modul 3 distribusi probabilitas

32
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya hasil suatu percobaan disebut sebagai variabel random. Dalam sampel random semua unit dari populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel. Variabel random terdiri dari distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. Nilai-nilai distribusi diskrit terdiri atas hasil-hasil perhitungan sederhana dari sejumlah unit. Penyajian distribusi probabilitas dapat berbentuk tabel atau kurva probabilitas. Untuk suatu variabel random diskrit, semua nilai yang dapat terjadi dari variabel random dapat di daftar dalam suatu tabel dengan menyertakan probabilitas-probabilitasnya. Sedangkan untuk suatu variabel random kontinyu, karena semua nilai pecahan yang dapat terjadu tidak dapat di daftar, probabilitas-probabilitas ditentukan dengan fungsi matematis yang dinyatakan dengan suatu fungsi kontinyu, atau kurva probabilitas. Oleh karena itu, dalam praktikum kali ini percobaan yang dilakukan dapat dikaji menggunakan distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas yang digunakan kali ini adalah distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinyu. 1.2 Batasan Praktikum Adapun batasan-batasan yang digunakan selama pelaksanaan praktikum ini adalah : 1. Data yang diambil berupa data primer. 2. Tipe data yang digunakan adalah numeric. 3. Untuk hasil probabilitas berupa bilangan desimal menggunakan lima angka dibelakang koma. LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 41

Upload: faizal-randy-putra

Post on 26-Oct-2015

2.749 views

Category:

Documents


25 download

TRANSCRIPT

Page 1: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya

hasil suatu percobaan disebut sebagai variabel random. Dalam sampel random semua unit dari

populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel.

Variabel random terdiri dari distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. Nilai-nilai distribusi

diskrit terdiri atas hasil-hasil perhitungan sederhana dari sejumlah unit.

Penyajian distribusi probabilitas dapat berbentuk tabel atau kurva probabilitas. Untuk suatu

variabel random diskrit, semua nilai yang dapat terjadi dari variabel random dapat di daftar

dalam suatu tabel dengan menyertakan probabilitas-probabilitasnya. Sedangkan untuk suatu

variabel random kontinyu, karena semua nilai pecahan yang dapat terjadu tidak dapat di daftar,

probabilitas-probabilitas ditentukan dengan fungsi matematis yang dinyatakan dengan suatu

fungsi kontinyu, atau kurva probabilitas.

Oleh karena itu, dalam praktikum kali ini percobaan yang dilakukan dapat dikaji

menggunakan distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas yang digunakan kali ini adalah

distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinyu.

1.2 Batasan Praktikum

Adapun batasan-batasan yang digunakan selama pelaksanaan praktikum ini adalah :

1. Data yang diambil berupa data primer.

2. Tipe data yang digunakan adalah numeric.

3. Untuk hasil probabilitas berupa bilangan desimal menggunakan lima angka dibelakang

koma.

4. Aplikasi distribusi diskrit terbatas 3 macam yaitu, binomial, hipergeometrik dan poisson.

5. Aplikasi distribusi kontinyu terbatas 2 macam yaitu normal dan eksponensial.

1.3 Tujuan Praktikum

Tujuan dari pelaksanaan praktikum ini adalah:

1. Dapat memahami dan menguasai konsep distribusi probabilitas.

2. Dapat mengetahui macam-macam distribusi probabilitas.

3. Dapat membedakan konsep dari masing-masing distribusi.

4. Dapat mengaplikasikan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas dalam

menyelesaikan suatu permasalahan.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 41

Page 2: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

1.4 ManfaatPraktikum

Manfaat yang diperoleh dari pelaksanaan praktikum ini adalah:

1. Praktikan mampu memahami dan menguasai konsep distribusi probabilitas.

2. Praktikan dapat mengetahui macam-macam distribusi probabilitas.

3. Praktikan mampu membedakan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 42

Page 3: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

2.1 Definisi Probabilitas

Distribusi probabilitas merupakan nilai-nilai probabilitas yang dinyatakan untuk mewakili

semua nilai yang dapat terjadi dari suatu variabel random X, baik dengan suatu daftar (tabel)

maupun dengan fungsi matematis.

2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit

Distribusi peluang diskrit adalah suatu tabel atau rumus yang mencantumkan semua

kemungkinan nilai suatu pengubah acak diskrit (ruang contoh diskrit mangandung jumlah titik

yang terhingga) dan juga peluangnya. Adapun macam-macam distribusi diskrit adalah sebagai

berikut :

2.2.1 Distribusi Binomial

Distribusi binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana

suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.

Proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:

1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses

atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha

berikutnya.

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.

