premi tahunan asuransi jiwa joint

life dengan asumsi saling bebas untuk pasangan suami istri dengan usia suami lebih

tua 5 tahun nilainya paling besar diantara nilai premi dari pasangan suami istri dengan

usia suami lebih muda 5 tahun dan usia suami yang seumuran dengan usia istri.

4.2 Penentuan Premi Tahunan Asuransi jiwa Joint Life berjangka 10 Tahun

dengan Asumsi Tidak Saling Bebas Menggunakan Copula Clayton

Pada pembahasan ini, usia peserta yang digunakan yaitu diasumsikan sama

dengan usia peserta pada penentuan premi tahunan asuransi jiwa joint life berjangka

10 tahun dengan asumsi saling bebas. Parameter 𝜃 yang digunakan untuk Copula

Clayton merupakan parameter yang menyatakan besarnya penyimpangan dari asumsi

saling bebas, pada pembahasan ini nilai parameter untuk Copula Clayton sebesar 𝜃 =

1, 1.5, 2. Kemudian besarnya santunan yang diperoleh yaitu sebesar Rp.

100,000,000,- .

4.2.1 Penentuan Nilai Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Berjangka 10

Tahun Untuk Copula Clayton

Nilai premi tunggal asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun menggunakan

Copula Clayton dapat dinotasikan dengan 𝐴𝑥𝑦⏞:𝑛|̅̅ ̅1 dan dapat diperoleh menggunakan

persamaan (2.32) dengan peserta laki-laki berusia 60 tahun dan peserta perempuan

29

berusia 55 tahun serta masa perjanjian selama 10 tahun, maka persamaan (2.34)

menjadi :

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 ∑ 𝑣𝑡+1 {[ 𝑝60 +𝑡

𝑝55 − (1 − (( 𝑞60𝑡 )

−2+ ( 𝑞55𝑡

)−2− 1)

−12)

𝑡

]

10−1

𝑡=0

− [ 𝑝60 +𝑡+1

𝑝55 − (1 − (( 𝑞60𝑡+1 )

−2+ ( 𝑞55𝑡+1

)−2− 1)

−12)

𝑡+1

]}

30

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 [ 𝑣{[ 𝑝60 +0

𝑝55 − (1 − (( 𝑞600 )

−2+ ( 𝑞550

)−2− 1)

−12)

0

]

− [ 𝑝60 +1

𝑝55 − (1 − (( 𝑞601 )

−2+ ( 𝑞551

)−2− 1)

−12)

1

]}

+ 𝑣2 {[ 𝑝60 +1

𝑝55 − (1 − (( 𝑞601 )

−2+ ( 𝑞551

)−2− 1)

−12)

1

]

− [ 𝑝60 +2

𝑝55 − (1 − (( 𝑞602 )

−2+ ( 𝑞552

)−2− 1)

−12)

2

]}

+ 𝑣3 {[ 𝑝60 +2

𝑝55 − (1 − (( 𝑞602 )

−2+ ( 𝑞552

)−2− 1)

−12)

2

]

− [ 𝑝60 +3

𝑝55 − (1 − (( 𝑞603 )

−2+ ( 𝑞553

)−2− 1)

−12)

𝑡+1

]}

+ 𝑣4 {[ 𝑝60 +3

𝑝55 − (1 − (( 𝑞603 )

−2+ ( 𝑞553

)−2− 1)

−12)

3

]

− [ 𝑝60 +4

𝑝55 − (1 − (( 𝑞604 )

−2+ ( 𝑞554

)−2− 1)

−12)

4

]}

+ 𝑣5 {[ 𝑝60 +4

𝑝55 − (1 − (( 𝑞604 )

−2+ ( 𝑞554

)−2− 1)

−12)

4

]

− [ 𝑝60 +5

𝑝55 − (1 − (( 𝑞605 )

−2+ ( 𝑞555

)−2− 1)

−12)

5

]}

+ 𝑣6 {[ 𝑝60 +5

𝑝55 − (1 − (( 𝑞605 )

−2+ ( 𝑞555

)−2− 1)

−12)

5

]

31

− [ 𝑝60 +6

𝑝55 − (1 − (( 𝑞606 )

−2+ ( 𝑞556

)−2− 1)

−12)

6

]}]

+𝑣7 {[ 𝑝60 +6 𝑝55 − (1 − (( 𝑞606

)−2 + ( 𝑞556 )−2 − 1)−

12)6

]

− [ 𝑝60 +7 𝑝55 − (1 − (( 𝑞607

)−2 + ( 𝑞557 )−2 − 1)−

12)7

]}

+𝑣8 {[ 𝑝60 +7 𝑝55 − (1 − (( 𝑞607

)−2 + ( 𝑞557 )−2 − 1)−

12)7

]

− [ 𝑝60 +8 𝑝55 − (1 − (( 𝑞608

)−2 + ( 𝑞558 )−2 − 1)−

12)8

]}

+𝑣9 {[ 𝑝60 +8 𝑝55 − (1 − (( 𝑞608

)−2 + ( 𝑞558 )−2 − 1)−

12)8

]

− [ 𝑝60 +9 𝑝55 − (1 − (( 𝑞609

)−2 + ( 𝑞559 )−2 − 1)−

12)9

]}

[ +𝑣10 {[ 𝑝60 +9 𝑝55 − (1 − (( 𝑞609

)−2 + ( 𝑞559 )−2 − 1)−

12)9

]

− [ 𝑝60 +10 𝑝55 − (1 − (( 𝑞6010

)−2 + ( 𝑞5510 )−2 − 1)−

12)10

]}]

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 𝑏𝑡 (𝑣{[

𝑙60𝑙60+𝑙55𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙60𝑙60)

