Distribusi Khi Kuadrat ( 2)

Distribusi 2

(baca: khi kuadrat) juga merupakan distibusi dengan peubah

acak kotinu.

Umumnya grafiknya merupakan grafik dengan kemiringan atau kelandaian

positif, yaitu grafik dengan kelandaian ke kanan. Kelandaian ini semakin berkurang

jika dk semakin besar.

Untuk perhitung-perhitungan telah disiapkan daftar H seperti halnya juga

dengan distribusi-distribusi yang lain.

Umumnya grafik mempunyai kelandaian

(kemiringan) positif (ke kanan) untuk dk yang makin

besar, kelandaian semakin berkurang.

Bentuk daftar H

Kolom pertama (dk) ialah bilangan bilangan yang menunjukkan derajat

kebebasan yang akan dipakai. Sedangkan kolom-kolom berikutnya menunjukkan 2

tergantung dari tingkat keberartian yang dipakai dan luas daerah yang digunakan.

Daftar G

Nilai persentil untuk distribusi 2

for

THE CHI-SQUARE DISTRIBUTION

With v degrees of freedom

(shaded area = p)

Cara membaca daftar H

1) Untuk mencari nilai dengan p = 0,09 dan dk = 19, maka di bawah kolom dk

cari bilangan 19 kemudian telusuri ke kanan sampai bertemu dengan bilangan

yang terdapat pada kolom . Bilangan yang dicari ialah 36,2. Artinya nilai

= 36,2.

2) Kurva di sebelah ini untuk dk = 15

a) Jika luas daerah yang diarsir di sebelah kiri 2 = 0,25 artinya p = 0,25 maka

nilai , untuk dk = 15 ialah 11,00

b) Jika luas daerah yang diarsir di sebelah kanan 2 = 0,025 artinya p = 1 -

0,025 = 0,975 maka nilai , untuk dk = 15 ialah 27,50.

c) Jika jumlah luas yang diarsir 0,10 akan terjadi banyak hal. Karena distribusi

2 tidak simetris, mungkin luas ujung kanan = 0,02 dan luas ujung kiri = 0,08

atau juga 0,07 dan 0,03 dan seterusnya. Dalam hal demikian jika tidak

dinyatakan apa-apa, biasanya digunakan. “fifty-fifty” yaitu luas daerah yang

kanan sama dengan luas daerah yang kiri.

Seandainya dk = 9 maka luas daerah ujung kiri 0,05 berarti p = 0,05 maka

didapat 3,33. Sedangkan luas daerah ujung kanannya 0,05 berarti p =

1 – 0,05 = 0,95 maka nilai didapat 16,9.

UJI CHI KUADRAT DAN UJI KECOCOKANYA

1. MENGUJI PROPORSI DATA MULTINOM

Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa peristiwa atau katagori

katagori

A1, A2,...... , Ak yang saling terpisah masing masing dengan peluang p1 = P(A1),

p2 = = P(A2),..... pK = P(Ak)

Akan di uji pasangan hipotesis

Ho ; p1 = pio, 1 = 1, 2, .....k, dengan pio sebuah harga yang di ketahui

H1 ; p1 pio

Di sini, tentu saja ∑ p1 = pio = 1

Pengujian yang di tempuh akan menggunakan data sebuah sampel acak

yang berukuran n yang di dalam nya ada O1 dari kategori kesatu (A1) , O2 dari

kategori kedua (A2) , ....Ok dari katagori ke k (Ak). Dengan pio yang di berikan

kita dapat menghitung masing masing frekuensi yang di harakan E1 =n pio, E2

= n p20 ....., EK = n pko.

Jelas bahwa O1 + O2 + ... Ok = E1 + E2 + ... Ek = n. Harga harga O1 + O2 + ... Ok

Merupakan nilai nilai yang nampak sebagai hasil pengamatan sedangkan E1 ,

E2... Ek merupakan nilai nilai yang di harapkan terjadi atau nilai nilai teoritik.

Agar mudah di ingat, adanya kategori A1, hasil pengamatan O1, hasil yang di

harapkan E1, sebaiknya di susun dalam daftar sebagai berikut.

