kimia.unnes.ac.idkimia.unnes.ac.id/kasmui/kuantum/book/handout bab 7... · web viewbab vii teorema...

Bab VII/Teorema Mekanika Kuantum /

BAB VII

TEOREMA MEKANIKA KUANTUM

7.1 Pengantar

Persamaan Schrodinger untuk atom yang hanya mepunyai satu

elektron dapat kita selesaikan secara pasti, tetapi tidak demikian halnya

untuk atom yang berelektron banyak dan juga molekul, karena dalam

kedua sistem yang terakhir terjadi repulsi antara satu elektron dengan

elektron lain. Untuk itu kita butuhkan metode lain untuk menyelesaikan

persamaan Schrodinger untuk atom berelektron banyak dan molekul. Ada

dua metode yang akan kita bicarakan pada Bab VIII dan Bab IX, yaitu

11


metode variasi dan teori perturbasi. Untuk dapat memahami kedua

metode tersebut kita harus mengembangkan lebih lanjut pemahaman kita

terhadap mekanika kuantum, yang secara garis besar telah kita pelajari.

Jadi target bab ini adalah membahas secara lebih mendalam mengenai

teorema mekanika kuantum.

Sebelum mulai, marilah kita mengenal beberapa notasi integral yang

akan dipergunakan. Definit integral seluruh ruang atas operator

sembarang yang terletak di antara dua buah fungsi yaitu fm dan fn biasanya

ditulis:

d = = = (7-1)

11


Notasi (7-1) di atas diperkenalkan oleh Dirac, dan disebut notasi kurung.

Bentuk integral di atas juga sering ditulis:

d = Am n (7-2)

Notasi untuk integral seluruh ruang atas dua buah fungsi fm dan fn ditulis:

d = = = (7-3)

Karena = d, maka: * = (7-4)

dan dalam kasus khusus yaitu fm = fn maka (7-4) dapat ditulis : * =

.

Hal-hal lain yang perlu diingat adalah:

11

d


1) d = 1 jika fm = fn dan fungsinya disebut ternormalisasi. (7-5)

d = 0 jika fm fn dan fungsinya disebut ortogonal (7-6)

Catatan:

d juga boleh ditulis m n (Kronikle Delta) yang harganya = 0 jika

fm fn dan berharga 1 jika fm = fn

2) Jika : = a dengan a bilangan konstan, maka disebut fungsi

eigen sedang a disebut nilai eigen atau: jika adalah fungsi eigen

terhadap operator , maka berlaku hubungan:

= a dengan a adalah nilai eigen. (7-7)

11


7.2 Operator Hermit

Operator linear adalah operator yang mewakili besaran fisik, misal

operator energi, operator energi kinetik, operator momentum angular dan

lain-lain.

Jika adalah operator linear yang mewakili besaran fisik A, maka nilai

rata-rata A dinyatakan dengan:

= d (7-8)

11


dengan adalah fungsi keadaan sistem. Karena nilai rata-rata selalu

merupakan bilangan real, maka:

= *

atau:

d= d (7-9)

Persamaan (7-9) harus berlaku bagi setiap fungsi yang mewakili

keadaan tertentu suatu sistem atau persamaan (7-9) harus berlaku bagi

setiap fungsi berkelakuan baik (well behaved function). Operator linear

yang memenuhi persamaan (7-9) itulah yang disebut operator Hermit.

11


Beberapa buku teks menulis operator Hermit sebagai operator yang

mengikuti persamaan:

d = d (7-10)

untuk fungsi f dan g yang berkelakuan baik. Perlu dicatat secara khusus

bahwa pada ruas kiri persamaan (7-10), operator bekerja pada fungsi g

sedang di ruas kanan, operator bekerja pada fungsi f. Dalam kasus khusus

yaitu jika f = g maka bentuk (7-10) akan tereduksi menjadi bentuk (7-9).

Teorema yang berhubungan dengan Operator Hermit

Ada beberapa teorema penting sehubungan dengan operator Hermit,

yaitu:

12


Teorema 1: Nilai eigen untuk operator Hermit pasti merupakan bilangan

real.

Teorema 2: Dua buah function 1 dan 2 berhubungan dengan operator

Hermit dan baik 1 maupun 2 adalah fungsi eigen terhadap

operator dengan nilai eigen yang berbeda, maka 1 dan 2

adalah ortogonal. Jika kedua fungsi tersebut mempunyai nilai eigen

yang sama atau degenerate (jadi tidak ortogonal), maka selalu ada

cara agar dijadikan ortogonal.

Pembuktian Teorema I:

12


Ada dua hal penting yang termuat dalam pernyataan teorema I yaitu

bahwa operator yang dipergunakan adalah operator Hermit jadi harus

mengikuti (7-9) dan ada pernyataan eigen value, ini berarti bahwa fungsi

yang dibicarakan adalah fungsi eigen, jadi hubungan (7-7) berlaku. Untuk

ini kita misalkan fungsinya adalah , dan karena adalah operator

hermit, maka menurut (7-9):

d = d

atau:

d = d (7-11)

Menurut (7-7) :

12


= a dengan a adalah nilai eigen untuk

= a* dengan a* adalah nilai eigen untuk

sehingga (7-11) dapat ditulis:

a = a*

Menurut (7-5) nilai = = 1, jadi:

a = a*

Harga a = a* hanya mungkin jika a bilangan real.

Pembuktian Teorema II:

12


Karena 1 dan 2 adalah fungsi eigen terhadap operator misal operator ,

maka berlaku:

1 = a1 1 dan 2 = a2 2 (7-12)

Karena adalah operator Hermit terhadap 1 dan 2 maka menurut (7-

10) berlaku:

d = d

atau:

d = d (7-13)

Substitusikan (7-12) ke dalam (7-13), menghasilkan:

a2 =

12


Menurut teorema I, harga a* = a, jadi:

a2 = (7-14)

Menurut (7-4), = , jadi persamaan (7-14) boleh ditulis:

a2 =

atau:

a2 = 0

atau:

(a2 ) = 0 (7-15)

Jika a1 tidak sama dengan a2 maka dari (7-15) tersebut (a2a1) tidak

mungkin nol, sehingga:

12


= 0 (7-16)

Karena = 0, maka 1 dan 2 ortogonal.

Jadi terbukti, jika dua buah fungsi eigen mempunyai nilai eigen

berbeda terhadap operator tertentu, maka kedua fungsi tersebut ortogonal.

Yang menjadi pertanyaan sekarang adalah, mungkinkah dua buah fungsi

eigen yang independen, mempunyai nilai eigen yang sama ? Jawabnya

adalah ya. Ini terjadi pada kasus degenerasi. Pada kasus ini, beberapa

fungsi eigen yang independen, mempunyai nilai eigen yang sama. Untuk

dua fungsi eigen yang degenerate atau yang nilai eigen-nya sama, maka

kedua fungsi tersebut tidak ortogonal. Dengan demikian, maka kita hanya

12


boleh mengatakan bahwa dua fungsi eigen yang berhubungan dengan

operator Hermit adalah ortogonal jika kedua fungsi eigen itu tidak

degenerate.

Apakah Degenerate itu ?

Jika dua atau lebih fungsi eigen yang independen mempunyai nilai eigen

sama → degenerate.

12


Untuk lebih memahami masalah degenerate ini, marilah kita ingat

kembali fungsi gelombang partikel dalam kotak yang telah kita pelajari.

