pendugaan fungsi nilai harapan pada proses poisson

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA

PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK

DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi Nilai

Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear adalah benar karya

saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk

apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau

dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain

telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian

akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Februari 2014

Bonno Andri Wibowo

NIM G54100033

ABSTRAK

BONNO ANDRI WIBOWO. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses

Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Linear. Dibimbing oleh I WAYAN

MANGKU dan SISWADI.

Karya ilmiah ini membahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi nilai

harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren linear. Komponen

periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik

tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan Slope dari tren

linear diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak diketahui. Masalah

utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai harapan,

membuktikan kekonsistenan penduga, dan membuktikan bias, ragam, dan Mean

Square Error (MSE) penduga konvergen menuju nol untuk panjang interval

pengamatan proses menuju takhingga.

Kata kunci: Fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan

penduga, proses Poisson periodik majemuk, tren linear.

ABSTRACT

BONNO ANDRI WIBOWO. Estimating the Mean Function of a Compound

Cyclic Poisson Process with Linear Trend. Supervised by I WAYAN MANGKU

and SISWADI.

This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean

function of a compound cyclic Poisson process with linear trend. The cyclic

component of intensity function of this process is not assumed to have any

parametric form, but it period is assumed to be known. The slope of linear trend is

assumed to be positif, but it value is unknown. The main problem of this

manuscript are constructing an estimator of this mean function, proving

consistency of this estimator, and proving that the bias, variance, and mean-

squared error of this estimator converge to zero as the length of the observation

time interval indefinitely expands.

Key word: Compound cyclic Poisson process, consistency, cyclic intensity

function, linear trend, the mean function.

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA

PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK

DENGAN TREN LINEAR

BONNO ANDRI WIBOWO

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

2014

Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson

Majemuk dengan Tren Linear

Nama Mahasiswa : Bonno Andri Wibowo

NIM : G54100033

Disetujui oleh

Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc

Pembimbing I

Prof Dr Ir Siswadi, MSc

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala

karuniaNya sehingga karya ilmiah yang berjudul Pendugaan Fungsi Nilai Harapan

pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Linear ini berhasil diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayang Mangku,

MSc selaku pembimbing I dan Bapak Prof Dr Ir Siswadi, MSc selaku dosen

pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama

penulisan karya ilmiah ini. Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Ruhiyat,

MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima

kasih juga disampaikan kepada ibu, lukman, adi, widi atas segala dukungan,

semangat, dan doa serta kasih sayangnya. Selain itu, penulis juga mengucapkan

terima kasih kepada teman–teman math 47, adik–adik math 48–49, DPM FMIPA

IPB, Gumatika, Matematika Terapan angkatan 8 dan IKAHIMATIKA

INDONESIA Wilayah III, serta tentor–tentor katalis IPB atas segala dukungan

dan doa yang diberikan.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat.

Bogor, Februari 2014

Bonno Andri Wibowo

DAFTAR ISI

DAFTAR LAMPIRAN VI

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Rumusan Masalah 2

Tujuan Penelitian 2

LANDASAN TEORI 2

Nilai Harapan, dan Ragam 2

Kekonvergenan 3

Penduga dan Sifat – sifatnya 4

Proses Stokastik dan Proses Poisson 5

Beberapa Lema Teknis 6

KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA PROSES

POISSON TAK-HOMOGEN

7

Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk 7

Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear 9

PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA 11

Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 11

Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya 12

Beberapa Lema Teknis dan Buktinya 13

BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU

KEKONVERGENANNYA

18

Bukti Kekonsistenan Penduga ( ) 18

Bukti Laju Kekonvergenan Penduga ( ) 18

SIMPULAN 26

DAFTAR PUSTAKA 27

LAMPIRAN 29

RIWAYAT HIDUP 33

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Proses stokastik merupakan proses yang menggambarkan suatu kejadian

atau fenomena yang bersifat tidak pasti. Proses ini berguna untuk memodelkan

fenomena yang berkaitan dengan aturan peluang seperti pergerakan harga saham,

proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat layanan (customer service), dan

banyaknya klaim yang datang ke suatu perusahaan asuransi. Oleh sebab itu, untuk

memprediksi bagaimana fenomena-fenomena tersebut terjadi di masa yang akan

datang diperlukan suatu peramalan atau pendugaan. Peramalan tersebut berguna

untuk memperoleh informasi mengenai perubahan di masa yang akan datang.

Proses stokastik dapat diklasifikasikan menjadi proses stokastik dengan

waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Pada karya ilmiah ini

pembahasan hanya difokuskan pada salah satu bentuk khusus dari proses stokastik

dengan waktu kontinu, yaitu proses Poisson majemuk.

Proses Poisson majemuk dapat digunakan untuk memodelkan besarnya

klaim agregat, sehingga perusahaan asuransi dapat menduga besarnya keuntungan

yang akan diperoleh pada masa yang akan datang. Sebelumnya, Byrne (1969)

telah menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa permasalahan fisika.

Selain itu, proses Poisson majemuk telah diterapkan pada bidang demografi

(Kegler 2007), geologi ( dan 2008) dan biologi (Puig dan Barquinero

2011).

Selama ini, kajian terhadap proses Poisson majemuk dilakukan dengan

menggunakan proses Poisson homogen, yaitu proses Poisson yang fungsi

intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Apabila suatu kejadian

memiliki peluang lebih besar untuk terjadi pada interval waktu tertentu

dibandingkan pada interval waktu yang lain, maka asumsi ini tidak sesuai. Oleh

karena itu, untuk memperluas cakupan permasalahan yang dapat dimodelkan,

asumsi tersebut harus diubah. Waktu dapat dianggap berpengaruh dan digunakan

proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson yang fungsi intensitasnya

merupakan fungsi dari waktu. Proses Poisson takhomogen ini merupakan

perumuman dari proses Poisson homogen.

Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses

Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah

satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik

majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian ditingkatkan menjadi proses Poisson

periodik majemuk dengan tren linear. Proses Poisson periodik majemuk dengan

tren linear ini cocok dalam menggambarkan fenomena yang terjadi secara

periodik namun meningkat mengikuti tren linear, seperti proses kedatangan

wisatawan ke suatu pusat rekreasi dengan periode satu tahun.

Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk dengan tren linear sulit

ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan untuk

ditentukan adalah nilai harapan dari peubah acak tersebut. Nilai harapan ini

merupakan fungsi dari waktu karena peubah acak Poisson periodik majemuk

dengan tren linear merupakan fungsi dari waktu. Oleh karena itu, nilai harapan ini

disebut sebagai fungsi nilai harapan.

2

Rumusan Masalah

Pada karya ilmiah ini fungsi intensitas dari proses Poisson periodik dengan

tren linear diasumsikan tidak diketahui karena apabila fungsi intensitas tersebut

diketahui, fungsi nilai harapan dapat dengan mudah diketahui. Dengan asumsi ini,

diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan. Pendugaan diawali dengan

mengkaji perumusan penduga bagi fungsi nilai harapan proses Poisson periodik

majemuk dengan tren linear. Selanjutnya kita menganalisis kekonsistenan

penduga yang diperoleh. Kekonsistenan yang dianalisis adalah kekonsistenan

lemah ketika interval waktu pengamatan memanjang. Selain itu, kita melakukan

analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga untuk

melihat perbedaan antara penduga dengan fungsi nilai harapan yang sebenarnya.

Tujuan Penelitian

1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

majemuk dengan tren linear,

2. Menganalisis kekonsistenan penduga, dan

3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared

error (MSE) penduga.

LANDASAN TEORI

Nilai Harapan, dan Ragam

Definisi 1 (Nilai harapan)

1. Jika adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka

nilai harapan dari didefinisikan sebagai

, - ∑

( )

jika jumlah di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).

2. Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang ,

maka nilai harapan dari didefinisikan sebagai

, - ∫ ( )

jika integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).

Definisi 2 (Ragam)

Jika adalah peubah acak, maka ragam dari didefinisikan sebagai

var( ) ,( ( )) -

(Ghahramani 2003).

3

Definisi 3 (Koragam)

Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula dan masing-

masing menyatakan nilai harapan dari dan . Koragam dari dan

didefinisikan sebagai

cov( ) ,( )( )-

(Ghahramani 2003).

Lema 1 (Sifat ragam)

1. Misalkan dan adalah peubah acak dan misalkan pula c dan d adalah dua

buah konstanta sembarang, maka

var( ) ( ) ( ) cov(X,Y)

Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003).

2. Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan misalkan pula c dan d

adalah dua buah konstanta sembarang, maka

( ) ( ) ( )

Bukti dapat dilihat di Ghahramani (2003).

3. Misalkan adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk

sembarang konstanta c dan d, berlaku

( ) ( )

Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2003).

Kekonvergenan

Definisi 4 (Konvergen dalam peluang)

Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang ( ) Suatu barisan peubah acak , dikatakan konvergen dalam peluang ke

peubah acak , ditulis → jika untuk setiap berlaku

→

(| | )

untuk → (Ghahramani 2003).

Definisi 5 (Konvergen hampir pasti)

Misalkan adalah peubah acak pada suatu ruang peluang ( ) Suatu barisan peubah acak , dikatakan konvergen hampir pasti ke peubah

acak , ditulis → jika untuk setiap berlaku

→

(| | )

untuk → (Ghahramani 2003).

Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)

Misalkan → dan

→ , maka

→ dan

→ .

untuk → . Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2005).

4

Penduga dan Sifat–sifatnya

Definisi 6 (Statistik)

Misalkan adalah contoh acak dari peubah acak . Kemudian setiap

fungsi ( ) dari contoh acak tersebut disebut statistik (Hogg et al.

2005).

Definisi 7 (Penduga)

Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik ( ) yang

digunakan untuk menduga suatu parameter, katakanlah , disebut sebagai

penduga (estimator) bagi (Hogg et al. 2005).

Definisi 8 (Penduga tak-bias)

1. Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter yang diduga,

yaitu E, ( )- , disebut penduga takbias bagi parameter

tersebut. Jika tidak, penduga tersebut disebut berbias.

2. Jika → , ( )- maka ( ) disebut sebagai

penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2005).

Definisi 9 (Penduga konsisten lemah)

Suatu penduga ( ) yang konvergen dalam peluang ke parameter yaitu

( ) →

untuk → , disebut penduga konsisten lemah bagi (Hogg et al. 2005).

Definsi 10 (Penduga konsisten kuat)

Suatu penduga ( ) yang konvergen dalam sebaran ke parameter yaitu

( ) →

untuk → , disebut penduga konsisten kuat bagi (Hogg et al. 2005).

Definisi 11 ( ( ) dan ( )) Simbol-simbol ( ) dan ( ) merupakan cara untuk membandingkan besarnya

dua fungsi ( ) dan ( ) dengan menuju suatu limit L.

(i) Notasi ( ) ( ( )), → menyatakan bahwa | ( )

( )| terbatas, untuk

→ .

