3/16/20111M A T R I K SD I I I T e k n i k I n f o r m a t i k aF M I P A U N SPRE- TEST: SILAHKANDIKERJAKANSOAL- SOALBERIKUT Waktu:20menit Soal:Soalpr etestmatr ik2011.docx3/16/20112SILABI1. MATRIKS Penger tianMatr iksdanVektor KesamaanMatr iks PengoperasianMatr iksdanVektor Bentuk- bentukkhasmatr iks PenyelesaianSPLdgnmatr ik2. VEKTORLEBIHDETAIL:\ SILABUSMATRIKS.doc3Matr iks Matriks : kumpulanbilanganyangdisajikansecara teratur dalambar isdankolomyang membentuksuatuper segipanjang,ser ta ter muatdiantarasepasangtandakur ung.43/16/20113Atau5|||||.|

\|=mn m mnna a aa a aa a aA2 12 22 211 12 11

=mn m mnna a aa a aa a aA2 12 22 211 12 11Ordo : Ukuran matriksBanyaknya baris dan koloma11a12a13a1n barisA m x n= a21a22a23a2nam1am2am3amnkolomElemen :a11a12a13 .. a1nam amn3/16/20114BarisKolomUnsur MatriksMatriks berukuran m x n atau berordo m x nJika ( m = n ) dinamakan Matriks bujursangkar (square Matrix)7

=mn m mnna a aa a aa a aA2 12 22 211 12 11Vektor Vektor : bentukMatri kskhususyanghanya mempunyaisatubari satausatukol om.vektorbari s(berbari stunggal )danvektor kol om (ber kol omtunggal ) Contoh: | || |

=

===975

263kolom Vektor 7 3 65 4 2 baris vektor d c b-a 83/16/20115Kesamaan Matr iks DuaMa t r iks d ika t a ka n sa maa p a b ilaked ua nyab eror d o sa mad a n semuaunsurya ngt er ka nd ungd i d a la mnyasa ma(aij= bij,unt uk set ia pid a n j)cont oh : 9C B C, AB, Amaka4 2 85 3 24 2 85 3 24 2 85 3 2= = =

=

-=

-=C B A Ma t r iks d a p a td ika t a ka n seb a ga i kump ula n vekt orAmx n a d a la h Ma t r iks Aya ngmer up a ka n kump ula n d a r i m b ua h vekt orb a r is d a n n b ua h vekt orkolom.| || | 4 2 845,23,82dan 5 3 - 2vektor- vektor dari kumpulan merupakanyang matrixadalah 4 2 85 3 2

= A103/16/20116Bentuk- bentuk Khas Matr iks1. Matri ksSatuan/ Identi tas: Matri ksbuj ursangkar yang semuaunsurpadadi agonal utamanya adal ahangka1 sedangkanunsurl ai nnyanol . Contoh

=

=1 0 00 1 00 0 1I1 00 1I3 2112. Matriks baris / Vektor barisA = (203 1)B = ( 2 1 3)3. Matriks kolom / Vektor kolomP =2 Q=030123/16/201174. Matriks bujur sangkarBaris = kolom, (2 x 2 ; 3 x 3 ; dan seterusnya)a11a12a13 a1na21a22a23 a2nAnxn=a31a32a33 a3nan1an2an3 ann 5. Matr iks Diagonal Matri ksdi agonal adal ahMatri ksbuj ursangkar yang semuaunsur nyanolkecual i pada di agonal utama. Contoh:14

1 00 24 0 00 3 00 0 35 00 3Matriks Diagonal3/16/201186. Mat riksSkalarMat riksdiagonaldenganelemen diagonalut amasemuasama Contoh:15

2 00 23 0 00 3 00 0 35 00 5Matriks Skalar7. Mat riksI dent it asMat riksskalardenganelemenelemen diagonalut ama=1 Contoh:Matriks Identitas16

1 00 11 0 00 1 00 0 11 00 13/16/201198. Matr iks Nol Matri ksnol: Matri ksyangsemua unsur nyaNOL. 0 Contoh:

=

=0 0 00 0 00 0 00 002x3 2 2 x17Sifat Matriks Identitas dan Matriks NolJika A = matriks berukuran n x nI . A = A . I = AA + 0 = 0 + A = AA . 0 = 0 . A = 09. Matr iks Ubahan (transpose) Matr iksubahanialahMatr iksyangmer upakan hasilpengubahanMatr ikslainyangsudahada sebelumnya,dimanaunsur- unsur bar isnya menjadiunsur- unsur kolomdansebaliknya. Amx n= [ai j]Matr iksubahannyaAnx m= [aj i]

=

=4 31 2'4 13 2A A(A) = A183/16/20111010. Matr iks Simetr ik Matri kssi metri xadal ahMatri ksbuj ursangkar yang samadenganubahannya. A =A

=

=7 33 1'7 33 1A AAA = AA = A219Matri ks si metri k mi ri ng (skew sy mmetri c) Matri k i nimer upakanMatri ksbuj ursangka ryang sama dengannegati f ubahannya. A =-A atauA =-A