Fungsi gelombang partikel dalam kotak 3 dimensi dinyatakan sebagai:

= x y z dengan :

x = ; y = dan y =

jadi:

= (7-17)

Jika operator Hermit, misal operator Hamilton dikenakan pada fungsi

gelombang tersebut maka nilai eigennya adalah energi yang besarnya:

E = Ex + Ey + Ez

12


dengan :

Ex = ; Ey = dan Ez = (7-18)

sehingga:

E =

Jika kotaknya kubus dengan rusuk L:

E = (7-19)

Jika kotaknya berbentuk kubus, maka menurut (7-19) harga nilai eigen

E1-1-2 = E1-2-1 = E2-1-1 = meskipun eigen function-nya 1-1-2 1-2-1 2-

1-1. Keadaan seperti itulah contoh kasus degenerate. Untuk kasus

12


degenerate tersebut, biasanya dikatakan bahwa derajad degenerasinya =

3, karena ada 3 fungsi gelombang berbeda yang nilai eigen-nya sama

yaitu 1-1-2; 1-2-1 dan 2-1-1. Sudah barang masih tak terhingga banyak

kasus degenerate untuk fungsi gelombang partikel dalam kotak berbentuk

kubus misal pasangan 1-1-3; 1-3-1 dan 3-1-1 dan masih banyak lagi.

Satu hal yang penting dari keadaan degenerate itu ialah, bahwa jika

fungsi-fungsi eigen yang degenerate itu dikombinasi linearkan, maka

akan terbentuk fungsi eigen yang baru. Contoh:

Jika fungsi adalah kombinasi linear dari 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 yang

dinyatakan dalam bentuk:

13


= c1 1-1-2 + c2 1-2-1 + 2-1-1 (7-20)

Karena 1-1-2, 1-2-1 dan 2-1-1 adalah degenerate, maka pasti merupakan

fungsi eigen yang nilai eigennya sama dengan nilai eigen fungsi-fungsi

penyusunnya.

Yang harus diingat adalah bahwa jika adalah kombinasi linear dari

1-1-2 dan 1-3-1 sehingga dapat ditulis:

= c1 1-1-2 + c2 1-3-1 (7-21)

maka bukan fungsi eigen karena nilai eigen 1-1-2 dan c2 1-3-1 pasti

tidak sama.

13


Relasi (7-20) disebut degenerasi karena fungsi eigen penyusunnya

degenerate sedang (7-21) bukan degenerasi.

Jika kepada kita ditanyakan berapa energi pada (7-20) maka

jawabnya adalah E = .

Ortogonalisasi

Misal kita mempunyai dua buah fungsi eigen yang degenerate, jadi

nilai eigennya sama maka menurut teorema 2 kedua fungsi tersebut tidak

ortogonal. Pertanyaannya adalah dapatkah kita membuatnya menjadi

ortogonal ? Jawabnya adalah, dapat.

13


Sekarang kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus degenerasi

(yang fungsi-fungsinya tidak ortogonal), dapat kita buat menjadi

ortogonal. Kita misalkan kita mempunyai operator Hermit dan dua buah

fungsi eigen independen yaitu fungsi f dan fungsi G yang mempunyai

nilai eigen yang sama yaitu s, maka berarti:

f = s f ; G = s G

Karena nilai eigen keduanya sama, maka f dan G pasti tidak ortogonal.

Agar diperoleh dua fungsi baru yang ortogonal, ditempuh langkah

sebagai berikut:

13


Kita buat fungsi eigen baru yaitu g1 dan g2 yang merupakan

kombinasi linear f dan G sehingga membentuk misalnya:

g1 = f dan g2 = G + c f dengan c adalah konstanta.

Kita harus menentukan harga c tertentu agar g1 dan g2 ortogonal. Agar

ortogonal harus dipenuhi syarat:

d = 0 atau:

d= 0 atau :

d + d = 0 atau :

d + c d = 0 atau :

Jadi agar g1 dan g2 ortogonal, maka harga c harus:

13


c =

Sekarang kita telah mempunyai dua fungsi ortogonal yaitu g1 dan g2

yaitu:

g1 = f dan g2 = G + c f dengan c =

Prosedur yang telah kita tempuh ini disebut Ortogonalisasi Schmidt.

7.3 Ekspansi Sembarang Fungsi Menjadi Kombinasi Linear Fungsi

Eigen

Setelah kita membicarakan ortogonalitas fungsi eigen dari operator

Hermit, sekarang akan kita bicarakan sifat penting lain dari fungsi

13

d

d

d

d


tersebut; sifat ini mengijinkan kita untuk mengubah bentuk sembarang

fungsi F(x) menjadi kombinasi linear fungsi - fungsi eigen. Jika kombinasi

linear fungsi eigen itu adalah a11 + a22 + a33..... + ann, atau agar

lebih singkat kita tulis saja dengan bentuk , maka ekspansi fungsi

yang dimaksud adalah:

F(x) = (7-22)

dengan :

an = (7-23)

Bagaimana mendapat (7-23) di atas ? Marilah kita ikuti langkah-langkah

berikut:

13


Kedua ruas (7-22) kita kalikan dengan m* sehingga diperoleh:

m* F(x) = (7-24)

Jika kedua ruas (7-24) diintegralkan maka diperoleh:

m* F(x) dx = dx (7-25)

Telah kita ketahui bahwa :

= m n (7-26)

sehingga (7-25) dapat ditulis:

m* F(x) dx = (7-27)

Ruas kanan (7-27) adalah:

= a1. m 1 + a2 m 2 + ....a m m m + a m +1 m (m+1) +...

13


= a1. + a2 + ....a m + a m

+1 . +...

= am

Sehingga (7-27) dapat ditulis:

m* F(x) dx = am atau am = m

* F(x) dx (7-28)

Jika indek m pada (7-28) diganti n maka persamaan (7-23) yang dicari

diperoleh yaitu:

an =

Contoh:

Diketahui: F(x) = x untuk 0 < x < a/2

13


F(x) = 1 x untuk a/2 < x < a

Ekspansilah F(x) ke dalam fungsi eigen untuk partikel dalam kotak satu

dimensi yang panjang kotaknya = a.

Jawab:

Fungsi gelombang partikel dalam kotak satu dimensi dengan panjang

kotak = a adalah:

n = (7-29)

Jadi bentuk ekspansinya menurut (7-22):

F(x) = = (7-30)

Menurut (7-23) :

13


an =

=

=

= +

= (7-31)

Jadi:

a1 = ; a2 = 0 ; a3 = ; a4 = 0 ; a5 = ; a6 = 0 dan

seterusnya.

Kita masukkan (7-31) ke dalam (7-30), maka:

F(x) =

14


=

=

=

Pengertian Complete Set

Pada contoh ekspansi fungsi diatas, fungsi F(x) dapat diekspansi ke dalam

bentuk kombinasi linear fungsi gelombang partikel dalam kotak n dan

dalam hal ini himpunan fungsi disebut himpunan lengkap atau

Complete Set. Apakah semua n dapat digunakan untuk mengekspansi

fungsi F, jawabnya ternyata tidak, hanya himpunan fungsi yang

merupakan himpunan lengkap saja yang dapat digunakan untuk

14


mengekspansi fungsi F. Selanjutnya mengenai himpunan lengkap, dibuat

definisi sebagai berikut:

Himpunan fungsi dapat disebut sebagai Himpunan Lengkap jika himpunan fungsi tersebut dapat digunakan untuk mengekspansi sembarang fungsi F menjadi kombinasi linear dengan mengikuti persamaan F(x) = dengan an

adalah tetapan sembarang.

