metode newton termodifikasi untuk pencarian akar...

i

METODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN

AKAR PERSAMAAN NONLINEAR

Tugas Akhir

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh:

Juliani Sihotang

NIM: 123114006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

A MODIFIED NEWTON’S METHOD FOR FINDING ROOTS

OF NONLINEAR EQUATIONS

FINAL ASSIGNMENT

Presented as a Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains

Mathematics Study Program

Written by:

Juliani Sihotang

Student ID: 123114006

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2017


v

HALAMAN PERSEMBAHAN

Memperoleh hikmat sungguh jauh melebihi memperoleh

emas, dan mendapat pengertian jauh lebih berharga

dari pada mendapat perak”

~ Amsal 16:16 ~

Tugas akhir ini ku persembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus

Ayahku, Kiman Sihotang

Ibuku, Lasmaria Pandiangan

Orang-orang terkasih


vii

ABSTRAK

Metode Newton termodifikasi adalah suatu metode pencarian akar dari

fungsi dengan satu variabel bebas yang didasarkan pada prinsip iterasi metode

Newton standar. Metode Newton (baik yang versi standar ataupun yang

termodifikasi) adalah suatu iterasi pendekatan fungsi tak linear dengan hampiran

linear. Metode Newton termodifikasi lebih cepat konvergen dibandingkan dengan

metode Newton standar. Sebagai catatan, tingkat konvergensi metode Newton

termodifikasi dan metode Newton standar secara berturut-turut adalah √ dan 2.

Metode Newton termodifikasi relatif sederhana dan robust. Hasil percobaan

menunjukkan bahwa jumlah iterasi dari metode Newton termodifikasi lebih

sedikit bila dibandingkan dengan metode Newton standar. Akan tetapi, satu kali

iterasi metode Newton termodifikasi membutuhkan waktu lebih lama, karena

metode Newton termodifikasi melakukan proses perhitungan yang lebih banyak.

Masalah aliran steady air dangkal telah diselesaikan dengan menggunakan

metode Newton termodifikasi. Dalam hal memecahkan masalah pencarian akar,

terlihat bahwa metode Newton termodifikasi lebih baik dari pada metode biseksi

dan metode Newton standar. Metode Newton termodifikasi memberikan cara

alternatif untuk mendapatkan akar fungsi nonlinear.


viii

ABSTRACT

Modified Newton’s method is a root finding method of a function with one

independent variable, based on the principal of standard Newton’s method

iteration. The Newton’s method (either the standard version or modified) iteration

is an approximation of nonlinear function by linear function. The modified

Newton’s method converges faster compared to the standard Newton’s method.

As a note, the convergence order of the modified Newton’s method and standard

Newton’s method are √ and 2 respectively.

Modified Newton’s method is relatively simple and robust. Numerical

examples show that the iteration number of the modified Newton’s method is less

than standard Newton’s method. However, one iteration of the modified Newton’s

method needs more time, because the process of this method does more

calculations.

The steady flow problem has been solved using the modified Newton’s

method. In terms of solving the problem of finding roots, it appears that the

modified Newton's method is better than the bisection method and standard

Newton’s method. The modified Newton’s method give an alternative way to get

the roots of a nonlinear function.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat

yang diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini.

Tugas akhir ini dibuat sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.

Banyak tantangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan

penyertaan Tuhan serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya tugas akhir ini

dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku Dekan Fakultas

Sains dan Teknologi, sekaligus selaku dosen pembimbing yang dengan

sabar dan penuh antusias dalam membimbing selama proses penulisan

tugas akhir ini.

2. Bapak Y. G Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Kepala Program Studi

Matematika.

3. Bapak dan Ibu Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan

ilmu yang sangat bermanfaat bagi penulis.

4. Kedua orang tuaku, Kiman Sihotang dan Lasmaria Pandiangan, serta

kedua kakakku Romauli Sihotang, Priskila Sihotang, dan adikku Legina

Sihotang yang selalu mendukungku dengan penuh kasih dan memberikan

masukkan positif kepadaku.

5. Saudara dan saudariku komsel Area Sanata Dharma yang telah

memberikan semangat dan dukungan kepadaku dengan penuh kasih.


xii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... v

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ......................................... vi

ABSTRAK .......................................................................................................... vii

ABSTRACT ....................................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... ix

KATA PENGANTAR .......................................................................................... x

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. Latar Belakang Masalah ............................................................................ 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................... 4

C. Batasan Masalah ....................................................................................... 4

D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 4

E. Metode Penulisan ..................................................................................... 4

F. Manfaat Penulisan .................................................................................... 5


xiii

G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 5

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................. 7

A. Metode Newton ......................................................................................... 7

B. Tingkat Konvergensi Metode Newton .................................................... 10

C. Analisis Galat Metode Newton ............................................................... 12

D. Persamaan Diferensial ............................................................................. 13

E. Integral .................................................................................................... 18

F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin .......................................................... 22

G. Konvergensi Deret Taylor ....................................................................... 23

BAB III METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH

PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA ................... 29

A. Metode Newton Termodifikasi ............................................................... 29

B. Aliran Steady Air Dangkal ...................................................................... 39

C. Hasil Numeris ......................................................................................... 44

BAB IV KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI ........ 47

A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi .......................................... 47

B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal............................................... 48

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 51

A. Kesimpulan ............................................................................................ 51

B. Saran ........................................................................................................ 52


xiv

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 53

LAMPIRAN ....................................................................................................... 54


1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dijelaskan latar belakang, rumusan dan pembatasan

masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, serta sistema-

tika penulisan tugas akhir ini.

A. Latar Belakang

Masalah di dunia nyata dapat dimodelkan ke dalam suatu persamaan atau

sistem persamaan matematika. Penyelesaiannya dapat berupa penyelesaian ana-

litis maupun bukan analitis.

Untuk penyelesaian analitis, model matematika diselesaikan

menggunakan teori dan analisa matematika yang telah ada sedemikian rupa se-

hingga hasil yang diperoleh adalah penyelesaian eksak. Sedangkan untuk

penyelesaian bukan analitis, penyelesaian dari model matematika tersebut di-

peroleh dengan menggunakan metode pendekatan yang dikembangkan untuk

menangani model matematika tersebut sedemikian rupa sehingga penyelesaian

yang diperoleh adalah penyelesaian pendekatan. Dengan demikian,

penyelesaian tersebut bukan penyelesaian eksak. Metode pendekatan tersebut

selanjutnya disebut metode numerik.

Metode numerik adalah suatu teknik penyelesaian yang diformulasikan

secara matematis dengan cara operasi hitungan atau aritmatika dan dilakukan


2

secara iteratif dengan bantuan komputer atau secara manual. Analisis suatu ma-

salah yang didekati dengan menggunakan metode numerik umumnya melibat-

kan angka-angka dalam jumlah banyak dan melewati proses perhitungan ma-

tematika yang cukup rumit.

Dalam analisis numerik, metode Newton standar yang juga dikenal se-

bagai metode Newton-Raphson merupakan salah satu metode yang dikenal un-

tuk mencari hampiran terhadap akar fungsi real. Metode Newton standar yang

dibahas dalam tugas akhir ini adalah metode untuk mencari akar persamaan non-

linear 𝑓(𝑥) = 0 dengan satu titik 𝑥0 sebagai kondisi awalnya dan fungsi 𝑓(𝑥)

mempunyai turunan pertama. Metode ini dianggap lebih mudah dari metode

biseksi karena metode ini menggunakan pendekatan satu titik sebagai titik awal.

Semakin dekat titik awal yang kita pilih dengan akar sebenarnya, maka metode

Newton standar semakin cepat konvergen ke akarnya.

Metode Newton standar dapat dijelaskan secara geometris seperti tampak

pada Gambar 1 dan penjabarannya sebagai berikut. Dimulai dengan menetukan

𝑥0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus (misal garis l) yang me-

nyinggung grafik fungsi f di titik (𝑥0, 𝑓(𝑥0)). Garis l memotong sumbu x dititik

𝑥1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tapi sekarang 𝑥1 dianggap sebagai

titik awalnya. Dengan mengulang langkah ini akan diperoleh titik-titik

𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 dengan 𝑥𝑛 adalah bilangan real yang merupakan akar atau

mendekati akar sebenarnya.


3

Gambar 1.1: Ilustrasi iterasi metode Newton standar.

Misalkan fungsi f mempunyai turunan pertama 𝑓′. Barisan 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, …

diperoleh dari iterasi

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛), untuk 𝑛 = 0,1,2 … (1)

Metode Newton standar di atas mempunyai tingkat konvergensi dua (kua-

dratik).Dalam perkembangannya, pada tahun 2014, metode ini telah dimodifi-

kasi sehingga diperoleh metode dengan tingkat konvergensi lebih tinggi yang

disebut metode Newton termodifikasi. Iterasi untuk metode Newton termodifi-

kasi adalah:

𝑥𝑘∗ = 𝑥𝑘 −

𝑓(𝑥𝑘)

𝑓′(12[𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−1

∗ ]), (2)

𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 −𝑓(𝑥𝑘)

𝑓′[12(𝑥𝑘 + 𝑥𝑘

∗)]

(3)

dengan 𝑥𝑘∗ adalah iterasi ke-𝑘, untuk 𝑘 = 1,2,3, … .


4

Penelitian ini akan membandingkan hasil perhitungan yang diperoleh dari

metode Newton standar dengan metode Newton termodifikasi.

B. Rumusan Masalah

Perumusan masalah yang akan dibicarakan pada tugas akhir ini adalah:

1. Bagaimana cara mengonstruksi metode Newton standar?

2. Bagaimana cara mengonstruksi metode Newton termodifikasi?

3. Bagaimana menerapkan metode Newton termodifikasi dalam masalah

dinamika fluida?

C. Batasan Masalah

Pembahasan masalah dalam tugas akhir ini akan dibatasi pada metode

Newton standar dan metode Newton termodifikasi untuk mencari akar real suatu

persamaan.

D. Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan tugas akhir ini adalah untuk memodifikasi metode New-

ton standar sehingga menghasilkan metode numeris yang lebih akurat.

E. Metode Penulisan

Metode yang digunakan penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah:

1. Metode studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku-buku

atau jurnal-jurnal yang berkaitan dengan metode Newton standar, dan


5

2. Simulasi numeris, yaitu dengan menggunakan komputer, akan dicari akar

real suatu persamaan.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat yang dapat diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah kita

dapat mengetahui suatu metode yang mirip dengan metode Newton standar

yang disebut metode Newton termodifikasi yang hasilnya lebih akurat daripada

hasil dari metode Newton standar.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan

E. Metode Penulisan

F. Manfaat Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II LANDASAN TEORI

A. Metode Newton

B. Tingkat Konvergensi Metode Newton

C. Analisis Galat Metode Newton


6

D. Persamaan Diferensial

E. Integral

F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin

G. Konvergensi Deret Taylor

BAB III METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH

PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA

A. Metode Newton Termodifikasi

B. Aliran Steady Air Dangkal

C. Hasil Numeris

BAB IV KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI

A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi

B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA


7

BAB II

LANDASAN TEORI

Landasan teori tugas akhir ditulis dalam bab ini. Landasan teori tersebut

meliputi: metode Newton, konvergensi metode Newton, analisis galat metode

Newton standar, persamaan diferensial, integral, deret Taylor dan deret Maclaurin,

dan konvergensi deret Taylor.

A. Metode Newton

Pada bagian ini dibahas mengenai metode Newton standar yang meliputi

definisi dan contoh dari metode Newton standar tersebut.

Definisi 2.1

Metode Newton standar adalah salah satu metode numerik yang dapat

digunakan untuk menentukan akar (solusi) dari suatu persamaan 𝑓(𝑥) = 0. Dengan

f dapat dideferensialkan sehingga grafik 𝑦 = 𝑓(𝑥) mempunyai sebuah garis

singgung pada setiap titik. Jika dapat ditentukan hampiran pertama 𝑥1 untuk sebuah

akar 𝑟 yang diperoleh dengan cara menerka atau dari sketsa kasar grafik 𝑓, maka

hampiran 𝑥2 yang lebih mendekati akar 𝑟 diperoleh dari perpotongan garis

singgung di (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) dengan sumbu 𝑥. Dengan menggunakan 𝑥2 sebagai sebuah

hampiran, maka dapat ditentukan hampiran 𝑥3 yang lebih mendekati lagi dan

seterusnya. Proses tersebut dapat dirumuskan dengan mengingat persamaan garis

singgung di (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) adalah


8

𝑦 − 𝑓(𝑥1) = 𝑓′(𝑥1)(𝑥 − 𝑥1) dan titik potong sumbu 𝑥 di 𝑥2 dapat ditentukan

dengan 𝑦 = 0 dan 𝑓(𝑥1) ≠ 0 maka diperoleh

0 − 𝑓(𝑥1) = 𝑓′(𝑥1)(𝑥 − 𝑥1),

atau

𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)

𝑓′(𝑥1).

Lalu 𝑥2 digunakan untuk hampiran kedua untuk menghampiri 𝑟, yang akan

menghasilkan hampiran ketiga. Jika terus mengulang proses iterasi maka akan

diperoleh barisan 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … . Umumnya, jika hampiran ke-𝑛 adalah 𝑥𝑛 dan

𝑓(𝑥𝑛) ≠ 0, maka diperoleh skema untuk metode Newton standar yaitu


𝑓′(𝑥𝑛),

dengan 𝑛 = 0,1,2,3, … .

Untuk menghentikan proses iterasi, misalkan toleransi kesalahan 𝜀 > 0 sehingga

|𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1| < 𝜀 atau |𝑓(𝑥𝑛)| < 𝜀.

Contoh 2.1

Gunakan metode Newton standar untuk menentukan akar real 𝑟 dari 𝑓(𝑥) =

𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 − 1 dengan ketelitian sampai lima tempat desimal (dengan 𝜀 =

0.00001).

Penyelesaian :

Misal 𝑥0 =1 sebagai hampiran pertama untuk 𝑟. Dipandang

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 − 1,

maka turunan pertamanya adalah


9

𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 9𝑥2 − 8𝑥.

Menggunakan rumus iterasi Newton standar


𝑓′(𝑥𝑛),

diperoleh

𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑥𝑛

4 + 3𝑥𝑛3 − 4𝑥𝑛

2 − 1

4𝑥𝑛3 + 9𝑥𝑛

2 − 8𝑥𝑛

.

Hasil iterasi Newton standar untuk 𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4 adalah sebagai berikut:

Untuk 𝑛 = 0, maka

𝑥1 = 1 −14 + 3(1)3 − 4(1)2 − 1

4(1)3 + 9(1)2 − 8(1)= 1.2,

sehingga

|𝑓(1.2)| = |0.4976| = 0.4976.


𝑥2 = 1.2 −(1.2)4 + 3(1.2)3 − 4(1.2)2 − 1

4(1.2)3 + 9(1.2)2 − 8(1.2)= 1.15156,

sehingga

|𝑓(1.15156)| = |0.03537| = 0.03537.


𝑥3 = 1.15156 −(1.15156)4 + 3(1.15156)3 − 4(1.15156)2 − 1

4(1.15156)3 + 9(1.15156)2 − 8(1.15156)= 1.14857,

sehingga

|𝑓(1.14857)| = |0.00909| = 0.00909.



10

𝑥4 = 1.14857 −(1.14857)4 + 3(1.14857)3 − 4(1.14857)2 − 1

4(1.14857)3 + 9(1.14857)2 − 8(1.14857)= 1.14753,

sehingga

|𝑓(1.14753)| = |0.00001| = 0.00001.


𝑥5 = 1.14753 −(1.14753)4 + 3(1.14753)3 − 4(1.14753)2 − 1

4(1.14753)3 + 9(1.14753)2 − 8(1.14753)= 1.14753,

sehingga

|𝑓(1.14753)| = |0.00001| = 0.00001.

Setelah melewati empat langkah, akan dijumpai lima digit pertama yang sama,

dengan |𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1| < 𝜀. Jadi akar yang diperoleh adalah 𝑥 = 1.14753 dengan

jumlah iterasi sebanyak 4 kali.

B. Tingkat Konvergensi Metode Newton

Akan dibahas tentang konvergensi dari metode Newton standar dan akan

ditunjukkan tingkat konvergensinya.

Definisi 2.2

Misalkan 𝑝0, 𝑝1, 𝑝2, … merupakan barisan yang konvergen ke- 𝑝, dan 𝑒𝑛 =

𝑝 − 𝑝𝑛 untuk 𝑛 = 0,1,2, … . Jika terdapat suatu bilangan 𝑅 > 0 dan konstanta 𝐶 ≠

0 sedemikian sehingga:

lim𝑛→∞

|𝑝 − 𝑝𝑛+1|

|𝑝 − 𝑝𝑛|𝑅= lim

𝑛→∞

|𝑒𝑛+1|

|𝑒𝑛|𝑅= 𝐶∗,

maka R disebut tingkat konvergensi dari barisan itu.


11

Catatan: Jika 𝑅 = 1, maka barisan disebut konvergen secara linear.

Jika 𝑅 > 1, maka barisan disebut konvergen secara superlinear.

Jika 𝑅 = 2, maka barisan disebut konvergen secara kuadratik.

Jika 𝑅 = 3, maka barisan disebut konvergen secara kubik.

Misalkan 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … mendekati 𝑥∗, maka

a. Tingkat konvergensinya paling tidak adalah linear.

Jika berlaku

|𝑥𝑛+1 − 𝑥∗| ≤ 𝐶|𝑥𝑛 − 𝑥∗|,

untuk suatu 0 < 𝐶 < 1 dan suatu bilangan bulat 𝑁 dengan 𝑛 ≥ 𝑁.

b. Tingkat konvergensi paling tidak adalah superlinear.

Jika terdapat barisan {𝑝𝑛} → 0 dan bilangan bulat 𝑁 dengan 𝑛 ≥ 𝑁 sehingga

berlaku

|𝑥𝑛+1 − 𝑥∗| ≤ 𝑝𝑛|𝑥𝑛 − 𝑥∗|.

c. Tingkat konvergensi paling tidak adalah kuadratik.

Jika terdapat bilangan bulat 𝑁 dengan 𝑛 ≥ 𝑁 dan konstanta positif 𝐶 (tidak harus

< 1) sehingga berlaku

|𝑥𝑛+1 − 𝑥∗| ≤ 𝐶|𝑥𝑛 − 𝑥∗|2.

Barisan {𝑥𝑘}𝑘=0∞ dapat dipandang sebagai suatu barisan yang memenuhi

Definisi 2.2. Misalkan 𝑥𝑟 akar sesungguhnya dari persamaan tak linear 𝑓(𝑥), maka

barisan itu konvergen ke 𝑥𝑟.


12

C. Analisis Galat Metode Newton

Bagaimanakah galat metode Newton standar berubah dari satu langkah ke

langkah berikutnya?. Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret

Taylor, rumus galat dalam penurunan rumus turunan numeris tersebut dapat

langsung diperoleh. Tetapi dengan polinom interpolasi harus dicari rumus

galat tersebut dengan bantuan deret Taylor.

Contoh 2.2

Tentukan rumus galat dan tingkat keakuratan dari rumus metode Newton standar :


𝑓′(𝑥𝑛)

Penyelesaian:

Misalkan 𝑒𝑛 = 𝑟 − 𝑥𝑛

dengan 𝑟 adalah akar eksak dan 𝑥𝑛 adalah hampiran 𝑟 pada langkah ke- 𝑛.

maka:

𝑒𝑛+1 = 𝑟 − 𝑥𝑛+1,

= 𝑟 − (𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛)),

= 𝑟 − 𝑥𝑛 +𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛),

= 𝑒𝑛 +𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛),

=𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) + 𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛).

