persamaan schrodinger

Pengantar Fisika Kuantum

1

Persamaan Schrodinger

PERSAMAAN SCHRODINGER

1. Mengapa mekanika kuantum dinyatakan sebagai fungsi gelombang?

Kaidah dunia mikroskopik adalah didasarkan pada gejala-gejala yang sulit

teramati. Gejala-gejala yang sulit diamati ini karena memiliki ukuran atomik.

Kriteria suatu entitas fisis dapat digolongkan sebagai partikel atau sebagai suatu

gelombang adalah panjang gelombang de Broglie. Jika suatu entitas mula-mula kita

kenali sebagai partikel ternyata memiliki gelombang de Broglie cukup besar

(sekurang-kurangnya dalam orde angstrom) maka entitas tersebut tidak dapat

dipastikan sebagai partikel.

Namun hipotesis de Broglie tidak dapat digunakan untuk mendapatkan fungsi

gelombang yang diasosiasikan dengan partikel. Berdasarkan kenyataan ini, timbul

suatu pertanyaan bagaimana mendapatkan fungsi gelombang itu dan bagaimana cara

mendapatkan informasi tentang keadaan sistem berdasarkan fungsi gelombang

tersebut.

Melalui fungsi gelombang kita dapat mengetahui keberadaan (posisi) partikel

dan besarnya momentum yang dimiliki, meskipun secara probabilistik. Peran fungsi

gelombang ini, jika dianalogikan dengan fisika klasik, analog dengan trayektori

parikel (posisi partikel pada sembarang waktu) dimana kita dapat mengetahui

bebagai besaran fisika yang dimiliki partikel setiap saat. Mengingat semua besaran

dinamis yang ada dalam fisika klasik (misalnya energi kinetik, energi potensial,

gaya, momentum anguler,dan sebagainya) selalu dapat dinyatakan sebagai fungsi

momentum dan posisi, maka dapat diharapkan bahwa dari fungsi gelombang tersebut

dapat diketahui berbagai informasi tentang dunia mikroskopis.

Berdasarkan pemikiran tersebut maka munculah postulat yang menyatakan

bahwa keadaan sistem dalam bentuk fungsi gelombang. Artinya bahwa sebagai

penyaji keadaan suatu sistem, maka fungsi gelombang tersebut harus memuat semua

informasi tentang sistem yang dibicarakan, misalnya: posisi, momentum, energi,

momentum anguler, dan besaran-besaran dinamis lain yang diperlukan.

2. Apa persyaratan fungsi gelombang agar dalam membangun persamaan

Schrodinger bisa diyakini validitasnya?

Fungsi gelombang yang mewakili keadaan sistem harus memenuhi

persyaratan-persyaratan berikut.


2


Fungsi gelombang harus ternormalisasi. Kuadrat besaran yaitu 2

berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan partikel tersebut pada

saat itu. Integral 2

ke seluruh ruang harus berhingga maka partikel tersebut

berada pada suatu tempat. Namun jika hasil integral 2

ke seluruh ruang

bernilai nol

02dV , maka partikel itu tidak dapat ditemukan. Fungsi

gelombang ternormalisasi dinyatakan dengan persamaan:

12dV ,

sehingga pernyataan matematis yang menyatakan bahwa partikel itu ada di

suatu tempat adalah:

1PdV ............................................................................... (1)

Persamaan (1) menyatakan bahwa semua peluang yang mungkin untuk suatu

partikel berada pada suatu tempat harus bernilai tertentu. Hal ini berarti

bahwa fungsi gelombang harus berhingga. Jika nilai fungsi gelombang tak

berhingga di suatu titik dan pada saat t maka probabilitas menemukan partikel

menjadi tak berhingga dan ini tidak bermakna fisis.

Fungsi gelombang harus berharga tunggal yang artinya tidak boleh ada dua

probabilitas atau kebolehjadian untuk menemukan partikel di titik yang sama.

Fungsi gelombang harus fungsi kontinu. Ini karena rapat probabilitas dan

rapat arus harus kontinu. Demikian juga fungsi juga harus mempunyai

turunan kontinu.

3. Bagaimana bentuk persamaan Schrodinger bergantung waktu?

Dalam teori kuantum, keadaan partikel dinyatakan sebagai fungsi gelombang

),( tr

, yang merupakan konsekuensi berlakunya asas Ketidakpastian Heisenberg.

Hal ini karena posisi partikel yang mikroskopik tidak dapat diketahui secara pasti

(indeterministik), yang bisa dinyatakan hanya kebolehjadian. Fungsi gelombang


3


untuk menyatakan kebolehjadian dimana partikel itu berada dapat dinyatakan dengan

perssamaan 2

),( tr

.

Persamaan Schrodinger yang merupakan persamaan pokok dalam mekanika

kuantum adalah persamaan gelombang dalam variabel . Jika suatu gelombang

merambat ke sumbu –x dengan kelajuan v, maka persamaan gelombangnya dapat

dinyatakan dengan:

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

............................................................................ (2)

Dalam kasus gelombang pada tali yang terbentang, y menyatakan simpangan

tali dari sumbu x. Pada gelombang bunyi y menyatakan perbedaan gelombang tekan,

sedangkan pada gelombang cahaya y menyatakan besarnya medan listrik atau

magnet Ada yang menyatakan sederetan gelombang superposisi yang mempunyai

amplitudo dan panjang gelombang yang sama, suatu gelombang berdiri pada tali

yang kedua ujungnya terikat, dan sebagainya semua pemecahan tersebut harus

berbentuk:

v

xtFy .............................................................................. (3)

Pemecahan

v

xtF menyatakan gelombang yang menjalar dalam arah x .

Pemecahan

v

xtF menyatakan gelombang yang menjalar dalam arah x .