Contoh himpunan fungsi gelombang yang bukan himpunan lengkap

adalah himpunan fungsi gelombang elektron atom hidrogen yang sudah

14


pernah kita pelajari. Meskipun kita tahu bahwa fungsi gelombang

elektron atom hidrogen yaitu (n, l, m ) adalah fungsi r,,, namun jika

seandainya kita mempunyai sembarang fungsi F(r,,) maka fungsi

tersebut tidak dapat diekspansi menjadi kombinasi linear , karena

seperti kita ketahui bahwa hidrogen hanya berhubungan dengan energi

diskrit saja padahal energi elektron bisa saja kontinum, yaitu ketika

elektron dalam proses lepas dari sistem atom menjelang terjadinya

ionisasi. Jadi n atom Hidrogen bukan merupakan himpunan lengkap

sehingga tidak mungkin kita mengekspansi F(r,,) menjadi himpunan

linear (n, l, m). Fungsi gelombang hidrogen baru disebut himpunan fungsi

14


lengkap jika menyertakan himpunan fungsi gelombang yang berkorelasi

dengan energi kontinum yang biasanya ditulis (E, l, m). Jika fungsi

gelombang hidrogen sudah dinyatakan secara lengkap seperti itu maka

fungsi F(r,,) dapat diekspan, yaitu menjadi kombinasi linear fungsi diskrit

dan kombinasi linear fungsi kontinum.

Teorema 3:

Jika g1, g2... adalah himpunan lengkap fungsi eigen dari operator

dan jika fungsi F juga fungsi eigen dari operator dengan nilai eigen k

(jadi F = k F) sedang F diekspansi dalam bentuk F = , maka gi yang

ai nya tidak nol mempunyai nilai eigen k juga.

14


Jadi ekspansi terhadap F, hanya melibatkan fungsi-fungsi eigen yang

mempunyai nilai eigen yang sama dengan nilai eigen F.

Selanjutnya sebagai rangkuman dari sub-bab 7.2 dan 7.3 dapat

dinyatakan bahwa Fungsi-fungsi eigen dari operator Hermite,

membentuk himpunan lengkap ortonormal dan nilai eigennya adalah

real.

7.4 Eigen Fungsi Dari Operator Commute

Jika fungsi secara simultan adalah fungsi eigen dari dua buah

operator dan dengan nilai eigen aj dan bj, maka pengukuran properti A

14


menghasilkan aj dan pengukuran B menghasilkan bj. Jadi kedua properti

A dan B mempunyai nilai definit jika merupakan fungsi eigen baik

terhadap maupun .

Pada bab V sub bab 5.1 kita telah menyatakan bahwa suatu fungsi

adalah eigen terhadap dan jika kedua operator tersebut commute atau:

= ai dan = bi Jika : (7-32)

[ , ] = 0 (7-33)

Sekarang pernyataan pada bab V tersebut akan kita buktikan. Yang harus

kita buktikan adalah:

[ , ] = 0

14


Kita tahu:

[ , ] = (7-34)

Jika dioperasikan pada i :

[ , ]i = i i

= ( i ) ( i )

= bi ai i

= bi ai i

= bi ai ai bi i

[ , ] = bi ai ai bi = 0 (terbukti) (7-35)

Pembuktian di atas adalah pembuktian untuk teorema 4 yang bunyinya

14


Teorema 4: Jika Operator linear dan mempunyai himpunan fungsi

eigen yang sama maka dan adalah commute.

Perlu diingat dan yang dimaksud oleh teorema 4 hanya dan

yang masing-masing merupakan operator linear. Jika dan bukan

operator linear maka keduanya bisa tidak commute meskipun seandainya

keduanya mempunyai fungsi eigen yang sama. Sebagai contoh (,)

yang kita bahas di bab V, adalah fungsi eigen dari operator dan operator

tetapi kedua operator tersebut non commute.

14


Teorema 5 : Jika operator Hermite dan adalah commute, maka kita

dapat memilih himpunan lengkap fungsi eigen untuk kedua

operator itu.

Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

Anggap saja fungsi gi adalah fungsi eigen dari operator dengan nilai

eigen ai maka kita dapat menulis:

gi = ai gi (7-36)

Jika operator dioperasikan pada kedua ruas (7-36) di atas, maka:

( gi ) = (ai gi ) (7-37)

14


Karena dan commute dan karena linear maka:

( gi) = ai ( gi) (7-38)

Persamaan (7-38) di atas menyatakan bahwa fungsi gi adalah fungsi

eigen terhadap operator dengan nilai eigen ai, persis sama dengan fungsi

gi yang juga fungsi eigen terhadap operator dengan nilai eigen ai.

Marilah kita untuk sementara menganggap bahwa nilai eigen dari

operator tersebut non degenerate, hingga untuk sembarang harga nilai

15


eigen ai yang diberikan berasal dari satu dan hanya satu fungsi eigen yang

linearly independent. Jika ini benar, maka kedua fungsi eigen gi dan gi

yang mempunyai nilai eigen sama yaitu ai harus linearly dependent,

yaitu, fungsi yang satu harus merupakan kelipatan sederhana dari yang

lain,

gi = ki gi (7-39)

dengan ki adalah konstan. Persamaan (7-39) itu menyatakan bahwa

fungsi gi merupakan fungsi eigen dari operator sebagaimana yang

hendak kita buktikan.

15


Jadi, jika dan commute dan fungsi gi adalah fungsi eigen terhadap

maka gi juga merupakan fungsi eigen dari (Jadi Teorema 5 adalah

kebalikan dari Teorema 4)

Teorema 6: Jika gi dan gj adalah fungsi eigen dari operator Hermite

dengan nilai eigen berbeda (misal gi = ai gi dan gj = ajgj

dengan ai aj), dan jika adalah operator linear

yang commute terhadap , maka:

< gj gi > = 0 atau d = 0 (7-40)

dengan s-r adalah seluruh ruang. Pembuktiannya adalah sebagai berikut:

15


Karena dan commute, maka fungsi eigen terhadap adalah juga

fungsi eigen terhadap , meski dengan nilai eigen berbeda. Jadi gi juga

fungsi eigen terhadap , yang jika nilai eigennya dimisalkan ki maka:

gi = ki gi (7-41)

dengan demikian (7-40) boleh ditulis:

d = = . 0 = 0 (terbukti)

7.5 Paritas

Ada operator mekanika kuantum yang tidak dikenal dalam mekanika

klasik, contohnya adalah operator paritas. Marilah kita ingat kembali

bahwa dalam osilator harmonis, kita mengenal adanya fungsi genap dan

15


ganjil. Akan kita lihat bagaimana sifat ini dikaitkan dengan operator

paritas.

