pendugaan fungsi nilai harapan pada proses … · poisson takhomogen sangatlah luas. oleh karena...

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES

POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN

TREN FUNGSI PANGKAT

INTAN FITRIA SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi

Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat adalah

benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan

dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang

berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari

penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di

bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Mei 2015

Intan Fitria Sari

NIM G54110003

ABSTRAK

INTAN FITRIA SARI. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson

Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN

MANGKU dan HADI SUMARNO.

Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi

nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.

Komponen periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk

parametrik tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan slope

dari tren fungsi pangkat diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak

diketahui. Masalah utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai

harapan, membuktikan kekonsitenan penduga, dan menentukan laju

kekonvergenan menuju nol untuk bias, ragam, dan mean squared error (MSE)

penduga, jika panjang interval pengamatan proses menuju takhingga.

Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan

penduga, proses Poisson majemuk, tren fungsi pangkat.

ABSTRACT

INTAN FITRIA SARI. Estimating the Mean Function of a Coumpond Cyclic

Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN

MANGKU and HADI SUMARNO.

This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean

function of a compound cyclic Poisson process with power function trend. The

cyclic component of intensity function of this process is not assumed to have any

parametric form, but its period is assumed to be known. The slope of the power

function trend is assumed to be positive, but its value is unknown. The main

problems of this manuscript are constructing an estimator of this mean function,

proving consistency of this estimator, and determining the rate of convergence to

zero for the bias, variance, and mean squared error of this estimator, when the

length of the observation time interval indefinitely expands.

Keywords: compound cyclic Poisson process, consistency, cyclic intensity

function, power function trend, the mean function.

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES

POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN

TREN FUNGSI PANGKAT

INTAN FITRIA SARI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2015

Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik

Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat

Nama : Intan Fitria Sari

NIM : G54110003

Disetujui oleh

Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc

Pembimbing I

Dr Ir Hadi Sumarno, MS

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan

karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga

karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak

lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih

yang sebesar-besarnya kepada:

1. Keluarga tercinta Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak Fala, dan keluarga besar

yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih

sayang, dan motivasi.

2. Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen Pembimbing I yang

telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan

bantuannya selama penulisan skripsi ini.

3. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing II yang telah

memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, dan saran.

4. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah

memberikan ilmu dan sarannya.

5. Rahmi Budhy Fatmasari selaku sahabat penulis sejak SMA yang telah

mendengarkan curahan hati selama penulisan skripsi ini, sahabat

seperjuangan di tingkah akhir yang siap membantu, dan memberikan

motivasi, semangat, serta saran.

6. Muhammad Dinar Mardiana senantiasa mendengarkan curahan hati

selama penulisan skripsi ini, menampung keluh kesah, dan memberikan

motivasi, serta doa.

7. Aristin, Kiki, Lidya, Sifa, Andini, Hanna, Alfi, Febiyana, Riefdah, Putri,

Atikah, Resty selaku sahabat yang menemani penulis selama masa kuliah

dan memeberikan motivasi, doa, serta dukungan.

8. Teman-teman Matematika Angkatan 48 yang selalu memberikan keceriaan,

dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah di berikan.

9. Kakak-kakak Matematika angkatan 47, adik-adik Matematika angkatan 49,

kakak-kakak Matematika Terapan S2 angkatan 51, anggota DPM FMIPA

IPB, anggota MPM KM IPB, penghuni Asrama lorong VI TPB IPB tahun

2011/2012, dan semua keluarga besar OMDA KKB MK yang telah

memberikan doa, semangat, dan dukungannya.

Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan

khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian

selanjutnya.