=

=

=0 2 42 0 54 5 0

0 2 42 0 54 5 0

0 2 42 0 54 5 0-A' A' A203/16/2011112111.Matriks IdempotentMatr iks bujur sang kar dimana ber la ku A2= A a ta u An= A untuk suatu n, bila n = 2, 3, 4, .Contoh:A A A AA=

=

= =

=3 2 14 3 14 2 23 2 14 3 14 2 23 2 14 3 14 2 2.3 2 14 3 14 2 222212. Matriks NilpotentMatri ksbuj ursangkardi manaber l akuA3=0 atauAn=0 untuksuatun,bi l a n=2, 3, 4, ..Contoh:Matri ksni l potentdari ordo3x300 0 00 0 00 0 03 1 26 2 53 1 13 1 26 2 53 1 13 1 26 2 53 1 13 1 26 2 53 1 13=

=

= =

=A A A AA3/16/2011122312a.Matriks Segitiga (Triangular Matrix)Matriks segitigaatas:Ma tr iks b ujur sa ng ka r, a p ab ila set iap unsur yang t er let a k dib a wa h d ia g ona l ut a ma nya sa ma d enga n nolCont oh:

=3323 221312 113 3a 00aa0a a a xA24Matriks Segitiga BawahMatri ks b uj ur sa ng ka r di mana seti ap unsur nya ya ngter l etak di atas di agonal utamanya sama dengan nolContoh:Bx 3 3320=b0bb 0b b b11 21 223133

3/16/201113Matr iks Balikan(inver se Matr iks)Matr iksbalikan:Matr iksyangapabiladikalikan dengansuatuMatr iksbujur sangkar menghasilkan sebuahmatr ikidentitas.A balikannyaadalahA-1 AA-1 = IA-1= adj.A | A|25Bentuk khas yang lain Matr iksor togonal:Matr iksyangapabila dikalikandenganMatr iksubahannya menghasilkanMatr iksidentitas(AA= I) Matr ikssingular :Matr iksbujur sangkar yang deter minannyasamadengannol.Matr ik semacaminitidakmemilikiinver se Matr iksnon- singular :Matr iksbujusangkaryangdeter minannyatidaknol,memiliki balikan(inver se)263/16/201114Pengoperasian Matr iks danVektor Penjumla ha n d a n Peng ur a nga nDuab ua h Ma t r iks ha nyad a p a td ijumla hka n d a n d ikur a ng ka n a p a b ilaked ua nyab eror d o sa ma .A + B= C d ima na cij= aij+ bijat auA mx n + Bmx n= Cmx n Ber la ku ka id a h Komut a t if:A+ B= B+ AA+ 0 = AA+ (- A) = 0 Ka id a h Asosia t if: A+ (B+ C) = (A + B)+ C=A+B + C27Cont oh Penj umlahan Mat r iksA = 13B = 0 -16224A + B= B + AA + B = 1 30 11262+ 24 86A+ ( B+ C)= ( A + B)+ CB + C = 01 + -12=-112 4 50 7 4A + ( B + C)= 13 + -1 1 0 462 7 4 13 6(A + B) + C= 18 +-12 = 0 486 5 013 63/16/201115A+O =O +A =AA = 1 3 +00 = 136 20062A+ D =O 13 + D =0 062 0 013+ -1 -3 =0062-6-2 00D =-1-3= - 13-6-2 62Per kalian Matr iksdenganSkalar A =Bdi mana bi j=ai j Contoh:

=

= = ==

=18 1512 66 . 3 5 . 34 . 3 2 . 33 maka36 54 2B A AAKaidah Komutatif : A = A Kaidah Distributif : (A+B) = A + B 303/16/20111631SoalLati hanTent uka n p enjumla ha n Dua Ma t r iks d ib a wa h ini!Per kalian AntarMatr iks Dua buahMatri kshanyadapatdi kal i kan apabi l a j uml ahkol omdari Matri ksyang di kal i kansamadenganj uml ahbari sdari mati xpengal i nya. Amx nxBnx p=Cmx p

=

+ ++ +=

53 3923 178 . 4 7 . 3 6 . 4 5 . 38 . 2 7 . 1 6 . 2 5 . 1 8 67 5 4 32 1Kaidah Asosiatif : A(BC) = (AB) C = ABCKaidah Distributif : A(B+C) = AB + AC(A + B) C = AC + BC323/16/201117Per kalian Matr iksdenganVektor Seb ua h Ma t r iks ya ngb uka n b er b ent uk vekt orha nyad a p a td ika lika n d enga n seb ua h vekt orkolom,d enga n ca t a t a n jumla h kolomMa t r iks sa mad enga n d imensi vekt orkolom ya ngb er sa ng kut a n, ha silnyaa d a la h b er up aseb ua h vekt orkolomb a r u. Amx nxBnx 1=Cmx 1 n> 1

=

++=

53238 . 4 7 . 38 . 2 7 . 1 87 4 32 133Latihan Hitungkan:| |

7 2 76 9 05 8 54133 2 14 33 20 16 2 15 4 3a.b.343/16/201118