bag 3 differensial
TRANSCRIPT
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 1/17
Bagian 3Differensiasi
Bagian 3 Differensiasi berisi materi tentang penerapan konsep limit untukmenghitung turunan dan berbagai teknik differensial. Pada penerapan konseplimit, Anda akan diperkenalkan dengan konsep dasar mencari turunan sebuahfungsi dengan menggunakan limit. Sedangkan pada teknik differensial, Andaakan mempelajari 6 (enam teknik dasar untuk mencari turunan sebuahfungsi.
Differensiasi merupakan materi penting untuk mengikuti materi dalam seri
matematika berikutn!a, !aitu "atematika ## dan "atematika ###. $ntuk itupenguasaan !ang sempurna terhadap teknik differensial menjadi hal !angmutlak.
%ompetensi !ang diharapkan setelah men!elesaikan bagian 3 Differensiasiadalah Anda diharapkan mampu &'. "enghitung turunan fungsi dengan menggunakan konsep limit. "enghitung turunan fungsi dengan menggunakan ) (tujuh teorema
dasar turunan3. "enghitung turunan fungsi trigonometri*. "enghitung turunan dengan menggunakan aturan rantai+. "enghitung turuanan fungsi implisit
6. "enghitung turunan fungsi transenden). "enghitung turunan kedua dan turunan ketiga
3.1 Garis Singgung dan Perubahan Nilai
elah dijelaskan pada bagian sebelumn!a bah-a garis singgung sebuahkura didapat dengan cara menggeser garis potong secara perlahan/lahanhingga menuju suatu limit tertentu. Pada gambar di ba-ah, garis potong P0kura f(1 diputar sehingga menjadi garis singgung di titik P. %edua garis, !aitugaris singgung dan garis potong, mempun!ai kemiringan !ang disebut slope.
%emiringan garis potong dinamakan msec dan kemiringan garis singgungdinamakan mtan. %emiringan garis potong adalah selisih jarak ertikal dibagidengan selisih jarak hori2ontal, atau
01
01sec
)()(
x x
x f x f m
−−
= 3.'
ika kita misalkan 1' menuju 14 maka f(1' akan menuju f(14. adi kemiringansebuah garis singgung dapat didefinisikan
01
01tan
)()(lim
01 x x
x f x f m
x x
−
−=
→3.
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 33
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 2/17
Rata-rata dan Kecepatan Seketika5al sama juga berlaku untuk kecepatan pada sebuah gerakan perpindahanbenda. ika dimisalkan sebuah benda bergerak dari s4 ke s' pada -aktu t4 ket', maka kecepatan didefinisikan
01
01
01
01 )()(
t t
t f t f
t t
s svave −
−=
−−
= 3.3
ika dilihat pada gambar di ba-ah ini, ae adaslah kemiringan dari kuragerakan benda.
S
S = f(t)
t
ata/rata kecepatan 7tempuhwaktu
tempuh jarak
"eskipun kecepatan rata/rata digunakan penuh untuk beberapa kepentinganhal tersebut tidak selalu mempun!ai arti !ang sama dalam masalah/masalahfisika. Sebagai contoh jika mobil menabrak pohon, kerusakan tidak ditentukanoleh kecepatan rata/rata hingga -aktu bertubrukan tapi oleh kecepatan
seketika pada saat kejadian tepat pada saat tubrukan.
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 34
01
01sec
xx
)x(f )x(f
m −−
=
01
tan
xxlimm→
=
21
01
xx
)x(f )x(f
−
−
sb. y
sb. x
P
Q
secant line
sb. y
sb. x
P
Q
f(x1)
f(x0)
f(x1) – f(x
0)
secant line
tangent line
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 3/17
V ave
t t
S S Vinst.