Rumus Distribusi Binomial

b ( x ;n ; p )=(nx) px qn− x x=1,2 ,…,n; (2-1)

Sumber: Hasan (2004 : 57)

Gambar 2.1 Distribusi BinomialSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.2 Distribusi Hipergeometrik

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 43

Page 4: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek

yang dipilih tanpa pengembalian. Distribusi Hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai

berikut:

1. Sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi)

2. k dari N item dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal

Rumus Hipergeometrik:

h ( x ; N ;n ;k )=(kx )(N−k

n−x )(Nn )

(2-2)

Sumber: Murwani (2007 : 63)

Gambar 2.2 Distribusi HipergeometrikSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.3 Distribusi Geometrik

Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang

memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometric

mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali. Fungsi distribusi

probabilitas geometrik:

P ( x )=pqx−1 (2-3)Sumber: Murwani (2007 : 71)

Dimana x = 1,2,3,..p dan q adalah parameter (probabilitas sukses dan gagal ). Rata- rata dan

variansi distribusi probabilitas geometric adalah :

μ= 1p

(2-4)

Sumber: Murwani (2007 : 71)

σ 2= q

p2 (2-5)

Sumber: Murwani (2007 : 71)

Gambar 2.3 Distribusi GeometrikSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.4 Distribusi Pascal ( Binomial Negatif)

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 44

Page 5: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-

kondisi berikut:

a. Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

b. Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin,

sukses atau gagal

c. Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam

setiap percobaan (trial)

d. Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses

diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu

e. Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah

percobaannya yang acak.

Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat menghasilkan sebuah

sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p, maka distribusi

probabilitas dari variabel acak X, jumlah percobaan dimana sukses ke-k terjadi diberikan oleh:

b¿ ( x ;k , p )=(x−1k−1) pkqx−k , x=k , k+1 , k+2 ,…. (2-6)

Sumber: Murwani (2007 : 74)

Gambar 2.4 Distribusi PascalSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.5 Distribusi Multinomial

Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang

dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok.

Fungsi distribusi probabilitas multinomial adalah sebagai berikut

P (x1 , x2,…, xk )= n !x1! x2!…xk !

p1x1 p2

x2… pkx k (2-7)

Sumber: Murwani (2007: 80)

Gambar 2.5 Distribusi MultinomialSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.2.6 Distribusi Poisson

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 45

Page 6: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah

kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu.

Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.

P ( x )=α xe−α

x ! untuk x=1,2,3 ,…. (2-8)

Sumber: Murwani (2007 : 82)

Dimana :

= rata- rata distribusi (yang juga merupakan variansi) α à n.p

e = bilangan logaritmik natural ( e = 2.71828 )

Atau p ( x ; λt )= e− λt(λt )x

x !(2-9)

Sumber: Murwani (2007 : 82)

Gambar 2.6 Distribusi PoissonSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

Tabel 2.1 Macam-macam Distribusi Probabilitas DiskritNo. Jenis Distribusi Pengertian Contoh Kasus

1. Distribusi Binomial

suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli

Menentukan probabilitas bahwa terdapat 2 dari 4 kompenen yang ditest akan bertahan. Apabila probabilitas suatu alat tertentu akan tetap bertahan (tidak rusak) bila digetarkan adalah ¾.

2.Distribusi Hipergeometrik

distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian

Mencari berapa peluang diperoleh 3 kartu hati, jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan.

3.Distribusi Geometrik

mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali

Menghitung berapa probabilitas bahwa item ke 5 yang diawasi adalah yang pertama rusak. Jika pada suatu proses pembuatan alat tertentu diketahui bahwa setiap 100 item ada 1 yang rusak.

4. Distribusi Pascaljumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak

Menentukan probabilitas bahwa kabel dapat bertahan pada saat dibebani V - 5dengan beban berlebih paling tidak 5 kali sebelum kabel tersebut diganti. Anggap suatu kabel terdiri dari beberapa kawat yang terususn secara independent. Kadang-kadang kabel tersebut dibebani dengan beban berlebih; pada saat itu probabilitas bahwa ada 1 kawat yang putus adalah 0.05. Asumsikan bahwa kegagalan 2 atau lebih kawat tidak sama. Kabel harus diganti bila 3 kawat sudah putus.

5. Distribusi Multinomial

digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan

Menghitung berapakah peluang mendapatkan jumlah 7 atau11 muncul duaan kali, sepasang bilangan yang sama

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 46

Page 7: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

ke dalam lebih dari dua kelompok

satu kali, dan kombinasi lainnya 3 kali, apabila dua dadu dilantunkan 6 kali.

6. Distribusi Poisson

bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu

Mencari probabilitas bahwa tidak ada badai hujan tahun depan, dengan berdasarkan data, badai hujan di suatu kota selama 20 tahun, menunjukkan bahwa rata-rata terdapat 4 kali badai hujan per tahun. Asumsikan kejadian badai hujan adalah proses Poisson.