Dengan deret Taylor menghasilkan :


13

0 = 𝑓(𝑟) = 𝑓(𝑥𝑛 + 𝑒𝑛),

= 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛2

𝑓′′(𝑥𝑛)

2!+ ⋯

= 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛2

𝑓′′(𝜉𝑛)

2!+ ⋯ untuk 𝑥𝑛 ≤ 𝜉 ≤ 𝑟

𝑓(𝑟) = 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛2

𝑓′′(𝜉𝑛)

2,

diperoleh

𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) = −1

2𝑒𝑛

2𝑓′′(𝜉𝑛).

Dari persamaan 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛)+𝑓(𝑥𝑛)

𝑓′(𝑥𝑛) dan 𝑓(𝑥𝑛) + 𝑒𝑛𝑓′(𝑥𝑛) = −

1

2𝑒𝑛

2𝑓′′(𝜉𝑛) menjadi

𝑒𝑛+1 = −𝑓′′(𝜉𝑛)𝑒𝑛

2

2𝑓′(𝑥𝑛)≈ −

𝑓′′(𝑟)𝑒𝑛2

2𝑓′(𝑟)= 𝐶𝑒𝑛

2,

untuk 𝑥𝑛 yang cukup dekat dengan 𝑟.

Karena 𝑒𝑛+1 ≈ 𝐶𝑒𝑛2 . Disimpulkan bahwa metode Newton standar konvergen

secara kuadratik untuk 𝑥𝑛 yang cukup dekat dengan 𝑟. Dengan kata lain, tingkat

keakuratan metode Newton standar adalah tingkat dua.

D. Persamaan Diferensial

Berikut ini dibahas tentang persamaan diferensial. Persamaan diferensial

yang dibahas meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan

diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, kelinearan suatu persamaan

diferensial, dan aturan rantai.


14

Definisi 2.4

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang melibatkan variabel-

variabel tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas.

Contoh 2.3

Persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial:

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 0, (2.4)

𝑑5𝑥

𝑑𝑡5+ 6 (

𝑑𝑥

𝑑𝑡)

4

= cos (𝑡), (2.5)

𝜕𝑢

𝜕𝑠+

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 0, (2.6)

𝜕2𝑠

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑠

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑠

𝜕𝑧2= 0. (2.7)

Definisi 2.5

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan

turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

Contoh 2.4

Persamaan (2.4) dan (2.5) merupakan persamaan diferensial biasa. Pada

persamaan (2.4) variabel 𝑥 adalah suatu variabel bebas, dan variabel 𝑦 adalah

variabel tak bebas. Pada persamaan (2.5), variabel 𝑡 adalah variabel bebas, dengan

𝑥 adalah variabel tak bebasnya.


15

Definisi 2.6

Persamaan diferensial parsial merupakan persamaan diferensial yang

melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari

satu variabel bebas.

Contoh 2.5

Persamaan (2.6) dan (2.7) merupakan persamaan diferensial parsial. Pada

persamaan (2.6), variabel 𝑠 dan 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑢 adalah variabel tak

bebasnya. Pada persamaan (2.7) terdapat tiga variabel bebas yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧

dengan 𝑠 adalah variabel tak bebasnya.

Definisi 2.7

Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang

terkandung dalam persamaan diferensial.

Contoh 2.6

Persamaan diferensial biasa (2.4) adalah persamaan diferensial orde pertama,

karena tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan tersebut adalah satu.

Persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial biasa orde kelima. Persamaan (2.6)

termasuk persamaan diferensial parsial orde pertama. Persamaan (2.7) merupakan

persamaan diferensial parsial orde kedua.


16

Definisi 2.8

Suatu persamaan diferensial biasa orde ke- 𝑛

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛)) = 0,

dikatakan linear jika F merupakan suatu fungsi linear dari variabel

𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛); definisi yang sama juga berlaku untuk persamaan diferensial

parsial. Secara umum persamaan diferensial biasa linear orde 𝑛 dituliskan sebagai

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥), (2.8)

dengan 𝑎0 tidak sama dengan nol.

Di sini 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥, 𝑦′′ =

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 , … , 𝑦𝑛 =𝑑𝑛𝑦

𝑑𝑥𝑛.

Contoh 2.7

Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear. Pada kedua persamaan

berikut, variabel 𝑦 adalah variabel tak bebas. Perhatikan bahwa 𝑦 dan turunan-

turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari 𝑦 dan atau

turunan dari 𝑦:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 3

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 5𝑦 = 0, (2.9)

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 5𝑥4

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 2𝑥4

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 6𝑥. (2.10)

Definisi 2.8

Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk (2.8)

dinamakan persamaan diferensial biasa tak linear.


17

Contoh 2.7

Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear:

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4+ 6

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦3 = 0, (2.11)

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4+ 4 (

𝑑𝑦

𝑑𝑥)

5

+ 8𝑦 = 0, (2.12)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 9𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 7𝑦 = 0. (2.13)

Persamaan (2.11) tak linear karena variabel tak bebas 𝑦 terdapat pada orde

kedua dalam bentuk 6𝑦3. Persamaan (2.12) juga tak linear karena terdapat bentuk

4 (𝑑𝑦

𝑑𝑥)

5

yang melibatkan pangkat lima pada turunan pertama. Persamaan (2.13) tak

linear karena pada bentuk 9𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥 melibatkan perkalian terhadap variabel bebas dan

turunan pertamanya.

Definisi 2.9

Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan

fungsi komposisi.

Aturan rantai kasus 1

Misal 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥). Jika 𝑔 dan 𝑓 adalah fungsi yang terdiferensial,

maka secara tidak langsung 𝑦 adalah fungsi terdiferensial dari 𝑥 dan

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦

𝑑𝑢

𝑑𝑢

𝑑𝑥.


18

Aturan rantai kasus 2

Andaikan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah fungsi dari 𝑥 dan 𝑦 yang terdiferensial, dengan

𝑥 = 𝑔(𝑡) dan 𝑦 = ℎ(𝑡) keduanya fungsi dari 𝑡 yang terdiferensial. Maka 𝑧 adalah

fungsi dari 𝑡 yang terdiferensial dan

𝑑𝑧

𝑑𝑡=

𝜕𝑧

𝜕𝑥

𝑑𝑥

𝑑𝑡+

𝜕𝑧

𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑡.

E. Integral

Pada bagian ini dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan contoh

dari integral tertentu dan tak tentu.

Definisi 2.10

Jika diberikan suatu fungsi 𝑓(𝑥) pada suatu interval 𝐼 dan berlaku 𝐹′(𝑥) =

𝑓(𝑥), untuk suatu 𝐹(𝑥), maka 𝐹(𝑥) adalah suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥). Dengan

kata lain 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Contoh 2.8

Carilah suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 pada (−∞, ∞).

Penyelesaian:

Fungsi 𝐹(𝑥) = 5𝑥3 bukan anti turunannya karena turunan 5𝑥3 adalah 15𝑥2. Tetapi

hal ini menyarankan 𝐹(𝑥) =5

3𝑥3, yang memenuhi 𝐹′(𝑥) =

5

33𝑥2 = 5𝑥2. Dengan

demikian, suatu anti turunan dari 𝑓 adalah 5

3𝑥3.


19

Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … 𝑑𝑥. Notasi tersebut menunjukkan anti

turunan terhadap 𝑥. Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.

Teorema 2.1

Jika 𝑟 adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫ 𝑥𝑟 𝑑𝑥 =𝑥𝑟+1

𝑟 + 1+ 𝐶.

Bukti:

Untuk membuktikan

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶,

cukup dengan membuktikan

𝐷𝑥[𝐹(𝑥) + 𝐶] = 𝑓(𝑥).

Dalam hal ini,

𝐷𝑥 [𝑥𝑟+1

𝑟 + 1+ 𝐶] =

1

𝑟 + 1(𝑟 + 1)𝑥𝑟 = 𝑥𝑟 .

Teorema terbukti.

Integral Tentu

Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini. untuk mengaproksimasi luas dibawah

kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada selang [𝑎, 𝑏], dilakukan dengan cara aproksimasi yaitu

dengan membagi interval [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛 subinterval.


20

Gambar 2.1: Ilustrasi fungsi satu variabel.

Subinterval tersebut memiliki panjang yang sama yaitu 𝑏−𝑎

𝑛 untuk 𝑛 > 0. Setelah

membagi interval menjadi 𝑛 subinterval kemudian menghitung total jumlah luasan

dari masing-masing persegi panjang yang dibentuk oleh masing-masing subinterval

tersebut. Hal ini diperoleh dengan memilih 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dengan 𝑎 = 𝑥0, 𝑏 = 𝑥𝑛,

dan

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =𝑏 − 𝑎

𝑛,

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Andaikan panjang masing-masing subinterval yaitu 𝑏−𝑎

𝑛 dinotasikan dengan ∆𝑥,

maka

∆𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1.

𝑦

𝑥

𝑎 𝑏

𝑦 = 𝑓(𝑥)


21

Gambar 2.2: Ilustrasi pendekatan integral menggunakan jumlahan Riemann.

Luas daerah dibawah kurva diaproksimasikan dengan total luas daerah yang

dibentuk oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah

𝐴1 + 𝐴2 + ⋯ + 𝐴𝑛. Artinya total luas tersebut dapat ditulis

𝑓(𝑢1)∆𝑥 + 𝑓(𝑢2)∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑢𝑛)∆𝑥 = ∑ 𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥

𝑛

𝑖=1

yang disebut jumlahan Riemann fungsi 𝑓 pada interval [a,b], sebagai pendekatan

luas daerah di bawah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan diatas sumbu 𝑥. Disini, 𝑢𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖].

Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya ∆𝑥 → 0 maka semakin

baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang

sebenarnya. Dengan demikian,

Luas daerah = lim∆𝑥→0

∑ 𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥.

