Download - Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
1. Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi adalah pengelompokan data ke dalam beberapa kelompok
(kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk kedalam tiap kelas.
Distribusi frekuensi merupakan salah satu bentuk klasifikasi data, yaitu klasifikasi
data secara kuantitatif.
Di dalam statistik deskriptif kita selalu mengusahakan agar data dapat disajikan
dalam bentuk yang lebih berguna, lebih mudah dipahami dan lebih cepat dimengerti.
Jika data yang ada hanya sedikit, kita tidak mengalami kesulitan untuk membaca dan
mengerti angka-angka itu, tetapi apabila data yang tersedia banyak sekali jumlahnya,
maka untuk mengerti data tersebut kitaakan mengalami kesulitan. Untuk
memudahkannya data harus disusun secara sistematis atau teratur kedalam distribusi
frekuensi.
1.1.Tabel Distribusi Frekuensi
Contoh: Penjualan agen tiket PT Garuda per hari dalam jutaan rupiah
21.36 5.45 19.84 29.34 10.85 34.82 19.71 20.84
10.37 22.50 32.50 18.40 22.49 17.50 12.25 11.50
33.55 19.87 20.63 6.12 12.72 24.15 36.90 23.81
18.25 26.70 24.25 31.12 7.83 11.95 17.35 33.82
26.43 12.73 8.89 19.50 17.84 26.42 22.50 5.57
24.97 37.81 27.16 23.35 25.15 34.75 13.84 23.05
14.67 24.81 15.95 27.48 21.50 16.44 24.61 10.00
27.49 17.75 31.84 18.75 26.80 21.75 28.40 22.46
24.76 15.10 23.11 30.26 16.30 18.64 9.36 17.89
17.45 28.50 13.52 21.50 14.59 14.59 29.30 29.65
Dari data di atas langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah
sebagai berikut :
1. Menentukan Jumlah Kelas (n=80)
K=1+3.3 log n
K=1+3.3 log 80
K=7.28≈7
Statistika Terapan 1
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
2. Mencari Range (R)
Nilai Terkecil : 5,45
Nilai Terbesar : 37,82
Range=Nilai terbesar – Nilai terkecil
¿37,82 –5,45
¿32,37≈32
3. Menentukan Panjang Kelas
Panjang Kelas= RangeJumlah Kelas
¿ 327
¿4,57 ≈5
4. Menentukan Kelas
Kelas Penjualan (Dalam Jutaan Rp)
Kelas I 5 – 9,99
Kelas II 10 – 14,99
Kelas III 15 – 19,99
Kelas IV 20 – 24,99
Kelas V 25 – 29,99
Kelas VI 30 – 34,99
Kelas VII 35 – 39,99
1.2.Macam-Macam Distribusi Frekuensi
Distribusi frekuensi ada beberapa macam yang ditinjau dari beberapa faktor,
diantaranya:
A. Ditinjau dari jenisnya
a. Distribusi frekuensi numerik
b. Distribusi kategorikal
B. Ditinjau dari nyata tidaknya frekuensi
a. Distribusi frekuensi absolut
Statistika Terapan 2
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
b. Distribusi frekuensi relatif
C. Ditinjau dari kesatuannya
a. Distribusi frekuensi satuan
b. Distribusi frekuensi kumulatif
1.2.1. Distribusi Frekuensi Numerik dan Kategorikal
Distribusi frekuensi numerik adalah Distribusi frekuensi yang
didasarkan pada data-data kontinum yaitu data yang berdiri sendiri dan
merupakan suatu deret hitung, sedangkan yang dimaksud dengan Distribusi
frekuensi kategorikal adalah Distribusi frekuensi yang didasarkan pada data-
data yang terkelompok. Jika data masih berbentuk kontinum, maka harus
diubah lebih dahulu menjadi data kategorikal dan selanjutnya beru dicari
frekuens masing-masing kelompok.
Contoh:
Penelitian terhadap nilai pembaca S1 Jurusan Teknik Informatika untuk mata
kuliah statistik pada suatu perguruan tinggi. Dari hasil pengambilan sampel
secara random(acak) terambil sampel sebanyak 30 nilai statistik.
