biokalkulus p1.pdf

7/23/2019 Biokalkulus P1.pdf

1/38

BiokalkulusPertemuan I, 28 Agustus 2014

Program Studi Bioteknologi dan Neurosains


2/38

Ikhtisar

Silabus

Persamaan selisih (difference equations) Proses rekursif memunculkan persamaan selisih

Memecahkan persamaan selisih linier orde satu dan dua

Pemodelan biologi menggunakan persamaan selisih

Memodelkan pertumbuhan bakteri tersuspensi

Memodelkan penetrasi cahaya di kedalaman laut

Memodelkan pertumbuhan kapang

Memodelkan tingkat polusi di danau


3/38

Silabus


4/38

Silabus

Pengajar: Fransiskus X. Ivan

Pengalaman mengajar:

Guru Matematika & Tenis SMU Kusuma Bangsa, Palembang

Asisten Dosen Pengantar Matematika, Kalkulus, Aljabar Linier, Statistika

Matematika, Institut Pertanian Bogor Dosen Biostatistika dan Bioinformatika, Fakultas Teknobiologi, Unika Atma Jaya

Jakarta

Asisten dosen Statistical Learning and Data Mining, Computation and SystemsBiology, Singapore-MIT Alliance

Visi & Misi:Menuju Indonesia Jaya dengan ahli-ahli biologi yang mumpunidari sisi kemampuan kuantitatif dan komputasional, yang mana untuk ituterlibat dalam upaya: Menghasilkan lulusan Prodi Biologi Universitas Surya yang berorientasi data

dan model

Menggeser paradigma dalam pembelajaran sains biologi di Indonesia

Mengembangkan penelitian biologi maupun multidisiplin yang berintikansains biologi


5/38

Silabus

Jadual per minggu

Kuliah 150 menit, responsi 2 jam (with some R labs)

Manfaat kuliah:

Memperoleh pemahaman konsep dasar kalkulus Mengembangkan cara berpikir yang berorientasi model matematis

Meningkatkan kemampuan mengenal pola (pattern recognition) dan

memecahkan masalah (problem solving)

Meningkatkan kemampuan personal (kepercayaan diri)

Mengembangkan keterampilan menggunakan R software

Referensi

Calculus for the life sciences: a modeling approach, vol. I, Cornette &

Ackerman (Iowa State University, 2011).

Bio Calculus, Prahmana (Surya University, 2012)


6/38

Silabus

Topik kuliah

Persamaan selisih

Fungsi

Limit

Turunan

Integral Persamaan differensial

Originality & Attitude

No cheating!! I prefer to hear you say Ive done my best but I still havent gotthe idea! --- bcozat the end of the day, you just want to be yourself (being

original)! Ask if you dont understand! Weve got 6 assistants for you

Penilaian:

Proyek, Quiz & Tugas 30%

UTS 30%

UAS 40%

First half

Second half


7/38

Persamaan selisih


8/38

Rekursi dan persamaan selisih

Triangular dot pattern

Square dot pattern

1 3 6 10 15

u1 u2 u3 u4 u5 ... un

un= un 1 + n

1 4 9

u1 u2 u3 ... un

un= un 1 + 2n 1


9/38


Cell replication

Rabbit problem

1 2 4

u1 u2 u3 ... un

un= 2 un 1

1 1 2 3 5

f1 f2 f3 f4 f5 ... un

un= un 1 + un 2


10/38


Investment

Loans

I0 I1 I2 ... In

In= In 1 * (1 + 10%)

$500 $500 *(1+k)c [$500 *(1+k)c] * (1+k)c

u0 u1 u2 ... un

un= (1+k) * un 1 c

$500 $500*(1+10%) = $550 $550*(1+10%) = $605

un : jumlah hutang setelah n kali pembayaran angsuran

k : tingkat bunga

c : besar angsuran

angsuran

bungaSisa hutang

Waktu


11/38


Demographic changes (case 1)

