TUGAS FISIKA MODERNPERSAMAAN GELOMBANG SCHRODINGER

Disusun oleh :

Herta Astri Yudika Sinurat(4143321018)

JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI MEDAN

2015

KATA PENGANTAR

Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, karena berkat karunia-Nya makalah ini dapat

diselesaikan. Dalam makalah ini membahas masalah “Persamaan Gelombang Schrodinger ”.

Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas Fisika Modern sebagai sarana

mempermudah pemahaman tentang persamaan schrodinger bergantung waktu dan

persamaan schrodinger bebas waktu.

Penulis menyadari bahwa masih banyak kesalahan yang ada dalam penyusunan dan

pembuatan makalah ini namun dalam hal ini penulis sudah berusaha memenuhi kewajiban

mengerjakan tugas makalah ini.

Adapun kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan makalah ini penulis terima.

Medan, 24 OKtober 2015

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang MasalahGelombang zat, atau gelombang pengarah (pemandu) telah menjadi bagian

khasanah ilmu Fisika pada tahun 1925 dengan ditandai oleh munculnya hipotesa de-Broglie. Hipotesa tentang gelombang pengarah sangat diilhami oleh studi mengenai gerak elektron dalam atom Bohr. Gelombang zat yang senantiasa menyertai gerak suatu zarah melengkapkan pandangan tentang dualisme zarah gelombang. Dengan demikian perbedaan antara cahaya dan zarah, atau lebih tegasnya antara gelombang dan zarah menjadi hilang. Gelombang cahaya dapat berperilaku sebagai zarah, sebaliknya zarah dapat berperilaku sebagai gelombang. Pandangan semacam itu sangat berbeda dengan persepsi manusia tentang gejal-gajal fisik konkret yang dialami nya sehari-hari. Sejak abad ke-20 teori-teori klasik mulai dipertanyakan kesahihannya untuk dipergunakan di tingkat atom yang sub-atom. Satu tahun setelah postulat de-Broglie disebarluaskan seorang ahli fisika dari Austria, Erwin Schrodinger berhasil merumuskan suatu persamaan diferensial umum untuk gelombang de-Broglie dan dapat ditunjukkan pula kesahihannya untuk berbagai gerak elektron. Persamaan diferensial ini yang selanjutnya dikenal sebagai persamaan gelombang Schrodinger sebagai pembuka jalan ke arah perumusan suatu teori mekanika kuantum yang komprehensip dan lebih formalistik.

Pada tahun 1927, satu tahun setelah Schrodinger merumuskan persamaan gelombangnya, Heisenberg merumuskan suatu prinsip yang bersifat sangat fundamental. Prinsip ini dirumuskan pada waktu orang sedang sibuk mempelajari persamaan Schrodinger dan berusaha keras untuk dapat memahami maknanya. Pada tahun 1926, Heisenberg juga muncul dengan suatu cara baru untuk menerangkan garis-garis spektrum yang dipancarkan oleh sistem atom. Pendekatannya sangat lain, karena yang digunakannya adalah matriks. Hasil yang diperoleh dengan cara ini sama dengan apa yang diperoleh melalui persamaan Schrodinger. Mekanika kuantumnya Heisenberg dikenal sebagai mekanika matriks. Secara kronologis prinsip Heisenberg muncul sesudah dirumuskannya persamaan Schrodinger. Tetapi sebagai suatu prinsip teoritik hal itu merupakan suatu hal yang fundamental, dan dapat disejajarkan dengan teori kuantum Einstein, postulat de-Broglie, dan postulat Bohr. Oleh karenanya dalam pembahasannya prinsip Heisenberg ditampilkan lebih dahulu dari persamaan Schrodinger. Teori Planck tentang radiasi thermal, teori einstein tentang foton, teori Bohr tentang atom Hidrogen, dan postulat de-Broglie tentang gelombang zat, serta prinsip Heisenberg dikenal sebagai teori kuantum lama. Dalam teori kuantum lama terkandung hampir semua landasan bagi suatu teori yang dapat menguraikan perilaku sistem-sistem fisika pada tingkat atom dan sub-atom.

1.2 Rumusan MasalahMasalah yang dibahas dalam makalah ini adalah:

1. Apa yang dimaksud dengan persamaan Schrodinger?2. Bagaimana persamaan Schrodinger bergantung waktu?3. Bagaimana persamaan Schrodinger bebas waktu?

