bag 5-3 frame

Plane Frame - Page1

TAHAP METODE KEKAKUAN PLANE FRAME

Tahap

ke :

Langkah yang dikerjakan Keterangan

1 Menetapkan model diskrit struktur yang akan

dianalisis (tipe elemen : beam, truss, frame, grid, jumlah elemen, lokasi titik-simpul)

n : jumlah

elemen

2 Merumuskan matriks kekakuan elemen [k]

pada sumbu lokal, untuk semua elemen.

n buah [k]

3 Merumuskan matriks kekakuan elemen [K]

pada sumbu global, untuk semua elemen.

(transformasi koordinat lokal-global)

[K] = [T]T [k] [T]

n buah [K]

4 Menyusun / merakit matriks kekakuan

struktur [K]S pada sumbu global :

[K]S = [K]

1 buah [K]S

5 Menyusun sistem persamaan struktur pada

sumbu global :

{F} + {Fo} = [K]S {D}

1 buah

sistem

persamaan

6 Menerapkan syarat-batas struktur, untuk

menyelesaikan persamaan no. 5, menghasilkan

vektor perpindahan {D} pada sumbu global.

invers,

iterasi,

eliminasi

7 Perpindahan {D} ditransformasikan menjadi

vektor perpindahan {d} pada sumbu lokal :

{d} = [T] {D}

n elemen

(proses)

8 Menghitung gaya-ujung elemen pada sumbu

lokal, untuk semua elemen.

{f} = [K] {d} – {f0}

Gambar : BMD, SFD, NFD, Reaksi

n elemen

(proses)

Plane Frame - Page2

PLANE FRAME / PORTAL BIDANG

Gambar 1: Elemen dan Index d.o.f. dalam Sumbu Lokal

Keterangan arti index :

Index Arti sbg. perpindahan {d} Arti sbg. gaya {f}

1 translasi aksial ujung-1 (d1x) gaya aksial ujung-1 (f1x)

2 translasi transversal ujung-1 (d1y) gaya lintang ujung-1 (f1y)

3 rotasi lentur ujung-1 (1z) momen lentur ujung-1 (m1z)

4 translasi aksial ujung-2 (d2x) gaya aksial ujung-2 (f2x)

5 translasi transversal ujung-2 (d2y) gaya lintang ujung-2 (f2y)

6 rotasi lentur ujung-2 (2z) momen lentur ujung-2 (m2z)

1 : titik-simpul (node) awal

2 : titik-simpul (node) akhir

L : panjang elemen (pada orientasi sumbu X lokal)

: sudut rotasi sumbu koordinat (diukur dari sumbu X global ke X lokal,

berlawanan arah jarumjam)

Sumbu X lokal (arah positif) didefinisikan sbg. sumbu memanjang

elemen dari titik-1 ke titik-2.

Sumbu Z (lokal / global) tegak lurus bidang gambar.

4

2

Ylokal

1 1

Xglobal

Xlokal 5

6

Yglobal

L

2

3

bidang XY

Plane Frame - Page3

Gambar 2 : Elemen dan Index d.o.f. dalam Sumbu Global

TRANSFORMASI KOORDINAT antara LOKAL – GLOBAL

{d} = [T] {D} hubungan untuk vektor perpindahan

dalam bentuk lengkap :

d1x C S 0 0 0 0 D1x

d1y -S C 0 0 0 0 D1y

1z 0 0 1 0 0 0 1z

d2x 0 0 0 C S 0 D2x

d2y 0 0 0 -S C 0 D2y

2z 0 0 0 0 0 1 2z

Keterangan :

C (Cx) = Cos = (X2-X1) / L

S (Cy) = Sin = (Y2-Y1) / L

=

vektor perpindahan dalam sumbu lokal

{d}

vektor perpindahan dalam sumbu global

{D}

matriks transformasi (untuk portal bidang)

[T]

