1. Distribusi Frekuensi

Pada saat kita dihadapkan pada sekumpulan data yang banyak, seringkali membantu untuk mengatur dan merangkum data tersebut dengan membuat tabel yang berisi daftar nilai data yang mungkin berbeda (baik secara individu atau berdasarkan pengelompokkan) bersama dengan frekuensi yang sesuai, yang mewakili berapa kali nilai-nilai tersebut terjadi. Daftar sebaran nilai data tersebut dinamakan dengan Daftar Frekuensi atau Sebaran Frekuensi (Distribusi Frekuensi).Dengan demikian, distribusi frekuensi adalah daftar nilai data (bisa nilai individual atau nilai data yang sudah dikelompokkan ke dalam selang interval tertentu) yang disertai dengan nilai frekuensi yang sesuai.Pengelompokkan data ke dalam beberapa kelas dimaksudkan agar ciri-ciri penting data tersebut dapat segera terlihat. Daftar frekuensi ini akan memberikan gambaran yang khas tentang bagaimana keragaman data. Sifat keragaman data sangat penting untuk diketahui, karena dalam pengujian-pengujian statistik selanjutnya kita harus selalu memperhatikan sifat dari keragaman data. Tanpa memperhatikan sifat keragaman data, penarikan suatu kesimpulan pada umumnya tidaklah sah.Sebagai contoh, perhatikan contoh data pada Tabel 1. Tabel tersebut adalah daftar nilai ujian Matakuliah X dari 80 Mahasiswa.Tabel 1. Daftar Nilai Ujian Matakuliah X7949487481988780

8084907091938278

7071923856817473

6872855165938386

9035837374438688

9293767190726775

8091617297918881

7074999580597177

6360838260678963

7663887066887975

Sangatlah sulit untuk menarik suatu kesimpulan dari daftar data tersebut. Secara sepintas, kita belum bisa menentukan berapa nilai ujian terkecil atau terbesar. Demikian pula, kita belum bisa mengetahui dengan tepat, berapa nilai ujian yang paling banyak atau berapa banyak mahasiswa yang mendapatkan nilai tertentu. Dengan demikian, kita harus mengolah data tersebut terlebih dulu agar dapat memberikan gambaran atau keterangan yang lebih baik.Bandingkan dengan tabel yang sudah disusun dalam bentuk daftar frekuensi (Tabel 2a dan Tabel 2b). Tabel 2a merupakan daftar frekuensi dari data tunggal dan Tabel 2b merupakan daftar frekuensi yang disusun dari data yang sudah di kelompokkan pada kelas yang sesuai dengan selangnya. Kita bisa memperoleh beberapa informasi atau karakteristik dari data nilai ujian mahasiswa.Tabel 2a.NoNilai UjianFrekuensi

xifi

1351

2360

3370

4381

:::

16704

17713

::1

42981

43991

Total80

Pada Tabel 2a, kita bisa mengetahui bahwa ada 80 mahasiswa yang mengikuti ujian, nilai ujian terkecil adalah 35 dan tertinggi adalah 99. Nilai 70 merupakan nilai yang paling banyak diperoleh oleh mahasiswa, yaitu ada 4 orang, atau kita juga bisa mengatakan ada 4 mahasiswa yang memperoleh nilai 70, tidak ada satu pun mahasiswa yang mendapatkan nilai 36, atau hanya satu orang mahasiswa yang mendapatkan nilai 35.Tabel 2b.Kelas ke-Nilai UjianFrekuensi fi

131 402

241 503

351 605

461 7013

571 8024

681 9021

791 10012

Jumlah80

Tabel 2b merupakan daftar frekuensi dari data yang sudah dikelompokkan. Daftar ini merupakan daftar frekuensi yang sering digunakan. Kita sering kali mengelompokkan data contoh ke dalam selang-selang tertentu agar memperoleh gambaran yang lebih baik mengenai karakteristik dari data. Dari daftar tersebut, kita bisa mengetahui bahwa mahasiswa yang mengikuti ujian ada 80, selang kelas nilai yang paling banyak diperoleh oleh mahasiswa adalah sekitar 71 sampai 80, yaitu ada 24 orang, dan seterusnya. Hanya saja perlu diingat bahwa dengan cara ini kita bisa kehilangan identitas dari data aslinya. Sebagai contoh, kita bisa mengetahui bahwa ada 2 orang yang mendapatkan nilai antara 31 sampai 40. Meskipun demikian, kita tidak akan tahu dengan persis, berapa nilai sebenarnya dari 2 orang mahasiswa tersebut, apakah 31 apakah 32 atau 36 dst.Ada beberapa istilah yang harus dipahami terlebih dahulu dalam menyusun daftar frekuensi.Tabel 3.Kelas ke-SelangNilai UjianBatas KelasNilai Kelas(xi)Frekuensi(fi)