2.3 Distribusi Kontinyu

Distribusi kontinyu merupakan salah satu macam distribusi probabilitas, yaitu model

matematik yang menghubungkan nilai variabel dengan probabilitas terjadinya nilai itu. Pada

distribusi peluang kontinyu, peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada semua titik x.

Karena itu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, tetapi dengan sebuah rumus. Distribusi

probabilitas kontinyu terdiri atas beberapa macam yang akan dibahas pada sub bab dibawah ini.

2.3.1 Distribusi Normal/Gauss

Gambar 2.7 Kurva distribusi normal/gaussSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

Karakteristik Distribusi Normal

1. Kurva berbentuk genta (m= Md= Mo)

2. Kurva berbentuk simetris

3. Kurva normal berbentuk asimptotis

4. Kurva mencapai puncak pada saat X= m

5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.

Fungsi dari Distribusi Normal adalah

N (X ; μ ,σ )= 1

√2π σ2e

−12 [ x−μ

σ ]2

(2-10)

Sumber: Hasan (2004 : 72)

2.3.2 Distribusi Uniform

Distribusi probabilitas yg paling sederhana adalah jikalau tiap nilai variabel random

memiliki probabilitas yg sama untuk terpilih.

a. Distribusi Uniform Diskrit

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 47

Page 8: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Jika variabel random X bisa memiliki nilai x1,x2, …, xk dan masing-masing bisa muncul

dengan probabilitas yg sama maka distribusi probabilitasnya diberikan oleh :

f(x;k)=1/k untuk x= x1,x2, …, xk (2-11)Sumber: Murwani (2007 : 94)

Notasi f(x;k) menyatakan nilai fungsi f tergantung pada k!

b. Distribusi Uniform Kontinyu

Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan kemunculan yang

sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform

dengan fungsi densitas probabilitas:

Gambar 2.8 Distribusi UniformSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.3 Distribusi Gamma

Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang

matematika. Fungsi gamma didefinisikan oleh:

f ( x )= ❑(r )

(x )r I 1 e−x ; x≥0 (2-12)

Sumber: Murwani (2007 : 97)

Dimana:

f(x) = 0 ; untuk x yang lain.

r dan λ adalah parameter yang berupa bilangan riil dengan r > 0 dan λ > 0.

r biasanya disebut dengan parameter bentuk λ disebut parameter skala.

Fungsi Densitas Kumulatif:

f ( k )=p (0≤x ≤k )=0; k<0 (2-13)Sumber: Murwani (2007)

f ( k )=p (0≤x ≤k )=1−∑i=0

r−1 e−x (k )i

i !;k ≥0 (2-14)

Sumber: Murwani (2007)

Nilai probabilitas kumulatif dari Distribusi Gamma ini bisa dihitung dengan menggunakan

bantuan tabel Tabel Kumulatif Poisson dengan rata rata λk.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 48

Page 9: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Gambar 2.9 Distribusi GammaSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.4 Distribusi Beta

Distribusi Beta merupakan distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah. Fungsi beta

didefinisikan dengan integral :

B (α , β )=∫−∞

xα−1(1−X )β−1dx (2-15)

Sumber: Murwani (2007 : 107)

Gambar 2.10 Distribusi BetaSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.5 Distribusi Eksponensial

Pada saat a = 1, distribusi gamma mengambil suatu bentuk khusus yang dikenal sebagai

distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan dan waktu

tunggu atau teori antrian. Variabel random kontinu X memiliki sebuah distribusi eksponensial,

dengan parameter b, jika fungsi densitas (pdf)-nya diberikan oleh:

f ( x )={ 1

βαe

−xβ ,untuk x>0

0 lainya ya

(2-16)

di mana b > 0Sumber: Murwani (2007 : 101)

Gambar 2.11 Distribusi EksponensialSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.6 Distribusi Weilbull

Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia Waloddi Weibull pada

tahun 1939. Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari

banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 49

Page 10: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau

tetap konstan terhadap waktu. Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan

parameter α dan β , jika fungsi padatnya berbentuk:

f ( x )={αβ x β−1 e−αxβ ;∧x>00 ;∧x yang lain

(2-17)

Dengan α > 0 dan β > 0Sumber: Murwani (2007 : 112)

Jika = 1 maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial.β

Jika > 1 maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak mencong.β

Gambar 2.12 Distribusi WeibullSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.7 Distribusi Lognormal

Variabel acak kontinyu X memiliki distribusi lognormal bila variabel acak Y = ln (X)

memiliki suatu distribusi normal dengan mean μ dan standar deviasi σ . Fungsi kerapatan X

yang terjadi adalah:

f ( x )={ 1√2πσx

e−[ln ( x )−μ]2

2σ2

;∧x≥0

0;∧x<0

(2-18)

