1.4 Persamaan Schrodinger Bergantung Waktu

• Mekanika klasik atau mekanika Newton sangat sukses dalam

mendeskripsi gerak makroskopis, tetapi gagal dalam mendeskripsi

gerak mikroskopis.

• Gerak mikroskopis membutuhkan mekanika khusus yang disebut

mekanika kuantum. Gerak partikel mikroskopis adalah gerak

gelombang (menurut de Broglie) maka salah satu metode

membangun mekanika kuantum adalah dengan pendekatan

gelombang, oleh karena itu maka mekanika kuantum juga disebut

mekanika gelombang.

• Perbedaan mendasar antara mekanika klasik dengan mekanika

kuantum adalah bahwa

✓ dalam mekanika klasik state ( posisi, kecepatan, momentum dan

gaya yang bekerja) suatu partikel pada saat tertentu dapat

ditentukan secara eksak dengan menggunakan hukum Newton.

✓ Sedang pada mekanika kuantum, karena adanya prinsip

ketidakpastian pada pengukuran momentum partikel, maka state

suatu partikel tidak dapat ditentukan dengan pasti tetapi orang

hanya dapat menentukan kebolehjadian suatu partikel

menempati state tertentu.

✓ Dalam mekanika kuantum state suatu sistem dapat diperoleh

manakala fungsi gelombang partikel diketahui.

✓ Untuk mengetahui fungsi gelombang orang harus mempunyai

persamaan gelombang partikel mikroskopis. Karena persamaan

gelombang ini diperoleh oleh Schrodinger, maka persamaannya

disebut persamaan Schrodinger.

• Persamaan Schrodinger merupakan jantungnya mekanika kuantum,

karena melalui persamaan Schrodinger inilah fungsi gelombang

dapat diperoleh.

Persamaan Schrodinger adalah persamaan yang

menyatakan hubungan antara turunan pertama fungsi

gelombang terhadap waktu dengan turunan kedua fungsi

tersebut terhadap koordinat.

Disimpulkan fungsi gelombang merupakan fungsi koordinat dan

waktu.

Persamaan Schrodinger gelombang sebuah partikel satu dimensi.

Persamaannya Schrodinger menggunakan fungsi gelombang fisik,

misal fungsi rambatan gelombang harmonik satu dimensi, yaitu:

F(x , t) = A . e i ( kx t ) (1-7)

Dimana:

k = 2 /

= 2 ;

= panjang gelombang; k = konstanta propagasi gelombang

= frekuensi gelombang; A = amplitudo = konstanta tertentu

Turunan pertama terhadap t:

t

txF

),( = i A . e i ( kx t ) = i F(x,t) (1-8)

Turunan kedua terhadap x: Ingat!

2

2 ),(

dx

txF = i2 k2 .A . e i ( kx t ) = k2 F(x,t) (1-9)

2

2 ),(

dx

txF = k2 .A . e i ( kx t ) = k2 F(x,t) (1-9)

12 1

2

i

Jika turunan pertama dibagi turunan kedua

2

2

2 ),(

),(

k

i

dx

txFt

txF

Jadi

t

txF

),( =

2k

i

2

2 ),(

dx

txF (1-10)

Dalam mekanika kuantum

E = h = E / h

jadi

= 2 = 2 E / h = E

(1-11)

Menurut dualisme de Broglie, p = h / sehingga:

k = 2 / = 2 p / h = p

(1-12)

k = p

2

h

k = 2 /

= 2

Subtitusi (1-11) dan (1-12) ke dalam (1-10) menghasilkan:

t

txF

),( = i

2p

E

2

2 ),(

x

txF

(1-13)

Karena sudah masuk ke daerah kuantum, maka notasi fungsi

gelombangnya diganti (x,t) sehingga (1-13) ditulis:

t

tx

),( = i

2p

E

2

2 ),(

x

tx

(1-14)

E = T + V

E adalah jumlah energi kinetik T dan energi potensial V, jadi

t

tx

),( = i

2p

VT

2

2 ),(

x

tx

(1-15)

Atau jika dipisahkan

t

tx

),( = i

2p

T

2

2 ),(

x

tx

+ i

2p

V

2

2 ),(

x

tx

(1-16)

Jika T diganti p2/ 2m , ( mvp ;2

2

1mvT ;

m

mvmvT .

