deret kompleks 150410

8/7/2019 deret kompleks 150410

1/7

DERET KOMPLEKS

Teorema 6.1.4.

Diberikan n n nz x iy!

untuk setiap n N dan iyxz! .

zz nn

!gp

lim jika dan hanya jika xxnn

!gp

lim dan yy nn

!gp

lim

Bukti :

diberikan bilangan 0"I sebarang. Diketahui zz nn

!gp

lim , berarti terdapat

bilangan asli0n sehingga jika 0nn " berlaku

iyxiyxzz nnn !

I! yyixx nn

Dengan demikian untuk sebarang bilangan 0"I di atas terdapat bilangan

asli 0n sehingga jika 0nn " berlaku

Ie yyixxxx nnn dan I

e yyixxyy nnn

Jadi, terbukti bahwa

xxnn

!gp

lim dan yy nn

!gp

lim

Diberikan bilangan 0"I sebarang

.Diketahui xxnn !gp

lim dan yy nn !gp

lim ,

berarti terdapat bilangan asli1n

dan2n

sehingga jika1nn " berlaku

2

I

xxn dan jika 2nn " berlaku

2

I

yyn

Diambil _ a210 , nnmaksn ! , sehingga jika 0nn " berlaku

iyxiyxzz nnn !

III

!

e

!

22

yyxx

yyixx

nn

nn

Jadi, terbukti bahwa zz nn

!gp

lim


2/7

Contoh teorema 6.1.4 :

_ a

!

n

ni

nn

nzbarisannankekonvergePeriksa n

2

25

32

233

2

Penyelesaian :

nnn iyxz !

dimanann

nxn

32

233

2

! dan

n

ny

n2

25 !

2

3

32

23limlim

3

2

!

!

gpgp nn

nx

nn

n

2

5

2

25limlim !

!

gpgp

n

ny

n

n

n

Akibatnya :

2

5

2

3

limlimlim

i

yixzn

nn

nn

n

!

!gpgpgp

Jadi barisan _ anz konvergen ke i532

1

Teorema 6.1.5

Diberikan barisan bilangan kompleks {zn}. Barisan {zn} konvergen jika dan hanya

jika untuk setiap bilangan 0"I sebarang terdapat bilangan asli 0n sehingga jika

0, nn " berlaku

I n zz

Bukti:

Diberikan bilangan 0"I sebarang

.Misa

lkan barisan {zn} konvergen ke z,

berarti terdapat bilangan asli 0n sehingga

Jika 0nn " berlaku2

Izz n dan jika 0nm " berlaku

2

I zz

Jadi terdapat bilangan asli 0n sehingga jika 0, nn " berlaku


3/7

nn zzzzzz !

I

II!

e

22

nmzzzz

Diberikan bilangan 0"I sebarang. Diketahui untuk setiap bilangan 0"I

sebarang terdapat bilangan asli0n sehingga jika 0, nnm " berlaku I n zz .

Akan dibuktikan barisan {zn} konvergen. Namakan n n nz x iy! , diperoleh jika

0, nn "

berlaku

I! nnn yyixxzz

Karena itu, jika 0, nn " berlaku

I

e nmnm zzxx dan I

e nmnm zzyy

Jadi, barisan {xn} dan {yn} merupakan barisan Cauchy dari bilangan real. Karena

bilangan reallengkap, maka terdapat 00 , yx sehingga berlaku

0lim xxnn

!gp

dan0lim yy n

n!

gp

Dengan demikian jika0nn " berlaku

0000 iyxiyxiyxz nnn!

III

!!

!

2200

00

yyxx

yyixx

nn

nn

jadi terbukti bahwa000lim ziyxz n

n!!

gp

ada. Dengan kata lain bahwa barisan

{zn} konvergen.

Contoh teorema 6.1.5 :

Perhatikan barisan

n

i

2

3


4/7

!

....,.8

3,

4

3,

2

3

2

3 iiiin

Dari suku sukunya dideferensikan sebagai

seterusnyadaniSiSi

S ....,2

1

2

1

2

13,2

1

2

13,2

3323221

!

!!