𝑖

𝑦

𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑎 = 𝑥0 𝑥1 𝑥2 ∆𝑥 𝑢𝑖 𝑥𝑛 = 𝑏

𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛


22

Definisi 2.11

Andaikan 𝑓 fungsi yang terdefinisi pada [𝑎, 𝑏]. Integral tentu 𝑓 dari 𝑎 sampai

𝑏 dinotasikan ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎, adalah

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= lim∆𝑥→0

∑ 𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥.

𝑖

F. Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Pada subbab ini dibahas mengenai deret Taylor dan deret Maclaurin beserta

contohnya.

Definisi 2.12

Misalkan 𝑓 adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan-turunan dari semua

tingkat pada interval tertentu dengan 𝑎 adalah suatu titik interior. Maka deret Taylor

yang diberikan oleh 𝑓 di sekitar 𝑥 = 𝑎 adalah:

∑𝑓(𝑘)(𝑎)

𝑘!

∞

𝑘=0

(𝑥 − 𝑎)𝑘 = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)

2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +

𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 + ⋯.

Deret Maclaurin yang diberikan oleh 𝑓 adalah:

∑𝑓(𝑘)(0)

𝑘!

∞

𝑘=0

𝑥𝑘 = 𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +𝑓′′(0)

2!𝑥2 + ⋯ +

𝑓(𝑛)(0)

𝑛!𝑥𝑛 + ⋯,

yaitu deret Taylor yang diberikan oleh 𝑓 di sekitar 𝑥 = 0.

Contoh 2.9

Tentukan deret Taylor yang diberikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 di sekitar 𝑎 = 0.


23

Penyelesaian:

Diperoleh hasil:

𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥,

𝑓′(𝑥) = 2𝑒2𝑥,

𝑓′′(𝑥) = 4𝑒2𝑥,

𝑓′′′(𝑥) = 8𝑒2𝑥,

….

Akan dicari nilai 𝑓(0), 𝑓′(0), 𝑓′′(0), 𝑓′′′(0), ….

sehingga diperoleh:

𝑓(0) = 1,

𝑓′(0) = 2,

𝑓′′(0) = 4,

𝑓′′′(0) = 8,

…

Maka deret Taylor yang diberikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 saat 𝑎 = 0adalah:

𝑓(0) + 𝑓′(0)𝑥 +𝑓′′(0)

2!𝑥2 +

𝑓′′′(0)

3!𝑥3 + ⋯ +

𝑓(𝑛)(0)

𝑛!𝑥𝑛 + ⋯

= 1 + 2𝑥 + 2𝑥2 +4

3𝑥3 + ⋯

G. Konvergensi Deret Taylor

Deret Taylor dapat digunakan untuk mengetahui kekonvergenan suatu fungsi.

Hal ini dapat dilihat dengan teorema berikut.


24

Teorema 2.2 Teorema Taylor

Jika 𝑓 dan turunan-turunan pertama hingga ke-𝑛 𝑓′, 𝑓′′, … , 𝑓(𝑛) kontinu pada

interval tertutup antara 𝑎 dan 𝑏, dan 𝑓(𝑛) terdiferensial pada interval terbuka antara

𝑎 dan 𝑏, maka terdapat bilangan 𝑐 antara 𝑎 dan 𝑏 sedemikian sehingga:

𝑓(𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑏 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)

2!(𝑏 − 𝑎)2 + ⋯ +

𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛!(𝑏 − 𝑎)𝑛

+𝑓(𝑛+1)(𝑐)

(𝑛 + 1)!(𝑏 − 𝑎)𝑛+1.

Bukti:

Untuk membuktikan teorema Taylor maka akan diasumsikan bahwa 𝑎 < 𝑏.

Dipandang polinomial Taylor berbentuk sebagai berikut:

𝑝𝑛(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)

2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯ +

𝑓𝑛(𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛,

dan turunan pertama 𝑛-nya sesuai dengan fungsi 𝑓 dan turunan pertama 𝑛-nya pada

𝑥 = 𝑎. Hal ini tidak mengubah kesesuaian tersebut jika ditambahkan suku lain dari

bentuk 𝑀(𝑥 − 𝑎)𝑛+1, dengan 𝑀 adalah suatu konstana, karena suku tersebut dan

turunan pertama 𝑛-nya semua sama dengan nol pada 𝑥 = 𝑎. Lalu, didefinisikan

fungsi baru yaitu:

𝜙𝑛(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑀(𝑥 − 𝑎)𝑛+1,

dengan turunan pertama 𝑛-nya masih sesuai dengan fungsi 𝑓 dan turunan pertama

𝑛-nya pada 𝑥 = 𝑎.

Sekarang akan dipilih suatu nilai tertentu dari 𝑀 yang membuat kurva 𝑦 =

𝜙𝑛(𝑥) sesuai dengan kurva asli 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada 𝑥 = 𝑏, yaitu:


25

𝑓(𝑏) = 𝑃𝑛(𝑏) + 𝑀(𝑏 − 𝑎)𝑛+1, atau 𝑀 =𝑓(𝑏)−𝑃𝑛(𝑏)

(𝑏−𝑎)𝑛+1 , (2.14)

dengan 𝑀 didefinisikan oleh persamaan (2.14), maka fungsi:

𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝜙𝑛(𝑥),

yang merupakan selisih antara fungsi asli 𝑓 dan fungsi aproksimasi 𝜙𝑛(𝑥) untuk

setiap 𝑥 di [𝑎, 𝑏].

Selanjutnya akan digunakan teorema Rolle. Pertama, karena 𝐹(𝑎) =

𝐹(𝑏) = 0 dan 𝐹 dan 𝐹′ keduanya kontinu pada [𝑎, 𝑏], maka

𝐹′(𝑐1) = 0, untuk 𝑐1 di (𝑎, 𝑏).

Lalu, karena 𝐹′(𝑎) = 𝐹′(𝑐1) = 0 dan 𝐹′ dan 𝐹′′ keduanya kontinu pada [𝑎, 𝑐1],

maka

𝐹′′(𝑐2) = 0, untuk 𝑐2 di (𝑎, 𝑐1).

Terlihat bahwa teorema Rolle berhasil diaplikasikan pada 𝐹′′, 𝐹′′′, ⋯ , 𝐹(𝑛−1)

yaitu:

𝑐3 pada (𝑎, 𝑐2) sedemikian sehingga 𝐹′′′(𝑐3) = 0,

𝑐4 pada (𝑎, 𝑐3) sedemikian sehingga 𝐹(4)(𝑐4) = 0,

⋮

𝑐𝑛 pada (𝑎, 𝑐𝑛−1) sedemikian sehingga 𝐹(𝑛)(𝑐𝑛) = 0.

Karena 𝐹(𝑛) kontinu pada [𝑎, 𝑐𝑛] dan terdiferensial pada (𝑎, 𝑐𝑛), dan 𝐹(𝑛)(𝑎) =

𝐹(𝑛)(𝑐𝑛) = 0, bahwa teorema Rolle mengimplikasikan bahwa terdapat suatu

bilangan 𝑐𝑛+1 pada (𝑎, 𝑐𝑛) sedemikian sehingga

𝐹(𝑛+1)(𝑐𝑛+1) = 0. (2.15)


26

Jika diturunkan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑃𝑛(𝑥) − 𝑀(𝑥 − 𝑎)𝑛+1 total dari 𝑛 + 1 kali, maka

diperoleh:

𝐹(𝑛+1)(𝑥) = 𝑓(𝑛+1)(𝑥) − 0 − (𝑛 + 1)! 𝑀. (2.16)

Berdasarkan persamaan (2.15) dan (2.16), diperoleh:

𝑀 =𝑓(𝑛+1)(𝑐)

(𝑛 + 1)!, dengan 𝑐 = 𝑐𝑛+1 pada (𝑎, 𝑏). (2.17)

Dan berdasarkan persamaan (2.14) dan (2.17), diperoleh:

𝑓(𝑏) = 𝑃𝑛(𝑏) +𝑓(𝑛+1)(𝑐)

(𝑛 + 1)!(𝑏 − 𝑎)𝑛+1.

Teorema terbukti.

Ketika menggunakan teorema Taylor, maka akan diasumsikan 𝑎 tetap dan 𝑏

adalah variabel bebas. Rumus Taylor mudah digunakan saat mengganti 𝑏 dengan

𝑥. Rumus dibawah ini merupakan versi dari teorema Taylor setelah mengubah 𝑏

dengan 𝑥.

Rumus Taylor

Jika 𝑓 mempunyai turunan-turunan dari semua tingkat pada interval terbuka

𝐼 yang memuat 𝑎, maka untuk setiap bilangan bulat positif 𝑛 dan untuk setiap 𝑥 di

𝐼,

𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) +𝑓′′(𝑎)

2!(𝑥 − 𝑎)2 + ⋯

+𝑓(𝑛)(𝑎)

𝑛!(𝑥 − 𝑎)𝑛 + 𝑅𝑛(𝑥),

(2.18)

dimana


27

𝑅𝑛(𝑥) =𝑓(𝑛+1)(𝑐)

(𝑛 + 1)!(𝑥 − 𝑎)𝑛+1,

(2.19)

untuk 𝑐 antara 𝑎 dan 𝑥.

Ketika teorema Taylor dinyatakan seperti di atas, hal ini mengatakan bahwa

untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼, maka:

𝑓(𝑥) = 𝑃𝑛(𝑥) + 𝑅𝑛(𝑥).

Fungsi 𝑅𝑛(𝑥) ditentukan oleh nilai dari (𝑛 + 1) turunan ke 𝑓(𝑛+1) di titik 𝑐 yang

bergantung pada kedua 𝑎 dan 𝑥, dan terletak diantara mereka.

Persamaan (2.14) disebut rumus Taylor. Fungsi 𝑅𝑛(𝑥) disebut suku galat

untuk aproksimasi 𝑓 oleh 𝑃𝑛(𝑥) terhadap interval 𝐼.