−2

+ (1 −𝑙55𝑙55)

−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙61𝑙60+𝑙56𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙61𝑙60)

−2

+ (1 −𝑙56𝑙55)

−2

− 1)

−12

)]}

𝑣2 {[𝑙61𝑙60+𝑙56𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙61𝑙60)−2

+ (1 −𝑙56𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙62𝑙60+𝑙57𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙62𝑙60)−2

+ (1 −𝑙57𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}

32

𝑣3 {[𝑙62𝑙60+𝑙57𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙62𝑙60)−2

+ (1 −𝑙57𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙63𝑙60+𝑙58𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙63𝑙60)−2

+ (1 −𝑙58𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}

𝑣4 {[𝑙63𝑙60+𝑙58𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙63𝑙60)−2

+ (1 −𝑙58𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙64𝑙60+𝑙59𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙64𝑙60)−2

+ (1 −𝑙59𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}

𝑣5 {[𝑙64𝑙60+𝑙59𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙64𝑙60)−2

+ (1 −𝑙59𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙65𝑙60+𝑙60𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙65𝑙60)−2

+ (1 −𝑙60𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}

𝑣6 {[𝑙65𝑙60+𝑙60𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙65𝑙60)−2

+ (1 −𝑙60𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙66𝑙60+𝑙61𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙66𝑙60)−2

+ (1 −𝑙61𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}

𝑣7 {[𝑙66𝑙60+𝑙61𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙66𝑙60)−2

+ (1 −𝑙61𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙67𝑙60+𝑙62𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙67𝑙60)−2

+ (1 −𝑙62𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}

33

𝑣8 {[𝑙67𝑙60+𝑙62𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙67𝑙60)−2

+ (1 −𝑙62𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙68𝑙60+𝑙63𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙68𝑙60)−2

+ (1 −𝑙63𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}

𝑣9 {[𝑙68𝑙60+𝑙63𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙68𝑙60)−2

+ (1 −𝑙63𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙69𝑙60+𝑙64𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙69𝑙60)−2

+ (1 −𝑙64𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}

𝑣10 {[𝑙69𝑙60+𝑙64𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙69𝑙60)−2

+ (1 −𝑙64𝑙55)−2

− 1)

−12

)]

− [𝑙70𝑙60+𝑙65𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙70𝑙60)−2

+ (1 −𝑙65𝑙55)−2

− 1)

−12

)]}) (4.4)

Dalam persamaan (4.4), untuk mencari nilai 𝑙60+𝑡

𝑙60 dan

𝑙55+𝑡

𝑙55 dapat dilihat pada Tabel

Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 yang akan ditampilkan pada lampiran 1.

Kemudian berdasarkan persamaan (4.4) diperoleh nilai premi tunggal asuransi jiwa

joint life berjangka 10 tahun menggunakan Copula Clayton dengan usia suami lebih

tua 5 tahun dimana usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun untuk 𝜃 = 1 yaitu :

𝐴60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅̅1 = 15,147,010


tahun dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan Copula Clayton untuk

