deret

1

Modul 1. (Pertemuan 1 s/d 3) Deret Takhingga

1.1 Deret Tidak Terhingga.

Pembicaraan kita sekarang deret pada umumnya. Deret yang banyaknya suku

tak terbatas disebut deret tak hingga, notasi :∑∞

1nU

Masalah pokok pada deret tak hingga adalah konvergensi/divergensinya deret

tersebut.

definisi: Barisan (Un) dikatakan konvergen jika ∞→nitlim Un ada dan terbatas.

definisi: Jumlah n suku yang pertama barisan tak hingga (Un) disebut jumlah

bagian, sehingga: Sn = ∑=1i

iU , sedangkan jumlah suku-suku sisanya diberi

notasi Rn, yaitu: Rn = un+1+un+1+……. atau Rn = ∑∞

+= 1niiU

berarti: u1+u2+……….+un+un-1+un-2+………= Sn + Rn

definisi: Barisan deret: S1, S2, S3,……….., Sn, Sn-1,…….

Dikatakan konvergen jika ∞→nitlim Sn = S ada terbatas.

Karena ada pengertian jumlah bagian, dan kita selalu memperhatikan

pengertian tersebut, maka deret tak hingga kita sebut saja “deret”, karena itu

sejak sekarang kalau kita sebut “deret” maksudnya adalah deret tak hingga,

yaitu: ∑∞

1nU

Definisi : Jika deret konvergen maka 0Ritlim nn=

∞→

Contoh: 1. deret aritmatika

Sn = ( ) ( )[ ]b1na2n21Uan

21

n −+=+

Jika ∞±=→

≠≠

∞→nn

Sitlim0b0a

( )divergenkonvergentidakderet∴

2

2. deret geometri

0adan0r,r1

r1.aSn

n ≠≠−−=

untuk .konvergenderetr1

aSitlim,1r nm→

−=⟨

∞→

.konvergenderetSitlim,1r nn→∞±=⟩

∞→

genderetdivertentutakSitlim,1r nn→==

∞→

1.2 Sifat-sifat deret tak hingga.

1). Jika deret Sn = 0UitlimmakakonvergenU nn1n =

∞←

∞

∑

(awas: sebaliknya tidak berlaku).

2). Jika deret Sn = 0Uitlim,U nn1

n ≠∞→

∞

∑ maka deret divergen (akibat logis dari (1))

3). Jika deret Sn = .konvergenderetnyamakaatasbatasmempunyaidan0U,U n1

n ≥∑∞

Untuk menyelidiki kekonvergensian suatu deret dapat digunakan “uji banding”,

yaitu menbandingkan deret tersebut yang telah diketahui kekonvergensiannya.

Ada tiga macam deret pembanding.

1). Deret geometri : konvergen,1rar1

1n ⟨→∑∞

−

divergen,1r ≥

2). Deret hiperharmonis: ∑∞

⟩→1

k konvergen,1kn1

divergen,1k ≤

dibuktikan dengan kondensasi : 2n.U(2n)

3). Deret bertrand:( )∑

∞

→⟩2

k konvergen1k,nlnn

1

divergen1k →≤

3

1.3 Prinsip/cara penggunaan deret banding.

1). Vn = deret pembanding, Un = deret yang diselidiki

a). jika Vn konvergen

sedangkan .konvergenUmaka,VU0 nnn ⟨⟨

b). jika Vn divergen

sedangkan 0 divergenUmakaUV n,nn ⟨⟨

2). Jika dipenuhi: (i). Un 0Vdan0 n ⟩⟩

(ii). 0LVU

itlimn

n

n≠=

∞→

maka Un dan Vn kedua-duanya konvergen atau kedua-duanya divergen.

Contoh.

1. Selidiki konvergensi deret: 2nn

1Uumumsuku,2nn

12n

12 +−

=+−∑

∞

Jawab: digunakan deret pembanding deret hiperharmonis dengan suku

umum Vn = 2n

1 yang konvergen (k ⟩ 1)

012nn

nitlimVU

itlim 2

2

nn

n

n≠=

+−=

∞→∞→

jadi: (Un) konvergen.

