operator mekanika kuantum

FISIKA KUANTUM 256

OPERATOR MEKANIKA KUANTUM

Werner Heisenberg (1901 – 1976), warga Jerman, sangat terkenal

karena asas Ketidakpastiannya, ia juga

mengembangkan suatu rumusan lengkap mengenai

teori kuantum yang didasarkan pada matriks.

BAB VI : Operator Mekanika Kuantum 257

6.1. Pendahuluan

Operator yang merepresentasikan variabel dinamik dalam

suatu sistem mekanika kuantum memainkan peran yang penting dalam mekanika kuantum. Hal tersebut dapat disim-pulkan dari perangkat postulat yang menjadi landasan mekanika gelombang.

Bab ini khusus mempelajari sifat-sifat operator mekanika kuantum dan hubungan dengan operator-operator dengan beberapa kaedah penting. Kesimpulan tentang perilaku suatu sistem mekanika kuantum seringkali dapat ditarik melalui hubungan dan sifat-sifat operatornya tanpa harus memecahkan persamaan diferensial parsial yang berkaitan dengan sistem itu. Itulaah pula alasan mengapa perlu disajikan satu Bab khusus untuk keperluan ini

Apakah operator liner itu? Secara umum batasan operator linier bilamana kerjanya terhadap suatu kombinasi linier dua fungsi dalam ruang fungsi diberikan oleh:

op 1 1 2 2 1 op 1 2 op 2A A A (6.1)

Dalam hubungan di atas 1 2 dan merupakan tetapan yang boleh berharga kompleks.

Berpangkal dari operator linier tertentu dapat dibuat operator linier yang baru melalui operasi aljabar sebagai berikut.

a. perkalian operator dengan suatu tetapan c: op opcA Ac b. jumlah dua operator Aop dan Bop op op A BopS c. hasil kali dua operator Aop dan Bop

op op op op A B A BopP Khusunya tentang butir c di atas dapat dinyatakan disini bahwa tidak selamanya Aop Bop = Bop Aop.

FISIKA KUANTUM 258

6.2. Harga Ekspektasi dan Persoalan Nilai Eigen

Apakah ada syarat yang harus dipenuhi oleh suatu operator mekanika kuantum?. Karena operator linier Aop ber-kaitan dengan variabel dinamika A, maka tentunya diinginkan agar harga ekspektasi A yang diperoleh dengan memper-gunakan operator Aop adalah riel, jadi Persamaan (9.2) harus riel.

opAA

(6.2)

A adalah riel apabila harga tersebut sama dengan kompleks

konjugatenya, yakni: A = A * (6.3) Maka ini berarti bahwa :

*

*

A A

(6.4)

Jelas bahwa

* * * * karena d d d

Arti daripada *

op opA A adalah

op

** ** * * *A A A Aop op opA d d dop Jadi syarat yang harus dipenuhi oleh suatu operator mekanika kuantum adalah bahwa: op opA A (6.5)


Operator yang mempunyai sifat semacam ini dinamakan operator Hermite. Andaikan bahwa suatu keadaan dinyatakan dengan fungsi gelombang yang merupakan kombinasi linier: ; apakah syarat yang harus dipenuhi agar harga ekspektasi suatu variabel dinamik itu berharga riel?. Perhatikan berikut ini.

op* *

A A A Aop op op opA

adalah riel dengan adalah tetapan yang mungkin kompleks, oleh karena itu dipresentasikan saja sebagai o; dimana adalah rieli

oe

Sekarang masalahnya adalah syarat agar riel untuk :

op opA Ai ie e Agar riel maka harus sama dengan kompleks konjugetnya:

op opA Ai ie e = op opA Ai ie e Jadi :

A A A Aop op op opi iee

Ini berlaku untuk setiap harga , jika dan hanya jika :

op opA A dan

op opA A (6.6) Atau

*

op opA A dan

*

op opA A (6.7) Dari mekanika kuantum telah diketahui bahwa pengukurannya berlandaskan kebolehjadian, sehingga kita harus berbicara tentang harga ekspektasi dan statistik harga variabel dinamik-nya. Dalam statistik maka ukuran yang penting adalah

FISIKA KUANTUM 260

A= A- A , dan 1

2 2 22A A atau A A

apabila dijabarkan maka diperoleh bahwa: 22 2A A A (6.8) Pertantayaan sekarang adalah: Apakah ada situasi dengan ΔA = 0?, artinya tidak ada fluktuasi statistik untuk harga variabel dinamika A?