(ii) Notasi ( ) ( ( )), → menyatakan bahwa | ( )

( )| → , untuk →

(Serfling 1980).

5

Proses Stokastik dan Proses Poisson

Definisi 12 (Proses stokastik)

Proses stokastik = * ( ) + adalah suatu himpunan dari peubah acak yang

memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state (state space) S (Ross

2007).

Definisi 13 (Proses stokastik dengan waktu kontinu)

Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika

adalah suatu interval (Ross 2007).

Definisi 14 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu * ( ) + disebut memiliki

inkremen bebas jika untuk semua peubah acak ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) adalah bebas (Ross 2007).

Definisi 15 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu * ( ) + disebut memiliki

inkremen stasioner jika ( ) ( ) memiliki sebaran yang sama untuk

semua (Ross 2007).

Definisi 16 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik * ( ) + disebut proses pencacahan jika ( ) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu (Ross 2007).

Definisi 17 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan * ( ) + disebut proses Poisson dengan laju ,

, jika memenuhi tiga syarat berikut

1. (0) = 0.

2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

3. Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t

memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan . Jadi, untuk semua t,s ,

( ( ) ( ) ) ( )

(Ross 2007).

Definisi 18 (Proses Poisson homogen)

Suatu proses Poisson * ( ) + disebut proses Poisson homogen jika laju

merupakan konstanta untuk semua t (Ross 2007).

Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen)

Suatu proses Poisson * ( ) + disebut proses Poisson tak-homogen jika laju

merupakan fungsi dari waktu, yaitu ( ) (Ross 2007).

6

Lema 3 (Sebaran jumlah peubah acak Poisson)

Misalkan dan adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson

dengan parameter berturut-turut u dan v. Maka + memiliki sebaran Poisson

dengan parameter u+v.


Definisi 20 (Terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal jika untuk sembarang himpunan

Borel terbatas , memenuhi persamaan berikut

( ) ∫ ( )

(Dudley 1989).

Definisi 21 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak-homogen dengan fungsi intensitas

pada titik s adalah ( ), yaitu fungsi di s (Cressie 1993).

Definisi 22 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi disebut periodik jika

( ) ( )

untuk setiap s dan k serta merupakan periode dari fungsi tersebut

(Browder 1996).

Definisi 23 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah proses Poisson takhomogen yang fungsi

intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001).

Beberapa Lema Teknis

Lema 4 (Ketaksamaan Markov)

Jika adalah peubah acak taknegatif, maka untuk setiap t > 0 berlaku

( ) ( )


Lema 5 (Ketaksamaan Chebyshev)

Jika adalah peubah acak dengan nilai harapan dan ragam terbatas , maka

untuk setiap berlaku

(| | )


7

Lema 6 (Ketaksamaan segitiga)

Jika dan adalah peubah acak dengan momen kedua terbatas, maka

| | | | | |

Bukti dapat dilihat pada Helms (1996).

Lema 7 (Hukum lemah bilangan besar)

Misalkan * + adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan dan ragam

, maka

∑

→

untuk → . Bukti dapat dilihat pada Capiński dan Kopp (2007).

Lema 8 Misalkan k, adalah konstanta maka berlaku

1. ∑

( , -)

( )

(1)

2. ∑

( , -) ( ⁄ ) ( )

(2)

3. ∑ ( , -)

( )

(3)

untuk → . Bukti dapat dilihat pada Titchmarsh (1960).

KARYA TERKAIT PADA PENDUGAAN PARAMETER PADA

PROSES POISSON TAKHOMOGEN

Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk

Misalkan * ( ) + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan

fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas

(s) diasumsikan berupa fungsi periodik, yakni memenuhi

( ) ( )

untuk setiap 0 dan , dengan menyatakan himpunan bilangan asli.

Nilai harapan dari proses * ( ) + adalah

, ( )- ∫ ( )

( )

dengan

8

⌊

⌋

di mana untuk setiap bilangan real , ⌊ ⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang

lebih kecil dari atau sama dengan ,

( ) ∫ ( )

dan

( )

yaitu fungsi intensitas global dari proses * ( ) + Diasumsikan bahwa

Selanjutnya, misalkan * ( ) + adalah suatu proses dengan

( ) ∑

( )

di mana * + adalah barisan peubah acak yang independent and identically

distributed dengan nilai harapan dan ragam , yang juga bebas

terhadap proses * ( ) +. Proses * ( ) + disebut dengan proses

Poisson periodik majemuk.

Secara matematis, fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik

majemuk dapat dituliskan sebagai berikut:

( ) , ( )- , ( )- , - . ( )/

Pendugaan fungsi nilai harapan dapat dibagi menjadi beberapa pendugaan,

yaitu pendugaan fungsi intensitas global , pendugaan ( ) yang merupakan

nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval waktu , - dan

pendugaan . Pendugaan bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai

berikut:

(, -)

Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval

, - Penduga bagi ( ) telah dikaji pada Ruhiyat (2013) dan dirumuskan

sebagai berikut:

( )

∑ (, - , -)

Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada

setiap interval waktu , - , yang termasuk dalam interval

pengamatan , -. Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang

sama dengan panjang interval waktu banyaknya kejadian yang diduga, yaitu kecuali mungkin untuk satu interval. Selain itu, masing-masing interval waktu

tersebut memiliki fungsi intensitas yang sama dengan interval waktu banyaknya

9

kejadian yang diduga, kecuali mungkin untuk satu interval. Hal ini merupakan

akibat dari sifat keperiodikan fungsi intensitas . Penduga bagi dirumuskan

sebagai berikut:

(, -)∑

(, -)

dengan saat (, -) . Penduga ini diperoleh dari rata–rata nilai

peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan

, -. Dengan menggunakan ketiga rumusan tersebut, penduga bagi fungsi nilai

harapan ( ) dirumuskan sebagai berikut:

( ) . ( )/

dengan ( ) saat (, -) . Penduga nilai harapan tersebut telah

dibuktikan kekonsistenannya baik kekonsistenan lemah maupun kekonsistenan

kuat pada Ruhiyat et al. (2013). Laju kekonvergenan bias, ragam, dan MSE

penduga berturut-turut ialah

[ ( )] (

)

[ ( )] (

)

[ ( )] (

)

untuk → .

