babi persamaanschrodinger -...

Bab I/Pers. Schrodinger/ 1

BAB I

PERSAMAAN SCHRODINGER

1.1 Mengapa Mempelajari Mekanika Kuantum

Pada akhir abad 17, Isaac Newton mengembangkan mekanika yang

membicarakan hukum gerak bagi obyek makroskopik. Pada awal abad 20, para fisikawan

menjumpai beberapa fenomena fisik seperti radiasi benda hitam, efek foto listrik dan efek

Compton yang tidak dapat dijelaskan secara klasik dengan teori gelombang elektromagnit

dan baru dapat diatasi setelah Einstein menerapkan teori kuantum Planck. Pada saat yang

hampir bersamaan juga dijumpai gerak mikrospik yang tidak dapat dideskripsi secara

benar oleh mekanika Newton. Sifat-sifat gerak mikroskopik dideskripsi oleh himpunan

hukum-hukum yang disebut mekanika kuantum.

Salah satu bidang ilmu kimia adalah Kuantum Kimia yang merupakan aplikasi mekanika

kuantum terhadap problem-problem kimia. Pengaruh kimia kuantum ini begitu terasa

pada hampir semua cabang kimia. Para ahli kimia fisik menggunakan kimia kuantum

untuk melakukan kalkulasi dalam termodinamika gas (disebut mekanika statistik, misal

pada perhitungan entropi dan kapasitas kalor), untuk menginterpretasi spektra molekul,

yang memungkinkan orang buat melakukan penafsiran eksperimental terhadap sifat

molekul (seperti panjang ikatan, sudut ikatan, momen dipole dan lain-lain), untuk

melakukan perhitungan terhadap keadaan transisi pada reaksi kimia sehingga orang dapat

mengekstimasi tetapan laju reaksi, untuk memahami gaya antar molekul, untuk

menyelesaikan hal-hal yang berhubungan dengan ikatan pada padatan.

Para ahli kimia organik menggunakan kimia kuantum untuk mengestimasi

stabilitas relatif molekul, untuk kalkulasi sifat-sifat yang berhubungan dengan

intermediate reaksi, untuk menginvestigasi mekanisme reaksi, untuk memprediksi

aromatisitas suatu senyawa dan untuk analisis spektra NMR.

Para ahli kimia analitik menggunakan kimia kuantum untuk metode spektroskopi

secara luas. Frekuensi dan intensitas garis spektrum hanya dapat dipahami dan

diinterpretasi melalui mekanika kuantum.

Para ahli kimia anorganik menggunakan pendekatan kuantum mekanik untuk

menyusun teori medan ligan dalam rangka memprediksi sifat-sifat ion kompleks logam

transisi.


Meskipun masih dengan kendala yang sangat banyak para ahli biokimia mulai

menggunakan pendekatan mekanika kuantum ini buat melakukan studi terhadap molekul

biokimia, ikatan enzim-substrat (enzyme substrate binding) dan solvasi terhadap molekul

biologi.

Dalam rangka menguasai kimia kuantum yang begitu luas dan pentingnya bagi

para kimiawan itulah maka kita mau tidak mau harus mempelajari mekanika Kuantum.

1.2 Sejarah Mekanika Kuantum

Perkembangan mekanika kuantum diawali ketika Planck melakukan studi

terhadap sifat-sifat cahaya yang berasal dari sebuah padatan yang dipanaskan. Pada 1801,

Thomas Young menyatakan bahwa cahaya mempunyai sifat gelombang dan hal ini

dibuktikan dengan adanya sifat difraksi dan interferensi manakala cahaya dilewatkan

pada dua buah lubang kecil yang berdekatan.

Sekitar 1860, James Clerk Maxwell mengembangkan 4 buah persamaan (disebut

persamaan Maxwell) yang menggabungkan hukum-hukum kelistrikan dan kemagnetan.

Persamaan Maxwell memprediksi bahwa muatan listrik yang diakselerasi akan meradiasi

energi dalam bentuk gelombang elektromagnetik yang terdiri atas oscilasi selang-seling

antara medan listrik dengan medan magnet. Prediksi Maxwell terhadap laju gelombang

elektromagnetik tersebut sama dengan laju cahaya yang diperoleh secara eksperimen.

Atas dasar ini Maxwell menyimpulkan bahwa cahaya adalah gelombang elektromagnetik.

Pada 1888, Heinrich Hertz mendeteksi adanya gelombang radio apabila muatan

listrik diakselerasi melalui bunga api, sebagaimana diprediksi oleh persamaan Makwell.

Hal ini lebih membuat yakin para fisikawan bahwa cahaya adalah gelombang

elektromagnetik.

Semua gelombang elektromagnetik melintas dengan laju c = 2,998 . 108 m/s

dalam ruang vakum. Hubungan antara laju (c), frekuensi () dan panjang gelombang ()

dinyatakan oleh persamaan:

. = c (1-1)

Pada akhir 1800-an fisikawan mengukur intensitas cahaya yang diemisi oleh

benda hitam yang dipanaskan pada temperatur tertentu. Benda hitam adalah obyek yang

mengabsorpsi seluruh cahaya yang jatuh padanya. Jika para fisikawan menggunakan

mekanika statistik dan model gelombang elektromagnetik untuk memprediksi kurva


intenlitas-dan-frekuensi bagi emisi radiasi benda hitam, maka mereka memperoleh hasil

yang sepenuhnya tidak sesuai dengan kurva eksperimental, khususnya pada porsi

frekuensi tinggi.