131 4030.5 40.535.52

241 5040.5 50.545.53

351 6050.5 60.555.55

461 7060.5 70.565.513

571 8070.5 80.575.524

681 9080.5 90.585.521

791 10090.5 100.595.512

Jumlah80

Sebuah distribusi frekuensi akan memiliki bagian-bagian yang akan dipakai dalam membuat sebuah daftar distribusi frekuensi. Bagian-bagian tersebut akan dijelaskan sebagai berikut: Kelas-kelas (class) adalah kelompok nilai data atau variable dari suatu data acak. Batas bawah kelas: Nilai terkecil yang berada pada setiap kelas. (Contoh: Pada Tabel 3 di atas, batas bawah kelasnya adalah 31, 41, 51, 61, , 91) Batas atas kelas: Nilai terbesar yang berada pada setiap kelas. (Contoh: Pada Tabel 3 di atas, batas bawah kelasnya adalah 40, 50, 60, , 100) Batas kelas (Class boundary): Nilai yang digunakan untuk memisahkan antar kelas, tapi tanpa adanya jarak antara batas atas kelas dengan batas bawah kelas berikutnya. Contoh: Pada kelas ke-1, batas kelas terkecilnya yaitu 30.5 dan terbesar 40.5. Pada kelas ke-2, batas kelasnya yaitu 40.5 dan 50.5. Nilai pada batas atas kelas ke-1 (40.5) sama dengan dan merupakan nilai batas bawah bagi kelas ke-2 (40.5). Titik tengah kelas atau tanda kelas adalah angka atau nilai data yang tepat terletak di tengah suatu kelas. Titik tengah kelas merupakan nilai yang mewakili kelasnya dalam data. Titik tengah kelas = (batas atas + batas bawah) kelas. Interval kelas adalah selang yang memisahkan kelas yang satu dengan kelas yang lain. Panjang interval kelas adalah selisih antara dua nilai batas bawah kelas yang berurutan atau selisih antara dua nilai batas atas kelas yang berurutan atau selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas bagi kelas yang bersangkutan. Biasanya lebar kelas tersebut memiliki lebar yang sama. Contoh:lebar kelas = 41 31 = 10 (selisih antara 2 batas bawah kelas yang berurutan) ataulebar kelas = 50 40 = 10 (selisih antara 2 batas atas kelas yang berurutan) ataulebar kelas = 40.5 30.5 = 10. (selisih antara nilai terbesar dan terkecil batas kelas pada kelas ke-1)

Frekuensi kelas adalah banyaknya kejadian (nilai) yang muncul pada selang kelas tertentu. Contoh, pada kelas ke-1, frekuensinya = 2. Nilai frekuensi = 2 karena pada selang antara 30.5 40.5, hanya ada 2 angka yang muncul, yaitu nilai ujian 31 dan 38. Range : Selisih antara nilai tertinggi dan terendah. Pada contoh ujian di atas, Range = 99 35 = 641.1 Jenis Jenis Distribusi FrekuensiDistribusi frekuensi memiliki jenis-jenis yang berbeda untuk setiap kriterianya. Berdasarkan kriteria tersebut, distribusi frekuensi dapat dibedakan tiga jenis:1) Distribusi Frekuensi BiasaDistribusi frekuensi yang berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data. Distribusi frekuensi ada dua jenis yaitu distribusi frekuensi numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori.2) Distribusi Frekuensi RelatifDistribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan. Distribusi frekuensi relatif menyatakan proporsi data yang berada pada suatu kelas interval, distribusi frekuensi relatif pada suatu kelas didapatkan dengan cara membagi frekuensi dengan total data yang ada dari pengamatan atau observasi.3) Distribusi Frekuensi KumulatifDistribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif (frekuensi yang dijumlahkan). Distribusi frekuensi kumulatif memiliki kurva yang disebut ogif. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif yaitu distribusi frekuensi kumulatih kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari.

