fisika kuantum

Upload: muhammad-hafis-6957

Post on 09-Jul-2015

275 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

FISIKA KUANTUM4 SKS

1

BAB 1 PENDAHULUANMekanika klasik (Newton, Lagrange, Hamilton dll) sukses menjelaskan gerak dinamis benda-benda makroskopis. Cahaya sebagai gelombang (Fresnel, Maxwell, Hertz) sangat berhasil menjelaskan sifat-sifat cahaya. Pada akhir abad 19, teori-teori klasik di atas tidak mampu memberikan penjelasan yang memuaskan bagi sejumlah fenomena berskala-kecil seperti sifat radiasi dan interaksi radiasi-materi. Akibatnya, dasar-dasar fisika yang ada secara radikal diteliti-ulang lagi, dan dalam perempat pertama abad 20 muncul berbagai pengembangan teori seperti relativitas dan mekanika kuantum.

2

1.1 Radiasi Benda-hitamBenda-hitam: penyerap semua radiasi elektromagnet yang mengenainya, atau pengemisi semua radiasi elektromagnet yang dimiliknya. Berdasarkan termodinamika, distribusi panjang gelombang spektrumnya hanya bergantung pada temperatur tidak pada jenis bahan benda-hitam. Stefan (1879): total energi yang dipancarkan adalah:E()

T1>T2T1 T2 Eksp Wien

E = (4 / c)T

4

Raleigh-Jean

adalah konstanta dan c=3x108 m/s adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa.

Wien (1893): panjang gelombang di mana rapat energi radiasi maksimum berbanding lurus dengan 1/T.

maxT=konstan; disebut hukum pergeseran Wien

3

Menurut teori medan listrik-magnet, gelombang elektromagnet diemisikan oleh osilator muatan-muatan listrik. Bilamana osilator-osilator dalam kesetimbangan dengan radiasi dalam benda-hitam, maka rapat energi radiasi per satuan volum adalah:8 2 E( ) = 3 u( ) cu()= energi rata-rata osilator dengan frekuensi .

Hukum energi ekipartisi: energi rata-rata itu adalah u()=kBT di mana kB=1,3806 x 10-23 J/K adalah konstanta Boltzmann. Dengan c= ,

E( ) =

8

4

kBT

Inilah rumusan Raleigh-Jeans, yang ternyata hanya berlaku pada panjang gelombang yang besar.

4

Max Planck (1900): Suatu benda-hitam adalah kumpulan osilator dalam kesetimbangan dengan medan radiasi. Suatu osilator dengan frekuensi hanya bisa memiliki energi:

n = nh ; n = 0,1, 2, .....h=6,624 x 10-34 Js disebut konstanta Planck, dan h disebut kuantum energi. Energi rata-rata per osilator dengan frekuensi adalah:

exp( / k T ) u ( ) = exp( / k T )n=0 n n B n=0 n B

u ( ) =

h exp( h / k B T ) 1

Akhirnya diperoleh:8 2 h E( ) = 3 h / kBT c e 1Inilah rumusan Planck yang sesuai kurva radiasi benda hitam secara lengkap.5

Untuk panjang gelombang yang besar berlaku pendekatan exp(h/kBT)=exp[hc/( kBT)] 1+ h /kBT8 2 h 8 2 E ( ) = 3 h / k BT = 3 kBT c c e 1

persamaan dari Raleigh-Jeans.

Persamaan dapat diungkapkan dalam sebagai berikut:

E ( ) =

8hc

1B

5 ehc / k T 1

Misalkan x=hc/kBT, maka5 8k BT 5 x 5 E( ) = 4 4 x c h e 1

Untuk memperoleh E() maksimum, harus dipenuhi dE/dx=0; jadi,

ex +

1

5

x 1 = 0

x=4,9651 hukum pergeseran Wien6

T=hc/(4,9651 kB)=2,8978x10-3 mK.

1.2 Efek Foto Listrikhv

logam Dalam pengamatan ternyata:

K

(i) untuk suatu jenis logam ada frekuensi cahaya minimal yang dapat melepaskan elektron, dan (ii) semakin tingi intensitas cahaya yang mengenai permukaan logam, semakin banyak elektron yang dilepaskan.

7

1.3 Dualisme Gelombang-PartikelHasil-hasil eksperimen interferensi dan difraksi membuktikan bahwa teori tentang cahaya sebagai gelombang telah mantap pada penghujung abad 19, terlebih lagi karena keberhasilan teori elektromagnetik Maxwell. Einstein (1905) menolak teori tersebut berdasarkan fenomena efek foto-listrik dimana permukaan logam melepaskan elektron jika disinari dengan cahaya berfrekuensi

W /h

W adalah fungsi kerja logam (=energi ikat elektron dipermukaan logam).

