143

BAB V

PERHITUNGAN INTEGRAL

(ANTI DIFERENSIAL)

Perhatikan Gambar V.1. Selang [a , b] dipartisi atas n bagian yang sama, dan dibangun

dua macam persegi–persegi panjang. Persegi−persegi panjang yang pertama seluruhnya

berada di bawah grafik y = f(x). Sedangkan yang kedua meliput grafik y = .(x).

Jika disajikan :

mi : luas persegi panjang yang seluruhnya

berada di bawah grafik,

Mi : luas persegi panjang yang memuat

grafik,

maka

mi = f(xi)n

ab −, i = 1, 2, . . . , n−1,

Mi = f(xi+1) n

ab −, i = 1, 2, . . . , n−1,

Dalam hal ini, f(x0)=f(a) dan f(xn) = f(b).

Selanjutnya, tulis m(n) = �−

=

1n

1iim , M(n) = �

−

=

1n

1iiM . Jika nilai )n(mLim

n ∞→ dan nn

MLim∞→

ada dan

berhingga, maka nnmLim

∞→ = nn

MLim∞→

= �b

a

dx)x(f .

Formulasi �b

a

dx)x(f dinamakan integral tentu dari fungsi y = f(x) dengan batas bawah

x = a dan batas atas x = b. Jika nilai-nilai batas integral tidak disajikan, sehingga

formulasinya menjadi � dx)x(f , maka bentuk integral ini dinamakan integral tak tentu dari

fungsi y = f(x). Perbedaan antara integral tentu dengan tak tentu adalah, Integral tentu

X

y = f(x)

. . . x2 x1 xn-1 b=xn X0=a

Y

Gambar V.1. Konsepsi integral

144

hasilnya sebuah bilangan (konstanta), sedangkan integral tak tentu, sebuah fungsi. Fungsi

f(x) pada bentuk integral (baik tentu maupun tak tentu) dinamakan integrand.

V.1. Fungsi Primitif

Menghitung integral sebuah fungsi, baik integral tentu maupun tak tentu, dengan

menggunakan konsepsi limit, tidak semudah pada perhitungan difrensial. Sebab untuk

keperluan perhitungan integral perlu didefinisikan sebuah fungsi yang dinamakan fungsi

primitif atau biasa dinamakan antidiferensial. Hal ini karena pada formulasi integral

terlibat operator diferensial, dx.

Definisi

Fungsi y = F(x) dinamakan fungsi primitif (antidiferensial) dari y = f(x), jika berlaku

hubungan

)x(d)x(dF

= f(x)

untuk setiap x pada domain y = f(x).

Sebagai contoh, fungsi primitif dari y = Cos x adalah y = Sin x, sebab )x(d

)x(dSin = Cos x

Selanjutnya untuk dapat melakukan proses perhitungan integral perlu dipahami dalil

berikut ini.

Dalil

Jika y = f(x) fungsi kontinu pada domain S = [a , b], dan y = F(x) fungsi primitif dari

y = f(x), maka

�b

a

dx)x(f = b

a)x(F = F(b) – F(a)

Bukti

Perhatikan Gambar V.1.

Berdasarkan gambar, maka dapat disajikan barisan nilai

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn-1 < xn = b,

145

sehingga dengan cara menambahkan suku baru dan mengurangkan kembali, diperoleh

formulasi

F(b) – F(a) = F(xn) – F(xn-1) + F(xn-1) − . . . − F(x1) + F(x1) − F(x0) = �=

−−n

1i1ii )}x(F)x(F{

Karena y = F(x) fungsi primitif dari y = f(x), yang berarti F′(x) = f(x), maka y = F(x)

merupakan fungsi diferensiabel dengan turunannya kontinu di S, sehingga berdasarkan dalil

nilai tengah, ada ix , xi-1 < ix < xi, sedemikian rupa sehingga

F(xi) – F(xi-1) = f( ix )(xi – xi-1), atau F(b) – F(a) = �=

−−n

1i1iii )xx)(x(f ,

sehingga jika kedua ruas dihitung nilai limitnya untuk n → ∞, maka

{ })a(F)b(FLimn

−∞→

= �=

−∞→−

n

1i1iii

n)xx)(x(fLim .

Karena F(b) – F(a) sebuah konstanta, maka { })a(F)b(FLimn

−∞→

= F(b) – F(a), ada dan

merupakan nilai berhingga. Sehingga �=

−∞→−

n

1i1iii

n)xx)(x(fLim juga ada dan berhingga.

Berdasarkan konsepsi integral, maka �=

−∞→−

n

1i1iii

n)xx)(x(fLim = �

b

a

dx)x(f = F(b) – F(a).

Contoh 1

Tunjukan bahwa �2

1

xdx = 121

Jawab :

Fungsi primitif f(x) = x adalah F(x) = 21

x2, sebab ��

���

� 2x21

dxd

= 21

.2.x2-1 = x.

Karena F(x) = 21

x2, maka

�

�

==

==

2)2(21

)2(F

21

)1(21

)1(F

2

2

, sehingga �2

1

xdx = 2 − 21

= 121

.

146

Contoh 2

Hitunglan �π

41

0

dx)x(Cos !

Jawab :

Sudah ditunjukan bahwa fungsi primitif dari f(x) = Cos x, adalah F(x) = Sin x, sehingga

F(41 π) = Sin(

41 π) = 2

21

f(0) = Sin(0) = 0

�π

41

0

dx)x(Cos = Sin(41 π) − Sin(0) = 2

21

− 0 = 221

Dari paparan dalil, dapat disajikan pernyataan sebagai berikut. Jika batas integral a

dengan b pada integral tentu �b

a

dx)x(f dihilangkan, sehingga diperoleh bentuk � dx)x(f ,

maka

� dx)x(f = F(x) +k,

dengan k konstanta, yang nilainya dapat dihitung, jika ada tambahan ketentuan.

Sebelumnya sudah dikemukan, �b

a

dx)x(f adalah sebuah konstanta, sedangkan � dx)x(f

sebuah fungsi. Hal ini tersurat pada sajian bahwa �b

a

dx)x(f = F(b) – F(a), yang merupakan

sebuah konstanta, dan � dx)x(f = F(x) + k, sebuah bentuk fungsi.

147

Contoh 3

Hitunglah ( )� +

dx1x

22

, jika untuk x = 0 nilainya sama dengan 1 !

Jawab :

Fungsi primitif dari f(x) = ( )21x

2+

, x � −1 adalah F(x) = 1x1x

+−

, sehingga

( )� +dx

1x

22

= 1x1x

+−

+ k

Subtitusikan x = 0 pada hasil integrasi 1010

+−

+ k = 1 k = 2

Sehingga ( )� +

dx1x

22

= 1x1x

+−

+ 2 = 1x1x3

++

Fungsi yang memiliki nilai integral pada domain S, dinamakan integrabel, pada domain

S. Jika menelaah paparan yang telah disampaikan, syarat perlu dan cukup agar sebuah

fungsi integrabel pada domain S adalah kontinu di mana-mana pada S. Sedangkan agar

diferensiabel, kekontinuan fungsi hanya merupakan syarat perlu tetapi tidak cukup. Hal ini

menyatakan bahwa, sebuah fungsi integrabel tidak perlu diferensiabel, sedangkan jika

fungsi diferensiabel, maka integrabel. Sebagai contoh fungsi y = x. Fungsi ini

integrabel pada domain bilangan riel, tetapi tidak diferensiabel di titik (0 , 0). Hal ini dapat

ditelaah pada fakta, � dxx =

�

�

<+−

>+

0 x ,K x21

0 x , Kx21

2

2

. Yang berarti integralnya ada, tetapi

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ − = −1, sedangkan

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ + = 1. Yang berarti

h)0(f)h0(f

0hLim

−+

→ tidak ada.

148

V.2. Dalil dasar tentang integral

Untuk lebih memudahkan perhitungan integral perlu dipahami dalil dasar tentang

integral.

1. � kdx = kx + c , k, c : konstanta

Bukti

( )ckxdxd + = kx1-1 + 0 = k

2. � dxx n = 1n

1+

xn+1 + k ; n � −1 , k : konstanta

Bukti

��

���

� ++

+ Kx1n

1dxd 1n =

1n1+

(n+1)x(n+1)-1 + 0 = xn

3. � dxx1

= ln x + k ; k : konstanta

Bukti

( )kxlndxd + =

x1

+ 0 = x1

4. � dxe x = ex + k ; k : konstanta

Bukti

( )kedxd x + = ex + 0 = ex

5. � dx)x(Sin = −Cos(x) + k, dan � dx)x(Cos = Sin(x) + k ; k ; konstanta

Bukti

Sudah disampaikan sebagai contoh pada definisi fungsi primitif

149

6. ( )� + dx)x(g)x(f = � dx)x(f + � dx)x(g

Bukti

( )( )i1i

1n

11

ii xx)x(g)x(f −+ +

−

=� = ( )( )i1i

1n

11

i xx)x(f −+

−

=� + ( )( )i1i

1n

11

i xxx(g −+

−

=�

( )( )��

���

� −+ +

−

=∞→ � i1i

1n

11

iin

xx)x(g)x(fLim

= ( )( )��

���

� −+

−

=∞→ � i1i

1n

11

in

xx)x(fLim + ( )( )��

���

� −+

−

=∞→ � i1i

1n

11

in

xx)x(gLim

Berdasarkan konsepsi integral, jika masing-masing limit nilainya ada dan berhingga,

maka ( )� + dx)x(g)x(f = � dx)x(f + � dx)x(g

7. � dx)x(kf = k � dx)x(f

Bukti

Gunakan analogi pembuktian dalil 6, dengan menyatakan kf(x) sebagai perjumlahan atas

k buah fungsi f(x)

V.3. Cara menghitung sebuah integral

Menghitung integral sebuah fungsi dengan menggunakan konsepsi seperti yang telah

dipaparkan cukup sulit, dan proses perhitungannya relatif tidak sesederhana perhitungan

diferensial. Ada beberapa metode untuk menghitung integral sebuah fungsi.