Pada 1900, Max Planck mengembangkan teori yang memberikan kesesuaian yang

luar biasa dengan kurva eksperimental radiasi benda hitam. Planck berasumsi bahwa

atom-atom dalam benda hitam tersebut dapat mengemisi energi cahaya dalam jumlah

tertentu yaitu h, dengan h adalah tetapan Planck = 6,63 . 1034 J.s sedang adalah

frekuensi. Nilai h ini memberikan kurva yang sangat sesuai dengan kurva radiasi benda

hitam hasil eksperimen. Hasil kerja Planck ini menengarai dimulainya mekanika kuantum.

Hipotesis Planck yang menyatakan bahwa hanya kuantitas tertentu saja yang

dapat diemisi oleh energi cahaya (jadi emisi energinya bersifat terkuantisasi atau diskrit)

merupakan pernyataan yang kontradiktif secara langsung pendapat para fisikawan

sebelumnya. Menurut pendapat klasik, energi gelombang cahaya ditentukan oleh

amplitudonya. Karena amplitudo dapat mempunyai sembarang harga dari nol ke atas

maka energi (begitu menurut pendapat klasik) harus dapat mempunyai sembarang harga

yang kontinum dari nol ke atas. Tetapi, kenyataan menunjukkan bahwa energi

terkuantisasi seperti yang dinyatakan oleh Planck-lah yang sesuai dengan kurva radiasi

benda hitam.

Aplikasi kedua dari sifat energi terkuantisasi adalah pada efek foto listrik. Dalam

kasus efek foto listrik, cahaya yang dijatuhkan pada permukaan logam, menghasilkan

emisi elektron. Menurut pendapat klasik, energi gelombang adalah sebanding dengan

intensitasnya dan tidak berhubungan dengan frekuensinya, sehingga gambaran

gelombang elektromagnetik seperti ini menuntun orang untuk memperkirakan bahwa

energi kinetik elektron meningkat sesuai dengan peningkatan intensitas cahaya tidak

peduli dengan frekuensinya. Ini berarti bahwa cahaya dengan frekuensi berapapun

seharusnya dapat menghasilkan foto listrik. Tetapi kenyataannya hanya cahaya dengan

frekuensi tertentu saja yang dapat menghasilkan foto listrik.

Pada 1905, Albert Einstein menunjukkan bahwa fenomena foto listrik itu dapat

dijelaskan melalui pemahaman bahwa cahaya merupakan sesuatu yang mirip materi (dan

disebut foton) yang masing-masing foton mempunyai energi:

Efoton = h . (1-2)


Ketika elektron logam mengabsorpsi foton, sebagian energi foton digunakan untuk

melawan gaya yang mengikat elektron dan sisanya, jika ada, akan muncul sebagai energi

kinetik. Efek foto listrik tidak akan terjadi manakala energi foton tidak cukup untuk

melawan gaya yang mengikat elektron.

Konservasi energinya adalah:

h . = + Ekinetik

dengan adalah energi minimum yang dibutuhkan untuk melepaskan elektron (biasa

disebut fungsi kerja) sedang Ekinetik adalah energi kinetik maksimum yang diterima oleh

elektron yang teremisi. Melalui fenomena foto listrik maka diyakini bahwa cahaya

mempunyai sifat partikel selain sifat gelombang seperti ditunjukkan oleh eksperimen

difraksi dan interferensi.

Sekarang marilah kita membicarakan struktur materi.

Pada akhir abad 19, percobaan tabung lucutan muatan listrik radioaktivitas natural

menunjukkan bahwa atom-atom dan molekul merupakan partikel yang bermuatan.

Elektron mempunyai muatan negatif. Proton, mempunyai muatan positif, sebesar muatan

elektron tetapi berlawanan tanda sedang massanya 1836 kali massa elektron. Penyusun

atom yang ketiga adalah netron (diketemukan 1932), tidak bermuatan dan sedikit lebih

berat dibandingkan proton.

Berawal pada 1909, Rutherford, Geiger dan Marsden melakukan serangkaian

percobaan yang sangat terkenal yaitu hamburan partikel alfa. Kesimpulan eksperimen ini

adalah bahwa sebagian besar dari volume atom adalah ruang kosong (karena sebagian

besar alfa tidak mengalami pembelokan arah), sedang seluruh massa terpusat pada inti

yang bermuatan positif.. Kesimpulan kedua diambil karena ada beberapa alfa yang

arahnya membelok. Pembelokan arah alfa diduga disebabkan oleh tolakan inti. Karena

alfa bermuatan positif, maka tolakan hanya terjadi jika inti juga bermuatan positif.

Jari-jari atom 1013 sampai 1012 cm, intinya terdiri atas sejumlah netron dan Z

proton. Z selanjutnya disebut nomor atom. Di luar inti atom terdapat Z elektron. Muatan-

muatan partikel berinteraksi sesuai dengan hukum Coulomb. Sifat kimia atom-atom dan

molekul ditentukan oleh struktur elektronnya.

