BAB 1 METODE DERET PANGKAT

1. PENDAHULUAN

Sejauh ini kita mencoba untuk menyatakan penyelesaian Persamaan Diferensial

dalam suku-suku fungsi elementer, seperti sin, cos, xn, atau eksponen. Metode

penyelesaian yang akan dibahas ini menyatakan penyelesaian dalam suku-suku deret

pangkat. Namun demikian TIDAK semua fungsi dapat disajikan dengan cara ini, tetapi

hal ini memungkinkan dengan mengambil fungsi analitik.

Metode deret pangkat akan menghasilkan penyelesaian persamaan diferensial

dalam bentuk deret pangkat. Deret pangkat tak hingga di sekitar titik �� berbentuk :

...)()()()( +−+−+−+=−∑∞

=

33

2210

0ooo

n

non xxaxxaxxaaxxa (1.1)

dimana a0, a1, a2, ... adalah konstanta-konstanta yang disebut koefisien deret, x0

adalah suatu konstanta yang disebut pusat dari deret dan x adalah peubah.

Persamaan (1.1) dikatakan Konvergen di titik � = � jika deret tak terhingga

∑∞

=

−0n

non )xc(a konvergen yakni nilai limit dari deret tersebut ada. Jika nilai limitnya

tidak ada, maka deret pangkat tersebut dikatan tidak Konvergen (Divergen) di � = �.

Sedangkan himpunan bilangan riil yang anggota-anggotanya membentuk sebuah

deret pangkat konvergen dinamakan himpunan konvergen. Pengujian suatu deret

konvergen atau tidak pada himpunan tertentu berdasarkan teorema-teorema berikut :

Teorema 1 :

Untuk setiap Deret Pangkat Persamaan (1.1), terdapat sebuah bilangan (0 ≤ ≤ ∞),

disebut sebagai radius of convergen dari deret pangkat, sedemikian sehingga

Persamaan (1.1) dikatakan konvergen mutlak untuk |� − ��| < dan divergen untuk

|� − ��| > .

Teorema 2 : Uji Perbandingan Mutlak

Andaikan Deret Pangkat Persamaan (1.1) sebuah deret yang suku-sukunya tidak sama

dengan nol,

Andaikan

����→� ������� � =

i. Jika < 1, deret konvergen

ii. Jika > 1, deret divergen

iii. Jika = 1, pengujian ini tidak dapat memberikan kepastian

Untuk = 1, tidak dapat disimpulkan; pengujian konvergensi deret dilakukan dengan

berbagai uji ( uji perbandingan, rasio, integral dll.) baik deret positif maupun deret

berganti tanda. Nilai � yang didapatkan dari pengujian di atas disebut radius

konvergensi atau selang konvergensi deret.

Contoh 1:

Tentukan selang konvergensi deret kuasa : ∑ ����(���)����

Jawab :

: = ����→� �� +1� � = ����→� ���"#��"#(��$) (���)

���� � = |3�| ����→�

+ 1 + 2 = |3�| Deret ini konvergen bila < 1. Oleh karena itu, |3�| < 1 a()� *�� < � < ��.

Bila � = −1/3 maka didapatkan deret berganti tanda ∑ (*�)�(���)���� konvergen

(menggunakan uji deret berganti tanda konvergen jika ����→� �� = 0), sedangkan untuk � = 1/3 didapatkan deret ∑ ��

(���)���� divergen

(menggunakan aturan deret harmonik). Jadi radius konvergensi deret kuasa adalah

*�� ≤ � < ��.

Contoh 2:

Tentukan selang konvergensi deret kuasa : ∑ (�*$)�(���),����

Jawab :

: = ����→� �� +1� � = ����→� �(�−2) +1(��$), : (�−2)�

(���), �

= ����→� .(� − 2)���( + 2)$ ∗ ( + 1)$

(� − 2)�. = ����→� � (� − 2)( + 2)$ ∗ ( + 1)$� = |� − 2| ����→�

( + 1)$( + 2)$ = |� − 2|

Deret ini konvergen bila < 1. Oleh karena itu, |� − 2| < 1 a()� 1 < � < 3

Bila � = 1 maka didapatkan deret berganti tanda ∑ (*�)�(���),���� konvergen

(menggunakan uji deret berganti tanda konvergen ����→� �� = 0), sedangkan untuk

� = 3 didapatkan deret ∑ (�)�(���),���� merupakan deret harmonik. Jadi radius

konvergensi deret kuasa adalah 1 ≤ � < 3.