Katagori A1 A2 ......... Ak

Pengamatan O1 A2 ......... Ok

Di harapkan E1 A2 .......... Ek

Untuk menguji pasangan hipotesis diatas, digunakan statistik:

. . . . . .

Bentuk lain rumus diatas adalah:

. . . . . .

Ternyata bahwa ststistik di atas berdistribusi chi-kuadrat dengan dk = ( k – 1 ).

Kriteria pengujian adalah; tolak Ho jika x2 ≥ x2 ( 1 – ) ( k – 1) dengan = taraf nyata

untuk pengujian. Dalam hal lainya H0. Di terima.

Contoh; kita tahu bahwa peluang nampaknya salah satu permukaan dadu

homogin masing masing = 1 6. Sebuah eksperimen telah di lakukan

sebanyak 120 kali dengan sebuah dadu dan menghasilkan 16 muka bermata

sat, 24 mata dua, 23 mata 3, 15 mata 4, 17 mata 5, 25 mata 6. Akan di uji

apakah dadu tersebut homogin ataukah tidak, yaitu akan di uji hipotesis;

Ho ; p1 = p2 = .... po. = 1 6

H1 ;paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku.

Jika Ho benar, yakni apabiladadau itu homogin, kita harapkan akan dapat

A1 ( muka dengan mata satu) = 120 x 1 6 = 20

A2 ( muka dengan mata dua ) = 120 x 1 6 = 20

A6 ( muka dengan mata dua ) = 120 x 1 6 = 20

Jadi di dapat

Muka A1 A2 A3 A4 A5 A6

Pengamatan 16 24 23 15 17 25

Di harapkan 20 20 20 20 20 20

Dengan rumus XIII (1); atau x2 = 5.00

Dengan =0,05 dan dk = 5, dari tabel distribusi chi-kuadrat di dapat = 11,1

yang jelas lebih besar dari pada X2 = 5,00

Hasil penelitian tak berarti atau non-signifikan dan hipotesis H0 di terima

sehingga dapat kita simpulkan bahwa dadu itu di buat dari bahan yang

homogin.

Contoh; Dalam suatu eksperimen genetika menurut Mendell telah di temukan

bahwa semacam karaterisktik di turunkan menurut perbandingan 1 3 3 9

untuk katagori A,B,C,D. akhir akhir ini di lakukan 160 kali pengamatan dan

terdapat 5 katagori D. dengan menggunakan = 0,05 apakah data di atas

menguatakan teori genetika tersebut?

Jawab; berdasarkan teori, di harapkan terdapat 1 16 x 160 = 10 kategori A,

masing masing 30 kategori B dan C dan 90 kategori D. data hasil

pengamatan dan yang di harapkan adalah sebagai berikut.

Kategori A B C D

Pengamatan 5 23 32 100

diharapkan 10 30 30 30

Dari rumus XIII (1) didapat;

Dari tabel distribusi chi-kuadrat di peroleh = 7,81. Sehingga pengujian

memperlihatkan hasil yang tidak berarti dan tidak ada alasan untuk tidak

mempercayai teori yang telah di temukan.

Sebagai hal khusus dari data multinom ialah data binom yang diadapat

apabila banyak kategori k =2. Jika dalam hal ini kedua kategori di sebut

kategori I dan kategori II dengan peluang terjadinya kategori I dan II masing

masing dan (1 -), maka untuk sebuah kategori I, dapat di buat daftar sebagai

berikut.

Statistik yang di gunakan untuk menguji hipotesis Ho = o melawan

H1 o ialah ;

XIII (3)

Dan di tolak Ho jika X2 ; sedangkan dalam hal lainnya Ho di terima.Kita lihat

bahwa distribusi chi-kuadrat yang di gunakan hanya mempunyai derajat

kebebasan satu. Ini mengakibatkan terlalu sering terjadinya penolakan Ho

yang seharusnya diterima apabila rumus di atas di gunakan. Selain daripada

Kategori I II Jumlah

Pengamatan x n-x n

Di harapkan n n(1-) n

itu, rumus XIII(3) adalah pengkontinutason data diskrit yang dengan

sendirinya harus diadakan penyesuaian seperlunya.