Pn: ukuran populasi setelah n unit waktu

b : tingkat kelahiran

d : tingkat kematianb * P0

P0

P1

P2

b * P1

b * P2

d * P0

(1d) * P0

d * P1

(1d) * P1

d * P2

(1d) * P2

Pn= b * Pn 1+ (1 d) * Pn 1


12/38

Rekursi dan

persamaan selisih


Pn: ukuran populasi setelah n unit waktu

b : tingkat kelahiran

d : tingkat kematian

I : jumlah imigrasiE : jumlah emigrasi

b * P0

(1d) * P0+ (IE)

Pn= b * Pn 1+ (1 d) * Pn 1+ (I E)

P0d * P0

E I

P1d * P1

E I

b * P1

(1d) * P1+ (IE)

P2d * P2

E I

b * P2(1d) * P2

+ (IE)


13/38

Rekursi dan

persamaan selisih


P12: ukuran populasi usia 12 tahunsetelah n unit waktu

P>12: ukuran populasi usia > 12 tahun

setelah n unit waktu

b : tingkat kelahiran oleh populasi usia

> 12 tahun

d12: tingkat kematian usia 12 tahund>12: tingkat kematian usia > 12 tahun

b * P>12

P 12(t)

P>12(t) d>12* P>12

d12* P12

P 12(t+1)

P>12(t+1)

(11/12) * (1d12) * P12

(1/12) * (1d12) * P12

(1d>12) * P>12

tPdtPdtP

tPbtPdtP

1212121212

12121212

1112

11

112

111

tt APP

1

Bentuk matriks:


14/38

Menyelesaikan persamaan selisih

Persamaan selisih orde satu Penyelesaian umum untuk f(n) = c

metode iteratif, f(n) = c

Jika f(n) = 0, disebut persamaan linier homogen

Jika f(n) = konstan, disebut persamaan linier tak homogen

Lainnya, disebut persamaan non-linier


15/38

Menyelesaikan persamaan selisih

Persamaan selisih linier homogen orde dua

Penyelesaian umum:

metode tebak

Case 1 Case 2


16/38

Pemodelan biologi menggunakan

persamaan selisih


17/38

Model Data

temperatur

Persentase tanaman dengan daun bersisi mulus

Contoh 1:Hubungan temperatur

dan persentase tanaman

dengan sisi daun mulus

Contoh 2:

Hubungan jumlah derik

jangkerik per menitdengan suhu


18/38

Model Matematika vs Model Data

Model data

Mencari hubungan antara variabel meskipun tidak ada mekanisme sebab-akibatyang melandasinya

Model matematika:

deskripsi (pernyataan) verbal ringkas mengenai interaksi dan gayayang

mengakibatkan perubahan menurut waktu atau posisidalam suatu proses biologi.

Langkah-langkah membuat model matematika:

Asumsi Model

Matematika

Persamaan

Dinamik

Solusi

Persamaan

Dinamik

Komparasi

Prediksi Model

dan Data

Dinamika

biologi

Observasi

Eksperimen

translasi pernyataan verbal ke formula matematikaStep 1 Step 2

Step 3Step 4


19/38

(1) Memodelkan PertumbuhanBakteri Tersuspensi

- A growth model -


20/38

(1) Memodelkan Pertumbuhan Bakteri

Tersuspensi

Pentingnya pengukuran (measurements)

Spektrofotometer atau

metode hitung koloni?

Data mungkin sudah dimiliki di awal,

atau data dikumpulkan belakangan

absorbansi


21/38


Tersuspensi

Eksplorasi data (jika data sudah ada di awal)

Grafik terpenting

Peningkatan densitas bakteri pada waktu t + 1 berbanding

lurus dengan densitas bakteri pada waktu t, atau

Fraksi sel yang membelah diri per unit waktu konstan, atau

Laju relatif pertumbuhan bakteri konstan


22/38


Tersuspensi

Step 1: Asumsi model

Nutrisi melimpah

Populasi bakteri bertambah karena pembelahan diri

Waktu untuk membelah diri sama untuk setiap sel

* Laju relatif pertumbuhan bakteri konstan

Step 2: Persamaan dinamik

Notasi

t = waktu (1 unit = 16 menit)

B(t) = densitas bakteri saat waktu t

K = laju relatif pertumbuhan bakteri

* Persamaan

B(t+1)B(t) = k B(t) B(t+1)B(t) = (2/3) B(t)

* Berdasarkan grafik hubungan B(t+1)B(t) dan B(t)

Estimasi k: metode kuadrat terkecil, etc.