Pendugaan Parameter pada Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear

Pengantar proses Poisson periodik dengan tren linear

Misalkan * ( ) + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan

fungsi intensitas terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas (s)

diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren linear, yakni memenuhi

( ) ( ) (4)

konstanta merupakan kemiringan dari tren dengan

> 0. (5)

Kondisi fungsi intensitas ini juga digunakan pada Mangku (2005).

Pendugaan komponen-komponen parameter pada proses Poisson periodik

dengan tren linear

Penduga bagi slope dari tren linear, yaitu dirumuskan sebagai berikut:

(, -)

(6)

10

Pendugaan ini juga dilakukan pada Helmers dan Mangku (2009) untuk tujuan

yang berbeda. Penduga bagi fungsi intensitas global telah dikaji pada Mangku

(2005) dan dirumuskan sebagai berikut:

( ⁄ )∑

(, ( ) - , -)

(

( ⁄ ))

(7)

Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ) telah dikaji pada Mangku (2010)

dan dirumuskan sebagai berikut:

( )

( ⁄ )∑

(, - , -)

(

( ⁄ )

)

(8)

Beberapa lema dalam pendugaan parameter pada proses Poisson periodik

dengan tren linear

Lema 9: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan

lokal, maka

, -

(

)

(9)

untuk → . Dengan kata lain merupakan penduga yang takbias asimtotik

bagi . Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).

Lema 10: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan

terintegralkan lokal, maka

, -

(

)

(10)

untuk → . Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).



→

untuk → . Bukti dapat dilihat pada Helmers dan Mangku (2009).



[ ] (

)

(11)

untuk → . Dengan kata lain merupakan penduga yang takbias asimtotik

bagi . Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).

11



[ ] (

( ) )

(12)

untuk → . Bukti dapat dilihat pada Mangku (2005).



→




[ ( )] ( ) (

( ⁄ ))

(13)

untuk → . Dengan kata lain ( ) merupakan penduga yang takbias

asimtotik bagi ( ). Bukti dapat dilihat pada Adawiyah (2011).



( ) → ( )


PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA

Pengantar dan Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan

Misalkan * ( ) + adalah suatu proses Poisson periodik majemuk

dengan tren linear, dan misalkan * ( ) + adalah suatu proses dengan

( ) ∑

( )

(14)

di mana * + adalah barisan peubah acak yang independent and identically

distributed dengan nilai harapan dan ragam , yang juga bebas

terhadap * ( ) +. Proses * ( ) + disebut dengan proses Poisson

periodik majemuk dengan tren linear. Nilai harapan dari ( ), dinotasikan dengan

( ) ialah

( ) , ( )- , - ( ) (15)

dengan

12

( ) ∫ ( )

(16)

Bukti persamaan (15) dapat dilihat pada Lampiran 1, maka untuk setiap

yang diberikan,

( ) ( )

(17)

Misalkan

∫ ( )

yaitu fungsi intesitas global dari komponen periodik pada proses * ( ) +. Bukti persamaan (17) dapat dilihat pada Lampiran 1. Diasumsikan

(18)

Akhirnya, berdasarkan persamaan (15) dan (17), fungsi nilai harapan dari ( ) dapat dituliskan menjadi

( ) ( ( )

)

(19)

Pendugaan fungsi nilai harapan ( ) pada persamaan (19) dapat dibagi

menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan

slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan

( ) yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada

interval waktu , -. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut:

(, -)∑

(, -)

(20)

dengan saat (, -) . Penduga ini diperoleh dari rata – rata nilai

peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan

, -. Dengan menggunakan penduga pada persamaan (6)-(8) dan (20) , penduga

bagi fungsi nilai harapan ( ) dirumuskan sebagai berikut:

( ) ( ( )

)

(21)

dengan ( ) saat (, -) .

Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya

Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)

Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan terintegralkan lokal.

Jika ( ) memenuhi persamaan (14), maka

( ) → ( )

(22)

untuk → . Jadi ( ) merupakan penduga yang konsisten lemah bagi ( ).

13

Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias)



[ ( )] [ ( )] ( ) (

( ⁄ ))

untuk → . Artinya, Bias ( ) konvergen ke nol dengan laju .

( ⁄ )/ jika

→ .

Teorema 3 (Laju kekonvergenan ragam)



[ ( )] (

( ⁄ ))

untuk → . Artinya, ragam ( ) konvergen ke nol dengan laju .

( ⁄ )/ jika

→ .

Akibat 4 (Laju kekonvergenan MSE)



[ ( )] (

( ⁄ ))

untuk → . Artinya, [ ( )] konvergen ke nol dengan laju .

( ⁄ )/ jika

→ .

Beberapa Lema Teknis dan Buktinya

Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga

bagi fungsi nilai harapan.

Berdasarkan Lema 9 dan 10, diperoleh akibat berikut.

Akibat 1: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (4) dan


(( ) )

(

)

(23)

untuk → .

Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan seperti berikut:

(( ) ) ( ) , ( )-

.

