persamaan poisson
TRANSCRIPT
Faisal Anwar H211 08 522
Dwi Febri Isradiati H211 08 523
Rosita Tahisa H211 08 520
Noorchalis M. Adjaran H211 08 521
Didik Kurniawan H211 08 518
1
Medan
listrik
sebagai
gradien dari
potensial:
Poisson’s Equation
VE
2
Hukum
Gauss dalam
bentuk
diferensial:
0
E
+
0
E
0
V
0
2
V Persamaan
Poisson
VE
• Operasi matematika “∇ ganda” pada persamaan poisson harus diuraikan terlebih dahulu, setidaknya dalam koordinat persegi, agar kita dapat menggunakannya. Dalam sistem koordinat persegi:
• Oleh Karenanya :
z
z
y
y
x
x AAAA
zyx az
Va
y
Va
x
VV
Z
V
ZY
V
YX
V
XV
2
2
2
2
2
2
Z
V
Y
V
X
V
• Besarnya operator ∇.∇ dituliskan secara singkat sebagai ∇2
(diucapkan sebagai “del kuadrat”), yang sekaligus mengindikasikan bahwa operasi ini melibatkan turunan derajat kedua. Sehingga , diperoleh:
0
2
2
2
2
2
22
z
V
Y
V
X
VV
Penggunaan Pers. Poisson dalam menetukan
potensial pada suatu bola.
• Suatu bola padat bermuatan homogen dengan rapat muatan
uniform. Tentukanlah potensial di luar dan di dalam bola.
• Persamaan poisson:
• Karena rapat muatan tidak bergantung sudut, maka potensial
bersimetri bola:
0
2
V
2
2
222
2
2
2
sin
1sin
sin
11
V
r
V
rr
Vr
rrV
0
2
2
1
r
dr
dVr
dr
d
r
R
• Di luar bola ρ=0:
• Di dalam bola:
• Andaikan syarat batas: sehingga A0=0
r
BArV
dr
dVr
dr
d
r
000
2
20
1
0
2
0
22
6
r
r
BArV
r
dr
dVr
dr
d iii
000 Vr
r
BrV 0
0
• Di pusat bola r=0, sehingga harus berlaku Bi=0
• V(r) harus kontinu di kulit bola, Vi(R)=Vo(R)
• Medan di sebelah dalam dan di sebelah luar permukaan bola
harus sama:
0
2
rArV ii
0
2
0
2
66
R
R
BA
R
BRA o
io
i
r
BrV o
o
o
oi
rR
r
BrV
6
6 22
o
o
o
o
Rr
i
Rr
o RB
R
R
B
r
V
r
V
33
3
2
;3
3
r
RrV
o
o
o
i
rRrV
6
3 22
Akhirnya:
• Untuk persoalan yang mempunyai bentuk
persamaan Poisson, dapat diperoleh bahwa
∇2u(x, y,z) = f(x, y, z) solusinya adalah
dzdydx
zzyyxx
zyxfzyxu
volume
'''''
)',','(
4
1),,(
222
Contoh:
• Bola konduktor yang digroundkan berada di pusat koordinat
dengan jari-jari R. Pada titik (0,0,a) diletakkan muatan titik
sebesar q. Tentukan bentuk potensial di seluruh ruang di luar
bola tersebut.
• Bentuk potensial dalam ruang dengan adanya sumber distribusi
muatan ρ dinyatakan dengan persamaan Poisson
• ∇ 2 V = −4πρ
• Dengan demikian bentuk solusi persamaan Poisson tersebut
adalah:
dzdydx
zzyyxx
zyxzyxu
volume
'''''
)',','(4
4
1),,(
222
• Karena sumber muatan adalah muatan titik sebesar
q yang terletak di (0,0,a), maka artinya
• ( x' , y ' , z ' ) = (0,0, a ) dan ρ = q, sehingga
• ini adalah bentuk potensial yang disebabkan oleh
muatan titik q yang terletak di (0,0,a)
222
,,azyx
qzyxVq
• dengan menggunakan sistem koordinat bola dapat
dinyatakan
22 cos2 aarr
qVq