Operator paritas, dapat dilihat dari efeknya apabila ia bekerja pada

sembarang fungsi. Operator ini akan mengubah tanda semua koordinat

Cartessius, sehingga kita boleh mendefinisikan:

f ( x, y, z ) = f (x, y, z)

Contohnya: ( x2 2 x. e2y + 3 z3 ) = { (x)2 2 (-x). e2y + 3 (z)3 }

= x2 + 2 x e2y 3z3

15


Jika seandainya gi adalah fungsi eigen dari operator paritas dengan nilai

eigen ai maka kita dapat menulis:

gi = ai gi (7-42)

Sifat paling penting dari operator ini adalah kuadratnya:

f ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) = f (x, y, z) = f ( x, y, z )

Karena f nya fungsi sembarang maka adalah operator satuan (unit

Operator), jadi:

= (7-43)

Sekarang, bagaimana jika kita gunakan untuk (7-42) ? Hasilnya

adalah:

15


gi = gi = ai gi = ai gi = gi (7-44)

Karena adalah unit operator, maka (7-44) menjadi:

gi = gi (7-45)

atau:

ai = + 1 (7-46)

Karena ai adalah nilai eigen untuk , maka nilai eigen untuk adalah 1

dan 1. Perlu dicatat bahwa hal ini berlaku untuk semua operator yang

kuadratnya merupakan operator satuan.

Bagaimana fungsi eigen dari operator Paritas ?

15


Kita lihat kembali persamaan (7-42)

gi = ai gi

Karena nilai eigen operator ini + 1, maka persamaan di atas dapat ditulis:

gi = + 1 gi (7-47)

Jika gi adalah g(x, y, z), maka:

g (x, y, z) = + 1 g(x, y, z ) atau (7-48)

g (x, y, z) = + 1 g(x, y, z ) (7-49)

Jika nilai eigennya +1, maka:

g (x, y, z) = g(x, y, z ) (7-50)

15


jadi g fungsi genap.

Jika nilai eigen = 1, maka:

g (x, y, z) = g(x, y, z ) (7-51)

jadi g adalah fungsi ganjil.. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa:

fungsi eigen dari operator paritas adalah semua fungsi well

behaved yang mungkin baik genap maupun ganjil.

Bagaimana jika Operator Paritas Commute dengan operator

Hamilton ?

15


Manakala operator paritas commute dengan operator Hamilton maka

semua fungsi yang eigen terhadap operator Hamilton pasti eigen juga

dengan operator paritas. Kita ambil saja himpunan fungsi i adalah

fungsi eigen terhadap operator .

Jika operator paritas dan Hamilton commute, kita boleh menulis:

[ , ] = 0 (7-52)

dan juga boleh menyatakan bahwa i adalah fungsi eigen bagi operator

paritas tidak peduli fungsi tersebut ganjil atau genap. Untuk sistem

partikel tunggal,

15


[ , ] = [ ( ), ] = [ , ] + [ V, ]

= [ , ] + [ V, ] (7-53)

Harga [ , ] adalah 0, ini dengan mudah dapat dibuktikan sebagai

berikut:

[ , ] F(x)

= F(x) F(x)

= F(x) F(x)

= F(x) F(x) = 0

Dengan demikian (7-53) dapat ditulis:

16


[ , ] = [ V, ] (7-54)

Sekarang kita evaluasi ruas kanan (7-54):

[ V(x), ] F(x) = V(x) F(x) V(x)F(x)

= V(x) F(x) V(x)F(x) (7-55)

Nilai (7-55) ditentukan oleh fungsi energi potensial.

Jika fungsi energi potensial adalah fungsi genap, maka V(x) = V(x),

maka (7-55) menjadi:

[ V(x), ] = 0 sehingga (7-54) menjadi:

[ , ] = 0 (7-56)

16


Ini berarti:

Teorema 7: Jika fungsi V adalah fungsi genap, maka dan adalah

commute, sehingga kita dapat memilih sembarang fungsi gelombang

stasioner baik genap maupun ganjil sebagai fungsi eigen dari kedua

operator tersebut.

Fungsi genap atau ganjil yang merupakan fungsi eigen bagi kedua

operator Hamilton dan paritas itu disebut fungsi definit paritas.

16


Jika semua energi levelnya adalah non degenerate ( umumnya

memang benar untuk sistem partikel tunggal) berarti hanya ada satu

fungsi gelombang independen yang berhubungan dengan masing-masing

energi level. Jadi untuk kasus non degenerate, maka fungsi gelombang

stasioner yang fungsi energi potensialnya fungsi genap adalah definit

paritas. Sebagai contoh fungsi gelombang osilator harmonis adalah

definit paritas karena fungsi energi potensialnya ½ kx2 (fungsi energi

potensial genap).

Jika energi level degenerate, itu berarti tidak cuma satu fungsi

gelombang independen yang memiliki energi nilai eigen tersebut. Dengan

16


demikian kita mempunyai banyak sekali pilihan fungsi gelombang

sebagai akibat dari kombinasi linear dari fungsi-fungsi degenerasi itu.

7.6 Pengukuran Dan Keadaan Superposisi

Mekanika kuantum dapat dipandang sebagai suatu cara untuk

menghitung probabilitas dari berbagai kemungkinan hasil pengukuran.

Sebagai contoh, jika kita mempunyai fungsi (x,t) maka probabilitas

16


hasil pengukuran posisi partikel pada saat t berada antara x dan x + dx

dinyatakan oleh (x,t)2 dx

Sekarang kita akan memperhatikan pengukuran properti secara

umum, misal besaran A. Untuk ini yang dipertanyakan adalah bagaimana

menggunakan untuk menghitung probabilitas masing-masing hasil

pengukuran A yang mungkin. Kita akan mengupas informasi apa saja

yang dikandung oleh yang merupakan jantungnya mekanika kuantum.

Subyek pembahasan kita adalah sistem n partikel dan menggunakan q

sebagai simbol dari koordinat 3n. Telah kita postulatkan bahwa hanya

16


nilai eigen ai dari operator Â lah yang merupakan kemungkinan hasil

pengukuran besaran A.

Dengan menggunakan gi sebagai fungsi eigen dari Â, maka kita boleh

menulis:

Â gi(q) = ai gi(q) (7-57)

Telah kita postulatkan pada sub bab 7.3 bahwa fungsi eigen dari

sembarang operator Hermite yang mewakili besaran fisik teramati,

membentuk himpunan lengkap. Karena gi adalah himpunan lengkap kita

dapat mengekspansi fungsi dalam suatu deret yang suku-sukunya

adalah gi jadi:

16


(q,t) = (7-58a)

Agar dapat menggambarkan bahwa adalah fungsi waktu, maka

koefisien ci harus merupakan fungsi waktu sehingga (7-58a) lebih baik

ditulis:

(q,t) = (7-58b)

Karena 2 adalah rapat peluang (probability density) maka:

∫* d = 1 (7-59)

Substitusi (7-58a) ke dalam (7-59) menghasilkan:

d = d = 1 (7-60)Karena pengintegralan hanya terhadap koordinat, maka:

d = 1 (7-61)

16


Jika i = j, maka:

= 1 atau:

= 1 (7-62)

Kita akan menguji signifikansi (7-62) secara singkat:

Ingat bahwa jika fungsi ternormalisasi, maka nilai rata besaran A

adalah:

< A > = ∫ * Â d

Dengan menggunakan (7-58), maka:

< A > = Â d = d

atau:

16


< A > = d ai d

< A > = ai (7-63)

Bagaimana menginterpretasi (7-63) ? Perlu diketahui, bahwa nilai eigen

suatu operator adalah kemungkinan dari bilangan-bilangan yang

diperoleh jika kita melakukan pengukuran terhadap besaran yang diwakili

oleh operator tersebut. Dalam sembarang pengukuran terhadap besaran A,

kita akan memperoleh salah satu harga ai. Kemudian marilah kita ingat

kembali teori mengenai rata-rata yang kita pelajari dalam matematika.