pasangan suami istri dari berbagai variasi usia disajikan pada Tabel 4.4

34

Tabel 4. 4 Premi Tunggal Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula

Clayton dari Berbagai Variasi Usia


Usia

Suami

Usia

Istri

Premi Tunggal

θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

60 55 Rp 15,147,010 Rp 14,430,040 Rp 14,037,480

61 56 Rp 16,298,400 Rp 15,537,710 Rp 15,118,510

62 57 Rp 17,547,100 Rp 16,741,870 Rp 16,295,360

63 58 Rp 18,928,340 Rp 18,077,110 Rp 17,602,170

64 59 Rp 20,442,180 Rp 19,542,410 Rp 19,036,900

65 60 Rp 22,086,780 Rp 21,135,200 Rp 20,596,190

66 61 Rp 23,862,330 Rp 22,856,520 Rp 22,281,600

67 62 Rp 25,773,780 Rp 24,711,730 Rp 24,098,580

68 63 Rp 27,840,030 Rp 26,720,960 Rp 26,068,120

69 64 Rp 30,067,680 Rp 28,894,800 Rp 28,203,750

70 65 Rp 32,480,090 Rp 31,258,450 Rp 30,531,980


Usia

Suami

Usia

Istri

Premi Tunggal

θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

55 60 Rp 13,414,012 Rp 12,432,934 Rp 11,786,787

56 61 Rp 14,483,605 Rp 13,437,460 Rp 12,744,464

57 62 Rp 15,642,963 Rp 14,528,366 Rp 13,785,576

58 63 Rp 16,898,949 Rp 15,712,741 Rp 14,917,341

59 64 Rp 18,246,707 Rp 16,986,881 Rp 16,136,862

60 65 Rp 19,690,638 Rp 18,355,521 Rp 17,449,063

61 66 Rp 21,243,666 Rp 19,831,595 Rp 18,866,787

62 67 Rp 22,911,666 Rp 21,421,462 Rp 20,396,651

63 68 Rp 24,715,537 Rp 23,146,035 Rp 22,059,388

64 69 Rp 26,651,611 Rp 25,003,014 Rp 23,853,620

65 70 Rp 28,712,441 Rp 26,986,599 Rp 25,774,706

Usia Suami Istri Seumuran

Usia

Suami

Usia

Istri

Premi Tunggal

θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

55 55 Rp 11,548,630 Rp 10,787,510 Rp 10,321,521

35

56 56 Rp 12,425,628 Rp 11,614,566 Rp 11,115,261

57 57 Rp 13,361,372 Rp 12,498,261 Rp 11,963,829

58 58 Rp 14,368,249 Rp 13,449,867 Rp 12,877,542

59 59 Rp 15,462,515 Rp 14,484,770 Rp 13,871,053

60 60 Rp 16,653,041 Rp 15,611,251 Rp 14,952,050

61 61 Rp 17,953,224 Rp 16,843,294 Rp 16,135,033

62 62 Rp 19,372,295 Rp 18,190,307 Rp 17,429,436

63 63 Rp 20,938,016 Rp 19,680,706 Rp 18,864,269

64 64 Rp 22,633,850 Rp 21,300,588 Rp 20,427,568

65 65 Rp 24,454,715 Rp 23,045,571 Rp 22,115,250

66 66 Rp 26,401,147 Rp 24,917,131 Rp 23,929,355

67 67 Rp 28,475,254 Rp 26,918,495 Rp 25,873,851

68 68 Rp 30,691,032 Rp 29,065,268 Rp 27,965,602

69 69 Rp 33,061,119 Rp 31,371,800 Rp 30,220,213

70 70 Rp 35,601,965 Rp 33,856,923 Rp 32,658,409

Berdasarkan Tabel 4.4 dapat dilihat bahwa premi tunggal asuransi jiwa joint

life dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan copula clayton untuk pasangan

suami istri dengan usia suami lebih tua 5 tahun dari istri dengan parameter 𝜃 terkecil

nilainya paling besar diantara nilai premi dari pasangan suami istri dengan usia suami

lebih muda 5 tahun dan usia suami yang seumuran dengan usia istri dengan parameter

𝜃 lainnya.


Untuk Copula Clayton

Nilai anuitas asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun menggunakan Copula

Clayton dimana pembayaran dilakukan pada kematian pertama di akhir tahun

kematian dapat diperoleh menggunakan persamaan (2.33), dengan peserta asuransi

laki-laki berusia 60 tahun dan peserta perempuan berusia 55 tahun serta masa

perjanjian selama 10 tahun, sehingga persamaan (2.33) akan menjadi :

36

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ = ∑ 𝑉𝑡( 𝑝60 +𝑡 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−𝜃 + 𝑞55−𝜃 − 1𝑡

𝑡 )

−1𝜃)𝑡

)

10−1

𝑡=0

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ = ( 𝑝60 +0 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 10

0 )−

12)0

)

+ 𝑣 ( 𝑝60 +1 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 11

1 )−

12)1

)

+ 𝑣2 ( 𝑝60 +1 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 11

1 )−

12)1

)

+ 𝑣3 ( 𝑝60 +3 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 13

3 )−

12)3

)

+ 𝑣4 ( 𝑝60 +4 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 14

4 )−

12)4

)

+ 𝑣5 ( 𝑝60 +5 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 15

5 )−

12)5

)

+ 𝑣6 ( 𝑝60 +6 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 16

6 )−

12)6

)

+ 𝑣7 ( 𝑝60 +7 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 17

7 )−

12)7

)

+ 𝑣8 ( 𝑝60 +8 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 18

8 )−

12)8

)

+ 𝑣9 ( 𝑝60 +9 𝑝55 − (1 − ( 𝑞60

−2 + 𝑞55−2 − 19

9 )−

12)9

)

37

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅̅ =

(

𝑙60𝑙60+𝑙55𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙60𝑙60)−2

+ (1 −𝑙55𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

+ 𝑣

(

𝑙61𝑙60+𝑙56𝑙55−(1 − ((1 −

𝑙61𝑙60)−2

+ (1 −𝑙56𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

+ 𝑣2

(

𝑙62𝑙60+𝑙57𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙62𝑙60)−2

+ (1 −𝑙57𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

+ 𝑣3

(

𝑙63𝑙60+𝑙58𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙63𝑙60)−2

+ (1 −𝑙58𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

+ 𝑣4

(

𝑙64𝑙60+𝑙59𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙64𝑙60)−2

+ (1 −𝑙59𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

+ 𝑣5

(

𝑙65𝑙60+𝑙60𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙65𝑙60)−2

+ (1 −𝑙60𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

38

+ 𝑣6

(

𝑙66𝑙60+𝑙61𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙66𝑙60)−2

+ (1 −𝑙61𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

+ 𝑣7

(

𝑙67𝑙60+𝑙62𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙67𝑙60)−2

+ (1 −𝑙62𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

+ 𝑣8

(

𝑙68𝑙60+𝑙63𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙68𝑙60)−2

+ (1 −𝑙63𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

+ 𝑣9

(

𝑙69𝑙60+𝑙64𝑙55− (1 − ((1 −

𝑙69𝑙60)−2

+ (1 −𝑙64𝑙55)−2

− 1)

−12

)

)

(4.5)

Untuk menghitung nilai �̈�60:55;10 pada persamaan (4.5), nilai 𝑙60+𝑡

𝑙60 dan

𝑙55+𝑡

𝑙55 diperoleh

dari Tabel Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011 untuk suami berusia 60 tahun dan

istri berusia 55 tahun. Kemudian berdasarkan persamaan (4.5) diperoleh nilai anuitas

asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun menggunakan Copula Clayton dengan usia

suami lebih tua 5 tahun dimana usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun untuk 𝜃 =

1 yaitu :

�̈�60:55;10|̅̅ ̅̅̅ =7.213886


tahun dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan Copula Clayton untuk

pasangan suami istri dari berbagai variasi usia disajikan pada Tabel 4.5

39

Tabel 4. 5 Anuitas Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula Clayton dari