Pada tahun 1911, Rutherford mengajukan model planet bagi atom. Tetapi

kesulitan muncul sehubungan dengan model ini. Menurut teori elektromagnetik klasik,


partikel yang bergerak melengkung dengan kecepatan konstan pasti memperoleh

akselerasi dari waktu ke waktu, karena arah vektor kecepatannya berubah terus menerus.

Padahal jika partikel bermuatan mengalami akselerasi maka ia akan meradiasi energi

berupa gelombang elektromagnetik, sehingga elektron sepanjang lintasannya akan

kehilangan energi sehingga bentuk lintasannya seharusnya adalah spiral dan pada

akhirnya elektron akan jatuh ke dalam inti.

Salah satu kemungkinan untuk mengatasi kesulitan in, diajukan oleh Niels Bohr,

ketika ia menggunakan konsep energi terkuantisasi pada atom hidrogen. Bohr berasumsi

bahwa energi elektron atom hidrogen terkuantisasi, dan elektron bergerak hanya pada

satu lintasan tertentu yang diijinkan. Jika elektron berpindah dari satu orbit ke orbit yang

lain maka akan terjadi emisi atau absorsi foton menurut relasi:

Etinggi Erendah = h (1-3)

dengan Etinggi dan Erendah adalah tingkat energi.

Kesulitan mendasar yang muncul dalam model atom Bohr, adalah ketika ia

menggunakan mekanika Newton untuk mendeskripsi gerak elektron dalam atom. Fakta

spektra menunjukkan bahwa energi atom bersifat diskrit artinya hanya harga tertentu saja

yang diijinkan, padahal mekanika Newton mengijinkan rentang energi secara kontinum.

Pemaksaan aplikasi mekanika Newton merupakan kelemahan utama model Bohr.

Keadaan terkuantisasi terjadi pada gerak gelombang, misalnya frekuensi nada

dasar dan overton pada senar gitar. Oleh karena itu, De Broglie pada tahun 1923

mengajukan hipotesis bahwa gerak elektron adalah gerak gelombang dengan panjang

gelombang yang dinyatakan dengan:

= hm v

=ph (1-4)

dengan p adalah momentum linear, m massa dan v kecepatan elektron. De Broglie

mengemukanan (1-4) melalui alasan dan analogi dengan foton. Menurut teori relativitas

Einstein, energi semua partikel (termasuk foton) dapat dinyatakan dengan E = m . c2

dengan kecepatan cahaya. Untuk foton, E = h = h c/Penggabungan keduanya

menghasilkan = h/mc = h/p. Persamaan (1-4) adalah analogi dari yang dikenakan

pada gerak elektron.


Pada tahun 1927, Davisson dan Germer secara eksperimen melakukan konfirmasi

terhadap hipotesis De Broglie melalui percobaan difraksi elektron. Pada 1932, Stern,

melakukan hal yang sama, kemudian melakukan verivikasi bahwa efek gelombang pada

elektron adalah sesuatu yang tidak mustahil, dan hal ini merupakan konsekuensi dari

beberapa hukum gerak bagi partikel mikroskopik.

Jadi, elektron dalam satu peristiwa menyerupai partikel dan pada peristiwa yang

lain menyerupai gelombang. Dengan demikian kita dihadapkan dengan munculnya

kontradiksi yang disebut “dualitas gelombang-partikel” pada materi (dan cahaya).

Bagaimana mungkin, elektron dapat berlaku sebagai partikel (yang bersifat terlokalisir)

sekaligus juga berlaku sebagai gelombang (yang bersifat takterlokalisir) ? Jawabnya

adalah bahwa elektron adalah bukan partikel dan bukan pula gelombang tetapi sesuatu

yang lain. Pengilustrasian secara akurat terhadap sifat-sifat elektron dengan

menggunakan konsep fisika klasik tentang gelombang atau partikel adalah sangat tidak

mungkin. Konsep fisika klasik telah dikembangkan atas dasar pengalaman dalam dunia

makroskopis dan tidak ditujukan bagi dunia mikroskopis.

Meskipun foton dan elektron keduanya menunjukkan gejala dualitas, namun

keduanya tetap bukan merupakan sesuatu yang sejenis. Foton senantiasa bergerak dengan

kecepatan c dan massa diam nol, sedang elektron bergerak dengan v < c dan massa

diamnya tidak nol. Foton harus selalu ditangani secara relativistik sedang elektron yang

berkecepatan rendah boleh ditangani secara non relativistik.

1.3 Prinsip Ketidakpastian

Sekarang akan kita bahas efek yang ditimbulkan oleh dualitas gelombang-partikel

terhadap pengukuran secara simultan posisi dalam koordinat x dengan px (komponen x

momentum linear) dari sebuah partikel mikroskopik. Untuk itu ikuti uraian berikut:

Berkas partikel dengan momentum p, melintas searah sumbu y melalui celah

sempit. Di belakang celah tersebut dipasang plat fotografi.

p

A

w BE

y D

x


p

Keterangan:

A = ujung atas celah B = Pertengahan celah E = ujung bawah celah

D = difraksi minimum I bagian atas

Gambar 1.1: Difraksi elektron melalui celah

Partikel yang melalui celah yang lebarnya w mempunyai ketidakpastian w pada

arah koordinat x nya pada saat melintas melalui celah tersebut. Jika ketidakpastian arah x

ini secara umum disebut x, maka x = w.