1. Integral sebagai sebuah antidiferensial

Berdasarkan dalil pada fungsi primitif, tersurat bahwa ( )� dx)x(fdxd

= f(x). Dari

pernyataan ini dapat disimpulkan, sebuah integral dapat diselesaikan jika diketahui fungsi

primitifnya, sehingga untuk menyelesaikan sebuah integral dengan cara ini, diperlukan

150

sebuah direktori fungsi primitif yang lengkap. Metode ini dapat digunakan jika bentuk

integrandnya cukup sederhana.

2. Metode subtitusi

Ada beberapa cara subtitusi yang dapat digunakan, diantaranya

a) Subtitusi aljabar

Contoh 4

Hitunglah ( )�

+−− dxe)3x2( 1x3x2

Jawab :

Subtitusikan y = x2 – 3x + 1 dy = (2x – 3)dx dx = 3x2

dy−

( )�

+−− dxe)3x2( 1x3x2

= � −−

3x2dy

e)3x2( y = � dye y = ey + k = e(x² - 3x + 1) + k

Contoh 5

Hitunglah � −++ dx)1x2x(Tg)1x( 2

Jawab :

Subtitusikan y = (x2 + 2x – 1) dy = (2x + 2)dx dx = 2x2

dy+

= ��

���

�

+1xdy

21

Dengan menggunakan dalil 7,

� −++ dx)1x2x(Tg)1x( 2 = � ++

1xdy

21

)y(Tg)1x( = � dy)y(Tg(21

= � dy})y(Cos)y(Sin

21

Subtitusikan z = Cos(y) dz = −Sin(y)dy

� dy})y(Cos)y(Sin

21

= �−

zdz

21

= −ln(z) + k = −ln{Cos(y)} + k = −ln{Cos(x2 + 2x – 1) + k

151

Contoh 6

Hitunglah � dx)x(Sec !

Jawab :

Sec(x) = )x(Cos

1 =

)x(Cos)x(Cos

2 = )x(Sin1

)x(Cos2−

Subtitusikan y = Sin(x) dy = Cos(x)dx

Sehingga � dx)x(Sec = � −dx

)x(Sin1)x(Cos

2 = � − 2y1

dy

Karena 2y11

− =

)y1)(y1(1

+− =

)y1(21

− +

)y1(21

+, dengan menggunakan dalil 6, 7, dan 3,

maka � − 2y1dy

= � − y1dy

21

+ � + y1dy

21

.

Menghitung � − y1dy

Subtitusikan z = 1 – y dz = −dy,

� − y1dy

= �−

zdz

= −ln(z) + K1 = −ln(1−y) + k1 = −ln{1−Sin(x)} + k1

Menghitung � + y1dy

Subtitusikan z = 1 + y dz = dy

� + y1dy

= � zdz

= ln(z) + k2 = ln(1+y) + k2 = ln{1+Sin(x)} + k2

152

Sehingga

� dx)x(Sec = ��

���

�

21

[−ln{1−Sin(x)} + k1] + ��

���

�

21

[ln{1+Sin(x)} + k2]

= − ��

���

�

21

ln{1−Sin(x)} + ��

���

�

21

ln{1+Sin(x)} + k = ���

����

�

−+

)x(Sin1)x(Sin1

ln21

+ k,

dengan k = ��

���

�

21

k1 + ��

���

�

21

k2.

b) Subtitusi goniometri

Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk 22 xa − , 22 xa + , 22 ax − ,

a2 – x2, a2 + x2, atau x2 – a2; a � 0.

Bentuk subtitusinya,

1) untuk bentuk 22 xa − atau a2 – x2

x = aSin(y) dx = aCos(y)dy , y = arc Sin ��

���

�

ax

, atau

x = aCos(y) dx = −aSin(y)dy , y = arc Cos ��

���

�

ax

Contoh 7

Hitunglah � −

+dx

x4

1x2

Jawab :

Subtitusikan x = 2Sin(y) dx = 2Cos(y)dy

y = arc Sin ��

���

�

2x

sehingga

153

� −

+dx

x4

1x2

= � −

+dy)y(Cos2

)y(Sin44

1)y(Sin22

= �+

dy)y(Cos2)y(Cos21)y(Sin2

= ( )� + dy1)y(Sin2 = � dy)y(Sin2 + �dy = −2Cos(y) + y + k

= −2Cos ���

����

���

���

�

2x

arcSin + arc Sin ��

���

�

2x

+ k

2) untuk bentuk 22 xa + atau a2 + x2

x = aTg(y) dx = aSec2(y)dy

y = arc Tg ��

���

�

ax

Contoh 8

Hitunglah � +dx

x9x

12

Jawab :

Subtitusikan x = 3Tg(y) dx = 3Sec2(y)dy

y = arc Tg ��

���

�

3x

� +dx

x9x

12

= � +dy)y(Sec3

)y(Tg99)y(Tg3

1 2

2 = � dy)y(Sec3

)y(Sec3)y(Tg31 2

= � dy)y(Tg)y(Sec

31

= � dy)y(Sin

131

= � dy)y(Sin

)y(Sin31

2 = � −

dy)y(Cos1

)y(Sin31

2

Subtitusikan z = Cos(y) dz = −Sin(y)dy

Sehingga

154

� −dy

)y(Cos1)y(Sin

2 = � −

dzz1

12

= � −dz

z121

+ � +dz

z121

= − ��

���

�

21

ln(1−z)+ ��

���

�

21

ln(1+z)+k

= ��

���

�

21

ln ��

���

�

−+

z1z1

+ k = ��

���

�

21

ln ���

����

�

−+

)y(Cos1)y(Cos1

+ k

� +dx

x9x

12

= ��

���

�

31 { �

�

���

�

21

ln ���

����

�

−+

)y(Cos1)y(Cos1

+ k} = ��

���

�

61

ln

�����

�

�

�����

�

�

���

����

���

���

�−

���

����

���

���

�+

3x

arcTgCos1

3x

arcTgCos1 + k

3) untuk bentuk 22 ax − atau x2 – a2

x = aSec(y) dx = aSec(y)Tg(y)dy

y = arc Sec ��

���

�

ax

Contoh 9

Hitunglah �−

dxx

4x3

2

Jawab :

Subtitusikan x = 2Sec(y) dx = 2Sec(y)Tg(y)dy

y = arc Sec ��

���

�

2x

�−

dxx

4x3

2

= �−

dy)y(Tg)y(Sec2)y(Sec8

4)y(Sec43

2

= � dy)y(Tg)y(Sec4)y(Tg2

2

2

= � dy)y(Cos)y(Sin

21 3

= ( )

�−

dy)y(Cos

)y(Cos1)y(Sin21 2

Subtitusikan z = Cos(y) dz = −Sin(y)dy

Sehingga

155

( )

�−

dy)y(Cos

)y(Cos1)y(Sin 2

= ( )�

−− dzzz1 2

= �− dzz1

+ � zdz = −ln(z) + ��

���

�

21

z2 + k

= −ln(Cos(y)) + ��

���

�

21

Cos2(y) + k

�−

dxx

4x3

2

= ��

���

�

21

{−ln(Cos(y)) + ��

���

�

21

Cos2(y) + k}

= − ��

���

�

21

ln(Cos(y)) + ��

���

�

41

Cos2(y) + k

= − ��

���

�

21

ln ���

����

����

����

���

���

�

2x

arcSecCos + ��

���

�

41

Cos2���

����

���

���

�

2x

arcSec + k

c) Subtitusi jika integrand memiliki bentuk kuadratik ax2 + bx + c.

Dalam hal seperti ini, proses yang harus dilakukan

1) Merubah bentuk kuadratik ax2+bx+c menjadi perjumlahan dua suku kuadrat

(Ax)2+B2 , sebagai berikut

ax2+bx+c = a(x2+ab

x+ac

) = a{(x+a2

b)2+

ac − 2

2

a4b

} = a{(x+a2

b)2+

22

a2bac4

��

�

�

��

�

� −}

2) Subtitusikan y = x + a2

b dy = dx

x = y − a2

b

Contoh 10

Hitunglah � +−+

dx1xx2

2x2

!

Jawab :

Berdasarkan paparan yang telah dikemukakan,

156

2x2 – x + 1 = 2{(x + )2(2)1(−

)2 +

22

)2(2)1()1)(2(4��

�

�

��

�

� −− = 2{(x −

41

)2 + 2

23��

���

� }

Subtitusikan : y = x − 41

dy = dx

x = y − 41

� +−+

dx1xx2

2x2

= ���

�

�

��

�

���

���

�+

+��

���

� −dy

23

y2

241

y

22

= ���

�

�

��

�

���

���

�+

dy

23

y

y21

22

+ ���

�

�

��

�

���

���

�+

dy

23

y

187

22

Menghitung integral ���

�

�

��

�

���

���

�+

dy

23

y

y2

2

Subtitusikan z = y2 dz = 2ydy

���

�

�

��

�

���

���

�+

dy

23

y

y2

2

= ���

���

� +49

z

dz21

= ���

���

� +dz

49

z

121

= 21

ln ��

���

� +49

z +k1 = 21

ln ��

���

� +49

y 2 +k1

= 21

ln��

�

�

��

�

�+��

�

����

���

���

�−49

41

x2

+ k1 = 21

ln ��

���

� +−1637

x21

x 2 + k1

Menghitung integral ���

�

�

��

�

���

���

�+

dy

23

y

12

2

Subtitusikan y = 23

Tg(z) dy = 23

Sec2(z)dz

z = arc Tg ��

���

�

3y2

Sehingga

157

���

�

�

��

�

���

���

�+

dy

23

y

12

2

= ���

���

� +dz)z(Sec

23

49

)z(Tg49

1 2

2

= � dz)z(Sec23

)z(Sec49

1 2

2 = �dz

32

= 32

z + k2 =32

arc Tg ��

���

�

3y2

+ k2 = 32

arc Tg����

�

�

����

�

���

���

� −

341

x2 + k2 =

32

arc Tg ��

���

� −6

1x4 + k2

� +−+

dx1xx2

2x2

= ��

���

�

21

21

ln ��

���

� +−1637

x21

x 2 + ��

���

�

87

32

arc Tg ��

���

� −6

1x4 + k

= 41

ln ��

���

� +−1637

x21

x 2 + 127

arc Tg ��

���

� −6

1x4 + k

d) Subtitusi rasionalisasi

Metode ini dilakukan jika integrand memiliki bentuk akar, n bax + , n > 2.