Untuk gelombang yang ekivalen dengan partikel bebas (partikel yang tidak

mengalami gaya sehingga menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan)

mempunyai pemecahan umum yang setara untuk gelombang harmonik

monokromatik tak teredam dengan frekuensi sudut konstan dan amplitudo konstan

A dalam arah x .

vxtiAey ............................................................................. (4)

Dalam mekanika kuantum fungsi gelombang analogi dengan variabel

gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, tidak dapat diukur

seperti y sehingga berupa besaran yang kompleks. dalam arah x dinyatakan

dengan persamaan:


4


)/(),( vxtiAetx .................................................................... (5)

dimana 2 dan v sehingga persamaan (5) menjadi:

xtiAetx 2),(

)/(2),( xvtiAetx .................................................................. (6)

Hubungan antara dan dinyatakan dalam energi total E yang digambarkan oleh

, yaitu:

hE ....................................................................................... (7)

Hubungan antara dan dinyatakan dalam momentum p dari partikel yang

digambarkan oleh , yaitu:

hp ......................................................................................... (8)

Dimana

22

hh

sehingga persamaan (7) dan (8) menjadi:

22

EE .............................................................. (9)

pp

22 ............................................................. (10)

Sehingga persamaan (6) dapat dinyatakan sebagai:

22

2

),(

pxt

Ei

Aetx

))(/(),( pxEtiAetx ............................................................... (11)

Untuk memperoleh persamaan Schrodinger, persamaan (11) didiferensialkan dua kali

terhadap x, sehingga diperoleh:

pi

Aex

tx xptEi

.),(

xptEi

Aepi

x

tx

.

),(

xptEi

Aeip

x

tx

2

2

2

2 ),(

xptEi

Aep

x

tx

2

2

2

2 ),(


5


2

222

2

2

2

2 ),(),(),(

),(

x

txtxptx

p

x

tx

............ (12)

Jika persamaan (11) didiferensialkan sekali terhadap t, diperoleh:

xptEi

xptEi

AeiE

t

tx

Ei

Aet

tx

),(

.),(

t

tx

itxEtx

iE

t

tx

),(),(),(

),(

.................... (13)

Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya. Energi total partikel sama

dengan jumlah energi kinetik (K) dan energi potensial V, dengan V(x,t) merupakan

fungsi dari kedudukan x dan waktu t. Secara matematis hubungan ketiganya

dirumuskan dengan persamaan:

VKE

Vm

vmE

VmvE

2

2

1

22

2

),(2

2

txVm

pE

...................................................................... (14)

Apabila kedua ruas pada persamaan (14) sama-sama dikalikan dengan fungsi

gelombang ( ) akan menghasilkan persamaan:

E ),( tx = m

p

2

2

),( tx + V(x) ),( tx ..................................... (15)

Dengan mensubstitusikan persamaan (12) dan persamaan (13) ke persamaan (15)

diperoleh persamaan berikut.

),(),(),(

2

),(2

22

txtxVx

tx

mt

tx

i

),(),(),(

2

),(2

22

txtxVx

tx

mt

txi

............................ (16)

Persamaan (16) merupakan persamaan Schrodinger yang bergantung waktu.

Persamaan Schrodinger yang bergantung waktu dalam 3 dimensi dirumuskan

dengan:


6


),(),(),(),(),(

2

),(2

2

2

2

2

22

trtrVz

tr

y

tr

x

tr

mt

tri

),(),(),(2

),( 22

trtrVtrmt

tri

............................ (17)

Dengan energi potensial V merupakan fungsi dari x, y, z dan t.

4. Bagaimana menjabarkan solusi stasioner persamaan Schrodinger tersebut?

Jika fungsi gelombang tr ,

dinyatakan sebagai perkalian fungsi posisi,

misalnya r

dan fungsi waktu misalnya (t), maka trtr

, sehingga

persamaan Schrödinger menjadi:

dt

tdrirttrVrt

m

,

2

22

dt

td

titrVr

rm

1,

1

2

22

............................... (18)

Pada ruas kanan (18) merupakan fungsi t, sedangkan ruas kiri merupakan fungsi r

dan t. Satu-satunya suku yang memuat r

dan t adalah V( r

,t). Ini berarti bahwa

pemisahan variabel hanya akan berhasil jika V hanya bergantung pada r

saja atau

hanya bergantung pada t saja.

Jika V hanya bergantung pada r

maka (18) menjadi:

dt

td

tirVr

rm

11

2

22

dt

td

tirV

dr

rd

rm

11

2 2

22

.................................. (19)

Jika ruas kanan diselesaikan untuk E, maka diperoleh:

iEt

et

tiEt

tdt

iEdt

t

t

t

iE

ln

1

Jika keadaan sistem secara eksplisit tidak bergantung pada waktu, maka bagian ruang

dan waktu penyelesaian persamaan Schrodinger memiliki bentuk,

trtr

,


7


tiE

ertr

,

Fungsi gelombang tersebut menghasilkan fungsi rapat peluang posisi:

2*2)()(.)(),().,(),( rerertrtrtr

tiEtiE

..... (20)

Yang ternyata tidak tergantung pada waktu. Oleh karena itu, fungsi gelombang

seperti yang dinyatakan tiE

ertr

, disebut sebagai fungsi gelombang

stasioner atau penyelesaian stasioner persamaan Schrodinger, dan sistem yang

bersangkutan dikatakan dalam keadaan stasioner. Keadaan stasioner juga merupakan

keadaan dengan energi pasti. Perhatikan bahwa fungsi gelombang tersebut hanya

memuat satu nilai E. Karena hanya ada satu macam nilai E, maka pengukuran

berulang terhadap energi sistem selalu menghasilkan nilai ukur yang sama, yaitu

sebesar E. Ini berarti bahwa keadaan stasioner merupakan keadaan dimana energi

sistem bernilai pasti (tertentu).

5. Bagaimana menjabarkan persamaan Schrodinger bebas waktu (PSBW)?

Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel V tidak tergantung pada

waktu, sehingga hanya berubah terhadap kedudukan partikel (x, y, z). Fungsi

gelombang partikel bebas pada persamaan xptE

i

Ae

dapat dituliskan sebagai

berikut.

tiE

xip

xip

tiE

xptEi

eAe

eAeAe

tiE

e

................................................................................ (21)

Jadi merupakan perkalian dari fungsi yang bergantung pada kedudukan dan

waktu t

iE

e

. Dengan mensubstitusikan persamaan (21) ke persamaan Schrodinger

bergantung waktu untuk satu dimensi yaitu:

V

xmti

2

22

2

diperoleh

persamaan sebagai berikut.

tiE

tiE

tE

i

eVexm

et

i

2

22

2


8


tiE

tiE

tE

i

eVx

em

iEei

2

22

2

tiE

tiE

tE

i

eVx

em

eE

2

22

2 ................................ (22)

2

22

2

22

2

2

xmVE

Vxm

E

2

2

2

2

xVE

m

02

22

2

VE

m

x ............................................................ (23)

Persamaan (23) merupakan persamaan Schrodinger bebas waktu. Dalam

bentuk 3 dimensi persamaan (23) menjadi:

02

22

2

2

2

2

2

VE

m

zyx

02

2

2 rrVEm

r

............................................... (26)

Persamaan ini identik dengan persamaan Schrodinger, bedanya hanya

persamaan itu tidak tergantung pada t. Oleh karena itu, persamaan tersebut sering

disebut sebagai persamaan Schrodinger bebas waktu.

