BAB 1 B. INTEGRASI PADA VEKTOR Disadur dari Magdy Iskander, Electromagnetic fields and waves 1 - 2 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis (1) - Besaran skalar Integral adalah penjumlahan yg dapat melibatkan besaran skalar dan vektor Pada sebuah contour (lintasan) c terdapat besaran skalar A (l ) Untuk menghitung jumlah total dari besaran A pada lintasan c dilakukan integrasi( ) ( )}= A= AcNii iNd A Ai 10Lim1 - 3 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis (2) Besaran vektor Sepanjang lintasan c terdapat vektor-vektor kecil }= AA =Niicid10Lim Integrasi vektor pada lintasan c menghasilkan vektor lurus dari titik a ke b 1 - 4 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis (3) - Besaran vektor Salah satu aplikasi penting dari konsep integral garis pada besaran vektor di bidang ilmu elektromagnetik adalah : Integral garis dari komponen vektor yang arahnya tangential terhadap lintasan Notasi : t merupakan vektor satuan yang arahnya tangential/paralel/sejajar terhadap lintasan integrasi ( )( ) d z y x z y xct A , , , ,}1 - 5 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis (4) - Besaran vektor Contoh kasus : Berapa besar daya yang dibutuhkan untuk memindahkan muatan dari titik a ke b sepanjang lintasan c jika diberikan medan listrik seperti diatas ??? 1 - 6 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis (5) - Besaran vektor Rumus dasar daya : W = F . s = q E . S Karena arah medan listrik tidak searah dengan arah lintasan yang akan ditempuh oleh muatan, maka utk menghitung daya total dibutuhkan interasi garis yang melibatkan besaran vektor 1 - 7 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis (6) - Besaran vektor (5) Solusinya adalah dengan menghitung daya di setiap segmen lintasan E1=A o = A o = ANii i i i i i icos q W cos E q W } =A == AcNii iNd qq Wi Lim10t Et EKomponen E yang searah dengan lintasan 1 - 8 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis untuk besaran vektor pada sistem koordinat (1) } } = c cd d A t A| u| | u + u + =+ | + =+ + =a a aa a aa a asin d r rd drdz d ddz dy dx drzz y x1 - 9 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis untuk besaran vektor pada sistem koordinat (2) Cartesian A = Ax ax + Ay ay + Az az dl = dx ax + dy ay + dz az ( ) ( )( )} } }}} }+ + =+ + =+ + + + = 212121zzzyyyxxxz y xz y x z z y y x xcdz A dy A dx Adz A dy A dx Adz dy dx A A A d a a a a a a A 1 - 10 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis untuk besaran vektor pada sistem koordinat (3) Silinder A = A a + A| a| + Az az dl = d a + d| a| + dz az ( ) ( )( )} } }}} }+ + =+ + =+ | + + + = ||| | | | 212121zzzzz z zcdz A d A d Adz A d A d Adz d d A A A d a a a a a a A 1 - 11 Dr. Ir. Chairunnisa Integral garis untuk besaran vektor pada sistem koordinat (4) Bola A = Ar ar + Au a| +A| a|

dl = dr ar + r du au + r sin u d| a|

( ) ( )( )} } }}} }||uuu| u| u | | u u| u + u + =| u + u + =| u + u + + + = 212121sin sin sin d r A rd A dr Ad r A rd A dr Ad r rd dr A A A drrrrr r rca a a a a a A 1 - 12 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (1) Penerapan : menghitung vektor yang menembus suatu bidang dengan tegak lurus Pada integrasi luas ini dikenal besaran differensial area Asi yang terletak pada bidang s Distribusi garis vektor pada seluruh permukaan bidang s dapat uniform dan atau nonuniform Distribusi garis vektor pada differensial area Asi dapat diasumsikan uniform 1 - 13 Dr. Ir. Chairunnisa Flux yang dihitung adalah yang arahnya normal (tegak lurus) terhadap bidang Asi

Tembus semua Tidak ada yang tembus Integrasi luas untuk besaran vektor (2) ( )ss sA =o A = A on FF F cos cos1 - 14 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (3) ( )ss sA =o A = A on FF F cos cos=A o =Nii i is F1cos listrikfluks garis al Jumlah tot} =sds F s area tembus yg listrikfluks garis al Jumlah totn = vektor satuan dengan arah tegak lurus terhadap bidang Asi 1 - 15 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (4) Contoh : Diketahui vektor B pada suatu sistem koordinat cartesian dimana B = (x + 2) ax + (1 3y) ay + 2z az Hitunglah jumlah vektor B yang menembus keluar kubus dengan batas 0 x 1; 0 y 1; 0 z 1 1 - 16 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (4) Jawab : Jumlah vektor B yangmenembus bidang kubus adalah vektor B yang tegak lurus terhadap bidang yang ditembus X c a d b fe g z Y h Untuk perhitungan digunakan persamaan sbb : } =Sds B B tembus yang1 - 17 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (5) } } }} } } }+ + + + + + = dhgc aefb bfgcaehd efgh abcd sd d dd d d ds B s B s Bs B s B s B s B

Bidangabcd : ( ) ( ) | |2 2 2 3 1 210101010} }} } }= == = = = + + + = y zy z abcddz dy dz dyz y x dxz y xaa a a s B1 - 18 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (6) Bidangefgh : ( ) ( ) | |3 3 2 3 1 210101010= = + + + = } }} } }= == =y zy z efghdz dy dz dyz y x dxz y xaa a a s B1 - 19 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (7) Bidangaehd : ( ) ( ) | |1 1 - 2 3 1 210101010 = = + + + = } }} } }= == =z xz x aehddz dx dz dxz y x dyz y xaa a a s B1 - 20 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (8) Bidangbfgc : ( ) ( ) | |2 2 2 3 1 210101010 = = + + + = } }} } }= == =z xz x bfgcdz dx dz dxz y x dyz y xaa a a s B1 - 21 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (9) Bidangaefb : ( ) ( ) | |0 0 - 2 3 1 210101010= = + + + = } }} } }= == =y xy x aefbdy dx dy dxz y x dzz y xaa a a s B1 - 22 Dr. Ir. Chairunnisa Integrasi luas untuk besaran vektor (10) Bidangdhgc : Total :( ) ( ) | |2 2 2 3 1 210101010= = + + + = } }} } }= == =y xy x dhgcdy dx dy dxz y x dzz y xaa a a s Bf konservati bersifat0 2 2 0 1 3 2 Bs B

= + + + + = }sd