2op2

AA

22 op

2

AA

Apabila tidak fluktuasi ΔA = 0, maka 22A A

22

op opA A Tetapi karena Aop operator Hermite :

2op opA A

Oleh karena itu: op op op opA A A A Kesimpulan yang dapat diambil adalah: op A (6.9) Andaikan bahwa faktor perbandingan adalah a, maka :

opA = a (6.10) Persamaan (6.10) adalah suatu persamaan nilai eigen untuk operator Aop, dimana merupakan fungsi eigen operator itu dengan nilai eigen a. Jadi kita sampai pada suatu kesimpulkan yang sangat penting, yakni besaran dinamik A memiliki harga yang pasti (kebolehjadian =1) tertentu, sistem fisiknya dipresentasikan


oleh fungsi eigen a dari operator hermit Aop. Harga yang dimiliki A untuk keadaan yang dinyatakan dengan a itu adalah a: opA = a . Kesimpulan tersebut di atas sangat penting. Hal ini antara lain dapat dilihat dari operator Hamilto Hop yang menya-takan energi total dari suatu sistem. Untuk kasus sistem kon-servatif, seperti umpamanya sistem atom hidrogen, kita mengandaikan bahwa energi total sistem memiliki harga ter-tentu E apabila sistem berada dalam keadaan stationer.

Contoh 6.1. Momentum linier suatu partikel yang bergerak dalam ruang bebas, momentumnya berharga pasti dan tertentu, yakni:

p krr h dengan

122 ok m E

r.

6.3. Sifat-sifat Operator Mekanika Kuantum Untuk memudahkan penyajiannya maka sifat-sifat operator mekanika kuantum ditampilkan dalam seperangkat teorema. Teorema I : Operator Hamilton untuk parikel tunggal dalam medan potensial V(r) adalah operator Hermit. Bukti: V(r) adalah operator perkalian saja, oleh karena itu bersifat Hermit.

FISIKA KUANTUM 262

Contoh 6.2. Apakah operator 2 bersifat Hermit? Penyelesaian: Andaikanlah bahwa dan merupakan fungsi gelombang untuk H. Perhatikan operasi di bawah ini: * * 2 *

r r r r

* * * 2 r r r r

Pengurangan dan integrasi ruas kiri:

* * 2 * * 2d d r r r r

Integrasi di atas meliputi seluruh ruang konfigurasi; integrasi ruang ruas kiri dapat dikembalikan pada integrasi permukaan batas ruang tersebut.

* * * *d ds r r r r r

Integral ini sama dengan nol, karena baik maupun berharga nol di kedudukan tek-berhingga. Jadi dapat dinyatakan sebagai.

2 * * 2 0d Atau * 2 2 *d d Oleh karena : 2 2 2 ,

Maka : 2 adalah operator Hermit. Teorema II Operator momentum i

rh bersifat operator Hermit.

Bukti:


*

* *

x x x

Intregral memberikan:

*

* *d d dx x x

Perhatikan ruas pertama

* * 0x

xdxdydz dydz

x

Karena dan * sama dengan nol di daerah tak berhingga (solusi persamaan gelombang). Oleh karena itu ruas kanan sama dengan nol, sehingga:

** d d

x x

Perkalikan dengan i h : *

* i d i dx x

h h

Karena ini berlaku juga untuk koordinat y, maupun z, maka persamaan tersebut dapat diluaskan menjadi:

** i d i d r r

h h

Jadi i r

h adalah merupakan operator Hermit. Contoh 6.3. Apakah operator 2

opL adalah operator Hermit?. Penyelesaian Oleh karena zop, , Pxop yopp p dan operator Hermit dan , ,op op opx y z selain operator juga riel, maka operator momentum

, ,xop yop zopL L L operator Hermit, maka 2opL juga operator Hermit.

