STATISTIKA INDUSTRI 2

TIN 4004

Pertemuan 3

• Outline: – Uji Hipotesis:

• Uji Z: Proportional Populasi

– Uji Hipotesis 2 populasi: • Uji Z • Uji pooled t-test • Uji paired t-test

• Referensi: – Johnson, R. A., Statistics Principle and Methods, 4th Ed. John

Wiley & Sons, Inc., 2001.

– Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K., Probability & Statistics for Engineers & Scientists , 9th Ed. Prentice Hall, 2012.

– Weiers, Ronald M., Introduction to Business Statistics, 7th Ed. South-Western, 2011.

Uji Proporsi Populasi Konsep Dasar

• Distribusi yang paling sesuai untuk uji hipotesis proporsi populasi adalah distribusi binomial

• Pada sample besar, dapat dilakukan pendekatan distribusi lain yaitu distribusi poisson dan distribusi normal – Distribusi poisson dengan parameter 𝜇 = 𝑛𝑝𝑜 digunakan

jika 𝑝𝑜 sangat mendekati 0 atau sangat mendekati 1 – Jika 𝑝𝑜 tidak secara ekstrim mendekati 0 atau 1,

pendekatan distribusi normal dengan parameter 𝜇 =𝑛𝑝𝑜 dan 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑜𝑞𝑜 akan lebih akurat

• Ukuran sample dinyatakan besar jika 𝑛𝑝 ≥ 5 𝑑𝑎𝑛 𝑛𝑞 ≥5

Uji Proporsi Populasi Rumus

𝝈𝒙= (𝒑𝒐𝒒𝒐)/𝒏 𝒒𝒐= 𝟏 − 𝒑𝒐

𝒁 = 𝒑 ; 𝒑𝒐

𝝈𝒙

𝒁 = 𝒑 ; 𝒑𝒐

(𝒑𝒐𝒒𝒐)/𝒏

𝒑 = sample proportion 𝒑𝒐 = hypothesized population proportion 𝒏 = sample size 𝝈𝒙 = standard error of the distribution of

the sample proportion

Uji Proporsi Populasi Aplikasi

• Beberapa penerapan uji proporsi populasi: – Digunakan oleh politikus untuk memperkirakan

besarnya pemilih yang akan memilihnya dalam pemilu.

– Digunakan oleh manufaktur untuk mengetahui proporsi barang reject pada proses produksi atau pada proses pengiriman.

– Dasar pengetahuan bagi para penjudi untuk menentukan proporsi hasil yang menguntungkan baginya.

Uji Z – Uji Proporsi Populasi (Penentuan Ho & H1)

• Null Hypotheses

– Ho: p = po

– Ho: p ≥ po

– Ho: p ≤ po

• Alternative Hypotheses

– H1: p ≠ po Reject Ho: |Z| ≥ zα/2

– H1: p < po Reject Ho: Z ≤ -zα

– H1: p > po Reject Ho: Z ≥ zα

Latihan Soal

1. Sensus lima tahun lalu menunjukkan hasil bahwa 20% keluarga di daerah tersebut berada di atas garis kemiskinan (makmur). Hasil terbaru dari sampling 400 keluarga diperoleh data 70 keluarga berada di bawah garis kemiskinan. Apakah terjadi pergeseran hasil sensus setelah lima tahun? (α = 0.05)

Jawaban Latihan Soal

1. Diket: n = 400 keluarga p = 330/400 po = 20% qo = 1 – 20% = 80% α = 0.05 Ditanya: Ho : p = 20% H1 : p ≠ 20% Jawab: Uji dua arah, Reject Ho: |Z| ≥ zα/2

±zα/2 = ±z0.05/2 = ±z0.025 = ±1.96

Z = ((330/400) – 0.2)/( (0.2𝑥0.8)/400) = 31.25 Z = 31.25 ≥ 1.96; REJECT Ho Kesimpulan: terjadi pergeseran hasil sensus setelah lima tahun

= 1.96 = -1.96

Z = 31.25

Latihan Soal

2. Sensus lima tahun lalu menunjukkan hasil bahwa 20% keluarga di daerah tersebut berada di bawah garis kemiskinan. Hasil terbaru dari sampling 400 keluarga diperoleh data 70 keluarga berada di bawah garis kemiskinan. Apakah terjadi pergeseran hasil sensus setelah lima tahun? (α = 0.05)

Jawaban Latihan Soal

2. Diket: n = 400 keluarga p = 70/400 po = 20% qo = 1 – 20% = 80% α = 0.05 Ditanya: Ho : p = 20% H1 : p ≠ 20% Jawab: Uji dua arah, Reject Ho: |Z| ≥ zα/2

±zα/2 = ±z0.05/2 = ±z0.025 = ±1.96

Z = ((70/400) – 0.2)/( (0.2𝑥0.8)/400) = -1.25 Z = |-1.25| ≤ 1.96 atau -1.25 ≥ -1.96; DO NOT REJECT Ho Kesimpulan: tidak terjadi pergeseran hasil sensus setelah 5 tahun