Prosesnya, subtitusikan y = n bax + , sehingga

yn = ax + b x = a

byn − dx =

an

y(n−1)dy

Contoh 11

Hitunglah � + dx4xx3 !

Jawab :

Berdasarkan paparan, y = 3 4x + x = y3 − 4 dx = 3y2dy

� + dx4xx3 = ( )� − )dyy3)(y(4y 23 = � dyy3 6 = ( )� − dyy4y3 36 = � dyy3 6 − � dyy12 3

= 73

y7 − 412 y4 + k =

73 ( )( )73 4x+ − 3 ( )( )43 4x + + k

= 73

(x + 4)2 3 4x + − 3(x + 4) 3 4x + + k

158

3. Integral Parsial

Konsepsinya

� )x(dg)x(f = f(x)g(x) − � )x(df)x(g .

Dalam hal ini bentuk integral � )x(df)x(g harus lebih sederhana dari � )x(dg)x(f .

Contoh 12

Hitunglah � dx)xln(x !

Jawab :

f(x) = ln(x) df(x) = x1

dx

dg(x) = x dx g(x) = � dxx = 1

21

1

+

121

x+

= 32 2

3

x

(konstanta k tidak dituliskan sebab dapat dikumulatifkan pada perhitungan terakhir)

� dx)xln(x = {ln(x)}(32 2

3

x ) − � ���

����

�dx

x1

x32 2

3

= 32 2

3

x ln(x) − �−

dxx32 1

23

= 32 2

3

x ln(x) − 32

32 2

3

x + k = 32 2

3

x (ln(x) − 32

) + k

Contoh 13

Hitunglah ( )� dx)xln(Sin !

Jawab :

Subtitusikan : ln(x) = y x = ey , dy = dxx1

dx = xdy = eydy

Sehingga ( )� dx)xln(Sin = � dye)y(Sin y = � dy)y(Sine y

f(y) = Sin(y) df(y) = Cos(y)dy

dg(y) = eydy g(y) = � dye y = ey

159

� dy)y(Sine y = {Sin(y)}{ey} − � dy)y(Cos}e{ y = eySin(y) − � dy)y(Cose y

Menghitung integral � dy)y(Cose y

f(y) = Cos(y) df(x) = −Sin(y)dy

dg(y) = eydy g(y) = � dye y = ey

� dy)y(Cose y = {Cos(y)}{ey} − � − dy}}y(Sin}{e{ y = eyCos(y) + � dy}y(Sine y

Sehingga

� dy)y(Sine y = eySin(y)−{ eyCos(y)+ � dy}y(Sine y } = eySin(y)−eyCos(y)− � dy}y(Sine y

2 � dy)y(Sine y = eySin(y) − eyCos(y)

( )� dx)xln(Sin = � dy)y(Sine y = 21

{ eySin(y) − eyCos(y)} + k

4. Integral partisi

Metode ini digunakan jika integrandnya merupakan fungsi pecahan aljabar (fungsi

rasional). Proses yang harus dilakukan,

1) Jika derajat pembilang lebih besar dari derajat penyebut, maka lakukan proses

pembagian, sehingga diperoleh suku sisa.

2) Pada suku sisa, jika penyebut dapat difaktorkan, maka partisi suku sisa, selanjutnya

lakukan proses kesamaan pada pembilang.

3) Lakukan perhitungan integral berdasarkan hasil partisi.

Contoh 14.

Hitunglah � +−−+−

dx2x3x

1xx2x2

23

!

Jawab :

Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, maka proses perhitungannya

1) Melakukan pembagian sehingga diperoleh suku sisa

2x3x

1xx2x2

23

+−++−

= (x + 1) + 2x3x

1x22 +−

−

160

2) Mempartisi suku sisa

2x3x

1x22 +−

− =

)2x)(1x(1x2−−

− =

1xA−

+ 2x

B−

= )2x)(1x(

)1x(B)2x(A−−

−+−

= )2x)(1x(

)BA2(x)BA(−−

+−+

Pada kesamaan ini, A + B = 2 dan 2A + B = 1. Jika diselesaikan, akan diperoleh A = −1,

B = 3, sehingga 2x3x

1x22 +−

− =

1x1

−−

+ 2x

3−

3) Proses integral partisi

� +−−+−

dx2x3x

1xx2x2

23

= � + dx)1x( + � −−

dx1x

1 + � −

dx2x

3

= � xdx + �dx + � −−

dx1x

1 + � −

dx2x

3 =

21

x2 + x – ln(x−1) + 3ln(x−2) + k

Contoh 15

Hitunglah � +−−+−

dx2x3x2

1xx2x2

23

!

Jawab :

Karena derajat pembilang lebih besar dari penyebut, dengan penyebutnya tidak dapat

difaktorkan, sebab diskriminannya, D < 0, maka proses perhitungannya

1) Melakukan pembagian untuk mendapatkan suku sisa

2x3x2

1xx2x2

23

+−−+−

= ��

���

� −41

x21

+ 2x3x2

23

x43

2 +−

−− = �

�

���

� −41

x21

− ��

���

�

+−+

��

���

�

2x3x22x

43

2

161

2) Mempartisi bentuk integral

� +−−+−

dx2x3x2

1xx2x2

23

= dx41

x21

� ��

���

� − − dx2x3x2

2x43

2� ��

���

�

+−+

��

���

�

= dxx21� − �dx

41

− dx2x3x2

2x43

2� ��

���

�

+−+

= dxx21� − �dx

41

− dx2x3x2

x43

2� +− − dx

2x3x22

43

2� +−

= 41

x2 − 41

x − dx2x3x2

x43

2� +− −

23

dx2x3x2

12� +−

Menghitung integral dx2x3x2

12� +−

(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat

2x2–3x+2 = 2(x2−23

x+1) = 2{(x−43

)2−169

+1} = 2{(x−43

)2+167

}

= 2{(x−43

)2+2

47���

����

�}

(2) Subtitusikan, x−43

= y dy = dx

x = y + 43

(3) dx2x3x2

12� +−

= dy

47

y2

12

2

�

��

�

�

��

�

�

���

����

�+

= 21

dy

47

y

12

2

����

����

�+

= 21

arc Tg ���

����

�

7

y4+k1

= 21

arc Tg ���

����

� −7

3x4 + k1

162

Menghitung integral dx2x3x2

x2� +−

(1) Sajikan bentuk kuadrat (2x2–3x+2) menjadi perjumlahan dua suku kuadrat

2x2–3x+2 = 2(x2−23

x+1) = 2{(x−43

)2−169

+1} = 2{(x−43

)2+167

}

= 2{(x−43

)2+2

47���

����

�}

(2) Subtitusikan, x−43

= y dy = dx

x = y + 43

(3) dx2x3x2

x2� +−

= dy

47

y2

43

y

2

2

�

��

�

�

��

�

�

���

����

�+

+

= dy

47

y

y21

2

2

�

���

����

�+

+ dy

47

y

183

2

2

�

���

����

�+

Menghitung integral dy

47

y

y2

2

����

����

�+

Subtitusikan y2 + 2

47���

����

� = y2 +

167

= z dz = 2ydy

dy

47

y

y2

2

����

����

�+

= dzz21

� = ��

���

�

21 ( ){ }zln + k2 =

21

ln ��

���

� +167

y 2 + k2

163

Menghitung integral dy

47

y

12

2

����

����

�+

Subtitusikan y = ���

����

�

47

Tg(z) dy = ���

����

�

47

Sec2(z)z

dy

47

y

12

2

����

����

�+

= dz)z(Sec47

167

)z(Tg167

1 2

2� �

��

����

�

+

= dz)z(Sec47

)z(Sec16

7

1 2

2� �

��

����

�

���

����

� = �dz = z = arc Tg ��

�

����

�

7

y4

Sehingga

dx2x3x2

x2� +−

= 21

ln ��

���

� +167

y 2 + ��

���

�

43

arc Tg ���

����

�

7

y4 + k3

= 21

ln��

�

�

��

�

�+�

�

���

� −167

43

x2

+ ��

���

�

43

arc Tg����

�

�

����

�

���

���

� −

743

x4 + k3

= 21

ln ��

���

� −−162

x169

x 2 + ��

���

�

43

arc Tg ���

����

� −7

3x4 + k3

Sehingga

� +−−+−

dx2x3x2

1xx2x2

23

= 41

x2 − 41

x − ��

���

�

43

{21

ln ��

���

� −−162

x169

x 2 + ��

���

�

43

arc Tg ���

����

� −7

3x4}

− ��

���

�

23

{arc Tg ���

����

� −7

3x4} + k

= 41

x2 − 41

x − 83

ln ��

���

� −−162

x169

x 2 − 4

15arc Tg ��

�

����

� −7

3x4 + k

164

Contoh 16

Hitunglah � −−+

dxx3x2x

3x523 !