Latihan 1 : Tentukan semua nilai x yang menyebabkan deret berikut ini konvergen !

1. 0 (−2)�(� − 3)�( + 1)

����

2. 0 3� !

����

��

3. 0 (2)*�(� − 1)�( + 1)

����

4. 0 ( )$(� + 2)�2�

����

5. 0 3 ��

���(� − 2)�

6. 0 2$2�$2�2��

2. Turunan dan AntiTurunan PADA DERET PANGKAT

Pada pasal sebelumnya, kita mengetahui bahwa himpunan kekonvergenan deret

pangkat ∑∞

=0n

nn xa adalah sebuah selang I . Selang ini adalah daerah asal sebuah fungsi

baru 3(�), yaitu jumlah deret pangkat itu. Pertanyaannya, apakah kita dapat menyusun

rumus sederhana untuk S(x) tersebut sebagaimana deret geometri yaitu :

111

33

2210

0

<<−−

=++++=∑∞

=

xx

axaxaxaaxa

n

nn ,...

Teorema 3 :

Andaikan S(x) adalah jumlah sebuah deret pangkat pada sebuah selang I; jadi,

...)( ++++===

33

2210

∞

0

∑ xaxaxaaxaxSn

nn

Maka, apabila x ada di dalam I, berlakulah,

i. ∑∑

∞

1

1∞

0 =

−

=

==n

nn

n

nnx xnaxaDxS )()('

...xaxaxaa ++++= 34

2321 432

ii. 1∞

0

0∞

0 00

∑∑

1+

== +== ∫∫

n

nn

xn

n

x

xn

adttadt)t(S

...++++= 43

32

210 4

1

3

1

2

1xaxaxaxa

Contoh 3 :

Gunakan Teorema 3 untuk deret geometri

1111

1 32 <<−++++=−

xxxxx

.,..

Untuk memperoleh rumus-rumus jumlah dua deret baru.

Jawab :

i. Apabila dideferensialkan suku demi suku, kita peroleh

1143211

1 322

<<−++++=−

xxxxx

.,..)(

ii. Sedangkan pengintegralan suku demi suku menghasilkan

1111

1

0 0

3

0

2

00

<<−++++=− ∫ ∫∫∫∫ xdttdttdttdtdt

t

x xxxx

,...

Jadi

− ln(1 − �) = � + �$2 + ��

3 + . . . Apabila x diganti dengan – x dan mengalikan ruas kiri dan kanan dengan −1, kita

peroleh

ln(1 + �) = � − �$2 + ��

3 − �94 + . . .

∴ Jadi dapat disimpulkan bahwa :

232

1

14321

)(...

xxxx

−=++++

< + <== + <>

> + . . . = − ?@(A − <)

< − <== + <>

> − <BB + . . . = ?@(A + <)

Latihan 2 : Tentukan deret pangkat untuk setiap fungsi berikut ini dengan memodifikasi deret

geometri pada Contoh 3.

1. 21

1

x+

2. 21

1

)( x−

3. xx 1== tanarctan

3. TITIK ANALITIK

Suatu fungsi C dikatakan analitik pada titik ��, jika terdapat suatu bilangan real

positif D sehingga C dapat ditulis sebagai suatu deret pangkat konvergen

...)xx(a)xx(a)xx(aa)xx(a ooon

non +−+−+−+=−∑

∞

=

33

2210

0

Untuk semua |� − ��| < D. Bilangan R dinamakan radius of convergen deret pangkat.

Beberapa contoh fungsi analitik yaitu memuat eksponen, sin dan cos.

Beberpa bentuk deret pangkat sebagai kombinasi dari fungsi sederhana, tetapi

paling tidak dikenal sebagai kspansi sebagai berikut :

...++++==− ∑

∞

=

32

0

11

1xxxx

x m

m

...!!!

++++== ∑∞

= 321

32

0

xxx

mx

em

mx

...!!!