Teorema III Andaikanlah bahwa himpunan i merupakan fungsi eigen dari suatu operator Aop dengan nilai eigen yang berlainan

FISIKA KUANTUM 264

ia maka i merupakan fungsi ortogonal meliputi seluruh daeah dimana Aop operator Hermit. Bukti: Pandanglah dua fungsi eigen dan k l . Karena Aop operator Hermit, maka:

*opA k k k k ka a l l l

Tetapi juga:

opAk ka l l l Aop operator Hermit, oleh karena itu:

op opA Ak k l l Darimana diperoleh bahwa:

k k ka a l l l (6.11)

0k ka a l l

Hubungan di atas benar, apabila 0k l untuk setiap kasus dimana indeks k dan l tidak sama. (ingat bahwa

ka a l . Jadi i merupakan himpunan fungsi yang ortogonal. Teorema IV: Apabila fungsi gelombang suatu sistem mekanika kuantum secara simultan merupakan fungsi eigen dari operator Aop dan operator Bop, maka baik A maupun B secara simultan dapat diukur dengan kepastian. Bukti: Andaikan bahwa i merupakan fungsi eigen yang dimaksud, maka:

op i i iA a dan

op i i iB b Darimana diperoleh:


i op i iA A a (6.12)

i op i iB B b

Keduanya mempunyai harga yang pasti (dianggap bahwa i

dinormalisasikan, sehingga 1i i ). Teorema V: Apabila dua operator Aop dan Bop mempunyai perangkat fungsi eigen yang sama maka: op op op opA B B A Bukti:

op op i op i i i op i i i iA B A b b A b a

op op i op i i i op i i i iB A B a a B a b Oleh karena itu:

op op i op op iA B B A (6.13)

Karena 0,i maka op op op opA B B A . Diktehui bahwa Aop dan

Bop berkomutasi. op op op opA B B A , berarti bahwa

0.op op op opA B B A Aop dan Bop berkomutasi, berarti

, 0.op opA B Teorema VI. Apabila Aop dan Bop berkomutasi, maka fungsi eigen kedua operator tersebut adalah perangkat yang sama. Bukti: Andaikan i merupakan fungsi eigen dari operator Aop, maka:

op i i iA a Kalikan dengan Bop dari sebelah kiri:

FISIKA KUANTUM 266

op op i op i iB A B a = i op ia B

Sekarang AopBop beroperasi pada i :

op op i op op iA B A B Aop dan Bop berkomutasi, maka :

op op op opA B B A Jadi: 0op op op opA B B A Atau

0op op op op iA B B A

op op i op op iA B B A Darimana diperoleh bahwa: opA op i i op iB a B (6.14) Dengan demikian karena ai adalah nilai eigen Aop untuk fungsi eigen i, maka: op i i iB b (6.15) Dimana i juga fungsi eigen dari Bop. Teorema VII Apabila Aop dan Bop berkumutasi, maka harga nilai ekspektasi

dan BA dapat diukur secara serentak dengan kepastian. Bukti: Menurut teorema VI karena Aop dan Bop berkomutasi maka kedua operator itu mempunyai perangkat fungsi eigen yang sama i .

op iA ai i

op iB bi i


Darimana diperoleh bahwa: A i op i i i iA a (6.16)

B i op i i i iB b Kedua besaran dinamiknya dapat ditetapkan dengan pasti secara serentak.

6.4. Komutator dan Prinsip Ketidakpastian

Andaikanlah Aop dan Bop, bagaimanakah sifat operator

, ?op opA B Aop dan Bop Hermit. Bataskan : op op A , BopD .