Definisi 2.13

Jika 𝑅𝑛(𝑥) → 0, 𝑛 → ∞ untuk semua 𝑥 ∈ 𝐼 maka deret Taylor yang dibangun

oleh 𝑓 saat 𝑥 = 𝑎 pada interval 𝐼, ditulis sebagai berikut:

𝑓(𝑥) = ∑𝑓(𝑘)(𝑎)

𝑘!(𝑥 − 𝑎)𝑘.

∞

𝑘=0

𝑅𝑛(𝑥) dapat diperkirakan dengan tanpa mengetahui nilai 𝑐, untuk mengetahuinya

dapat dilihat contoh sebagai berikut.

Contoh 2.10

Tunjukan bahwa deret Taylor yang dibangun oleh 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 saat 𝑥 = 0

konvergen ke 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑅.

Penyelesaian:


28

Fungsi 𝑓(𝑥) mempunyai turunan dari semua orde sepanjang interval 𝐼 = (−∞, ∞).

Persamaan (2.14) dan (2.15) dengan 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 dan 𝑥 = 0, maka:

𝑒2𝑥 = 1 + 2𝑥 +4

2!𝑥2 + ⋯ +

2𝑛𝑥𝑛

𝑛!+ 𝑅𝑛(𝑥),

dan

𝑅𝑛(𝑥) =𝑒2𝑐

(𝑛 + 1)!𝑥𝑛+1,

untuk 𝑐 antara 0 dan 𝑥.

Karena 𝑒2𝑥 adalah fungsi naik, maka 𝑒2𝑥 berada diantara 𝑒0 = 1 dan 𝑒2𝑥. Ketika

nilai 𝑥 < 0 maka nilai 𝑐 < 0 dan 𝑒2𝑐 < 1. Ketika nilai 𝑥 = 0 maka nilai 𝑒2𝑥 = 1

dan 𝑅𝑛(𝑥) = 0. Ketika nilai 𝑥 > 0 maka 𝑐 > 0 dan 𝑒2𝑐 < 𝑒2𝑥. Maka

|𝑅𝑛(𝑥)| ≤|𝑥|𝑛+1

(𝑛 + 1)!,

saat 𝑥 ≤ 0, dan

|𝑅𝑛(𝑥)| < 𝑒2𝑥|𝑥|𝑛+1

(𝑛 + 1)!,

saat 𝑥 > 0.

Karena

lim𝑛→∞

𝑥𝑛+1

(𝑛 + 1)!= 0,

untuk setiap 𝑥, lim𝑛→∞

𝑅𝑛(𝑥) = 0 dan deret konvergensi untuk setiap 𝑥, maka:

𝑒2𝑥 = ∑2𝑘𝑥𝑘

𝑘!=

∞

𝑘=0

1 + 2𝑥 +4

2!𝑥2 + ⋯ +

2𝑘𝑥𝑘

𝑘!+ ⋯ (2.20)


29

BAB III

METODE NEWTON TERMODIFIKASI DAN CONTOH

PENERAPANNYA DALAM BIDANG DINAMIKA FLUIDA

Dalam bab ini akan dijelaskan metode Newton termodifikasi, konvergensi

metode Newton termodifikasi, karakteristik persamaan gelombang air dangkal, dan

hasil numeris yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang terkait dengan

persamaan gelombang air dangkal.

A. Metode Newton Termodifikasi

Pada bagian ini dibahas mengenai metode Newton termodifikasi yang

meliputi definisi dan contoh dari metode Newton termodifikasi tersebut.

Definisi 3.1

Metode Newton termodifikasi adalah suatu metode pencarian akar yang

didasarkan pada prinsip iterasi metode Newton standar, yaitu pendekatan fungsi tak

linear 𝑓(𝑥) dengan hampiran linear. Skema Newton termodifikasi diperoleh dengan

mempertinggi tingkat keakuratan metode Newton standar dengan memperhatikan

fungsi tak linear yang akan ditentukan akarnya.

Dengan menetukan 𝑥0 sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang

menyinggung grafik fungsi f di titik (𝑥0, 𝑓(𝑥0)). Garis tersebut memotong sumbu

x di titik 𝑥1. Setelah itu diulangi langkah sebelumnya tetapi sekarang 𝑥1 dianggap


30

sebagai titik awalnya, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung garik

fungsi f di titik (𝑥1, 𝑓(𝑥1)). Garis tersebut memotong sumbu x dititik 𝑥1∗.

Keterangan: 𝑓(𝑥)dinyatakan saat 𝑥0 dan𝑥1.

𝑓′(𝑥) dinyatakan saat(𝑥0∗ = 𝑥0) dan

1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗).

Gambar 3.1: Gambar dari metode Newton termodifikasi.

Diambil titik tengah antara 𝑥1 dan 𝑥1∗ sehingga didapat

1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗). Dengan

1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗) sebagai titik awal, kemudian menarik garis lurus yang menyinggung

grafik fungsi f di titik (1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗), 𝑓(1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗))). Garis tersebut memotong

sumbu x dititik 𝑥2. Dengan mengulang langkah ini akan diperoleh titik-titik

𝑥0, 𝑥1, 𝑥1∗,

1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗), 𝑥2, … , 𝑟 dengan 𝑟 adalah bilangan real yang merupakan akar

atau mendekati akar sebenarnya.

𝑥0 𝑥1 𝑥1∗

1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗)

𝑥2 r

𝑓(𝑥0)

𝒙

𝒇(𝒙)


31

Iterasi awal untuk menentukan 𝑥1 adalah skema Newton standar. Tetapi untuk

menentukan 𝑥2 turunan fungsi tidak dinyatakan saat 𝑥1. Sebaliknya, estimasi yang

ada dari turunan yang digunakan untuk menentukan nilai tengah, yaitu 𝑥1∗ dan

turunannya dinyatakan saat 1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗). Langkah untuk menetukan nilai tengah 𝑥1∗

disebut langkah “predictor”, sedangkan langkah untuk menentukan nilai

selanjutnya dari 𝑥, 𝑥2, (menggunakan turunan dinyatakan saat 1

2(𝑥1 + 𝑥1

∗)) yang

disebut langkah “corrector”.

Metode Newton untuk menentukan akar (solusi) dari suatu persamaan

nonlinear 𝑓(𝑥) = 0 lebih sederhana dan tingkat kecepatan menuju kekonvergenan

lebih cepat. Dengan menggunakan fungsi dan turunan pertama dari fungsi itu,

metode Newton dapat menghasilkan barisan dari aproksimasi yang konvergen

secara kuadratik untuk akar (solusi) persamaan.

Informasi turunan ini, dikombinasikan dengan pengamatan bahwa jika 𝑓(𝑥)

adalah fungsi kuadrat dengan akar (solusi) 𝑟, maka 𝑟 dapat diperoleh dengan cara

berikut, yaitu

𝑟 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(12[𝑥0 + 𝑟])

. (3.1)

Dipandang suatu aturan predictor-corrector dengan bentuk di bawah ini:

𝑥0∗ = 𝑥0 −

𝑓(𝑥0)

𝑓0′ , (3.2)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(12[𝑥0 + 𝑥0

∗]),

(3.3)


32

dengan 𝑓0′ merupakan pendekatan ketika di titik 𝑥0. Langkah awal predictor itu

merupakan langkah dasar metode Newton untuk mengestimasi turunan, sementara

langkah corrector diperoleh dari hubungan implisit pada persamaan (3.1).

Pilih 𝑘 = 1,


𝑓(𝑥𝑘)

𝑓′(12[𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−1

∗ ]), (3.4)


𝑓′(12[𝑥𝑘 + 𝑥𝑘

∗]). (3.5)

Persamaan di atas digunakan ulang dalam persamaan (3.4) dari turunan yang

dihitung dalam iterasi sebelumnya sehingga aturan khusus dari langkah predictor-

corrector hanya membutuhkan satu fungsi dan satu nilai turunan.

Iterasi yang diperumum, diperoleh dari bentuk persamaan (3.4) dan (3.5) di

atas merupakan iterasi umum. Telah dibahas sebelumnya, bahwa aturan predictor-

corrector dengan langkah predictor didasarkan pada turunan yang dihitung dalam

iterasi sebelumnya, dan langkah corrector diperoleh dari relasi implisit. Kelebihan

dari skema di atas adalah menyisipkan dari fungsi dan nilai turunan, dengan

menyatakan bahwa fungsi dan turunannya diperoleh dari nilai 𝑥 yang berbeda (lihat

Gambar 3.1).

Untuk melakukan iterasi pada dasarnya membutuhkan dua nilai awal, yaitu

𝑥0 dan 𝑥0∗. Setelah itu gunakan langkah corrector pada persamaan (3.3). Diketahui

perkiraan awal 𝑥0 pada akar, terdapat dua metode yang jelas untuk memperoleh

nilai kedua dari 𝑥0∗ kedua yaitu:

𝑥0∗ diperoleh dari dengan metode Newton yaitu 𝑥0

∗ = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓0′ , atau


33

Himpunan sederhana 𝑥0∗ = 𝑥0 dengan langkah bentuk corrector pada persamaan

(3.3) mengurangi metode Newton untuk memperoleh nilai 𝑥1.

Pada dua pilihan di atas ternyata efektif, dan selanjutnya 𝑥0∗ = 𝑥0.

Metode Newton termodifikasi secara umum akan diuji dengan secara berikut:

𝑥0∗ = 𝑥0, (3.6)

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(12[𝑥0 + 𝑥0

∗])= 𝑥0 −

𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0). (3.7)

Diikuti oleh (untuk 𝑘 ≥ 1)


𝑓(𝑥𝑘)

𝑓′(12[𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘−1

∗ ]), (3.8)


𝑓′(12[𝑥𝑘 + 𝑥𝑘

∗]). (3.9)

Langkah-langkah dalam prosedur metode Newton termodifikasi diilustrasikan pada

Gambar 3.1, dengan langkah-langkah yang ditampilkan untuk menentukan 𝑥2.