S = f(t) (t1,S1)
S1 S1
S0 (t0,s0) S0
t0 t1 t0 t1
01
01avc
tt
SSV
−−
= 01
inst
ttlimV→
=Vave
01
01avc
tt
)t(f )t(f V
−−
= 01
inst
ttlimV→
=
01
01
tt
)t(f )t(f
−−
Rata-rata dan Perubahan Nilai Seketika
mtan
sb.y S
y = f(x) y = f(x)
f(x1)
f(x0)
x0 x1 x0 x1
msec =01
01
xx
)x(f )x(f
−−
01
inst
ttlimV→
=
01
01
xx
)x(f )x(f
−−
8ontoh 3.'"isalkan ! 7 1 9 '
a. entukan rata/rata perubahan pada interal :3,+;b. entukan kecepatan perubahan pada 1 7 / *c. entukan kecepatan perubahan pada sembarang 1.
Pen!elesaian&
a. 835
1026
35
)3()5()()(
01
01sec =
−−
=−−
=−−
= f f
x x
x f x f m
b.
1!)1(lim
)()(lim
1
2
1
01
01tan
101 +−+
=−−
=−→→ x
x
x x
x f x f m
x x x
8)(lim
16lim 1
1
2
1
tan
11
−=−=
+
−=
−→−→ x
x
xm
x x
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 35
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 4/17
c.01
2
0
2
1
01
01
tan
)1()1(lim
)()(lim
0101 x x
x x
x x
x f x f m
x x x x −+−+
=−−
=→→
001
01
20
21
tan 2)(limlim0101
x x x x x
x xm
x x x x=+=
−−=
→→
Latihan Soal 3.1Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<
$ntuk soal berikut, a carilah kemiringan pada sembarang titik 1 4, b gunakanhasil bagian a untuk mencari kemiringan pada titik 14 !ang dberikan.
'. 2.............1)( 0
2 =+= x x x f
. 2.............23)( 02 =++= x x x x f
3.2 Turunan
Definisi turunan &a. ika P(14 , !4 adalah titik pada grafik sebuah fugsi f(1, maka garis
singgung fungsi f(1 pada P didefinisikan sebagai garis penerus di P
dengan kemiringan
h
x f h x f m
h
)()(lim 0
0tan
−+=
→3.*
b. =ungsi f >(1 didefinisikan dengan rumus
"
)f(x")f(xlimm(x)f# 00
0"tan
−+==
→3.+
adalah disebut derivatif ?turunan !ang nilain!a pada sembarang 1 dari
fungsi f(1. Daerah asal?domain dari f >(1 berlaku untuk sembarang 1 !angmana limit ini ada.
8ontoh 3.'8arilah nilai turunan untuk fungsi f(1 7 1 9 ' dengan menggunakankonsep limit.
Pen!elesaian &
f >(1 7 limh
x f h x f )()( −+
h 4
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 36
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 5/17
7 lim[ ] [ ]
h
xh x 11)( 22 +−++
h 4
7 limh
xh xh x 12 222 −−++
h 4
7 limh
h xh 22 +
h 4
7 lim h x +2
h 4
7 1
8ontoh 3.8arilah nilai turunan untuk fungsi f(1 7 m1 9 b dengan menggunakan konseplimit
Pen!elesaian &
f >(1 7 limh
x f h x f )()( −+
h 4
7 lim[ ] [ ]
h
bmxbh xm +−++ )(
h 4
7 limh
bmxbmhmx −−++
h 4
7 limh
mh 7 m
h 4
8ontoh 3.3
8arilah nilai turunan untuk fungsi f(1 7 x dengan menggunakan konsep
limit.
Pen!elesaian&
f>(1 7 limh
x f h x f )()( −+
h 4
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 37
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 6/17
7 limh
xh x −+ )(
h 4
7 lim[ ] xh xh
xh x xh x
++++−+
)(
()(
h 4
7 lim xh x ++ )(
1
h 4
7 x2
1
Notasi Turunan
Penulisan notasi turunan dilakukan dengan berbagai simbol, !aitu
[ ])()(## x f dx
d x f
dx
dy y ===
Persamaan di atas dibaca turunan fungsi ! terhadap 1.