Menurut Einstein, dalam fenomena tersebut cahaya harus dipandang sebagai kuanta yang disebut foton, yakni partikel cahaya dengan energi kuantum E=h. Dalam teori relativitas khususnya (1905), hubungan energi dan momentum suatu partikel diungkapkan sebagai berikut:

E 2 2 2 = p + mo c c

2

p adalah momentum partikel, dan mo adalah massa diam partikel bersangkutan

Untuk foton, karena tidak mempunyai massa diam, sedangkan energinya E=h, maka momentum foton adalah

p=

E h = . c

Adanya momentum inilah yang mencirikan sifat partikel dari cahaya. 8

Arthur H. Compton (1924) Mengamati perubahan panjang gelombang sinar-X setelah dihamburkan oleh elektron bebas.

sinar-X datang

sinar-X terhambur

elektron terhambur

Jika dan adalah panjang gelombang sinar-X sebelum dan setelah terhambur, dan me adalah massa diam elektron, maka diperoleh hubungan:

' =

h (1 cos ) mec

Dapat dibuktikan dengan hukum kekekalan momentum dan energi

h/mec=0,00243 nm, disebut panjang gelombang Compton.

>

energi foton terhambur (E) lebih kecil daripada energi foton datang (E).

9

Louis de Broglie : Mengemukakan bahwa tidak hanya cahaya yang memiliki sifat mendua, tetapi juga partikel. Suatu partikel dapat juga memiliki sifat gelombang. Menurut de Broglie suatu partikel yang memiliki momentum p jika dipandang sebagai gelombang, mempunyai panjang gelombang:

=

h . p

Panjang gelombang ini disebut panjang gelombang de Broglie.

Clinton Davisson dan Lester Germer (1927): Memperlihatkan efek difraksi dari berkas elektron ketika melalui celah sempit sebagaimana cahaya. Andaikan a adalah lebar celah dan posisi sudut untuk gelap pertama adalah , maka berlakuberkas elektron

a sin=

10

Momentum p=mv dan energi E=p2/2m=mv2 Kecepatan fasa: vf==(h/p)(E/h)=E/p=p/2m=v.Aneh tapi tidak penting karena tak punya arti fisis.

Yang penting adalah kecepatan grup, yakni vg=d/dk, di mana =2 dan k=2/. Dengan E=p2/2m, vg =d/dk=dE/dp=p/m=v. Kecepatan grup dari gelombang partikel sama dengan kecepatan partikel itu sendiri.x x

11

1.2 Spektroskopi Atom HidrogenJohann Balmer (1885):Eksperimen menunjukkan bahwa panjang gelombang-panjang gelombang semua garis spektrum atom hidrogen bisa diungkapkan dengan rumus empiris:

1 1 = R 2 2 dengan R =1.097x107 m-1 disebut konstanta Rydberg. n n 2 1Balmer dan Ritz: mengemukakan rumus yang lebih umum, 1 1 1 = R 2 2 ; n > m n n mDengan rumusan empiris ini, Lyman menemukan deret ultraviolet untuk m=1, n=2, 3, 4, dan Paschen menemukan deret inframerah untuk m=3, n=4, 5, 6, Bagaimana sebenarnya struktur atom? Ernest Rutherford (1911): Berdasarkan percobaan hamburan partikel-, menyarankan struktur atom terdiri dari inti bermuatan positif dan elektron-elektron yang mengitarinya. Sayangnya, teori fisika pada masa itu tak mampu menjelaskan hasil penemuan Rutherford dalam kaitannya dengan rumusan Balmer-Ritz di atas.12

BAB 2 DASAR-DASAR FISIKA KUANTUM2.1 Persamaan GelombangTinjaulah getaran sebuah kawat halus yang diregang sepanjang sumbu-x dengan kedua ujungnya dibuat tetap. Misalkan simpangan pada sembarang posisi dan waktu adalah (x,t). Dalam teori gelombang simpangan itu memenuhi persamaan gelombang seperti:

2 ( x , t ) 1 2 ( x , t ) = 2 x 2 v t2Misalkan

v adalah kecepatan fasa

( x , t ) = ( x ) (t )

v 2 d 2 ( x ) 1 d 2 (t ) = =2 2 2 ( x) dx (t ) dt

d 2 (t ) + 2 (t ) = 0 2 dt

( t ) = A sin ( t + ) ( x) = C sin 2 2 x + D cos x 13

d 2 (x) 2 + 2 (x) = 0 2 dx v

=2, adalah frekuensi dan adalah konstanta; karena v adalah kecepatan merambat maka panjang gelombang =v/.Untuk konstanta C dan D diperlukan syarat batas, misalnya untuk fungsi di atas, pada x=0, dan x=L dengan L adalah panjang kawat. Andaikan, untuk x=0, (0)=0 maka D=0,