Kunci utama dari metode Newton termodifikasi dapat dilihat pada Gambar 3.1,

yaitu:

1. Nilai 𝑥2 dihitung dari 𝑥1 menggunakan 𝑓(𝑥1) dan nilai dari turunan saat 1

2(𝑥1 +

𝑥1∗) (adalah nilai hampiran dari turunan yang digunakan untuk menghitung

ketika 𝑥1), dan

2. 𝑥3∗ dapat diperoleh dengan cara nilai turunan yang sama ini digunakan kembali

pada berikutnya yaitu langkah predictor.


34

Contoh 3.1

Dengan menggunakan metode Newton termodifikasi tentukan akar

penyelesaian persamaan 𝑓(𝑥) = 0, dengan 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 − 1 dengan

𝑥0 = 1 dan 𝜀 = 0.00001.

Penyelesaian:

Diketahui 𝑥0 = 1 dan 𝜀 = 0.00001. Dipandang

𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 − 4𝑥2 − 1


𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 + 9𝑥2 − 8𝑥.

Hasil iterasi metode Newton termodifikasi persamaan (3.6)-(3.9) untuk 𝑘 =

0, 1, 2, 3,4 adalah sebagai berikut:

Untuk 𝑘 = 0, maka

𝑥0∗ = 𝑥0 = 1,

𝑥1 = 𝑥0 −𝑓(𝑥0)

𝑓′(𝑥0),

dengan

𝑓(𝑥0) = 𝑓(1) = 14 + 3(1)3 − 4(1)2 − 1 = −1,

dan turunan pertamanya adalah

𝑓′(𝑥0) = 𝑓′(1) = 4(1)3 + 9(1)2 − 8(1) = 5.

Dengan demikian diperoleh

𝑥1 = 1 −−1

5=

6

5= 1.2,

dan

|𝑓(1.2)| = |0.4976| = 0.4976.


35


𝑥1∗ = 𝑥1 −

𝑓(𝑥1)

𝑓′ (12

[𝑥0 + 𝑥0∗])

,

dengan

𝑓(𝑥1) = 𝑓(1.2) = (1.2)4 + 3(1.2)3 − 4(1.2)2 − 1 = 0.4976,


𝑓′ (1

2[𝑥0 + 𝑥0

∗]) = 𝑓′ (1

2[1 + 1]) = 𝑓′(1)

𝑓′(1) = 4(1)3 + 9(1)2 − 8(1) = 5.

diperoleh

𝑥1∗ = 1.2 − (

0.4976

5) = 1.10048,

sehingga

𝑓′ (1

2[𝑥1 + 𝑥1

∗]) = 𝑓′ (1

2[1.2 + 1.10048]) = 𝑓′(1.15024)

𝑓′(1.15024) = 4(1.15024)3 + 9(1.15024)2 − 8(1.15024) = 8.79.


𝑥2 = 𝑥1 −𝑓(𝑥1)

𝑓′(12[𝑥1 + 𝑥1

∗]),

𝑥2 = 1.2 −0.4976

8.79= 1.14339,

dan

|𝑓(1.14339)| = |−0.03582| = 0.03582.


36


𝑥2∗ = 𝑥2 −

𝑓(𝑥2)

𝑓′ (12

[𝑥1 + 𝑥1∗])

,

dengan

𝑓(𝑥2) = 𝑓(1.14339) = (1.14339)4 + 3(1.14339)3 − 4(1.14339)2 − 1 = −0.03582,


𝑓′ (1

2[𝑥1 + 𝑥1

∗]) = 𝑓′ (1

2[1.2 + 1.10048]) = 𝑓′(1.15024),

𝑓′(1.15024) = 4(1.15024)3 + 9(1.15024)2 − 8(1.15024) = 8.79.

Diperoleh

𝑥2∗ = 1.14339 −

−0.03582

8.79= 1.14746,

sehingga

𝑓′ (1

2[𝑥2 + 𝑥2

∗]) = 𝑓′ (1

2[1.14339 + 1.14746]) = 𝑓′(1.14543),

𝑓′(1.14543) = 4(1.14543)3 + 9(1.14543)2 − 8(1.14543) = 8.65591.


𝑥3 = 𝑥2 −𝑓(𝑥2)

𝑓′(12[𝑥2 + 𝑥2

∗]),

𝑥3 = 1.14339 −−0.03582

8.65591= 1.14753,


37

dan

|𝑓(1.14753)| = |0.000017| = 0.000017.


𝑥3∗ = 𝑥3 −

𝑓(𝑥3)

𝑓′ (12

[𝑥2 + 𝑥2∗])

,

dengan

𝑓(𝑥3) = 𝑓(1.14753) = (1.14753)4

+ 3(1.14753)3 − 4(1.14753)2 − 1 = 0.000017,


𝑓′ (1

2[𝑥2 + 𝑥2

∗]) = (1

2[1.14339 + 1.14746]) = 𝑓′(1.14543),

𝑓′(1.14543) = 4(1.14543)3 + 9(1.14543)2 − 8(1.14543) = 8.65591.

Diperoleh

𝑥3∗ = 1.14753 −

0.000017

8.65591= 1.14753,

sehingga

𝑓′ (1

2[𝑥3 + 𝑥3

∗]) = 𝑓′ (1

2[1.14753 + 1.14753]) = 𝑓′(1.14753),

𝑓′(1.14753) = 4(1.14753)3 + 9(1.14753)2 − 8(1.14753) = 8.71557.


𝑥4 = 𝑥3 −𝑓(𝑥3)

𝑓′(12[𝑥3 + 𝑥3

∗]),


38

𝑥4 = 1.14753 −0.000017

8.71557= 1.14753,

dan

|𝑓(1.14753)| = |0.000017| = 0.000017.


𝑥4∗ = 𝑥4 −

𝑓(𝑥4)

𝑓′ (12

[𝑥3 + 𝑥3∗])

,

dengan

𝑓(𝑥4) = 𝑓(1.14753) = (1.14753)4 + 3(1.14753)3 − 4(1.14753)2 − 1 = 0.000017


𝑓′ (1

2[𝑥3 + 𝑥3

∗]) = (1

2[1.14753 + 1.14753]) = 𝑓′(1.14753)

𝑓′(1.14753) = 4(1.14753)3 + 9(1.14753)2 − 8(1.14753) = 8.71557.

Diperoleh

𝑥4∗ = 1.14753 −

0.000017

8.71557= 1.14753,

sehingga

𝑓′ (1

2[𝑥4 + 𝑥4

∗]) = 𝑓′ (1

2[1.14753 + 1.14753]) = 𝑓′(1.14753),

𝑓′(1.14753) = 4(1.14753)3 + 9(1.14753)2 − 8(1.14753) = 8.71557.


𝑥5 = 𝑥4 −𝑓(𝑥4)

𝑓′(12[𝑥4 + 𝑥4

∗]),


39

𝑥5 = 1.14753 −0.000017

8.71557= 1.14753.

Jadi akar penyelesaiannya adalah 𝑥 = 1.14753 dengan jumlah iterasi sebanyak 4

kali.

B. Aliran Steady Air Dangkal

Persamaan (gelombang) air dangkal diklasifikasikan dari gerak fluida.

Sebagai contoh, aliran dapat digolongkan sebagai aliran steady dan unsteady, satu

dimensi, dua dimensi, tiga dimensi, serta seragam dan tidak seragam. Aliran disebut

steady bila kondisi alirannya yaitu kecepatan, tekanan, densitas tidak berubah

terhadap waktu. Aliran dimana kondisi alirannya berubah terhadap waktu disebut

aliran unsteady. Aliran air yang konstan di dalam sebuah pipa bersifat unsteady,

akan tetapi pada saat katup alirannya sedang dibuka atau sedang ditutup, maka

aliran itu tidak unsteady. Sebuah aliran mungkin saja dianggap steady oleh

pengamat yang satu, tetapi dianggap tidak steady oleh pengamat yang lain. Sebagai

contoh, aliran di sebelah hulu sebuah pilar jembatan tampak steady oleh pengamat

yang berdiri di jembatan, tetapi tampak tidak steady oleh pengamat yang berada di

sebuah perahu. Penggolongan air sebagai aliran steady atau bukan sering

didasarkan pada pertimbangan kemudahan semata. Sebagai contoh, penjalaran

gelombang di permukaan danau jelas unsteady. Walaupun begitu, gerak air akibat

gelombang dianggap tidak terlalu berperan dalam pengangkutan polutan di danau

itu sehingga dalam model yang digunakan untuk mempelajari perpindahan polutan

gerak gelombang boleh diabaikan, sehingga aliran air di situ dianggap steady.


40

Pendekatan seperti ini terutama diterapkan pada aliran-aliran turbulen, yang hampir

selalu dijumpai dalam dunia rekayasa. Disini, kondisi unsteady berlaku untuk

fluktuasi-fluktuasi dalam aliran yang ditinjau dalam skala waktu yang sangat

pendek.

Misalkan terdapat aliran air dangkal seperti pada Gambar 3.2.

Gambar 3.2: Gambaran umum aliran steady dengan topografi gundukan

parabolik.

Misalkan 𝑥 adalah ruang titik, 𝑡 adalah waktu 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan, ℎ =

ℎ(𝑥, 𝑡) adalah kedalaman air, 𝑧 = 𝑧(𝑥) adalah ketinggian permukaan tanah.

Persamaan air dangkal yang bersesuaian dengan Gambar 3.2 adalah :

ℎ𝑐 h(x,t)

u(x,t)

z(x)

ℎ0


41

ℎ𝑡 + (ℎ𝑢)𝑥 = 0,

(ℎ𝑢)𝑡 + (ℎ𝑢2 +1

2𝑔ℎ2)𝑥 = −𝑔ℎ𝑧𝑥.