Jawab :

Derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, dan penyebut dapat difaktorkan atas tiga faktor,

sehingga proses perhitungannya

1) Mempartisi integrand

x3x2x

3x523 −−

+ =

)3x2x(x3x5

2 −−+

= )1x)(3x(x

3x5+−

+ =

xA

+ 3x

B−

+ 1x

C+

= )1x)(3x(x

)3x(Cx)1x(Bx)1x)(3x(A+−

−++++− =

)1x)(3x(xCx3CxBxBxA3Ax2Ax 222

+−−+++−−

= )1x)(3x(x

)A3(x)C3BA2(x)CBA( 2

+−−+−+−+++

Dari kesamaan diperoleh, A + B + C = 0, −2A + B – 3C = 5, −3A = 3. Jika dihitung,

maka : A = −1 , B = −21

, C = 23

2) Integral partisinya

� −−+

dxx3x2x

3x523 = �

−dx

x1

+ � −

−dx

3x21

+ � +dx

1x23

= −ln(x) − 21

ln(x–3) + 23

ln(x+1) + k

165

Contoh 17

Hitunglah � −+−+

dx4x3x1x3x5

23

2

!

Jawab :

Karena derajat pembilang lebih kecil dari penyebut, maka proses perhitunganya

1) Mempartisi bentuk integrand

4x3x1x3x5

23

2

−+−+

= 2

2

)2x)(1x(1x3x5

+−−+

= 1x

A−

+ 2x

B+

+ 2)2x(C+

= 2

2

)2x)(1x()1x(C)2x)(1x(B)2x(A

+−−++−++

= 2

22

)2x)(1x()1x(C)2xx(B)4x4x(A

+−−+−++++

= 2

2

)2x)(1x()CB2A4(x)CBA4(x)BA(

+−−−+++++

Dari kesamaan disimpulkan, A + B = 5 , 4A + B + C = 3 , 4A – 2B – C = −1. Jika

dihitung, diperoleh A = 9329

, B = 9346

, C = 3139

2) Integral partisinya

� −+−+

dx4x3x1x3x5

23

2

= � −dx

1x9329

+ � +dx

2x9346

+ � +dx

)2x(3139

2

= � −dx

1x1

9329

+ � +dx

2x1

9346

+ � +dx

)2x(1

3139

2

= 9329

ln(x – 1) + 9346

ln(x + 2) + 3139

.(−2 + 1)(x + 2)−2+1 + k

= 9329

ln(x – 1) + 9346

ln(x + 2) − 3139

2x1+

+ k

= )2x(93

117)2xln()2x(46)1xln()2x(29+

−+++−+ + k

166

5. Integral fungsi goniometri

Mengintegralkan fungsi-fungsi goniometri pada umumnya tidak sesederhana seperti

pada fungsi-fungsi aljabar, karena adanya pengulangan bentuk fungsi. Sehingga untuk

menghitung beberapa bentuk integral fungsi goniometri, perlu telaahan secara khusus.

Bentuk-bentuk tesebut diantaranya :

1) � dx)x(Sin n atau � dx)x(Cosn

Metode penyelesaiannya dengan memperhatikan apakah n bilangan genap atau ganjil.

a) Jika n bilangan ganjil, maka

(1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi Sinn-1(x)Sin(x), dan Cosn(x) menjadi Cosn-1(x)Cos(x)

(2) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1

Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)

Contoh 18

Hitunglah � dx)x(Sin 7

Jawab

� dx)x(Sin 7 = � dx)x(Sin)x(Sin 6 = ( )� dx)x(Sin)x(Sin32 = ( )� − dx)x(Sin)x(Cos1

32

= ( ) ( )( )� −+− dx)x(Sin)x(Cos)x(Cos3)x(Cos3132222

Subtitudikan Cos(x) = y dy = dCos(x) = Sin(x)dx

� dx)x(Sin 7 = ( )� −+− dyyy3y31 642 = y – y3 + 53

y5 – 71

y7 + k

= Cos(x) – Cos3(x) + 53

Cos5(x) – 71

Cos7(x) + k

b) Jika n genap maka

(1) Ubah bentuk Sinn(x) menjadi (Sin2(x))n/2, dan Cosn(x) menjadi (Cos2(x))n/2

(2) Gunakan hubungan Sin2(x) = 21

(1 – Cos(2x)), Cos2(x) = 21

(1 + Cos(2x))

Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)

167

Contoh 19

Hitunglah �π

41

0

6 dx)x(Cos !

Jawab

Cos6(x) = (Cos2(x))3 = (21

(1 + Cos(2x)))3 = 81

(1 + 3Cos(2x) + 3Cos2(2x) + Cos3(2x))

= 81

+ 83

Cos(2x) + 83

(21

(1 + Cos(2x))) + 81

Cos2(2x)Cos(2x)

= 81

+ 83

Cos(2x) + 83

(21

(1 + Cos(2x))) + 81

( 1 − Sin2(2x))Cos(2x)

Subtitusikan 2x = y dy = 2dx dx = 21

dy

x = 0 y = 0 , x = 41 π y =

21 π

Sehingga

�π

41

0

6 dx)x(Cos = �π

��

���

�21

0

dy21

81

+ �π

��

���

�21

0

dy21

)y(Cos83

+ �π

��

���

�21

0

dy21

163

+ �π

��

���

�21

0

dy21

)y(Cos163

+ �π

��

���

�21

0

dy21

)y(Cos81

− �π

21

0

2 dy21

)y(Cos)y(Sin

= 161 π

21

0y +

163 π

21

0)y(Sin +

323 π

21

0y +

323 π

21

0)y(Sin +

161 π

21

0)y(Sin −

21 ( )�

π21

0

2 )y(Sind)y(Sin

= 161

(21 π − 0) +

163

(Sin(21 π) – Sin(0)) +

323

(21 π − 0) +

323

(Sin(21 π) – Sin(0))

+ 161

(Sin(21 π) – Sin(0)) −

21

31

(Sin3(21 π) − Sin3(0))

= 321

+ 163

+ 643

+ 323

+ 161

− 61

= 192113

168

2) � dx)x(Cos)x(Sin nm

Menyelesaikan bentuk integral seperti ini, identik dengan bentuk 1), yaitu

a) Sajikan Sinm(x) = Sinm-1(x)Sin(x), jika n ganjil, dan Sinm(x) = (Sin2(x))m/2, jika m genap

analog Cos(x)n = Cos(x)n-1Cos(x), jika n ganjil, dan Cosn(x) = (Cos2(x))n/2, jika n genap

b) Gunakan hubungan Sin2(x) + Cos2(x) = 1, jika m, atau n, atau keduanya ganjil, atau

Sin2(x) = 21

(1 – Cos(2x)), Cos2(x) = 21

(1 + Cos(2x)), jika m dan n genap.

Sehingga diperoleh bangun Sink(x)Cos(x) atau Cosk(x)Sin(x)

Contoh 20

Hitunglah � dx)x(Cos)x(Sin 43 !

Jawab :

Sin3(x)Cos4(x) = Sin2(x)Sin(x)Cos4(x) = (1 – Cos2(x))Sin(x)Cos4(x)

= (Cos4(x) – Cos6(x))Sin(x)

sehingga

� dx)x(Cos)x(Sin 43 = � − dx)x(Sin))x(Cos)x(Cos( 64

= � dx)x(Sin)x(Cos 4 − � dx)x(Sin)x(Cos6

subtitusikan Cos(x) = y dy = dCos(x) = Sin(x)dx

� dx)x(Cos)x(Sin 43 = � dyy4 − � dyy6 = 51

y5 − 71

y7 + K = 51

Cos5(x) − 71

Cos7(x) + k

Contoh 21

Hitunglah � dx)x(Cos)x(Sin 64 !

Jawab :

Sin4(x)Cos6(x) = {Sin2(x)}2Cos6 = {1−Cos2(x)}2Cos6(x) = {1−2Cos2(x)+Cos4(x)}Cos6(x)

= Cos6(x)−2Cos8(x)+Cos10(x) = {Cos2(x)}3 − 2{Cos2(x)}4 + {Cos2(x)}5

= [21

{1 + Cos(2x)}]3 − 2[21

{1 + Cos(2x)}]4 + [21

{1 + Cos(2x)}]5

169

= 81

{1+3Cos(2x)+3Cos2(2x)+Cos3(2x) − 81

{1+4Cos(2x)+6Cos2(2x)+4Cos3(2x)+Cos4(2x)}

+ 321

{1+5Cos(2x)+10Cos2(2x)+10Cos3(2x)+5Cos4(2x)+Cos5(2x)}

= 321

− 323

Cos(2x) − 161

Cos2(2x) − 161

Cos3(2x) + 321

Cos4(2x) + 321

Cos5(2x)

sehingga

� dx)x(Cos)x(Sin 64 = �dx321

− � dx)x2(Cos321

− � dx)x2(Cos161 3 + � dx)x2(Cos

321 4

+ � dx)x2(Cos321 5

subtitusikan 2x = y dy = 2dx dx = 21

dy

� dx)x(Cos)x(Sin 64 = 321

x − 641

Sin(y) − 321� dy)y(Cos)y(Cos 2 +

641� dy)}y(Cos{ 22

+ 641� dy)y(Cos)}y(Cos{ 22

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321� − dy)y(Cos)}y(Sin1{ 2 +

641� + dy)}]y2(Cos1{

21

[ 2

+ 641� − dy)y(Cos)}y(Sin1{ 22

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321

{Sin(y)− 31

Sin3(y)} + 2561� ++ dy)y2(Cos)y2(Cos21{ 2

+ 641� +− dy)y(Cos)}y(Sin)y(Sin21{ 42 + k

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 2561

{y+Sin(2y)+ � + dy)}y4(Cos1{21

}

+ 641

{Sin(y)−32

Sin3(y)+ 51

Sin5(y)} + k

170

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 2561

{2x+Sin(4x)+21

y+81

Sin(4y)}

+ 641

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 320

1Sin5(2x) + k

= 321

x − 641

Sin(2x) − 321

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 128

1x +

2561

Sin(4x) + 2561

x

+ 2048

1Sin(8x) +

641

Sin(2x) − 961

Sin3(2x) + 320

1Sin5(2x) + k

= 25611

x − 321

Sin(2x) + 2561

Sin(4x) + 2048

1Sin(8x) −

481

Sin3(2x) + 320

1Sin5(2x) + k

3) � dx)x(Tg n atau � dx)x(Ctg n

Cara menyelesaikan integral seperti ini adalah dengan menuliskan

(1) Tgn(x) = Tg2(x)Tgn-2(x) , Ctgn(x) = Ctg2(x)Ctgn-2(x),

(2) Menggunakan hubungan Tg2(x) = Sec2(x) – 1, Ctg2(x) = Cosec2(x) – 1.

Sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x).

Contoh 22

Hitunglah � dx)x(Tg 6 !

Jawab :

Tg6(x) = Tg2(x)Tg4(x) = {Sec2(x) – 1}Tg4(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Tg4(x)

= Sec2(x)Tg4(x) – Tg2(x)Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – {Sec2(x) – 1}Tg2(x)

= Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Tg2(x) = Sec2(x)Tg4(x) – Sec2(x)Tg2(x) + Sec2(x) – 1

subtitusikan y = Tg(x) dy = Sec2(x)dx , sehingga

� dx)x(Tg 6 = � dyy 4 − � dyy 2 + �dy − �dx = 51

Tg5(x) − 31

Tg3(x) + Tg(x) – x + k.

171

Soal 23

Hitunglah � dx)x(Ctg 7

Jawab :

Ctg7(x) = Ctg2(x)Ctg5(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctg3(x) = Cosec2(x)Ctg3(x) – Ctg3(x)

= Cosec2(x)Ctg3(x) – Cosec2Ctg(x) + Ctg(x)

subtitusikan y = Ctg(x) dy = −Cosec2(x)dx, sehingga

� dx)x(Ctg 7 = �− dyy3 − �− ydy + � dx)x(Ctg = −41

Ctg4(x) + 21

Ctg2(x) + ln{Sin(x)} + k

Catatan :

� dx)x(Ctg = � dx)x(Sin)x(Cos

= � x)x(dSin)x(Sin

1 = ln{Sin(x)} + k

4) � dx)x(Sec)x(Tg nm atau � dx)x(secCo)x(Ctg nm

Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini perlu diperhatikan ciri dari m atau.

a) Jika n genap dan m sembarang, maka tulis

Secn(x) = Sec2(x)Secn-2(x) = {1 + Tg2(x)}Secn-2(x),

Cosecn(x) = Cosec2(x)Cosecn-2(x) = {1 + Ctg2(x)}Cosecn-2(x)

sehingga diperoleh bangun Tgk(x)Sec2(x)

Contoh 24

Hitunglah � dx)x(Sec)x(Tg 65 !

Jawab :

Tg5(x)Sec6(x) = Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec4(x) = Tg5(x)Sec4(x) + Tg7(x)Sec4(x)

= Tg5(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x) + Tg7(x){1 + Tg2(x)}Sec2(x)

= Tg5(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x)

= Tg5(x)Sec2(x) +2Tg7(x)Sec2(x) + Tg9(x)Sec2(x)

Subtitusikan y = Tg(x) dy = Sec2(x)dx , sehingga

� dx)x(Sec)x(Tg 65 = � dyy5 + 2 � dyy7 + � dyy9 = 61

Tg6(x) + 41

Tg8(x) + 101

Tg10(x) + k

172

b) Jika m ganjil dan n sembarang, maka tulis

Tgm(x) = Tg2(x)Tgm-2(x) = {Sec2(x) – 1}Tgm-2(x)

Ctgm(x) = Ctg2(x)Ctgm-2(x) = {Cosec2(x) – 1}Ctgm-2(x)

sehingga diperoleh bangun Coseck(x){Ctg(x)Cosec(x)}

Contoh 25

Hitunglah � dx)x(secCo)x(Ctg 37 !

Jawab :

Ctg7(x)Cosec3(x) = {Cosec2 – 1}Ctg5(x)Cosec5(x)

= {Cosec2(x) – 1}Ctg4(x)Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)}

= {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec2(x) – 1}2{Ctg(x)Cosec(x)}

= {Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Cosec4(x) – 2Cosec2(x) + 1}{Ctg(x)Cosec(x)}

= {Cosec10(x) – 3Cosec8(x) + 3Cosec6(x) – Cosec4(x)}{Ctg(x)Cosec(x)}

= Cosec10(x){Ctg(x)Cosec(x)} – 3Cosec8(x){Ctg(x)Cosec(x)}

+ 3Cosec6(x){Ctg(x)Cosec(x)} – Cosec4(x){Ctg(x)Cosec(x)}

subtitusikan y = Cosec(x) dy = Ctg(x)Cosec(x)dx

sehingga

� dx)x(secCo)x(Ctg 37 = � dyy10 − 3 � dyy8 + 3 � dyy6 − � dyy4

= 111

Cosec11(x) − 31

Cosec9(x) + 73

Cosec7(x) − 51

Cosec5(x) + k

5) � dx)nx(Sin)mx(Sin atau � dx)nx(Cos)mx(Sin atau � dx)nx(Cos)mx(Cos .

Untuk menyelesaikan integral seperti ini gunakan hubungan

Sin(mx)Cos(nx) = 21

[Sin{(m+n)x} + Sin{(m−n)x}]

Sin(mx)Sin(nx) = −21

[Cos{(m+n)x} – Cos{(m−n)x}]

Cos(mx)Cos(nx) = 21

[Cos{(m+n)x} + Cos{(m−n)x}]

173

Sehingga diperoleh bentuk Sin(kx) atau Cos(kx)

Contoh 26

Hitunglah � dx)x6(Sin)x5(Sin !

Jawab :

Sin(5x)Sin(6x) = −21

Cos(11x) – Cos(−x)} = −21

Cos(11x) + 21

Cos(x)

sehingga

� dx)x6(Sin)x5(Sin = −21� dx)x11(Cos +

21� dx)x(Cos = −

221

Sin(11x) + 21

Sin(x) + k

6. Integral fungsi rasional dengan variabelnya berpangkat rasional

Untuk menyelesaikan integral seperti ini subtitusikan x = yn, dengan n merupakan kelipatan

persekutuan terkecil dari penyebut pangkat.

Contoh 27

Hitunglah dxxx

x143 2� −

− !

Jawab :

43 2 xx

x1

−

− =

41

32

21

xx

x1

−

−

Subtitusikan x = y12 dx = 12y11dy , y = 12 x

Sehingga

dxxx

x143 2� −

− = dyy12

yyy1 11

38

6

� −−

= 12 dyyyyy

38

1711

� −−

= 12 dy1y

yy5

148

� −−

= 12 dy1yyy

yyyy 5

34349

����

��

−++++−−

= −12 dyy9� − 12 dyy 4

� + 12 dyy3� + 12 dyy� + 12 dy

1yy5

4

� − + 12 dy

1yy5

3

� −

174

= −56

y10 − 5

12y5 + 3y4 + 6y2 +

512

ln(y5−1) + 12 dy1y

y5

3

� −

= −56 12 10x −

512 12 5x + 3 12 4x + 6 12 2x +

512

ln( 12 5x -1) + 12 dy1y

y5

3

� −

= −56 6 5x −

512 12 5x + 3 3 x + 6 6 x +

512

ln( 12 5x -1) + 12 dy1y

y5

3

� −

Menghitung integral dy1y

y5

3

� − :

1yy5

3

− =

)1yyyy)(1y(y

234

3

++++− =

1y51

− +

1yyyy51

y52

y53

y51

234

23

++++

+++−

= ���

����

�

−1y1

51

+ ���

����

�

+++++++

1yyyy1y2y3y4

51

234

23

− 1yyyy

y234

3

++++

Sehingga

dy1y

y5

3

� − = dy

1y1

51� ��

�

����

�

− + dy

1yyyy1y2y3y4

51

234

23

� ���

����

�

+++++++

− dy1yyyy

y234

3

� ++++

= 51

ln(y−1) + 51

ln(y4+y3+y2+y+1) − dy1yyyy

y234

3

� ++++

= 51

ln( 12 x −1)+51

ln( 12 4x + 12 3x + 12 2x + 12 x +1) − dy1yyyy

y234

3

� ++++

= 51

ln( 12 x −1)+51

ln( 3 x + 4 x + 6 x + 12 x +1) − dy1yyyy

y234

3

� ++++

Karena integral dy1yyyy

y234

3

� ++++ jika dihitung secara “manual”, tidak sederhana,

maka diselesaikan dengan menggunakan program Mathcad.