2

1 )

t

tx

),( = i

m2

1

2

2 ),(

x

tx

+ i

2p

V

2

2 ),(

x

tx

(1-17)

atau jika ruas kiri dan kanan dikalikan ( i )

it

tx

),( =

m2

12 2

2 ),(

x

tx

2

2

p

V

2

2 ),(

x

tx

(1-18)

Sebenarnya (1-18) tersebut sudah merupakan persamaan Schrodinger,

tetapi yang lebih lazim 2

2 ),(

x

tx

di suku kedua ruas kanan diganti

dengan k2 (x,t) yaitu analog dengan (1-9) sehingga (1-18) boleh ditulis:

it

tx

),( =

m2

12 2

2 ),(

x

tx

2

2

p

V k2 (x,t) (1-19)

k2 = p2 / 2

dan karena k = p / , maka (1-19) juga boleh ditulis:

it

tx

),( =

m2

12 2

2 ),(

x

tx

V (x,t) (1-20a)

Persamaan (1-20a) itu adalah persamaan gelombang Schrodinger

bergantung waktu untuk sebuah partikel dalam satu dimensi .

Kadang-kadang beberapa buku menulis (1-20a) dalam bentuk:

i

t

tx

),( =

m2

12 2

2 ),(

x

tx

V (x,t) (1-20b)

Apakah makna fisik ruas kiri persamaan Schrodinger ?

Kita telah tahu bahwa sesuai dengan (1-8) maka:

t

tx

),( = i (x,t)

Ruas kiri dan kanan dikalikan

Jadi

t

tx

),( = (x,t)

padahal = 2

hh

2.2

jadi

t

tx

),( = h (x,t)

Karena h = E, maka:

t

tx

),( = E (x,t) (1-21)

atau

),(

1

tx t

tx

),( = E (1-22)

Jadi makna fisik ruas kiri persamaan adalah E (x,t).

Bagaimana makna fisik Ruas Kanan ?

Kita telah tahu bahwa makna fisik ruas kiri persamaan adalah E (x,t).

Jadi ruas kananpun = E (x,t)

m2

1

2

2 ),(

x

tx

V (x,t) = E (x,t) (1-23)

dengan demikian maka:

m2

1

2

2

x

V = E (1-24)

Dalam mekanika kuantum maka

m2

1

2

2

x

V juga disebut operator energi.

Jadi dikenal dua macam operator energi yaitu

t

dan

m2

12

2

x

V.

Pada perkembangan berikutnya nanti operator energi yang lebih populer

adalah m2

122

2

x

V yang juga dikenal dengan nama operator

Hamilton atau �̂�.

Jadi

�̂�= (1-25a)

atau:

�̂� = (1-25b)

Kita tahu bahwa

= operator untuk E

padahal kita juga tahu bahwa E = T + V maka sudah dapat dipastikan

bahwa

= operator untuk T atau operator energi kinetik.

Jadi

�̂� = (1-26)

Tentang Fungsi Gelombang

• Kata state suatu sistem mengacu pada kecepatan & posisi partikel

pada saat tertentu serta gaya yang bekerja pada partikel tersebut.

• Dalam mekanika klasik, tepatnya menurut hukum Newton, massa

tepat state sistem dapat diprediksi secara eksak apabila state sistem

saat ini diketahui.

• Dalam mekanika kuantum, state sistem direpresentasikan oleh

fungsi gelombang yang merupakan fungsi koordinat dan waktu.