Khusus untuk hal ini, yakni dalam hal data binom di mana di gunakan

distribusi chi-kuadrat dengan dk satu, rumus XIII(3) perlu di perbaiki dengan

menggunakan koreksi kontinuitas yaitu harga mutlak x - no harus di kurangi

dengan setengah. Jadi rumus yang di paki adalah;

XIII(4)

Contoh; di duga bahwa 50% dari semacam kacang bentuknys keriput dan

50% lagi halus. Pengamtan di lakukan terhadap sebuah sampel acak terdiri

atas 80 butir kacang dan terdapat 56 keriput dan sisanya halus. Dalam taraf

0,05 dapatkan kita menyokong dugaan tersebut?

Jawab;

Bentuk Keriput Halus

Pengamatan 56 24

teoritis 40 40

Dengan o = 1 2 maka rumus XIII(4) memberikan ;

Dengan = 0,01 di dapat = 6,63

Pengujian memberikan hasil yang sangat berati sehingga kita tidak bisa

menerima dugaan tesebut.

2. MENGHUJI KESAMAAN RATA RATA POISSON

Misalkan ada k (k 2) buah distribusi poisson dengan parameter , ....... akan

di uji pasangan hipotesis ;

Ho = = ....,

H1 paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku

Dari setiap populasi di ambil sebuah sampel acak, berukuran n1 dari populasi

kesatu n2 dari populasi kedua dan seterusnya berukuran nk dari populasi ke-k.

Untuk tiap sampel di hitung banyak peristiwa yang mengikuti distribusi

poisson. Jika banyak peritiwa ini di nyatakan dengan x1 + x2 + ... xk maka rata

ratanya Statistik yang di gunakan untuk menguji hipotesis H0 jika Dan di

tolak H0 jika x2 x2(1- )(k-1) dalam hal lainya di terima.

Contoh; lima orang sekretaris bertugas untuk menyalin data ke dalam sebuah

daftar yang telah di sediakan. Misalkan bahwa banyaknya salah menyalin

untuk setiap daftar berdistribusi poiison masing masing dengan rata

rata , ....... dari hasil salinan tiap sekretaris di ambil sampel acak berukuran

emapat dan di catat banyaknya kesalahan dalam tiap daftar. Data ini akan di

gunakan untuk menguji hipotesis

H0 = = = =

H1 paling sedikit satu tanda sama dengan tidak berlaku

Bersama sama dengan satuan yang di perlukan , di dapat data berikut

Sekretaris Kesalahan tiap daftar Banyak kesalahan (xi)

I

II

III

IV

V

2,0,3,3,2

0,0,2,1,2

1,1,2,3,2

2,1,1,1,4

2,3,0,3,3

10

5

9

9

11

JUMLAH

Dari kolom ketiga di dapat X = dan dengan rumus XIII (4a) diperoleh;

Dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan = 0,05dan dk =4 di dapat = 9,49 dan

ini lebih besar dari 2,36

Jadi H0 di terima sehingga kelima sekretaris itu dapat di katakan tergolong ke

dalam kelas kerja sama.

3. UJI INDEPENDEN ANTARA DUA FAKTOR

Banyak data hasil pengamatan yang dapat di golongkan kedalam beberapa

faktor, karateristik atau atribut dengan tiap faktor atau atribut terdiri dari

beberapa klasifikasi , kategori, golongan atau mungkin tingkatan.

Berdasarkan hasil pengamatan terhadap fenomena demikian akan di selidiki

mengenai asosiasi atau hubungan atau kaitan antar faktor. dengan kata lain

akan di pelajari apakah terdapat atau tidak suatu kaitan antar faktor faktor,

biasa dikatakan bahwa faktor faktor itu bersifatindependen atau bebas

tepatnya bebas statistik.