1.3 Tujuan PenulisanTujuan penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui persamaan Schrodinger2. Untuk mengetahui persamaan Schrodinger bergantung waktu3. Untuk mengetahui persamaan Schrodinger bebas waktu

BAB II

PEMBAHASAN

2.1. Persamaan Schrodinger

Persamaan Schrodinger hanya dapat dipecahkan secara eksak untuk beberapa potensial sederhana tertentu; yang paling sederhana adalah potensial konstan dan potensial osilator harmonik. Kedua kasus sederhana ini memang tidak “fisis,” dalam artian bahwa pemecahannya tidak dapat diperiksa kebenarannya dengan percobaan-tidak ada contoh di alam yang berkaitan dengan gerak sebuah pertikel yang terkukung dalam sebuah kotak satu dimensi, ataupun sebuah osilator harmonik mekanika kuantum ideal (meskipun kasus seperti ini seringkali merupakan hampiran yang cukup baik bagi situasi fisis yang sebenarnya). Namun demikian, brbagai kasus sedrhana ini cukup bermanfaat dalam memberikan gambaran tentang teknik umum pemecahan persamaan Schrodinger yang akan dibahas dalam bab ini.

Kita bayangkan sejenak bahwa kita adalah Erwin Schrodinger dan sedang meneliti suatu persamaan diferensial yang akan menghasilkan pemecahan yang sesuai bagi fisika kuantum. Akan kita dapati bahwa kita dihalangi oleh tidak adanya hasil percobaan yang dapat kita gunakan sebagai bahan perbandingan. Oleh karena itu, kita harus merasa puas dengan hal berikut-kita daftarkan semua sifat yang kita perkirakan akan dimiliki persamaan kita, dan kemudian menguji macam persamaan manakah yang memenuhi semuan criteria tersebut.1. Kita tidak boleh melanggar hukum kekekalan energy. Meskipun kita hendak

mengorbankan sebagian besar kerangka fisika klasik, hukum kekekalan energy adalah

salah satu asas yang kita inginkan tetap berlaku. Oleh karena itu, kita mengambil

K + V = E (5.1)Berturut-turut, K, V, dan E adalah energy kinetic, potensial, total. (karena kajian kita tentang fisika kuantum ini dibatasi pada keadaan takrelativistik, maka K= 1/2mv² = p²/2m; E hanyalah menyatakan jumlah energy kinetic dan potensial, bukan energy massa relativistic).

2. Bentuk persamaan diferensial apa pun yang kita tulis, haruslah taat asas

terhadap hipotesis deBrogile-jika kita pecahkan persamaan matematikanya bagi sebuah

partikel dengan momentum p, maka pemecahan yang kita dapati haruslah berbentuk

sebuah fungsi gelombang dengan sepanjang gelombang λ yang sama dengan h/p.

dengan menggunakan persamaan p = hk, maka enrgi kinetic dari gelombang deBrogile

partikel bebas haruslah K = p²/2m = ђ²k²/2m.

3. Persamaanya haruslah “berperilaku baik,” dalam pengertian matematika. Kita

mengharapkan pemecahannya memberikan informasi kepada kita tentan porbalitas

untuk menemukan partikelnya; kita akan terperanjat menemukan bahwa, misalnya,

probalitas tersebut berubah secara tidak kontinu, karena ini berarti bahwa partikelnya

menghilang secara tiba-tiba dari suatu titik dan muncul kembali pada titik lainnya. Jadi,

kita syaratkan bahwa fungsinya haruslah bernilai tunggal-artinya, tidak boleh ada dua

probalitas untuk menemukan partikel di satu titik yang sama. Ia harus pula linear, agar

gelombangnya memiliki sifat superposisi yang kita harapkan sebagai milik gelombang

yang berperilaku baik.

Dengan memilih bernalar dalam urutan terbalik, akan kita tinjau terlebih dahulu pemecahan dari persamaan yang sedang kita cari. Anda telah mempelajari di depan tentang gelombang tali, yang memiliki bentuk matematik y(x,t) = A sin (kx-ωt ¿, dan gelombang electromagnet, yang memiliki pula bentuk serupa E(x,t) = E0 sin (kx – ωt ¿ dan B(x,t) = B0 sin (kx – ωt ¿. Oleh karena itu, kita postulatkan bahwa gelombang deBrogile partikel bebas Ψ (x , t) memiliki pula bentuk sebuah gelombang dengan amplitude A yang merambat dalam arah x positif. Katakanlah t = 0, jadi dengan

mendifinisikan sebagai , maka

(5.2)

Persamaan diferensial, yang pemecahannya adalah , dapat mengandung turunan terhadap x atau t , tetapi ia haruslah hanya bergantung pada pangakat satu

dari atau ( tidak boleh muncul. Didepan telah didapati bahwa

, sehingga satu-satunya cara untuk memperoleh suku yang

mengandung adalah dengan mengambil turunan kedua dari terhadap x.