Karena partikel mikroskopik mempunyai sifat gelombang, maka mereka

didifraksi oleh celah dan menghasilkan pola difraksi yang ditangkap oleh plat foto di

balik celah. Ketinggian grafik pada suatu titik di layar foto pada gambar 1-1, diukur

berdasarkan banyaknya partikel yang mencapai titik itu. Pola difraksi menunjukkan

bahwa ketika partikel didifraksi oleh celah, arah geraknya berubah sehingga partikel yang

berubah arah itu momentumnya ditransfer ke arah x. Arah momentum komponen x

dinyatakan sebagai proyeksi vektor momentum pada arah x. Partikel yang arahnya

membelok ke atas (arah x positif) dengan sudut sebesar , mempunyai px = p sin .

Partikel yang arahnya membelok ke bawah (arah x negatif) dengan sudut sebesar ,

mempunyai px = p sin . Karena semua partikel mengalami pembelokan dengan

rentang antara sampai dengan adalah sudut untuk minimum pertama dalam pola

difraksi, maka kita akan mengambil separuh sebaran nilai momentum di pusat puncak

difraksi sebagai ukuran ketidakpastian px, jadi px = p sin . Dengan demikian, pada,

yaitu tempat dilakukannya pengukuran,

x . px = p w sin 1-5


Besarnya sudut dapat diketahui lewat pengukuran. Untuk minimum yang

pertama, besarnya sudut diperoleh melalui pengukuran terhadap sudut yang dibentuk

oleh lintasan partikel yang membelok ke minimum pertama bagian atas dengan lintasan

partikel yang tidak mengalami pembelokan. Pada kondisi minimum pertama, perbedaan

jarak tempuh partikel yang mengalami pembelokan dengan yang tidak mengalami

pembelokan adalah 1/2

Untuk melakukan kalkulasi terhadap difraksi minimum pertama perhatikan

gambar 1-2. Titik A adalah ujung atas celah, titik D adalah titik minimum difraksi

pertama, E adalah ujung bawah celah, titik B adalah pertengahan celah., titik C adalah

titik yang diletakkan sedemikian rupa sehingga jarak AD = CD dan BC merupakan

selisih jarak BD dengan AD. Mengingat jarak antara celah dengan plat foto relatif jauh

tak terhingga dibandingkan dengan lebar celah, maka garis AD dan BD relatif hampir

paralel. Akibatnya titik C dan B hampir berimpit dan sudut ACB praktis merupakan sudut

lurus dan besarnya sudut BAC = sehingga panjang garis BC = 1/2w sin BC adalah

selisih panjang lintasan partikel yang melalui pertengahan celah dan yang melalui titik

atas celah yang menuju ke titik minimum difraksi pertama D. Karena difraksi dapat

berlangsung, maka ini hanya mungkin jika selisih panjang lintasan itu yaitu BC = 1/2 ,

jadi w sin = dan persamaan (1-5) boleh ditulis x.px = pKarena = h/p maka x .

px = h. Karena ketidakpastian tidak dapat didefinisikan secara persis maka penggunaan

tanda = dipandang kurang tepat dan diganti tanda , dan ketidakpastian itu ditulis:

x . px h (1-6)

Dalam pasal (5.1) akan kita bahas definisi statitikal terhadap ketidakpastian untuk

menggantikan (1-6).

D

A

BC

E

½ W

D


Gambar 1.2: Kalkulasi difraksi minimum pertama

Meskipun yang telah kita tunjukkan untuk memperoleh (1-6) hanya dirancang untuk

sebuah eksperimen saja, namun validitasnya adalah general. Untuk materi yang memiliki

dualitas gelombang partikel, adalah tidak mungkin melakukan pengukuran secara

simultan terhadap posisi dan momentumnya. Artinya jika kita menentukan presisi yang

sangat tinggi untuk posisi maka ini akan berakibat berkurangnya akurasi penentuan

momentum (Dalam gambar 1.1, sin = /w, jadi makin kecil lebar celah, makin melebar

pola difraksi). Fenomena ini disebut Prinsip Ketidakpastian yang dikemukakan oleh

Werner Heissenberg pada tahun 1927.

1.4 Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu

Mekanika klasik atau mekanika Newton sangat sukses dalam mendeskripsi gerak

makroskopis, tetapi gagal dalam mendeskripsi gerak mikroskopis. Gerak mikroskopis

membutuhkan mekanika khusus yang disebut mekanika kuantum. Karena gerak partikel

mikroskopis adalah gerak gelombang (menurut de Broglie) maka salah satu metode

membangun mekanika kuantum adalah dengan pendekatan gelombang, oleh karena itu

maka mekanika kuantum juga disebut mekanika gelombang.

Perbedaan mendasar antara mekanika klasik dengan mekanika kuantum adalah

bahwa dalam mekanika kuantum state ( posisi, kecepatan, momentum dan gaya yang

bekerja) suatu partikel pada saat tertentu dapat ditentukan secara eksak dengan

menggunakan hukum Newton. Sedang pada mekanika kuantum, karena adanya prinsip

ketidakpastian pada pengukuran momentum partikel, maka state suatu partikel tidak

dapat ditentukan dengan pasti tetapi orang hanya dapat menentukan kebolehjadian suatu

partikel menempati state tertentu.