1 1

2

Xglob

al

Yglob

al Xlokal

L

2

3

4

5

6

PLANE FRAME bidang XY

Plane Frame - Page4

PERSAMAAN pada KOORDINAT LOKAL (koordinat elemen)

{f} = [k] {d} – {f0}

dalam bentuk lengkap :

1 2 3 4 5 6

f1x EA/L 0 0 -EA/L 0 0 d1x f1x,o

f1y 0 12EI/L3 6EI/L2 0 -12EI/L3 6EI/L2 d1y f1y,o

m1z 0 6EI/L2 4EI/L 0 -6EI/L2 2EI/L 1z m1z,o

f2x -EA/L 0 0 EA/L 0 0 d2x f2x,o

f2y 0 -12EI/L3 -6EI/L2 0 12EI/L3 -6EI/L2 d2y f2y,o

m2z 0 6EI/L2 2EI/L 0 -6EI/L2 4EI/L 2z m2z,o

{f} = vektor gaya-ujung elemen (menghasilkan BMD, SFD, NFD)

[k] = matriks kekakuan elemen (dalam sumbu lokal), dengan catatan

urutan d.o.f. seperti pada Gambar 1.

{d} = vektor perpindahan elemen (dalam sumbu lokal)

{f0} = vektor beban titik-simpul ekuivalen (akibat span-loading)

Notasi dalam [k]:

E = modulus elastis material

I = momen inersia tampang lintang terhadap sumbu Z lokal

A = luas tampang lintang

PRINSIP PENENTUAN {f0} :

= -

f1y,o

f2y,o

m1z,o

m2z,o

f1x,o

f2x,o

beban luar

span-loading sumbu X lokal

jepit

jepit

Asumsi arah vektor (perpindahan / gaya) :

Translasi / gaya f positif, bila searah

sumbu positif.

Rotasi / momen positif, bila berlawanan

arah jarum jam.

Plane Frame - Page5

PERSAMAAN SISTEM STRUKTUR pada KOORDINAT GLOBAL (koordinat struktur)

{F} + {F0} = [K] {D}

dengan

{F} : vektor beban titik-simpul, {F} = {F}e

{F0} : vektor beban titik-simpul ekuivalen (akibat span-loading),

{F0} = {F0}e

[K] : matriks kekakuan struktur, [K] = [K]e

{D} : vektor perpindahan titik-simpul,

merupakan besaran primary unknowns dari sistem persamaan.

[K]e : matriks kekakuan elemen (dalam sumbu global),

[K]e = [T]T [k] [T]

[k] : matriks kekakuan elemen (dalam sumbu lokal)

[T] : matriks transformasi koordinat

Bentuk lengkap matriks [K]e :

Matriks Kekakuan Elemen Portal Bidang dalam Sumbu Global,

(dengan catatan urutan d.o.f. seperti pada Gambar 2)

L

EI

CL

EIC

L

EIS

L

AEsimetri

SL

EI)CS

L

EI

L

AE(S

L

EIC

L

AE

L

EIC

L

EIS

L

EI

L

EI

CL

EI)C

L

EIS

L

AE()CS

L

EI

L

AE(C

L

EIC

L

EIS

L

AE

SL

EI)CS

L

EI

L

AE()S

L

EIC

L

AE(S

L

EI)CS

L

EI

L

AE(S

L

EIC

L

AE

[K] e

4

612

61212

2664

61212612

6121261212

2

2

3

2

23

2

3

2

22

2

2

3

2

32

2

3

2

23

2

3

2

23

2

3

2

Plane Frame - Page6

CONTOH KASUS 1

Data Elemen :

E = 2.000.000 t/m2

Dimensi 30/50 (cm) A=0.15 m2, I=0.003125 m4

Penyelesaian :

D.O.F. dalam Koordinat Global

3 ton

2 ton

2 ton/m’