(5.3)Perlu ditekankan bahwa yang kita lakukan disini bukanlah suatu penurunan; kita

hanya sekedar membentuk suatu persamaan diferensial dengan ketiga sifat berikut : (1) ia taat asas dengan kekekalan energi; (2) ia linear dan bernilai tunggal; (3) ia memberikan pemecahan partikel bebas yang sesuai dengan sebuah gelombang de Brouglie tunggal. Persamaan (5.3) adalah persamaan Schrodinger waktu-bebas satu dimensi. Meskipun gelombang nyata selain bergantung pada koordinat ruang dan

juga waktu , dan bahwa alam kita bukan berdimensi satu melainkan tiga, kita dapat belajar mengenai matematika dan fisika dari mekanika kuantum dengan mempelajari berbagai pemecahan.

2.2 Persamaan Gelombang Schrodinger

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan variable gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, Ψ bukanlah suatu kuantitas yang dapat diukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itu, kita akan menganggap Ψ dalam arah x dinyatakan oleh : = Ae-2πI(Vt-x/λ)

sehingga : = Ae-(i/ħ)(Et-px)

Persamaan di atas merupakan penggambaran matematis gelombang ekuivalen dari

partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam

arah +x. Namun, pernyataan fungsi gelombang hanya benar untuk partikel yang

bergerak bebas. Sedangkan untuk situasi dengan gerak partikel yang dipengaruhi

berbagai pembatasan untuk memecahkan dalam situasi yang khusus, kita

memerlukan persamaan Schrodinger. Pendekatan Schrodinger disebut sebagai

mekanika gelombang. Persamaan Schrodinger dapat diperoleh dengan berbagai

cara, tetapi semuanya mengandung kelemahan yang sama yaitu persamaan tersebut

tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis yang ada karena persamaan itu

sendiri menyatakan sesuatu yang baru dan dianggap sebagai satu postulat dari

mekanika kuantum, yang dinilai kebenarannya atas dasar hasil-hasil yang diturunkan

darinya.

Persamaan Schrodinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang bergerak bebas. Perluasan persamaan Schrodinger untuk kasus khusus partikel bebas (potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu merupakan suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara pun yang membuktikan bahwa perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat bahwa persamaan Schrodinger berlaku untuk berbagai situasi fisis dan membandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya cocok maka postulat yang terkait dalam persamaan Schrodinger sah, jika tidak cocok, postulatnya harus dibuang dan pendekatan yang lain harus dijajaki.

dimana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z dan t. Dalam kenyataanya, persamaan Schrodinger telah menghasilkan ramalan yang sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Pada rumus terakhir diatas hanya bisa dipakai untuk persoalan non relativistik dan rumusan yang lebihrumit jika kelajuan partikel yang mendekati cahaya terkait. Karena persamaan itu

bersesuaian dengan eksperimen dalam batas – batas berlakunya, kita harus

mengakui bahwa persamaan Schrodinger menyatakan suatu postulat yang berhasil

mengenai aspek tertentu dari dunia fisis. Betapapun sukses yang diperoleh

persamaan Schrodinger, persamaan ini tetap merupakan postulat yang tidak dapat

diturunkan dari beberapa prinsip lain, dan masing – masing merupakan rampatan

pokok, tidak lebih atau kurang sah dari pada data empiris yang merupakan landasan

akhir dari postulat itu. Penjabaran Persamaan Schrodinger bergantung waktu.