Andaikanlah bahwa dan merupakan fungsi dari ruang fungsi dimana Aop dan Bop beroperasi. ,op op opD A B

= op op op opA B B A

op op op op opD A B B A

= op op op opB A A B

= op op op opB A A B Darimana diperoleh bahwa: op opD D (6.17) Dop mempunyai sifat yang lain, operator yang memiliki sifat seperti ini dinamakan operator anti-Hermit (karena ada perubahan tanda aljabar pada saat dibuat kompleks konjugatenya). Hal ini sangat berguna untuk menentukan prinspi ketidakpastian. Teorema VIII Komutator dua buah operator Hermit, Aop dan Bop, adalah anti-Hermit. Bila [Aop,Bop] ingin ditulis sebagai operator Hermit Cop, maka haruslah dibataskan sebagai:

FISIKA KUANTUM 268

iCop = [Aop,Bop] (6.18) Bukti: Apabila dibataskan Dop= [Aop,Bop}, maka Dop adalah operator anti-Hermit. Bila dibataskan [Aop,Bop] = iCop, maka Dop = iCop. Subsitusi memberikan (sifat anti-Hermit) op opiC iC Atau op opi C i C Atau

op opC C Jadi iCop = [Aop,Bop] adalah operator Hermit.

Contoh 6.4.

Andaikan bahwa [Aop,Bop] = iCop ; Aop dan Bop operator Hermit. Hubungan apakah yang ada diantara ; ; C ?A B dan Penyelesaian: Perhatikan sifat operator op op opF A i B dengan Aop dan Bop operator Hermit. Jelas bahwa apabila merupakan fungsi dari ruang fungsi dimana baik Aop dan Bop beroperasi:

2

0op op opF F F d Darimana diperoleh bahwa: 0op op op opA i B A i B

Karena baik Aop , maupun Bop operator-operator Hermit, maka:

0op op op opA i B A i B

2 2 2 0op op opA B C

Ungkapan di atas dapat dijabarkan menjadi:


2 2 2 0A B C

Pertidaksamaan ini berlaku untuk semua . Ruas kiri mem-punyai harga terkecil apabila:

22

CB

; diangga 2 0B , untuk mana

2 2 2 0A B C , dengan harga tersebut diperoleh:

2

22 22

024

C CA C

BB

Atau

2

2 2

4C

A B

Sehingga secara umum apabila [Aop,Bop]=iCop, maka : 2 2 21

4A B C

Contoh 6.5. Apakah yang dapat disimpulkan suatu hubungan antara

; ; CA B dan , apabila [Aop,Bop]=iCop. Penyelesaian: Bataskan simpangan harga adalah :

1

2 2, dengan A=A A A A

1

2 2, dengan B=B B B B

Oleh karena:

, opop opA B iC dan 2 2 1

4A B C

FISIKA KUANTUM 270

Sehingga:

12

A B C

Kesimpulan: Apabila 2 operator, yang masing-masing bertautan dengan variabel dinamik suatu sistem mekanika kuantum, tidak berkomutasi, maka hasil perkalian ketidakpastian dalam harga dua besaran itu apabila diukur secara serentak, adalah lebih besar dari suatu harga minimum tertentu. Ini adalah prinsip Heisenberg dalam bentuknya yang paling umum.

Contoh 6.6. Tunjukkan bahwa pernyataan tersebut di atas dapat diterapkan untuk menentukan hubungan :

2xx p h

Penyelesaian:

Operator : op; operator xxopp i xx

h , sehingga:

op xop xop opx p p x i x x i x x ix x x x

h h h

Jadi : ,op xopx p i h

Dengan menerapkan persamaan 12

A B C , maka

diperoleh: 2xx p h

.


Contoh 6.7. Jika diketahui z dan L Tunjukkan bahwa dengan

menerapkan persamaan 12

A B C , maka diperoleh:

2zL h

Penyelesaian:

zopL i

h dimana : op . Sehingga :

,op zopL i

h

= 1i i

h h

Dengan demikian akan diperoleh: 2zL h

.