4 m

6 m 4 m

2 m

1

2 3

sb. X

sb. Y

1

2

sebelum syarat batas

diterapkan

sesudah syarat batas

diterapkan

d1x

d2x d3x d2x

d1y

d2y d2y d3y

1z

2z 2z

3z

1 1

2 2

3z

Plane Frame - Page7

Matriks Kekakuan Elemen dalam Sumbu Lokal

Elemen 1 : 53033.01 0 0 -53033 0 0 0 414.3204 1171.875 0 -414.32 1171.875

[k]e,1= 0 1171.875 4419.417 0 -1171.88 2209.709

-53033 0 0 53033.01 0 0 0 -414.32 -1171.88 0 414.3204 -1171.88 0 1171.875 2209.709 0 -1171.88 4419.417

Elemen 2 : 50000 0 0 -50000 0 0

0 347.2222 1041.667 0 -347.222 1041.667

[k]e,2 = 0 1041.667 4166.667 0 -1041.67 2083.333

-50000 0 0 50000 0 0 0 -347.222 -1041.67 0 347.2222 -1041.67 0 1041.667 2083.333 0 -1041.67 4166.667

Matriks Kekakuan Elemen dalam Sumbu Global

Elemen 1 ( data : L=5.6568 m, = 45 o)

d1x d1y 1z d2x d2y 2z

26723.66 26309.34 -828.641 -26723.7 -26309.3 -828.641

26309.34 26723.66 828.6408 -26309.3 -26723.7 828.6408

[K]1 = -828.641 828.6408 4419.417 828.6408 -828.641 2209.709

-26723.7 -26309.3 828.6408 26723.66 26309.34 828.6408

-26309.3 -26723.7 -828.641 26309.34 26723.66 -828.641

-828.641 828.6408 2209.709 828.6408 -828.641 4419.417

Elemen 2 ( data : L=6 m, = 0 o)

d2x d2y 2z d3x d3y 3z

50000 0 0 -50000 0 0

0 347.2222 1041.667 0 -347.222 1041.667

[K]2 = 0 1041.667 4166.667 0 -1041.67 2083.333

-50000 0 0 50000 0 0

0 -347.222 -1041.67 0 347.2222 -1041.67

0 1041.667 2083.333 0 -1041.67 4166.667

Plane Frame - Page8

Matriks Kekakuan Struktur (sebelum diterapkan syarat-batas)

d1x d1y 1z d2x d2y 2z d3x d3y 3z

26723.66 26309.34 -828.641 -26723.7 -26309.3 -828.641 0 0 0

26309.34 26723.66 828.6408 -26309.3 -26723.7 828.6408 0 0 0

-828.641 828.6408 4419.417 828.6408 -828.641 2209.709 0 0

[K]S = -26723.7 -26309.3 828.6408 76723.66 26309.34 828.6408 -50000 0 0

-26309.3 -26723.7 -828.641 26309.34 27070.89 213.0259 0 -347.222 1041.667

-828.641 828.6408 2209.709 828.6408 213.0259 8586.084 0 -1041.67 2083.333

0 0 0 -50000 0 0 50000 0 0

0 0 0 0 -347.222 -1041.67 0 347.2222 -1041.67

0 0 0 0 1041.667 2083.333 0 -1041.67 4166.667

Matriks Kekakuan Struktur (setelah diterapkan syarat-batas)

d2x d2y 2z 3z

76723.66 26309.34 828.6408 0

[K]S = 26309.34 27070.89 213.0259 1041.667

828.6408 213.0259 8586.084 2083.333

0 1041.667 2083.333 4166.667

Matriks Transformasi Koordinat [T]

elemen 1 elemen 2

0.707 0.707 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

-0.707 0.707 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

[T]1= 0 0 1 0 0 0 [T]2 = 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0.707 0.707 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 -0.707 0.707 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

Plane Frame - Page9

Vektor Beban {F0} akibat span loading

dalam sumbu lokal (elemen) : {f0}

dalam bentuk matriks :