Berbagai Variasi Usia



θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

60 55 7.213886 7.243816 7.25962

61 56 7.16848 7.200379 7.217285

62 57 7.119155 7.152969 7.170921

63 58 7.065357 7.101143 7.120172

64 59 7.006281 7.044208 7.064428

65 60 6.941407 6.981734 7.003329

66 61 6.870371 6.91344 6.936661

67 62 6.79252 6.838672 6.86377

68 63 6.706829 6.756391 6.783608

69 64 6.613241 6.66629 6.695688

70 65 6.509799 6.566347 6.597933



θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

55 60 7.2864760 7.3264878 7.3519844

56 61 7.2448562 7.2877783 7.3152520

57 62 7.1994622 7.2455338 7.2751704

58 63 7.1497004 7.1991762 7.2311705

59 64 7.0959792 7.1490327 7.1835199

60 65 7.0376312 7.0944600 7.1315930

61 66 6.9741755 7.0349920 7.0749376

62 67 6.9052586 6.9702783 7.0132099

63 68 6.8307643 6.9001853 6.9462696

64 69 6.7503159 6.8243267 6.8737300

65 70 6.6638346 6.7425875 6.7954570



θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

55 55 7.3537734 7.3848773 7.4033556

56 56 7.3193154 7.3525703 7.3723900

57 57 7.2835954 7.3190140 7.3401877

40

58 58 7.2456727 7.2833608 7.3059712

59 59 7.2043786 7.2445423 7.2687458

60 60 7.1585910 7.2015146 7.2275244

61 61 7.1074601 7.1534984 7.1815835

62 62 7.0505113 7.1000279 7.1304653

63 63 6.9874669 7.0408307 7.0739072

64 64 6.9188333 6.9762320 7.0120932

65 65 6.8444217 6.9060271 6.9448126

66 66 6.7641258 6.8300958 6.8719434

67 67 6.6774116 6.7478788 6.7929087

68 68 6.5834662 6.6585265 6.7068283

69 69 6.4816018 6.5613176 6.6129574

70 70 6.3701547 6.4545294 6.5095152

Berdasarkan Tabel 4.5 dapat dilihat bahwa anuitas asuransi jiwa joint life

dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan copula clayton untuk pasangan

suami istri dimana usia suami seumuran dengan usia istri nilainya paling besar

diantara nilai anuitas dari pasangan suami istri dengan usia suami lebih muda 5 tahun

dan usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri


Untuk Copula Clayton

Setelah menghitung nilai premi tunggal dan anuitas untuk asuransi jiwa joint

life berjangka 𝑛-tahun dengan menggunakan Copula Clayton maka kita dapat

menghitung premi tahunan menggunakan persamaan (2.35), dengan peserta asuransi

laki-laki berusia 60 tahun dan peserta asuransi perempuan berusia 55 tahun dengan

masa perjanjian 5 tahun dan benefit (𝑏𝑡) sebesar 𝑅𝑝. 100,000,000,− dapat ditulis

sebagai berikut :

𝑃 =

𝐴

60:55⏞ ;10|̅̅ ̅̅1

�̈�60:55:10|̅̅ ̅̅ ̅.

(4.6)

41

Berdasarkan persamaan (4.6) diperoleh premi tahunan asuransi jiwa joint life

berjangka 10 tahun dengan menggunakan Copula Clayton dimana usia suami lebih

tua 5 tahun dimana usia suami 60 tahun dan usia istri 55 tahun yaitu :

𝑃 =𝑅𝑝. 15,147,010

7.213886

𝑃 = Rp 2,099,702

Selanjutnya, penentuan premi tahunan asuransi jiwa joint life berjangka 10 tahun

dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan Copula Clayton untuk pasangan