Jika kita mempunyai n buah data X dengan rincian X1 sebanyak n1, X2

sebanyak n2 dan seterusnya maka, rata-rata X adalah :

16


< X > = = + .....

= P1 X1 + P2 X2...... Pi Xi Jadi:

< X > = (7-64)

Sekarang jika dari pengukuran terhadap besaran A diperoleh nilai-nilai

eigen a1, a2... ai maka rata-rata A adalah:

< A > = (7-65)

dengan Pi adalah probabilitas mendapatkan nilai ai pada pengukuran

besaran A. Jika hanya ada sebuah fungsi eigen independen untuk setiap

nilai eigen (non degenerate) maka banyaknya eigen fungsi sama dengan

17


banyaknya nilai eigen. Selanjutnya dengan membandingkan (7-65)

terhadap (7-63) maka dapat dipastikan bahwa

ci2 = Pi (7-66)

yaitu probabilitas memperoleh harga ai ketika dilakukan pengukuran

terhadap besaran A.

Teorema 8: Jika ai adalah nilai eigen non degenerate dari operator Â dan

gi adalah fungsi eigen ternormalisasi ( Â gi = ai gi ) maka,

manakala besaran A diukur dalam sistem mekanika kuantum yang

fungsi statenya pada waktu diadakan pengukuran adalah ,

17


probabilitas mendapatkan hasil ai adalah ci2, dengan ci adalah

koefisien gi pada ekspansi = i ci gi. Jika nilai eigen ai

degenerate, probabilitas mendapatkan ai pada saat A diukur adalah

jumlah dari ci2 fungsi-fungsi eigen yang nilai eigennya ai.

Kapankah hasil pengukuran besaran A dapat diprediksi secara tepat ?.

Kita dapat melakukan itu jika semua koefisien pada ekspansi = i ci gi

adalah nol kecuali satu koefisien saja yaitu misalnya ck. Untuk kasus ini

maka (7-66) menjadi ck2 = Pk = 1. Artinya peluang untuk mendapatkan

nilai eigen seharga ak = 1, artinya, nilai eigennya pasti ak.

17


Kemudian, untuk selanjutnya kita dapat memandang ekspansi deret

= i ci gi sebagai ekspresi bentuk umum fungsi yang merupakan

superposisi dari fungsi eigen gi dari operator Â. Masing-masing fungsi

eigen gi berhubungan dengan nilai eigen ai milik besaran A.

Bagaimana cara menghitung koefisien ci sehingga pada akhirnya kita dapat menghitung ci2 ?

Caranya kita kalikan = i ci gi dengan g*j kemudian integralkan ke

seluruh ruang, sehingga diperoleh:

∫ g*j d = ∫g*

j i ci gi d = i ci∫g*j gi.d cii ∫g*

j gid

Jika ortonormal:

∫g*j d = ci

17


atau:

ci = ∫ . g*j d g*

j (7-67)

Kuantitas g*j> disebut amplitudo probabilitas. Selanjutnya

probabilitas mendapatkan nilai eigen non degenerate ai pada pengukuran

A adalah [lihat (7-66)]:

Pi = ci2 = ∫ . g*j d g*

j (7-68)

Jadi jika kita mengetahui state sistem sebagaimana ditentukan oleh fungsi

maka kita dapat menggunakan (7-68) untuk memprediksi probabilitas

dari berbagai kemungkinan hasil pengukuran besaran A.

17


Teorema 9: Jika besaran B diukur dalam sistem mekanika kuantum yang

fungsi statenya pada saat pengukuran adalah , maka probabilitas

dari pengamatan nilai eigen aj dari operator Â adalah <gj,

dengan gj adalah fungsi eigen ternormalisasi yang mempunyai nilai

eigen aj.

Integral <gj∫g*jd akan mempunyai nilai absolut substansial

jika fungsi ternormalisasi gj dan berada pada daerah yang saling

berdekatan dan dengan demikian harganya di daerah tertentu dalam

ruangan hampir sama. Jika tidak demikian maka bisa terjadi gj terlalu

17


besar sedang terlalu kecil (atau sebaliknya) sehingga hasil kali

gj.selalu terlalu kecil. Akibatnya absolut kuadratnya juga terlalu kecil

sehingga probabilitas untuk mendapatkan nilai eigen ai juga sangat kecil.

Contoh: Dilakukan pengukuran terhadap Lz elektron atom hidrogen yang

fungsinya pada saat diadakan pengukuran adalah fungsi 2px.

Tentukan hasil-hasil pengukuran yang mungkin dan tentukan pula

probabilitas masing-masing hasil pengukuran.

17


Jawab:

a) 2px adalah kombinasi linear dari 2p(+1) dan 2p(1). Jadi harga Lz yang

mungkin adalah dan karena Lz adalah m .

b) Untuk menentukan probabilitas masing-masing, kita ekspansi 2px atas

fungsi-fungsi penyusunnya:

2px = 21/2 2p(+1) + 21/2 2p(1). Persamaan diatas adalah bentuk

ekspansi 2px atas 2p(+1) dan 2p(1) dengan koefisien c1 = c2 = 21/2.

Menurut teorema 8, probabilitasnya adalah:

P1 = 21/22 = ½ = P2

17


P1 adalah probabilitas mendapatkan Lz = sedang P2 adalah

probabilitas mendapatkan Lz =

Contoh: Akan dilakukan pengukuran terhadap energi (E) bagi partikel

dalam box yang panjangnya a dan pada saat pengukuran dilakukan

partikel berada pada keadaan non stasioner = 301/2a5/2x (ax) untuk

0 < x < a. Tentukan hasil-hasil pengukuran yang mungkin dan

tentukan pula probabilitas masing-masing hasil pengukuran

17


Jawab: Untuk partikel dalam box:

E = n2h2 /(8ma2)dengan n = 1, 2, 3,..... dan non degenerate (karena 1

dimensi) sedang fungsi eigennya adalah n = (2/a)1/2 sin (n/a) x. Untuk

menghitung probabilitasnya maka kita ekspansi saat itu atas n, jadi:

= n cn n

Menurut (7-67)

ci = ∫ . g*j d

jadi:

cn = ∫ . n d= 301/2a5/2 (2/a)1/2 ∫ x (ax)}sin (n/a) x dx

= [ 1 (1)n ] (Buktikan) (7-69)

17


Pn = cn2 = [ 1 (1)n ]2.

Catatan: Jika anda akan membuktikan (7-69) yang perlu dicatat adalah

bahwa cos n = (1)n

7.7 Postulat-Postulat Mekanika Kuantum

Sepanjang perjalanan kita dalam mempelajari mekanika kuantum, kita

telah mengenal postulat-postulat mekanika kuantum. Sekarang ini, kita

akan merangkumnya:

Postulat I.

Keadaan (state) sistem dideskripsi oleh fungsi yang merupakan fungsi

koordinat dan waktu. Fungsi ini disebut fungsi keadaan atau fungsi

18


gelombang yang memuat semua informasi mengenai sistem.

Selanjutnya juga dipostulatkan bahwa harus bernilai tunggal,

continous, ternormalisasi dan quadratically integrable.