6. Bagaimana menjelaskan PSBW kaitannya dengan nilai eigen?

Berdasarkan korespondensi:

ip

tiE

................................................................................. (27)

Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial trV ,

diberikan oleh

persamaan:

),(),(),(2

),( 22

trtrVtrmt

tri

............................. (28)


9


Persamaan (28) ini dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger untuk

partikel di dalam potensial V ( r

, t). Dalam banyak hal, sistem fisis dapat didekati

dengan model satu dimensi. Persamaan Schrodinger satu dimensi berbentuk:

),(),(),(

2

),(2

22

txtxVx

tx

mt

tri

. ............................ (29)

Secara umum, karena energy E dapat dinyatakan dalam Hamiltonian

E=H( ),, tpr

............................................................................. (30)

Maka persamaan (29) dapat dituliskan menjadi:

),,(),(

tirHt

tri

Hamiltonian H sekarang berperan sebagai operator:

),(2

ˆ2

trVm

H

................................................................ (31)

Yang bekerja pada fungsi gelombang ).,( tr

Tinjau partikel yang bergerak di dalam ruang dengan potensial tidak

bergantung waktu rVV

. Untuk sistem seperti ini, tr ,

dapat diuraikan

menjadi perkalian bagian yang hanya bergantung ruang dan bagian yang hanya

bergatung waktu.

tfrtr

, ...................................................................... (32)

Selanjutnya substitusi persamaan (32) ke dalam persamaan persamaan (29)

kemudian dibagi dengan tfr

, maka diperoleh:

rV

mdt

df

tf

i

22

2 ...................................................... (33)

Oleh karena ruas kiri persamaan di atas bergantung waktu sedangkan ruas

kanan hanya bergantung variabel ruang , maka keduanya akan selalu sama jika dan

hanya jika keduanya sama dengan konstanta, misalkan E. dengan demikian

persamaan (33) akan terpisah menjadi dua persamaan yaitu:

Edt

df

f

i

dan ErV

m

22

2

fE

idt

df

............................................................................. (34)


10


rErrVm

22

2 ................................................ (35)

Persamaan di atas adalah persamaan diferensial orde satu dengan solusi akan

sebanding dengan /exp iEt . Karena itu persamaan (32) akan menjadi:

/, iEtertr ................................................................... (36)

Persamaan (36) secara implisit menyatakan bahwa E harus real, karena jika

mempunyai bilangan imajiner , akan lenyap untuk semua r jika t atau

sesuai tanda (-) atau (+) dari . Hal ini tidak memenuhi syarat keberadaan partikel di

dalam ruang dvAA op . Selanjutnya persamaan (36) memberikan rapat

probabilitas:

22, rtr

...................................................................... (37)

Yang tidak bergantung waktu. Karena itu tr ,

pada persamaan (36)

menggambarkan keadaan stasioner karena tidak ada karakter atau sifat partikel yang

berubah terhadap waktu. Sedangkan persamaan (34) disebut sebagai persamaan

Schrodinger bebas waktu.

Berdasarkan persamaan (31) dengan rVV

persamaan (36) dapat ditulis

menjadi

rErH

ˆ .................................................................................. (38)

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan karakteristik atau persamaan nilai eigen

dengan r

sebagai fungsi eigen dan H adalah operator differensial dari energi. E

adalah nilai eigen dari operator H , dan disebut sebagai energi gelombang dan

ditafsirkan sebagai energi partikel.

7. Buktikan bahwa untuk solusi stasioner fungsi gelombang menjadi tidak

bergantung pada waktu!

Berdasarkan sub pokok bahasan 5, solusi stasioner fungsi gelombang diperoleh

tiE

ertr

, . Jika solusi stasioner fungsi gelombang tr ,

disubstitusi ke

persamaan Schrodinger bergantung waktu, maka diperoleh:

tiEtiE

tiE

ertrVermt

eri

),(

2

22


11


r

r

x

y

z

tiEtiE

tiE

nn

n

ertrVremt

eri

),(

2

22

tiEtiEtiEertrVre

me

iEri

),(

2

22

rtrVrm

rE

),(2

22

rm

rVE

22

2

02

22

rVErm

Persamaan terakhir yang diperoleh merupakan persamaan Schrodinger bebas waktu

sama dengan persamaan (26).

8. Bagaimana melakukan transformasi koordinat kartesian menjadi

koordinat bola untuk PSBW?

Persamaan Schrodinger bebas waktu (PSBW) dalam koordinat Cartesian

dirumuskan sebagai berikut.

02

2

2 rrVEm

r

Hubungan antara koordinat kartesius dan kordinat bola yaitu:

cossin

2222

rx

zyxr


12


cos

sinsin

rz

ry

x

y

z

yx

tan

tan2

122

Hubungan antara unit-unit vektor ˆ,ˆ,r , adalah

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

0ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

1ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ

rx

rx

xr

rr

rr

Komponen dari unit-unit vektor ˆ,ˆ,r dalam koordinat kartesiusnya yaitu:

)39.......(........................................cosˆsinsinˆsincosˆ

cosˆsinsinˆcosˆ

cosˆsinˆˆ

zyx

zyx

zr

)40.......(........................................sinˆcossinˆcoscosˆ

sinˆcossinˆcosˆ

sinˆcosˆ

90cosˆ90sinˆˆ

zyx

zyx

z

z

tegak lurus dengan perputaran , sehingga:

)41......(......................................................................sinˆcosˆ

90sinˆ90cosˆˆ

yx

yx

Untuk menyatakan posisi, maka ditentukan hubungan-hubungan sebagai berikut.