• Informasi masa depan suatu sistem dalam mekanika kuantum dapat

dikalkulasi dengan menggunakan persamaan Schrodinger, hanya saja

karena adanya prinsip ketidakpastian pada pengukuran posisi dan

momentum, maka prediksi secara eksak seperti yang terjadi pada

mekanika klasik tidak dapat diberikan oleh fungsi gelombang.

• Fungsi gelombang memuat semua informasi mengenai sistem yang

dideskripsinya.

• tidak dapat memberikan informasi posisi secara tepat seperti

yang dilakukan oleh mekanika klasik.

• Jawaban yang benar terhadap pertanyaan tersebut diberikan oleh

Max Born beberapa saat setelah Schrodinger menemukan

persamaan Schrodinger.

• Born membuat postulat bahwa:

dxtx

2

),( (1-27)

merupakan peluang pada waktu t untuk menemukan partikel

sepanjang sumbu x yang terletak antara x dengan x + dx.

• Fungsi 2

),( tx adalah fungsi kerapatan peluang (probability density)

untuk mendapatkan partikel di sembarang tempat sepanjang sumbu x.

Sebagai contoh:

dianggap bahwa pada sembarang waktu tertentu t0 sebuah partikel

didiskripsi oleh fungsi gelombang = 2

. bxea dengan a dan b adalah

tetapan real.

Jika kita mengukur posisi partikel pada saat t0 , kita dapat memperoleh

sembarang harga x sebab nilai rapat peluangnya yaitu 222 bxea tidak nol,

berapapun harga x-nya.

Nilai x = 0 adalah lebih baik dibandingkan nilai x yang lain karena di titik

asal (x = 0), harga 2

mencapai maksimum.

Untuk membuat hubungan yang tepat antara 2

dengan hasil

pengukuran eksperimental, kita harus mengambil sejumlah sistem

identik yang tidak saling berinteraksi, masing-masing berada dalam

keadaan yang sama. Kemudian kita dapat mengukur posisi masing-

masing sistem.

Jika kita mempunyai n sistem dan membuat n pengukuran, dan jika dnx

adalah banyaknya pengukuran yang dimana kita menjumpai partikel

terletak antara x dan x + dx, maka dnx/n adalah peluang mendapatkan

partikel pada posisi antara x dan x + dx. Jadi:

n

dnx = 2

dx dx

dn

nx1

= 2

dan grafik dx

dn

nx1

versus x adalah kerapatan peluang 2

.

Mekanika Kuantum pada dasarnya dilandasi oleh sifat statistikal

(bagian per bagian atau sampel). Konsekuensinya:

• memahami keadaan sistem pada saat tertentu, kita tidak dapat

memprediksi hasil pengukuran posisi secara pasti.

• Kita hanya dapat memprediksi kemungkinan dari berbagai hasil yang

mungkin.

• Teori Bohr yang menyatakan bahwa elektron beredar pada lintasan

yang berjarak pasti dari inti, merupakan pernyataan yang tidak dapat

diterima oleh mekanika kuantum.

Orbital 1s (n = 1, l = 0, m = 0)

Orbital 2p (n = 2, l = 1, m = 1)

1.5 Persamaan Schrodinger Tak Bergantung (Bebas) Waktu

Persamaan Schrodinger bebas waktu untuk sebuah partikel dalam

sistem satu dimensi adalah

0 )()V(E 2m

+ d

(x)22

)(

2

xdx

x

h (1-28)

Persamaan (1-28) dapat diturunkan dari persamaan (1-20a) melalui

langkah-langkah sebagai berikut:

Perlu diketahui bahwa ( x , t ) adalah gabungan dari x dan t dan

dinyatakan:

( x , t ) = x . t (1-29)

Jika (1-29) dimasukkan ke dalam (1-20a) diperoleh:

txtxtx

xmti

t)(x,2

22

V + 2

=

(1-30)