JelaslahnSmerupakan jumlah deret.

g

!

!

132

2

1

2

1

2

1

2

13

2

3

nnn

ii

Deret ini konvergen, karena bagian dalam kurung pada ruas kanan merupakan

deret ukur (geometric) yang suku pertamanya2

1!a dan perbandingannya

2

1!r .

Dengan menggunakan rumus )1( ra , yang memberikan jumlah deret ukur,

kita mendapatkan bahwa deret di atas konvergen ke 3i.

Teorema 6.1.6

Jika zz nn

!gp

lim dan wwnn

!gp

lim , maka

c. zwwznn

n!

gp

lim

d. 0,11

lim {!gp

zzz n

n

e. 0,lim {!gp

ww

z

w

z

n

n

n

Bukti :

c.Diberikan bilangan 0"I sebarang. Diketahui zz nn !gplim danwwn

n!

gp

lim , berarti terdapat bilangan asli 1n dan

2n sehingga jika

1nn " berlaku

12

w

zzn

Idan jika

2nn " berlaku

12

zww

n

I

Diambil _ a210 , nn aksn ! , sehingga jika 0nn " berlaku


5/7

n n n n n n

n n n

n n n

n n n

z w zw z w wz wz zw

z w w w z z

z w w w z z

z w w w z z I

!

!

e

!

Batasi 1 zzn sehingga

zz

zz

zzzz

n

n

nn

e

u

u

1

1

Maka,

12 1 2 1

2 2

n n n n nz w zw z w w w z z

z wz w

I I

I II

e

e

!

Jadi, terbukti bahwa zwwz nnn

!gp

lim

d.Diberikan bilangan 0"I sebarang. Diketahui zz nn !gplim , berarti terdapatbilangan asli

0n

sehingga jika

0nn "

berlaku

2

2

3zzzn

I

Dengan demikian jika0

nn " berlaku

zZn

Znz

zZn .

11 ! =

zZn.

1Znz

= ZnzzZn

1

Batasi zZn 1/2z sehingga

1

2

1 3

2 2

n n

n

n

z z z z

z z z

z z z z

u

u

e !


6/7

Maka

I

I

!

!

2

2 2

3

3

2

111

zz

nzz

nz

n

Jadi, terbukti bahwa 0,11

lim {!gp

zzz

nn

Contoh

_ a

_ a

in

ni

zJadi

iio

n

nio

n

ni

yi

xzAkibatnya

n

n

n

ydan

x

diperolehsehingga

n

n

ydan

xdengan

yi

xz

!

amakan

n

ni

zmaka

ni

nzDikatakan

Jawab

zTentukan

ni

nzDiketahui

nn

n

nnn

nn

nn

nn

nnn

nnn

n

nnnnn

n

n

nn

n

21

2lim

1lim,

22.

1

2lim.lim

1

2lim

1lim.

1lim

1lim

21

1

2lim

1

2lim

1lim00lim

1lim

:

1

210

1111

1

21,

2

1

:

1lim

2

1

!

!

!!

!

!

!

!

!!!

!!!

!

!

!

gpgp

gpgpgp

gpgpgp

gpgpgpgpgp

gp

e. 0,lim {!gp wwz

w

z

n

n

n

n

nn

n

n

nz

ww

z.

1limlim

gpgp

!


7/7

Akan dibuktikan II """wWn

nn#

n11

000

Sama halnya dengan pembuktian bagian b. Jadi, terbukti bahwa

0,11

lim {!gp wwwnn.

Berdasarkan teorema 6.1.6.c, jika 0,11

lim {!gp

wwwn

ndan zz n

n!

gplim

Maka 0,1

.1

limlim {!!!gpgp

w

w

zz

w

zww

zn

nn

n

n

n

DAFTAR PUSTAKA

Paliouras, D., 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur. Jakarta :

Erlangga

Spiegel, Murray R,. 1994. Peubah Kompleks (terjemahan Koko Martono).

Jakarta: Gelora Aksara Pratama

Tim Dosen. 2010. Analisis Kompleks II. Medan : Universitas Negeri Medan

deret kompleks 150410

Documents