Postulat II. Setiap besaran fisik teramati, berhubungan dengan operator

Hermite linear. Untuk menurunkan operator ini, tulislah

ekspresinya secara mekanika klasik dalam koordinat Cartessius,

dan hubungkanlah dengan komponen momentum linearnya,

kemudian gantilah setiap koordinat x dengan dan setiap

komponen px dengan

18


Postulat III. Nilai yang mungkin, yang dapat diperoleh dari besaran fisik

A hanyalah nilai eigen ai dalam persamaan Â gi = ai gi dengan Â

adalah operator yang berhubungan besaran fisik A dan gi adalah

fungsi eigen yang “well behaved”.

Postulat IV. Jika Â adalah operator Hermite linear yang mewakili

besaran fisik teramati tertentu, maka fungsi gi dari operator Â

membentuk himpunan lengkap.

18


Catatan:

Postulat IV di atas lebih bersifat sebagai postulat matematik artinya

kurang bersifat postulat fisik, karena tidak ada pembuktian matematik

sama sekali terhadap postulat ini. Karena tidak ada pembuktian

matematik terhadap kelengkapan himpunan, maka kita harus berasumsi

terhadap kelengkapannya. Postulat IV mengijinkan kita untuk

mengekspansi fungsi gelombang untuk sembarang keadaan sebagai

superposisi dari fungsi-fungsi eigen ortonormal dari sembarang operator

mekanika kuantum. Ekspansinya adalah dalam bentuk:

= i ci gi (7-70)

18


Postulat V. Jika (q,t) adalah fungsi ternormalisasi yang mewakili suatu

sistem pada saat t, maka nilai rata-rata besaran fisik A pada saat t,

adalah:

< A > = ∫* d (7-71)

Postulat VI. Keadaan bergantung waktu dalam sistem mekanika

kuantum dinyatakan dengan menggunakan persamaan Schrodinger

bergantung waktu:

= (7-72)

dengan adalah operator Hamilton (Energi) sistem itu

18


7.8 Pengukuran dan Interpretasi Mekanika Kuantum

Dalam mekanika kuantum perubahan suatu sistem terjadi melalui dua

macam cara. Yang pertama perubahan yang terjadi secara berangsur-

angsur dari waktu ke waktu (reversibel). Perubahan jenis ini ditunjukkan

oleh persamaan Schrodinger bergantung waktu (7-72). Cara kedua adalah

perubahan yang terjadi secara spontan (irreversibel), diskontinyu (tidak

terus menerus) dan probabilitas kejadiannya sangat fluktuatif dan

ditentukan oleh sistem itu sendiri. Jenis perubahan spontan ini tidak dapat

diprediksi secara pasti karena hasil pengukurannya juga tidak dapat

18


diprediksi secara pasti; hanya probabilitas kejadiannya saja yang dapat

diprediksi. Perubahan spontan dalam disebabkan oleh pengukuran

yang disebut reduksi fungsi gelombang. Pengukuran terhadap besaran A

yang menghasilkan ak berakibat mengubah fungsi menjadi gk yaitu

fungsi eigen operator Â yang nilai eigennya ak. Untuk lebih jelasnya

adalah sebagai berikut: Misal kita melakukan dua kali pengukuran

terhadap Lz elektron dalam atom hidrogen. Pada pengukuran pertama

dihasilkan Lz = 2 . Pada saat ini fungsi gelombangnya tentu fungsi

gelombang dengan m = 2, sehingga secara umum fungsi gelombangnya

adalah ( n, , 2) dengan > 2 dan n > +1. Selanjutnya misal pada

18


pengukuran kedua diperoleh Lz = . Pada pengukuran kedua ini, hasil

pengukuran pasti berasal dari fungsi gelombang hidrogen yang m = 1,

sehingga fungsi gelombangnya adalah (n, ,1) dengan > 1 dan n > +1.

Jadi tampak adanya perubahan fungsi gelombang secara mendadak akibat

adalah pengulangan pengukuran. Inilah penjelasan dari reduksi fungsi

gelombang.

Hal penting lain yang perlu mendapat perhatian mengenai pengukuran

adalah bahwa dalam mekanika kuantum, pengukuran merupakan sesuatu

yang sangat kontroversial. Bagaimana dan kegiatan apa yang terjadi

dalam kaitannya dengan reduksi pada saat terjadi pengukuran sungguh

18


sesuatu yang sangat-sangat tidak jelas. Ada fisikawan yang berpendapat

reduksi merupakan postulat tambahan bagi mekanika kuantum,

sementara fisikawan lain menyatakan bahwa reduksi merupakan

teorema yang diturunkan dari postulat lain. Para ahli saling berbeda

pendapat mengenai reduksi ini (L.E Balentine, 2004). Balentine

mendukung interpretasi ansemble statistika pada mekanika kuantum,

yang dikemukakan oleh Einstein, yang menyatakan bahwa fungsi

gelombang tidak mendeskripsi keadaan sistem tunggal (sebagaimana

dalam interpretasi ortodok) tetapi memberikan deskripsi statistikal

terhadap sekelompok sistem (dalam jumlah besar/ ansemble); dengan

18


interpretasi seperti ini maka silang pendapat mengenai reduksi fungsi

gelombang tidak terjadi.

"Bagi sebagian besar fisikawan, problema untuk mendapatkan teori

mekanika kuantum yang berhubungan dengan pengukuran masih

merupakan suatu persoalan yang belum ada penyelesaiannya. Adanya

perbedaan pendapat.... ketidakpastian dalam pengukuran kuantum... dan

lain-lain.... semua itu merefleksikan adanya ketaksepahaman dalam

meng-interpretasi mekanika kuantum secara global " (M. Jammer, 2003)

Sifat probabilistik dalam mekanika kuantum telah membuat para

fisikawan bingung, termasuk di antaranya Einstein, de Broglie dan

18


Schrodinger. Sampai-sampai mereka menyatakan bahwa mekanika

kuantum belum memberikan deskripsi yang memuaskan bagi realitas

fisik. Selanjutnya, hukum probabilistik mekanika kuantum, secara

sederhana dapat dipandang sebagai refleksi dari hukum deterministik

yang beroperasi pada level sub mekanika kuantum dan yang melibatkan

variabel tersembunyi (hidden variables). Sebuah analogi bagi kasus ini

diberikan oleh fisikawan Bohm, yaitu kasus gerak Brown partikel debu di

udara. Partikel-partikel bergerak di bawah kondisi fluktuasi random,

sehingga posisi dan geraknya tidak dapat ditentukan secara pasti oleh

posisi dan kecepatannya. Secara analogis pula, gerak elektron dapat

19


ditentukan oleh variabel tersembunyi yang ada dalam level sub mekanika

kuantum. Interpretasi ortodok (sering disebut interpretasi Copenhagen)

yang dikembangkan oleh Heissenberg dan Bohr, menafikan adanya

variabel tersembunyi dan menyatakan bahwa hukum mekanika kuantum

memberikan deskripsi lengkap bagi realitas fisik.

Pada tahun 1964 J.S. Bell membuktikan bahwa dalam eksperimen

tertentu yang melibatkan dua partikel yang terpisah jauh, yang pada

awalnya berada pada daerah yang sama dalam ruangan, orang harus

membuat beberapa kemungkinan teori variabel tersembunyi untuk

memprediksi adanya perbedaan dengan yang dilakukan oleh mekanika

19


kuantum. Dalam teori lokal, dua partikel yang sangat berjauhan akan

saling independen. Hasil beberapa eksperimen sesuai dengan prediksi

mekanika kuantum, dan hal ini memperkuat keyakinan mekanika

kuantum untuk melawan teori variabel tersembunyi lokal.