suami istri dari berbagai variasi usia disajikan pada Tabel 4.6

Tabel 4. 6 Premi Tahunan Asuransi Jiwa Joint Life Menggunakan Copula

Clayton dari Berbagai Variasi Usia


Usia

Suami

Usia

Istri

Premi Tahunan

θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

60 55 Rp 2,099,702 Rp 1,992,050 Rp 1,933,639

61 56 Rp 2,273,620 Rp 2,157,902 Rp 2,094,765

62 57 Rp 2,464,773 Rp 2,340,549 Rp 2,272,422

63 58 Rp 2,679,035 Rp 2,545,662 Rp 2,472,155

64 59 Rp 2,917,693 Rp 2,774,252 Rp 2,694,754

65 60 Rp 3,181,888 Rp 3,027,214 Rp 2,940,915

66 61 Rp 3,473,222 Rp 3,306,100 Rp 3,212,150

67 62 Rp 3,794,435 Rp 3,613,528 Rp 3,510,983

68 63 Rp 4,150,997 Rp 3,954,916 Rp 3,842,810

69 64 Rp 4,546,588 Rp 4,334,465 Rp 4,212,226

70 65 Rp 4,989,415 Rp 4,760,401 Rp 4,627,507


Usia

Suami

Usia

Istri

Premi Tahunan

θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

55 60 Rp 1,840,946 Rp 1,696,984 Rp 1,603,212

56 61 Rp 1,999,157 Rp 1,843,835 Rp 1,742,177

57 62 Rp 2,172,796 Rp 2,005,148 Rp 1,894,880

58 63 Rp 2,363,588 Rp 2,182,575 Rp 2,062,922

42

59 64 Rp 2,571,415 Rp 2,376,109 Rp 2,246,373

60 65 Rp 2,797,907 Rp 2,587,304 Rp 2,446,727

61 66 Rp 3,046,047 Rp 2,818,993 Rp 2,666,707

62 67 Rp 3,318,003 Rp 3,073,258 Rp 2,908,319

63 68 Rp 3,618,268 Rp 3,354,408 Rp 3,175,717

64 69 Rp 3,948,202 Rp 3,663,807 Rp 3,470,258

65 70 Rp 4,308,697 Rp 4,002,410 Rp 3,792,932


Usia

Suami

Usia

Istri

Premi Tahunan

θ = 1 θ = 1.5 θ = 2

55 55 Rp 1,570,436 Rp 1,460,757 Rp 1,394,168

56 56 Rp 1,697,649 Rp 1,579,661 Rp 1,507,688

57 57 Rp 1,834,447 Rp 1,707,643 Rp 1,629,908

58 58 Rp 1,983,011 Rp 1,846,657 Rp 1,762,605

59 59 Rp 2,146,266 Rp 1,999,404 Rp 1,908,314

60 60 Rp 2,326,302 Rp 2,167,773 Rp 2,068,765

61 61 Rp 2,525,969 Rp 2,354,553 Rp 2,246,724

62 62 Rp 2,747,644 Rp 2,562,005 Rp 2,444,362

63 63 Rp 2,996,510 Rp 2,795,225 Rp 2,666,740

64 64 Rp 3,271,339 Rp 3,053,308 Rp 2,913,191

65 65 Rp 3,572,941 Rp 3,337,023 Rp 3,184,427

66 66 Rp 3,903,113 Rp 3,648,138 Rp 3,482,182

67 67 Rp 4,264,415 Rp 3,989,179 Rp 3,808,950

68 68 Rp 4,661,835 Rp 4,365,120 Rp 4,169,721

69 69 Rp 5,100,764 Rp 4,781,326 Rp 4,569,848

70 70 Rp 5,588,870 Rp 5,245,452 Rp 5,017,026

Berdasarkan Tabel 4.6 dapat dilihat bahwa premi tahunan asuransi jiwa joint

life dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan copula clayton untuk pasangan

suami istri dengan usia suami lebih tua 5 tahun dari istri yaitu jika semakin besar usia

suami dan usia istri, maka premi tahunannya akan semakin besar namun jika nilai

parameter 𝜃 nya semakin besar maka nilai premi tunggalnya akan semakin kecil.

43

Berdasarkan Tabel 4.6 juga dapat dilihat bahwa premi tahunan asuransi jiwa

joint life dengan asumsi tidak saling bebas baik untuk pasangan suami istri dengan

usia suami lebih muda 5 tahun dari istri maupun untuk pasangan suami istri dengan

usia suami seumuran dengan usia istri yaitu jika semakin besar usia suami dan usia

istri, maka premi tahunannya akan semakin besar, namun jika nilai parameter 𝜃 nya

semakin besar maka nilai premi tahunannya akan semakin kecil.

4.3 Perbandingan Hasil Simulasi Premi Tahunan

Berdasarkan hasil penelitian dan perhitungan diatas, maka dalam menghitung

premi tahunan asuransi jiwa joint life berjangka 𝑛-tahun yaitu terlebih dahulu

menentukan usia peserta, masa perjanjian dan besarnya santunan. Pada penelitian ini

diasumsikan peserta yang mengikuti asuransi yaitu sepasang suami istri dengan

rentang usia 55 tahun sampai dengan 70 tahun, dimana terdapat tiga perbedaan antara

usia dari pasangan suami istri yang diasumsikan pada penelitian ini, yaitu usia suami

dan istri seumuran, kemudian usia suami lebih tua 5 tahun dari istri, dan usia suami

lebih muda 5 tahun lebih muda dari usia istri. Masa perjanjian yang digunakan pada

penelitian ini yaitu selama 10 tahun dengan benefit sebesar Rp. 100,000,000.- Data

yang digunakan untuk menentukan peluang hidup dan peluang kematian pada

penelitian ini yaitu menggunakan Tabel Mortalita Indonesia (TMI) Tahun 2011.

Dari tabel mortalita dapat dicari nilai anuitas, premi tunggal, dan premi

tahunan untuk asuransi jiwa joint life yang diasumsikan saling bebas dan tidak saling

bebas menggunakan Copula Clayton. Berikut plot hasil perhitungan premi asuransi

jiwa joint life dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas menggunakan

Copula Clayton dimana asumsi usia suami seumuran dengan usia istri ditampilkan

pada Gambar 4.1.

44

Gambar 4. 1 Premi Tahunan Untuk Usia Suami Istri Seumuran

Berdasarkan Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa premi tahunan terbesar asuransi

jiwa joint life dimana usia suami seumuran dengan usia istri diperoleh dari pasangan

suami istri dengan asumsi saling bebas, kemudian untuk premi tahunan terkecil

diperoleh dari pasangan suami istri dengan asumsi tidak saling bebas menggunakan

Copula Clayton dan dengan parameter 𝜃 = 2. Kemudian untuk plot premi asuransi

jiwa joint life dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas menggunakan

Copula Clayton dimana asumsi usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri

ditampilkan pada Gambar 4.2

0

1000000

2000000

3000000

4000000

5000000

6000000

7000000

8000000

55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Bes

ar P

rem

i

Usia

Premi Tahunan Untuk Usia Suami Istri Seumuran

θ = 1

θ = 1.5

θ = 2

Saling Bebas

45

Gambar 4. 2 Premi Tahunan Untuk Usia Suami Lebih Tua 5 Tahun


jiwa joint life dimana usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri diperoleh dari

pasangan suami istri dengan asumsi saling bebas, kemudian untuk premi tahunan

terkecil diperoleh dari pasangan suami istri dengan asumsi tidak saling bebas

menggunakan Copula Clayton dan dengan parameter 𝜃 = 2. Kemudian untuk plot

premi asuransi jiwa joint life dengan asumsi saling bebas dan tidak saling bebas

menggunakan Copula Clayton dimana asumsi usia suami lebih muda 5 tahun dari

usia istri ditampilkan pada Gambar 4.3

46

Gambar 4. 3 Premi Tahunan Untuk Usia Istri Lebih Tua 5 Tahun


jiwa joint life dimana usia istri lebih tua 5 tahun dari usia suami diperoleh dari

pasangan suami istri dengan asumsi saling bebas, kemudian untuk premi tahunan

terkecil diperoleh dari pasangan suami istri dengan asumsi tidak saling bebas

menggunakan Copula Clayton dan dengan parameter 𝜃 = 2.

