Permutasi dan Kombinasi

ATURAN PENGISIAN

TEMPAT

FACTORIAL

PERMUTASI

COMBINASI

HARAPAN SETELAH MEMPELAJARI TAYANGAN INI ANDA DAPAT :

menghitung pengisisan tempat, PERMUTASI DAN

KOMBINASI DAN DAPAT MENERAPKAN

DALAM PEMECAHAN MASALAH DI

KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Ida Purnama

ATURAN Perkalian dan PENGISISAN TEMPAT

Aturan Perkalian

Untuk menentukan banyaknya cara berbeda yang mungkin dari suatu percobaan dapat digunakan aturan perkalian. Jika peristiwa pertama dapat dilakukan dengan p cara yang berbeda dan dilanjutkan dengan kejadian kedua dengan q cara,Maka kedua peristiwa tersebut dapat dilakukan bersama-sama dengan rumusan :

W = p x q cara.

ATURAN Perkalian

Contoh 1 Dicky memiliki 2 buah celana masing-masing berwarna biru dan hitam, Andi memiliki 3 buah kemeja kemeja masing masing berwarna kuning, merah dan putih. Banyak pasangan celana dan baju yang dapat Dicky pakai adalah .....Penyelesaian :

Hitam (H)

Kuning (K)

Merah (M)

Hitam Putih (HP)

Biru (B) Merah (M)

Hitam Merah (HM)

Putih (P)

Biru Kuning (BK)

Biru Merah (BM)

Biru Putih(BP)

Hitam Kuning (HK)

Kuning(K)

Putih (P)

Ida Purnama

Banyaknya cara pasangan celana dan kemeja juga dapat diselesaikan dengan : p x q = 2 x 3 = 6 cara

Ida Purnama

ATURAN PERKALIAN

PENGISIAN TEMPAT

Contoh 2 :Dicky akan menyusun huruf-huruf dari kata “LOMBA” hingga susunan huruf tidak terdapat huruf yang sama. Berapa banyak cara untuk menyusun huruf-huruf itu jika; a. Huruf pertama adlah huruf matib. Huruf terakhir adalah huruf hidup Penelesaian :a. Huruf pertama adalah huruf mati

b. Huruf terakhir adalah huruf hidup

L,M,B= 3

L,M,BA=

4

M,B,A = 3

B,A A=1O,A = 2

A = 1

BA = 2

MBA= 3

OMBA = 4

Soal-soal latihan :Dicky membentuk penyusunan pengurus organisasi yang terdiri dari ketua,bendahara dan humas. Terdapat dua calon ketua yaitu A dan B, dua calon sekretaris K dan L, dan 2 calon Humas yaitu X dan Y, Tentukan :a. Semua calon pengurus yang mungkinb. Dengan aturan perkalian, hitung banyaknya hasil yang

mungkin dari pemilihan pengurus tersebut.Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata “

LOGIKA” tanpa ada pengulangan jikac. Huruf pertama huruf hidupd. Huruf terakhir huruf matie. Huruf pertama huruf mati dan huruf keempat huruf hidupBerapa banyak nomor telepon yang terdiri dari 6 angka jika posisi

pertama ditempati angka ganjil dan dan posisi terakhir ditempati angka genap dan tiap tiap angka tidak boleh diulang dalam satu nomor telepon.

Aturan perkalian

PERMUTASI

Permutasi n unsur dari n unsur yang tersedia (ditulis Pn

n atau nPn)adalah banyak cara menyusunn unsur yang berbeda diambil dari sekumpulan n unsur yang tersedia.

Rumus: nPn = n!

1. Permutasi n unsur dari n unsur yang berbeda

Ida Purnama

PERMUTASI

Penyusunan yang mungkin ada :

Ida Purnama

Contoh 1.Tentukan banyak cara penyusunan kata dari huruf D,I,A,N

Penyelesainn = 4, makaRumus: nPn = n! : 4P4 = 4 X3 X2 X1 = 24

= 4 X3 X 2X 1 = 24

DIAN INDA NADI ANDI

DINA INAD NAID ANID...

DANI IAND ... ...

DAIN IADN ... ...

DNAI ... ... ...

DNIA ... ... ...

PERMUTASI

Tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dari angka 5, 7, dan 9, jika tidak boleh ada angka yang sama !Penyelesaiann = 3 maka

nPn = n! = 3P3

= 3 x 2 x 1 = 6

Susuan angka yang mungkin adalah :

Ida Purnama

Contoh 2.

579 795 957

597 759 975

PERMUTASI

Permutasi r unsur dari n unsur yang beda

Ida Purnama

 

PERMUTASI

2. Permutasi r unsur dari n unsur yang beda

Ida Purnama

Contoh 1: Banyaknya cara penyusunan pengurus yang terdiri dari Ketua, Sekretaris dan Bendahara yand diambil dari 5 orang calon adalah .....