)42......(..........................................................................................ˆˆ

ˆsinˆsincosˆcoscosˆ

ˆcosˆsinsinˆcossinˆ

r

zyxr

zyxr

zyx

zyx




13


)43....(..........................................................................................ˆˆ

r

)44.....(..........................................................................................0ˆ

ˆcosˆsinˆ

yx

)45.......(................................................................................ˆsinˆ

ˆcossinˆsinsinˆ


r

yxr

zyxr

)46.......(................................................................................ˆcosˆ

ˆcoscosˆsincosˆ


yx

zyx

)47..(......................................................................ˆcosˆsinˆ

ˆsinˆcosˆ

ˆcosˆsinˆ

r

yx

yx

Vektor posisi dinyatakan sebagai berikut.

dd

rdrd

d

rdrrdrdr

rrr

ˆˆˆ

ˆ

Berdasarkan persamaan 5 dan persamaan 8 diperoleh bahwa

ˆsinˆ

danˆˆ

d

rd

d

rd. Maka,

)48.(............................................................ˆsinˆˆ drrdrdrdr

Berdasarkan definisi gradien dan diferensial parsial diperoleh

bahwa ,,jika rU , maka:


14


)49.(..........................................................................................

.

dr

dUU

UdrdU

dU

dU

drr

UdU

...................................................... (50)

Sehingga,

)51.........(........................................sin

11

sin

1ˆ

1ˆˆsin

1ˆ

1ˆˆ

.

sin

1ˆ

1ˆˆ

sin

1ˆ

1ˆˆ

sin

1ˆ

1ˆˆ

222

2

22

22

2

2

rrr

rrrr

rrrr

rrrr

Urrr

rU

U

r

U

rr

UrU

Berdasarkan hasil penurunan di atas, maka persamaan Schrodinger bebas waktu

(PSBW) menjadi:

022

22

2

22

2

22

2

22

rrrr

rrrr

rrrr

Em

Vm

Em

Vm

EVm

)52.....(..........................................................................................02

sin

1sin

sin

11

02

sin

11

02

,,,,2

2

,,

2

22

,,

2

,,2

2

,,,,2,,222

2

22

2

2

2

rr

rrr

rrr

rrr

VEm

rrrr

rr

VEm

rrr

VEm

Persamaan tersebut merupakan bentuk persamaan Schrodinger bebas waktu dalam

koordinat bola.


15


9. Bagaimana menjelaskan kekekalan peluang?

Persamaan Schrodinger secara umum merupakan persamaan Schrodinger

gayut waktu. Jika fungsi gelombang tr ,

dinyatakan sebagai perkalian fungsi

posisi, misalnya r

dan (t), maka trtr

, sehingga persamaan (18)

menjadi:

dt

tdrirttrVrt

m

,

2

22

(19)

Karena termasuk gaya konservatif maka fungsi V-nya adalah fungsi posisi saja.

dt

tdrirtrVrt

m

2

2

2

(20)

Jika kedua ruas pada persamaan (20) dibagi )()( tr

diperoleh:

dt

td

tirVr

rm

11

2

22

(21)

dt

td

tirVr

rm

11

2

22

(22)

Pada ruas kanan persamaan (22) merupakan fungsi t, sedangkan pada ruas kiri

merupakan fungsi r. Suku kedua diruas kiri adalah energi potensial maka suku-suku

lainnya baik diruas kiri maupun diruas kanan harus berdimensikan energi. Karena

ruas kiri tersebut menyatakan jumlah energi kinetik ditambah energi potensial maka

tetapan yang digunakan memiliki arti fisik sebagai energi total yang dilambangkan

dengan E.

Sehingga ruas kanan diselesaikan untuk E maka diperoleh:


16


iEt

o

iEt

oo

iEt

o

o

t

t

t

t

t

t

ett

et

t

t

te

t

t

i

Et

tti

Et

tdt

dti

E

tt

idtE

t

t

t

iE

o o

o o

ln

lnln

1)(

)(

(23)

Karena 1,1 2 iAo dan

22hE , jadi persamaannya

menjadi:

)25(1

)24(

2

2

otiti

ti

iti

eeet

et

et

Apabila persamaan (24) disubstitusikan maka fungsi gelombangnya menjadi :

trtr

,

(26)

tiertr

,

(27)

Sehingga fungsi rapat peluangnya menjadi :

222222 |)(|1|)(||)(||),(| rrtrtr

(28)

Ini berarti bahwa rapat peluang global tidak tergantung pada waktu.

Fungsi rapat peluang yang diasosiasikan dengan fungsi gelombang sebagai

),(),(),( * trtrtr sedemikian rupa sehingga xdtr 3),( menyatakan besarnya


17


peluang menemukan partikel di dalam unsur volume xd 3 di sekitar r pada saat t.

Persamaan rapat arus peluang ternormalkan:

1, 3xdtrV

(29)

Persamaan (29) menunjukkan bahwa jika kita melacak kehadiran partikel keseluruh

ruang maka peluang untuk mendapatkannya adalah 1, artinya pasti mendapatkan

partikel tersebut. Persamaan itu juga menunjukkan bahwa rapat peluang global

(dihitung meliputi seluruh ruang) bersifat konstan, tidak bergantung pada waktu. Ini

berarti bahwa rapat peluang global bersifat kekal (tidak bergantung waktul.

Sebaliknya jika rapat peluang tersebut dihitung secara lokal (meliputi ruang

yang terbatas, maka rapat peluang lokal bergantung waktu. Adapun penurunannya

sebagai berikut.