Dalam mekanika kuantum state suatu sistem dapat diperoleh manakala fungsi

gelombang partikel diketahui. Untuk mengetahui fungsi gelombang orang harus

mempunyai persamaan gelombang partikel mikroskopis. Karena persamaan gelombang

ini diperoleh oleh Schrodinger, maka persamaannya disebut persamaan Schrodinger.

Persamaan Schrodinger merupakan jantungnya mekanika kuantum, karena

melalui persamaan Schrodinger inilah fungsi gelombang dapat diperoleh. Untuk itu kita


perlu mengetahui apakah persamaan Schrodinger itu dan bagaimana persamaan

Schrodinger itu diperoleh?

Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang menyatakan hubungan antara turunan

pertama fungsi gelombang terhadap waktu dengan turunan kedua fungsi tersebut

terhadap koordinat.

Dari definisi itu dapat disimpulkan fungsi gelombang merupakan fungsi koordinat

dan waktu. Agar pembahasannya tidak terlalu rumit maka kita akan mulai dengan

membahas bagaimana persamaan Schrodinger untuk gelombang sebuah partikel satu

dimensi. Untuk mendapatkan persamaannya Schrodinger menggunakan fungsi

gelombang fisik yang telah dikenal, misal fungsi rambatan gelombang harmonik satu

dimensi, yaitu:

F(x , t) = A . e i ( kx t ) (1-7)

dengan:

k = 2 / dan = 2 ; = panjang gelombang ; = frekuensi

gelombang

Turunan pertama terhadap t:

∂F(x,t) /∂t = i A . e i ( kx t ) = i F(x,t) (1-8)

Turunan kedua terhadap x:

∂2 F(x,t) / ∂x2 = k2 .A . e i ( kx t ) = k2 F(x,t) (1-9)

Jadi:

ttxF

),( =

2k

i2

2

x

)t,x(F

(1-10)

Sampai saat ini kita masih berada di daerah fisika klasik. Sekarang kita akan masuk ke

daerah kuantum yaitu dengan menggunakan hubungan E = h jadi = E / h jadi:

= 2 = 2 E / h =E (1-11)

Kita juga memanfaatkan dualisme de Broglie yaitu p = h / sehingga:

k = 2 / = 2 p / h =p (1-12)

Subtitusi (1-11) dan (1-12) ke dalam (1-10) menghasilkan:


ttxF

),( = i

2p

E2

2 ),(

x

txF

(1-13)

Karena sudah masuk ke daerah kuantum, maka notasi fungsi gelombangnya diganti (x,t)

sehingga (1-13) ditulis:

ttx

),( = i

2p

E2

2 ),(

x

tx

(1-14)

E adalah jumlah energi kinetik T dan energi potensial V, jadi:

ttx

),( = i

2p

VT 2

2 ),(

x

tx

(1-15)

atau:

ttx

),( = i

2p

T2

2 ),(

x

tx

+ i2p

V2

2 ),(

x

tx

(1-16)

Jika T diganti p2/ 2m , maka: diperoleh:

ttx

),( = i

m21

2

2 ),(

x

tx

+ i2p

V2

2 ),(

x

tx

(1-17)

atau:

ittx

),( =

m2

22

2 ),(

x

tx

22

p

V2

2 ),(

x

tx

(1-18)

Sebenarnya (1-18) tersebut sudah merupakan persamaan Schrodinger, tetapi yang lebih

lazim2

2 ),(

x

tx

di suku kedua ruas kanan diganti dengan k2 (x,t) yaitu analog

dengan (1-9) sehingga (1-18) boleh ditulis:

ittx

),( =

m2

22

2 ),(

x

tx

22

p

V k2 (x,t) (1-19)

dan karena k = p / , maka (1-19) juga boleh ditulis:

ittx

),( =

m2

22

2 ),(

x

tx

V (x,t) (1-20a)


Persamaan (1-20a) itu adalah persamaan gelombang Schrodinger bergantung waktu

untuk sebuah partikel dalam satu dimensi . Kadang-kadang beberapa buku menulis (1-

20a) dalam bentuk:

i

ttx

),( =

m2

22

2 ),(

x

tx

V (x,t) (1-20b)

Apakah makna fisik Ruas Kiri Persamaan Schrodinger ?

Kita telah tahu bahwa sesuai dengan (1-8) maka:

ttx

),( = i (x,t)

Jadi:

i

ttx

),( = (x,t)

padahal = 2 jadi:

i

ttx

),( = h (x,t)

Karena h = E, maka:

i

ttx

),( = E (x,t) (1-21)

atau:

i

)t,x(1

ttx

),( = E (1-22)

Bagaimana makna fisik Ruas Kanan ?