= 1.96 = -1.96 Z = -1.25

Latihan Soal

3. Diasumsikan bahwa proses produksi diluar kendali jika ditemukan produk reject lebih dari 3%. Inspeksi pada 500 produk ditemukan 25 produk cacat. Apakah dapat dinyatakan bahwa produksi minggu ini diluar kendali? (α = 0.05)

Jawaban Latihan Soal

3. Diket: n = 500 unit p = 25/500 po = 3% qo = 1 – 3% = 97% α = 0.05 Ditanya: Ho : p = 3% H1 : p > 3% Jawab: Uji satu arah, Reject Ho: Z ≥ zα

zα = z0.05 = 1.68

Z = ((25/500) – 0.03)/( (0.03𝑥0.97)/500) = 2.62

Z = 2.62 ≥ 1.68; REJECT Ho Kesimpulan: produksi minggu ini diluar kendali

= 1.68 Z = 2.62

Uji Dua Populasi – Konsep Dasar

• Sample Independen

– Pengambilan sample yang satu tidak dipengaruhi oleh sample yang lain

– Uji z dan Uji t

• Sample Dependen

– Dilakukan pada satu sample dengan kondisi sebelum dan sesudah suatu perlakuan

– Paired t Test

Pooled t-test

Paired t-test

𝑑𝑓 = 𝑣 = 𝑛1 + 𝑛2 − 2

Uji Hipotesis: Dua Populasi

(Independent Sample)

Latihan Soal

• Sebuah eksperimen dilakukan untuk membandingkan dampak abrasive wear pada 2 material. Uji yang sama dilakukan pada 12 material A dan 10 material B. Dari hasil uji diketahui bahwa rata-rata kedalaman pada material A 85 unit ukur dengan standard deviasi 4, rata-rata material B 81 unit ukur dengan standard deviasi 5. Dapatkah disimpulkan bahwa abrasive wear material A lebih besar dari material B sebesar 2 unit ukur (α = 0.05)? Asumsi populasi normal dan variansi keduanya sama.

20=1.725 T=1.04

Jawaban Latihan Soal Diket: 𝑥1 = 85; 𝑠1 = 4; 𝑛1 = 12 𝑥2 = 81; 𝑠2 = 5; 𝑛2 = 10 α = 0.05 df = v = 12 + 10 – 2 = 20

Ditanya: Ho : µ1−µ2 = 2

H1 : µ1 − µ2 > 2 Jawab:Uji satu arah, Reject Ho: T > tα

tα = t0.05,20 = 1.725

s𝑝 =42 12;1 :52 10;1

12:10;2=

(16)(11):(25) 9

20= 4.478

T = (85 – 81)-2/(4.478/1

12+

1

10 ) = 1.04

T = 1.04 < 1.725; DO NOT REJECT Ho Kesimpulan: tidak dapat disimpulkan bahwa abrasive wear material A

lebih besar 2 unit dari material B

Latihan Soal

• Sebuah test dilakukan pada 2 kelas yang berbeda yang masing-masing terdiri dari 40 dan 50 mahasiswa. Dalam kelas pertama diperoleh nilai rata-rata 74 dengan standar deviasi 8, sementara di kelas kedua nilai rata-ratanya 78 dengan standar deviasi 7. Apakah kedua kelas tersebut bisa dikatakan mempunyai tingkat kemampuan yang berbeda? Jika ya, apakah kelas kedua lebih baik dari kelas pertama? Gunakan tingkat signifikansi 0,05. (Asumsi populasi normal dan variansi sama).

Gunakan Uji Pooled T dan Uji Z. Bandingkan hasilnya. *gunakan excel function: T.INV(α,df)*

Latihan Soal • Sebuah eksperimen dilakukan untuk mengetahui efektivitas

zat adiktif (Graphlex) pada minyak mesin dalam peningkatan efisiensi konsumsi bbm. Eksperimen dilakukan pada taksi blue bird yang dikelompokkan menjadi dua, yaitu 45 taksi menggunakan Graphlex, 45 taksi menggunakan minyak mesin biasa. Taksi dipilih secara random dan sopir taksi tidak diberi informasi mengenai eksperimen tersebut. Setelah 1 bulan dilakukan analisa penggunaan bbm pada tiap taksi. Taksi yang menggunakan Graphlex mencapai rata-rata 18.94 mpg (miles per gallon), standard deviasi-nya 3.90 mpg. Untuk taksi yang tidak menggunakan Graphlex rata-ratanya 17.51 mpg, standard deviasi 2.87 mpg. Berdasarkan hasil uji tersebut dapatkah perusahaan mengiklankan diri bahwa produk mereka dapat mengefisiensi penggunaan bbm? (Asumsi populasi normal dan variansi populasi tidak sama).