2. Selidiki konvergensi deret dengan suku umum Un = n

nln

Jawab: deret pembanding suku umum Vn = n1 → deret harmonis yang

divergen

Untuk n ≥ 3 dipenuhi n

nlnn10 ⟨⟨

Berarti nn UV0 ⟨⟨

Karena (Vm) divergen maka (Un) divergen

3. Selidiki konvergensi deret: ∑∞

→1

n2 Un1

4

Jawab: dengan membanding deret geometri konvergenyang21r,V

21

1n1n∑

∞

−=→

( ) ( )

.dst

konvergenUmakakonvergenVkarena41

913n

VU021

412n

21

n10maka111n

VU

nn

nn

1n2

nn

↓

⟨→=

⟨⟨⟨→=

⟨⟨=→=

↓↓

−

Kriteria Konvergensi

Untuk menyelidiki konvergensi suatu deret kecuali dengan

membandingkan dengan deret deret lain yang sudah jelas konvergensinya,,

dapat juga dilakukan dengan pengujian (test) terhadap dirinya sendiri yang

disebut “kriteria konvergensi” atau “test konvergensi”. Ada banyak test

konvergensi, diantaranya : tes de Alembert, tes Cauchy, test Catalan, tes

Schlömilch, tes Raoble, tes gauss, tes Integral. Di sini dibicarakan beberapa

saja.

1.4 Tes Rasio (uji banding dari de Alembert)

Tes Rasio ini berlaku untuk deret dengan suku-suku positif., yaitu

membandingkan suku ke (n+1) dengan suku ke-n,

Teorema : Deret (Un), dengan suku & tidak negatif

Jika ∑∞→

+ =n n

1n LU

U , maka :

a. L < 1 → deret konvergen

b. L > 1 → deret divergen

c. L = 1 → didekati dari atas → deret divergen

didekati dari bawah → tak ada keputusan

Contoh :

5

1. Selidiki konvergensi deret : ∑∞

15

n

n

5

Jawab :

+=

+

∞→

+

∞→ 5

n

5

1n

nn

1n

n n

5:

)1n(

5itlim

UU

itlim


1n

2

3

n

Jawab :

×

+=

+∞→

+

∞→ 2

n

1n

2

nn

1n

n n

3

3

)1n(itlim

UU

itlim

konvergenderetjadi132

UU

itlim

31

n1n

31

itlimU

Uitlim

n

1n

n

2

nn

1n

n

→<=

=

+=

+

∞→

∞→

+

∞→


++12 3n2n

1

Jawab : 18n2n

5n21itlim8n2n3n2nitlim

UUitlim 2n2

2

nn

1nn

=

+++

−=++++

=∞→∞→

+

∞→

!keputusanadatakjadi,bawahdarididekati1U

Uitlim

n

1n

n=+

∞→

Selanjutnya diselidiki dengan membandingkan dengan deret

( )

013n2n

nitlimVU

itlim

)12k,konvergen(n1VV

2

2

nn

n

n

2nn

≠=++

=

>==→

∞→∞→

Jadi karena (Vn) konvergen maka (Un) juga konvergen

Catatan : dengan sendirinya dapat juga dengan cara lain.

1.5 Tes Akar (oleh Cauchy)

divergenderetjadi15U

Uitlim

51n

n5itlim

UU

itlim

)1n(

n

5

5itlim

UU

itlim

n

1n

n

5

nn

1n

n

5

5

n

1n

nn

1n

n

→>=

=

+×=

+×=

+

∞→

∞→

+

∞→

+

∞→

+

∞→

6

Teorema : Deret (Un), dengan suku-suku tidak negatif

Jika LUitlim nnn=

∞→, maka :

a. L < 1 → deret konvergen

b. L > 1 → deret divergen



Contoh :

1. Selidiki konvergensi deret : ( )∑∞

π+1

nncos2

Jawab : ∠=π+=π+∞→∞→

)ncos2(itlim)ncos2(itlimn

n n

n

Hasil limitnya berubah-ubah antara 1 dan 3, tidak mungkin

1<∠ , berarti deret divergen.