Dari sampel tersebut diperoleh data dengan penyebarannya sebagai berikut:
75 80 30 70 20 35 65 65 70 57
55 25 58 70 40 35 36 45 40 25
15 55 35 65 40 15 30 30 45 40
Pada contoh diatas merupakan contoh Distribusi frekuensi numerik.
Mengingat Distribusi frekuensi numerik didasarkan padadata apa adanya
maka ada kemungkinan daftar Distribusi akan panjang (terutama untuk data
yang mempunyai rentangan panjang). Jika hal ini terjadi maka usaha yang
semula bertujuan mempermudah dalam membaca data melalui penyusunan
distribusi frekuensi tidak akan tercapai. Hal ini disebabkan karena daftar
distribusi masih panjang yang berkemungkinan besar masih mengacaukan
pembaca. Untuk mengatasi masalah tersebut dibuatlah distribusi frekuensi
kategorikal yaitu data yang sudah dikelompokkan seperti tabel dibawah ini:
Nilai F
15-25 5
26-36 7
Statistika Terapan 3
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
37-47 6
48-58 4
59-69 3
70-80 5
Jumlah 30
Perubahan data numerik ke data kategorikal harus menggunakan aturan-
aturan tertentu, itu berarti bahwa pengelompokkan tersebut harus memuat
aturan-aturan tertentu, sehingga tidak akan terjadi suatu rentangan atau
kelompok yang tidak berfrekuensi.
Tiga hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kelas bagi distribusi
frekuensi kategorikal:
1. Jumlah kelas
2. Lembar kelas
3. Batas kelas
Batas Kelas
Diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Kemudian ditentukan nilai maksimal dan nilai minimum
Jumlah kelas
Lebar Kelas
C= Xn−XiK
=80−156
=656
=10.83≈11
Statistika Terapan 4
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
C = lebar kelas
K = banyaknya kelas
Xn= nilai observasi terbesar
Xi = nilai observasi terkecil
1.2.2. Distribusi Frekuensi Absolut dan Relatif
Distribusi frekuensi absolut adalah suatu jumlah bilangan yang
menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Distribusi ini
disusun berdasarkan data apa adanya, sehingga tidak menyulitkan peneliti
dalam membuat distribusi ini.
Sedangkan distribusi frekuensi relatif adalah suatu jumlah persentase
yang menyatakan banyaknya data pada suatu kelompok tertentu. Dalam hal
ini pembuat distribusi terlebih dahulu harus dapat menghitung persentase
pada masing-masing kelompok. Distribusi akan memberikan informasi yang
lebih jelas tentang posisi masing-masing bagian dalam keseluruhan, karena
kita dapat melihat perbandingan antara kelompok yang satu dengan kelompok
yang lainnya.walaupun demikian kita masih belum memperoleh gambaran
yang jelastentang penyebab adanya perbedaan tersebut. Berikut adalah rumus
mencari distribusi frekuensi relatif:
Suatu jumlah persentase yang menyatakan banyaknya data pada suatu
kelompok tertentu
Contoh :
1.2.3. Distribusi Frekuensi Satuan dan Kumulatif
Distribusi frekuensi satuan adalah frekuensi yang menunjukan berapa
banyak data pada kelompok tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif adalah
distribusi frekuensi yang menunjukkan jumlah frekuensi pada sekelompok
nilai tertentu mulai dai kelompok sebelumnya sampai kelompok tersebut.
Statistika Terapan 5
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
Contoh distribusi frekuensi kumulatif
2. Probabilitas
Probabilitas sebagai: “Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa
(event) akan terjadi dimasa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1
atau dalam persentase”
Tiga hal penting dalam membicarakan probabilitas:
a. Percobaan (experiment)
Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan
timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperthatikan peristiwa
mana yang akan terjadi.
b. Hasil (outcome)
Suatu hasil dari sebuah percobaan. Dalam hasil ini semua kejadian akan
dicatat atau dalam artian seluruh peristiwa yang akan terjadi dalam sebuah
percobaan. Misalnya dalam mengikuti ujian semester maka hasil yang
akan diperoleh ada mahasiswa yang lulus dan ada yang tidak lulus. Ada
yang lulus memuaskan ada yang tidak memuaskan.
c. Peristiwa (event)
Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan
atau kegiatan.