( x) = C sin

2 x

Selanjutnya jika di x=L, (L)=C sin(2L/)=0 maka sin(2L/)=0, sehingga:

2L

maka:

= n; n = 1, 2, .....

n disebut nomor modus normal.

n n ( x) = C sin x L

n n ( x, t ) = B sin x sin (t + ) Akhirnya: L

14

2.2 Persamaan SchrdingerTinjaulah sebuah partikel yang memiliki massa m, bergerak dengan momentum p di dalam suatu medan konservatif. Menurut mekanika klasik, energi total partikel adalah jumlah energi kinetik dan potensial:

p2 E = +V 2m

p = 2 m( E V )

Sebagai gelombang, kecepatan fasa gelombang partikel itu

v=

E = p

E 2m ( E V )

Misalkan (x,t) adalah fungsi gelombang partikel, maka persamaan gelombang:

2 ( x , t ) 2 m ( E V ) 2 ( x , t ) = x 2 E2 t2Suatu fungsi gelombang partikel dengan energi tetap berkaitan dengan frekuensi tetap. Untuk itu (x,t) memenuhi

( x, t ) = ( x ) e

i t

15

Mengingat

2( x, t ) 2m(E V ) = ( x, t ) x2 h2Akhirnya diperoleh persamaan:

E = h

dan

h = h / 2

2 ( x) 2m + ( E V ) ( x) = 0 h x 2

Persamaan Schrodinger 1-dimensi

Untuk tiga dimensi persamaan Schrdinger ini adalah:

2 ( x, y, z) +

2m ( E V ) ( x, y, z) = 0 h2

Bagian waktu exp(-it) telah dihilangkan sementara karena tak mempunyai pengaruh, dan selanjutnya persamaan itu disebut persamaan Schrdinger yang tak bergantung waktu bagi sebuah partikel dalam satu dimensi. V adalah energi potensial yang bentuknya harus diketahui sebelumnya, sedangkan fungsi gelombang (x) dan energi E dari partikel bersangkutan merupakan solusi yang harus dicari dari persamaan tersebut.

16

Persamaan Schrdinger di atas dapat dituliskan sebagai berikut

H ( x ) = E ( x ) (*)dengan

h H = 2 +V 2m

2

disebut hamiltonian partikel, yakni operator energi total dari partikel.

Dalam bahasa matematik, E adalah harga eigen dari operator H dengan fungsi eigen (x). Persamaan (*) disebut persamaan harga eigen. Turunan pertama terhadap waktu untuk fungsi gelombang (x,t) dalam hal. 14 adalah:

( x, t ) = i ( x, t ) tKarena E= maka diperoleh

( x, t ) ih = E ( x , t ) t

( x, t ) H ( x, t ) = ih t

Ini disebut persamaan Schrdinger yang bergantung waktu bagi sebuah partikel .

17

2.3 Sifat-sifat suatu Fungsi GelombangUntuk fungsi gelombang partikel yang tidak bergantung waktu, (x), ( x ) 2 dx disebut peluang menemukan partikel di antara x dan x+dx.

( x)

2

rapat peluang partikel berada di x

Total peluang untuk menemukan partikel itu disepanjang sumbu-x adalah:

( x) ( x) dx = ( x) 2 dx = 1 * adalah konjugasi dari . *

Fungsi (x) yang memenuhi persamaan di atas disebut fungsi yang dinormalisasi, sedangkan disebut rapat peluang. Suatu fungsi gelombang partikel harus memiliki kelakuan yang baik, yakni: tidak sama dengan nol dan bernilai tunggal, artinya untuk suatu harga x, (x) memiliki hanya satu harga saja. fungsi dan turunannya kontinu di semua harga x, dan fungsi (harga mutlaknya) tetap terbatas (finite) untuk x menuju ;18

n Contoh: ( x) = C sin x L 2 2 2 (x) dx = C sin 0 L

n x dx = 1 L

sin2=(1-cos2)/2, maka hasil integral di atas adalah C2(L/2)=1 sehingga C = 2 / L Jadi secara lengkap fungsi yang dinormalisasi adalah

( x) =

2 n sin L L

x

Jika (x) adalah kombinasi linier dari sekumpulan fungsi-fungsi {n(x)}, maka penulisannya secara umum adalah seperti:

( x) = c n n ( x) cn adalah koefisien bagi fungsi n(x) yang bisa ril ataun

kompleks.