Selanjutnya analisis yang dilakukan oleh Bell dan kawan-kawan

menunjukkan bahwa hasil eksperimen ini beserta prediksinya terhadap

mekanika kuantum adalah tidak kompatibel dengan pandangan dunia

mengenai realisme dan lokalitas. Realisme (juga disebut obyektivitas)

adalah doktrin yang menyatakan bahwa realitas eksternal itu eksis dan

sifat-sifat definitnya adalah independen terhadap benar tidaknya realitas

19


yang kita amati. Sedang lokalitas adalah ke-instan-an aksi pada jarak

yang memungkinkan sebuah sistem berpengaruh terhadap yang lain

ketika sistem itu harus melintas dengan kecepatan yang tidak melebihi

kecepatan cahaya.

Teori kuantum memprediksi dan eksperimen mengkorfirmasi bahwa

manakala pengukuran dilakukan pada dua partikel yang pada mulanya

berinteraksi dan kemudian dipisahkan oleh jarak yang tak terbatas maka

hasil pengukuran terhadap partikel yang satu dipengaruhi oleh

pengukuran partikel yang lain dan juga dipengaruhi oleh sifat kedua

19


partikel yang diukur. Hal ini membuat adanya pendapat bahwa mekanika

kuantum adalah magic (D. Greenberger, 2004).

Meskipun prediksi-prediksi eksperimen mekanika kuantum tidak

arguabel, trtapi ternyata interpretasi konseptualnya masih saja menjadi

topik debat yang hangat dan menarik bagi para ahli, bahkan sampai saat

ini.

7.9 Matrik dan Mekanika Kuantum

Aljabar Matrik merupakan peralatan yang sangat penting dalam

kalkulasi mekanika kuantum modern. Matrik juga menjadi salah satu cara

19


dalam memformulasikan beberapa teori mekanika kuantum. Sub bab ini

akan mereview ingatan kita tentang matrik dan hubungannya dengan

mekanika kuantum.

Matrik adalah penataan bilangan-bilangan dalam baris dan kolom.

Bilangan-bilangan yang menyusun matrik disebut elemen matrik.

Seandainya matrik A terdiri atas m baris dan n kolom, dan seandainya a ij (

i = 1, 2, 3,...... m sedang j = 1, 2, 3,.....n) adalah pernyataan untuk

elemen baris i kolom j, maka:

A =

19


A disebut matrik m x n. Jangan bingung antara matrik dengan

determinan, Matrik tidak harus bujur sangkar dan tidak sama dengan

sebuah bilangan tunggal. Jika sebuah matrik hanya terdiri atas sebuah

baris saja, maka matrik itu disebut matrik baris atau matrik vektor.

Sedang jika sebuah matrik hanya terdiri atas sebuah kolom saja, maka

matrik itu disebut matrik kolom.

Dua buah matrik A dan B adalah sama jika jumlah baris dan

kolomnya sama serta elemen-elemen yang seletak nilainya sama.

Dua buah matrik dapat dijumlahkan jika kedua matrik itu berdimensi

sama. Penjumlahan dilakukan dengan menggabungkan elemen yang

19


seletak. Jika matrik C = A + B maka elemen cij = aij+bij dengan i = 1, 2,

3.... m dan j = 1, 2, 3,.... n atau:

Jika C = A + B maka cij = aij + bij (7-73)

Jika sebuah matrik dikalikan dengan sebuah bilangan k yang konstan

maka dihasilkan matrik baru yang elemen-elemen adalah k kali elemen

matrik semula, jadi:

C = kA maka cij = kaij (7-74)

Jika Am x n sedang Bn x p, maka perkalian matrik C = A x B adalah

matrik berdimensi m x p

19


Sebagai contoh:

A = B =

Jika C = A x B, maka dimensi matrik C adalah 2 x 3, yaitu:

C =

Perkalian antar matrik bersifat non commutatif, artinya AB dan BA tidak

harus sama. bahkan untuk contoh kita di atas BA tak terdefinisi.

Matrik yang jumlah baris dan kolomnya sama disebut matrik square

atau matrik bujur sangkar. Matrik bujur sangkar disebut matrik diagonal

19


jika selain elemen diagonal utama, nilai elemen lain adalah nol. Dan

matrik diagonal yang elemen diagonal utamanya 1, disebut matrik satuan.

Contoh matrik satuan orde 3:

Hubungan matrik dengan Mekanika kuantum

Pada sub bab 7.1, kita telah menjumpai bentuk ∫fi* Â fj d yang juga

boleh ditulis < fi*Âfj>. Bentuk integral tersebut dalam bahasa matrik

19


adalah elemen ij dari matrik A, oleh karena itu ia juga boleh ditulis Aij.

Jadi jika kita mempunyai matrik A berikut:

A =

maka elemen-elemen:

A11 = < f1*Â f 1> ; A12 = < f1

*Âf2>

A21 = < f2*Â f 1> ; A22 = < f2

*Â f 2> dan seterusnya

Matrik tersebut di atas disebut matrik representatif dari operator linear Â

dengan basis {fi}. Karena pada umumnya { fi } terdiri atas fungsi-fungsi

yang banyaknya tak terhingga maka matrik order A adalah tak terhingga.

Jika = Â + maka integral sebagai elemen matrik C adalah:

20


Cij = < fi* f j> = < fi

*Â + fj> = ∫ fi* (Â+ ) fj d

∫ fi* Â fj d∫ fi

* fj dij + Gij (7-75)

Jadi:

Jika = Â + maka Cij = Aij + Gij (7-76)

Dengan menggunakan logika dari (7-73) maka Cij = Aij + Gij pasti berasal

dari penjumlahan matrik C = A + B, sehingga:

Jika = Â + maka C = A + G (7-77)

dengan C, A dan G adalah matrik representatif dari operator linear , Â

dan .

Hal yang sama, yaitu :

20


jika = kÂ maka Cij = k Aij (7-78)

Selanjutnya jika: Â = maka:

Aij = ∫ fi* Â fj d∫ fi

* fj d (7-79)

Fungsi fj dapat diekspansi ke dalam suku-suku himpunan fungsi

ortonormal {fk} menurut persamaan :

fj = k ck fk dengan ck = ∫ fk fj d jadi:

fj = k∫ fk fj d. fk = k fk fj> fk = k Gkj fk(7-80)

dan Aij menjadi:

` Aij =∫ fi* fj d∫ fi

* k Gkj fk dk ∫ fi* fk d Gkj

= k Cij Gij (7-81)

20


Jadi:

Jika Â = maka Aij = k Cij Gij (7-82)

Persamaan Aij = k Cij Gij adalah aturan perkalian matrik A = C. G, jadi:

Jika Â = maka A = C. G (7-83)

Selanjutnya kombinasi (7-79) dengan (7-82) menghasilkan aturan

penjumlahan yang sangat bermanfaat, yaitu:

k Cij Gij = ∫ fi* fj datau:

k < fi* fj> < fi

* fj> = < fi* fj> (7-84)

Selanjutnya berangkat dari Aij = < fi*Â fj> kita dapat memperoleh:

Aij = < fi*Â fj> = Aij = ∫ fi

* Â fj d

20


Jika nilai eigen dari fj terhadap Â adalah aj maka:

Aij = ∫ fi* aj fj d aj ∫ fi

* fj d aj < fi* fj> (7-85)

Satu hal yang sangat mendasar dari

hubungan antara matrik dengan operator

mekanika kuantum adalah jika kita

memahami matrik representatif A berarti

kita juga mengenal operator Â

7. 10 Fungsi Eigen Untuk Operator Posisi

20


Kita telah menurunkan fungsi eigen untuk operator momentum linear

dan momentum angular. Pertanyaan kita sekarang adalah, bagaimana

fungsi eigen untuk operator posisi ?