Rapat peluang lokal, dinyatakan dengan trtrtr ,,, * , kita

derivatifkan terhadap waktu t. Hasil penderivatifan tersebut adalah

t

tr

t

tr

t

tr

,,, **

(30)

Menurut persamaan Schrödinger t

tritrtrVtr

m

,,,,

2

22

,

kedua derivatif fungsi gelombang terhadap waktu diruas kanan persamaan (30)

tersebut masing-masing menghasilkan

),(),(),(

2

, 2 trtrVi

trm

i

t

tr

dan

(31)

),(),(),(

2

, **2*

trtrVi

trm

i

t

tr

Subtitusi persamaan (31) ke dalam persamaan (30) maka menghasilkan

***22*

22

,

m

i

m

i

t

tr

(32)


18


dengan menyatakan vektor operator (nabla) yang dalam sistem koordinat Cartesan

berbentuk z

ky

jx

i

ˆˆˆ . Persamaan (32) dapat diubah menjadi

0,J

,

tr

t

tr

(33)

dengan vektor rapat arus peluang tr ,J

didefinisikan sebagai

**

2,J

mitr

(34)

Persamaan (33) memiliki bentuk yang sama dengan persamaan kontinuitas yang

sudah kita kenal dalam fisika klasik. Sebagai misal, dalam elektrodinamika berlaku

persamaan kontinuitas

trJt

tr,

,

, dengan rapat muatan (persatuan

volume) dan J

vektor rapat arus muatan (persatuan luas). Persamaan kontinuitas

ini menyatakan bahwa jika rapat muatan dalam suatu volume tertutup berubah

(berkurang atau bertambah) terhadap waktu maka harus ada aliran muatan (keluar

atau masuk) yang menembus luasan yang membatasi ruang tertutup tersebut secara

tegak lurus. Persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika ini merupakan manifestasi

dari hukum kekekalan muatan listrik.

Pemaknaan secara fisik persamaan (33) tersebut dapat dilakukan dengan

mengambil analogi dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika. Jika

dalam ektrodinamika sebagai rapat muatan dan J

sebagai vektor rapat arus

muatan, maka dalam kontek persamaan (33) sebagai rapat peluang dan

J

sebagai vektor rapat arus peluang (sebagai hasil analogi).

Sehingga pada persamaan (33) dinyatakan bahwa rapat peluang lokal

bergantung pada waktu. Selain itu persamaan (33) juga menunjukkan bahwa jika

rapat peluang dalam suatu volume terbatas berubah terhadap waktu maka harus ada

“aliran” peluang yang menembus secara tegak lurus luasan yang membatasi volume

tadi. Analog dengan persamaan kontinuitas dalam elektrodinamika, jadi persamaan

(33) dapat juga dimaknai sebagai hukum kekekalan rapat peluang secara lokal.


19


10. Yang mana disebut nilai harap dari sebuah operator?

NILAI HARAP

Nilai harap hasil pengukuran besaran A pada saat keadaan sistem dinyatakan

sebagai fungsi gelombang ψ didefinisikan sebagai berikut.

Dalam ruang posisi satu dimensi didefinisikan sebagai

dx

dxAA

*

^*

)(

(35)

Dan dalam ruang momentum satu dimensi didefinisikan sebagai

dp

dpAA

~~

~~

)(*

^*

~

(36)

Tanda bintang menyatakan “konjugat kompleks dari”, artinya ψ* adalah konjugat

kompleks dari ψ. Penulisan lambang nilai harap dapat dilakukan dengan dua cara,

yaitu (A) atau ~

)(A .

Jika fungsi gelombang sudah ternormalkan, yaitu integral ke seluruh ruang

dari kuadrat modulusnya bernilai satu, maka penyebut pada kedua persamaan

terakhir tadi bernilai satu. Dengan demikian, jika fungsi gelombang telah

ternormalkan, penghitungan nilai harap tadi menjadi:

dxAA

^*)(

Atau

dpAA ~~)(

^*

~

Nilai harap operator hermitan

Nilai harap sebarang operator Ấ, pada sistem yang menduduki keadaan

ternormalkan ψ, didefinisikan sebagai:


20


dxAA

^*

(37)

Konjugat kompleks nilai harap tersebut adalah

dxAdxAA *^

*^

**

)(ˆ

(38)

Jika Ấ merupakan operator hermitan maka ruas kanan persamaan (38) sama dengan

ruas kanan persamaan (37). Ini berarti kedua ruas kiri persamaan tersebut sama. Jadi:

Jika Ấ hermitan maka

*^^

AA

OPERATOR

a. Operator posisi

Dalam ruang posisi, di mana fungsi gelombang berbentuk ),( tr , operasi

operator posisi dipostulatkan sebagai berikut.

),(),(ˆ tt rrrR

(39)

Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan vektor posisi r. Dalam

bentuk komponen-kompenen cartesannya dapat dinyatakan sebagai berikut.

),(),(ˆ txtX rr

),(),(ˆ tytY rr

),(),(ˆ tztZ rr

Jadi, cara kerja operator komponen vektor posisi dalam ruang posisi adalah

mengalikan fungsi gelombang dengan komponen vektor posisi pada arah yang

bersesuaian.

Dalam ruang momentum, fungsi gelombang berbentuk ),(~

tp yang

merupakan transform Fourier dari ),( tr . Dengan demikian, operasi operator posisi

dalam ruang momentum dituliskan secara ),(~ˆ tpR . Untuk penyederhanaan, tanpa

mengurangi generalisasinya, kita gunakan kasus satu dimensi sehingga operasi


21


pi R

zpiZ

ˆ

tersebut dapat dituliskan secara ),(~ˆ tpX . Dengan menggunkan transformasi

Fourier, sehingga dapat diubah menjadi;

dxtxeXtpX ipx ),(2

1ˆ),(~ˆ /

dxtxXe ipx ),(ˆ

2

1 /

dxtxxe ipx ),(2

1 /

(40)

Integran dalam integral tersebut dapat diubah menjadi ),(/ txep

i ipx

, sebab

),(/),( // txeixtxZep

ipxipx

. Sehingga persamaan (40) menjadi

dxtxep

itpX ipx ),(2

1),(

~ˆ /

),(~

tpp

i

(41)

Persamaan di atas menyatakan bahwa dalam ruang momentum, operator posisi

berbentuk p

i

.

Penjabaran tersebut dapat diperluas ke dalam kasus 3 dimensi. Hanya:

operator yang mewakili komponen vektor posisi dalam ruang momentum masing-

masing berbentuk:

xpiX

ˆ

ypiY

ˆ

(42)

Dalam bentuk vektor:

(43)

Dengan )///( zyxp ppp kji


22


b. Operator Momentum Linear

Dalam ruang momentum, di mana fungsi gelombang berbentuk ),(~

tp , operasi

operator momentum linear dipostulatkan sebagai berikut.

),(~

),(~ˆ tt ppP

(44)

Yang berarti hanya mengalikan fungsi gelombang dengan momentum p. Dalam

bentuk komponen-komponen Cartesian yang dinyatakan sebagi berikut:

),(~

),(~ˆ tptP xx pp

),(~

),(~ˆ tptP yy pp

),(~

),(~ˆ tptP zz pp

Jadi, cara kerja operator komponen vektor momentum linear dalam ruang momentum

adalah mengalikan fungsi gelombang dengan komponen momentum linear pada arah

yang bersesuaian.