Dalam bagian ini hanya akan di pelajari fenomena yang terdiri paling

banyak atas dua faktor. Misalnya apakah kemajuan murid dalam fisika ada

hubunganya dengan kemajuan murid tersebut dalam matematika, apakah

kenakalan remaja ada kaitanya dengan sikap orang tua, lingkungan hidup

atau faktoe lainya, benarkah pendapatan keluarga ikut menentukan tingkah

laku kehidupan keluarga itu dan lain sebagainya.

Selain daripada itu, di sini akan di pelajari juga ada atau tidak adanya

‘pengaruh’ mengenai beberapa taraf atauntingkatan sesuatu faktor terhadap

kejadian fenomena. Umpamanya saja hal hal seperti; apakah ada pengaruh

positif tentang penggunaan serum tertentu terhadap penyembuhan semacam

penyakit, adakah perbedaan hasil panen jika di gunakan pupuk yang

berlainan, adakah perbedaan pendapat di antara para pegawai terhadap

sikap pimpinanya dan sebagainya.

3.1. Asosiasi antara dua faktor dalam daftar kontingensi B X K

Secara umum, untuk menguji ondependen antara dua faktor dapat di

jelaskan sebagai berikut. Misalkan sebuah sampel acak berukuran n

telah di ambil di mana tiap pengamatan tunggal di duga terjadi karena

adanya dua macam faktor, ialah faktor I dan faktor II. Faktor I terbagi

atas B taraf atau tingkatan dan faktor II trebagi atas K taraf. Banyak

pengamatan yang terjadi karena taraf ke-i faktor ke-I (i=1,2......B) dan

taraf ke-j. Hasilnya dapat di catat dalam sebuah daftar kontingensi B X

K.

DAFTAR XIII(1)

DAFTAR KONTINGENSI B K

UNTUK HASIL PENGAMATAN TERDIRI ATAS DUA FAKTOR

Faktor II ( K taraf) jumlah

1 2 k

1 011 012 .......... 01k n10

2 021 022 ........ 02k n20

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . .

8 081 082 .......... 03k n80

Jumlah N01 n02 ......... nok n

Pasangan hipotesis yang akan di uji berdasarkan data seperti dalam daftar di

ats adalah;

H0 kedua faktor bebas statistik

H1 kedua faktor tidak bebas statistik

Pengujian secara eksak sukar di gunakan, karenanya di sini hanya akan di

jelaskan pengujian yang bersifat pendekatan. Untuk ini di perlukan frekuensi

teoritik atau banyak gejala yang di harapkan terjadi yang di sini akan di

nyatakan dengan Eij. Rumusnya adalah

XIII(5) E ij = ( nio x noj ) n

Dengan nio = jumlah baris ke-i

noj = jumlah baris ke-j10 + n

demikianlah misalnya di dapat;

E11 = ( n10 x n01 ) n ; E12 = (n10 x n02) n

E21 = ( n20 x n01 ) n ; E22 = (n20 x n02) n

Dan seterusnya.

Jelas bahwa n = n10 + n20 + ....+ nBO = n01 + n02 + .......nOK

Statistik yang di gunakan untuk menguji hipotesis di atas adalah;

XIII(6) x2

Dan tolak H0 jika X2(1-). (B – 1) (K-1)}

Dalam taraf nyata = dan derajat kebebasan dk untuk distribusi chi-kuadrat =

(B- 1)(K-1).

Dalam hal lainya kita terima hipotesis H0.

Contoh; misalkan penggolongan pendapatan telah di setujui terbagi atas

kelas kelas tinggi, menengah dan rendah. Selanjutnya , untuk tingkatan

pendapatan ini terdapat pula empat kelas pasar tempat mereka berbelanja

makanan sehari hari yaitu, pasar pasar kelas I, kelas II, Kelas III, kelas IV.