+−+−== ∑∞

=

−−

321

642

0

22 xx

xm

xe

m

mx

...!!!!)(

)(cos +−+−=−= ∑

∞

= 6421

2

1 642

0

2 xxxm

xx

m

mm

...!!!!)(

)(sin +−+−=

+−= ∑

∞

=

+

75

5

312

1 73

0

12 xxxx

mx

xm

mm

Contoh 4 :

Fungsi 3�$ − 7� + 6 = 0 analitik pada setiap titik, sedangkan fungsi �,*G��H�(�,*I)

analitik pada setiap titik, kecuali pada titik � = 0, 3 dan −3

4. Titik Regular dan Titik Singular

Perhatikan suatu persamaan diferensial orde dua dengan koefisien peubah dengan

bentuk

a$(x)yKK + a�(x)yK + a�(x)y = 0 . (1.2)

Jika Persamaan (1.2) dituliskan dalam bentuk standar

yKK + p(x)yK + q(x)y = 0 Dengan

NO(�) = )�(�))$(�)P(�) = )�(�))$(�)QRS

RT (1.3)

Definisi

Sebuah titik �� disebut titik regular atau titik ordiner dari Persamaan Diferensial

(1.2) jika kedua fungsi O(�) dan P(�) analitik di titik �� atau dengan kata lain

persamaan diferensial adalah regular. Dalam kasus ini lim�→�W X(�) dan

lim�→�W P(�) ada.

Jika O(�) atau P(�) tidak analitik pada titik ��, maka �� disebut sebuah titik

singular dari persamaan diferensial (1.2) atau dengan kata lain Persamaan

diferensial adalah singular di ��. Dalam kasus ini lim�→�W X(�) atau lim�→�W P(�)

adalah tak terhingga

Contoh 5: Tentukan semua titik singular dari <Y′′ + <(A − <)*AY′ + (Z[@ <) Y = \

Solution :

O(�) = a�(�)a$(x) = �� (1 − �)

O(�) analitik kecuali pada � = 1

P(�) = a�(�)a$(x) = sin ��

dengan menggunakan mengingat beberapa bentuk deret pangkat maka

P(�) = sin �� = � − ��3! + �G5! − �H7! + . . .�

Dengan demikian P(�) analitik semua titik.

∴ �_KK + �(1 − �)*�_K + (sin �) _ = 0; singular hanya pada titik � = 1.

Definisi

Sebuah titik �� disebut titik singular yang regular dari persamaan diferensial (1.2)

jika titik �� analitik pada kedua fungsi (< − <\)`(<) dan (< − <\)=a(<). Sebaliknya

disebut titik singular tak regular dari persamaan diferensial (1.2).

Contoh 6: Tentukan titik singular dari persamaan (b= − A)=cKK + (b + A)cK − c = \

Solution :

Diketahui :

O(�) = a�(�)a$(x) = (� + 1)(�$ − 1)$ = 1(� + 1)(� − 1)$

P(�) = a�(�)a$(x) = −1(�$ − 1)$ = 1(� + 1)$(� − 1)$

Maka dengan demikian kita peroleh ±1 adalah titik-titik singular pada persamaan

diferensial contoh 6.

• Untuk �� = 1, kedua fungsi dalam (3) menjadi

(x − 1)O(�) = 1(� + 1)(� − 1)

dan

(x − 1)$P(�) = 1(� + 1)$

Karena salah satunya tidak analitik di � = 1. Oleh karena itu � = 1

merupakan titik singular tak regular

• Untuk �� = −1, kedua fungsi dalam (3) menjadi

(x + 1)O(�) = 1(� − 1)$

dan

(x + 1)$P(�) = −1(� − 1)$

Karena keduanya analitik di � = −1 maka karena itu � = −1 merupakan titik

singular regular.

Latihan 3: Tentukan titik-titik singular yang regular, dan titik-titik singular takregular dari

persamaan diferensial berikut ini.

1. �_KK − (2� + 1)_K = 0 2. _KK − 2(� − 1)_K + 2_ = 0 3. (1 − �)_KK − _K + �_ = 0 4. 2�$_KK + (� − �$)_K − _ = 0

5. (� − 1)$_KK − (�$ − �)_K + _ = 0 6. �$_KK − (� + 2)_ = 0

7. ��(1 − �$)_KK + (2� − 3)_K + �_ = 0 8. (� − 1)9_KK − �_ = 0

5. Deret Kuasa Sebagai Penyelesaian di Sekitar Titik Singular

Dalam bagian ini kita tunjukkan bagaimana menyelesaikan sebarang persamaan

diferensial linear orde dua dengan koefisien peubah yang berbentuk

)$(�)_KK + )�(�)_K + )�(�)_ = 0 (1.4)