-0.707 0

-0.707 -6

{f0}1 = -1

{f0}2 = -6

-0.707 0

-0.707 -6

1 6

dalam sumbu global (struktur) : {F0} = [T]T {f0}

2

1.414 1

1

0.707

0.707

0.707 0.707

2

6 6

6 6

1

2

1

1

1

1

6 6

1

2

6 6

{F0} sebelum tereduksi

0 -1 -1 0

{F0} = -7 -5 0 -6 6

{F0} tereduksi

0

{F0} = -7 -5

6

1.414

dalam bentuk matriks :

Plane Frame - Page10

Persamaan Struktur (dalam bentuk tereduksi) : {F} + {F0} = [K] {D}

0 0 76723.66 26309.34 828.6408 0 d2x

-3 +

-7 =

26309.34 27070.89 213.0259 1041.667 d2y

0 -5 828.6408 213.0259 8586.084 2083.333 2z

0 6 0 1041.667 2083.333 4166.667 3z

Solusi Persamaan Struktur perpindahan menurut sumbu global

d2x 0.000246 meter

{D} = d2y

= -0.00068 meter

2z -0.00112 radian

3z 0.002169 radian

Transformasi perpindahan dari sumbu global ke lokal : {d} = [T]{D}

Elemen 1 :

d1x 0 d1x 0

d1y 0 d1y 0

{d}1,global = 1z =

0 {d}1,lokal =

1z = 0

d2x 0.000246 d2x -0.00031

d2y -0.00068 d2y -0.00066

2z -0.00112 2z -0.00112

Elemen 2 :

d2x 0.000246 d2x 0.000246

d2y -0.00068 d2y -0.00068

{d}2,global = 2z =

-0.00112 {d}2,lokal =

2z = -0.00112

d3x 0 d3x 0

d3y 0 d3y 0

3z 0.002169 3z 0.002169

Gaya ujung elemen (element forces) {f} = [k] {d} – {f0}

Elemen 1 :

f1x 0 -0.707 17.09958 ton

f1y 0 -0.707 -0.32757 ton

m1z =

Matriks [k]e,1 0 -

-1 =

-0.69391 t.m.

f2x ( ordo 6x6 ) -0.00031 -0.707 -15.6856 ton

f2y -0.00066 -0.707 1.741571 ton

m2z -0.00112 1 -5.1585 t.m.


Elemen 2 :

f2x 0.000246 0 12.32286 ton

f2y -0.00068 -6 6.859751 ton

m2z =

Matriks [k]e,2 -0.00112 -

-6 =

5.158505 t.m.

f3x ( ordo 6x6 ) 0 0 -12.3229 ton

f3y 0 -6 5.140249 ton

m3z 0.002169 6 0 t.m.

Dari vektor gaya elemen 1 & 2 gambar BMD, SFD, NFD (orientasi thd. sumbu lokal) Gaya titik-simpul global (global joint forces) {F} = [K] {D} – {F0}

F1X 0 0 12.3229 ton

F1Y 0 -1 11.8598 ton

M1Z 0 -1 -0.69391 t.m.

F2X Matriks [K]s sebelum reduksi

0.000246 0 0 ton

F2Y = -0.00068 - -7 = -3 ton

M2Z ( ordo 9x9 ) -0.00112 -5 0 t.m.

F3X 0 0 -12.3229 ton

F3Y 0 -6 5.14025 ton

M3Z 0.002169 6 0 t.m.

Reaksi tumpuan, Gaya luar pada titik-simpul

( orientasi terhadap sumbu struktur)


PENJELASAN GAMBAR BMD, SFD, NFD

Gambar NFD (ton)

Gambar SFD (satuan : ton)

0.3276

1.7416

6.8598

5.1402

x Lokasi momen positif maksimum


Gambar BMD (ton-meter)

CONTOH KASUS 2 - PLANE FRAME

3 t/m’ 3 t/m’

2 ton 4 ton

2,5 t.m

4 m

3 m 5 m

2,5 m 40/40

(cm)

40/60

(cm) 40/60

(cm)

E=2.106

(t/m2)

x

M positif

maksimum 1/8.q.L2

BUKAN Momen Maksimum


Prinsip langkah penyelesaian :

Tahap 1 : Penetapan Diskretisasi dan D.O.F.