175

Hasilnya :

dy1yyyy

y234

3

� ++++ =

41

ln{2y2+(1− 5 )y+2}−20

5ln{2y2+(1− 5 )y+2}−

52105

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(y45

−5210

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(y4+

41

ln{2y2+(1+ 5 )y+2}+20

5 ln{2y2+(1+ 5 )y+2}

+52105

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(y45 −

5210

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(y4

= 41

ln{2 12 2x +(1− 5 ) 12 x +2} − 20

5ln{2 12 2x +(1− 5 ) 12 x +2}

− 52105

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x45

12

− 5210

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x412

+41

ln{2 12 2x +(1+ 5 ) 12 x +2} + 20

5 ln{2 12 2x +(1+ 5 ) 12 x +2}

+52105

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x45

12

−5210

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x412

= 41

ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} − 20

5ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2}

− 52105

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x45

12

− 5210

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x412

+41

ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2} + 20

5 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2}

+52105

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x45

12

−5210

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x412

176

Sehingga

dxxx

x143 2� −

−= −

56 6 5x −

512 12 5x + 3 3 x + 6 6 x +

512

ln( 12 5x -1)

+ 12[51

ln( 12 x −1) + 51

ln( 3 x + 4 x + 6 x + 12 x +1)

− {41

ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2} − 20

5ln{2 6 x +(1− 5 ) 12 x +2}

− 52105

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x45

12

− 5210

1

+Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

+

−+

5210

51(x412

+ 41

ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2}

+ 20

5 ln{2 6 x +(1+ 5 ) 12 x +2}

+ 52105

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x45

12

− 5210

1

−Arctg

�

��

��

��

�

�

��

�

�

−

++

5210

51(x412

}]

Metode mengintegralkan fungsi seperti yang sudah disajikan merupakan metode yang

menghasilkan nilai eksak, dan pada umumnya dapat dilakukan secara “manual” Ada

metode lain yang dapat dilakukan secara “manual”, tetapi hasilnya biasanya nilai

pendekatan, yaitu dengan mengubah fungsi yang diintegralkan dalam bentuk deret.

177

V.4. Beberapa penggunaan integral

1. Luas bidang datar

Jika menelaah konsepsi dari

integral, maka pada integral tentu

dari sebuah fungsi adalah luas

bidang yang dibatasi oleh grafik

fungsi, sumbu-X, dan garis-garis

batas integral.

Sehingga luas bidang yang dibatasi

oleh grfik fungsi y = f(x), sumbu-

X, garis X = a, dengan X = b,

seperti di samping kiri ini, sama

dengan L = �b

a

dx)x(f .

Sedangkan luas bidang yang dibatasi oleh

dua grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x)

seperti pada gambar di samping kanan

ini, sama dengan

L = { }� −1

0

x

x

dx)x(g)x(f .

Karena nilai ini bisa negatif, sedang L>0,

maka formulasi disajikan oleh

L = { }� −1

0

x

x

dx)x(g)x(f .

Y

X=a X=b

X

y = f(x)

Gambar V.1 Bidang di bawah grafik

(x0,y0) y = f(x)

y = g(x)

Y

X

(x1,y1)

Gambar V.2 Bidang diantara dua grafik

178

Contoh 28

Hitunglah luas bidang yang dibatasi oleh grafik fungsi y = x5 – x3 + x – 3, sumbu-X, garis

X = −3 dengan X = 5 !

Jawab :

Grafik fungsi jika digambarkan dengan

Mathcad adalah seperti di samping kiri ini.

Karena bidang terbagi oleh sumbu-X, maka

luas bidang harus dihitung berdasarkan

bidang yang ada di atas sumbu-X dengan di

bawah sumbu-X.

Jika dihitung dengan menggunakan Mathcad,

absis titik potong grafik dengan sumbu-X

yang merupakan bilangan real, adalah

x = 1,317

Luas bidang di bawah sumbu-X,

L1 = ( )�−

−+−317,1

3

35 dx3xxx = (61

x6−41

x4+21

x2−3x)3

317,1−

= {61

(1,317)6−41

(1,317)4+21

(1,317)2−3(1,317)} − {61

(-3)6−41

(-3)4+21

(-3)2−3(-3)}

= −2,966 − (114,75) = −117,716

Karena luas bidang harus merupakan bilangan posistif, jadi yang digunakan : L1 = 117,716

Luas bidang di atas sumbu-X

L2 = ( )� −+−5

317,1

35 dx3xxx = (61

x6−41

x4+21

x2−3x)317,15

= {61

(5)6−41

(5)4+21

(5)2−3(5)} – {61

(1,317)6−41

(1,317)4+21

(1,317)2−3(1,317)

= 2445,417 – (-2,966) = 2448,383

Sehingga luas bidang yang dicari,

L = L1 + L2 = 117,716 + 2448,383 = 2566,099 (satuan luas)

10 5 0 5 10

14.5

9.66

4.83

4.83

f x( )

179

Contoh 29

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = 2x2 – 3x + 1, dengan y = ex !

Jawab :

Jika digambarkan dengan mengunakan program

Mathcad, maka sajian grafik kedua fungsi adalah

seperti di samping kanan.

Absis titik potong kedua grafik, dihitung

berdasarkan persamaan

2x2 – 3x + 1 = ex

2x2 – 3x + 1 – ex = 0

Jika dihtung dengan Mathcad, diperoleh nilai

x = 43 −

41 ee81+ dan x =

43

+41 ee81+

Dari gambar, seluruh bidang berada di atas sumbu-X, sehingga luas bidang yang dicari,

L = ( )( )�++

+−

+−−

e

e

e8141

43

e8141

43

2x dx1x3x2e

= (ee − 32

x3 + 23

x2 − x)e

e

e8141

43

e8141

43

+−

++

= �

��

��

��

���

� ++−��

���

� +++��

���

� ++−++ e

2e

3ee81

41

43

e8141

43

e8141

43

23

e8141

43

32

ee

− �

��

��

��

���

� +−−��

���

� +−+��

���

� +−−+− e

2e

3ee81

41

43

e8141

43

e8141

43

23

e8141

43

32

ee

= 256,232 (satuan luas)

10 5 0 5 10

8.05

4.03

4.03

8.05

gx( )

h x( )

x

180

2. Persamaan gerak benda

Dalam ilmu fisika, jika a(t) percepatan benda pada saat t, maka persamaan kecepatan

pada saat t, v(t) = � dt)t(a , dan persamaan lintasan gerak benda, s(t) = � dt)t(v .

Contoh 30.

Sebuah benda bergerak dengan percepatan awal konstan 20 m/detik2. Hitunglah jarak

tempuh setelah 0,5 jam dari titik awal, jika pada saat akan bergerak berjarak 1 km dari titik

awal, dan kecepatan setelah 0,5 jam tersebut sama dengan 120 m/detik ?

Jawab :

Persamaan gerak benda, v(t) = � dt20 = 20t + K,

t = 0,5(jam) = 30(menit) = 1800(detik) v(t) :

v(1800) = 120(m/detik) = 20(1800) + K (m/detik) K=300

1 v(t) = 20t +

3001

Persamaan gerak lintasan, s(t) = � dt)t(v = � ��

���

� + dt300

1t20 = 10t2 +

3001

t + k,

t = 0 (detik) s(t) : s(0) = 1(km) = 1000(m) = 10(0)2 + 300

1(0) + k (m) k = 1000

t = 0,5(jam) = 1800(detik) s(t) :

s(1800) = 10(1800)2 + 300

1(1800) + 1000 (m) = 32.401.006 (m) = 32.401 (km)

Jarak tempuh setelah bergerak 0,5 jam, adalah 32.401 km.

181

3. Benda putar

Perhatikan Gambar V.3. Bangun-1 adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang

dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu-X, diputar, dengan sumbu putar

sumbu-X. Sedangkan bangun-2, adalah benda putar yang diperoleh, jika bidang yang

dibatasi oleh grafik y = f(x), garis x = a, dan y = d, diputar, dengan sumbu putar sumbu-Y.

Pada benda putar ini ada dua hal yang dapat dipelajari, yaitu luas selimut (L) dan volume

benda (V). Yang dimaksud dengan selimut benda putar, adalah bidang putar yang diperoleh

sebagai hasil pemutaran bagian grafik PQ. Tidak termasuk bidang-bidang lingkaran

penutupnya.

Jika LX dan VX, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-1 (benda

putar dengan sumbu putar sumbu-X), maka

LX = ( )� ′+πb

a

2 dx)x(f1)x(f2

dan

VX = �πb

a

dx)x(xf2

Q

P

Gambar V.3 Benda putar y = f(x)

(1) sumbu putar, X; (2) sumbu putar, Y

Y

X

y = f(x)

x = a x = b

2

y = d

1 y = c

182

Untuk menghitung luas selimut dan volume benda putar bangun-2 (benda putar dengan

sumbu putar sumbu-Y), dapat digunakan analoginya, dengan proses sebagai berikut

1. Ubah bentuk fungsi y = f(x) menjadi x = g(y).

2. Jika LY dan VY, masing-masing luas selimut dan volume benda putar bangun-2, maka

LY = ( )� ′+πd

c

2 dy)y(g1)y(g2

dan

VY = �πd

c

dy)y(yg2

Contoh 31

Hitung luas selimut dan volume benda putar, yang dibangun dengan memutar bagian grafik

fungsi y = x3, antara titik (0,0) dengan (2,4) !