Jika kita batasi bahwa fungsi energi potensial hanya merupakan fungsi x

saja dan bebas waktu, maka (1-30) ditulis:

txtxtx

xmti

(x)2

22

V + 2

=

atau

txx

tt

xdx

d

mdt

d

i

(x)2

22

V + 2

=

(1-31)

Jika (1-31) dibagi x setelah itu hasilnya dibagi t maka diperoleh:

tx

txx

t

tx

tx

dx

d

mdt

d

i

11.V +

2 =

11. (x)2

22

(x)2

22

V + 1

2 =

1

dx

d

mdt

d

ix

x

t

t

(1-32)

Lihat kembali

i

),(

1

tx t

tx

),( = E (1-22)

Jika ruas kiri (1-32) dibandingkan dengan (1-22) maka ruas kiri (1-32) itu

adalah E, jadi (1-32) dapat ditulis:

E = V + 1

2 (x)2

22

dx

d

mx

x

atau

xxx

dx

d

m

E = V +

2 (x)2

22

22

22

(x)

2.

2 VE = 0

m

dx

d

mx

xx

2

2

(x)2 )V(E

2 = 0

dx

dm xx

Disusun ulang

Atau jika dibalik akan menjadi

0 )()V(E 2m

+ d

(x)22

)(

2

xdx

x

(1-28)

Persamaan di atas adalah persamaan (1-28) yang kita turunkan.

Selanjutnya untuk mengetahui penyelesaian t kita ikuti langkah berikut:

Seperti ruas kanan, ruas kiri (1-32) = E, maka:

= 1

dt

d

i

t

t

E atau

E i=

1 t

t

d

dt

yang jika diintegralkan:

c + iEt

ln t

jadi

h/. iEtC

t ee = A. /iEte

Konstanta A pada t dapat dilimpahkan pada x pada perkalian (1-29)

sehingga:

t = /iEte

(1-33)

( x , t ) = x . t (1-29)

Jika (1-33) dimasukkan kedalam (1-29) maka kita peroleh bentuk fungsi

gelombang sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yaitu:

( x , t ) = /iEte

. x (1-34)

Tampak bahwa fungsi gelombang partikel merupakan fungsi komplek,

padahal kerapatan peluang adalah 2

),( tx .

Untuk fungsi komplek harga kuadrat absolutnya adalah hasil kali fungsi

itu dengan fungsi konjugatnya.

2

),( tx = *

),( tx . ),( tx (1-35)

*

),( tx adalah fungsi konjugat dari ),( tx yaitu ),( tx yang i-nya diganti i.

1.6 Probabilitas

• kerapatan peluang = 2

),( tx = *

),( tx . ),( tx

• peluang mendapatkan partikel pada segmen sepanjang dx yaitu dari

x sampai x + dx adalah 2

),( tx dx = *

),( tx . ),( tx dx,

• Cara untuk menentukan peluang rentang tertentu misal dari a s/d b

adalah dengan menjumlahkan peluang dari segmen ke segmen

sepanjang antara a dan b. Penjumlahan seperti itu pada dasarnya

adalah pengintegralan. Jadi

P( a < x < b ) = dxa

b

tx 2

),( = b

atx

*

),(. ),( tx . dx (1-36)

Jika interval a s/d b adalah ~ s/d + ~ maka peluang dijumpai partikel

pada interval tersebut pasti = 1,

artinya pasti menjumpai partikel jika kita mencarinya mulai dari posisi ~

s/d + ~.

Jadi dapat ditulis

P( ~ < x < +~ ) = dxtx

~

~

2

),( =

~

~

*

),( tx. ),( tx . dx = 1 (1-37)

Fungsi gelombang partikel yang memenuhi persamaan (1-37) disebut

fungsi gelombang ternormalisasi.

Soal-soal Bab 1

1. Hitunglah panjang gelombang de Broglie dari sebuah elektron yang

melintas dengan kecepatan 1/137 kali kecepatan cahaya. (dengan

kecepatan tersebut, pendekatan relativistik boleh diabaikan).