12

n

n9

Jawab : divergenjadi1919

n9

9itlimn9itlim

n2

nnn

2

n

n→>===

∞→∞→

3. Selidiki konvergensi deret : ∑

−−

⋅2

2

2n31nn

Jawab: :

enkonververgjadi131

31.1

2n31n.nitlim

2n31n.nitlim n 2

nn

n2

n→<==

+−

=

+−

∞→∞→

1. Tes Catalan.


Jika Lnln

U1ln

itlim n

n=

∞→, maka :

a. L > 1 → deret konvergen

7

b. L < 1 → deret divergen



Contoh :

1. Selidiki lonvergensi daerah : ∑ +

+2n

n

n)1n(

Jawab : nln

1lnitlimnln

U1ln

itlimn

n

n⋅=

∞→∞→

konvergenderetnln

Uln

itlimjadi

elnnitlimln

nitlimln

nlnU

lnitlim

lnn

lnitlim

nlnU

lnitlim

n

n

n

n

nn

n

n

n

n

n

→>=

=∞

+=

+−

+=

++=

∞→

∞

∞→

∞→

∞→

∞→∞→

12

1

22111

2

1

11

2

1

2. Selidiki konvergensi deret : n

2

2n31n3n∑

+−

⋅

Jawab : nln

1n32n3.nln

itlimnln

U1ln

itlim

n2

n

n

n

−+

=

−

∞→∞→

+−

+=

+

⋅=

∞→∞→

∞→∞→

nlnn

ln

nlnnlnitlim

nlnU

lnitlim

nln

nn.nln

lnitlimnln

Uln

itlim

n

n

n

n

n

n

n

n

111

1

11

2

2

8

nln

1n331ln

itlim2nln

U1ln

itlim

nln1n3

31lnnln.2itlim

nlnU1ln

itlim

n

n

n

n

n

n

n

n

−+

+−=

−++−

=

∞→∞→

∞→∞→

.divergenderet12nln

U1ln

itlimjadi

2nlnitlim

1n331itlimln

2nln

U1ln

itlim

n

n

n

nn

n

→<−=

−=

++

+−=

∞→

∞→

∞→

∞→

1.6 Tes Schlömilch


Jika LUU

itlim1n

n

n=

+∞→, maka :



Catatan : Tes Schlömilch ini digunakan hanya jika tes de Alembert gagal,

yaitu bila 1UU

itlim1n

n

n=

+∞→ dan pendekatan dari bawah.

Contoh :

1. Selidiki konvergensi deret : ∑ +− 3n2n1

2

Jawab : dengan de Alembert gagal, karena 1UU

itlim1n

n

n=

+∞→didekati dari

bawah dengan Schlömilch :

konvergenderet12UU

ln.nitlimjadi

23n2n

1n21itlimlnUU

ln.nitlim

3n2n2nlnitlim

UU

ln.nitlim

3n2n2nln.nitlim

UU

ln.nitlim

1n

n

n

n

2n1n

n

n

n

2

2

n1n

n

n

2

2

n1n

n

n

→>=

=

+−−

+=

+−+

=

+−+

=

+∞→

∞→+∞→

∞→+∞→

∞→+∞→

9

2. Selidiki konvergensi deret dengan suku umum :

)1n2(.....753)2n2(.....642U n −⋅⋅⋅⋅

−⋅⋅⋅⋅=

Jawab : )1n2(.....753

)n2(.....642U n −⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=

Dengan de Alembert : 11n2

n2itlimU

Uitlim

nn

1n

n=

+=

∞→

+

∞→

Didekati dari bawah → gagal.

dengan Schlömilch : 1n

n

n UU

ln.nitlim+∞→

21eln

n211ln.itlimln

n211ln.itlim

n21n2ln.nitlim

21

n

n

n

n

n

==

+=

+=

+=

∞→

∞→

∞→

jadi 121

UU

ln.nitlim1n

n

n<=

+∞→→ deret divergen.

