distribusi frekuensi dan probabilitas

Distribusi Frekuensi dan Probabilitas

1. Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi adalah pengelompokan data ke dalam beberapa kelompok

(kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam tiap kelas.

Distribusi frekuensi merupakan salah satu bentuk klasifikasi data, yaitu klasifikasi

data secara kuantitatif.

Di dalam statistik deskriptif kita selalu mengusahakan agar data dapat disajikan

dalam bentuk yang lebih berguna, lebih mudah dipahami dan lebih cepat dimengerti.

Jika data yang ada hanya sedikit, kita tidak mengalami kesulitan untuk membaca dan

mengerti angka-angka itu, tetapi apabila data yang tersedia banyak sekali jumlahnya,

maka untuk mengerti data tersebut kitaakan mengalami kesulitan. Untuk

memudahkannya data harus disusun secara sistematis atau teratur kedalam distribusi

frekuensi.

1.1.Tabel Distribusi Frekuensi

Contoh: Penjualan agen tiket PT Garuda per hari dalam jutaan rupiah

21.36 5.45 19.84 29.34 10.85 34.82 19.71 20.84

10.37 22.50 32.50 18.40 22.49 17.50 12.25 11.50

33.55 19.87 20.63 6.12 12.72 24.15 36.90 23.81

18.25 26.70 24.25 31.12 7.83 11.95 17.35 33.82

26.43 12.73 8.89 19.50 17.84 26.42 22.50 5.57

24.97 37.81 27.16 23.35 25.15 34.75 13.84 23.05

14.67 24.81 15.95 27.48 21.50 16.44 24.61 10.00

27.49 17.75 31.84 18.75 26.80 21.75 28.40 22.46

24.76 15.10 23.11 30.26 16.30 18.64 9.36 17.89

17.45 28.50 13.52 21.50 14.59 14.59 29.30 29.65

Dari data di atas langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah

sebagai berikut :

1. Menentukan Jumlah Kelas (n=80)

K=1+3.3 log n

K=1+3.3 log 80

K=7.28≈7

Statistika Terapan 1


2. Mencari Range (R)

Nilai Terkecil : 5,45

Nilai Terbesar : 37,82

Range=Nilai terbesar – Nilai terkecil

¿37,82 –5,45

¿32,37≈32

3. Menentukan Panjang Kelas

Panjang Kelas= RangeJumlah Kelas

¿ 327

¿4,57 ≈5

4. Menentukan Kelas

Kelas Penjualan (Dalam Jutaan Rp)

Kelas I 5 – 9,99

Kelas II 10 – 14,99

Kelas III 15 – 19,99

Kelas IV 20 – 24,99

Kelas V 25 – 29,99

Kelas VI 30 – 34,99

Kelas VII 35 – 39,99

1.2.Macam-Macam Distribusi Frekuensi

Distribusi frekuensi ada beberapa macam yang ditinjau dari beberapa faktor,

diantaranya:

A. Ditinjau dari jenisnya

a. Distribusi frekuensi numerik

b. Distribusi kategorikal

B. Ditinjau dari nyata tidaknya frekuensi

a. Distribusi frekuensi absolut



b. Distribusi frekuensi relatif

C. Ditinjau dari kesatuannya

a. Distribusi frekuensi satuan

b. Distribusi frekuensi kumulatif

1.2.1. Distribusi Frekuensi Numerik dan Kategorikal

Distribusi frekuensi numerik adalah Distribusi frekuensi yang

didasarkan pada data-data kontinum yaitu data yang berdiri sendiri dan

merupakan suatu deret hitung, sedangkan yang dimaksud dengan Distribusi

frekuensi kategorikal adalah Distribusi frekuensi yang didasarkan pada data-

data yang terkelompok. Jika data masih berbentuk kontinum, maka harus

diubah lebih dahulu menjadi data kategorikal dan selanjutnya beru dicari

frekuens masing-masing kelompok.

Contoh:

Penelitian terhadap nilai pembaca S1 Jurusan Teknik Informatika untuk mata

kuliah statistik pada suatu perguruan tinggi. Dari hasil pengambilan sampel

secara random(acak) terambil sampel sebanyak 30 nilai statistik.

Dari sampel tersebut diperoleh data dengan penyebarannya sebagai berikut:

75 80 30 70 20 35 65 65 70 57

55 25 58 70 40 35 36 45 40 25

15 55 35 65 40 15 30 30 45 40

Pada contoh diatas merupakan contoh Distribusi frekuensi numerik.