Sumber: Murwani (2007 : 101)

Mean dan variansi dari distribusi lognormal masing-masing diberikan oleh

E (X )=eμ+σ2

dan Var (X )=e2μ+σ 2

(eσ2

−1) (2-19)Sumber: KetutBuda.2009.http://probabilitydistributioninrelia.com

Gambar 2.13 Distribusi LognormalSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.8 Distribusi Student (T)

Fungsi Densitas dari Distribusi t (Student) dinyatakan sebagai berikut:

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 50

Page 11: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

f ( x )= K¿¿

(2-20)

Sumber: Murwani (2007 : 122)

Dimana:

v = (n – 1) : derajat bebas.

K = konstanta yang besarnya tergantung dari v.

Fungsi Densitas Kumulatif dapat dilihat di tabel distribusi t.

Gambar 2.14 Distribusi Student (t)Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.9 Distribusi F

Distribusi F juga dikenal dengan sebutan distribusi F Snedecor atau distribusi Fisher-

Snedecor (setelah R.A. Fisher dan George W. Snedecor). Distribusi F seringkali digunakan dalam

pengujian statistika, antara lain analisis varians dan analisis regresi.

Fungsi Densitas dari Distribusi F dinyatakan sebagai berikut:

f ( x )=

1

x2(v1−2)

(1+v1

v2

x)v1+v2

(2-21)

Sumber: Murwani (2007 : 132)

Dimana:

f(x) = 0 ; untuk x yang lain.

v1 = derajad bebas sampel 1 = n1 – 1

v2 = derajad bebas sampel 2 = n1 – 2

K = konstanta yang besanya tergantung v1 dan v2

Fungsi Densitas Komulatif dapat dilihat di tabel distribusi F.

Gambar 2.15 Distribusi FSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

2.3.10 Distribusi Chi Kuadrat (x2)

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 51

Page 12: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Distribusi chi kuadrat banyak digunakan untuk pengujian statistik, seperti analisa variansi.

Distribusi chi kuadrat adalah sebuah kasus distribusi gamma dengan α= v2

dan β=2 dengan v

adalah derajat kebebasan. Variabel acak kontinyu X memiliki distribusi chi-Kuadrat, dengan

derajat kebebasan v, jika fungsi kerapatannya diberikan oleh:

f ( x )={ 1

2σ Γ ( υ2 )x

υ2−1

e−x

2

;∧x>0

0 ;∧lainnya

(2-22)

Sumber: Murwani (2007 : 126)

dimanaυ>0 . Mean dan variansi dari distribusi Chi-Kuadrat masing-masing diberikan oleh

μ=υ dan σ2=2υ .

Gambar 2.16 Distribusi Chi-SquareSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt

Tabel 2.2 Macam-macam Distribusi KontinyuNo. Jenis Distribusi Pengertian Contoh Kasus

1.Distribusi Normal/Gauss

Salah satu distribusi teoritis dari variabel random kontinu.

Menghitung peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %.

2. Distribusi Uniform

Distribusi probabilitas yg paling sederhana adalah jikalau tiap nilai variabel random memiliki probabilitas yg sama untuk terpilih.

Sebuah ruang rapat di suatu perusahaan hanya bisa dipakai tak lebih dari 4 jam. Pemakaian ruang tersebut untuk rapat singkat maupun panjang sama seringnya. Bisa diasumsikan bahwa jika X menyatakan lamanya sebuah rapat di ruang tersebut, maka distribusinya uniform.

3. Distribusi GammaDistribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika.

Menghitung probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik pada putaran kerja tersebut, apabila variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan a = 8 dan b = 15.

4. Distribusi BetaMerupakan distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah

Menghitung persentase televisi merk tertentu yang terjual membutuhkan perbaikan dalam dua tahun pemakaiannya.

5. Distribusi Pada saat a = 1, distribusi Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 52

Page 13: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Eksponensial

gamma mengambil suatu bentuk khusus yang dikenal sebagai distribusi eksponensial.

suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu:

6. Distribusi Weilbull

Digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik.

Menghitung data durasi seperti data interval kelahiran dan lamanya waktu hingga terjadinya kematian biasanya berkaitan dengan kelangsungan hidup (survival) suatu objek yang sedang diamati agar kesimpulan berdasarkan asumsi akan lebih tepat.