Dalam ruang posisi, fungsi gelombang berbentuk ),( tr . Sehingga operator

momentum dalam ruang posisi dituliskan secara ),(ˆ trP .

Karena ),( tr , merupakan pasangan Fourier dari ),(~

tp , yaitu

-

p.r rrp 3/2/3 ),()2(),( dtet i

dan

(45)

-

p.r ppr 3/2/3 ),(~

)2(),( dtet i

Dengan zyx dpdpdpddandzdydxd pr33

, maka dengan prosedur yang sama

dengan yang kita gunakan untuk mendapatkan operator posisi dalam ruang

momentum, kita peroleh hubungan

),(),(ˆ tit r rrP

(46)

Dengan )///( zyxr kji . Ini berarti, dalam ruang posisi, operator

momentum berbentuk:


23


ri P

(47)

Dalam bentuk komponen-komponen Cartesannya:

xiPx

ˆ

yiPy

ˆ

ziPz

ˆ

c. Operator Hermitan

Perkalian skalar antara fungsi ψ dan A' (dalam urutan yang demikian)

menghasilkan bilangan kompleks

dxAA ˆ*)ˆ,(

(48)

Jika urutannya dibalik kita dapatkan bilangan

dxAA *)ˆ(),ˆ( (2)

Yang selalu merupakan konjugat kompleks bagi bilangan sebelumnya persamaan

(48). Jika kedua bilangan itu sama untuk sebarang fungsi ψ, operator Ấ yang muncul

pada persamaan itu dikatakan bersifat hermitan. Jadi jika Ấ merupakan operator

hermitan maka berlaku hubungan:

dxAdxA *)ˆ(ˆ*

(49)

Untuk sebarang fungsi ψ yang square integrable.

11. Bagaimana menjelaskan transisi dari mekanika kuantum ke klasik (teori

Ehferenhest)?

TRANSISI MEKANIKA KUNTUM KE MEKANIKA KLASIK,

TEORI EHRENFEST

A. Hubungan Momentum linier dengan posisi benda menurut kajian

mekanika kuantum


24


Dalam mekanika kuantum kita mengenal adanya operator-operator. Jika kita

miasalkan operator tersebut adalah A , maka perubahan nilai harap terhadap

waktu dari operator tersebut dirumuskan seperti persamaan berikut

............................................(1)

Jika operator tersebut adalah operator posisi ( X ), maka perubahan nilai

harap operator posisi terhadap waktu adalah sebagai berikut

............................................... (2)

Kita ketahui bahwa

)ˆ(

2

ˆ 2

XVm

Pdikenal dengan hamiltonan, maka

Komutator yang dibentuk oleh operator posisi dan hamiltonan adalah

......................(3)

Pada komutator )ˆ(,ˆ XVX , operator X dan )ˆ(XV saling komute, sehingga

)ˆ(,ˆ XVX berharga nol, sedangkan komutator

m

PX

2

ˆ,ˆ

2

mempunyai suatu

harga

Diketahui bahwa iPX ˆ,ˆ , dengan demikian persamaan (3) menjadi

...................(4)

Secara ekspilsit, operator posisi ( X ) bersifat bebas waktu/tidak bergantung

waktu maka 0/ˆ tX , sehingga nilai harapnya juga nol; jadi:

X

t0/ˆ tX . Selanjutnya subtitusi nilai ini dan persamaan

m

PiHX

ˆˆ,ˆ ke dalam persamaan (2) diperoleh ungkapan tentang perubahan

nilai harap posisi ( X ) terhadap waktu sebagai berikut.

t

XHX

iX

dt

d

ˆˆ,ˆ1ˆ

t

AHA

iA

dt

d

ˆˆ,ˆ1ˆ

)ˆ(,ˆ2

ˆ,ˆ)ˆ(

2

ˆ,ˆˆ,ˆ

22

XVXm

PXXV

m

PXHX

m

PiPXPPPX

mPX

mm

PX

ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ

2

1ˆ,ˆ2

1

2

ˆ,ˆ 2

2

m

PiHX

ˆˆ,ˆ

m

Pi

iX

dt

d ˆ1ˆ


25


.........................(5)

Oleh karena operator P mewakili momentum linier benda (P) dan operator X

mewakili posisi benda (X), maka dapat dibentuk suatu persamaan baru sebagai

berikut

Persamaan menunjukkan hubungan antara besaran momentum

dengan posisi berdasarkan tinjauan mekanika kuantum.

Perumusan ini ternyata sama dengan perumusan nilai momentum linier (P)

pada mekanika klasik sebagai berikut

Hali ini menunjukkan adanya transisi dari mekanika kuantum ke mekanika

klasik

B. Gaya menurut kajian mekanika kuantum

Berdasarkan persamaan 1) di atas yang merupakan persamaan perubahan

nilai harap suatu operator mekanika kuantum terhadap waktu, maka

perubahan nilai harap momentum linear terhadap waktu dapat dinyatakan

dengan hubungan

t

PHP

iP

dt

d

ˆˆ,ˆ1ˆ

.....................................6)

P merupakan suatu operator yang mewakili momentum linier benda (P),

yang disebut operator momentum linier.

Komutator yang dibentuk oleh operator momentum linear dan hamiltonan

adalah

m

PX

dt

d ˆˆ

dt

XdmP

ˆˆ

dt

XdmP

dt

XdmP

)(

dt

XdmP

vmP

)(

.


26


)ˆ(,ˆ2

ˆ,ˆ)ˆ(

2

ˆ,ˆˆ,ˆ

22

XVPm

PPXV

m

PPHP

.........7)

Oleh karena operator P dan P saling komute, maka 0ˆ,ˆ PP sehingga

0ˆ,ˆ 2 PP .