Bogor, Mei 2015

Intan Fitria Sari

DAFTAR ISI

DAFTAR LAMPIRAN vi

PENDAHULUAN 1

Latar Belakang 1

Tujuan Penelitian 1

LANDASAN TEORI 2

Momen, Nilai Harapan, dan Ragam 2

Kekonvergenan 3

Penduga dan Sifat-sifatnya 3

Proses Stokastik 4

Beberapa Definisi dan Lema Teknis 5

PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA 6

Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan 6

Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya 8

Beberapa Lema Teknis dan Buktinya 8

BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU KEKONVERGENANNYA 11

Bukti Kekonvergenan Penduga 11

Bukti Laju Kekonvergenan Penduga 12

SIMPULAN 19

DAFTAR PUSTAKA 19

LAMPIRAN 21

RIWAYAT HIDUP 25

DAFTAR LAMPIRAN

1. Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk 21

2. Penjabaran sebagai nilai harapan dari 22

3. Penduga bagi fungsi intensitas global ( 23

4. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ) 24

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan

peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan sehari-

hari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko

buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon

dapat dimodelkan dengan proses stokastik.

Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan

waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap

berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson

yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses

Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.

Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson

periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi

periodik.

Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses

Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah

satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik

majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson

periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian

diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.

Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk

mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.

Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada proses Poisson periodik

majemuk dengan tren fungsi pangkat. Sebaran dari proses Poisson periodik

majemuk dengan tren fungsi pangkat sulit ditentukan, sehingga salah satu hal

yang penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah penduga nilai

harapan dari proses tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu

karena proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat merupakan

fungsi dari waktu.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

majemuk dengan tren fungsi pangkat.

2. Menganalisis kekonsistenan penduga.

3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared

error (MSE) penduga.

2

LANDASAN TEORI

Momen, Nilai Harapan, dan Ragam

Definisi 1 (Nilai harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang PX, maka

nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

[ ] ∑

jika jumlah di atas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai

harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).

2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fX, maka

nilai harapan dari X didefinisikan sebagai

[ ] ∫

jika integral di atas konvergen mutlak. Jika integral di atas divergen, maka

nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).

Definisi 2 (Ragam)

Jika adalah peubah acak maka ragam dari X didefinisikan sebagai

*( ) +

(Ghahramani 2005).

Definisi 3 (Koragam)

Misalkan X dan Y adalah peubah acak, dan misalkan pula dan

masing-masing menyatakan nilai harapan dari X dan Y. Koragam dari X dan Y

didefinisikan sebagai [ ] (Ghahramani 2005).

Lema 1 (Sifat ragam) 1. Jika X adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk

sebarang konstanta c dan d, berlaku .

2. Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula c dan d

adalah dua buah konstanta sebarang, maka .

3. Jika X dan Y adalah peubah acak saling bebas, maka .

Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2005).

Definisi 4 (Momen ke–k)

Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari

peubah acak X adalah (Hogg et al. 2014).

3

Kekonvergenan

Definisi 5 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)

Barisan disebut mempunyai limit dan kita tuliskan

atau jika apabila untuk setiap terdapat sebuah bilangan M

sedemikian rupa sehingga jika n > M maka | | .

Jika ada, kita katakan barisan tersebut konvergen. Jika

tidak, kita katakan barisan tersebut divergen (Stewart 2001) .

Definisi 6 (Kekonvergenan dalam peluang)

Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang

peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang

ke peubah acak X, dinotasikan

→ , jika untuk setiap berlaku

P | | , untuk (Ghahramani 2005).

Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)

Misalkan

→ dan

→ maka

→ dan

→ untuk . Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2014).

Penduga dan Sifat-sifatnya

Definisi 7 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak

tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui (Hogg

et al. 2014).

Definisi 8 (Penduga)

Misalkan adalah contoh acak. Suatu statistik

yang digunakan untuk menduga fungsi parameter dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi , dilambangkan dengan .

Bilamana nilai maka nilai

disebut sebagai dugaan (estimate) bagi (Hogg et al. 2014).

Definisi 9 (Penduga takbias)

(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter , yaitu

[ ] , disebut penduga takbias bagi . Jika

sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.