Mengingat Distribusi frekuensi numerik didasarkan padadata apa adanya

maka ada kemungkinan daftar Distribusi akan panjang (terutama untuk data

yang mempunyai rentangan panjang). Jika hal ini terjadi maka usaha yang

semula bertujuan mempermudah dalam membaca data melalui penyusunan

distribusi frekuensi tidak akan tercapai. Hal ini disebabkan karena daftar

distribusi masih panjang yang berkemungkinan besar masih mengacaukan

pembaca. Untuk mengatasi masalah tersebut dibuatlah distribusi frekuensi

kategorikal yaitu data yang sudah dikelompokkan seperti tabel dibawah ini:

Nilai F

15-25 5

26-36 7



37-47 6

48-58 4

59-69 3

70-80 5

Jumlah 30

Perubahan data numerik ke data kategorikal harus menggunakan aturan-

aturan tertentu, itu berarti bahwa pengelompokkan tersebut harus memuat

aturan-aturan tertentu, sehingga tidak akan terjadi suatu rentangan atau

kelompok yang tidak berfrekuensi.

Tiga hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kelas bagi distribusi

frekuensi kategorikal:

1. Jumlah kelas

2. Lembar kelas

3. Batas kelas

Batas Kelas

Diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.

Kemudian ditentukan nilai maksimal dan nilai minimum

Jumlah kelas

Lebar Kelas

C= Xn−XiK

=80−156

=656

=10.83≈11



C = lebar kelas

K = banyaknya kelas

Xn= nilai observasi terbesar

Xi = nilai observasi terkecil

1.2.2. Distribusi Frekuensi Absolut dan Relatif

Distribusi frekuensi absolut adalah suatu jumlah bilangan yang

menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Distribusi ini

disusun berdasarkan data apa adanya, sehingga tidak menyulitkan peneliti

dalam membuat distribusi ini.

Sedangkan distribusi frekuensi relatif adalah suatu jumlah persentase

yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Dalam hal

ini pembuat distribusi terlebih dahulu harus dapat menghitung persentase

pada masing-masing kelompok. Distribusi akan memberikan informasi yang

lebih jelas tentang posisi masing-masing bagian dalam keseluruhan, karena

kita dapat melihat perbandingan antara kelompok yang satu dengan kelompok

yang lainnya.walaupun demikian kita masih belum memperoleh gambaran

yang jelastentang penyebab adanya perbedaan tersebut. Berikut adalah rumus

mencari distribusi frekuensi relatif:

Suatu jumlah persentase yang menyatakan banyaknya data pada suatu

kelompok tertentu

Contoh :

1.2.3. Distribusi Frekuensi Satuan dan Kumulatif

Distribusi frekuensi satuan adalah frekuensi yang menunjukan berapa

banyak data pada kelompok tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif adalah

distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada sekelompok

nilai tertentu mulai dai kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut.



Contoh distribusi frekuensi kumulatif

2. Probabilitas

Probabilitas sebagai: “Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa

(event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1

atau dalam persentase”

Tiga hal penting dalam membicarakan probabilitas:

a. Percobaan (experiment)

Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan

timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperthatikan peristiwa

mana yang akan terjadi.

b. Hasil (outcome)

Suatu hasil dari sebuah percobaan. Dalam hasil ini semua kejadian akan

dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah

percobaan. Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil yang

akan diperoleh ada mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus. Ada

yang lulus memuaskan ada yang tidak memuaskan.

c. Peristiwa (event)

Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan

atau kegiatan.

Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase:

Pada hari Jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor berusaha

meraih keuntungan melalui penjualan saham atau yang biasanya diistilahkan profit

taking, sehingga probabilitas menjual mencapai 0,7 sedangkan membeli 0,3.



2.1. Pendekatan Probabilitas

Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga

pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif.

1. Pendekatan klasik

Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama

untuk terjadi (equally likely) Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan

sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil

(rasio peristiwa terhadap hasil).

Probabilitas = Jumlah Kemungkinan Hasil Peristiwa

Jumlah Total Kemungkinan Hasil

2. Pendekatan Relatif

Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa

banyak suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut:

Probabilitas kejadian relatif = Jumlah Peristiwa yang Terjadi

Jumlah Total Percobaan

3. Pendekatan Subjektif

Yang dimaksud dengan pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya

probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan

dalam derajat kepercayaan.

2.2. Prinsip Perhitungan Probabilitas

Ada beberapa prinsip menghitung dalam probabilitas antara lain adalah:

a. Faktorial

Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin

dalam mengatur sesuatu kelompok. Contoh konvensional, apabila kita

mempunyai tiga bank yaitu BCA, BII dan BNI ada berapa cara menyusun

uratan ketiga bank tersebut.



b. Permutasi

Digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan

(arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. Pada permutasi ini kita

berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek, permutasi dirumuskan

sebagai berikut:

nPr= n!(n−r ) !

dimana :

P : Jumlah permutasi atau cara objek disusun

n : Jumlah total objek yang disusun

r : Jumlah objek yang digunkan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama

dengan n atau lebih kecil

! : tanda dari faktorial

c. Kombinasi

Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu

diambil dari keseluruhan objek tanpa memerhatikan urutannya. Misalnya ada

10 bank dan kita hanya akan mengambil 3 bank, maka ada beberapa kombinasi

bank yang dapat diambil tanpa memerhatikan urutan atau susunannya.

Dirumuskan sebagai berikut:

nCr= n!r ! (n−r )!