Hasil penelitian untuk keadaan ini dapat dilihat di bawah ini;

I II III IV Jumlah

Tinggi 56 71 12 35 174

30,5 71,9 35,2 36,5

Menengah 47

54,3

163

128,1

38

62,6

62

65,5

310

Rendah 14

32,2

42

76,0

85

37,2

43

38,5

184

jumlah 117 276 135 140 668

Dalam daftar di muka tiap sel telah di bagi dua oleh garis diagonal. Bagian sel

sebelah kiri atas berisikan banyak data hasil pengamatan, jadi O ij, sedangkan

bagian kanan bawah berisikan banyak data teoritik atau di harapkan terjadi ,

yakni Eij . penyusunan seperti dalam daftar di muka sering dapat

memudahkan perhitungan X2 dengan rumus XIII(6) dan agar mudah dapat di

lihat mana yang hasil pengamatan dan mana yang teoritik. Harga harga Eij di

hitung dengan rumus XIII(5) yakni

E11 = (117 x 174 ) 668 = 30,5 ; E12 = (276 x 174 ) 668 = 71,9

E13 = (135 x 174 ) 668 = 35,2 ; E14 = (140 x 174 ) 668 = 36,5

E21 = (117 x 310 ) 668 = 54,3 ; E22 = (276 x 310 ) 668 = 128,1

E23 = (135 x 310 ) 668 = 6265 ; E24 = (140 x 310 ) 668 = 65,0 dan

seterusnya.

Untuk menguji hipotesi bahwa faktor kelas pasar dan faktro tingkat

pendapatan bersifat independen, di gunakan rumus XIII(6) untuk

mendapatkan

Dengan = 0.01 dan dk = (3-1)(4-1) = 6, di dapat = 16,8 yang jelas jauh leih

kecil dari 144,12. Jadi penelitian memberikan pengujian yang sangat berarti,

sehingga dapat di simpulkan bahwaada hubungan sangat nyata antara kelas

pendapoatan dan kelas pasar tempat orang orang berpendapatan demikian

berbelanja.

Selanjutnya , sering ingin di ketahui derajat hubungan antara faktor yang satu

dengan lainya. Jika ini di kehendaki, untuk data dalam daftar kontingensi, di

gunakan koefisiensi kontingensi C yang rumusnyadi tentukan oleh;

XIII(7)

Dengan ambil harga akar yang positif. Untuk contoh soal di atas , dengan x2 =

144,12 dan n = 668 di dapat

Agar supaya harga C yang di peroleh dapat di pakai untuk menilai daerajat

asosiasi antara faktor, maka harga C ini perlu di bandingkan dengan koefisien

maksimum yang bisa terjadi. Harga C maksimum ini di hitung oleh rumus;

Dengan m = harga minimum antara B dan K (yakniminimum antara banyak

baris dan banyak kolom). Dalam contoh diatas, daftar kontingensi terdiri dari

atas tiga baris empat kolom, jadi minimumnya tiga, sehingga

Makin dekat harga C kepada Cmaks makin besar derajat asosiasi antara faktor.

Dengan kata lain, faktor yang satu makin berkaitan dengan faktor yang lain.

Membandingkan C = 0.421 dengan 0,816 nampak bahwa derajat hubungan

cukup besar.

Harga C maks untuk daftar kontingensi dengan m = 2,3, .... 10 di berikan di

bawh ini.

DAFTAR XIII(2)

HARGA CMAKS UNTUK BERBAGAI M

M Cmaks

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,707

0,816

0,866

0,894

0,913

0,926

0.935

0,943

0,949

Nampak dari daftar bahwa makin besar m makin dekat harga cmaks kepada

satu. Tetapi perlu di catat bahwa cmaks selau lebih kecil dari satu.

Cara pengujian independen di atas tidak hanya berlaku untuk dua faktor yang

berbentuk atribut tetapi juga untuk data kuantitatif yang telah di buat menjadi

beberapa kelas interval atau kelompok. Kita mabil misalnya antara umur pengemudi

dan seringnya terjadi kecelakaan yang di alami oleh pengemudi itu. Pengemudi yang

berumur 31 tahun atau lebih telah di kelompokkan menjdi tiga kelass ; 31-40.41-50-

60 sedangkan frekunsi kecelakaan lalu lintas yang di alaminya selama periode

tertentu di golongkan kedalam kategori; tidak pernah mengalami kecelakaan (0),

pernah mengalami satu kali (1) dan lebih dari satu kali kecelakaan (2atau lebih).