/ (

.

/)

.

/

.

/

.

/

14

.

/

untuk → . Bukti Lengkap.




.( ) / (

( ⁄ ))

(24)

untuk → .

Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan seperti berikut:

.( ) / ( ) [ ( )]

= .

( ⁄ )/ ( .

( ⁄ )/)

= .

( ⁄ )/ O.

( ( ⁄ )) /

= .

( ⁄ )/

untuk → . Bukti lengkap.



[ ( )] ( ⁄ )

(

( ⁄ ))

(25)

untuk → .

Bukti: Nilai ragam dari penduga ( ) adalah

[ ( )] 0

( ⁄ )∑

(, - , -)

.

( ⁄ )/

1.

Misalkan

( ⁄ )∑

(, - , -)

dan .

( ⁄ )/.

Sehingga dengan menerapkan Lema 1 diperoleh

[ ( )] , - , - ( ) (26)

Catatan, untuk setiap j k, j,k= 1,2,..., maka (, - , -) dan (, - , -) tidak saling tumpang tindih (tidak overlap). Sehingga

(, - , -) dan (, - , -) adalah bebas, untuk k j.

, - 0

( ⁄ )∑

(, - , -)

1

=

( ( ⁄ )) ∑

, (, - , -)-

,

karena N peubah acak Poisson, maka Var(N)= E(N)

=

( ( ⁄ )) ∑

, (, - , -)-

15

=

( ( ⁄ )) ∑

∫ ( ) ( , -)

.

Misalkan y= s-k maka persamaan di atas menjadi

=

( ( ⁄ )) ∑

∫ ( ( ) ( )) ( , -)

karena merupakan fungsi periodik, maka ( ) ( )

=

( ( ⁄ )) ∫ ( ( ) )∑

( , -)

( ( ⁄ )) ∫ ∑

( , -) . (27)

Substitusi (1) pada bagian pertama persamaan (27) menjadi

=

( ( ⁄ )) ∫ ( ( ) ) .

( )/

= (

( ( ⁄ )) .

( ( )) /)∫ ( ( ) )

= (

( ( )) .

( ( ⁄ )) /). ( )

/

=

( ( )

)

( ( ⁄ )) .

( ( ⁄ )) / (28)

untuk → . Substitusi persamaan (2) bagian kedua persamaan (27)

=

( ( ⁄ )) ∫ ( ( ⁄ ) ( ))

=

( ⁄ ) .

( ( ⁄ )) / (29)

untuk → . Dari persamaan (28) dan (29) maka persamaan (27) menjadi

, -

( ⁄ )

( ( )

)

( ( ⁄ )) .

( ( ⁄ )) /. (30)

, - 0 .

( ⁄ )/1

= .

( )/

, -

Substitusi persamaan (10) maka persamaan di atas menjadi

= .

( ( ⁄ ))

( ⁄ )/ (

.

/)

=

( ( ⁄ ))

( ⁄ ) .

( ) /

=

( ( ⁄ )) .

( ( ⁄ )) / (31)

untuk → .

16

( ) (

( )∑

(, - , -)

.

( ⁄ )/)

= .

( ⁄ )/ .

( ⁄ )/

∑

( (, - , -) (, -))

= .

( ⁄ )

( ( ⁄ )) /∑

( (, - , -))

= .

( ⁄ )

( ( ⁄ )) /∑

( (, - , -))

= .

( ⁄ )

( ( ⁄ )) /∑

∫ ( ) ( , -)

= .

( ⁄ )

( ( ⁄ )) /

∑

∫ ( ) ( , -)

= .

( ⁄ )

( ( ⁄ )) /

∑

∫ ( ( ) ( ))

( k , n-)d

= .

( ⁄ )

( ( ⁄ )) /

∫ ( ( ) )∑

( , -)

.

( ⁄ )

( ( ⁄ )) /∫ ∑ ( , -)

(32)

Substitusi persamaan (2) pada bagian pertama persamaan (32)

.

( ⁄ )

( ( ⁄ )) /∫ ( ( ) )( ( ⁄ ) ( ))

= (

( ⁄ ) .

( ( ⁄ )) /) .∫ ( ( ) )

/

= (

( ⁄ ) .

( ( ⁄ )) /) . ( )

/

= ( )

( ⁄ ) .

( ( ⁄ )) /

= .

( ( ⁄ )) / (33)

untuk → . Substitusi persamaan (3) pada bagian kedua persamaan (32)

.

( ⁄ )

( ( ⁄ )) / ∫ .

( ) /

=

( ⁄ )

( ( ⁄ )) .

( ) /

17

= .

( ( )) / (34)

untuk → . Dari persamaan (33) dan (34) dapat diperoleh

( ) (

( ( )) ) (35)

untuk → . Dari persamaan (30), (31), dan (35) dapat diperoleh

[ ( )]

( ⁄ )

( ( )

)

( ( ⁄ )) .

( ( ⁄ )) /

( ( ⁄ ))

.

( ( ⁄ )) / .

( ( ⁄ )) /

=

( ⁄ ) .

( ⁄ )/





(. ( )/

) ( )

( ⁄ )

(

( ⁄ ))

(36)

untuk → .

Bukti: Momen kedua dari ( ) dapat ditentukan seperti berikut:

(. ( )/

) . ( )/ 0 . ( )/1

=

( ⁄ ) .

( ⁄ )/ ( ( ) .

( ⁄ )/)

=

( ⁄ ) .

( ⁄ )/ ( )

.

( ⁄ )/

= ( )

( ⁄ ) .