Contoh penulisan probabilitas dalam desimal atau persentase:
Pada hari Jumat adalah penutupan bursa saham, maka kebanyakan investor berusaha
meraih keuntungan melalui penjualan saham atau yang biasanya diistilahkan profit
taking, sehingga probabilitas menjual mencapai 0,7 sedangkan membeli 0,3.
Statistika Terapan 6
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
2.1. Pendekatan Probabilitas
Untuk menentukan tingkat probabilitas suatu kejadian, maka ada tiga
pendekatan yaitu pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif.
1. Pendekatan klasik
Diasumsikan bahwa semua peristiwa mempunyai kesempatan yang sama
untuk terjadi (equally likely) Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan
sebagai rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil
(rasio peristiwa terhadap hasil).
Probabilitas = Jumlah Kemungkinan Hasil Peristiwa
Jumlah Total Kemungkinan Hasil
2. Pendekatan Relatif
Probabilitas suatu kejadian tidak dianggap sama, tergantung dari berapa
banyak suatu kejadian terjadi, yang dinyatakan sebagai berikut:
Probabilitas kejadian relatif = Jumlah Peristiwa yang Terjadi
Jumlah Total Percobaan
3. Pendekatan Subjektif
Yang dimaksud dengan pendekatan subjektif adalah menentukan besarnya
probabilitas suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan
dalam derajat kepercayaan.
2.2. Prinsip Perhitungan Probabilitas
Ada beberapa prinsip menghitung dalam probabilitas antara lain adalah:
a. Faktorial
Faktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin
dalam mengatur sesuatu kelompok. Contoh konvensional, apabila kita
mempunyai tiga bank yaitu BCA, BII dan BNI ada berapa cara menyusun
uratan ketiga bank tersebut.
Statistika Terapan 7
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
b. Permutasi
Digunakan untuk mengetahui sejumlah kemungkinan susunan
(arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. Pada permutasi ini kita
berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek, permutasi dirumuskan
sebagai berikut:
nPr= n!(n−r ) !
dimana :
P : Jumlah permutasi atau cara objek disusun
n : Jumlah total objek yang disusun
r : Jumlah objek yang digunkan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama
dengan n atau lebih kecil
! : tanda dari faktorial
c. Kombinasi
Kombinasi digunakan apabila kita tertarik pada berapa cara sesuatu
diambil dari keseluruhan objek tanpa memerhatikan urutannya. Misalnya ada
10 bank dan kita hanya akan mengambil 3 bank, maka ada beberapa kombinasi
bank yang dapat diambil tanpa memerhatikan urutan atau susunannya.
Dirumuskan sebagai berikut:
nCr= n!r ! (n−r )!
C : Jumlah Kombinasi atau cara objek disusun
n : Jumlah total objek yang disusun
r : Jumlah objek yang digunkan pada saat bersamaan, jumlah r dapat sama
dengan n atau lebih kecil
! : tanda dari faktorial
2.3. Beberapa Aturan Dasar Probabilitas
1. Aturan Penjumlahan
Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis kejadiannya
apakah bersifat saling meniadakan atau tidak saling meniadakan.
Statistika Terapan 8
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
a. Kejadian Saling Meniadakan
Dua peristiwa atau lebih disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih
peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. Jika peristiwa A dan
B saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(Aatau B)=P (A )+P (B )
P(A B)=P(A)+P(B)
Contoh :
Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peritiwanya adalah A = peristiwa mata dadu
4 muncul dan B = peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul.
Tentukan probabilitas dari kejadian berikut !
– Mata dadu 4 atau lebih kecil dari 3 muncul!
Penyelesaian :
P(A)=16
P(B)=26
P(AatauB)=P (A )+P (B)
¿ 16+ 2
6
¿0,5
b. Kejadian Tidak Saling Meniadakan
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling meniadakan
apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang
bersamaan. Jika dua peristiwa A dan B tidak saling meniadakan, probabilitas
terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(AatauB)=P (A )+P (B) – P(A danB)
P(A B)=P(A)+P(B)– P(AB)
Jika 3 peristiwa A, B, dan C tidak saling meniadakan, probabilitas
terjadinya peristiwa tersebut adalah
P(A BC)=P(A)+P(B)+P(C) – P(A B)– P(AC) – P(BC)+P(A BC)
Contoh :
Statistika Terapan 9
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila : A = peristiwa mata (4, 4)
muncul. B = peristiwa mata lebih kecil dari (3, 3) muncul.