* cm = m (x) (x) dx Jika n(x) adalah fungsi-fungsi yang dinormalisasi dan

ortogonal satu sama lain.

19

Jika fungsi-fungsi {n(x)} selain ternormalisasi juga ortogonal (disebut ortonormal) satu sama lain maka berlaku * m ( x ) n ( x ) dx = mn

=1; m=n =0; lainnya

disebut kronecker delta

Jika (x) fungsi yang dinormalisasi, maka

( x ) ( x ) dx = 1*

c cm,n

* m n

* m (x)n (x)dx = 1

c c m,n

* m n mn

=1

Jadi,

c cn

* n n

=1

Untuk memudahkan penulisan, fungsi-fungsi dituliskan dalam ket seperti n dan konjugasinya dalam bra seperti n Integral overlap dituliskan seperti:* k ( x) l ( x) dx = k l

20

Ortogonalisasi Schmidt Andaikan 1 dan 2 adalah fungsi-fungsi yang non-ortogonal satu terhadap lainnya. Misalkan 1=1, lalu pilih 2=2+1. Besarnya dihitung atas dasar 1 dan 2 yang ortogonal satu sama lain.* 1 2 dx = 1* 2 dx + 1*1 dx = 0

=

1* 2 dx 1* 1 dx

2.4 Operator FisisSetiap besaran fisis suatu partikel dikaitkan dengan operatornya; misalnya operator bagi energi total adalah seperti diperlihat dalam persamaan:2 = h 2 + V H 2m

Operator energi potensial Operator energi kinetik 21

Bagi suatu operator besaran fisis berlaku istilah matematik berikut: 1. Harga suatu besaran fisis adalah nilai eigen dari operatornya; 2. Setiap nilai eigen dari suatu operator berkaitan dengan suatu fungsi eigen; nilai eigen adalah ril. Persamaan harga eigen: H ( x) = E ( x) fungsi eigen partikel nilai eigen; energi partikel operator energi total; disebut hamiltonian partikel 3. Secara umum harga rata-rata suatu besaran fisis pada fungsi keadaannya memenuhi persamaan operator besaran fisis

Aav =

* ( x) A (x) dx

* (x) ( x) dx fungsi keadaan partikel22

harga rata-rata besaran fisis

Bagi fungsi keadaan yang dinormalisasi

Aav = * ( x) A ( x) dx

Andaikan:

An (x) = an n (x) ( x ) = c n n ( x )n

Jika {n} adalah fungsi-fungsi yang ortonormal* * Aav = * ( x) A ( x) d x = cm cn m ( x) An ( x)dx mn * * * = cm cn an m ( x)n ( x)dz = cm cn an mn * = cn cn an n mn mn

Karena harga rata-rata suatu besaran fisis adalah ril maka berlaku

* ( x) A ( x)dx = [ A ( x)]* ( x)dx Secara matematik, operator yang memenuhi persamaan di atas disebut operator hermitian.23

Operator momentum: Menurut de Broglie, sebuah partikel yang bergerak sepanjang sumbu-x mempunyai momentum linier px= k dengan k=2/. Fungsi gelombang partikel itu adalah .

( x ) = ae ikxBagaimanakah bentuk operator momentum yang memiliki harga eigen px= k ? Untuk itu berlaku persamaan nilai eigen:

p x ( x ) = hk ( x )( x ) = ae ikx

h k ( x ) = ih

d ( x ) dx

d p x ( x) = ih ( x) dx Jadi operator momentum linier adalah:

px ih

d dx

Ingat, energi kinetik:

Secara umum, operator momentum:

p = ih

2 px h 2 d2 1 d d = K= ih ih = 2m 2m dx 2m dx2 dx 24

Komutator: Tinjau dua buah operator:

A dan B

Jika keduanya merupakan operator besaran fisis maka didefinisikan komutatornya seperti

[ A, B] = AB BAJika

[ A, B ] = 0

Kedua operator disebut komut.

Contoh, tentukan komutator operator-operator x dan d/dx ! Gunakan fungsi (x) sebagai alat bantu:

[ x,

d d ( x ) d ] ( x ) = x[ ] [ x ( x )] dx dx dx d ( x ) d ( x ) = x ( x) x dx dx = ( x )Buktikan:

Jadi:

d x , dx = 1

d , x = 1 dx 25

Dua buah operator yang komut satu sama lain, mempunyai fungsieigen yang sama.