23/38


Tersuspensi

Step 3: Solusi persamaan dinamik

Solusi iteratif: B(t+1) = (5/3) B(t) B(0) = 0.022

B(1) = (5/3) B(0) = (5/3) 0.022 = 0.037

B(2) = (5/3) B(1) = (5/3) 0.037 = 0.061

dst.

Solusi analitik: B(t) = B(0) (5/3)t= 0.022 (5/3)t B(0) = 0.022 (5/3)0= 0.022

B(1) = 0.022 (5/3)1= 0.037 B(2) = 0.022 (5/3)2= 0.061

dst.

Step 4: Komparasi prediksi model dan data

main interest

Densitas populasi

waktu

original+ prediksi


24/38


Tersuspensi

Validitas model

Valid jika telah digunakan oleh banyak laboratorium dan pemeriksaan kritis terhadap gayadan interaksi yang menghasilkan persamaan untuk model.

Selalu ada pilihan persamaan lain untuk model (dalam kasus ini, B(t) = 0.0236 + 0.000186 t+ 0.00893 t2), namun kita harus memilih persamaan yang diturunkan melalui pemahamanterhadap proses biologi yang terjadi.

Seiring aktifitas pemodelan proses biologi, berbagai penyesuaian untuk asumsipemodelan sangat mungkin dirubah atau ditambahkan:

Menggunakan nilai laju pertumbuhan bakteri yang berbeda (estimasi dilakukan denganmetode lain)

Laju relatif pertumbuhan bakteri tidak konstan, misalnya k = 0.2 pada 32 menit pertama dank = 0.1 pada 32 menit berikutnya

Laju pertumbuhan bakteri bergantung pada umur bakteri

Pertumbuhan bakteri tersinkronisasi sehingga jumlah bakteri hanya bertambah setelahperiode waktu tertentu (misalnya, ada bakteri yang membelah hanya saat senja jikalakondisi dengan dan tanpa cahaya diberikan selama 12 jam secara bergantian.


25/38

(2) Memodelkan Penetrasi Cahaya diKedalaman Laut

- A decay model -


26/38

(2) Memodelkan Penetrasi Cahaya di

Kedalaman Laut

Cahaya dalam air di bawah ikan hiu

lebih sedikit daripada di atas air

Tiada data di awal pemodelan


Partikel suspensi di air menyerap cahayasehingga mengurangi cahaya yang sampai ditempat yang lebih dalam

Partikel suspensi menyebar merata

Laut terdiri dari lapisan-lapisan air yangmenyerap cahaya dengan fraksi sama besarjumlah cahaya yang diserap di lapisan ataslebih besar dibandingkan lapisan bawah


27/38


Kedalaman Laut


Notasi

d = kedalaman laut

I(d) = intensitas cahaya di kedalaman d

f = fraksi cahaya yang diserap setiap lapisan air laut Persamaan

I(d+1)I(d) =f I(d)


Solusi iteratif: I(d+1) = F I(d) , F = 1f

Solusi analitif: I(d) = I(0) Fd


28/38


Kedalaman Laut

Step 4: Komparasi prediksi model dan data

Estimasi nilai f,

say f = 0.18 F = 0.082

I(d) = I(0) 0.82dVery good!

1 unit depth = 2.67 cm

original+ prediksi


29/38

(3) Memodelkan PertumbuhanKapang

- A quadratic model -


30/38

(3) Memodelkan Pertumbuhan Kapang

Day 0

Day 1

Day 2

Day 3

Day 4

Day 5

Day 6

Day 7

Day 8

Day 9

Waktu

(hari)

Area

(mm2)

0 4

1 8

2 25

3 50

4 78

5 126

6 180

7 248

8 326

9 420

Kiri: Gambar koloni kapang yang diambil selama 10 hari berturut-turut

setiap pagi. Interval grid 2 mm.