1.2 Penyusunan Distribusi FrekuensiPenyusunan suatu distribusi frekuensi perlu dilakukan tahapan penyusunan data. Pertama melakukan pengurutan data-data terlebih dahulu sesuai urutan besarnya nilai yang ada pada data, selanjutnya diakukan tahapan berikut ini.1. Menentukan jangkauan (range) dari data. Jangkauan = data terbesar data terkecil.2. Menentukan banyaknya kelas (k). Banyaknya kelas ditentukan dengan rumus sturgess K = 1 + 3.3 log n; k (Keterangan: k = banyaknya kelas, n = banyaknya data)3. Menentukan panjang interval kelas. Panjang interval kelas (i) = Jumlah Kelas (k)/ Jangkauan (R)4. Menentukan batas bawah kelas pertama. Tepi bawah kelas pertama biasanya dipilih dari data terkecil atau data yang berasal dari pelebaran jangkauan (data yang lebih kecil dari data data terkecil) dan selisihnya harus kurang dari panjang interval kelasnya.5. Menuliskan frekuensi kelas didalam kolom turus atau tally (sistem turus) sesuai banyaknya data.

1.3 Grafik Distribusi FrekuensiInformasi tentang cirri-ciri penting yang ada pada suatu distribusi frekuensi lebih mudah difahami jika disajikan dalam bentuk grafik. Grafik distribusi frekuensi ada tiga jenis, yaitu grafik histogram frekuensi, grafik polygon frekuensi, dan ogif.

1) Grafik Histogram FrekuensiGrafik histogram frekuensi terdiri atas suatu kumpulan batang persegi panjang yang masing-masing mempunyai lebar batang menggunakan batas kelas dan bukan tepi kelas. Histogram merupakan bagian dari grafik batang di mana skala horisontal mewakili nilai-nilai data kelas dan skala vertikal mewakili nilai frekuensinya. Tinggi batang sesuai dengan nilai frekuensinya, dan batang satu dengan lainnya saling berdempetan, tidak ada jarak/ gap diantara batang. Kita dapat membuat histogram setelah tabel distribusi frekuensi data pengamatan dibuat.

2) Grafik Poligon FrekuensiCara kedua untuk menyajikan data numerik dalam bentuk grafik adalah poligon frekuensi. Grafik poligon frekuensi adalah grafik garis dari frekuensi kelas yang menghubungkan nilai tengah-nilai tengah kelas dari puncak histogram. Untuk menggambar grafik poligon frekuensi secara lengkap diperlukan sebuah interval kelas tambahan pada kedua sisi ujung distribusi, masing-masing dengan frekuensi nol. Ketinggian dari titik-titik sesuai dengan frekuensi kelas, dan segmen garis diperluas ke kanan dan kiri sehingga grafik dimulai dan berakhir pada sumbu horisontal.

3) Grafik OgifGrafik ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi komulatif lebih dari atau distribusi frekuensi kurang dari. Ogif disebut juga polygon frekuensi komulatif. Prinsip yang dipakai untuk menggambarkan ogif hampir sama dengan prinsip untuk menggambarkan histogram atau poligon frekuensi. Berdasarkan tabel komulatif terdapat dua jenis ogif, yaitu ogif kurang dari dan ogif lebih dari.

Perhatikan bahwa batas-batas kelas dihubungkan oleh segmen garis yang dimulai dari batas bawah kelas pertama dan berakhir pada batas atas dari kelas terakhir. Ogive berguna untuk menentukan jumlah nilai di bawah nilai tertentu. Sebagai contoh, pada gambar berikut menunjukkan bahwa 68 mahasiswa mendapatkan nilai kurang dari 90.5.