7.Distribusi Lognormal

Variabel acak kontinyu X memiliki distribusi lognormal bila variabel acak Y = ln (X) memiliki suatu distribusi normal

Representasi dari variabel acak yang logaritmanya mengikuti distribusi normal. Model untuk waktu untuk melaksanakan tugas manual seperti merakit, inspeksi, atau

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 53

Page 14: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Tabel 2.2 Macam-macam Distribusi Kontinyu (Lanjutan)No. Jenis Distribusi Pengertian Contoh Kasus

dengan mean μ dan standar deviasi σ .

perbaikan. Jika data berdistribusi lognormal, mean geometris deskriptor yang lebih baik dari mean. Semakin data dekat dengan distribusi lognormal, semakin dekat mean geometris ke median, karena mengekspresikan dengan log menghasilkan distribusi yang simetris.

8.Distribusi Student (T)

Fungsi Densitas dari Distribusi t (Student) dinyatakan sebagai berikut:

f ( x )= K¿¿

Menghitung nilai t agar probabilitas di αsebelah kanan = 0,05, apabila variabel αrandom T diketahui berdistribusi t dengan derajat kebebasan v = 10.

9. Distribusi F

Distribusi F seringkali digunakan dalam pengujian statistika, antara lain analisis varians dan analisis regresi.

Menghitung seberapa jauh pengaruh satu variabel bebas secara individual dalam menerangkan variasi variabel terikat yang bertujuan untuk menguji koefisien regresi secara individual.

10.Distribusi Chi Kuadrat (x2)

Sebuah kasus distribusi

gamma dengan α= v2

dan

β=2 dengan v adalah derajat kebebasan.

Mengitung nilai χ2α agar probabilitas di

sebelah kanan α = 0,05, apabila variabel random x2 diketahui berdistribusikhi kuadrat dengan derajat kebebasan v = ‐10.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 54

Page 15: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

BAB IIIMETODOLOGI PRAKTIKUM

3.1 Diagram Alir Praktikum3.1.1 Diagram Alir Praktikum Distribusi Hipergeometrik

Gambar 3.1 Diagram alir praktikum distribusi hipergeometrik

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 55

Page 16: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

3.1.2 Diagram Alir Praktikum Distribusi Eksponensial

Gambar 3.2 Diagram alir praktikum distribusi eksponensial

3.2 Alat dan Bahan Praktikum

Alat dan bahan praktikum yang digunakan kali ini dibedakan menjadi 2, yaitu alat dan

bahan pada saat praktikum distribusi hipergeometrik dan distribusi eksponensial.

3.2.1 Distribusi Hipergeometrik

Alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi hipergeometrik ini adalah :

1. 30 bola, 20 bola orange dan 10 bola kuning

2. Keranjang

3. Kain penutup keranjang

4. Bolpoin

5. Tabel pengamatan

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 56

Page 17: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

3.2.2 Distribusi Eksponensial

Alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi poison ini adalah :

1. 30 bola warna merah, kuning, biru, hijau dan ungu dengan proporsi yang sama

2. Keranjang

3. Kain penutup keranjang

4. Stopwatch

5. Bolpoin

6. Tabel pengamatan

3.3 Prosedur Praktikum

Pada praktikum kali ini, prosedur praktikum juga dibedakan menjadi 2 yaitu prosedur

praktikum distribusi poison dan distribusi eksponensial

3.3.1 Distribusi Hipergeometrik

Adapun prosedur praktikum distribusi hipergeometrik adalah :

1. Persiapkan alat dan bahan.

2. Ada 30 bola plastik, 20 bola orange dan 10 bola kuning. Ambil 4 bola dalam keranjang tanpa

pengembalian dengan 10 kali pengambilan

3. Pernyataan BENAR apabila bola “kuning” yang terambil.

4. Catat hasilnya dalam tabel pengamatan.

5. Analisis dan interpretasi data.

6. Kesimpulan dan saran.

7. Menyusun laporan

8. Selesai.

3.3.2 Distribusi Eksponensial

Adapun prosedur praktikum distribusi eksponensial adalah :

1. Persiapkan alat dan bahan.

2. Terdapat 30 bola plastik, diantaranya 6 bola warna merah,6 bola warna kuning,6 bola

warna biru,6 bola warna hijau dan 6 bola warna ungu.

3. Catat waktu yang dibutuhkan dalam 1 replikasi terambil bola warna ungu.

4. Lakukan sebanyak 35 replikasi

5. Analisis dan interpretasi data.

6. Kesimpulan dan saran.

7. Menyusun laporan

8. Selesai.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 57

Page 18: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

BAB IVHASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Pengumpulan Data

4.1.1 Distribusi Hipergeometrik

Pada praktikum kali ini , praktikan melakukan pengumpulan data primer untuk distribusi

hipergeometrik dari jumlah bola kuning yang terambil dengan pengambilan 4 bola sekaligus

setiap replikasinyadan replikasnya sebanyak 10 kali pada saat praktikum. Berikut merupakan

hasil dari pengumpulan data yang diperoleh :