( ⁄ )/



terintegralkan lokal. Jika kondisi (5) dan (18) dipenuhi, maka dengan peluang 1,

(, -) →

untuk → .

Bukti: , (, -)- ∫ ( )

= ∫ ( ( ) )

=


BUKTI KEKONSISTENAN PENDUGA DAN LAJU

KEKONVERGENANNYA

Bukti Kekonsistenan Penduga ( )

Bukti Teorema 1:

Perhatikan kembali persamaan (21). Dengan menerapkan Lema 2, untuk

membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa

→

(37)

→

(38)

( ) → ( )

(39)

dan

→

(40)

untuk n→ . Dengan Lema 11 diperoleh (37), dengan Lema 14 diperoleh (38),

dengan Lema 16 diperoleh (39). Dengan Lema 18 dan Lema 7 (hukum lemah

bilangan besar) diperoleh (40). Bukti Lengkap.

Bukti Laju Kekovergenan Penduga ( )

Bukti Teorema 2:

[ ( )] 0 [ ( )| (, -)]1

= ∑ [ ( )| (, -) ] ( (, -) )

= [ ( )| (, -) ] ( (, -) )

∑ [ ( )| (, -) ] ( (, -) ).

Untuk (, -) maka ( ) .

Sedangkan (, -)

( ) . ( ) (, -)

/

(, -)∑ (, -)

Sehingga untuk m

, ( )| (, -) -

= 0. ( )

/

∑ 1

= . ( ) . ( )/

/ .

∑ /.

Dari Lema 10, Lema 12 diperoleh

. ( ) . ( )/

/ .

∑ /

19

= ( ( .

( ⁄ )/) ( ( ) .

( ⁄ )/)

)

∑ ( )

= ( ( )

.

( ⁄ )/)

( )

= ( ( )

.

( ⁄ )/) ( )

= ( ( )

.

( ⁄ )/)

untuk → . Jadi,

[ ( )] ∑ ( ( )

.

( ⁄ )/) ( (, -) )

= ∑ ( ( ) .

( ⁄ )/) ( (, -) )

∑

( (, -) )

= ( ( ) .

( ⁄ )/) ∑ ( (, -) )

∑ ( (, -) )

= ( ( ) .

( ⁄ )/) ( ( (, -) ))

∑ ( (, -) )

= ( ( ) .

( ⁄ )/) (

( )( ( ))

)

( (, -))

= ( ( ) .

( ⁄ )/) ( ( ))

( (, -))

= ( ( ) .

( ⁄ )/) ( ( ))

( (, -))

= ( ( ) .

( ⁄ )/) . ( ( ))/

( (, -))

= . ( )/ . ( )

( ⁄ )/ .

( ⁄ )/

.

(, -)

/

= . ( )/ .

( ⁄ )/

( )

= . ( )/

(

.

/) .

( ⁄ )/

= . ( )

/ .

( ⁄ )/

20

= ( ) .

( ⁄ )/

untuk → . Sehingga

[ ( )] ( ) .

( ⁄ )/

(41)

untuk → . Jadi,

[ ( )] [ ( )] ( )

= ( ) .

( ⁄ )/ ( )

= .

( ⁄ )/

untuk → .

Bukti Teorema 3:

Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan dapat

diperoleh dari rumusan berikut:

[ ( )] [. ( )/

] ( [ ( )])

(42)

Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (42) telah diperoleh pada persamaan

(41), sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari

penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat

berikut:

[. ( )/

] * [. ( )/

| (, -)]+

= ∑ [. ( )/

| (, -) ] ( (, -) )

= [. ( )/

| (, -) ] ( (, -) )

∑ [. ( )/

| (, -) ] ( (, -) ) .

Untuk (, -) maka ( ) .

Sedangkan untuk (, -)

( ) . ( ) (, -)

/

(, -)∑ (, -) .

Sehingga untuk m

0( ( )) | (, -) 1

= *(. ( )

/

∑ )

+

= [. ( )

/

.

∑ /

]

21

= [. ( )

/

] [.

∑ /

]

Pertama, dihitung

[. ( )

/

]

= [( ) . ( )/

.

/

]+

0 ( )

( )1

= ( ) 0( )

1 [. ( )/

] .

/

[ ( )]

[ ]

[ ( )]

Dari Lema 10, Lema 12, Akibat 2, dan Akibat 3 diperoleh

( ) 0( )

1 [. ( )/

] .

/

[ ( )]

[ ]

[ ( )]

= ( ) ( .

( ⁄ )/) (( ( ))

( ⁄ ) .

( ⁄ )/) .

/

( .

( ⁄ )/) ( ( ) .

( ⁄ )/)

( .

( ⁄ )/)

( ( ) .

( ⁄ )/)

= ( ) .

( ⁄ )/ ( ( ))

.

( ⁄ )/ .

/

( ) .

( ⁄ )/ .

( ( ⁄ )) /

.

( ⁄ )/

( ) .

( ⁄ )/

= ( ) ( ( ))

.

/

( )

( ) .

( ⁄ )/

untuk → . Kedua, dihitung

[.

∑ /

]

=

,(∑

) -

=

[∑

∑ ∑

]

=

(∑ (

) ∑ ∑ ( ) ( )

)

22

=

. (

) ( ) ( ) ( )/

=

( ) .

/

=

Jadi, diperoleh untuk m

[. ( )/

| (, -) ]

= .

/ (( )

( ( ))

.

/

)

.

/ ( ( )

( ) .

( ⁄ )/)

untuk → . Oleh karena itu,

[. ( )/

]

∑ ( (, -) ) .

/

(( ) ( ( ))

.

/

)

∑ ( (, -) ) .