(3.10)

Dengan asumsi bahwa turunan 𝑢 dan ℎ mulus, penjabaran persamaan kedua di atas

menjadi :

(ℎ𝑢)𝑡 + (ℎ𝑢2 +1

2𝑔ℎ2)𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

maka persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi

𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + (ℎ𝑢2)𝑥 +1

2(𝑔ℎ2)𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

atau

𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + ℎ𝑥𝑢2 + 𝑢𝑥2ℎ +

1

2𝑔(ℎℎ)𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

atau

𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + ℎ𝑥𝑢2 + (𝑢𝑢𝑥 + 𝑢𝑢𝑥)ℎ +1

2𝑔(ℎℎ𝑥 + ℎℎ𝑥) + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

atau

𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + ℎ𝑥𝑢2 + (2𝑢𝑢𝑥)ℎ +1

2𝑔(2ℎℎ𝑥) + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

atau

𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + ℎ𝑥𝑢2 + (2𝑢𝑢𝑥)ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

atau

𝑢𝑡ℎ + 𝑢ℎ𝑡 + 𝑢(𝑢ℎ𝑥) + 2𝑢𝑥𝑢ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0.

Substitusikan ℎ𝑡 = −(ℎ𝑢)𝑥pada persamaan yang di atas, diperoleh

𝑢𝑡ℎ + 𝑢(−(ℎ𝑢)𝑥) + 𝑢(𝑢ℎ𝑥) + 2𝑢𝑥𝑢ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

atau

𝑢𝑡ℎ + 𝑢(−ℎ𝑥𝑢 − 𝑢𝑥ℎ) + 𝑢(𝑢ℎ𝑥) + 2𝑢𝑥𝑢ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,


42

atau

𝑢𝑡ℎ − 𝑢(𝑢ℎ𝑥) − 𝑢(𝑢𝑥ℎ) + 𝑢(𝑢ℎ𝑥) + 2𝑢𝑥𝑢ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

atau

𝑢𝑡ℎ + 𝑢𝑢𝑥ℎ + 𝑔ℎℎ𝑥 + 𝑔ℎ𝑧𝑥 = 0,

atau

ℎ(𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑔ℎ𝑥 + 𝑔𝑧𝑥) = 0,

atau

ℎ(𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑔(ℎ𝑥 + 𝑧𝑥)) = 0,

atau

ℎ(𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑔(ℎ + 𝑧)𝑥) = 0,

atau

𝑢𝑡 + 𝑢𝑢𝑥 + 𝑔(ℎ + 𝑧)𝑥 = 0.

Karena alirannya diasumsikan steady, kedalaman air dan kecepatan aliran tidak

berubah terhadap waktu, berarti 𝑢𝑡 = 0 dan ℎ𝑡 = 0, maka persamaan air dangkal

menjadi :

(𝑢ℎ)𝑥 = 0,𝑢𝑢𝑥 + 𝑔(ℎ + 𝑧)𝑥 = 0.

Setelah diintegralkan, persamaan air dangkal dapat ditulis kembali menjadi :

𝑢ℎ = 𝑞,1

2𝑢2 + 𝑔(ℎ + 𝑧) = 𝑐,

(3.11)

untuk 𝑞 dan 𝑐 adalah konstan. Sistem (3.11) berlaku untuk semua domain. Di

tempat yang jauh(𝑥 → ±∞), dasar ketinggian, kedalaman air dan kecepatan aliran

berturut-turut adalah 𝑧(𝑥, 0) = 0, ℎ(𝑥, 𝑡) = ℎ0 dan 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢0. Dengan

demikian untuk semua domain, jelas bahwa :


43

𝑢ℎ = 𝑢0ℎ0, (3.12)

dan

1

2𝑢2 + 𝑔(ℎ + 𝑧) =

𝑢02

2+ 𝑔(ℎ0 + 0) =

𝑢02

2+ 𝑔ℎ0. (3.13)

Jika 𝑢 dieliminasi dari persamaan (3.13) dengan menggunakan persamaan (3.12),

maka diperoleh :

𝑢 =𝑢0ℎ0

ℎ,

𝑢02ℎ0

2

2ℎ2+ 𝑔(ℎ + 𝑧) =

𝑢02

2+ 𝑔ℎ0.

Menggunakan bilangan Froude, yaitu 𝐹0 = 𝑢0/√𝑔ℎ0, maka diperoleh :

1

𝑔ℎ0[𝑢0

2ℎ02

2ℎ2+ 𝑔(ℎ + 𝑧)] =

1

𝑔ℎ0[𝑢0

2

2+ 𝑔ℎ0],

atau

𝑢02ℎ0

2

2ℎ2𝑔ℎ0+

𝑔ℎ

𝑔ℎ0+

𝑔𝑧

𝑔ℎ0=

𝑢02

2𝑔ℎ0+

𝑔ℎ0

𝑔ℎ0,

atau

𝑢02

2𝑔ℎ0

ℎ02

ℎ2+

ℎ

ℎ0+

𝑧

ℎ0=

𝑢02

2𝑔ℎ0+ 1,

atau

𝐹02

2

ℎ02

ℎ2+

ℎ

ℎ0+

𝑧

ℎ0=

𝐹02

2+ 1.

Dengan dimisalkan 𝑦 = ℎ/ℎ0 dan 𝐶 = 𝑧/ℎ0, persamaan terakhir disederhanakan

menjadi :

𝐹02

2(

1

𝑦)

2

+ 𝑦 + 𝐶 =𝐹0

2

2+ 1,


44

atau

𝑦2 [𝐹0

2

2(

1

𝑦)

2

+ 𝑦 + 𝐶] = 𝑦2 [𝐹0

2

2+ 1],

atau

𝐹02

2+ 𝑦3 + 𝐶𝑦2 = (

𝐹02

2+ 1) 𝑦2,

atau

𝐹02

2+ 𝑦3 + 𝐶𝑦2 −

𝐹02

2𝑦2 − 𝑦2 = 0,

sehingga

𝑦3 + (𝐶 −1

2𝐹0

2 − 1) 𝑦2 +1

2𝐹0

2 = 0. (3.13)

Jika persamaan kubik tersebut diselesaikan untuk semua titik, maka akan

diperoleh deskripsi permukaan air dari aliran yang steady, dengan kedalaman air

dihitung menggunakan ℎ = 𝑦ℎ0. Kecepatan air dihitung menggunakan formula

𝑢 = 𝑢0ℎ0/ℎ. Metode penyelesaian akar memainkan peran penting dalam

memecahkan persamaan (3.13) dalam menentukan nilai dari kedalaman air di

semua ruang titik.

C. Hasil Numeris

Pada bagian ini, akan disajikan hasil numeris dari uji kasus metode

penyelesaian akar untuk menyelesaikan masalah aliran steady. Masalah tersebut

diberikan sebagai berikut. Dipandang ruang domain [0,25]. Topografinya adalah :


45

𝑧(𝑥) = {0.2 − 0.05(𝑥 − 10)2

0

jika 8 ≤ 𝑥 ≤ 12,

lainnya.

Diambil persamaan (3.13), yaitu 𝑦3 + (𝐶 −1

2𝐹0

2 − 1) 𝑦2 +1

2𝐹0

2 = 0. Percepataan

gravitasi 𝑔 = 9.81, galat toleransi untuk solusi eksak adalah 10−15, 𝐹0 =𝑢0

√𝑔ℎ0,

𝐶 =𝑧

ℎ0, ℎ = 𝑦ℎ0. Perhitungan dilakukan dengan menggukan aplikasi MATLAB

pada komputer. Dimisalkan 𝑢0 = 1 dan ℎ0 = 2. Domain ruang [0,25] didiskritkan

menggunakan panjang langkah seragam. Panjang langkah adalah 0.1.

Tabel 3.1 Perbandingan antara metode biseksi, metode Newton standar dan

metode Newton termodifikasi untuk menyelesaikan masalah aliran

steady.

Banyaknya

Iterasi Kedalaman air (𝒉)

Ketinggian

permukaan

tanah (𝒛)

Metode Biseksi 23 1.787135270153852 0.2

Metode Newton

Termodifikasi 4 1.787135270153852 0.2

Metode Newton

Standar 6 1.787135270153852 0.2

Hasil numerik diringkas dalam Tabel 3.1. Ruang titik yang diuji dengan

menggunakan aplikasi MATLAB yaitu 𝑥 = 10. Dengan mengamati metode

Newton termodifikasi, hanya membutuhkan 4 iterasi untuk menyelesaikan masalah

tersebut, dengan kedalaman air (ℎ) yaitu 1.787135270153852 dan ketinggian

permukaan tanah (𝑧) yaitu 1.787135270153852, yang mana banyaknya iterasi

dengan metode Newton standar yaitu 6 iterasi, dengan kedalaman air (ℎ) yaitu

1.787135270153852 dan ketinggian permukaan tanah (𝑧) yaitu


46

1.787135270153852. Jelas bahwa dalam hal banyaknya iterasi, metode Newton

termodifikasi lebih baik daripada metode biseksi dan metode Newton standar.

Perhatikan bahwa semua metode ini menghasilkan solusi yang sama, tetapi

banyaknya iterasinya bervariasi seperti yang ditampilkan dalam Tabel 3.1.


47

BAB IV

KONVERGENSI METODE NEWTON TERMODIFIKASI

Pada bagian ini akan dibahas tentang konvergensi metode Newton

termodifikasi dan percobaan dengan variasi tebakan awal.

A. Konvergensi Metode Newton Termodifikasi

Metode Newton standar mempunyai orde kekonvergenan 2 yaitu konvergen

kuadratik, untuk akar sederhana. Metode Newton standar dapat dimodifikasi

sehingga orde kekonvergenannya dapat ditingkatkan.