Hasil pengamatan dan seringnya mengalami kecelkaan secara teoritik dapat

dilihat dalam tabel berikut.

UMUR PENGEMUDI

31-40 41-50 51-60 JUMLAH

F

R

E

K

U

E

N

S

I

K

E

C

E

0

420

4

04,6

472

4

69,4

340

3

58,0

1232

1

70

83,

4

97

96

,6

87

7

3,8

254

2 atau lebih 22

24,

0

25

27

,8

26

2

1,2

73

L

A

K

A

A

N

jumlah 512 594 453 1559

Seperti dalam contoh pertama, harga-harga Eij dihitung dengan Rumus XIII(5)

dan hasilnya dicantumkan dibagian kanan bawah dalam sel-sel daftar di atas. Maka

Rumus XIII(6) menghasilkan:

Dengan dan dk = (3 -1) (3 – 1) = 4, dari daftar distribusi X2 didapat

Ternyata hasil pengujian bersifat tak berarti dan frekuensi kecelakaan untuk

pengemudi berumur 31 dan lebih tidak bergantung pada umur pengemudi.

4.2 Metode Khusus untuk Daftar Kontingensi 2 X 2

Jika daftar kontingensi berukuran 2 x2, maka untuk pengujian hipotesis

digunakan distribusi chi-kuadarat dengan derajat kebebasan satu. Ternyata bahwa

untuk hal ini koreksi kontinuitas perlu digunakan dan telah ditemukan dengan nama

koreksi Yates, yaitu setiap harga mutlak di kurangi dengan setengah.

Hasil pengamatan yang dapat dicantumkan dalam daftar kontingensi 2 x 2 adalah

seperti di bawah ini.

FAKTOR KEDUA

Taraf 1 Taraf 2 Jumlah

Taraf 1 A b a + b

Taraf 2 C d c + d

Jumlah a +c a + c n

Jelas bahwa n = a + b + c + d

Rumus X2 untuk hal ini, bersama-sama dengan memperhitungkan koreksi Yates

tersebut diatas adalah:

XIII(9) . . . . . .

Seperti baiasa, hipotesis yang akan diuji adalah:

HO : Kedua faktor independen

HI : Kedua faktor tidak independen

Dan tolak HO jika dengan

Contoh : ada dua kelompok A dan B, masing-masing terdiri dari 95 orang yang

menderita semacam penyakit. Kelompok A diobati dengan semacam obat

sedangkan kelompok B tidak diobati (kelompok B disebut kelompok kontrol).

Sesudah jangka waktu tertentu diperiksa berapa oarang yang sembuh. Ternyata dari

kelompok A ada 78 yang sembuh sedangkan dari kelompok B ada 62 orang. Akan

diuji hipotensis bahwa obat yang digunakan tidak mempunyai pengaruh terhadap

penyembuhan penyakit.

Jawab : data di atas dapat dicantumkan dalam daftar kontingensi sebagai berikut:

Sembuh Tidak Sembuh Jumlah

Kelompok A

(diobati)

78 17 95

Kelompok B

(tak diobati)

62 33 95

Jumlah 140 50 190

Dari Rumus XIII(9) didapat

X2 = 6,11.

Untuk taraf nyata 0,05 dan dk = satu, maka

Kita lihat bahwa pengujian berarti pada taraf 0,05. Tetapi jika , maka sehingga HO

diterima pada taraf 0,01.

Pengobatan barangkali berarti dan penelitian lebih lanjut dianjurkan untuk dilakukan.

Contoh : yang berikut adalah data hasil pengumpulan pendapat masyarakat

terhadap dua calon pemimpin A dan B.

Penduduk

Ya Tidak Jumlah

A 37 22 59

B 18 7 25

Jumlah 55 29 84

Untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan yang nyata mengenai

pendapat masyarakat terhadap kedua calon itu, diperlukan nilai:

Dalam kedua taraf nyata hipotesis nol diterima.

DAFTAR PUSTAKAHerryanto, Nar dan Akib Hamid. 2007. Statistika Dasar. Jakarta: Universitas Terbuka

Sudjana. 2005. METODA STATISTIKA. Bandung: TARSITO.