/

( ( )

( ) .

( ⁄ )/)

=

∑

( (, -) )

∑ ( (, -) )

.

( )

/∑ ( (, -) )

.

( )

/∑ ( (, -) )

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/)∑ ( (, -) )

+ (( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/)∑

( (, -) )

untuk → . Pada bukti Teorema 2 telah diperoleh

∑ ( (, -) )

, (, -)-

(43)

dan

∑ ( (, -) )

( )

(44)

untuk → . Dengan cara serupa, dapat diperoleh

23

∑

( (, -) ) 0( (, -)) 1

(45)

Terakhir,

∑

( (, -) )

(

)

(46)

untuk → . Bukti persamaan (46) dapat dilihat pada Lampiran 1. Dengan (43)-

(46), diperoleh

[. ( )/

]

=

0( (, -))

1

, (, -)-

.

( )

/ , (, -)-

.

( )

/ ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/) ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/)(

.

/)

=

[.

(, -)

/

]

0

(, -)

1

.

( )

/ 0

(, -)

1

.

( )

/ ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/) ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/)(

.

/)

=

,( )

-

, -

.

( )

/ , -

.

( )

/ ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/) ( ( ))

24

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/)(

.

/)

Dari Lema 9 dan Akibat 1 diperoleh

,( )

-

, -

.

( )

/ , -

.

( )

/ ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/) ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/)(

.

/)

=

(

.

/)

(

.

/)

.

( )

/ (

.

/)

.

( )

/ ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/) ( ( ))

(( ) ( ( ))

( ) .

( ⁄ )/)(

.

/)

=

.

( )

/ .

( ⁄ )/ .

/ ( )

+ (( ) ( ( ))

( )) .

( ⁄ )/ .

( ⁄ )/

= .( ) ( ( ))

( )

( )

/

.

( ⁄ )/

= . ( )

/

.

( ⁄ )/

= (. ( )

/ )

.

( ⁄ )/

= ( ( )) .

( ⁄ )/

untuk → . Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah

[ ( )] [. ( )/

] ( [ ( )])

25

= ( ( )) .

( ⁄ )/ ( ( ) .

( ⁄ )/)

= ( ( )) .

( ⁄ )/ ( ( ))

.

( ( ⁄ )) /

= .

( ⁄ )/


Bukti Akibat 4:

Berdasarkan Teorema 2 dan 3,

[ ( )] [ ( )] ( [ ( )])

= .

( ⁄ )/ ( .

( ⁄ )/)

= .

( ⁄ )/ .

( ( ⁄ )) /

= .

( ⁄ )/


SIMPULAN

Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

majemuk dengan tren linear ialah

( ) ( ( )

)

dengan

(, -)

( ⁄ )∑

(, ( ) - , -)

(

( ⁄ ))

( )

( ⁄ )∑

(, - , -)

(

( ⁄ )

)

dan

(, -)∑

(, -)

dengan saat (, -) .

Penduga bagi fungsi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga

yang konsisten lemah. Bias, ragam dan MSE dari penduga bagi fungsi nilai

harapan konvergen ke nol dengan laju .

( ⁄ )/.

DAFTAR PUSTAKA

Adawiyah TRA. 2011. Kekonsistenan penduga fungsi sebaran dan fungsi

kepekatan peluang waktu tunggu proses Poisson periodik dengan tren linear

[Skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. New York (US):

Springer

Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with applications in

statistical physics. Physica 41:575-587.

Capiński M Kopp E. 7. Measure, Integral and Probability. Ed. New

York (US): Springer.

Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised edition. New York (US):

John Wiley & Sons.

Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California (US): Wadsworth &

Brooks.

Ghahramani S. 2003. Fundamentals of Probability. Ed. New Jersey (US):

Prentice Hall.

Helmers R, Mangku IW. 2009. Estimating the intensity of a cyclic Poisson

process in the presence of linear trend. Annals Institute of Statistical

Mathematics 61(2009):599-628.

Helms LL. 1996. Introduction to Probability Theory: With Contemporary

Application. New York (US): W. H. Freeman & Company

Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics.

Ed. New Jersey (US): Prentice Hall.

Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of

injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations

4:1-9.

Mangku IW. 2001. Estimating the intensity a cyclic Poisson process [disertasi].

Amsterdam (NL): University of Amsterdam.

Mangku IW. 2005. A note on estimation of the global intensity of a cyclic Poisson

process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its

Application. 4(2):1-12

Mangku IW. 2010. Consistent estimation of the distribution function and the

density of waiting time of a cyclic Poisson process with linear trend. Far

East Journal of Theoretical Statistics. 33(1): 81-91

Özel G İnal C. 8. The probabilit function of the compound oisson process

and an application to aftershock sequence in Turkey. Environtmetrics 19:79-

85.

Puig P, Barquinero JF. 2011. An application of compound Poisson modeling to

biological dosimetry. Proc. R. Soc. Lond. Ser. A Math. Phys. Eng. Sci.

467(2127):897-910.

Ross SM. 2007. Stochastic Process. Ed. New York (US): John Wiley & Sons.

Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

majemuk [Tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

28

Ruhiyat, Mangku IW, Purnaba IGP. 2013. Consistent estimation of the mean

function of a compound cyclic Poisson process. Far East Journal of

Mathematical Sciences 77(2):183-194.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New

York (US): John Wiley & Sons

Titchmarsh EC. 1960. The Theory of Function. London (UK): Oxford University

Press.