2. Probabilitas (Peluang)Probabilitas atau Peluang adalah suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akan terjadi di masa mendatang. Probabilitas dapat juga diartikan sebagai harga angka yang menunjukkan seberapa besarkemungkinan suatuperistiwa terjadi, di antarakeseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.Probabilitas dilambangkan dengan P. Contoh 1: Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah . Contoh 2: Sebuah dadu untuk keluar mata lima saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6).Rumus :P (E) = X/NP = ProbabilitasE = Event (Kejadian)X = Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)N = Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnyakemungkinan suatu peristiwa akan terjadi.Suatu probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam presentase. Probabilitas 0 menunjukkan peristiwa yang tidak mungkin terjadi, sedangkan probabilitas 1 menunjukkan peristiwa yang pasti terjadi.Ada tiga hal penting dalam probabilitas, yaitu:1. Percobaan adalah pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yang memungkinkan timbulnya paling sedikit 2 peristiwa tanpa memperhatikan peristiwa mana yang akan terjadi.2. Hasil adalah suatu hasil dari sebuah percobaan.3. Peristiwa adalah kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.2.1 Manfaat Probabilitas dalam PeneitianManfaat probabilitas dalam kehidupan sehari-hari adalah membantu kita dalam mengambil suatu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. Jika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa fungsi antara lain: Membantu peneliti dalam pengambilan keputusan yang lebih tepat. Dengan teori probabilitas kita dapat menarik kesimpulan secara tepat atas hipotesis yang terkait tentang karakteristik populasi. Mengukur derajat ketidakpastian dari analisis sampel hasilpenelitian dari suatu populasi.2.2 Pendekatan ProbabilitasAda 3 (tiga) pendekatan konsep untuk mendefinisikan probabilitas dan menentukan nilai-nilai probabilitas, yaitu: (1). Pendekatan Klasik, (2). Pendekatan Frekuensi Relatif, dan (3). Pendekatan Subyektif.1) Pendekatan KlasikPendekatan klasik didasarkan pada sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi sama besar (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa kemudian dinyatakan sebagai suatu rasio antara jumlah kemungkinan hasil dengan total kemungkinan hasil (rasio peristiwa terhadap hasil).

Probabilitas suatu peristiwa = Jumlah kemungkinan hasil / Jumlah total kemungkinan hasil

Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah: P (A) = b/a+bContoh:Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab:P (A) = 15/10+15 = 3/5

2) Pendekatan RelatifBesarnya probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. probabilitas dapat dinyatakan sebagai berikut:Probabilitas kejadian relatif = Jumlah peristiwa yang terjadi / Jumlah total percobaan atau kegiatanJika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/NContoh:Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab:P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

3) Pendekatan SubjektifBesarnya suatu probabilitas didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam derajat kepercayaan. Penilaian subjektif diberikan terlalu sedikit atau tidak ada informasi yang diperoleh dan berdasarkan keyakinan.2.3 Konsep Dasar dan Hukum ProbabilitasDalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.

1) Hukum PenjumlahanHukum penjumlahan menghendaki peristiwa saling lepas (mutually exclusive) dan peristiwa/kejadian bersama (non mutually exclusive).

Saling meniadakan (mutually exclusive)Apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang saling meniadakan:P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 Kejadian Bersama (Non Mutually Exclusive)PeristiwaNon Mutually Exclusive (Joint)dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama).Rumus penjumlahan untuk kejadian-kejadian yang tidak saling meniadakan:Dua KejadianP (A U B) =P(A) + P (B) P(A B)Tiga KejadianP(A UB UC) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabunganantara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karenaada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, Gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwadi mana A dan B memiliki elemen yang sama. Dengandemikian, probabilitas pada keadaan di manaterdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan Bmaka probabilitas A atau B adalah probabilitas Aditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitaselemen yang sama dalam peristiwa A dan B. Peristiwa Pelengkap (Complementary Event)Apabila peristiwa A dan B saling melengkapi, sehingga jika peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi. Peristiwa A dan B dikatakan sebagai peristiwa komplemen.Rumusuntuk kejadian-kejadian yang saling melengkapi :P(A)+P(B) = 1 atau P(A) = 1 P(B)2) Hukum Perkalian Hukum Bebas (independent) Hukum perkalian menghendaki setiap peristiwa adalah independen, yaitusuatu peristiwa terjadi tanpa harus menghalangi peristiwa lain terjadi. Peristiwa A dan B independen, apabila peristiwa A terjadi tidak menghalangi terjadinya peristiwa B.P(A B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)Contoh:Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:P (5 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36 Peristiwa Bersyarat (Tidak Bebas) /(Conditional Probability)Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu peristiwa akan terjadi dengan ketentuan peristiwa yang lain telah terjadi. Peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A telah terjadi.P(A dan B) = P(A x P(B|A) atau P(B dan A) = P(B) x P(A|B)Contoh :Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51P (as II as I) = 3/51P (as I as II) = P (as I) x P (as II as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

2.4 Diagram Pohon ProbabilitasDiagram pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganalisis keputusan-keputusan bisnis dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.Contoh:

2.5 Ruang Sampel dan Titik SampelRuang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada suatu percobaan/kejadian.Ruang Sampel suatu percobaan dapat dinyatakan dalam bentuk diagram pohon atau tabel.Titik Sampel adalah anggota-anggota dari ruang sampel atau kemungkinan-kemungkinan yang muncul.Contoh:Pada percobaan melempar dua buah mata uang logam (koin) homogen yang berisi angka (A) dan gambar (G) sebanyak satu kali. Tentukan ruang sampel percobaan tersebut.a) Dengan Diagram Pohon

Kejadian yang mungkin:AA : Muncul sisi angka pada kedua koinAG : Muncul sisi angka pada koin 1 dan sisi gambar pada koin 2b) Dengan Tabel

Ruang sampel = {(A,A), (A,G), (G,A), (G,G)}Banyak titik sampel ada 4 yaitu (A,A), (A,G), (G,A), dan (G,G)2.6 Teorema BayesDalam teori probabilitas dan statistika,teorema Bayesadalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalampenafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru.Dalampenafsiran frekuentisteorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

atau

2.7 Prinsip Menghitung1) FaktorialFaktorial digunakan untuk mengetahui berapa banyak cara yang mungkin dalam mengatur sesuatu. Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x 3 x 2 x 1n ! dibacan faktorialnb: 0! = 1dan 1! = 1Contoh:3! = 3 x 2 x 1 = 65! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 1202) PermutasiPermutasi digunakan untuk mengetahui jumlah kemungkinan susunan (arrangement) jika terdapat satu kelompok objek. pada permutasi berkepentingan dengan susunan atau urutan dari objek. Permutasi dirumuskan sebagai berikut :

atau

dimana :P = Jumlah permutasi atau cara objek disusunn = jumlah total objek yang disusunr/k = jumlah objek yang digunakan pada saat bersamaan, jumlah r/k dapat sama dengan n atau lebih kecil! = tanda dari faktorial

Contoh:Di kantor pusat D Ada 3 orang staff yang dicalonkan untuk menjadi mengisi kekosongan 2 kursi pejabat eselon IV. Tentukan banyak cara yang bisa dipakai untuk mengisi jabatan tersebut?jawab: Permutasi P (3,2), dengan n =3 (banyaknya staff) dan k =2 (jumlah posisi yang akan diisi)

Permutasi Unsur-unsur yang sama

Contoh:Tentukan permutasi atas semua unsur yang dibuat dari kata MATEMATIKA!Jawab: pada kata MATEMATIKAterdapat 2 buah M, 3 buah A, dan 2 buah T yang sama, sehingga permutasinya adalah:

Permutasi Siklis

Rumus banyaknya permutasi = (n-1)!Contoh:Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

3) KombinasiKombinasi didefinisikan sebagai susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut kombinasi yang ditulis dengan lambang C. Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja r lebih kecil atau sama dengan n, maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan cara kombinasi adalah : Kombinasi ditulis juga dengan cara : C(n,r) atau Cn,r

Kombinasi digunakan apabila ingin mengetahui berapa cara sesuatu diambil dari keseluruhan objek tanpa memperhatikan urutannya. Jumlah kombinasi dirumuskan sebagai berikut:

Contoh:Saat akan menjamu Bayern Munchen di Allianz arena, Antonio Conte (Pelatih Juventus) punya 20 pemain yang akan dipilih 11 diantaranya untuk jadi starter. Berapa banyak cara pemilihan starter tim juventus? (tidak memperhatikan posisi pemain).

DAFTAR PUSTAKA

Anonim. 2010. Distribusi Frekuensi. https://smartstat.wordpress.com/2010/03/29/ distribusi-frekuensi/. Diakses 22 September 2015.Dewi, Tiara. 2012. Probabilitas dan Statistika. http://tyarhahawol.blogspot.com/2012/12/probabilitas-dan-statistika_31.html. Diakses 22 September 2015.Hasan, M. Iqbal. 2001. Pokok-pokok Materi Statistik I (Statistik Deskriptif). Bumi Aksara. Jakarta.Krisfani, Agung. 2014. Distribusi Frekuensi. http://agungkrisfani.blogspot.co.id/2014/03/distribusi-frekuensi.html. Diakses 22 Septembe 2015.Suharyadi, & Purwanto S. K. (2007). Statistika: Untuk Ekonomi dan Keuangan Modern, Edisi 2. Jakarta: Penerbit Salemba Empat.