Jumlah Joint (NJ) = 4

Jumlah Elemen (NE) = 3

D.O.F. awal = NJ x 3 =12 (tidak digambar)

D.O.F. tereduksi = 3 , urutan ditetapkan : D4X , D4Y , R4Z

Tetapkan orientasi masing2 elemen ( besarnya sudut

)

Kerangka persamaan struktur yang akan disusun : (manfaatkan sebagai penuntun tahap-tahap berikutnya)

Z

Y

X

R

D

D

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxxxxxxxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

4

4

4

1 2

3

1 2

3

4

Sumbu

global

X

Y

D4X

D4Y

R4Z

{F} {Fo} [K] {D}


Tahap 2 : Penyusunan matriks kekakuan masing2

elemen dalam sumbu lokal (digunakan

pada tahap akhir / menghitung gaya-ujung

elemen)

[k]1 =

[k]2 =

[k]3 =

Tahap 3 : Penyusunan matriks kekakuan masing2

elemen dalam sumbu global (untuk dirakit

menjadi matriks kekakuan struktur)

Sudut transformasi

sumbu lokal = 0o

Sudut transformasi

sumbu lokal = 90o

Sudut transformasi

sumbu lokal = 0o


Perhatian :

Orientasi elemen (sudut transformasi sumbu) sesuai tahap

1.

Index d.o.f. sesuai diskretisasi (cantumkan di sisi atas dan

kanan matriks)

D4X D4Y R4Z

[K]1 =

# # # D4X

# # # D4Y

# # # R4Z

D4X D4Y R4Z

√ √ √ D4X

√ √ √ D4Y

[K]2 = √ √ √ R4Z

D4X D4Y R4Z

[K]3 =

& & & D4X

& & & D4Y

& & & R4Z


Tahap 4 : Perakitan matriks kekakuan struktur

global D4X D4Y R4Z

#√& #√& #√& D4X

[K]S = #√& #√& #√& D4Y

#√& #√& #√& R4Z

Tahap 5a : Menghitung vektor “equivalent span

load”

(dalam sumbu lokal)

#

#

{fo}1 = #

#

#

#

√

√

{fo}2 = √

√

√

√

0

0

{fo}3 = 0

0

0

0

Dalam kasus ini

berupa vektor nol

(tidak ada gaya luar)


Tahap 5b : Menyusun vektor “equivalent span

load”

(dalam sumbu global), tereduksi

dalam kasus ini :

{Fo}1={fo}1 tidak ada transformasi sumbu

{Fo}2={fo}2 tidak ada transformasi sumbu

{Fo}3=vektor nol tidak ada gaya luar

{Fo}1 =

#

#

#

√

√

{Fo}2 = √

0

0

{Fo}3 = 0

0

0

0

direduksi

direduksi

direduksi


Hasil perakitan {Fo} struktur tereduksi :

{Fo}S =

Tahap 6 : Menyusun persamaan struktur

{F} + {Fo} = [K] {D}

dan menghitung vektor perpindahan {D}

Tahap 7 : Menyusun/menghitung vektor

perpindahan

dalam sumbu lokal (masing2 elemen)

rumus umum : {d} = [T] {D} , atau cukup dievaluasi secara grafis.

0 D4x 0

0 D4y 0

{d}#1 = 0 {d}#2 = R4z {d}#3 = 0

D4x 0 D4y

D4y 0 - D4x

R4z 0 R4z

Tahap 8a : Menghitung vektor gaya elemen

(dalam sumbu lokal)

{f}#i = [k]#i {d}#i – {fo}#i

Tahap 8b : Menggambar free body diagram

(dalam sumbu lokal)

Tahap 8c : Menggambar diagram gaya-dalam

SFD, BMD, NFD

(dalam sumbu lokal)

bag 5-3 frame

Documents