Kita telah tahu bahwa makna fisik ruas kiri persamaan adalah E (x,t). Jadi ruas

kananpun = E (x,t)

Jadi:

m2

22

2 ),(

x

tx

V (x,t) = E (x,t) (1-23)

dengan demikian maka:

m2

22

2

x

V = E (1-24)


Dalam mekanika kuantum maka m2

22

2

x

V juga disebut operator energi. Jadi

dikenal dua macam operator energi yaitu i

t dan

m2

22

2

x

V. Pada perkembangan

berikutnya nanti operator energi yang lebih populer adalah m2

22

2

x

V yang juga

dikenal dengan nama operator Hamilton atau H . Jadi:

H =

m2

22

2

x

V (1-25a)

atau:

E =

m2

22

2

x

V (1-25b)

Setelah kita tahu bahwa m2

22

2

x

V adalah operator untuk E padahal kita juga tahu

bahwa E = T + V maka sudah dapat dipastikan bahwa m21

2

2

x

adalah operator untuk

T atau operator energi kinetik. Jadi:

T =

m2

22

2

x

(1-26)

Tentang Fungsi Gelombang

Kata state suatu sistem mengacu pada kecepatan posisi partikel pada saat tertentu serta

gaya yang bekerja pada partikel tersebut. Dalam mekanika klasik, tepatnya menurut

hukum Newton, massa tepat state sistem dapat diprediksi secara eksak apabila state

sistem saat ini diketahui. Dalam mekanika kuantum, state sistem direpresentasikan oleh

fungsi gelombang yang merupakan fungsi koordinat dan waktu. Informasi masa depan

suatu sistem dalam mekanika kuantum dapat dikalkulasi dengan menggunakan

persamaan Schrodinger, hanya saja karena adanya prinsip ketidakpastian pada

pengukuran posisi dan momentum, maka prediksi secara eksak seperti yang terjadi pada

mekanika klasik tidak dapat diberikan oleh fungsi gelombang.


Fungsi gelombang memuat semua informasi yang dapat kita ketahui mengenai

sistem yang didiskripsinya. Informasi apakah yang diberikan oleh mengenai hasil

pengukuran koordinat x partikel? tidak dapat memberikan informasi posisi secara tepat

seperti yang dilakukan oleh mekanika klasik. Jawaban yang benar terhadap pertanyaan

tersebut diberikan oleh Max Born beberapa saat setelah Schrodinger menemukan

persamaan Schrodinger. Born membuat postulat bahwa:

dxtx2

),( (1-27

merupakan peluang pada waktu t untuk menemukan partikel sepanjang sumbu x yang

terletak antara x dengan x + dx. Fungsi ( , )x t2 adalah fungsi kerapatan peluang

(probability density) untuk mendapatkan partikel di sembarang tempat sepanjang sumbu

x. Sebagai contoh, dianggap bahwa pada sembarang waktu tertentu t0 sebuah partikel

didiskripsi oleh fungsi gelombang a e bx. 2

dengan a dan b adalah tetapan real. Jika kita

mengukur posisi partikel pada saat t0 , kita dapat memperoleh sembarang harga x sebab

nilai rapat peluangnya yaitu a e bx2 2 2 tidak nol, berapapun harga x-nya. Nilai x = 0

adalah lebih baik dibandingkan nilai x yang lain karena di titik asal (x = 0), harga 2

mencapai maksimum.

Untuk membuat hubungan yang tepat antara 2 dengan hasil pengukuran

eksperimental, kita harus mengambil sejumlah sistem identik yang tidak saling

berinteraksi, masing-masing berada dalam keadaan yang sama. Kemudian kita dapat

mengukur posisi dalam masing-masing sistem. Jika kita mempunyai n sistem dan

membuat n pengukuran, dan jika dnx adalah banyaknya pengukuran yang dimana kita

menjumpai partikel terletak antara x dan x + dx, maka dnx/n adalah peluang mendapatkan

partikel pada posisi antara x dan x + dx. Jadi:

dnn

x = 2 dx

dan grafik (1/n)dnx /dx versus x adalah kerapatan peluang 2 .

Kuantum mekanik pada dasarnya dilandasi oleh sifat statistikal. Dengan

memahami keadaan sistem pada saat tertentu, kita tidak dapat memprediksi hasil


pengukuran posisi secara pasti. Kita hanya dapat memprediksi kemungkinan dari

berbagai hasil yang mungkin. Teori Bohr yang menyatakan bahwa elektron beredar pada

lintasan yang berjarak pasti dari inti, merupakan pernyataan yang tidak dapat diterima

oleh mekanika kuantum.

1.5 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung (Bebas) Waktu

Persamaan Schrodinger bergantung waktu (1-20a) tampak sangat menyeramkan.

Untungnya, dalam aplikasi mekanika kuantum dalam kimia, ternyata tidak perlu kita

berhadapan dengan persamaan tersebut dan sebagai gantinya kita cukup menggunakan

persamaan Schrodinger bebas waktu, yang untuk sebuah partikel dalam sistem satu

dimensi, persamaannya adalah:

0 )()V(E 2m+ d

(x)22)(

2

x

dxx

(1-28)

Persamaan (1-28) dapat diturunkan dari persamaan (1-20a) melalui langkah-langkah

sebagai berikut:

Perlu diketahui bahwa ( x , t ) adalah gabungan dari x dan t dan dinyatakan:

( x , t ) = x . t (1-29)

Jika (1-29) dimasukkan ke dalam (1-20a) diperoleh:

txtxtx

xmti

t)(x,2

22V +

2 = (1-30)

Jika kita batasi bahwa fungsi energi potensial hanya merupakan fungsi x saja dan bebas

waktu, maka (1-30) ditulis:

txtxtx

xmti

(x)2

22V +

2 =

atau:

tx(x)2x

2t

2t

x V + dx

dm2

= dt

d

i

(1-31)

Jika (1-31) dibagi x setelah itu hasilnya dibagi t maka diperoleh:

(x)2x

2

x

2t

tV +

dx

d1m2

= dt

d1 i

(1-32)


Jika ruas kiri (1-32) dibandingkan dengan (1-22) maka ruas kiri (1-32) itu adalah E, jadi

(1-32) dapat ditulis:

E = V + 12

(x)2

22

dx

dm

x

x

atau

xx(x)2x

22E = V +

dx

dm2

atau: 0 )x()V(E 2m+

dx

d(x)22

)x(2

Persamaan diatas adalah persamaan (1-28) yang kita turunkan.