Tentukan probabilitas P(A atau B) !
Penyelesaian :
P (A )= 136
P (B )=1436
P (A B )=0
P (A atau B )=P ( A )+P (B )– P (A B )
¿ 136
+ 1436–0
¿0,42
2. Aturan Perkalian
Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda
menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian
tak bebas dan kejadian bebas.
a. Kejadian Tak Bebas
Dua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas apabila peristiwa
yang satu dipengaruhi atau tergantung pada peritiwa lainnya. Probabilitas
peristiwa tidak saling bebas dapat pula dibedakan atas tiga macam, yaitu yaitu
probabilitas bersyarat, gabungan, dan marjinal.
Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas
terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus terjadi
dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Jika peristiwa B
bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya periwtiwa tersebut adalah
P(B/A) dibaca probabilitas terjadinya B dengan syarat peristiwa A
terjadi.
Contoh :
Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian : 5 buah bola putih
bertanda (+), 1 buah bola putih bertanda (–), 3 buah bola kuning
bertanda (+), 2 buah bola kuning bertanda (–). Seseorang mengambil
sebuah bola kuning dari kotak. Berapa probabilitas bola bertanda +?
Statistika Terapan 10
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
Penyelesaian :
Misalkan : A = bola kuning
B+ = bola bertanda positif
B– = bola bertanda negatif.
P (A )= 511
P ¿
Probabilitas Gabungan
Probabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas
terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutan (bersamaan) dan
peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi.
Jika dua peristiwa A dan B gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa
tersebut adalah:
P (A danB )=P (A B )=P ( A ) x P( BA )Jika tiga buah peristiwa A, B, dan C gabungan, probabilitas terjadinya
peristiwa tersebut adalah
P (A BC )=P (A ) x P( BA ) x P (CA B)Contoh :
Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu itu sebanyak 2
kali secara acak. Hitunglah probabilitasnya kartu king (A) pada
pengambilan pertama dan as(B) pada pengambilan kedua, jika kartu
pada pengambilan pertama tidak dikembalikan !
Penyelesaian :
( A ) = pengambilan pertama keluar kartu king.
P (A )= 452
(BA )= pengambilan kedua keluar kartu as
P( BA )= 451
Statistika Terapan 11
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
P (A B )=P (A ) x P( BA ) ¿ 4
52×
451
¿0,006
Probabilitas Marjinal
Probabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas
terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan
terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.
Jika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa
A tersebut adalah
A ¿ P ¿
Contoh :
Sebuah kotak berisikan 11 bola dengan rincian 5 buah bola putih
bertanda (+), 1 buah bola putih bertanda (–), 3 buah bola kuning
bertanda (+), 2 buah bola kuning bertanda (–). Tentukan probabilitas
memperoleh sebuah bola putih !
Penyelesaian :
Misalkan : A = bola putih
B+ = bola bertanda positif
B- = bola bertanda negatif
P ¿
P ¿
P (A )=P ¿
¿ 511
+ 111
¿ 611
b. Kejadian Bebas
Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila
terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan B
dikatakan bebas, kalau kejadian A tidak mempengaruhi B atau sebaliknya. Jika
A dan B merupakan kejadian bebas, maka P(A/B) = P(A) dan P(B/A) = P(B)
Statistika Terapan 12
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
P (A B )=P (A )P (B )=P (B )P ( A )
Statistika Terapan 13
Distribusi Frekuensi dan Probabilitas
Contoh :
Satu mata uang logam Rp. 50 dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. Jika A1
adalah lemparan pertama yang mendapat gambar burung (B), dan A2 adalah
lemparan kedua yang mendapatkan gambar burung (B), berapakah P(A1 Ç A2)!
Penyelesaian :
Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan
kedua dan P(A1) = P(B) = 0,5 dan P(A2) = P(B) = 0,5, maka P(A1 Ç A2) =
P(A1) P(A2) = P(B) P(B) = 0,5 x 0,5 = 0,25.
Statistika Terapan 14