~ (identik) dengan y dalam gerak gelombang umum: menggambarkan keadaan gelombang kompleks yang tak dapat terukur

Energi totalnya:

Persamaan gelombangnya menjadi:

Energi totalnya menjadi:

2.3. Persamaan Schrodinger Bebas Waktu

Dalam banyak situasi energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktusecara eksplisit, gaya yang bereaksi padanya, jadi juga V, hanya berubah terhadapkedudukan partikel. Jika hal itu benar, persamaan Schrodinger dapat disederhanakan denganmeniadakan ketergantungan terhadap waktu t. Fungsi gelombang partikel bebasdapat ditulis

= Ae-(i/ħ)(Et – px) = Ae-( iE/ħ )te+(ip/ħ)x

= e-(iE/ħ)t

ini berarti, merupakan perkalian dari fungsi bergantung waktu e-(iE/h)t dan fungsi yang bergantung kedudukan . Kenyataanya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi partikel yang mengalami aksi dari gaya jenuh mempunyai bentuk yang sama seperti pada partikel bebas. Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam satu dimensi

Persamaan keadaan jenuh schrodinger dalam tiga dimensi

Pada umumnya kita dapat memperoleh suatu fungsi gelombang Ψ yang tidak sajamemenuhi persamaan dan syarat batas yang ada tetapi juga turunannmya jenuh,berhingga dan berharga tunggal dari persamaan keadaan jenuh Schrodinger. Jikatidak, sistem itu tidak mungkin berada dalam keadaan jenuh. Jadi kuantitas energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari teori dan kuantitas energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai jejak universal yang merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.Harga En supaya persamaan keadaan tunak Schrodinger dapat dipecahkan disebutharga eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian n disebut fungsi eigen.Tingkat energi diskrit atom hidrogen :

Dalam atom hidrogen , kedudukan elektron tidak terkuantitasi, sehingga kita bias memikirkan elektron berada disekitar inti dengan peluang tertentu per satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang diramalkan atau orbit tertentu menurut pengertian klasik. Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom hidrogen selalu menunjukkan bahwa atom hydrogen selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron , dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya sendiri tidak.Persamaan gelombang partikel bebas

Ambil persamaan Schrodinger yang bergantung waktu

Analog terhadap persamaan schrodinger adalah tali terbentang yangpanjangnya L yang keduanya terikat.

Dengan tingkat energi diskrit atom Hidrogen

Momentum sudut ditentukan

Li = (l(l +1)) , l = 0,1,2,…..

Dengan harga ekspetasi

BAB III

PENUTUP

Kesimpulan

Pernyatan setara bagi mekanika kuantum adalah yang di dalam kurung kurawal. Apabila sebuah benda bergerak melewati perbatasan dua daerah dimana berkerja {gaya potensial}, maka perilaku gerak dasar dari benda dapat dicari dengan memecahkan { hukum kedua Newton, persamaan Schodinger} { Kedudukan fungsi gelombang} selalu kontinu pada daerah perbatasan, dan bahwa { kecepatan turunan dψ/dx} juga kontinu apabila perubahan {gaya perubahan potensial} tetap berhingga.

Dalam kasus mekanika klasik, persoalan yang kita hadapi dicirikan oleh hadirnyagaya tertentu F. dengan menuliskan hukum kedua newton bagi gaya tersebut, kita pecahkan permasalahan matematikanya untuk memperoleh kedudukan dan kecepatan partikelnya. Dalam kasus elektromagnetik, kita berhadapan dengan persoalan yang dicirikan oleh sekumpulan muatan dan arus. Seperti halnya dalam fisika klasik, setiap personal menghendaki teknik pemecahan yang agak berbeda , sehingga sulit untuk merumuskan prosedur umum . Langkah-langkah pemecahaan yang diutarakan dalam pasal ini, kiranya dapat member gambaran kepada anda mengenai arah umum yang perlu diambil untuk mencari pemecahannya. Cara terbaik untuk mempelajari teknik-tekni ini adalah dengan mempelajari semua contoh soal yang disajikan dalam bab ini. Pada tahap ini resepnya tidak lengkap, karena akita hanya membahas teknik matematika untuk mendapatkan pemecahan ψ(x) ; tetapi kita tidak membahas tafsiran pemecahan tersebut atau penerapannya pada berbagai situasi fisis. Semua ini akan kita bahas dalam beberapa pasal berikut.

DAFTAR PUSTAKA

Kenneth Krane.1983.Modern Physics.John Wiley &Sons:USAKhusnul.“PersamaanSchrodinger.”

khusnull.weebly.com/uploads/1/1/4/4/11448634/cd_fismod_jadi.docx. (diakses tanggal 20 November 2015)

Krane, Kenneth.2011. Fisika Modern.Jakarta: UI-Press