Operator posisi ditulis yang operasinya adalah x kali atau

= x.

Jika fungsi eigen posisi kita misalkan g(x) dan nilai eigennya a, maka:

g(x) = a g(x) atau:

x g(x) = a g(x) atau (7-86)

(x a) g(x) = 0 (7-87)

Dari (7-87) dapat disimpulkan bahwa :

20


untuk x = a g(x) 0 (7-88)

untuk x a g(x) = 0 (7-89)

Kesimpulan di atas membawa kita kepada pemikiran mengenai sifat g(x),

yaitu bahwa seandainya fungsi state = g(x), dan jika dilakukan

pengukuran terhadap x, maka kemungkinan hasilnya adalah a, dan itu

hanya benar jika probabilitas nya 2 adalah nol untuk x a

agar memenuhi (7-89).

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai fungsi g(x), akan

diperkenalkan fungsi Heaviside step H(x) yang definisinya (gambar 7-1)

20


Gambar 7.1: Fungsi Heaviside step

Dari gambar itu tampak bahwa:

20

1/2

1

H(x)

x


H(x) = 1 untuk x > 0

H(x) = ½ untuk x = 0 (7-90)

H(x) = 0 untuk x < 0

Selanjutnya akan diperkenalkan fungsi Delta Dirac (x) yang merupakan

turunan dari fungsi Heaviside step.

(x) = d H(x) / dx (7-91)

Dari (7-90) dan (7-91) diperoleh:

(x) = 0 untuk x 0 (7-92)

Karena pada x = 0 terjadi lompatan mendadak pada harga H(x), maka

turunan tak terhingga, jadi:

20


(x) = ~ untuk x = 0 (7-93)

Sekarang kita perhatikan (7-90). Jika x diganti x a, maka (7-90) akan

menjadi lebih umum, yaitu dalam bentuk:

H(x a) = 1 untuk (x – a) > 0

H(x a) = ½ untuk (x - a) = 0 (7-94)

H(x a) = 0 untuk (x – a )< 0

atau:

H(x a) = 1 untuk x > a

H(x a) = ½ untuk x = a (7-95)

H(x a) = 0 untuk x < a

20


Dengan demikian maka:

(xa) = 0 untuk x a ; (xa) = ~ untuk x = a

(7-96)

Sekarang perhatikan integral berikut:

f(x) (x-a) dx

Evaluasi terhadap integral tersebut menggunakan metode parsial ∫U dV =

UV ∫V dU dengan U = f(x) sedang dV = (x-a) dx sehingga dU = f '(x) dx

dan mengacu (7-91), maka V = H(xa)

Jadi:

f(x) (x-a) dx = H(xa) f '(x) dx

21


f(x) (x-a) dx = f (~) H(xa) f '(x) dx (7-97)

Karena H(x-a) hilang kalau x < a maka (7-97) menjadi:

f(x) (x-a) dx = f (~) H(xa) f '(x) dx(7-97)

Suku H(xa) f '(x) dx pada (7-97) adalah ∫V dU jadi (7-97) menjadi:

f(x) (x-a) dx = f(a) (7-98)

Jika kita bandingkan (7-98) dengan persamaan j Cj ij = Ci kita dapat

melihat bahwa peran fungsi delta Dirac dalam integral sama dengan

peran Kronecker delta dalam jumlah atau sigma.

Jadi dapat dipastikan:

(x-a) dx = 1 (7-99)

21


Sifat (7-96) dari fungsi delta Dirac sama dengan sifat (7-88) dan (7-89),

dari fungsi eigen posisi g(x). Dengan demikian secara tentatif dapat

dinyatakan bahwa fungsi eigen posisi adalah:

g(x) = (x-a) (7-100)

Soal-soal Bab 7

21


1. Apakah <fmÂfn> sama dengan <fmÂfn> ?

2. Apakah suatu operator Hermite dapat ditunjukkan oleh persamaan

<mn> = <nm>* ?

3. Diketahui operator Â dan adalah Hermitian dan c adalah bilangan

konstan real.

a) buktikan bahwa cÂ adalah Hermitian

b) Buktikan

bahwa Â+ adalah Hermitian

4. Dengan menggunakan fi = A sin nx dan fj = A' sin mx, buktikan bahwa

operator d2/dx2 adalah operator Hermitian.

21


5. Mana di antara operator-operator berikut yang dapat menjadi operator

mekanika kuantum?

a) ( )1/2 b) d/dx c) d2/dx2 d) i(d/dx)

6. Tentukan nilai integral-integral dari sistem atom hidrogen berikut:

a) < 2 Âb) < 3 c)

< 3

Â adalah operator Lz, adalah operator momentum angular L2 dan

adalah operator Hamilton.

7. Jika F(x) = x (a – x ) untuk 0 < x < adalah fungsi gelombang partikel

dalam box dan

21


n = (2/a)1/2sin(n/a) x adalah himpunan lengkap fungsi gelombang

dalam box, tentukan:

a) ekspansi F(x) = n an n

b) E1, E2 dan E3

c) probabilitas mendapatkan E1, E2 dan E3

8. Jika adalah operator paritas, tentukan jika n bilangan ganjil

positif ? Bagaimana pula jika n genap positif ? (Note: Terapkan pada

sembarang f(x, y, z)

21


9. Diketahui adalah operator paritas dan i(x) adalah fungsi gelombang

osilator harmonik ternormalisasi. Didefinisikan bahwa elemen matrik

adalah:

= d

buktikan bahwa elemen matrik = 0 untuk i j dan = + 1

10. Jika Â adalah operator linear dimana Ân = 1. Tentukan nilai eigen dari

Â.

21


11. Buktikan bahwa operator paritas adalah linear. Buktikan pula bahwa

operator paritas adalah hermitian. (Pembuktian cukup dalam satu

dimensi)

12. Karena operator adalah Hermitian, maka dua fungsi eigen terhadap yang mempunyai nilai eigen berbeda pasti ortogonal. Buktikan !

13. Dengan menggunakan operator L2, sebuah fungsi gelombang

mempunyai nilai eigen . Jika diadakan pengukuran terhadap Lz,

tentukan harga-harga yang mungkin dan probabilitasnya masing-

masing.

14. Tentukan:

21


a) (x) dx b) (x) dx c) (x) dx

15. ) Tentukan:

a) f(x)(x-5) dx Jika f(x) = x2 b) f(x)(x-6) dx jika f(x) = ½ x2

+ 5

16. Untuk matrik:

A = B =

Tentukan:

a) AB b) BA c) A + B d) 3A e) A + 4B

===000===

21

Bab VII/Teorema Mekanika Kuantum / 21

kimia.unnes.ac.idkimia.unnes.ac.id/kasmui/kuantum/book/handout bab 7... · web viewbab vii teorema...

Documents