Tabel 4.1 Pengamatan Distribusi HipergeometrikReplikasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10TALLY (x) || |||| || || || || ||| || ||| ||

Dimana x = Jumlah bola kuning yang terampil (|)

4.1.2 Distribusi Eksponensial

Pada praktikum kali ini, praktikan melakukan pengumpulan data primer untuk distribusi

eksponensial dari pengambilan bola ungu sebanyak 35 kali dimana dalam pengambilannya

waktu yang dibutuhkan dalam pengambilan hingga diperoleh boleh ungu dicatat pada saat

praktikum. Berikut merupakan hasil dari pengumpulan data yang diperoleh :

Tabel 4.2 Pengamatan Distribusi EksponensialX( bola ungu) t t X (bola

ungu) t t

1 1,17 19 106,74 3.12 9,9 8.73 20 109,81 2.423 29,57 19.67 21 111,22 3.074 32,87 3.3 22 115,05 1.415 40,56 7.69 23 116,78 3.836 52,77 12.21 24 118,79 1.737 59,9 7.13 25 120,96 2.018 61,84 1.94 26 131,78 2.179 63,48 1.64 27 133,98 10.8210 65,71 2.23 28 138,81 2.211 67,17 1.46 29 140,84 4.8312 68,99 1.82 30 143,9 2.0313 76,8 7.81 31 148,88 3.0614 82,11 5.31 32 151,61 4.9815 83,74 1.63 33 157,33 2.7316 85,88 2.14 34 159,15 5.7217 101,22 15.34 35 163,8 1.8218 104,32 1.17

4.2 Pengolahan Data

4.2.1 Distribusi Hipergeometrik

Data distribusi hipergeometrik yang diambil pada praktikum ini berupa pengambilan 4 bola

sekaligus dan kejadian yang dianggap sukses bila bola kuning yang terambil. Pengambilannya

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 58

Page 19: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

diulang sebanyak sepuluh kali dan hasil pengambilan data terdapat pada tabel 4.1. Selanjutnya

data yang sudah diambil akan diolah dengan analisa SPSS dan manual.

4.2.1.1 Pengoahan SPSS

Langkah-langkah untuk pengujian hasil probabilitas dari 4 bola yang terambil adalah

sebagai berikut:

Berikut ini merupakan pengolahan data dengan menggunakan SPSS :1. Mengaktifkan Variabel View

2. Mengisikan x dan PDF pada kolom Name

3. Mengisi kolom Decimal dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF

4. Mengisikan kedua kolom Measure dengan Scale

5. Aktifkan Data View

6. Isikan nilai x = 0, 1, 2, 3, 4 dengan formulasi Pdf.hyper (x, N, n, k)

7. Pada Menu Bar klik Transform >> Compute Variable

Gambar 4.1 Langkah-langkah Pengujian Distribusi Hipergeometrik8. Klik OK

9. Hasilnya adalah sebagai berikut :

10. Berikut rekapan hasil dari peluang 0 bola kuning terambil sampai 4 bola kuning

terambil:

Tabel 4.3 Rekapan Hasil HipergeometrikX PDF(x,N,n,k) Hasil0 Pdf.hyper (0,30,4,10) 0.17679

1 Pdf.hyper (1,30,4,10) 0.41598

2 Pdf.hyper (2,30,4,10) 0.31199

3 Pdf.hyper (3,30,4,10) 0.08758

4 Pdf.hyper (4,30,4,10) 0.00766

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 59

Page 20: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

4.2.1.2 Pengolahan Manual

Tabel 4.4 Perhitungan Peluang Empiris dan TeoritisX tally Fi fk empiris teoritis0 0 0 0 0 0.1767931 0 0 0 0 0.4159822 ||||||| 7 7 0.7 0.3119873 || 2 9 0.2 0.0875754 | 1 10 0.1 0.007663

Jumlah 10 10 1 1

Berikut ini adalah contoh perhitungan manual:

1. Contoh perhitungan manual frekuensi empiris :

X = 2 ; fi

total fk = 7

10 = 0,7

2. Contoh perhitungan manual frekuensi teoritis :

x = 0 : f x(0;30,10,0) =(10) (30−010−0) / (30

10) = 0,176793

4.2.1.3 Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis

Berikut ini adalah grafik perbandingan data empiris dengan data teoritis pada distribusi

hipergeometrik:

1 2 3 4 50

0.10.20.30.40.50.60.70.8

Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis

empiristeoritis

Nilai X

Prob

abili

tas

Gambar 4.2 Grafik perbandingan data empiris dan data teoritis

Berdasarkan grafik diatas maka dapat dilihat bahwa pada perhitungan empiris dan teoritis

distribusi hipergeometri terdapat perbedaan yang signifikan antara data empiris dan teoritis.