2. Fungsi kerja Na adalah 2,28 eV. Tentukan:

a) energi kinetik maksimum dari fotoelektron yang diemisi oleh Na,

jika proses fotolistrik tersebut menggunakan cahaya ultra violet

yang panjang gelombangnya 200 nm.

b) berapa panjang gelombang cahaya maksimal yang masih dapat

menghasilkan fotolistrik terhadap Na ?

3. Ketika J.J Thomson melakukan investigasi terhadap elektron melalui

eksperimen tabung sinar katoda, ia melakukan pengamatan

terhadap sifat-sifat elektron dengan menggunakan pendekatan

mekanika klasik.

a) Jika elektron diakselerasi dengan energi kinetik 1000 eV, dan

melalui celah yang lebarnya 0,1 cm, berapakah besarnya sudut

difraksi dalam gambar 1.1

b) Berapa lebar celah yang diperlukan agar elektron dengan energi

kinetik 1000 eV menghasilkan = 1o ?

4. Diketahui sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yang

dinyatakan oleh fungsi:

= / xm b- tb i- 2

e e a

a dan b adalah konstanta dan m adalah massa partikel. Dengan

menggunakan persamaan Schrodinger bergantung waktu,

tentukan fungsi energi potensial bagi sistem tersebut.

5. Diketahui sebuah partikel dalam sistem satu dimensi yang

dinyatakan oleh fungsi:

x = b x 2 xce.

Tentukan energi partikel tersebut jika diketahui:

Fungsi energi potensial = V = mxc /2 222

b = konstanta ; c = 2 nm2 ; m = 1,00 . 1030 kg

6. Pada saat tertentu, sebuah partikel dalam sistem satu dimensi,

dideskripsi oleh = (2 / b3 )1/2x.ex/ b dengan b = 3 nm. Jika pada

saat itu diadakan pengukuran terhadap x, maka:

(a) Tentukan probabilitasnya agar hasil pengukurannya antara 0,9 dan

0,9001 nm (anggaplah bahwa dx amat kecil dibandingkan dengan 0,9

nm)

(b) Tentukan probabilitasnya agar hasil pengukurannya antara 0 dan 2

nm.

(c) Untuk x bernilai berapakah, probabilitas akan minimum? (tidak

perlu dijawab secara kalkulus)

(d) Buktikan bahwa ternormalisasi.

Jawaban:

1. Gelombang de Broglie :

p = h

p = m . v

Dengan memasukkan harga m dan v elektron, p dapat dihitung. Jika p

sudah diketahui, dapat dihitung.

Jika diketahui = c137

1= sm /.1099792,2.137

1 8

smkg

sJ

mv

h

/.1099792,2.137

1.1010938,9

.1062608,6

831

34

smkg

sJ

/.372188262.77.1010938,9

.1062608,631

34

smkg

sJ

/..101.9933

.1062608,624-

34

10103241,3 m

Pengingat satuan:

W = F.S J = N.m

F = m.a N = kg.m/s2

Jadi J = kg.m2/s2

P = F/A Pa = N/ m2 = 9.86923266716 x 10-6 atm

1 atm = 101325.0 Pa

2. Dalam fotolistrik berlaku

a) E foton = h . = h . c = + Ekinetik

dengan memasukkan harga dan dan fungsi kerja maka enegi kinetik dapat dihitung

Diketahui:

Fungsi kerja Na = 2,28 eV = 2,28 x 1.60217733 x 10-19 J

200 nm = 200 x 10-9 m = 2 x 10-7 m

h . c = + Ekinetik

eVnm

smsJ

chEkinetik

.28,2.200

/.1099792,2.1062608,6

.