(ii) Jika [ ] , maka disebut penduga takbias asimtotik bagi (Hogg et al. 2014).

Definisi 10 (Penduga konsisten)

Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter , disebut

penduga konsisten bagi (Hogg et al. 2014).

Beberapa jenis kekonsistenan penduga, didefinisikan sebagai berikut:

4

(i) Suatu statistik yang konvergen dalam peluang ke

parameter , yaitu → , untuk ,

disebut penduga konsisten lemah bagi .

(ii) Jika → untuk , maka

disebut penduga konsisten kuat bagi ).

(iii) Jika → untuk , maka

disebut penduga konsisten rataan ke-r bagi .

Definisi 11 (MSE suatu penduga)

Mean squared error (MSE) dari penduga W untuk parameter θ adalah

fungsi dari θ yang didefinisikan oleh . Dengan kata lain, MSE adalah

nilai harapan kuadrat dari selisih penduga W dan parameter . Dari sini diperoleh

(Cassela dan

Berger 1990).

Proses Stokastik

Definisi 12 (Proses stokastik)

Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah

acak yang memetakan suatu ruang contoh ke suatu ruang state S (Ross 2010).

Definisi 13 (Proses stokastik waktu kontinu)

Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu

jika T adalah suatu interval (Ross 2010).

Definisi 14 (Inkremen bebas)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut

memiliki inkremen bebas jika untuk semua < <…< , peubah acak

adalah bebas (Ross 2010).

Definisi 15 (Inkremen stasioner)

Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu disebut

memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama

untuk semua nilai t (Ross 2010).

Definisi 16 (Proses pencacahan)

Suatu proses stokastik { } disebut proses pencacahan jika

menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.

Dari definisi tersebut, maka suatu proses pencacahan harus

memenuhi syarat–syarat berikut:

(i) untuk semua [ .

(ii) Nilai adalah integer.

(iii) Jika maka , [ .

(iv) Untuk maka , sama dengan banyaknya kejadian

yang terjadi pada selang ] (Ross 2010).

5

Definisi 17 (Proses Poisson)

Suatu proses pencacahan { } disebut proses Poisson dengan laju

λ, λ > 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:

(i) .

(ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas.

(iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang t,

memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan λt.

Jadi, untuk semua ,

, k =

0,1,… (Ross 2010). Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki

inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: ( ) .

Definisi 18 (Proses Poisson homogen) Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju λ yang

merupakan konstanta untuk setiap waktu t (Ross 2010).

Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen)

Suatu proses Poisson disebut proses Poisson takhomogen jika

laju λ pada sebarang waktu t merupakan fungsi takkonstan dari t yaitu (Ross

2010).

Definisi 20 (Intensitas lokal)

Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen X dengan fungsi

intensitas λ pada titik adalah , yaitu nilai fungsi λ di s (Cressie 1993).

Definisi 21 (Fungsi intensitas global)

Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi

intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:

[ ]

jika limit di atas ada (Cressie 1993).

Definisi 22 (Fungsi periodik)

Suatu fungsi λ disebut periodik jika untuk semua

dan . Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode

dari fungsi λ tersebut (Cressie 1993).

Definisi 23 (Proses Poisson periodik)

Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang

fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001).

Beberapa Definisi dan Lema Teknis

Definisi 24 (Fungsi terintegralkan lokal)

Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang

himpunan Borel terbatas diperoleh ∫

(Dudley 1989).

6

Definisi 25 ( )

Simbol “big-oh” ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua

fungsi dan , dengan x menuju suatu limit L.

Notasi , menyatakan bahwa |

| terbatas, untuk

(Serfling 1980).

Definisi 26 ( )

Suatu fungsi f disebut , untuk , jika

. Hal ini

menyatakan bahwa lebih cepat dari (Ross 2010).