6.5. Komutator untuk Momentum Anguler Seperti telah diketahui bahwa Hop; 2

zop; LopL dan untuk sistem atom hidrogen memiliki fungsi eigen yang sama. Oleh karena itu operator-operator termaksud saling berkomutasi:

2 2op op, 0 ; L , 0; H , 0op op zop zopH L L L

Dalam hal ini berlaku hubungan-hubungan antara Lxop; Lyop; dan Lzop sebagai berikut.

,xop yop zopL L i L h

FISIKA KUANTUM 272

,yop zop xopL L i L h (6.19)

,zop xop yopL L i L h

Sedangkan hubungan antara Lzop dan 2opL adalah sebagai

berikut. 2 2 2, , , 0op zop op yop op xopL L L L L L (6.19)

Karena H setangkup terhadap x,y, dan z dalam kasus atom hidrogen: 2 2 2, , , 0op zop op yop op xopH L H L H L (6.20)

6.6. Turunan untuk Harga Ekspektasi

Andaikan bahwa Qop merupakan suatu operator yang bertautan dengan variabel dinamik Q suatu sistem mekanika kuantum. Bagaimanakah perubahan harga ekspektasi dengan waktu?

Perhatikan : opd dQ Qdt dt

= op opd dQ Qdt dt

Diketahui bahwa:

*

*d dan -idtop op

di H Hdt

h h dengan Hop

adalah operator Hamilton. Sehingga diperoleh:

1op op op op

d Q H Q Q Hdt i

h

Karena Hop merupakan operator Hermit, maka berlaku: op op op opH Q H Q Darimana diperoleh:


1op op op op

d Q Q H Q Hdt i

h

= 1 ,op opQ Hi

h

Jadi perubahan ekspektasi terhadap waktu adalah : d Qdt

1 ,op opQ Hi

h (6.21)

Apabila Qop berkomutasi dengan Hop maka jelaslah bahwa

0, Qd Qdt

tidak berubah dengan waktu.

Teorema IX Harga ekspektasi suatu operator yang berkomutasi dengan operator Hamilton suatu sistem mekanika kuantum, tidak berubah dengan waktu.

6.7. Hukum Kekekalan Andaikanlah bahwa Hop dari persamaan SchrÖdinger bebas waktu suatu sistem mekanika kuantum dapat dipisahkan perubahannya menjadi: 1 2op op opH H H Andaikan bahwa fungsi eigen Hop: opH E Sedangkan dan merupakan fungsi eigen, masing-masing dari 1 2op dan HopH :

1 1opH E (6.22)

2 2opH E sehingga berlaku :

FISIKA KUANTUM 274

dan E = E1 + E2 Karena merupakan fungsi eigen baik untuk

1op 2op; H , HopH dan maka berlaku:

1 op 2 1op 2, 0; H , 0; dan H , 0op op op opH H H H

Maka berkomutasi 1 2op, HopH dengan Hop, memberikan bahwa

1 2 dan HH tidak berubah dengan waktu. Apabila Hop merupakan operator Hamilton untuk suatu sistem mekanika kuantum dengan ( )V rr tak bergantung dari waktu, maka apabila dapat dilakukan pemisahan variabel sehingga: 1 2op op opH H H , maka 1 2 dan HH tidak berubah dengan waktu.

6.8. Paritas Perhatikan persamaan Schrodinger bebas waktu untuk partikel tunggal dalam potensial ( )V rr :

2

2 ( ) ( ) ( )2 o

V r r E rm

h r r r

Dengan melakukan inversi (refleksi terhadap titik asal koordinat (0,0,0)), maka persamaan di atas menjadi:

2

2 ( ) ( ) ( )2 o

V r r E rm

h r r r

(6.23)

Apabila ( )V rr = ( )V r r, maka kedua persamaan SchrÖdinger

tersebut di atas setara, artinya bahwa fungsi eigen ( )r r

hanya berbeda suatu tetapan dibandingkan dengan ( )r r

. ( ) ( )r r

r r

Apabila ( )r r

diinversikan kembali, maka diperoleh 2( ) ( )r r

r r


Darimana diperoleh bahwa: 2 1 atu =+1 atau =-1 (6.24) Dari sini diperoleh bahwa apabila potensial ( )V rr setangkup terhadap (0,0,0) maka fungsi eigen ( )r r

memiliki paritas tertentu, dapat berparitas ganjil, artinya : ( ) ( )r r

r r (6.25)