Berdasarkan notasi di atas maka&
[ ] x xdx
d 212 =+
[ ] mbmxdx
d =+
[ ] x
xdx
d
2
1=
Proses untuk mendapatkan turunan, seperti !ang dilakukan pada contoh diatas, disebut differensiasi .
Latihan Soal 3.2
Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<
$ntuk setiap soal di ba-ah ini, carilah turunan fungsi f(1 denganmenggunakan konsep limit.
'. )1()( += x x x f
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 38
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 7/17
. x
x f −
=2
1)(
3.!
!)(−=
x x f
*.2
1)(
+=
x x f
+. ))(1()( −+= x x x f
3.3 Teknik-teknik Differensial
Persamaan untuk mencari turunan !ang diberikan oleh persamaan 3.+ dapat
digunakan secara luas untuk semua fungsi. @alaupun demikian, untuk fungsi!ang lebih rumit pemakaian tidak menjadi sederhana. Dengan kata lain,pen!elesaian memerlukan langkah !ang sangat panjang dan rumit.
$ntuk menentukan turunan sebuah fungsi, untuk fungsi/fungsi !ang lebihrumit, digunakan teknik differensial. Ada ) (tujuh teorema dasar !ang dapatdigunakan untuk mencari turunan sebuah fungsi aljabar. ujuh teorema diba-ah ini merupakan dasar dalam menguasai teknik differensial.
eorema ' &ika f adalah sebuah fungsi konstan, dikatakan f(1 7 8 untuk semua nilai 1,maka &
[ ] 0=C dx
d 3.6
eorema &ika n adalah bilangan bulat positif, maka &
[ ] 1−= nnnx x
dx
d 3.)
eorema 3 &"isalkan 8 adalah konstanta. ika f adalah differensiabel pada 1 maka c.f jugadifferensiabel pada 1, maka &
[ ] [ ])()( x f dx
d C xCf dx
d
= 3.
eorema * &ika f dan g adalah differensiabel pada 1, maka f 9 g juga differensiabel pada1 &
[ ] [ ] [ ])()()()( x g dx
d x f
dx
d x g x f
dx
d +=+ 3.a
Dengan asumsi (/'.g, maka &
[ ] [ ] [ ])()()()( x g dx
d x f
dx
d x g x f
dx
d −=− 3.b
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 39
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 8/17
eorema + &ika f dan g adalah differensiabel, maka f.g juga differensiabel pada 1 &
[ ] [ ] [ ])()()()()().( x f dx
d x g x g dx
d x f x g x f dx
d
+= 3.'4
eorema 6 &
ika f dan g adalah fungsi !ang differensiabel pada 1 dan g(1 ≠ 4, maka f?g
differensiabel pada 1 &
[ ] [ ]
[ ] 2)(
)().()().(
)(
)(
x g
x g dx
d x f x f
dx
d x g
x g
x f
dx
d −
=
3.''
eorema ) &
ika g differensiabel pada 1 dan g(1 ≠ 4, maka '?g(1 adalah differensiabel
pada 1 &
[ ]
[ ] 2)(
)(
)(
1
x g
x g dx
d
x g dx
d −=
3.'
Turunan Tingkat Tinggiika turunan f> dari fungsi f adalah differensiabel, maka turunan dari f>dinotasikan f>> dan dinamakan turunan kedua dari f& ika turunan keduaditurunkan lagi, kita akan mendapatkan turunan ketiga, dan seterusn!a.urunan !ang lebih dari satu kali dinamakan turunan tingkat tinggi. %aidah/kaidah teorema di atas tetap berlaku untuk turunan tingkat tinggi.