Jawab :

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-X.

f(x) = x3 f′(x) = 3.x2

LX = ( )� +π2

0

223 dxx31x2 = � +π2

0

43 dxx91x2

Jika disubtitusikan u = 1 + 9x4 du = 36x3dx

x = 0 u = 1

x = 2 u = 145

sehingga luasnya :

LX = � +π2

0

43 dxx91x2 = �π145

1

duu361

2 =

145

1

121

u1

21

118

����

�

�

����

�

�

+

π + = 2

11

145272π

= 27

145290π (satuan luas)

10 6 2 2 6 10

6.44

3.22

3.22

6.44

9.66

f x( )

x

183

dan volumenya :

VX = �π2

0

3 dx)x(x2 = �π2

0

4dxx2 = 2

0

14x14

12 �

�

���

�

+π + =

52π

25 = 5

64π (satuan volume)

Jika diputar dengan sumbu putar sumbu-Y.

y = x3 x = 31

y = g(y) g′(y) = 32

y31 −

sehingga luas dan volumenya :

LY = � ���

����

�+π

−4

0

2

32

31

dyy31

1y2 = �−

+π4

0

34

31

dyy91

1y2 = �+π

4

0 34

34

31

dy

y9

1y9y2

= � +π4

0

34

31 dy 1y9

y3

12

Jika disubtitusikan u = 32

y du = 31

y32 −

= 31

y3

2dy

y = 0 u = 0

y = 4 u = ��

���

�

32

4 = 3 16

LY = � +π4

0

34

31 dy 1y9

y3

12 = � +π

3 16

0

2 du 1u9

Jika disubtitusikan u = 31

tg(w) du = 31

sec2(w)dw , w = arctg(3u)

u = 0 w = arcTg(0) = 0 (radial)

u = 3 16 w = arcTg(3 3 16 ) = 1,439 (radial)

Sehingga

184

LY = � +π3 16

0

2 du 1u9 = � +π439,1

0

22 dw)w(sec31

1)w(tg = �π 439,1

0

4 dw)w(sec3

= �+π 439,1

04

22

dw)w(cos

)w(cos)w(sin3

= �π 439,1

0

22 dw)w(sec)w(tg3

+ �π 439,1

0

2 dw)w(sec3

= �π 439,1

0

2 )}w(tg{d)w(tg3

+ �π 439,1

0

)}w(tg{d3

= 439,1

0

3 )w(tg31

3 ���

��π

+ { } 439,1

0)w(tg

3π

= { }3 16

0

3u39π

+ { }3 16

0u3

3π

= π48 + 3 16π = 2π(48 + 3 2 ) (satuan luas)

VY = �π4

0

31

dy)y(y2 = �π4

0

34

dyy2 =

4

0

134

y1

34

12

�

�

�

�

�

+π

+ = 3 74

76π

= 3 47

96π (satuan volume)

V.5. Menggunakan Mathcad untuk menghitung integral

Pada umumnya perhitungan integral tidak “lebih mudah” dari perhitungan diferensial.

Dalam perhitungan diferensial, bagaimanapun kompleksnya persamaan fungsi yang akan

didiferensialkan, masih dapat dilakukan secara “manual”. Hanya mungkin, memerlukan

waktu yang cukup lama. Biasanya makin kompleks bentuk fungsi yang akan

didiferensialkan, makin kompleks pula persamaan fungsi turunannya. Perhatikan saja

contoh pada IV.9.

Dalam perhitungan integral, jika semua metode integrasi seperti yang telah dipaparkan,

tidak dapat digunakan, maka cara yang “mudah” adalah dengan menggunakan paket

program Mathcad. Misalnya, menghitung dx)1x3log(

)2x3x2(3

2

� −+−

, yang proses perhitungan jika

menggunakan Mathcad, adalah

185

1. Jalankan program Mathcad

dan tutup RESOURCE CENTRE

186

2. Tulis persamaan fungsi integradnya.

3. Klik “pointer” integral tak tentu.

187

4. Pada “kotak hitam kecil” di depan huruf “d”, tulis “f(x)”, dan di belakangnya huruf “x”

5. Klik “pointer” → pada kotak Evaluate . . .

188

6. Klik di luar “kotak formulasi integrasi”

7. Hasil yang diperoleh

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )1x3ln

10ln21

x1x3ln

10ln1849

1x3ln

10ln31

x1x3ln

10ln23

dx)1x3log(

)2x3x2( 32

3

2

3

2

3

3

2

−+

−−

−+

−−=

−+−

�

( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )( )1x3ln,1Ei10ln

5411

1x3ln10ln

21

x1x3ln

10ln1849

1x3ln

10ln31

x1x3ln

10ln23 3

32

3

2

3

2

3

−−−−

+−

−−

+−

−

( )( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )3

33

2

332

32

2

3

x1x3ln

10ln3x

1x3ln

10ln1x3ln2,1Ei10ln

2710

x1x3ln

10ln3

14x

1x3ln

10ln6

11−

−−

−−−+−

+−

+

( ) ( )( ) K1x3ln3,1Ei10ln31 3 +−−−

Catatan : ibae)b,a(Ei += , 1i −=

189

V.6. Integral tak wajar

Yang dimaksud dengan integral tak wajar, adalah integral tentu dengan salah satu atau

kedua batas integralnya adalah bilangan tak hingga, ∞. Sehingga bentuk-bentuk integral tak

wajar adalah �∞−

b

dx)x(f , �∞

adx)x(f , �

∞

∞−dx)x(f . Deskripsinya sama dengan nilai limit, jika

salah satu atau kedua batas integral limitnya ∞.

�∞−

b

dx)x(f = �−∞→

b

aadx)x(fLim , �

∞

adx)x(f = �

∞→

b

abdx)x(fLim , �

∞

∞−dx)x(f = �

∞→−∞→

b

abadx)x(fLimLim

Contoh 32

Hitunglah �����

�

�

����

�

�

−π

∞−

21

dxx

x1

Cos

x1

Sin

Jawab :

�����

�

�

����

�

�

−π

∞−

21

dxx

x1

Cos

x1

Sin = �����

�

�

����

�

�

−π

−∞→

21

aadx

xx1

Cos

x1

SinLim = �

π

−∞→

21

aadx

x1

SinLim − �

π

−∞→

21

aadx

xx1

CosLim

= ����

�

�

����

�

�

� −−ππ

∞→

21

a

21

aa

dxx

x1

Cos

x1

xSinLim − �

π

−∞→

21

aadx

xx1

CosLim

= ����

�

�

����

�

�

−π

π−∞→ a

1aSin

211

Sin21

Lima

+ �

π

−∞→

21

aadx

xx1

CosLim − �

π

−∞→

21

aadx

xx1

CosLim

= π

π 2Sin

21

− a1

aSinLima −∞→

= π

π 2Sin

21

−

a1

a1

SinLima −∞→

= π

π 2Sin

21

−

a1

a1

SinLim

0a1→

= π

π 2Sin

21

− 1

190

Integral tak wajar sering digunakan dalam teori Statistika, misalnya pada deskripsi

fungsi distribusi peluang.

Definisi

Fungsi y = f(x) disebut fungsi distribusi peluang, jika

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1, untuk setiap nilai x, −∞ < x < ∞

2. �∞

∞−dx)x(f = 1

Contoh 32

Telaah apakah fungsi f(x) = ( )

2

2

a2bx

e

2a1 −−

π , dengan a , b konstanta, dan a > 1; merupakan

fungsi distribusi peluang ?

Jawab :

1. ( )

2

2

a2

bx

e2a

1 −−

π =

( )2

2

a2

bx

e

2a1

−

π

Karena π2a

1 < 1 , dan

( )2

2

a2bx

e−

> 1, maka ( )

2

2

a2

bx

e

2a1

−

π < 1.

( )

2

2

a2

bx

xe

2a1

Lim−−

−∞→ π =

( )2

2

a2

bx

xe

2a1

Lim−−

∞→ π =

( )2

2

a2

b

e2a

1 −∞−

π = ∞−

πe

2a1

= 0

Sehingga 0 < ( )

2

2

a2bx

e

2a1 −−

π< 1 , untuk setiap nilai x

2. ( )

�π

∞

∞−

−−dxe

2a1 2

2

a2

bx

= π2a

1 ( )

�∞

∞−

−−dxe 2

2

a2

bx

= π2a

1�∞

∞−

���

����

� −−dxe

2

2a

bx

Jika disubtitusikan, y = 2abx −

dy = 2a

1dx dx = 2a dy.

Sehingga ( )

�π

∞

∞−

−−dxe

2a1 2

2

a2

bx

= π2a

1�∞

∞−

− dy2ae2y =

π1

�∞

∞−

− dye2y

191

Jika dimisalkan, �∞

∞−

− dye2y = c, maka c2 =

2y dye

2

��

���

��∞

∞−

− = � �∞

∞−

∞

∞−

+− dydze )zy( 22

. Sehingga jika

dihitung dalam koordinat polar, dengan mensubtitusikan y = r Cos θ dan z = r Sin θ,

maka

c2 = � �∞

∞−

∞

∞−

+− dydze )zy( 22

= � � θπ ∞

−2

0 0

r rdrde2

= � �

���

��

π ∞−

2

0 0

r drdre2

= � �

�

�

��

�

�−

π ∞−

2

0 0

r de21 2

= ( )� ��

�� −−

π−∞−

2

0

0 dee21 22

= � θπ2

0d

21

= ( )πθ 2

021

= π c = �∞

∞−

− dye2y = π

Sehingga, ( )

�π

∞

∞−

−−dxe

2a1 2

2

a2

bx

= π

1�∞

∞−

− dye2y =

π1 π = 1

Jadi f(x) = ( )

2

2

a2bx

e2a1 −−

π merupakan fungsi distribusi peluang.

Contoh 33

Perhatikan fungsi yang didefinisikan seperti di bawah ini

f(x) =

��

<<∞∞<<

−

0 x - jika , 0konstanta : c ; x 0 jika , cxe

x21

Tentukan c agar f(x) merupakan fungsi distribusi peluang !

Jawab

1. 0 ≤ f(x) ≤ 1

karena 0 < xx

21

e−

< 1, maka 0 ≤ c ≤ x

21

xe

1−

2. �∞

∞−dx)x(f = �

∞−

0

dx0 + �∞ −

0

x21

dxcxe = �∞ −

0

x21

dxcxe = 1

�−a

0

x21

dxcxe = �−a

0

x21

dxxec = ��

�

�

��

�

�� −−−

−− a

0

x21a

0

x21

dxe2)e2(xc

192

= ���

����

��+−−

−−− a

0

x21

021

a21

dxe2)e0ae(2c =��

�

�

��

�

�−+−

−−a

0

x21

a21

e2(2ae2c

= ���

����

�−−−

−−−)ee(4ae2c

021

a21

a21

= ���

����

�+−−

−−4e4ae2c

a21

a21

�∞ −

0

x21

dxcxe = ���

����

�+−−

−−

∞→)4e4ae2cLim

a21

a21

a= 4LimceLimc4aeLimc2

a

a21

a

a21

a ∞→

−

∞→

−

∞→+−−

= −2c(0) − 4c(0) + c(4) = 1 c = 41

SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN

1. Hitunglah � dx)x(f , jika f(x) =

a. 5x6x2

3x22 +−

− b. ( )

( )1x32 e

1x2x3ln1x3 −

+−−

c. (2x3 − 3x2)Sin(x4)

d. ( )3x2Cos5xxx

1x2x323

2

−−+−

+− e.