A = a ; B = b s AB BA = ba ab = 0 AB BA = 0 A, B = 0

[ ]

26

2.5 Persamaan Gerak HeisenbergSecara umum jika Aav adalah harga rata-rata operator gelombang (x,t) maka:

A

besaran fisis dengan fungsi

Aav = * ( x, t ) A ( x, t ) dx

Variasi harga rata-rata itu terhadap waktu adalah

dAav * A * * = + A + A dx dt t t t * * ( x, t ) ( x, t ) H ( x) = ih dan Mengingat: H ( x) = ih t t 1 1 1 1 * A + * A = * HA + * AH = * AH HA = * A, H t t ih ih ih ih

[

]

[

]

[ ]

maka

1 dAav * A + [ A, H ] dx = dt t ih

27

Jadi,

dAav * dA = dx dt dt dA dt

dengan

d A A 1 = + A, H dt t ih

[

]

Operator turunan dari Turunan dari

A

A t

A

d A A = Jika operator A komut dengan H , maka dt tJika operator

A

, juga tak bergantung waktu: dA = 0 selain komut dengan H dt

Besaran fisis seperti itu disebut tetapan gerak dari partikel (kekal dalam pengertian klasik).

28

2.6 Representasi MatriksTinjau persamaan harga eigen: Misalkan: maka Kalikan dari dengan* i

A = a

= c i ii =1

N

c Aj j

j

= ac j jj

i*j j * i j j

c A d = ac dj j

cj

j

Aij = aci

A11c1 + A12c2 + ..........+ A1N cN = ac1 . A21c1 + A22c2 + ..........+ A2N cN = ac2 . A31c1 + A32c2 + ..........+ A3N cN = ac3 . .......... .......... .......... .......... ....... AN1c1 + AN 2c2 + ..........+ ANNcN = acN .

A12 A13 .............. A1N c1 ( A11 a) A21 ( A22 a ) A23 ...............A2 N c2 A31 A32 ( A33 a) .......... A3 N c3 = 0 ............................................................ ... AN1 AN 2 AN 3 ....... ( ANN a) c N 29

Jika elemen-elemen Aij diketahui maka harga a dapat ditentukan sebagai solusi dari polinom yang diperoleh dari determinan:

( A11 a) A12 A13 ................... A1N A21 ( A22 a ) A23 ................... A2 N A31 A32 ( A33 a) ................... A3N = 0 ................................................ AN1 AN 2 AN 3 ................... ( ANN a)Contoh

0 1 A= 1 0 a 1 =0 1 a

a 1 c1 1 a c = 0 2 a2-1=0, a1=-1 dan a2=1.

Dengan a1 diperoleh c1= -c2=1/2 dengan a2 diperoleh c1=c2=1/2

1 = 2 =

1 2 1 2

(1 2 ) (1 + 2 )30

31

BAB 3 SISTEM DENGAN POTENSIAL SEDERHANAPersamaan Schrdinger untuk 1 partikel yang tidak bergantung waktu untuk suatu partikel h2 d 2 h 2 d 2 + V = E + ( E V ) = 0 2 m dx 2 2 m dx 2 dapat diselesaikan jika bentuk potensial V diketahui sebelumnya.

3.1 Potensial TanggaSebuah elektron datang dari x-negatif menuju x-positif. Di x=0 elektron itu menghadapi potensial tangga sebesar Vo. Jika energi total elektron, E< Vo, secara klasik elektron akan terpantul sepenuhnya. Bagaimana menurut kuantum? Di daerah x0, V=Vo; misalkan fungsi gelombang elektron adalah 2(x)

h2 d 22 + (E Vo )2 = 0 2me dx2Karena E 0 k + iK33

Kerapatan peluang elektron di x>0 dapat dihitung dengan menggunakan 2(x):

4k 2 4E 2 2 Kx 2 2 ( x) = 2 A e 2 Kx = A e 2 Vo k +K2

Jadi, meskipun mengalami potensial penghalang yang lebih besar dari energinya, elektron masih mempunyai peluang berada di x>0. Peluang itu menuju nol jika Vo>>E, atau di x=. C/A2= 4k/(k2+K2)=4E/Vo adalah koefisien transmisi yang secara klasik tak dapat diramalkan.

3.2 Potensial Tangga PersegiSebuah elektron datang dari x-negatif menuju xpositif. Eleketron menghadapi potensial tangga seperti:V

V ( x) = Vo ; 0 x a = 0; x < 0, x > aSepanjang perjalanannya energi total elektron, E< Vo.

Vo E

0

a

x

Karena V=0, fungsi gelombang elektron sebagai solusi persamaan Schrodinger dalam daerah x