Lema 3 (Lema Borel- Cantelli)

Misalkan adalah barisan kejadian pada ruang contoh . Jika

∑

maka

(⋂ ⋃

+

( )

Jika adalah barisan kejadian yang saling bebas dan

∑

maka

(⋂ ⋃

+

( )

Bukti dapat dilihat pada DasGupta (20111).

Lema 4 (Hukum lemah bilangan besar)

Misalkan adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan μ dan

ragam < ∞, maka

∑

, untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada

Capinski dan Kopp (2007).

PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA

Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan

Misalkan adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan

fungsi intensitas λ terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas

diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat, yaitu

memenuhi

(1)

untuk , konstanta merupakan kemiringan dari tren dengan

(2)

7

Misalkan adalah suatu proses dengan

∑ , (3)

di mana merupakan barisan peubah acak yang independent and

identically distributed dengan nilai harapan dan ragam , yang juga

bebas terhadap . Proses disebut dengan proses Poisson

periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Nilai harapan dari ,

dinotasikan dengan yaitu

[ ] [ ] , (4)

dengan

∫

. (5)

Bukti persamaan (4) dapat dilihat pada Lampiran 1. Untuk setiap

yang diberikan, dapat dituliskan sebagai berikut

. (6)

Misalkan

∫

adalah fungsi intensitas global dari komponen

periodik pada proses . Bukti persamaan (6) dapat dilihat pada

Lampiran 2. Diasumsikan

Berdasarkan persamaan (4) dan (6), fungsi nilai harapan dari dapat

dituliskan menjadi

(

) . (7)

Pendugaan fungsi nilai harapan pada persamaan (7) dapat dibagi

menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan

slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan

yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada

interval waktu [ ]. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut:

[ ] ∑

[ ] , (8)

dengan saat [ ] . Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai

peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan

[ ] Penduga bagi slope dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai

berikut:

[ ]

. (9)

Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012) , untuk .

Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut:

∑

[ ] [ ]

. (10)

Penjelasannya dapat dilihat pada Lampiran 3.

Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ) dirumuskan sebagai

berikut:

∑

[ ] [ ] . (11)

Penjelasannya dapat dilihat pada Lampiran 4.

Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11) , penduga bagi

fungsi nilai harapan dirumuskan sebagai berikut:

(

) (12)

8

dengan saat [ ] .

Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya

Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)

Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan

lokal. Jika memenuhi persamaan (3) , maka

→ (13)

untuk . Dengan kata lain merupakan penduga konsisten lemah

bagi .

Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias)



[ ] [ ] (

) (14)

untuk Dengan kata lain [ ] konvergen ke nol dengan laju

(

) jika .

Teorema 3 (Laju keonvergenan ragam)



[ ] (

) (15)

untuk . Dengan kata lain, [ ] konvergen ke nol dengan laju

(

) jika .

Akibat 1 (Laju Kekonvergenan MSE)



[ ] (

) (16)

untuk . Dengan kata lain, [ ] konvergen ke nol dengan

laju (

) jika .

Beberapa Lema Teknis dan Buktinya

Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga

bagi fungsi nilai harapan.

Lema 5: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan

lokal, maka

( )

(

) (17)

untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Dengan kata lain, merupakan penduga takbias

asimtotik bagi . Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).

9

Lema 6: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan

lokal, maka

( )

(

) (18)

untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).

Berdasarkan Lema 5 dan 6 diperoleh akibat berikut.

Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan

terintegralkan lokal, maka

(

) (19)

untuk .

Bukti : Momen kedua dari dapat ditentukan sebagai berikut :

( )

(

* (

(

*+

(

*

(

*

(

*

untuk . Bukti lengkap.


lokal, maka

( ) (

) (20)



lokal, maka

untuk kasus

, diperoleh

( )

(

) (21)

untuk kasus

, diperoleh

( )

(

) (22)

untuk kasus

, diperoleh

( )

(

)

(23)

untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).




10

(( ) ) (

) (24)

untuk .

Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan sebagai berikut :

(( ) ) ( ) ( ( ))

(

* ( (

*)

(

* (

*

(

*



lokal, maka

( ) (

) (25)


Lema 10: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan


untuk kasus

, diperoleh

( )

(

) (26)

untuk kasus

, diperoleh

( )

(

) (27)

untuk kasus

, diperoleh

( )

(

) (28)





(( )

* (

) (29)

untuk .

Bukti: Momen kedua dari dapat ditentukan sebagai berikut :

(( )

* ( ) ( ( )*

(

* ( (

*)

(

*

(

*

11

(

*


BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU

KEKONVERGENANNYA

Bukti Kekonvergenan Penduga

Untuk membuktikan Teorema 1, diperlukan beberapa Lema berikut

Lema 11: Misalkan fungsi λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,

maka

→ (30)



maka

→ (31)



maka

→ (32)

untuk n → ∞ dan . Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).

Lema 14: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan

terintegralkan lokal. Jika kondisi persamaan (2) dan dipenuhi, maka dengan

peluang 1,

[ ]

untuk .

Bukti :

[ [ ] ] ∫

∫

untuk . Kemudian, berdasarkan Lema 3 (Lema Barel- Cantelli), diperoleh

Lema 14. Bukti lengkap.

Bukti Teorema 1:

Perhatikan kembali persamaan (12). Dengan menerapkan Lema 2

(kekonvergenan), untuk membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa

→ (33)

12

→ (34)

→ (35)

→ (36)

untuk . Dengan Lema 11 diperoleh persamaan (33), dengan Lema 12

diperoleh persamaan (34), dengan Lema 13 diperoleh persamaan (35), dengan

Lema 4 dan Lema 14, diperoleh persamaan (36). Bukti lengkap.

Bukti Laju Kekonvergenan Penduga

Bukti Teorema 2:

[ ] * [ | [ ] ]+

∑ [ | [ ] ] [ ]

[ | [ ] ] [ ]

∑ [ | [ ] ] [ ]

Untuk [ ] maka .

Sedangkan untuk [ ] ,

( [ ]

)

[ ] ∑

[ ]

Sehingga untuk ,

[ | [ ] ]

[(

)

∑

]

( ( ) ( )

) (

∑

).

Berdasarkan Lema 7 dan 9 diperoleh

( ( ) ( )

) (

∑

+

( ( (

*) ( (

*)

)(

∑

+

(

(

*)

(

(

*)

(

(

*)

untuk . Jadi,

[ ] ∑ [ | [ ] ] [ ]

13

∑ (

(

*)

[ ]

∑ ( (

*) [ ]

∑ (

) [ ]

( (

*) ∑ [ ]

(

) ∑ [ ]

( (

*) ( [ ] )

(

) ∑ [ ]

( (

*) (

)

(

) ( [ ] )

( (

*) ( ) (

) ( [ ] )

( (

*) ( ) (

)

( [ ] )

( ) (

* (

) (

[ ] +

( ) (

* (

)

( ) (

* (

) ( (

*)

(

) (

*

(

) (37)

untuk . Jadi,

[ ] [ ]

(

*

(

) untuk .

14

Bukti Teorema 3:

Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan

dapat diperoleh dari rumusan berikut:

[ ] [ ] * ( )+

. (38)

Suku kedua dari ruas kanan persamaan (38) telah diperoleh pada persamaan

(37) sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari

penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat

berikut:

[ ] [ *[ ]

| [ ] +]

∑ [ ] | [ ] [ ]

[ ] | [ ] [ ]

∑ [ ] | [ ] [ ]

Untuk [ ] maka .