[ ] [ ] [ ]dst x f dx
d x f
dx
d x f
dx
d →→→ )()()(
3
3
2
2
8ontoh 3.*
8arilah turunan )( 5! x x y −=Pen!elesaian&
[ ] [ ] [ ] 65!5! 5!)()()( x x xdx
d x
dx
d x x
dx
d
dx
dy −=−=−=
8ontoh 3.+
8arilah turunan x y =
Pen!elesaian&2$1 x x y ==
( ) x
x x xdx
d
dx
dy x f y
2
1
2
1
2
1)(## 2$112$12$1 ====== −−
8ontoh 3.6
8arilah turunan )%3)(( 32 −−= x x y
Pen!elesaian&
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 40
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 9/17
[ ] [ ] [ ])()%3()%3()()%3)(( 233232 −−+−−=−−= xdx
d x x
dx
d x x x
dx
d
dx
dy
)2)(%3()%)(( 322 x x x xdxdy −+−=
)186()36%( 2 x x x xdx
dy −+−=
x x xdx
dy183615 2 −−=
Latihan Soal 3.3Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<
$ntuk setiap fungsi berikut, carilah turunan pertama dan sederhanakan ja-aban !ang didapat.
'.1
1)(
2
+−
= x
x x f
. )!(2
1)( += x x f
3.!
3 1)(
x x x f +−= −
*.
x
x x f 1
)( +=
+. )1
(1
)( 2 cb x
xa
x f ++=
3. Turunan !ungsi Trigono"etri
urunan fungsi trigonometri dapat dicari dengan menggunakan persamaan3.+. 5asil dari pen!elesaiann!a dapat dilihat dalam persamaan berikut.
[ ] )()( xCos xSindx
d =
[ ] )()( xSin xCosdx
d
−=[ ] )()( 2 xSec xTan
dx
d =
[ ] )()( 2 xCsc xCotg dx
d −=
[ ] )()()( xTan xSec xSecdx
d =
[ ] )()()( xCotg xCsc xCscdx
d −=
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 41
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 10/17
8ontoh 3.)8arilah turunan fungsi Sin (1
Pen!elesaian &
[ ] =)( xSindx
d
7 limh
Sinxh xSin −+ )(
0→h
7 limh
SinxhSin xCoshCos xSin −+ ..
0→h
7 lim
h
hSin xCos
h
hCos xSin )()1( +−
0→h
7 8os 1
Latihan Soal 3.Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<Dengan menggunakan konsep limit, buktikan persamaan turunan fungsitrigonometri di atas.
3.# $turan Rantai
Aturan rantai untuk mencari turunan, digunakan jika kita menjumpai komposisifungsi atau fungsi !ang din!atakan dalam bentuk f o g.
"isalkan terdapat dua fungsi f(1 dan g(1, maka ! 7 (fog(1 7 f(g(1ika u 7 g(1 maka ! 7 f(u
adi fungsi ! 7 f(u dapat dicari turunann!a )(# u f dx
dy = . Dengan cara lain
dapat ditulis&
dx
du
du
dy
dx
dy.=
8ontoh 3.8arilah turunan fungsi ! 7 *8os 13
Pen!elesaian&
! 7 *8os 13
misalkan 13 7 u CCCCC. du 7 31
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 42
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 11/17
! 7 *8os u
dx
du
du
dy
dx
dy.=
7 [ ] [ ]3.)( xdx
d xCos
du
d
7 /*Sin u. 31
8ontoh 3.8arilah turunan fungsi - 7 an (*t3 9 t
Pen!elesaian &
- 7 an (*t3 9 t
misalkan (*t3
9 t 7 1 CCC...d1 7 't
9 '- 7 tan 1
dt
dx
dx
dw
dt
dw.=
7 [ ] [ ]t t dx
d xTan
dx
d +3.)(
7 )112.( 22 +t xSec
7 ('t 9 ' Sec (*t39 t
umus/rumus umum untuk mencari turunan fungsi dengan menggunakan
aturan rantai diberikan dalam persamaan di ba-ah ini.
[ ]dx
duU nU
dx
d nn .. 1−=
[ ]dx
du
xU
dx
d .