Ida Purnama

Penyelesaian

Banyak calon pengurus 5 orang, n = 5Banyak pengurus yang akan dipilih 3, r = 3Maka nPr = n!

(n-r)! . r! = 5! =

5.4 .3! (5-3)!.3! 2!.

3! = 10 cara

3.PERMUTASI memuat unsur yang sama

Ida Purnama

 

ContohBerapa kata bisa disusun dengan semua huruf pada kata matematika.Penyelesaian :Matematika : semua huruf 10 buah, huruf yang sama adalah m = 2 huruf, huruf a ada 3, dan huruf t ada 2 Maka Permutasi dengan beberapa unsur yang sama =

nPk1,k2,k3 = n = 10! = k1! . k2! . k3! 2! . 3! . 2!= 10.9.8.7.6.5.4.3! = 10.9.8.7.6.5 =

151.200 (2x1). 3! (2x1)

PERMUTASI

4. Permutasi siklis

Permutasi siklis dari n unsur yang berbeda

mempertimbangkan tempat kedudukan unsur di lingkaran terhadap unsur lainnya sebab n unsur tersebut ditempatkan secara melingkar. Banyak permutasi siklis dari n unsur adalah sebagai berikut :

Rumus: nP(siklis) = (n – 1)!

Ida Purnama

PERMUTASI siklisContoh 1.

Suatu rapat dihadiri oleh 5 orang peserta yang duduk melingkar. Dengan berapa cara mereka dapat duduk dengan urutan yang berbeda ….

Penyelesaian

5P(siklis) = (5 – 1) !

5P(siklis) = 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara

Ida Purnama

PERMUTASI siklis

Contoh 2.

Tujuh orang termasuk si A, B, dan C duduk mengelilingi meja bundar. Ada berapa formasi duduk berbeda jika A, B, dan C selalu duduk berdampingan ….

Penyelesaian

Ada 7 orang tapi 3 orang selalu berdampingan n = 5

Banyaknya cara mereka duduk adalah

5P(siklis) = (5 – 1) !

5P(siklis) = 4 ! = 4. 3. 2 = 24 cara

Oleh karena A,B,C selalu duduk berdampingan maka mereka

mempunyai cara bersusun 3 ! = 3 x 2 x 1 = 6 cara.

Maka Banyaknya cara bersusun 7 orang dimana 3 orang selalu

berdampingan adalah

5P(siklis) = (5 – 1) ! . 3 !

= 24 x 6 = 144 cara

Ida Purnama

1

2 C

BA

3 4

kombinasi

Ida Purnama

Suatu kombinasi dari anggota suatu himpunan adalah sembarang pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan itu tanpa memperhatikan urutannya.

Kombinasi r unsur dari n unsur yang beda

Ida Purnama

 

kombinasi

Contoh

Seorang siswa diharuskan mengerjakan 7 dari 10 soal,

tetapi nomor 1 sampai 5 wajib dikerjakan .

Banyak pilihan yang dapat diambil oleh siswa adalah….

Penyelesaian :

Dari 10 soal harus dikerjakan No 1 sampai dengan 5 berarti yang tersisa untuk dipilih no 6 sampai 10, beraarti 5 dipilih 3

Maka :

nCr = n = 5C2 = 5! = 5 x4 x 3! = 10 (n-r)! . r ! (5-2)!. 2! (5-2)! . 2!

Ida Purnama

.

Jadi ada 10 combinasi dapat dikerjakan untuk memilh soal yang akan dikerjakan

Soal-soal

Ida Purnama

1. Pada pemilihan siswa teladan akan dipilih siswa teladan I da II. Jika ada 15 peserta, maka banyaknya cara pemilihan siswa teladantersebut adalah :a. 70 b. 107 c. 140 d. 210 e. 240

2. Jika (n+3)P3 = 210, maka nilai n adala ....a. 3 b. 4 c. 5 d.6 e.7

3. Sinta mempunyai 3 buku sejarah dan 4 buku ekonomi, Buku-buku tersebut akan disusun berderet pada ssebuah rak buku. Banyaknya penyusunan buku tersebut jika buku yang sejenis harus sekelompok adalah....a.48 b.96 c. 144 d. 192 e. 288

4. Banyaknya susunan huruf berbeda yang dapat disusun dai kata “SUSUNAN” adalah ....a. 5.040 b. 2.520 c. 1.260 d. 630 e. 288

5. Terdapat 7 siswa mengelilingi meja bundar. Empat diantaranya adalah siswa dengan kelas yang sama. Jika siswa yang sekelas selalu duduk berdampingan , maka banyaknya susunan mereka duduk adalah ....a. 2.880 b. 576 c. 144 d. 24 e. 12