Perbedaan yang signifikan ini dikarenakan sampel yang digunakan adalah tidak mewakili

populasi. Jika sampel ditambah, dan dapat mewakili populasi, maka tidak akan ada perbedaan

yang signifikan antara data empiris dengan data teoritis. Dan hasil pada data empiris dan teoritis

akan sama.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 60

Page 21: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan pengolahan

data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat dan sampel yuang

ada sudah mewakili populasi.

4.2.2 Distribusi Eksponensial

Data distribusi eksponensial yang diambil pada praktikum ini berupa pengambilan bola

ungu sebanyak 35 kali sekaligus dimana dalam pengambilannya waktu yang dibutuhkan dalam

pengambilan hingga diperoleh boleh ungu dicatat pada saat praktikumhasil pengambilan data

terdapat pada tabel 4.2. Selanjutnya data yang sudah diambil akan diolah dengan analisa SPSS

dan manual.

4.2.2.1 Pengolahan SPSS

Langkah-langkah untuk pengujian hasil probabilitas 4 bola yang diambil, diantaranya

rentang waktu yang dibutuhkan adalah antara 8.31 detik sampai 10.7 detik, sebagai berikut:

Berikut ini merupakan pengolahan data dengan menggunakan SPSS :1. Mengaktifkan Variabel View

2. Mengisikan x dan CDF pada kolom Name

3. Mengisi kolom Decimal dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada CDF

4. Mengisikan kedua kolom Measure dengan Scale

5. Aktifkan Data View

6. Isikan nilai x = dengan formulasi Cdf.exp (λ,batas kelas)

7. Pada Menu Bar klik Transform >> Compute Variable

8. Klik OK

9. Hitung dengan cara yang sama untuk nilai x lain secara satu persatu, karena SPSS tidak

dapat mengolah nilai probabilitas secara keseluruhan, berikut rekapan hasil dari kelas

dengan interval 1.41-4.42 sampai 19.53-22.54 :

Tabel 4.5 Rekapan Hasil Perhitungan CDF Interval Lamda ( ) CDF Hasil1.41-4.42 0,172217 CDF.EXP(4.42,0.172217) - CDF.EXP(1.41,0.172217) 0.317304.43-7.44 0,172217 CDF.EXP(7.44,0.172217) - CDF.EXP(4.43,0.172217) 0.18862

7.45-10.46 0,172217 CDF.EXP(10.46,0.172217) - CDF.EXP(7.45,0.172217) 0.1121310.47-13.48 0,172217 CDF.EXP(13.48,0.172217) - CDF.EXP(10.47,0.172217) 0.0666613.49-16.5 0,172217 CDF.EXP(16.5,0.172217) - CDF.EXP(13.49,0.172217) 0.03963

16.51-19.52 0,172217 CDF.EXP(19.52,0.172217) - CDF.EXP(16.51,0.172217) 0.0235619.53-22.54 0,172217 CDF.EXP(22.54,0.172217) - CDF.EXP(19.53,0.172217) 0.01400

4.2.2.2 Pengolahan Manual

Berikut ini adalah hasil pengolahan manual dalam distribusi eksponensial:

1. Range

Range = data terbesar – data terkecil = 19,67– 1,41= 18,26

2. Banyaknya kelas (k)

Banyak data (n) = 34

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 61

Page 22: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

Jumlah kelas (k) = 1 + 3,322 Log n

= 1 + 3,322 Log 34

= 1 + 5,087 = 6,087 ≈ 7 kelas

3. Panjang interval kelas

Panjang interval kelas = Range

k=18,26

6,087=¿3,02

4. Distribusi Frekuensi

Tabel 4.6 Data Distribusi Eksponensial

Interval fi xi Fixiempiri

steoriti

s1.41-4.42 21 2,685 56,385 0,618 0,3174.43-7.44 6 5,74 34,44 0,176 0,189

7.45-10.46 3 8,765 26,295 0,088 0,11210.47-13.48 2 11,805 23,61 0,059 0,067

13.49-16.5 1 14,845 14,845 0,029 0,04016.51-19.52 0 17,885 0 0 0,02419.53-22.54 1 41,85 41,85 0,029 0,014

Jumlah 34103,57

5197,42

5 1Berikut ini adalah cara perhitungan teoritis dengan menggunakan Microsoft Excel.