Dalam suatu selang di sekitar titik regular ��. Titik �� biasanya diatur oleh

masalah khusus yang ada, yang mensyaratkan kita untuk mencari penyelesaian

persamaan diferensial (1.4) yang memenuhi syarat awal berbentuk :

_(��) = _� (1.5)

dan

_K(��) = _� (1.6)

Kita ingatkan kembali bahwa jika koefisien-koefisien )$, )� dan )� berbentuk polinom-

polinom dalam �, maka sebuah titik �� adalah titik regular dari persamaan diferensial

(1.4) bila )$(�) ≠ 0. Pada umumnya �� adalah titik regular dari persamaan diferensial

(1.4) jika fungsi-fungsi dan O(�) dan P(�) pada Persamaan (1.3) dapat diuraikan

menjadi deret kuasa dalam bentuk

a�(x)a$(x) = 0 g��

���(� − ��)$ Untuk |� − ��| < D� (1.7)

dan

)�(�))$(�) = 0 h��

���(� − ��)$ Untuk |� − ��| < D$ (1.8)

Dengan jari-jari keonvergenan D� dan D$ yang positif. Fungsi (1.7) dan (1.8) khususnya

kontinu di dalam selang |� − ��| < D, dimana D bilangan terkecil diantara D� dan D$.

Teorema 3 (Penyelesaian di sekitar sebuah titik regular )

Jika �� sebuah titik regular dari Persamaan Diferensial (1.4), maka penyelesaian umum

persamaan diferensial itu mempunyai suatu uraian deret kuasa di sekitar ��

...)()()()( +−+−+−+=−∑∞

=

33

2210

0ooo

n

non xxaxxaxxaaxxa

Dengan jari-jari kekonvergenan yang positif.

6. Deret Pangkat Pada Persamaan Diferensial

Bentuk P.D orde satu:

i_i� = C(�, _)

Solusi y diperoleh dalam bentuk suatu deret Taylor;

...)()()( +−+−+−+= 33

2210 ooo xxaxxaxxaay

dimana sering mengganti )� dengan _�

dimana deret ini :

1) memenuhi persamaan diferensial diatas

2) mempunyai harga _ = _� jika � = ��

3) konvergen untuk semua harga � yang cukup dekat dengan � = ��

Langkah-langkah untuk mencari solusi umum yang berbentuk deret pangkat dalam

pangkat dari �, yaitu jika � = 0

1. Asumsikan bahwa solusi umum berbentuk deret pangkat dalam pangkat dari �

∑∞

=

=0n

nn xay

...++++= 33

2210 xaxaxaa

2. Diferensiasikan suku demi suku deret yang diasumsikan

3. Substitusikan deret yang diasumsikan itu beserta deret-deret yang diperoleh

dengan diferensiasi suku demi suku tersebut ke dalam persamaan diferensialnya.

4. Kumpulkan pangkat-pangkat x yang sama dan menyamakan jumlah koefisien

dari setiap pangkat x yang terjadi dengan nol, dimulai dari suku-suku konstanta,

suku-suku yang mengandung x, suku-suku yang mengandung x2 dan seterusnya.

5. Hitunglah koefesien deretnya dari hubungan-hubungan diatas

6. Substitusikan koefisien deret yang telah diperoleh ke dalam persamaan solusi

yang diasumsikan pada awal langkah ini.

Contoh 7 : Tentukan solusi deret pangkat disekitar < = \ untuk persamaan diferensial

02 =+ xydxdy

Solution :

Karena koefesien dari _ adalah polinomial 2�, yang mana analitik dimana saja

sehingga � = 0 adalah titik regular pada Persamaan Diferensial pada contoh 7.