Dapat dilihat berdasarkan ketiga plot diatas premi tahunan terbesar asuransi

jiwa joint life diperoleh dari pasangan suami istri dengan asumsi saling bebas,

kemudian premi terkecil diperoleh dari psangan suami istri dengan asumsi tidak

saling bebas menggunakan copula clayton denga parameter 𝜃 = 2. Kemudian pada

ketiga plot diatas terlihat bahwa semakin kecil nilai parameter 𝜃 maka besar

preminya semakin mendekati nilai premi asuransi jiwa joint life dengan asumsi saling

bebas.

47

BAB V PENUTUP

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan tujuan pada skripsi ini, maka dapat disimpulkan bahwa usia

pasangan suami istri berpengaruh terhadap penentuan besar premi untuk asuransi jiwa

joint life yang diasumsikan tidak saling bebas menggunakan Copula Clayton. Hal ini

dapat dilihat dari hasil analisis dan pembahasan yang telah dijelaskan pada bab

sebelumnya, dimana harga premi tertinggi diperoleh dari pasangan suami istri dengan

usia suami lebih tua 5 tahun dari usia istri, kemudian harga premi menengah

diperoleh dari pasangan suami istri dengan usia suami lebih muda 5 tahun dari usia

istri, dan harga premi terendah diperoleh dari pasangan suami istri dengan usia

seumuran.

Kemudian harga premi untuk pasangan suami istri dengan asumsi tidak saling

bebas menggunakan Copula Clayton lebih murah dibandingkan dengan harga premi

yang dihitung dengan menggunakan asumsi saling bebas. Karena semakin kecil

penyimpangannya dari asumsi saling bebas, maka harga preminya akan mendekati

harga premi dari pasangan suami istri yang diasumsikan saling bebas.

5.2 Saran

Pada penelitian ini suku bunga yang digunakan adalah suku bunga konstan.

Adapun saran yang dapat diberikan adalah untuk peneliti selanjutnya dapat

dikembangkan dengan menggunakan suku bunga yang berubah secara stokastik dan

benefit dibayarkan tepat saat peserta pertama meninggal dunia.

48

DAFTAR PUSTAKA

[1] I. Fauziah, "Evaluasi Premi Polis Last Survivor Pasangan Suami Istri

Menggunakan Metode Copula Frank," Jurnal CAUCHY, vol. 3, pp. 42-48, 2013.

[2] D. A. Bramanta, I. N. Widana, L. P. I. Harini and I. W. Sumarjaya,

"Perbandingan Asuransi Last Survivor Dengan Pengembalian Premi

Menggunakan Metode Copula Frank, Copula Clayton, Dan Copula Gumbel," E-

Jurnal Matematika, vol. 6 (3), pp. 205-213, 2017.

[3] N. Widana and N. M. Asih, "Evaluasi Premi Joint Life Pasangan Suami Istri

Menggunakan Copula Frank," E-Jurnal Matematika, vol. 7, pp. 32-35, 2018.

[4] F. T., Matematika Asuransi Jiwa Bagian I, Tokyo: Incorporated Foundation

Oriental Life Insurance Cultural Development Center, 1993.

[5] N. L. Bowers, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. A. Jones and C. J. Nesbitt,

Actuarial Mathematics, The Society Of Actuaries, 1997.

[6] A. R. Effendhie, Matematika Aktuaria Dengan Sofware R, Yogyakarta: Gadjah

Mada University Press Anggota IKAPI, 2016.

[7] I. N. Widana and N. M. Asih, "Evaluasi Premi Joint Life Pasangan Suami Istri

Menggunakan Copula Frank," E-Jurnal Matematika, vol. 7(1), pp. 32-35, 2018.

[8] R. B. Nelsen, An Introduction to Copula (2nd ed)., vol. 1, New York: Springer,

2006, pp. 1-10.

[9] A. E. Shemyakin and H. Youn, "Copula Models of Joint Survival Analysis,"

Applied Stochastic Models in Business And Industry, vol. 22, no. 2, pp. 211-224,

2006.

49

[10] T.AAJI, Tabel Mortalita III-2011, Asosiasi Asuransi Jiwa Indonesia, 2012.