Sedangkan untuk [ ] ,

( [ ]

)

[ ] ∑

[ ]

Sehingga untuk ,

[ | [ ] ]

[((

)

∑

)

]

(

)

(

∑

+

Pertama dihitung

[( (

))

]

( ) (

) (

) (

)

( ) ( )

( )

( )

Berdasarkan lema dan akibat, dapat ditulis sebagai berikut

( ) ( (

*) (

(

*) (

)

( (

*)( (

*)

( (

*)

( (

*)

15

( ) (

* (

(

*) (

)

(

*

(

*

(

*

( )

(

)

(

*

untuk . Kedua, dihitung

(

∑

+

[∑

]

*∑

∑ ∑

+

*∑ (

)

∑ ∑

+

[ (

) ]

(

*

Jadi diperoleh untuk

[ | [ ] ]

(

)(( )

(

)

* (

)

(

(

*)

untuk . Oleh karena itu,

[ ] [ *[ ]

| [ ] +]

(

)(( )

(

)

* (

)

(

(

*)

∑ [ ]

(

)(( )

(

)

*

16

∑ [ ] (

)

(

(

*)

(

*

∑ [ ]

(

*

∑ [ ]

(

)

∑ [ ]

(

)

∑ [ ]

(( )

(

*) ∑ [ ]

(( )

(

*) ∑ [ ]

untuk . Pada bukti Teorema 2, telah diperoleh

∑ [ ] ( [ ] ) (39)

∑ [ ] (40)

untuk . Dengan cara serupa, dapat diperoleh

∑ [ ] *( [ ] ) +

(41)

∑

[ ]

(

) (42)

untuk . Bukti persamaan (42) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan

persamaan (39) dan (42) , dapat dituliskan

[ ] [ *[ ]

| [ ] +]

(

)

*( [ ] ) + (

)

[ [ ] ]

(

) [ [ ] ]

(

) ( ( ))

(( )

(

*) ( ( ))

(( )

(

*)

17

(

(

*,

(

)

[( [ ]

)

]

*

[ ]

+

(

) * [ ]

+

(

) ( ( ))

(( )

(

*) ( ( ))

(( )

(

*)

(

(

*,

(

)

[ ]

[ ]

(

) [ ]

(

) ( ( ))

(( )

(

*) ( ( ))

(( )

(

*)

(

(

*,

(

)

(

(

*+

( (

*)

(

) ( (

*)

(

) ( ( ))

(( )

(

*) ( ( ))

(( )

(

*)

18

(

(

*,

(

)

(

)

(( )

* (

* (

*

[( ) ( )

(

)

] (

*

*(

) +

(

*

( ) (

*

untuk . Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah

[ ] *[ ] + * ( )+

( ) (

* ( (

*)

( ) (

* ( )

(

*

(

*

untuk .

Bukti akibat 1:

Berdasarkan Teorema 2 dan 3,

[ ] [ ] ( [ ] )

(

* ( (

*)

(

* (

*

(

*

untuk Bukti lengkap.

19

SIMPULAN

Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah

(

*

dengan

[ ]

∑

[ ] [ ]

∑

[ ] [ ]

[ ] ∑

[ ]

dengan saat [ ] .

Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga

yang konsisten lemah. Bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga

bagi fungsi nilai harapan konvergen ke nol dengan laju (

).

DAFTAR PUSTAKA

Capinski M, Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. 2nd

Ed. New York

(US): Sringer.

Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove, California:

Wadsworth & Brooks/ Cole.

Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. New York:

Wiley.

DasGupta A. 2011. Probability for Statisticsand Machine Learning:

Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.

Dudley R.M. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth &

Brooks.

Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. New York: Prentice

Hall.

Hogg RV, McKean JW , Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.

Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.

Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process

(Ph.D.Thesis). Amsterdam: University of Amsterdam.

Putra D. 2012. Kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan

waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat [tesis].

Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

20

Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida:

Academic Press Inc.

Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New

York: John Wiley & Sons.

Stewart J. 2001. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Susila, I Nyoman dan Gunawan,

Hendra, alih bahasa: Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus.

Wibowo B. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik

majemuk dengan tren linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.