25x3

3x22 −−

f. x2xx65x2x3

23

2

−++−

g. 2x

x2x3x 34

−+−

h. (3x2 − 4x +1)Tg(x3 − 2x2 + x − 5) i. 22 ax

ax

−−

j. Cos x Cos3 (x − 3) k. (2x3 − 3x2 − x +5) Cos2 (2x + 3) l. e2xlog3x

2. Hitunglah nilai integral tentu di bawah ini

a. � +−−π

π−

41

21

22 dx)1x3x(Sin)3x2( b. � +−π

π−

61

31

2 dx)1x2x(Cos

c. � +−+−

−

7

52

4

dx1x3x21x3x2

d. �−+−π

π−

21

21

2

dx1x21xx

e. � −−9

2

2 dx)2x3x2log(

193

f. � −π

π−

−61

31

)3x2(Sin dx)3x2(Cose g. � −−−

−

61

2

2

dx1x3

)1x2x3ln( h. � +−

−−

6

32 dx

3x5x23x2

i. �π−

−π−π

π−

61

31

dx)

31

x2(Sin

)x265

(Cos1 j. �

+−−

π

π−

61

31 2

3

dx1x4x3

1x3 k. � +

π

π−

−61

31

)1x2( dx)1xln(e

3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi y = f(x) dengan y = g(x), jika

a. 1x3x2)x(g

31

1x21

)x(f

2 +−=

+= b.

x926

x31

)x(g

)1xlog()x(f

2 −=

+= c.

1x3x2)x(g

1x2x)x(f2

2

+−=

−+−=

d. 2

3

x2)x(g

2x)x(f

=

+= e.

2xln()x(ge)x(f )1x2(

+== −

f. 1x2)x(gx4)x(f 2

−=−=

4. Kecepatan aliran darah sepanjang pembuluhnya, memiliki persamaan

v = K(R2 − r2)

dengan

K : konstanta, yang menyatakan kecepatan maksimum aliran darah

R : konstanta, yang menyatakan jari-jari pembuluh darah

r, konstanta, yang menyatakan jarak sel darah khusus ke pusat pembuluh darah.

Laju kecepatan (rate) aliran darah, dapat dihitung dengan mengukur volume darah yang

melewati titik ukur, dalam periode waktu tertentu. Volume tersebut dapat

diformulasikan dalam persamaan

� π=R

0dr vr2V

π : bilangan irasional

a. Hitunglah V, jika R = 0,30 cm dan v = (0,30 − 3,33r2) cm/detik !

b. Tentukan formulasi umum dari V !

194

5. Laju produksi dari sebuah produk baru, mengikuti model ���

����

�

++= 2)401(

4001200

dtdx

x : banyak item produk, dalam 100 unit

t : waktu produksi, dalam satuan minggu

a. Hitunglah total produk dalam lima minggu pertama ! Berapakah totalnya dalam

selang waktu 10 minggu ?

b. Jika laju penurunan produksi, diformulasikan oleh persamaan

D’(t) = 3000(20 − t)

0 ≤ t ≤ 20, selang waktu produkasi, dalam satuan tahun

Maka hitunglah total penurunan produksi untuk 10 tahun pertama ! Berapakah

totalnya untuk 10 tahun berikutnya ?

c. Jika laju penjualan produk tersebut, memiliki model dengan persamaan

S’(t) = −3t2 + 300t

0 ≤ t ≤ 30 : selang waktu penjualan setelah promosi selesai dilakukan, dalam satuan

hari

Maka hitunglah total penjualan untuk satu minggu pertama, setelah selesai promosi,

dan satu minggu berikutnya. Jika total penjualan pada saat promosi selesai, adalah

500 unit.

6. Total penjualan harian sebuah produk, memiliki model 100xe100S2x += − , x : hari-hari

penjualan, setelah promosi produk dimulai. Hitunglah rata-rata penjualan harian,

selama 20 hari pertama promosi ! Jika tidak ada promosi baru, maka hitunglah rata-rata

penjualan harian untuk 10 hari berikutnya !

7. Hitunglah integral tak wajar di bawah ini

a. ( )�+

∞

∞−dx

1x

x22

b. �∞

∞−dx

e

x4x

3

c. �−

−

∞−

2

2dx

1x

x

195

d. ( )�+

∞

∞−dx

3x

x24

3

e. �∞−

0

x

2

dxe

x3 f. �

∞

∞−

− dxex5x4

8. Hitunglah c agar

a. � =∞

0t5,0 1dt

ec

b. ( ) 2dx1x

cx10

22

3

=�+

∞ c. 5dx

xx1

1=�

∞

9. Hitunglah luas daerah di bawah lengkungan y = f(x), dan di sebelah kanan sumbu x = 1,

jika

a. 3xe

x)x(f = b. f(x) = log x c. f(x) = ex d.

1x1x

)x(f−+=

10. Misalkan laju kemampuan reaktor nuklir untuk membuat produk beradioaktif,

proporsional dengan lama beroperasinya reaktor tersebut. Jika laju tersebut memiliki

model f(t) = 500 t, t : waktu dalam satuan tahun. Dan laju penurunan kemampuan,

membangun model eksponensial dengan rata-rata 3% pertahun, maka perkiraan

akumulasi produk selama b tahun, akan memiliki model dtte500b

0

)tb(03,0�

−− .

a. Hitunglah formulasi untuk perkiraan akumulasi tersebut !

b. Berapakah akumulasi produk selama reaktor berfungsi ?

11. Untuk fungsi-fungsi di bawah ini, manakah yang merupakan distribusi peluang ?

a. 1x

x)x(f

+= , x ≥ 0 b.

x21

e21

)x(f−

= , −∞ < x < ∞

c.

�

�<<=

lainnya yanguntuk , 0

3 x 3- , 18x

)x(f

2

d.

�� <<+

=lainnya yanguntuk , 0

4 x 2- , 18

2x)x(f

196

12. Hitunglah luas selimut dan volume benda putar, yang diperoleh dari hasil memutar

bidang yang dibatasi oleh

a. X = 2 , Y = X3 , X = 5 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-X

b. Y = 2X2 − 3X + 1 , Y = −3X2 + 2X + 1 , jika diputar dengan sumbu putar, sumbu-Y

13. Selesaikan formulasi integrasi di bawah ini

a. � dx x2Sec x 2 b. �

π43

0

3 dx x Cosx Sin c. �

π

π

43

31

32 dx xTg x

d. � +dx

xTg3xSec3

e. � dx2x Cotg2x Cosec f. �

π31

0dx x Tg x Sec x

g. �ππ1

0dx x

4 Tg x

4 Sec h. ( )�

π21

0dx 2x)Sin -2x Cos i. � dx (Sin x)ln x Cos

14. Hasil penjualan produk AC secara obralan, dari sebuah toko elektronik, memiliki model

100 t6

Cos 200)t(P +π=

t : bilangan bulan

a. Bangun tabel hasil penjualan untuk 0 ≤ t ≤ 12 !

b. Berdasarkan nilai-nilai dari tabel tersebut, gambarkan grafik hasil penjualan !

c. Tentukan periode waktu yang menyebabkan toko akan kehilangan hasil penjualan !

15. Laju produksi sebuah komoditi menurut waktu produksi, memiliki model

( ) ���

����

�

++= 240t

4001200

dtdx

x : banyak item barang, t : waktu produksi (dalam mingguan)

a. Jika pda saat t = 0 , x = 0, maka sajikan persamaan yang menyatakan total produksi

sepanjang wktu t !

b. Hitunglah total produksi selama lima minggu !

197

16. Bumi hanya memiliki sekitar 10 juta are, lahan yang baik untuk dijadikan daerah

pertanian. Dan populasi penduduk bumi terbatas. Jika populasi penduduk terbatas pada

40 juta jiwa, dan laju pertumbuhannya proporsional dengan “kapan dunia berakhir”,

yang merupakan batas atas waktu kehidupan dan penghidupan. Sehingga laju

pertumbuhan penduduk dapat diformulasikan dengan persamaan

)P40(KdtdP −=

K : konstanta positif.

Formulasi tersebut identik dengan � −= dP

P401

K1

t

a. Sajikan formulasi persamaan t atas P !

b. Gunakan sifat hubungan fungsi logaritma dengan eksponensial, untuk membangun

persamaan P atas t !

17. Sebuah partikel bergerak lurus dengan persamaan percepatannya, 2tte)t(a =

t : waktu, dalam detik

Hitunglah kecepatan dan jarak tempuh, setelah partikel bergerak

a. 0,5 menit b. 50 detik c. 0,5 jam d. 1 menit 25 detik

18. Dalam ilmu statistika, salah satu konsepsi yang sering digunakan adalah ekspektasi

matematis, E[f(x)]. Jika x variabel acak yang memiliki fungsi distribusi peluang p(x),

dan f(x) fungsi atas x. Maka �=∞

∞−dx )x(p )x(f)]x(f[E , jika nilainya ada dan berhingga.

Jika x memiliki fungsi distribusi peluang

�� <<+

=lainnya yanguntuk , 0

4 x 2- , 18

2x)x(p , maka

hitungalah E[f(x)], jika f(x) =

a. x b. (x + 2)3 c. 6x − 2(x + 2)2 d. x − E[x]