2
1=
[ ]dx
duU CosU Sin
dx
d ).()( =
[ ]dx
duU SinU Cos
dx
d ).()( −=
[ ]dx
duU SecU Tan
dx
d ).()( 2=
[ ]dx
duU CscU Cot
dx
d ).()( 2−=
[ ]dx
duU TanU SecU Sec
dx
d )().()( =
[ ]dx
duU Cot U CscU Csc
dx
d )().()( −=
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 43
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 12/17
8ontoh 3.'48arilah turunan fungsi ! 7 (' 9 1+ 8ot 1/
Pen!elesaian &
"isalkan (' 9 1+ 8ot 1 7 $ CCCCCCCCC.. ! 7 $
[ ]85 )(.1 −+ xCot xdx
d
7 [ ]8−U dx
d
7 /$/ [ ])(.1 xCot xdx
d +
7 /$/. [ ])(.5).( 25 xCot x xCsc x +
7 ('9 1+8ot 1/ [ ])(.0)(.8 25 xCot x xCsc x −−
Notasi Differensial
[ ] 0=C dx
d 0=C d
[ ]dx
df C f C
dx
d .. =
[ ] df C f C d .. =
[ ]dx
dg
dx
df g f
dx
d ±=± [ ] dg df g f d ±=±
[ ]dx
df g
dx
dg f g f
dx
d ... += [ ] df g dg f g f d ... +=
[ ]2
..
$ g
dx
dg f
dx
df g
g f dx
d −= [ ]
2
..$
g
dg f df g g f d
−=
Latihan Soal 3.#Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir !ang benar. Selamat berlatih...<<<
Eunakan aturan rantai untuk mencari turunan pertama fungsi berikut.
'. x y 3c&s 2=. x y 2c&s1sin( +=
3. %5
)%(
1
+−
=
x x
y
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 44
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 13/17
*.
+=
1sin 3
x
x y
+.2
3 ! −
−=
x x y
3.% Differensiasi &"'lisit
Pada bagian sebelumn!a kita selalu menulis fungsi dengan menempatkanunsur ! di sisi kiri persamaan dan unsur 1 di sisi kanan persamaan. Adabeberapa fungsi !ang tidak bisa dipisahkan secara tegas antara 1 dan !.Sebagai contoh, fungsi !1 91! 7 '4 tidak bisa dipisahkan antara nilai 1 dan!. Dengan kata lain kita tidak bisa menuliskan unsur ! saja di kiri persamaandan unsur 1 saja di kanan persamaan. =ungsi/fungsi !ang tidask bisadipisahkan antara unsur 1 dan unsur ! dalam penulisann!a, disebut fungsi
implisit.
Pandang suatu persamaan&
1.! 7 '
Satu cara untuk mendapatkan d!?d1 adalah dengan menulis kembalipersamaan di atas menjadi ! 7'?1 kemudian menurunkann!a terhadap 1.
2
11
x xdx
d
dx
dy −=
=
Bagaimanapun cara tersebut merupakan satu metode !ang benar. 8ara lain!ang dapat digunakan adalah dengan menurunkan kedua sisi persamaan 1.!7 ' sebelum men!elesaikan setiap ! dalam bentuk 1.
Dengan pendekatan ini akan diperoleh&
[ ] [ ]1.dx
d y x
dx
dy=
[ ] [ ] 0. =+ xdx
d y y
dx
dy x
0. =+ ydx
dy x CCCCCCCC.
x
y
dx
dy−=
5asil ini kelihatann!a tidak sama dengan cara pertama, tapi denganmenggantikan nilai ! maka akan diperoleh&
2
1
xdx
dy−=
"etode kedua untuk mendapat turunan ini dinamakan differensiasi implisit."etode ini terutama digunakan saat sukar atau tidak mungkin men!elesaikansecara tegas fungsi ! dalam bentuk 1.