21

Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk

Bukti persamaan (4) : [ ] [ ]

Berdasarkan persamaan (19),

[ ]

*∑ +

Dengan menggunakan sifat nilai harapan,

*∑ + * (∑ |

)+.

Selanjutnya terlebih dahulu

(∑ |

)

(∑

+

∑

karena barisan peubah acak bebas terhadap proses .

Kemudian, karena adalah barisan peubah acak i.i.d, maka

∑ ∑

, sehingga

(∑ | ) .

Akhirnya diperoleh [ ] [ ][ ] .

Bukti lengkap.

22

Lampiran 2 Penjabaran sebagai nilai harapan dari

Bukti persamaan (6) :

∫

∫

∫ ( )

∫

Berdasarkan Ruhiyat (2013):

∫ ( )

,

sehingga diperoleh

. Bukti lengkap.

23

Lampiran 3 Penduga bagi fungsi intensitas global ( Bukti persamaan (10)

∫

Misal ∑

.

Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif.

Untuk setiap kτ ϵ [0,n], sehingga dapat ditulis sebagai berikut

∑

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∑

∫

Perhatikan bahwa

∑

[ ] [ ]

∑

∫

∑

( [ ] [ ] )

∑

(

∑

( [ ] [ ] )

∑

∑

( [ ] [ ] )

(

)

∑

( [ ] [ ] )

Karena

untuk , maka

∑

( [ ] [ ] )

Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu

∑

[ ] [ ]

24

Lampiran 4 Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( )

Bukti persamaan (11) Penduga

∫

.

Misal ∑

.

Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif. Untuk setiap kτ ϵ [0,n],

sehingga dapat ditulis sebagai berikut

∑

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∑

∫

∑

∫

Perhatikan bahwa

∑

[ ] [ ]

∑

∫

∑

[ ] [ ]

∑

∑

[ ] [ ]

∑

∑

[ ] [ ]

∑

[ ] [ ]

Karena

untuk , maka

∑

[ ] [ ]

Sehingga didapat penduga untuk yaitu

∑

[ ] [ ]

25

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua

dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti’ah. Tahun 2011 penulis

lulus dari SMA 1 Kudus dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk

Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan Seleksi Nasional Masuk

Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) IPB dan diterima di Departemen

Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah

Metode Statistika pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 , asisten mata

kuliah Proses Stokastik pada semester genap tahun ajaran 2014/2015, dan menjadi

pengajar SMA mata pelajaran Matematika pada tahun 2013-2014. Penulis

mendapatkan beasiswa PPA pada tahun 2012-2013 dan beasiswa Karya Salemba

Empat (KSE) pada tahun 2013-2014. Penulis juga aktif pada kegiatan

kemahasiswaan, antara lain staf Departemen Friendship Badan Eksekutif

Mahasiswa (BEM) TPB pada tahun 2011/2012, staf Komisi I Dewan Perwakilan

Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB pada tahun 2012/2013, sekretaris Badan Pekerja

(BP) 3 MPM KM IPB 2012/2013, staf Divisi Internal Organisasi Mahasiswa

Daerah (OMDA) KKB 2012/2013, dan sekretaris Komisi IV Dewan Perwakilan

Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB 2013/2014.

Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan,

antara lain koordinator konsumsi kegiatan Verifikasi UKM MPM KM IPB pada

tahun 2013, sekretaris kegiatan Hubungan Kelembagaan MPM KM IPB pada

tahun 2013, bendahara kegiatan MUSTA IKAHIMATIKA pada tahun 2013,

koordinator Verifikasi dan Kampanye Pemilihan Raya Eksekutif FMIPA IPB

pada tahun 2013, staf Divisi Acara kegiatan G-FORCE FMIPA IPB tahun 2013,

staf Divisi Humas MPD Matematika IPB tahun 2013, dan sekretaris Pemilihan

Raya Legislatif FMIPA IPB pada tahun 2014.

pendugaan fungsi nilai harapan pada proses … · poisson takhomogen sangatlah luas. oleh karena...

Documents