Asumsikan bahwa solusi umum berbentuk deret pangkat dari x

.... ∑∞

=

=++++=0

33

2210

n

nn xaxaxaxaay

....' ∑∞

=

−=++++=1

134

2321 432

n

nn xnaxaxaxaay

Substitusikan y dan dxdy

ke soal di atas

0201

1 =+ ∑∑∞

=

∞

=

−

n

nn

n

nn xaxxna

020

1

1

1 =+∑∑∞

=

+∞

=

−

n

nn

n

nn xaxna

02432 33

2210

34

2321 =+++++++++ )...()...( xaxaxaaxxaxaxaa

02222432 43

32

210

34

2321 =+++++++++ ...... xaxaxaxaxaxaxaa

0242322 32

34

21

23021 =+++++++ ...xaxaxaxaxaxaa

0242322 324

213021 =+++++++ ...)()()( xaaxaaxaaa

dengan menyamakan koefesien-koefesien dari setiap pangkat x dengan nol, maka

diperoleh bahwa :

Koefesien dari :

0x : 01 =a

1x : 0202 022 aaaa −=⇒=+

2x : 0023 313 =⇒=+ aaa

3x : 02

424 2

1

2024 a

aaaa

!=−=⇒=+

4x : 0025 535 =⇒=+ aaa

5x : 6)j + 2)9 = 0 ⇒)j = − 2)96 = − ()�)3! = − )�3!

sehingga dapat disimpulkan bahwa :

)$� = (−1)� !

= 1, 2, 3, …

)$��� = 0 = 0, 1, 2, 3, …

Subtitusikan harga-harga tersebut ke dalam asumsi solusinya. Dengan harga-harga

ini, maka solusi umumnya adalah :

2

0

2

10

6040200

7605403200

77

66

55

44

33

2210

1

32

03

02

00

x

n

n

n

ea

xn

a

xa

xa

xaa

xxa

xxa

xxaxa

xaxaxaxaxaxaxaay

−

∞

=

=

−=

+−+−=

++−+++−+=

++++++++=

∑ !)(

...!!

..!!

...

Contoh 8 : Tentukan nilai pendekatan Y(\, l) dari persamaan diferensial berikut ini

dengan menggunakan deret pangkat sampai pangkat ke 10:

1. 2002 ==− )(yxydxdy

Solution :

Asumsikan bahwa solusi umum berbentuk deret pangkat dalam pangkat dari x

...++++==∑∞

=

33

2210

0

xaxaxaaxayn

nn

Diferensialkan asumsi solusi diatas suku demi suku

...xaxaxaadxdy ++++= 3

42

321 432

Substitusikan y dan dxdy

ke soal persamaan diferensial di atas yaitu :

02 =− xydxdy

02432 2210

34

2321 =+++−++++⇒ )..xaxaa(x...xaxaxaa

dan seterusnya.

Kumpulkan pangkat-pangkat dari x yang sama

026

252423225

46

435

324

213021

=+−+

−+−+−+−+⇒

)..x)aa(

x)aa(x)aa(x)aa(x)aa(a

dengan menyamakan koefesien-koefesien dari setiap pangkat x dengan nol, maka

diperoleh bahwa :

Koefesien dari :

0x : 01 =a

1x : 0202 022 aaaa =⇔=−

2x : 023 313 =⇔− aaa

3x : 22

24 02424

aaaaa ==⇔−

4x : 025 535 =⇔− aaa

5x : !

a

!

a

*

aaaaa

3323326 0224

646 ====⇔−

dan seterusnya.

Subtitusikan harga-harga tersebut ke dalam asumsi solusinya. Dengan harga-

harga ini, maka solusi umumnya adalah :

.)..!

x!

x!

xx(a

...x!

axx

!a

xx!

axxaxa

...xaxaxaxaxaxaxaay

+++++=

+++++++++=

++++++++=

4321

40

30

200

8642

0

807605403200

77

66

55

44

33

2210

Menurur Deret Maclaurin 2

0

8642

4321 x

m

m

e!m

x...

!x

!x

!x

x ==+++++ ∑∞

= maka

solusi umumnya menjadi 2

0xeay = ; dimana a0 konstanta sembarang.

Nilai _(0,5) dari persamaan diferensial diatas menggunakan deret pangkat

sampai pangkat ke 10 adalah :

)!!!!

()(5432

110864

20

xxxxxaxy +++++=

karena y(0) = 2 maka solusi umum menjadi

)!

x!

x!

x!

xx()x(y

543212

108642 +++++=

Untuk x = 0,5 maka

2,56805013 8)0,0000081300,0001627670,002604160,031250,252(1)5!(0,5)4!(0,5)3!(0,5)2!(0,5)(0,5)2(1y(0,5) 108642

=+++++=

+++++=

Solusi secara umum analitik untuk y(0) = 2 adalah 2xe2y ==== . Sehingga nilai

32,56805083 71,28402541*2 )exp((0,5) *2 y(0,5) 2

==

=

Contoh 9 : Tentukan solusi umum dari

2_KK + �_K + _ = 0

dalam bentuk deret pangkat disekitar titik regular � = 0.