Atau dapar berparitas genap, paritas genap, yakni

( ) ( )r r r r

(6.26) Disini dianggap bahwa keadaan tidak degerate. Untuk membedakan antara dua paritas tersebut, maka fungsi diberi indeks, untuk : Fungsi berparitas genap : ( )r

r

Fungsi berparitas ganjil : ( )r r

(6.27) Andaikanlah Pop menggambarkan operator melakukan inversi maka: ( ) ( )opP r r

r r

( ) ( )opP r r r r

(6.28) Disini terlihat bahwa Pop mempunyai nilai eigen +1 atau -1 Contoh 6.8. Tunjukkan bahwa paritas tidak berubah dengan waktu, yakni

0d Pdt

.

Penyelesaian: Untuk itu harus dikaji apabila , 0op opP H .

( ) ( ) ( ) ( )op op op opP H r P E r EP r E r r r r r

Diketahui bahwa potensial ( ) ( )V r V r

r r, maka

( ) ( )opH r E r r r

, sehingga diperoleh:

( ) ( ) ( ) ( )op op op op opP H r E r H r H P r r r r r

FISIKA KUANTUM 276

Darimana diperoleh bahwa: , 0op opP H sehingga 0d Pdt

Jadi paritas kekal, apabila ( ) ( )V r V r r r

A. Pemahaman Konsep 1. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan komut

dua buah operator? 2. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan

paritas? 3. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan

hukum ketidak pastian? 4. Menurut pendapat kamu, apa yang dimaksud dengan nilai-

nilai eigen yang berdegenerasi 2. 5. Tuliskan hubungan antara kumutator dan prinsip

ketidakpastian. 6. Apakah yang dimaksud dengan harga ekspektasi? B. Penerapan Konsep 1. Jika ˆ ˆÂ,B,danC adalah tiga operator riel. Tunjukkan bahwa:

a. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ Â+B,C A,C B,C

b. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ÂB,C A B,C A,C B

2. Jika ˆ Â dan Bkeduanya Hermitian, tunjukkan bahwa ˆ ÂB adalah Hermitian jika ˆ Â,B 0

3. Diberikan operator ˆˆ dan px yang fungsi-fungsinya di dalam ruang Hilber dan sesuai dengan ˆ ˆ,x p i h , tunjukkan bahwa jika x =x (yakni perkalian dengan x), maka p menyatakan


ˆ ( )p i f xx

h

4. Sebuah partikel di dalam potensial satu dimensi V(x), tunjukkan bahwa

2 xE x p

m

h

5. Andaikan tiga operator yang terukur, ˆ ˆˆA,B dan C , jika diketahui bahwa:

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆB,C A dan A,C B

Tunjukkan bahwa:

2 21( )2

AB C A B

6. Apabila g(x) adalah fungsi terhadap x, tunjukkan bahwa :

ˆ ,xdgp g idx

h

7. Jika g(x) dan f(x) adalah fungsi-fungsi analitik, tunjukkan bahwa:

ˆ( ) ( ) ( ) ( )g A f g a f dimana A a

8. Buktikan bahwa jika ˆ ˆ dan B A adalah Hermitian, maka ˆ ˆ,A B

adalah Hermitian jika dan hanya jika ˆ ˆ, 0A B

9. Tunjukkan bahwa operator momentum liner adalah Hermit. 10. Tunjukkan satu contoh operator anti-Hermit.

11. Tunjukkan bahwa apabila zopdL i

d h dan op , maka

berlaku 2zL h

.

12. Buktikan bahwa harga ekspektasi bukan merupakan funsgi

terhadap waktu, yakni 0d Xdt

, dimana X adalah

harga ekspektasi.

operator mekanika kuantum

Documents