Jawaban Latihan Soal Diket: 𝑥1 = 18.94; 𝑠1 = 3.90; 𝑛1 = 45 𝑥2 = 17.51; 𝑠2 = 2.87; 𝑛2 = 45 α = 0.05

Ditanya:Ho :µ1 − µ2 = 0

H1 : µ1 − µ2 > 0 Jawab:Uji satu arah, Reject Ho: T > tα

𝑡(0.05,81) = 1.664 *gunakan excel function: T.INV(α,df)*

T = 1.98 > 1.664; REJECT Ho Kesimpulan: Graphlex terbukti mengefisiensikan penggunaan

bbm, jadi perusahaan dapat mengiklankannya.

df, dibulatkan = 81

T

Latihan Soal • Sebuah eksperimen dilakukan untuk mengetahui pengaruh obat

succinylcholine pada tingkat sirkulasi androgen pada darah. Uji dilakukan pada 15 rusa liar yang disuntik dengan obat tersebut. Sample darah diambil dua kali, yaitu pada saat baru disuntik dan 30 menit setelah disuntik. Tabel berikut menunjukkan data yang diperoleh dari dua sample tersebut. Apakah terbukti obat tersebut berpengaruh? (α = 0.05)

𝑑 = 9.848; 𝑣 = 15 − 1; 𝑠𝐷 = 18.474

Jawaban Latihan Soal

Jawaban Latihan Soal Diket: 𝑑 = 9.848; 𝑣 = 15 − 1; 𝑠𝐷 = 18.474

α = 0.05

Ditanya:Ho :µ1 − µ2 = 0

H1 : µ1 − µ2 ≠ 0

Jawab:Uji dua arah, Reject Ho: |T| > tα

𝑡(0.05,14) = 2.145

T = 2.06 < 2.145; DO NOT REJECT Ho

Kesimpulan: Obat tidak berpengaruh pada tingkat sirkulasi androgen pada darah

T

Latihan Soal Soal: Sebuah sampel random suatu produk yang melalui uji bertahap diambil

dari 6 laboran, untuk diselidiki hasil pengujian bertahap pada semester I dan II. Hasilnya adalah sebagai berikut:

Ujilah pada taraf nyata 5% apakah hasil penjualan semester I lebih baik

daripada semester II?

Salesman Penjualan

Semester I Semester II

P 146 145

Q 166 154

R 189 180

S 162 170

T 159 165

U 165 161

Uji Proporsi – Dua Populasi (1)

(2)

(3)

(4)

(5) 𝑝1 = 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 1 𝑝2 = 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 2 𝑃 1 = 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 1 𝑃 2 = 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙 𝑃𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑠𝑖 2 𝑝 = 𝑡𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 𝑔𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑠𝑖 𝑝 𝑞 = 1 - p 𝑥1𝑑𝑎𝑛𝑥2 = 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑠𝑢𝑘𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑡𝑖𝑎𝑝 𝑠𝑎𝑚𝑝𝑙𝑒

Jika 𝑯𝟎: 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 = 𝟎,maka gunakan 𝐩𝐞𝐫𝐬𝐚𝐦𝐚𝐚𝐚𝐧 𝟒 dengan 𝑝1 = 𝑝2 = 𝑝 𝑑𝑎𝑛 𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞 Untuk mendapat 𝑧 𝑕𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔 maka 𝑝 dalam akar harus diganti dengan 𝑝 , 𝑞 dengan 𝑞 .

Jika 𝑯𝟎: 𝒑𝟏 − 𝒑𝟐 ≠ 𝟎,maka gunakan 𝐩𝐞𝐫𝐬𝐚𝐦𝐚𝐚𝐚𝐧 𝟑

• Sebuah pabrik kimia akan dibangun di perbatasan kota dan desa. Diduga penduduk kota yang lebih menyetujui pembangunan tersebut dibandingkan penduduk desa. Pengambilan suara dilakukan untuk mengetahui proporsi mana yang lebih besar di antara keduanya. Jika 120 dari 200 penduduk di kota menyetujui pembangunan, dan 240 dari 500 penduduk desa menyetujui, apakah benar dugaan bahwa proporsi penduduk kota lebih besar dari penduduk desa? (α = 0.05).

Latihan Soal

Jawaban Latihan Soal Diket: 𝑥1 = 120; 𝑛1 = 200 𝑥2 = 240; 𝑛2 = 500 α = 0.05; zα = 1.645 Ditanya: Ho : 𝑝 1 = 𝑝 2 H1 : 𝑝 1 > 𝑝 2 Jawab:Uji satu arah, Reject Ho: Z > zα

Z = 2.9 > 1.645; REJECT Ho Kesimpulan: betul dugaan bahwa proporsi warga kota yang

menyetujui pembangunan pabrik lebih besar dibanding warga desa

Z

Latihan Soal

• Dari sebuah sampel yang diambil berdasarkan polling pendapat yang terdiri dari 300 orang dewasa dan 200 remaja, diperoleh data bahwa 56% dari orang dewasa dan 48% dari kelompok remaja menyukai merek produk tertentu. Ujilah hipotesis bahwa terdapat perbedaan minat orang dewasa dan remaja terhadap produk tersebut. Gunakan α= 1%.

Pertemuan 4 - Persiapan

• Tugas Baca: – Uji Chi-squared

– Uji F