Solution :

.... ∑∞

=

=++++=0

33

2210

n

nn xaxaxaxaay

Maka

....' ∑∞

=

−=++++=1

134

2321 432

n

nn xnaxaxaxaay

.)(...'' ∑∞

=

−−=+++=2

22432 11262

n

nn xannxaxaay

Substitusikan deret tersebut ke persamaan diferensial contoh diatas

012

012

012

2

01

1

2

2

=++−

=++−

∑∑∑

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

−

∞

=

∞

=

−∞

=

−

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

xaxnaxann

xaxnaxxann

)(

)(

Dengan memisalkan p = − 2 untuk bentuk penjumlahan pertama, sedangkan

p = untuk bentuk penjumlahan kedua dan ketiga sehingga penjumlahan

persamaan diatas menjadi

0122010

2 =++++ ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=+

k

kk

k

kk

k

kk xaxkaxakk ))((

0122102021

011

22 =++++++++ ∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=+

k

kk

k

kk

k

kk xaaxkaxakka ))(())((

012241

202 =++++++ ∑∞

=+

kkk

kk xakaakkaa ]))(([

Sehingga diperoleh :

04 02 =+ aa ⇒ 2

002

24

aaa

−=

−=

⇒ 0 akaakk kkk =++++ +2122 ))((

⇒))((

)( 122 12 +++

−=+ kk

aka k

k

⇒ kk ak

a)( 22

12 +

−=+ ; p ≥ 1

Maka dapat disimpulkan bahwa :

200

224

aaa

−=

−=

kk ak

a)( 22

12 +

−=+

p = 1 maka )� = −12 ∗ 3 )�

p = 2 maka )9 = −12 ∗ 4 )$ = 12$ ∗ 2 ∗ 4 )�

p = 3 maka )G = −12 ∗ 5 )� = 12$ ∗ 3 ∗ 5 )�

p = 4 maka )j = −12 ∗ 6 )9 = −12$ ∗ 2 ∗ 2 ∗ 4 ∗ 6 )� = −12� ∗ 2 ∗ 4 ∗ 6 )� = −12j ∗ 3! )�

p = 5 maka )H = −12 ∗ 7 )G = −12 ∗ 2$ ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 )� = −12� ∗ 3 ∗ 5 ∗ 7 )�

p = 6 maka )r = −12 ∗ 8 )j = 129 ∗ 2 ∗ 4 ∗ 6 ∗ 8 )� = 12r ∗ 4! )�

dst

Maka solusi dari persamaan diferensial diatas adalah :

....+++++++++= 8877665544332210 xaxaxaxaxaxaxaxaay

....... +++++++++++= 99

77

55

331

88

66

44

220 xaxaxaxaxaxaxaxaxaay

.................

...!.!.!.

++++−+

++−+−=

913712513101

88 066 044 02200a975322 1a75322 1a5322 1a322 1 4232222

xxxxxa

xa

xa

xa

xa

ay

).................

(

.)..!.!.!.

(

++++−+

++−+−=

93725301

886644220

975322 175322 15322 1322 1 42 132 122 1211xxxxxa

xxxxay

∑∑∞

=

+−

∞

= +−+−= 0

12110220 12312 12 1

n

nn

n

n

nn

n

xn

axn

ay))...(.(

)(!

)(

Contoh 10 : Tentukan solusi umum dari

2_KK − �_K + _ = 0

dalam bentuk deret pangkat disekitar titik regular � = 1.

Solution :

.)(∑∞

=

−= 0 1n

nn xay

Dengan memisalkna ( = � − 1, maka

i_i� = i_i( i$_i�$ = i$_i($

Oleh sebab itu persoalan tersebut menjadi

2_KK − (( + 1)_K + _ = 0 (1.9)