C : Jumlah Kombinasi atau cara objek disusun

n : Jumlah total objek yang disusun

r : Jumlah objek yang digunkan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama

dengan n atau lebih kecil

! : tanda dari faktorial

2.3. Beberapa Aturan Dasar Probabilitas

1. Aturan Penjumlahan

Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis kejadiannya

apakah bersifat saling meniadakan atau tidak saling meniadakan.



a. Kejadian Saling Meniadakan

Dua peristiwa atau lebih disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih

peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan

B saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(Aatau B)=P (A )+P (B )

P(A B)=P(A)+P(B)

Contoh :

Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peritiwanya adalah A = peristiwa mata dadu

4 muncul dan B = peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul.

Tentukan probabilitas dari kejadian berikut !

– Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!

Penyelesaian :

P(A)=16

P(B)=26

P(AatauB)=P (A )+P (B)

¿ 16+ 2

6

¿0,5

b. Kejadian Tidak Saling Meniadakan

Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling meniadakan

apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang

bersamaan. Jika dua peristiwa A dan B tidak saling meniadakan, probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(AatauB)=P (A )+P (B) – P(A danB)

P(A B)=P(A)+P(B)– P(AB)

Jika 3 peristiwa A, B, dan C tidak saling meniadakan, probabilitas

terjadinya peristiwa tersebut adalah

P(A BC)=P(A)+P(B)+P(C) – P(A B)– P(AC) – P(BC)+P(A BC)

Contoh :



Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila : A = peristiwa mata (4, 4)

muncul. B = peristiwa mata lebih kecil dari (3, 3) muncul.

Tentukan probabilitas P(A atau B) !

Penyelesaian :

P (A )= 136

P (B )=1436

P (A B )=0

P (A atau B )=P ( A )+P (B )– P (A B )

¿ 136

+ 1436–0

¿0,42

2. Aturan Perkalian

Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda

menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian

tak bebas dan kejadian bebas.

a. Kejadian Tak Bebas

Dua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas apabila peristiwa

yang satu dipengaruhi atau tergantung pada peritiwa lainnya. Probabilitas

peristiwa tidak saling bebas dapat pula dibedakan atas tiga macam, yaitu yaitu

probabilitas bersyarat, gabungan, dan marjinal.

Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas

terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi

dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Jika peristiwa B

bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya periwtiwa tersebut adalah

P(B/A) dibaca probabilitas terjadinya B dengan syarat peristiwa A

terjadi.

Contoh :

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian : 5 buah bola putih

bertanda (+), 1 buah bola putih bertanda (–), 3 buah bola kuning

bertanda (+), 2 buah bola kuning bertanda (–). Seseorang mengambil

sebuah bola kuning dari kotak. Berapa probabilitas bola bertanda +?



Penyelesaian :

Misalkan : A = bola kuning

B+ = bola bertanda positif

B– = bola bertanda negatif.

P (A )= 511

P ¿

Probabilitas Gabungan

Probabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas

terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan

peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi.

Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa

tersebut adalah:

P (A danB )=P (A B )=P ( A ) x P( BA )Jika tiga buah peristiwa A, B, dan C gabungan, probabilitas terjadinya

peristiwa tersebut adalah

P (A BC )=P (A ) x P( BA ) x P (CA B)Contoh :

Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu itu sebanyak 2

kali secara acak. Hitunglah probabilitasnya kartu king (A) pada

pengambilan pertama dan as(B) pada pengambilan kedua, jika kartu

pada pengambilan pertama tidak dikembalikan !

Penyelesaian :

( A ) = pengambilan pertama keluar kartu king.

P (A )= 452

(BA )= pengambilan kedua keluar kartu as

P( BA )= 451



P (A B )=P (A ) x P( BA ) ¿ 4

52×

451

¿0,006

Probabilitas Marjinal

Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas

terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan

terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.

Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa

A tersebut adalah

A ¿ P ¿

Contoh :

Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian 5 buah bola putih

bertanda (+), 1 buah bola putih bertanda (–), 3 buah bola kuning

bertanda (+), 2 buah bola kuning bertanda (–). Tentukan probabilitas

memperoleh sebuah bola putih !

Penyelesaian :

Misalkan : A = bola putih

B+ = bola bertanda positif

B- = bola bertanda negatif

P ¿

P ¿

P (A )=P ¿

¿ 511

+ 111

¿ 611

b. Kejadian Bebas

Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila

terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B

dikatakan bebas, kalau kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Jika

A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B)



P (A B )=P (A )P (B )=P (B )P ( A )



Contoh :

Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1

adalah lemparan pertama yang mendapat gambar burung (B), dan A2 adalah

lemparan kedua yang mendapatkan gambar burung (B), berapakah P(A1 Ç A2)!

Penyelesaian :

Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan

kedua dan P(A1) = P(B) = 0,5 dan P(A2) = P(B) = 0,5, maka P(A1 Ç A2) =

P(A1) P(A2) = P(B) P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25.


distribusi frekuensi dan probabilitas

Documents