31/38



Koloni kapang berbentuk lingkaran.

Pertumbuhan kapang terkendala oleh keliling koloni kapang, maka kitaasumsikan pertambahan luas area koloni per hari proposional dengankeliling koloni pada hari sebelumnya.


Notasi

t = waktu (1 unit = 1 hari)

A(t) = area koloni saat t

C(t) = keliling koloni

Persamaan

A(t+1)A(t) = k C(t) A(t+1)A(t) = 2k A(t)

sulit mencari penyelesaian analitik

(step 3 sulit diselesaikan


32/38


Kembali ke Step 1

Reformulasi asumsi model


Radius koloni kapang setiap harinya bertambah secara konstan


Notasi

t = waktu (1 unit = 1 hari)

A(t) = area koloni saat t r(t) = radius koloni

Persamaan

r(t+1)r(t) = c (A(t+1)/).5(A(t)/).5= c


33/38


Step 3: Solusi Persamaan Dinamik

Solusi iteratif: r(t+1)r(t) = c A(t+1) = (r(t) + c)2

Solusi analitik: A(t) = ((A(0)/ ).5+ tc)2

Step 4: Komparasi prediksi model dan dataOriginal Prediksi

t Area Jari-jari A(t)

0 41.13 4.01

1 81.60 16.47

2 252.82 37.37

3 503.99 66.73

4 784.98 104.54

5 1266.33 150.80

6 1807.57 205.51

7 2488.89 268.67

8 32610.19 340.28

9 42011.57 420.34

c = (r(9)r(0))/9 = (11.571.13)/9 = 1.16

A(t) = ((4/3.14).5+ 1.16t)2= (1.13 + 1.16t)2

original

+ prediksi


34/38

(4) Memodelkan Tingkat Polusi diDanau

- A model with movement toward equilibrium -


35/38

(4) Memodelkan Tingkat Polusi di

Danau


Jumlah air yang mengalirdi sebuah danau konstan(jumlah air masuk danau= jumlah air keluar danau)

Limbah dari pabrik kimiamengalir secara konstanke sebuah danau

Limbah menyebar meratadi danau

AIR MASUK

AIR KELUAR


36/38

(4) Memodelkan Tingkat Polusi di Danau


Notasi

V = volume danau

F = aliran air (jumlah air masuk dan keluar) danau setiap hari

L = jumlah limbah masuk setiap hari

t = waktu

W(t) = jumlah limbah di danau saat t

C(t) = konsentrasi limbah di danau

Persamaan

W(t+1)W(t) = L - F C(t) , C(t) = W(t)/V

W(t+1)W(t) = LF W(t)/V


37/38

(4) Memodelkan Tingkat Polusi di Danau


Solusi iteratif: W(t+1) = L + (1F/V) W(t)

Solusi analitik: W(t) = LV/F + (W(0)LV/F) (1F/V)t

Step 4: Komparasi prediksi model dan data Tidak ada data lapangan

Hanya asumsi bahwa:

W(0) = 0

V = 2 107m3

F = 104m3/hari

L = 100 kg/hari

Persamaan dinamik:

W(t) = 200000200000 0.9995t

jumlah

limbah

(kg)

waktu (hari)

Equilibrium = 200000


38/38

RINGKASAN

Model matematika v.s. Model data

Ragam persamaan untuk model matematika: Model eksponensial:

P(t+1)P(t) = r P(t), P(0) = P0 P(t) = P0(1 + r)t

Model kuadratik:P(t) = at2+ bt + c

Model menuju ekuilibrium:

P(t+1)P(t) = r P(t) + b, P(0) = P0 P(t) =b/r + (P0+ b/r) (1 + r)t

Fitur model eksponensial:

waktu penggandaan(doubling time)model pertumbuhan (growth model), r >0 waktu paruh(half-life time)model peluruhan (decay model), r < 0

Fitur model menuju ekuilibrium: Ada input konstan ke sistem

Kondisi ekuilibrium tercapai saat input = output

biokalkulus p1.pdf

Documents