50

LAMPIRAN

Lampiran 1 Tabel Mortalita Indonesia Tahun 2011

x qx.lk px.lk lx.lk x qx.pr px.pr lx.pr

0 0.00802 0.99198 100000 0 0.0037 0.9963 100000

1 0.00079 0.99921 99198 1 0.00056 0.99944 99630

2 0.00063 0.99937 99119.63358 2 0.00042 0.99958 99574.2072

3 0.00051 0.99949 99057.18821 3 0.00033 0.99967 99532.38603

4 0.00043 0.99957 99006.66904 4 0.00028 0.99972 99499.54035

5 0.00038 0.99962 98964.09618 5 0.00027 0.99973 99471.68047

6 0.00034 0.99966 98926.48982 6 0.0003 0.9997 99444.82312

7 0.00031 0.99969 98892.85481 7 0.00031 0.99969 99414.98967

8 0.00029 0.99971 98862.19803 8 0.0003 0.9997 99384.17103

9 0.00028 0.99972 98833.52799 9 0.00028 0.99972 99354.35578

10 0.00027 0.99973 98805.8546 10 0.00025 0.99975 99326.53656

11 0.00027 0.99973 98779.17702 11 0.00024 0.99976 99301.70492

12 0.00026 0.99974 98752.50665 12 0.00026 0.99974 99277.87251

13 0.00026 0.99974 98726.83099 13 0.00028 0.99972 99252.06027

14 0.00027 0.99973 98701.16202 14 0.00029 0.99971 99224.26969

15 0.00029 0.99971 98674.5127 15 0.00028 0.99972 99195.49465

16 0.0003 0.9997 98645.8971 16 0.00025 0.99975 99167.71991

17 0.00032 0.99968 98616.30333 17 0.00024 0.99976 99142.92798

18 0.00036 0.99964 98584.74611 18 0.00023 0.99977 99119.13368

19 0.00041 0.99959 98549.2556 19 0.00024 0.99976 99096.33628

20 0.00049 0.99951 98508.85041 20 0.00026 0.99974 99072.55316

21 0.00059 0.99941 98460.58107 21 0.00029 0.99971 99046.79429

22 0.00069 0.99931 98402.48933 22 0.00033 0.99967 99018.07072

23 0.00077 0.99923 98334.59161 23 0.00037 0.99963 98985.39476

24 0.00083 0.99917 98258.87397 24 0.00039 0.99961 98948.77016

25 0.00085 0.99915 98177.31911 25 0.00042 0.99958 98910.18014

26 0.00083 0.99917 98093.86839 26 0.00044 0.99956 98868.63787

27 0.00079 0.99921 98012.45048 27 0.00046 0.99954 98825.13567

28 0.00075 0.99925 97935.02064 28 0.00048 0.99952 98779.67611

29 0.00074 0.99926 97861.56937 29 0.00051 0.99949 98732.26186

30 0.00076 0.99924 97789.15181 30 0.00054 0.99946 98681.90841

31 0.0008 0.9992 97714.83206 31 0.00057 0.99943 98628.62018

51

32 0.00083 0.99917 97636.66019 32 0.0006 0.9994 98572.40186

33 0.00084 0.99916 97555.62176 33 0.00062 0.99938 98513.25842

34 0.00086 0.99914 97473.67504 34 0.00064 0.99936 98452.1802

35 0.00091 0.99909 97389.84768 35 0.00067 0.99933 98389.17081

36 0.00099 0.99901 97301.22292 36 0.00074 0.99926 98323.25006

37 0.00109 0.99891 97204.89471 37 0.00084 0.99916 98250.49086

38 0.0012 0.9988 97098.94137 38 0.00093 0.99907 98167.96044

39 0.00135 0.99865 96982.42264 39 0.00104 0.99896 98076.66424

40 0.00153 0.99847 96851.49637 40 0.00114 0.99886 97974.66451

41 0.00175 0.99825 96703.31358 41 0.00126 0.99874 97862.97339

42 0.00196 0.99804 96534.08279 42 0.00141 0.99859 97739.66605

43 0.00219 0.99781 96344.87598 43 0.00158 0.99842 97601.85312

44 0.00246 0.99754 96133.8807 44 0.00175 0.99825 97447.64219

45 0.00279 0.99721 95897.39136 45 0.00193 0.99807 97277.10882

46 0.00318 0.99682 95629.83764 46 0.00214 0.99786 97089.364

47 0.00363 0.99637 95325.73475 47 0.00239 0.99761 96881.59276

48 0.00414 0.99586 94979.70234 48 0.00268 0.99732 96650.04575

49 0.00471 0.99529 94586.48637 49 0.00299 0.99701 96391.02363

50 0.00538 0.99462 94140.98402 50 0.00334 0.99666 96102.81447

51 0.00615 0.99385 93634.50552 51 0.00374 0.99626 95781.83107

52 0.00699 0.99301 93058.65331 52 0.00422 0.99578 95423.60702

53 0.00784 0.99216 92408.17333 53 0.00479 0.99521 95020.9194

54 0.00872 0.99128 91683.69325 54 0.00542 0.99458 94565.76919

55 0.00961 0.99039 90884.21144 55 0.00607 0.99393 94053.22272

56 0.01051 0.98949 90010.81417 56 0.00669 0.99331 93482.31966

57 0.01142 0.98858 89064.80051 57 0.00725 0.99275 92856.92294

58 0.01232 0.98768 88047.68049 58 0.00776 0.99224 92183.71025

59 0.01322 0.98678 86962.93307 59 0.00826 0.99174 91468.36466

60 0.01417 0.98583 85813.28309 60 0.00877 0.99123 90712.83597

61 0.01521 0.98479 84597.30887 61 0.00936 0.99064 89917.2844

62 0.01639 0.98361 83310.5838 62 0.01004 0.98996 89075.65861

63 0.01773 0.98227 81945.12334 63 0.01104 0.98896 88181.339