Sekarang mencari solusi umum dengan bentuk

_ = 0 )�(�����

Maka

_K = 0 )�(�*�����

_′K = 0 ( − 1))�(�*$�

��$

Dengan mensubtitusikan kedua turunan ini ke Persamaan (1.9) maka diperoleh

2 0 ( − 1))�(�*$ − (( + 1) 0 )�(�*�����

+ 0 )�(�����

= 0���$

2 0 ( − 1))�(�*$ − 0 )�(� − 0 )�(�*�����

����

+ 0 )�(�����

= 0���$

Dengan memisalkan p = − 2 untuk bentuk penjumlahan pertama, p = − 1 untuk

penjumlahan ketiga, dan p = untuk bentuk penjumlahan kedua dan keempat

sehingga penjumlahan persamaan diatas menjadi

2 0(p + 2)(p + 1))2�$(2 − 0 p)2(2 − 0(p + 1))2��(2�2��

�2��

+ 0 )2(2�2��

= 0�2��

4)$ + 2 0(p + 2)(p + 1))2�$(2 − 0 p)2(2 − )��

2��− 0(p + 1))2��(2�

2��+ )� + 0 )2(2�

2��= 0�

2��

4)$ − )� + )� + 2 0(p + 2)(p + 1))2�$(2 − 0 p)2(2�2��

− 0(p + 1))2��(2�2��

+ 0 )2(2�2��

= 0�2��

4)$ − )� + )� + 0 2(p + 2)(p + 1))2�$(2 − (p + 1))2��(2 − p)2(2 + )2(2 = 0�2��

4)$ − )� + )� + 0 2(p + 2)(p + 1))2�$(2 − (p + 1))2��(2 − (p − 1))2(2 = 0�2��

Sehingga diperoleh :

4)$ − )� + )� = 0 → )$ = )� − )�4

2(p + 2)(p + 1))2�$ − (p + 1))2�� − (p − 1))2 = 0

⇒ )2�$ = (p + 1))2�� + (p − 1))22(p + 2)(p + 1) p ≥ 1

Untuk p = 1, 2, 3, … maka diperoleh :

)� = 2)��� + (1 − 1))�2(1 + 2)(1 + 1) = 2)$2.3.2 = 2)� − 2)�4.2.3.2 = )� − )�4.3.2

)9 = (2 + 1))$�� + (2 − 1))$2(2 + 2)(2 + 1) = 3)� + )$2.4.3 = 3 u)� − )�4.3.2 v + )� − )�42.4.3

= )� − )�4.2 + 2)� − 2)�4.22.4.3 = 3)� − 3)�4.22.4.3 = )� − )�2.4.4.2

Jadi Solusinya :

_(() = )� + )�( + )$($ + )�(� + )9(9 + ⋯

_(() = )� + )�( + u)� − )�4 v ($ + u)� − )�4.3.2 v (� + ()� − )�2.4.4.2 )(9 + ⋯

_(() = )� + )�( + )�4 ($ − )�4 ($ + )�4.3.2 (� − )�4.3.2 (� + )�2.4.4.2 (9 − )�2.4.4.2 (9 + ⋯

_(() = )� − )�3 ($ − )�4.3.2 (� − )�2.4.4.2 (9 − ⋯ + )�( + )�4 ($ + )�4.3.2 (� + )�2.4.4.2 (9 + ⋯

_(() = )� − )�3 ($ − )�4.3.2 (� − )�2.4.4.2 (9 − ⋯ + )�( + )�4 ($ + )�4.3.2 (� + )�2.4.4.2 (9 + ⋯

Karena ( = � − 1, maka

_(�) = )� − )�3 (� − 1)$ − )�4.3.2 (� − 1)� − )�2.4.4.2 (� − 1)9 − ⋯ +)1(� − 1) + )14 (� − 1)2 + )14.3.2 (� − 1)3 + )12.4.4.2 (� − 1)4 + ⋯

Contoh 12 : Tentukan nilai pendekatan y(0,1) dari persamaan diferensial berikut

ini dengan menggunakan deret pangkat sampai pangkat ke 8:

1. 1)0(yxx2ydx

dy 2 ====−−−−====−−−−

Jawab :

.)..!

x!

x!

x!

xxx(a

...x!

ax

!a

x!

ax

!a

xa

xaay

+++++++=

++++++++=

65431

65432

2

65432

0

605040302000

karena ...!44x

!3x

!2x

x1!m

xe

32

0m

mx ++++++++++++++++++++======== ∑∑∑∑

∞∞∞∞

==== maka solusi umumnya adalah

2x0 xeay

2++++==== ; dimana a0 konstanta sembarang.

Untuk 1)0(y ==== maka diperoleh solusi khususnya 2x xey2

++++==== sehinnga nilai

1,11517092)1,0(y ====