Gambar 4.3 Cara perhitungan teoritis menggunakan Microsoft Excel

Contoh perhitungannya:

x=∑ f i x i

∑ f i =

197,42534

=¿5,8066176

λ= 1x= 1

5,8066176=¿0,172217

Cara menghitung data empiris:Fi . Xi

∑ fi . xi

Untuk kelas = 1; 56,385

197,425=0,618

Tabel 4.7 Perhitungan Teoritis Distribusi EksponensialNo Probabilitas No Probabilitas1 P = (1 – e - kλ

2) – (1 – e - kλ1)

P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 4,42) – (1 – 2.71828 -

0,172217x1.41)

5 P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ

1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 16,5) – (1 – 2.71828 -

0,172217 x 13,49)

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 62

Page 23: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

P = 0,532894-0,215592=0,317302 P = 0,941667 - 0,902041= 0,039625

2

P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ

1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 7,44) – (1 – 2.71828 -

0,172217 x 4,43)P = 0,722323 - 0,533698= 0,188625

6

P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ

1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 19,52) – (1 – 2.71828 -

0,172217 x 16,51)P = 0,941767 - 0,965323= 0,023556

3

P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ

1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 10,46) – (1 – 2.71828 -

0,172217 x 7,45)P = 0,834931 - 0,722801= 0,11213

7

P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ

1)P = (1 – 2.71828 0,172217 x 22,54) – (1 – 2.71828

0,172217 x 19,53)P = 0,979368 - 0,965383= 0,014003

4

P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ

1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 13,48) – (1 – 2.71828 -

0,172217 x 10,47)P = 0,901872 - 0,835215= 0,066657

Gambar 4.4 Rekapan hasil perhitungan pada SPSS

4.2.2.3 Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis

1.41-4.42 4.43-7.44 7.45-10.46 10.47-13.48 13.49-16.5 16.51-19.52 19.53-22.540.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.700

Grafik Perbandingan Hasil Perhitungan Empiris dan Teoritis

EmpirisTeoritis

Interval

Has

il Pe

rhitu

ngan

Gambar 4.5 Grafik perbandingan hasil perhitungan empiris dan teoritis

Pada grafik diatas terlihat antara perhitungan empiris dan teoritis hasil pengolahan data

hasilnya hampir sama. namun pada interval pertama ada sedikit perbedaan pada hasil

perhitungan empiris dan teoritis. hal ini dikarenakan sampel yang digunakan sudah mewakili

populasi maka tidak ada perbedaan yang signifikan antara data empiris dengan data teoritis.

Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan pengolahan

data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat dan sampel yang

ada sudah mewakili populasi.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 63

Page 24: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 64

Page 25: Modul 3 Distribusi Probabilitas

DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III

BAB VPENUTUP

5.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat kita peroleh dari praktikum modul 3 ini adalah sebagai berikut:

1. Distribusi Hipergeometrik adalah banyaknya sukses dalam sampel random berukuran n

yang diambil dari populasi N (di mana di dalam N terkandung k sukses dan N- k gagal).

Dalam pengolahan data distribusi hipergeometrik pada perhitungan empiris dan teoritis

terdapat perbedaan yang signifikan antara data empiris dan teoritis. Perbedaan yang

signifikan ini dikarenakan sampel yang digunakan adalah tidak mewakili populasi. Jika

sampel ditambah, dan dapat mewakili populasi, maka tidak akan ada perbedaan yang

signifikan antara data empiris dengan data teoritis. Dan hasil pada data empiris dan teoritis

akan sama. Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan

pengolahan data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat

dan sampel yuang ada sudah mewakili populasi. Peluang terambilnya 0 bola kuning

0.176793, peluang terambilnya 1 bola kuning 0.415982, peluang terambilnya 2 bola kuning

0.31199, peluang terambilnya 3 bola kuning 0.087575 dan peluang terambilnya 4 bola

kuning 0.007663.

2. Distribusi Eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Dalam teori

probabilitas dan statistik, distribusi eksponensial (distribusi eksponensial negatif alias)

adalah keluarga dari distribusi probabilitas kontinu. Ini menggambarkan waktu antara

peristiwa dalam proses Poisson, yaitu proses di mana peristiwa terjadi terus menerus dan

mandiri pada tingkat rata-rata konstan. Ini adalah analog kontinu dari distribusi geometrik.

Dalam pengolahan data distribusi eksponensial perhitungan empiris dan teoritis hasil

pengolahan data hasilnya hampir sama. namun pada interval pertama ada sedikit

perbedaan pada hasil perhitungan empiris dan teoritis, hal ini dikarenakan sampel yang

digunakan sudah mewakili populasi maka tidak ada perbedaan yang signifikan antara data

empiris dengan data teoritis. Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya

sama dengan pengolahan data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS

sudah akurat dan sampel yang ada sudah mewakili populasi.

2.1 Saran

Saran yang dapat diberikan untuk praktikum modul 3 adalah:

1. Diharapkan lebih akurat dalam mencari data agar tidak terjadi kesalahan data.

2. Diharapkan praktikan lebih teliti dalam perhitungan empiris dan teoritis agar tidak terjadi

perbedaan data yang signifikan.

LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 65