Selanjutnya untuk mengetahui penyelesaian t kita ikuti langkah berikut:

Seperti ruas kanan, ruas kiri (1-32) = E, maka:

= dt

d1 i

t

t

E atau

E i= 1

ttd dt

yang jika diintegralkan:

c + iEt ln t

jadi:

/iEtCt e.e = A. e iEt /

Konstanta A pada t dapat dilimpahkan pada x pada perkalian (1-29) sehingga:

t = e iEt / (1-33)

Jika (1-33) dimasukkan kedalam (1-29) maka kita peroleh bentuk fungsi gelombang

sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yaitu:

( x , t ) = e iEt / . x (1-34)

Tampak bahwa fungsi gelombang partikel merupakan fungsi komplek, padahal kerapatan

peluang adalah2

),( tx . Untuk fungsi komplek harga kuadrat absolutnya adalah hasil

kali fungsi itu dengan fungsi konjugatnya.

( , )x t2 =

( , )

*x t

. ( , )x t (1-35)

( , )

*x t

adalah fungsi konjugat dari( , )x t yaitu ( , )x t yang i nya diganti i.

1.6 Probabilitas


Telah kita bicarakan bahwa kerapatan peluang = ( , )x t2 =

( , )

*x t

. ( , )x t sedang

peluang mendapatkan partikel pada segmen sepanjang dx yaitu dari x sampai x + dx

adalah ( , )x t2 dx = *

),( tx . ( , )x t dx, maka untuk menentukan peluang untuk rentang

tertentu misal dari a sampai b, adalah menjumlahkan peluang dari segmen ke segmen

sepanjang antara a dan b. Penjumlahan seperti itu pada dasarnya adalah pengintegralan.

Jadi:

P( a < x < b ) = ( , )x t

b

adx

2 =

( , )

*x t

a

b

. ),( tx . dx (1-36)

Jika interval dari a sampai b tersebut dimulai dari ~ sampai + ~ maka peluang dijumpai

partikel pada interval tersebut pasti = 1 artinya kita pasti menjumpai partikel jika kita

mencarinya mulai dari posisi ~ sampai + ~. Jadi kita boleh menulis:

P( ~ < x < +~ ) = dx2

)t,x(~

~

=

~

~*

)t,x(. ( , )x t . dx = 1 (1-37)

Fungsi gelombang partikel yang memenuhi persamaan (1-37) disebut fungsi gelombang

ternormalisasi.

Soal-soal Bab 1

1. Hitunglah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang melintas dengan

kecepatan 1/137 kali kecepatan cahaya. (dengan kecepatan tersebut, pendekatan

relativistik boleh diabaikan).

2. Fungsi kerja Na adalah 2,28 eV. Tentukan:

a. energi kinetik maksimum dari fotoelektron yang diemisi oleh Na , jika proses

fotolistrik tersebut menggunakan cahaya ultra violet yang panjang gelombangnya

200 nm.

b. berapa panjang gelombang cahaya maksimal yang masih dapat menghasilkan

fotolistrik terhadap Na ?


3. Ketika J.J Thomson melakukan investigasi terhadap elektron melalui eksperimen

tabung sinar katoda, ia melakukan pengamatan terhadap sifat-sifat elektron dengan

menggunakan pendekatan mekanika klasik.

a. Jika elektron diakselerasi dengan energi kinetik 1000 eV, dan melalui celah yang

lebarnya 0,1 cm, berapakah besarnya sudut difraksi dalam gambar 1.1

b. Berapa lebar celah yang diperlukan agar elektron dengan energi kinetik 1000 eV

menghasilkan = 1o ?

4. Diketahui sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yang dinyatakan oleh fungsi:

= / xm b- tb i- 2e e a .

a dan b adalah konstanta dan m adalah massa patikel. Dengan menggunakan

persamaan Schrodinger bergantung waktu, tentukan fungsi energi potensial bagi

sistem tersebut.

Diketahui sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yang dinyatakan oleh fungsi:

x = b x2 xce . Tentukan energi partikel tersebut jika diketahui:

Fungsi energi potensial = V = m/xc2 222

b = konstanta ; c = 2 nm2 ; m = 1,00 . 1030 kg

6. Pada saat tertentu, sebuah partikel dalam sistem satu dimensi, dideskripsi oleh

= (2 / b3 )1/2x.ex/ b . dengan b = 3 nm. Jika pada saat itu diadakan pengukuran

terhadap x , maka:

(a) Tentukan probabilitasnya agar hasil pengukurannya antara 0,9 dan 0,9001 nm

(anggaplah bahwa dx amat kecil dibandingkan dengan 0,9 nm)

(b) Tentukan probabilitasnya agar hasil pengukurannya antara 0 dan 2 nm.

