permutasiDefinisi: permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang dari objek-objek tersebut

permutasi

Misalkan H adalah himpunan dengan n objek Misalkan k ≤ n, permutasi k objek dari

himpunan H adalah susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri dari k objek anggota himpunan H

Lambang permutasi adalah huruf P

permutasi n objek dari n objek yang berbedasituasi: ada n objek yang satu sama lain berbedamasalah: menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari n objek yang ada

notasi: nnP ),( nnP nnP

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah menempatkan n objek dalam n kotak yang berbeda

Kotak ke- 1 2 ……………… n – 1 n

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-n

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1 1 n2 2 n – 1… … …

n – 1 n – 1 2n n 1

Menurut kaidah perkalianBanyak cara mengisi kotak tersebut adalah:n(n-1)(n-2)(n-3) …2 • 1 = n!

= n!nnP

Contoh:Dari empat calon pengurus kelas, berapa banyak susunan yang dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara?

Solusi:Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 4 objek dari 4 objek

241.2.3.4!444 P Jadi ada 24 susunan calon pengurus kelas

Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n

situasi: ada n objek yang satu sama lain berbedamasalah: menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari k objek dari n objek yang ada, k ≤ n

notasi: nkP),( knPknP

Masalah tersebut dapat dipandang sebagai masalah memilih k objek dalam n objek yang ada, k ≤ n

Kotak ke- 1 2 ……………… k – 1 k

Tahap pertama adalah mengisi kotak ke-1, tahap kedua adalah mengisi kotak ke-2, dan seterusnya sampai tahap ke-k

Tahap Pengisian kotak ke- Banyak cara

1 1 n2 2 n – 1… … …

k – 1 k – 1 n - (k - 2) = n – k +2k k n - (k -1) =n – k +1

Menurut kaidah perkalianBanyak cara mengisi kotak tersebut adalah:n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) =

Contoh:Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada enam calon.Solusi:Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 2 objek dari 6 objek sehingga ada:

susunan presiden dan wakil presiden

)!(!knnPkn

)!(!knn

3056!4!6

)!26(!6

26

P

Permutasi n objek dari n objek dengan beberapa objek sama

situasi: ada n objek yang beberapa diantaranya sama. Misal ada sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = nmasalah: menentukan banyak susunan terurut terdiri dari n objeknotasi: )..,.........,( 21 knnnnP

Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n

adalah:

!!...!!

21)..,.........,( 21

knnnn nnn

nP

k

Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari

kata MATEMATIKAWAN?Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4

huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N

Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah:

64864800!4.2.1.2.1

!4.5.6.7.8.9.10.11.12.13!1!1!1!1!1!2!4!2

!13)1,1,1,1,1,2,4,2(13 P

PERMUTASI SIKLISPada permutasi siklis yang akan dihitung adalah banyak susunan terurut yang mungkin dari sejumlah n objek yang berbeda ditempatkan secara melingkar.

Perhatikan contoh berikut !Dengan berapa cara 3 orang duduk mengelilingi meja bundar?Jawab :Jika 3 orang tsb duduk berderet dalam satu baris maka ada 3! = 6 caraUntuk menentukan susunan duduk mengelilingi meja bundar. Satu orang kita tentukan dahulu letaknya misal A, kemudian 2 orang yang lain.

A

BJadi banyaknya permutasi siklis dari 3 orang tsb adalah 2! = (3 – 1)!C

A

CB

RUMUS PERMUTASI SIKLIS

Kesimpulan :

1. Permutasi siklis adalah susunan unsur-unsur yang membentuk lingkaran dengan memperhatikan urutannya.

2. Banyaknya permutasi siklis dari n unsur adalah (n – 1)!

SOAL: Tentukan susunan huruf yang dapat dibentuk dari kata

”JUMBO”, jika susunan huruf tersebut terdiri atas lima huruf berbeda dan (tidak ada huruf yang digunakan berulang dalam susunan)

Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari kata “MAHASISWA”?

Petugas perpustakaan akan menyusun tiga buku matematika yang sama, dua buku fisika yang sama, tiga buku biologi yang sama, dan empat buku kimia yang sama secara berderet pada sebuah rak buku. Berapa banyak susunan berbeda yang dapat dibuat?

Discuss

There are 5 non collinear points. How many lines can be formed?

If from 10 finalist shall be chosen 3 winners (first, second, third), then how many possibilities for winners are there?

A password that contains two different vowels shall be made. How many possible passwords can be made?

Discuss How many phone numbers are there that

contains 6 different digits? There are seven executives, where three

executives shall be chosen as marketing manager, after sales manager, and human resources manager. Find the number of possibilities.

Prove that: 11 rnrnrn PrPP

Tugas rumah:kerjakan latihan uji kompetensi ….

Halaman ….Nomer ….

Selamat belajar!