29

Lampiran 1: Bukti beberapa persamaan

Bukti persamaan (15): ( ) , ( )- , - ( )

Berdasarkan persamaan (14),

( ) , ( )-

*∑

( )

+

Dengan sifat nilai harapan,

*∑

( )

+ * (∑

( )

| ( ))+

Selanjutnya terlebih dahulu

(∑

( )

| ( ) )

yaitu,

(∑

( )

| ( ) ) [∑

]

∑ , -

karena barisan peubah acak * + bebas terhadap proses * ( ) +. Kemudian, karena * + adalah barisan peubah acak i.i.d., maka

∑ , -

∑ , -

, -

Sehingga

(∑

( )

| ( )) ( ) , -

akhirnya diperoleh

, ( )- [ ( ) , -]

Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak

* + dengan proses * ( ) +.

, ( )- , ( )- , -

30

( )

Bukti lengkap.

Bukti persamaan (17): ( ) ( )

( ) ∫ ( )

∫ ( ( ) )

∫ ( )

∫

Berdasarkan Ruhiyat (2013):

∫ ( )

( )

sehingga diperoleh ( )= ( )

.

Bukti persamaan (46): ∑

( (, -) )

.

/

Dari pembuktian Lema 18, diketahui bahwa

( ) , ( )- →

untuk → . Dari Lema 1, dapat diperoleh

( ) , ( )-

( )

untuk → . Oleh karena itu, untuk mendapatkan persamaan (45) seperti berikut

∑

( (, -) )

∑

( )( ( ))

(

)

cukup dibuktikan bahwa

∑

( )( ( ))

( ) (

( ) )

untuk → , jika ( ) → untuk n→ . Pertama, perhatikan bahwa

.

/

.

/

.

/

31

sehingga

dan

∑

( )( ( ))

∑ .

/

( )( ( ))

∑

( )( ( ))

∑

( )( ( ))

∑

( )( ( ))

∑

( )( ( ))

Selanjutnya,

∑

( )( ( ))

( )∑

( )( ( ))

( )

Misalkan k= m+1, maka

∑

( )( ( ))

( )∑

( )( ( ))

( )( ∑

( )( ( ))

)

( )(

( )( ( ))

( )( ( ))

)

( ). ( ) ( ) ( )/

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ( ))

untuk → . Kemudian, karena

maka ,

∑

( )( ( ))

∑

( )( ( ))

Perhatikan juga bahwa ,

( )( )

sehingga

32

∑

( )( ( ))

∑

( )( )

( )( ( ))

( ) ∑

( )( ( ))

( )

Misalkan k= m+2, maka

∑

( )( ( ))

( ) ∑

( )( ( ))

( ) ( ∑

( )( ( ))

)

( ) ( ∑

( )( ( ))

)

( ) (

( )( ( ))

( )( ( ))

( )( ( ))

)

( ) ( ( ) ( ) ( )

( )( ( ))

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

.

( ) /

untuk → . Jadi,

∑

( )( ( ))

( ) ( ( )) .

( ) /

( ) .

( ) /

=

.

/

untuk → Bukti lengkap.

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 18 Maret 1992 dari pasangan bapak

(alm) Kasiman Prapto Hartono dan ibu I Gusti Ayu Akrini. Penulis merupakan

putra pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2010 penulis lulus dari SMA Negeri 18 Jakarta dan pada tahun yang

sama diterima sebagai mahasiswa IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB

(USMI). Penulis memilih mayor Matematika Departemen Matematika, Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Akhir Agustus 2013 penulis diterima

program fast track S-2 Matematika IPB.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus II

(S-1) pada semester genap tahun akademik 2011-2012 dan semester ganjil 2012-

2013, asisten mata kuliah Pengantar Teori Peluang (S-1) pada semester genap

tahun akademik 2012-2013 serta asisten mata kuliah Pengantar Riset Operasi (S-

1) pada semester ganjil 2013-2014. Pada tahun 2012 penulis meraih mendali emas

SPIRIT cabang catur, tahun 2013 penulis mewakili IPB pada kegiatan Olimpiade

Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA

PT) bidang Matematika yang diselenggarakan oleh DIKTI, penulis mendapatkan

beasiswa PPA dari IPB pada semester ganjil tahun akademik 2013-2014.

Penulis aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah memegang

amanah sebagai Ketua RT Lorong 8 C3 Asrama Putra TPB IPB 47, Bendahara 2

kelas B 10 TPB IPB 47, Ketua Ikatan Mahasiswa Jakarta Utara tahun 2010-2011,

staf Komisi 1 Dewan Perwakilan Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam (DPM FMIPA) Kabinet Zwitterium 2011-2012, staf

Departemen Public Relation Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) Kabinet

Semesta 2012-2013, staf Departemen Ekonomi Ikatan Himpunan Mahasiswa

Matematika (IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2011-2012, staf

Departemen Kaderisasi Ikatan Himpunan Mahasiswa Matematika

(IKAHIMATIKA) Indonesia Wilayah III tahun 2012-2013.

Penulis aktif di berbagai kegiatan kepanitian, Ketua Panitia Latihan

Kepemimpinan Mahasiswa Matematika dan Musyawarah Tahunan

IKAHIMATIKA tahun 2013, Ketua Panitia Lokakarya Lembaga Kemahasiswaan

FMIPA IPB tahun 2011, Wakil Ketua Panitia Piala Rektor tahun 2011, staf Divisi

Konsumsi Pesta Sains Nasional tahun 2011, staf Divisi PJLT MPKMB 48 tahun

2011, staf Divisi SG G-FORCE 48 tahun 2012, dan staf Divisi PJK MPD

Matematika tahun 2012 dan 2013.

pendugaan fungsi nilai harapan pada proses poisson

Documents