Komutator suku terakhir dapat diselesaikan dengan mengerjakan komutator

tersebut dengan suatu fungsi gelombang sebagai berikut:

)ˆ(,ˆ XVP

Akibatnya xX ˆ dan xiP /ˆ

xixVxV

xiPXVXVPXVP )(ˆ)ˆ()ˆ(ˆ)ˆ(,ˆ

Akibatnya x

xViXVP

)()ˆ(,ˆ

Dengan demikian persamaan 7) menjadi

x

xViHP

)(ˆ,ˆ .........................................................8)

Secara eksplisit, operator momentum ( P ) tidak bergantung waktu, sehingga

0/ˆ tP . Oleh karena itu persamaan 6) menjadi

HPi

Pdt

d ˆ,ˆ1ˆ

Selanjutnya substitusi persamaan 8) ke persamaan

HPi

Pdt

d ˆ,ˆ1ˆ

,

mak akan diperoleh persamaan berikut

dx

xdVi

iP

dt

d )(1ˆ

dx

xdVP

dt

d )(ˆ

...................................................9)

Oleh karena P merupakan operator yang mewakili momentum linier benda

(P), maka persamaan 9) akan menjadi

dx

xdVP

dt

d )()( ...............................10)

x

xVi

xxV

xxV

x

xVi

)()()(

)(


27


Persamaan 10) merupakan persamaan yang menyatakan hubungan antara gradien

momentum dengan gradien energi potensial.

Dalam mekanika klasik, besaran dp disebut impuls, di mana terdapat suatu hubungan

antara gaya, impuls, dan waktu seperti berikut

Dalam kasus sistem konservativ, terdapat hubungan antara gaya dengan energi

potensial, di mana gaya merupakan negatif gradien energi potensial.

dx

dVF

Oleh karena itu, dalam sistem yang konservativ

Teori Ehrenfest

Teori Ehrenfest berawal setelah Paul Ehrenfest berhasil menghubungkan antara

waktu derivative dari harga ekspektasi untuk operator mekanika kuantum ke dalam

komutator. Secara matematis, teori Ehrenfest ini dirumuskan dengan persamaan

t

AHA

iA

dt

d)],[(

1)(

Di mana,

H = operator hermitian

A operator mekanika kuantum

)(A harga ekspektasi

Teori Ehrenfest ini memperkuat kemurnian/kerapian gambaran Heisenberg tentang

mekanika kuantum.

Waktu Derivative

Andaikan beberapa system dinyatakan dengan suatu bagian kuantum . Jika kita

ingin mengetahui waktu derivative dengan segera dari harga ekspektasi A atau

dilambangkan dengan (A), maka waktu derivative dari harga ekspektasi A tersebut

dapat dirumuskan dengan persamaan berikut

3333 ***

*)( dxt

Adxt

AdxA

tdxA

dt

dA

dt

d

dt

dpF

dx

dV

dt

dp


28


333 **

* dxt

At

AdxA

tdxA

dt

d

Jadi persamaan waktu derivative dari harga ekspektasi A adalah sebagai berikut

33 **

)( dxt

At

AdxA

tA

dt

d

………………………1)

Kadang-kadang operator A bersifat bebas waktu (time independent). Jika hal ini

terjadi, maka persamaan 1) akan menjadi

33 **

)( dxt

AdxAt

Adt

d

Jika persamaan schrodinger diaplikasikan untuk , maka akan terbentuk persamaan

berikut

H

it

1…………………2)

**1*

Hit

………….3)

Dalam hal ini, H adalah Hamiltonian, sedangkan *H adalah hermitian. Oleh karena

Hamiltonian merupakan hermitian, maka *HH , maka persamaan 1) akan menjadi

t

AdxHAAH

iA

dt

d 3*1

t

AHA

iA

dt

d],[

1

…………………..4)

Persamaan 4) di atas merupakan bentuk matematis dari teori Ehrenfest.

12. Bagaimana menjelaskan kuantisasi energy dan fungsi-fungsi eigen

I. Kuantisasi Energi

Salah satu konsep penting dalam fisika kuantum adalah pengkuantuman

energi, yaitu bahwa energi partikel pada umumnya tidak boleh sebarang. Khusus

pada keadaan terikat, energi partikel harus terkuantisasi. Pada persamaan

Schrodinger bebas waktu (pers. 23), secara matematis, parameter E pada persamaan

tersebut dapat bernilai sebarang, artinya berapapun nilai E yang kita isikan,

persamaan tersebut selalu dapat kita selesaikan untuk menghasilkan r

. Namun

demikian, fungsi r

yang dihasilkan belum tentu memenuhi persyaratan fungsi


29


eigen. Sebaliknya, jika r

harus memenuhi persyaratan fungsi eigen tersebut

maka E tidak boleh bernilai sembarang. Dengan kata lain, untuk menghasilkan r

yang memenuhi syarat maka E harus bernilai tertentu. Energi total (E) bersifat

diskrit. Pada umumnya terdapat sejumlah besar pasangan r

dan E yang

memenuhi persamaan )()(ˆ rErH

untuk H tertentu. Oleh karena itu, untuk

membedakan antara pasangan yang satu dengan lainnya digunakan indeks diskrit n.

Sehingga persamaannya menjadi:

)()(ˆ rErH

dan penyelesaian Schrodinger diperluas menjadi:

/)(),(

tiE

nnnextx

(31)

Bilangan n disebut bilangan kuantum (quantum number). Nilai terendah n, biasanya

0, menyatakan keadaan dasar (ground state). Nilai berikutnya: 1, 2, dst, menyatakan

keadaan tereksitasi (terbangkit) pertama, kedua, dan seterusnya.

II. Sifat-Sifat Fungsi Eigen Energi

a. Persamaan Schrodinger sebagai Persamaan nilai eigen Energi

Ketika persamaan Schrodinger untuk fungsi gelombang dinyatakan dengan

tx, yang merupakan perkalian fungsi posisi, misalnya x , dan fungsi waktu,

misalnya tf , maka diperoleh:

tfxtx ,

dt

tdf

tfitxV

dx

xd

xm

1,

1

2 2

22

bila V hanya bergantung pada x maka:

dt

tdf

tfixV

dx

xd

xm

11

2 2

22

(32)

Ruas kiri dan ruas kanan ini menyatakan suatu kesamaan namun tidak

menyatakan saling ketergantungan sehingga karena masing-masing menyatakan

jumlah energi, persamaan tersebut dapat diselesaikan sebagai berikut.