1.7 Tes Raobe


Jika LUn

U1.nitlim 1n

n=

− +

∞→, maka :



c. L = 0 → didekati dari bawah → deret divergen

Contoh :

1. Selidiki konvergensi deret : ∑ − n3n1

2

Jawab : 2nn

1)1n(3)1n(

1U 221n −−=

+−+=+

10

konvergenderet12U

U1nitlimjadi

22nn

2n2itlimU

U1nitlim

2nnn3n2nnnitlim

UU

1nitlim

2nnn3n1nitlim

UU

1nitlim

2nnn3n

UU

n

1n

n

2

2

nn

1n

n

2

22

nn

1n

n

2

2

nn

1n

n

2

2

n

1n

→>=

−

=−−

−=

−

−−+−−−

=

−

−−−

−=

−

−−−

=

+

∞→

∞→

+

∞→

∞→

+

∞→

∞→

+

∞→

+

2. Selidiki konvergensi deret : ∑ + 1n2n2

Jawab: n3n2

1n3n2n2

1n23n22n2

UU

,3n22n2U 2

2

n

1n1n +

++=

+⋅

++

=++

= ++

n3n21.nitlim

UnU

1.nitlim

n3n21n3n21.nitlim

UnU

1.nitlim

2n

1n

n

2

2

n

1n

n

+−

=

−

+++

−=

−

∞→

+

∞→

∞→

+

∞→

divergenderet,bawahdarididekati0Un

U1nitlim

03n2

1itlimUn

U1nitlim

1n

n

n

1n

n

→=

−

=+

−=

−

+

∞→

∞→

+

∞→

1.8 Tes Integral

Pengertian singkat. Prinsip teori, membandingkan deret varian dengan

deret fungsi. Integral tertentu merupakan limit dari penderetan fungsi.

1ii1iQ

iP xxxxxxx

++

<<

==

Luas 1 pias : LPQMN < LPQMT < LPQRT

f(xi).∆x < f( x ).∆x < f(xiH). ∆x

µI < f( x ).∆x < vI

luas semua pias (a<x<b) : ∑∑∑ <∆<µn

1i

n

1

n

1i vx).x(f a b

RTN M

P Q

f(x)

x∆

11

∑∫∑

∑∑ ∫∞∞

∞

∞→

∞

∞→

<<µ

<<µ

→∆∞→

1n

b

a1n

1i

n1

b

ai

n

vdx)x(f

vitlimdx)x(fitlim:0x

n

dari kutub terakhir di atas, terdapat

Teorema : jika deret ,Nxuntuk)x(fUdan0U,U n1

nn ><≥∑∞ f(x) kontinu

monoton turun, maka deret ∑∞

1nU konvergen apabila

∫∞

Ndx)x(f konvergen.

Teorema : jika deret ∑∞

1nv , vn ≥ 0 dan vn > f(x) untuk x > N, f(x)

kontinu monoton turun , maka deret ∑∞

1nv divergen apabila

∫∞

Ndx)x(f divergen.

Contoh :


⋅1 nn

1

Jawab : diambil xln.x

1U n = , untuk x >1 dan Un ≥ 0

konvergendxxx

1berarti

21

x2dxxdxxx

1

1

21

1

3

1

∫

∫∫∞

−∞−

∞=

∞−==

jadi deret ∑∞

⋅1 nn

1 → konvergen.


5 nln.n1

Jawab : diambil fungsi xln.x

1 , sehingga Un = xln.x

1 untuk x > 5 dan

Un ≥ 0

.divergendxxln.x

1berarti

divergen5

xln.ln)x(lndxln

1dx

xln.x1

5

55

→

→∞=∞

==

∫

∫∫∞

∞∞

deret

Documents