8ontoh 3.''8arilah turunan dari +! 9 Sin (! 7 1
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 45
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 14/17
Pen!elesaian&
[ ] [ ] →=+ x
dx
d ySin y
dx
dy)(5 2
[ ] [ ] [ ] →=+ xdx
d ySin
dx
d y
dx
dy)(5 2
1)(2.5 =+dx
dy yCos
dx
dy y
[ ] 1)(10 =+ yCos ydx
dy
)(10
1
yCos ydx
dy
+=
8ontoh 3.'8arilah turunan fungsi )! 9 13! 7 *
Pen!elesaian&
[ ] [ ]! 32
dx
d y x y
dx
d =+
[ ] [ ] [ ]! 32
dx
d y x
dx
d y
dx
d =+
031 32 =
++
dx
dy x y x
dx
dy y
[ ] [ ] 031 23 =++ y x x ydx
dy
[ ][ ]3
2
1
3
x y
y x
dx
dy
+−=
Latihan Soal 3.%Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir himpunan pen!elesaian !ang
benar. Selamat berlatih...<<<
8arilah turunan fungsi implisit di ba-ah ini.
'. 15 223 =+− x y x y x
. x y x =+ 3522 )3(
3. x y x =)sin( 22
*. x y xy =+ )(tan 25
+. 21 y xy =+
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 46
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 15/17
3.( Turunan !ungsi Transenden
=ungsi transenden adalah fungsi !ang mengandung unsur logaritma (log,logaritma alami (ln, dan bilangan eksponensial (e. urunan fungsitransenden dapat dicari dengan menggunakan persamaan di ba-ah ini.
( ) xdx
d b
l&g = 0........,ln
1> x
b x
( ) xdx
d ln = 0.........,
1 > x x
( )U dx
d b
l&g =dx
dU
bU .
ln
1
( )U dx
d ln =
dx
dU
U .
1
( ) xdx
d
ln = 0.........,
1
≠ x x
)( xe
dx
d = ex
)( U edx
d 7
dx
dU eU .
eknik aturan rantai sering digunakan dalam mencari turunan fungsitransenden.
8ontoh 3.'3
8arilah turunan
+ x x x
1sinln
2
Pen!elesaian&
+ x x x
dx
d
1
sinln
2
+−+ )1ln(
2
1)ln(sinln 2 x x x
dx
d
= ( ) x x
x
x +−+
12
1
sin
c&s2
= x
x x 22
1c&t
2
+−+
= x x x
c&t)1(2
12 ++
−
8ontoh 3.'*
8arilah turunan fungsi
( ) 2
32
1
1!
x
x x y
+
−=
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 47
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 16/17
Pen!elesaian &
( ) 2
32
1
1!
x
x x y
+−=
Fogaritma alami (ln kita kerjakan di kedua sisi persamaan, sehingga menjadi&
)1ln()1!ln(3
1ln2ln 2 x x x y +−−+=
21
8
1!
3$!21
x
x
x xdx
dy
y +−
−+=
+−
−+
+−
=22
32
1
8
63
12
)1(
1!.
x
x
x x x
x x
dx
dy
8ontoh 3.'+
8arilah turunan fungsi )1ln( 3+
= xe y
Pen!elesaian&
[ ])1ln( 3+= xe
dx
d
dx
dy
[ ] )'1ln(. 3)1ln( 3
+= + xdx
d e
dx
dy x
[ ] )1(.
)1(
1. 3
3
)1ln( 3
+
+
= + x
dx
d
x
edx
dy x
[ ] 2
3
)1ln( 3.)1(
1.
3
x x
edx
dy x
+= +
[ ])1ln(
3
23
.)1(
3 +
+= x
e x
x
dx
dy
Latihan Soal 3.(Setelah Anda selesai mempelajari materi di atas, kini saatn!a untuk melatihdiri mengerjakan soal/soal berikut. Buatlah pen!elesaian setiap soal dengansistematis untuk mendapatkan ja-aban akhir himpunan pen!elesaian !ang
benar. Selamat berlatih...<<<
8arilah turunan pertama untuk soal berikut.
'.1
1
2
2
+
−=
x
x y
. x x y =3. )2ln(sin x y =*. )2(sin2 xe y x=
+. x x
x y
ln
ln
+=
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 48
7/24/2019 Bag 3 Differensial
http://slidepdf.com/reader/full/bag-3-differensial 17/17
Matematika Teknik 1\Diferensiasi 49