(c) Untuk x bernilai berapakah, probabilitas akan minimum ? (tidak perlu dijawab

secara kalkulus)

(d) Buktikan bahwa ternormalisasi.

No. 7 sampai dengan selesai adalah tentang bilangan kompleks

7. Plot-lah bilangan kompleks berikut :

(a) z = 3 + 4 i (b) z = 4 i (c) z = 3 i (d) z = 4

8. Nyatakan bilangan kompleks berikut kedalam bentuk z = r ei :

(a) z = 3 + 4 i (b) z = 4 i (c) z = 3 i (d) z = 4


9. Nyatakan bilangan komplek berikut dalam bentuk z = x + y i dan buat plotnya:

(a) z = 4 e 3 i (b) z = 3 i /4

10. Tentukan komplek konjugasi dari bilangan kompleks berikut:

(a) z = 3 + 4 i (b) z = 4 i (c) z = 3 i (d) z = 4

(e) z = 4 e 3 i (e) z = 3 i /4

11. Buktikan bahwa

(a) 1/ i = i (b) e i = cos + i sin (c) sin = (e i e i ) / 2 i

12. Di antara bilangan-bilangan berikut, mana yang bilangan komplek:

(a) 3 + i4 (b) 5 + 3 i2 (c) i3 (d) 10 + 4 i5


Jawab:

1. Gelombang de Broglie :

p = h

p = m . v

Dengan memasukkan harga m dan v elektron, p dapat dihitung. Jika p sudah diketahui,

dapat dihitung.

2. Dalam fotolistrik berlaku

a. E foton = h . = h . c = + Ekinetik

dengan memasukkan harga dan dan fungsi kerja maka enegi kinetik dapat

dihitung

b. Untuk menghirung ambang gunakan: h . c >

3. a. Untuk menghiutng sudut difraksi kita gunakan relasi:

p = p sin

p dihitung dari relasi : p . x = h dengan x = lebar celah

p dihitung dari energi kinetik elektron, ingat : Ek = p2 / 2m

b. solusinya merupakan kebalikan dari a. Kita telah tahu harga p, selanjutnya kita cari

harga p melalui p = p sin Selanjutnya x dapat dihitung.

4. Persamaan Schrodinger bergantung waktu adalah:

= + V(x,t) i t m x

x t x tx t

( , ) ( , )( , )

2 2

22

(4-6)

Kita selesaikan dulu ruas kiri:

/ xm b - tb i-)t,x( 2 e e a

ti =

ti

e dtd

i e a tb i-/ xm b - 2 e

i b . i . e a tb i-/ xm b - 2

e . e a b tb i-/ xm b - 2 b

Dengan demikian persamaan (4-6) menjadi:


b ( x, t) )t,x(t)(x,2)t,x(

22V +

xm2 =

Selanjutnya kita selesaikan suku pertama ruas kanan:

m2

xm2

2

2)t,x(

22

/ xm b - tb i-

2

2 2 e e a

x

/bmx2

2 tb i -

2 2 e

dx

d e a . m2

/bmx tb i -2 2

e dxd .

dxd e a .

m2

/bmx tb i -2 2

e 2bmx - . dxd e a .

m2

/bmx tb i -2 2

e . x dxd e a 2bm .

m2

/bmx2 /bmx tb i -

2 22 e xm 2b e e a 2bm .

m2

2 /bmx tb i -

2xm 2b 1 e e a 2bm .

m2

2

xm 2b 1 2bm . m2

22

xm 2b 1 . b 2

Sekarang persamaan Schrodinger menjadi:

b ( x, t) xm 2b 1 . b 2

( x, t) )t,x(t)(x,V +

atau:

b ( x, t) xm 2b 1 . b 2

( x, t) )t,x(t)(x,V +

atau:

b xm 2b 1 . b 2

t)(x,V +


Jadi fungsi energi potensialnya adalah:

t)(x,V = b xm 2b 1 . b 2

= b b + 22 xmb2

= 22 xmb2

5. Berbeda dengan soal no. 4 yang fungsi gelombangnya merupakan fungsi x dan t,

maka pada soal no. 5 ini fungsi gelombangnya hanya merupakan fungsi x, sehingga

untuk menyelesaikannnya kita gunakan persamaan Schrodinger tak bergantung waktu

(Persamaan 5-1)

d + 2m (E V

2

(x)

( ) ) ( )x

dxx

2 20

(5-1)

Jika V kita masukkan akan kita peroleh:

2m+ dx

d22

)x(2

(E m/xc2 222 ) ( x ) = 0

Kita selesaikan suku pertama ruas kiri:

dx

d2

)x(2

dxd.

dxd

2 xce dxd.

dxd

2 xce dxd

2 xce 2 xce

dxd

2 xce 2 xce

2 xce

2 xce

2 xce

2 xce

Dengan demikian persamaan Schrodinger menjadi:

( 2m2 m/xc2 222

atau:

2m2 m/xc2 222


2m2 m/xc2 222 m/xc2 222

m2

2

Jadi:

m

2 m

2

m

2 m

2 m

2 m

2

babi persamaanschrodinger -...

Documents