30


EtxVdx

xd

xm ,

1

2 2

22

(33)

dan

E

dt

tdf

tfi

1

(34)

Dari penyelesaian persamaan (34) diperoleh perumusan persamaan Schrodinger

menjadi:

iEt

extx

,

(35)

Persamaan bebas waktu dinyatakan pada persamaan (33) dapat dinyatakan dengan:

xExH ^

(36)

Faktor dalam kurung di ruas kiri menyakan operator Hamiltonan )(^

H , yaitu

operator yang mewakili jumlah energi kinetik dan energi potensial. Dalam

persamaan nilai eigen persamaan (34) diungkapkan bahwa x adalah fungsi eigen

(fungsi karakteristik) dari operator )(^

H dengan nilai eigen (nilai karakteristik)

sebesar E. Hal ini berarti bahwa nilai E harus memenuhi persamaan nilai eigen,

sehingga E tidak boleh bernilai sembarang dan E pun dikatakan bersifat diskret.

Karena E bersifat diskret terdapat sejumlah besar pasangan x dan E. Untuk

membedakan hal tersebut harus digunakan harus digunakan indeks diskrit n,

sehingga persamaan menjadi:

xExH nnn ^

(37)

Persamaan umun Schrodinger menjadi:

tiE

nn

n

extx

,

(38)

b. Prinsip Ketaktentuan dan Harga Ekspektasi dari E


31


Kuantitas dinamis seperti energi total E, memiliki harga ekspektasi untuk

setiap t dari harga x, dan potensial partikel yang tidak dapat ditentukan secara tepat.

Harga ekspektasi E harus dihitung dari:

dxEE

2

(39)

Untuk tx, , kita harus menyatakan E sebagai fungsi dari x dan t untuk

kemudian diintegrasi. Tapi, dari prinsip ketaktentuan mengakibatkan tidak

terdapatnya fungsi E(x,t), sekali x dan t ditentukan hubungan:

2

tE

(40)

Berarti bahwa kita tidak dapat pada prinsipnya menentukan E secara eksak.

Jika E tertentu seperti kasus keadaan tunak (stasioner) seperti yang dinyatakan oleh

tingkat energi atomik x, dan t tidak dapat ditentukan secara eksak.

Dalam fisika klasik tidak dapat pembatasan seperti itu, karena dalam dunia

makroskopik prinsip ketaktentuan dapat diabaikan. Jika kita terapkan hukum gerak

kedua pada gerak benda yang mengalami berbagai gaya, kita mengharapkan untuk

mendapatkan E(x,t) dari solusinya seperti juga x(t), untuk memecahkan persoalan

tersebut dalam mekanika klasik pada pokoknya berarti menetukan tempuhan masa

depan gerak benda tersebut. Dalam fisika kuantum, di lain pihak semua yang kita

dapatkan secara langsung dari persamaan Schrodinger dari gerak partikel itu ialah

fungsi gelombang Ψ, dan tempuhan masa depan gerak partikel itu, seperti juga

keadaan awalnya, hanya diketahui peluangnya, sebagai ganti sesuatu yang sudah

tertentu.

Untuk mendapatkan E dengan cara yang benar ialah dengan

mendeferensiasi fungsi gelombang partikel bebas ))(/( pxEtiAe terhadap x dan t,

maka peroleh:

E

i

t

(41)

yang dapat ditulis dengan cara:


32


t

iE

(42)

Jelaslah kuantitas dinamis p dalam cara tertentu bersesuaian dengan operator

diferensial xi )/( dan kuantitas dinamis E bersesuaian dengan operator

diferensial xi . Operator xi mengintruksikan kepada kita untuk mengambil

turunan parsial kuantitas yang terdapat setelahnya terhadap tdan hasilnya dikalikan

dengan i .

Kita bisa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehingga E ialah

operator yang bersesuaian dengan energi total E. Operator E dinyatakan dalam

bentuk:

ti

E

(43)

Persamaan tersebut berlaku untuk partikel bebas, dan memiliki kesahan dengan

persamaan Schrodinger. Untuk mendukung penyataan ini, persamaan E = T + V

untuk energi total partikel dapat diganti dengan persamaan operator.

E = T + V

(44)

dengan m

pT

2

2

diperoleh persamaan operator energi-kinetik, yakni:

xmximm

p

22

1

2

ˆ 22 T

(45)

Sehingga persamaan (44) dapat ditulis:

Vxmt

i

2

22

2

(46)

Kalikan kedua ruas persamaan (46) dengan Ψ, diperoleh:

V

xmti

2

22

2

(47)


33


Persamaan di atas disebut pesamaan Schrodinger.

Karena nilai E dapat dinyatakan dengan operator bersesuaian sehingga harga

ekspektasi E dapat dituliskan dengan:

x

tidx

tidxEE

(48)

c. Persyaratan Fungsi Eigen

Operator energi dapat kita tentukan dari persamaan schrodinger bebas waktu

antara lain sebagai berikut.

xxV

mt

xi

22

2

(49)

Operator energi total dapat dibuat dalam bentuk operator Hamilton H antara

lain sebagai berikut.

V

mH 2

2

2ˆ

(50)

Dengan demikian persamaan (50) dapat dituliskan sebagai berikut.

xExH ˆˆ

(51)

Jika kita analisis persamaan (51) maka kita dapatkan bahwa E adalah nilai

eigen energi pada persamaan schrodinger bebas waktu dan x adalah fungsi eigen

energi. Sifat-sifat yang dimiliki oleh fungsi eigen energi ini adalah sebagai berikut.

1. Fungsi eigen energi tidak tergantung pada waktu karena fungsi ini diturunkan

dari persamaan schrodinger bebas waktu.

2. Nilai )(x dan dx

xd )( berhingga di semua x karena )(x bersifat real.

3. Nilai )(x dan dx

xd )( tunggal di semua x.

4. Nilai )(x dan dx

xd )( kontinu di semua x.


34


5. )(x tidak nol di mana-mana.

Persyaratan di atas harus dipenuhi dalam persamaan (51) agar nilai E tidak

bernilai sebarang. Untuk memperjelas makna persyaratan tersebut, dalam gambar

berikut disajikan beberapa contoh fungsi yang tidak memenuhi persyaratan tersebut.

Khususnya tiga persyaratan pertama.

x

F(x)

Bernilai tak hingga di x =

x

F(x)

Bernilai tak hingga di x =

x

F(x)

Tidak Bernilai tunggal di 21 xxx

=

X1 X2

x

F(x)

Tak kontinu hingga di x =0

persamaan schrodinger

Documents