834

Jm

smsJ.1.6022.1028,2

.102

/.1099792,2.1062608,6 19-

7

834

Jm

mJ.101.602228,2

.102

..101.9864 19-

7

25-

JJ .101.602228,2.109932,0 19-18

JJ .101.602228,2.10932,9 19-19

b) Untuk menghirung ambang gunakan: h . c >

3. Petunjuk jawaban:

a) Untuk menghitung sudut difraksi kita gunakan relasi:

p = p sin

p dihitung dari relasi : p . x = h dengan x = lebar celah

p dihitung dari energi kinetik elektron, ingat : Ek = p2 / 2m

Diketahui:

b) solusinya merupakan kebalikan dari a. Kita telah tahu harga p,

selanjutnya kita cari harga p melalui p = p sin Selanjutnya x

dapat dihitung.

4. Persamaan Schrodinger bergantung waktu adalah:

),(t)(x,2

),(

22),(

V + 2

= tx

txtx

xmti

(4-6)

Kita selesaikan dulu ruas kiri:

/bmx-ibt-),( 2

e ae = titi

tx

e ae tb i-/bmx- 2

dt

d

i

e ib . ae ibt-/bmx- 2

i

e . aeb ibt-/bmx- 2

b x,t

Dengan demikian persamaan (4-6) menjadi:

b( x, t) ),(t)(x,2

),(

22

V + 2

= tx

tx

xm

Selanjutnya kita selesaikan suku pertama ruas kanan:

2

2

2

2

),(

22

mxm

tx

/ xm b - tb i-

2

22

e e a x

/

2

2 tb i -

22

e d

e a . 2

bmx

dxm

/ tb i -

22

e dx

d .

d e a .

2

bmx

dxm

/ tb i -2

2

e 2bmx

- . d

e a . 2

bmx

dxm

/ tb i -2

2

e . x d

e a 2bm

. 2

bmx

dxm

/2 / tb i -

222

e m 2b

e e a 2bm

. 2

bmxbmx xm

2 / tb i -

2 m 2b 1 e e a

2bm .

2

2

xm

bmx

m 2b

1 2bm

. 2

22

x

m

m 2b

1 . b 2

x

Sekarang persamaan Schrodinger menjadi:

b ( x, t) m 2b

1 . b 2

x

( x, t) ),(t)(x,V + tx

atau

b ( x, t) m 2b

1 . b 2

x

( x, t) ),(t)(x,V + tx

atau

b m 2b

1 . b 2

x

t)(x,V +

Jadi fungsi energi potensialnya adalah:

t)(x,V = b m 2b

1 . b 2

x

= b b + 22 x2 mb =

22 x2 mb

5. Berbeda dengan soal no. 4 yang fungsi gelombangnya merupakan

fungsi x dan t, maka pada soal no. 5 ini fungsi gelombangnya hanya

merupakan fungsi x, sehingga untuk menyelesaikannnya kita gunakan

persamaan Schrodinger tak bergantung waktu (Persamaan 5-1)

0 )()V(E 2m

+ d

(x)22

)(

2

xdx

x

(5-1)

Jika V kita masukkan akan kita peroleh:

2m

+ d

22

)(

2

dx

x(E mxc /2 222 ) ( x )

= 0

Kita selesaikan suku pertama ruas kiri:

d

2

)(

2

dx

x

dx

d

dx

d. bx

2 xce

Langkah-langkhanya:

dx

d

dx

d. bx

2 xce

=bdx

d

dx

d. x

2 xce

= bdx

d 2 xcecx2)

=b. 2cx2 xce

(2cx2-3)

=2bcx2 xce

(2cx2-3)

=2c(2cx2-3). bx2 xce

2c(2cx2-3)x

4c2x2-6cx

Dengan demikian persamaan Schrodinger menjadi:

(-6c+4c2x2 2m

2 mxc /2 222

atau:

-6c+4c2x2 2m

2 mxc /2 222

2m

2 mxc /2 222 6c-4c2x2

mxc /2 222 6c-4c2x2)( 2

2

m

Jadi:

3c 2

m

-2x2

2

m

x

2

m

c 2

m

Lenovo

Placed Image