Dalil Stewart

Dalil ini adalah salah satu teori yang sangat berguna dalam bidang matematika

  CD adalah garis sembarang yang membagi AB menjadi AD dan BD. Panjang CD dapat dicari dengan menggunakan rumus Stewart. yaitu

(CD2)(AB) = (BC2)(AD) + (AC2)(BD) – (AD)(BD)(AB)

Bukti untuk rumus atau dalil stewart :  Kita tambahkan garis tinggi CE untuk segitiga ACB.  Perhatikan segitiga BDC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga tumpul. Berlaku :

BC2 = CD2 + BD2 + (2)(BD)(DE)Perhatikan segitiga ADC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga lancip. Berlaku :AC2 = CD2 + AD2 – (2)(AD)(DE)Dari persamaan segitiga BDC kita kalikan dengan AD.Dari persamaan segitiga ADC kita kalikan dengan BD(AD)(BC2) = (AD)(CD2) + (AD)(BD2) + (2)(AD)(BD)(DE)(BD)(AC2) = (BD)(CD2) + (BD)(AD2) – (2)(AD)(BD)(DE)Kita lakukan penjumlahan pada kedua bentuk di atas. Diperoleh

(AD)(BC2) + (BD)(AC2) = (AD)(CD2) + (BD)(CD2) + (BD)(AD2) + (AD)(BD2)Kemudian disederhanakan:(AD)(BC2) + (BD)(AC2)= (AD + BD)(CD2) + (AD + BD)(AD)(BD)(AD)(BC2) + (BD)(AC2) = (AB)(CD2) + (AB)(AD)(BD)(CD2)(AB) = (AD)(BC2)+ (BD)(AC2) – (AB)(AD)(BD)Rumus Pembuktian sama dengan rumus awal. Maka Dalil Stewart terbukti benar.  Dalil stewart ini akan mudah dihafal jika kita memperhatikan segitiganya. Perhatikan bahwa kuadrat dari sisi yang dicari dikalikan sisi yang menjadi alas segitiga sama dengan kuadrat dari sisi miring kanan dikalikan dengan bagian alas di depan sisi miring tersebut kemudian ditambah kuadrat dari sisi miring kiri dikalikan bagian alas di depan sisi miring tersebut kemudian dikurangi dengan perkalian dari bagian alas pertama, bagian alas kedua, dan penjumlahannya (bagian alas utuh).

 

CD adalah garis sebarang yang membagi AB menjadi AD dan BD. Panjang CD

dapat dicari dengan menggunakan rumus Stewart. yaitu

 

Rumus stewart ini penting untuk dihafal. Karena akan sangat memudahkan

kita untuk mencari panjang garis yang membagi di dalam sebuah segitiga.

Untuk mencari garis tinggi, garis bagi maupun garis berat, bisa

menggunakan rumus stewart tersebut.

 

Bukti untuk rumus atau dalil stewart :

 

Proyeksi CD pada AB adalah DE.

 

Perhatikan segitiga BDC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga tumpul.

Berlaku :

   …1)

 

Perhatika segitiga ADC. Menurut dalil proyeksi pada segitiga lancip. Berlaku :

   …2)

 

Dari persamaan 1)    dan  2)    kita peroleh

   …1)

   …2)

 

Persamaan 1)    kita kalikan AD.  Dan persamaan 2)    kita kalikan BD

 

Kita lakukan penjumlahan pada kedua bentuk di atas. Diperoleh

 

Lakukan penyederhanaan. Dan diperoleh bentuk

 

Terbukti.

 

Dalil stewart ini akan mudah dihafal jika kita memperhatikan segitiganya.

Perhatikan bahwa sisi yang dicari kuadrat dikalikan sisi yang sebagai alas

sama dengan sisi miring kanan kuadrat dikalikan alas di depannya kemudian

ditambah sisi miring kiri kuadrat dikalikan alas di depannya kemudian

dikurangi dengan perkalian panjang-panjang bagian pada alas.

 

Dalil steward ini akan sangat berguna. Jadi, disarankan untuk dihafal.

Teorema Stewart menyatakan hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga

dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi

di hadapannya (atau disebutcevian). Misalkan a, b, dan c adalah panjang

sisi-sisi segitiga serta d adalah panjang cevian yang memotong sisi a.

Apabila cevian  tersebut membagi a menjadi dua ruas garis yang

panjangnya m dan n, maka teorema Stewart menyatakan bahwa:

b2n + c2m = a(d2 + mn)

Pembuktian teorema ini dapat dijelaskan dengan menggunakan dua

jalan, yang pertama menggunakan aturan cosinus dan yang kedua

menggunakan teorema Pythagoras. Pada pembahasan ini hanya akan

dibuktikan dengan menggunakan aturan cosinus.

Pembuktian dengan Menggunakan Aturan Cosinus

Teorema Stewart dapat dibuktikan dengan menggunakan aturan cosinus.

Misalkan β adalah sudut antara d dan n. Sedangkan α merupakan

pelurus dari β, sehingga cos α = cos (180 – β) = –cos β.

Sesuai dengan aturan cosinus pada sudut α dan β, didapatkan:

c2 = d2 + n2 – 2dn ∙ cos β

b2 = d2 + m2 – 2dm ∙ cos α = d2 + m2 + 2dm ∙ cos β

Kalikan persamaan pertama dengan m, dan persamaan kedua dengan n,

kemudian jumlahkan kedua persamaan tersebut untuk mengeliminasi cos

β, diperoleh persamaan berikut:

c2m + b2n = d2m + d2n + mn2 +m2n = mn2 + m2n + (m + n)d2,

Dengan menggunakan teknik penyederhanaan aljabar, diperoleh:

mn2 + m2n + (m + n)d2 = mn(n + m) + (m + n)d2 = (m + n)(mn + d2)

Karena m + n = a, maka

(m + n)(mn + d2) = a(mn + d2)

Jadi, c2m + b2n = a(mn + d2) atau b2n + c2m = a(d2 + mn). Terbukti.

Semoga bermanfaat, yos3prens.