64 0.01926 0.98074 80492.2363 64 0.01214 0.98786 87207.81702

65 0.021 0.979 78941.95583 65 0.01334 0.98666 86149.11412

66 0.02288 0.97712 77284.17476 66 0.01466 0.98534 84999.88494

67 0.02486 0.97514 75515.91284 67 0.01612 0.98388 83753.78663

68 0.02702 0.97298 73638.58724 68 0.01771 0.98229 82403.67559

69 0.02921 0.97079 71648.87262 69 0.01947 0.98053 80944.30649

52

70 0.03182 0.96818 69556.00905 70 0.02121 0.97879 79368.32084

71 0.03473 0.96527 67342.73684 71 0.02319 0.97681 77684.91876

72 0.03861 0.96139 65003.92359 72 0.02539 0.97461 75883.40549

73 0.04264 0.95736 62494.1221 73 0.02778 0.97222 73956.72583

74 0.04687 0.95313 59829.37273 74 0.03042 0.96958 71902.20798

75 0.05155 0.94845 57025.17003 75 0.0333 0.9667 69714.94282

76 0.05664 0.94336 54085.52252 76 0.03646 0.96354 67393.43522

77 0.06254 0.93746 51022.11852 77 0.03991 0.96009 64936.27057

78 0.06942 0.93058 47831.19523 78 0.04372 0.95628 62344.66401

79 0.07734 0.92266 44510.75366 79 0.04789 0.95211 59618.9553

80 0.08597 0.91403 41068.29197 80 0.05247 0.94753 56763.80353

81 0.09577 0.90423 37537.65091 81 0.05877 0.94123 53785.40676

82 0.10593 0.89407 33942.67008 82 0.06579 0.93421 50624.43841

83 0.11683 0.88317 30347.12304 83 0.07284 0.92716 47293.8566

84 0.12888 0.87112 26801.66865 84 0.08061 0.91939 43848.97209

85 0.14241 0.85759 23347.4696 85 0.08925 0.91075 40314.30645

86 0.15738 0.84262 20022.55645 86 0.09713 0.90287 36716.2546

87 0.17363 0.82637 16871.40652 87 0.10893 0.89107 33150.00479

88 0.1911 0.8089 13942.0242 88 0.12131 0.87869 29538.97477

89 0.20945 0.79055 11277.70338 89 0.1345 0.8655 25955.60174

90 0.22853 0.77147 8915.588406 90 0.14645 0.85355 22464.5733

91 0.24638 0.75362 6878.108988 91 0.15243 0.84757 19174.63654

92 0.26496 0.73504 5183.480495 92 0.16454 0.83546 16251.8467

93 0.2845 0.7155 3810.065503 93 0.18235 0.81765 13577.76784

94 0.30511 0.69489 2726.101868 94 0.20488 0.79512 11101.86187

95 0.32682 0.67318 1894.340927 95 0.23305 0.76695 8827.312414

96 0.34662 0.65338 1275.232425 96 0.25962 0.74038 6770.107256

97 0.3677 0.6323 833.2113619 97 0.2872 0.7128 5012.45201

98 0.39016 0.60984 526.8395441 98 0.29173 0.70827 3572.875793

99 0.41413 0.58587 321.2878276 99 0.30759 0.69241 2530.560738

100 0.43974 0.56026 188.2328996 100 0.33241 0.66759 1752.18556

101 0.45994 0.54006 105.4593643 101 0.35918 0.64082 1169.741558

102 0.48143 0.51857 56.95438429 102 0.38871 0.61129 749.5937854

103 0.50431 0.49569 29.53483506 103 0.42124 0.57876 458.2191851

104 0.52864 0.47136 14.64012239 104 0.38871 0.61129 265.1989355

105 0.5545 0.4455 6.90076809 105 0.4958 0.5042 162.1134573

106 0.58198 0.41802 3.074292184 106 0.53553 0.46447 81.73760518

107 0.61119 0.38881 1.285115619 107 0.57626 0.42374 37.96466548

53

108 0.64222 0.35778 0.499665804 108 0.61725 0.38275 16.08714735

109 0.67518 0.32482 0.178770431 109 0.65996 0.34004 6.157355648

110 0.71016 0.28984 0.058068211 110 0.70366 0.29634 2.093747214

111 1 0 0.01683049 111 1 0 0.62046105

54

Lampiran 2 Nilai Suku Bunga Indonesia

Tanggal BI 7-Day

13-Oct-20 4.00%

17-Sep-20 4.00%

19-Aug-20 4.00%

16-Jul-20 4.00%

18-Jun-20 4.25%

19-May-20 4.50%

14-Apr-20 4.50%

19-Mar-20 4.50%

20-Feb-20 4.75%

23-Jan-20 5.00%

19-Dec-19 5.00%

21-Nov-19 5.00%

24-Oct-19 5.00%

19-Sep-19 5.25%

22-Aug-19 5.50%

18-Jul-19 5.75%

20-Jun-19 6.00%

16-May-19 6.00%

25-Apr-19 6.00%

21-Mar-19 6.00%

21-Feb-19 6.00%

17-Jan-19 6.00%

20-Dec-18 6.00%

15-Nov-18 6.00%

23-Oct-18 5.75%

27-Sep-18 5.75%

15-Aug-18 5.50%

19-Jul-18 5.25%

29-Jun-18 5.25%

30-May-18 4.75%

17-May-18 4.50%

19-Apr-18 4.25%

22-Mar-18 4.25%

55

15-Feb-18 4.25%

18-Jan-18 4.25%

14-Dec-17 4.25%

16-Nov-17 4.25%

19-Oct-17 4.25%

22-Sep-17 4.25%

22-Aug-17 4.50%

20-Jul-17 4.75%

15-Jun-17 4.75%

18-May-17 4.75%

20-Apr-17 4.75%

16-Mar-17 4.75%

16-Feb-17 4.75%

19-Jan-17 4.75%

15-Dec-16 4.75%

17-Nov-16 4.75%

20-Oct-16 4.75%

22-Sep-16 5.00%

19-Aug-16 5.25%

21-Jul-16 5.25%

16-Jun-16 5.25%

19-May-16 5.50%

21-Apr-16 5.50%

evaluasi premi asuransi jiwa joint life pasangan …

Documents