Akan diperlihatkan hubungan antara suatu fungsi yang memenuhi beberapa

asumsi tentang nilai fungsi dan nilai fungsi-fungsi turunan di sekitar akar

sebenarnya, dengan kekonvergenan serta tentang derajat kekonvergenan. Asumsi

yang digunakan adalah :

1. Fungsi 𝑓 dapat diturunkan beberapa kali (sampai 𝑚 kali, 𝑚> 2).

2. Fungsi 𝑓 mempunyai akar sederhana pada 𝑥 = 𝑎.

3. Tebakan awal 𝑥0 cukup dekat ke 𝑎 sehingga iterasi dijamin konvergen.

Metode Newton termodifikasi memberikan penyelesaian dari persamaan

𝑓(𝑥) = 0 konvergen dengan orde 𝑅 = 1 + √2 ≈ 2.4142. Hal ini telah dibuktikan

oleh McDougall dan Waterspoon (2014).


48

B. Percobaan dengan Variasi Tebakan Awal

Untuk mengetahui seberapa cepat proses iterasi yang dilakukan oleh metode

Newton termodifikasi bila dibandingkan dengan metode Newton standar maka akan

dilakukan percobaan. Percobaan dilakukan menggunakan program MATLAB. Dari

hasil percobaan dapat diketahui akar penyelesaian dan jumlah iterasi yang

dilakukan oleh kedua metode.

Berikut merupakan perbandingan hasil iterasi simulasi numeris untuk metode

Newton termodifikasi dengan metode Newton standar.

Tabel 4.1. Uji kasus penyelesaian persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 0 dengan error

(galat) 10−15.

Nilai

awal

Metode Newton Standar Metode Newton Termodifikasi

Akar

Numeris

Akar

Eksak

Eror

Numeris

Iterasi

Akar

Numeris

Akar

eksak

Eror

Numeris

Iterasi

-3

-1.66666666666

-1.13333333333

-1.00784313726

-1.00003051804

-1

-1

-0.6666667

-0.1333333

-0.0078431

-3.0518E-

05

-4.6566E-

10

1

2

3

4

5

-1.0813008130

-1.00098727188

-1.00000002448

-1.00000000000

-

-1

-1.0813008

-0.0009872

-0.0000002

0.00000000

-

1

2

3

4

-

-9

-4.55555555556

-2.38753387534

-1.40318805004

-1

-3.5555556

-1.3875339

-0.4031881

1

2

3

-2.09064627791

-1.19431460672

-1.00691203825

-1

-1.0906463

-0.1943146

-0.0069120

1

2

3


49

Nilai

awal

Metode Newton Standar Metode Newton Termodifikasi

Akar

Numeris

Akar

Eksak

Eror

Numeris

Iterasi

Akar

Numeris

Akar

eksak

Eror

Numeris

Iterasi

-1.05792545186

-1.00158581967

-1.00000000000

-1

-0.0579255

-0.0015858

-7.80043E1

0

4

5

6

7

-1.00000280646

-1.00000000001

-1.00000000000

-

-0.0000028

-0.0000001

0

-

4

5

6

-

2

1.25

1.025

1.000304878

1.00000004646

1

1

0.25

0.025

0.00030488

0.00000005

0

1

2

3

4

5

1.01158940397

1.00000983397

1.00000000031

1

-

1

0.01158940

0.00000983

0.00000000

0.00000000

-

1

2

3

4

-

Tabel 4.1 menunjukkan hasil simulasi akar persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 = 0.

Dapat dilihat bahwa perbandingan hasil iterasi simulasi numeris menggunakan

metode Newton Standar dan metode Newton termodifikasi. Percobaan yang

dilakukan dengan data random yang berupa tebakan awal, yaitu -3, -9, -2. Dari

Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa akar numeris, akar eksak dari metode Newton standar

dan metode Newton termodifikasi. Ketika tebakan awal yang diambil adalah -3,

maka banyaknya iterasi yang diperoleh dengan menggunakan metode Newton

standar yaitu 5 kali iterasi, sedangkan dengan metode Newton termodifikasi yaitu


50

4 kali iterasi. Ketika tebakan awal yang diambil adalah -9, maka banyaknya iterasi

yang diperoleh dengan menggunakan metode Newton standar yaitu 7 kali iterasi,

sedangkan dengan metode Newton termodifikasi yaitu 6 kali iterasi. Ketika tebakan

awal yang diambil adalah 2, maka banyaknya iterasi yang diperoleh dengan

menggunakan metode Newton standar yaitu 5 kali iterasi, sedangkan dengan

metode Newton termodifikasi yaitu 4 kali iterasi. Dengan demikian, dapat

disimpulkan bahwa proses iterasi dengan menggunakan metode Newton

termodifikasi lebih cepat dibandingkan metode Newton standar.


51

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan dan saran atas pembahasan bab-bab

sebelumnya sarta saran untuk penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan

Dari pembahasan dalam tugas akhir ini dapat disimpulkan sebagai berikut:

1. Metode Newton termodifikasi membutuhkan jumlah iterasi lebih sedikit,

namun waktu perhitungan lebih lama. Ini berarti dalam satu kali iterasi, metode

Newton termodifikasi membutuhkan lebih banyak perhitungan.

2. Metode Newton standar dan metode Newton termodifikasi dapat digunakan

untuk menyelesaikan masalah aliran air dangkal yang steady.

3. Metode Newton termodifikasi secara komputasi telah menunjukkan bahwa

dibutuhkan hanya beberapa iterasi untuk konvergen ke solusi yang tepat untuk

galat toleransi yang ditetapkan.

4. Dari banyaknya iterasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan persamaan

nonlinear dari akar-akar tersebut, metode Newton termodifikasi lebih baik

daripada metode Newton standar dan metode biseksi.


52

B. Saran

Penulis sadar bahwa dalam peyusunan tugas akhir ini masih banyak

kekurangan. Oleh sebab itu, penulis sangat mengharapkan kelak akan ada yang

melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas metode Newton

termodifikasi, penulis berharap kelak ada yang akan melakukan penelitian untuk

metode dengan orde kekonvergenan yang lebih tinggi lagi.


53

DAFTAR PUSTAKA

Burden, R. L. dan Faires, J. D. (2011). Numerical Analysis. Boston: Cengange

Learning.

Greenbaum, A. dan Chartier, T. P. (2012). Numerical Methods. Princeton, NJ:

Princeton University Press.

Kosasih, P. B. (2006). Komputasi Numerik Teori dan Aplikasi. Yogyakarta: ANDI

Yogyakarta.

McDougall, T. J. dan Wotherspoon, S. J. (2014). A simple modification of

Newton’s method to achieve convergence of order 1+√2. Applied

Mathematics Letters, 29: 20-25.

Mungkasi, S. dan Sihotang, J. (2016). A Modified Newton’s Method to Solve a

Steady Flow Problem Based on the Shallow Water Equations. International

Conference on Engineering, Science and Nanotechnology. To appear in AIP

Conference Proceedings.

Mungkasi, S. (2008). Finite Volume Methods for the One-Dimensional Shallow

Water Equations. Masters Thesis. Canberra: Australian National University.

Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson

Education.

Olson, R. M. dan Wright, S. J. (1993). Dasar-Dasar Mekanika Fluida Teknik.

Jakarta: Gramedia Pustaka Umum.


54

LAMPIRAN

Berikut ini adalah code program MATLAB untuk masing-masing metode

yang digunakan untuk menyelesaikan masalah aliran steady pada persamaan air

dangkal.

1. Code untuk metode Newton

function cari_akar_dengan_METODE_NEWTON_1 tic for j=1:10 clc format long syms h N = length(X); Z = zeros(1,N); H = zeros(1,N); g=9.81; u0=1; h0=2; F0=u0/sqrt(g*h0); for i= 1:N if X(i)>8 && X(i)<12 Z(i)=0.2-0.05*(X(i)-10)^2; else Z(i)=0; end end plot(X,Z)

for i=1:N z=Z(i); y=(h/h0)^3+(z/h0-0.5*F0^2-1)*(h/h0)^2+0.5*(F0)^2; yp=diff(y); % turunan dari y a =2; % nilai perkiraan awal

dari akar delta=10^-15; % toleransi error err=delta+1.0; % error k=0; % iterasi fa=subs(y,h,a); while abs(err) > delta df=diff(y,h); dfa=subs(df,h,a); dx=-(fa/dfa); err=abs(dx); a=a+dx; % update nilai dugaan fa=subs(y,h,a);


55

k=k+1; end H(i) = a; end end k toc plot(X, H, X, Z) ylim([-0.5 2.5]) end

2. Code untuk metode Newton termodifikasi

function cari_akar_dengan_METODE_NEWTON tic for j=1:10 clc format long syms h X=10;%0:5:25; N=length(X); Z=zeros(1,N); H=zeros(1,N); g=9.81; u0=1; h0=2; F0=u0/sqrt(g*h0); for i= 1:N if X(i)>8 && X(i)<12 Z(i)=0.2-0.05*(X(i)-10)^2; else Z(i)=0; end end plot(X,Z)

for i=1:N z=Z(i); y=(h/h0)^3+(z/h0-0.5*F0^2-1)*(h/h0)^2+0.5*(F0)^2; yp=diff(y); % turunan dari y x0=2; % nilai perkiraan awal dari akar delta=10^-15; % toleransi error err=delta+1.0; % error k=0; % iterasi

fx0=subs(y,h,x0); % fungsi awal df=diff(y,h); % turunan dfx0=subs(df,h,x0); % turunan dari x0 dx=-(fx0/dfx0); err=abs(dx); x0star=x0; % iterasi ke nol star x1=x0-fx0/dfx0; % iterasi ke-satu xk=x1; xkm1=x0;


56

xkm1star=x0;

while err > delta dx=subs(y,h,xk)/subs(df,h,1/2*(xkm1+xkm1star)); err=abs(dx); xkstar=xk-dx; % iterasi ke satu star

xkp1=xk-(subs(y,h,xk)/subs(df,h,1/2*(xk+xkstar)));

xkm1=xk; xk=xkp1; xkm1star=xkstar; k=k+1;

end H(i)=xkm1star; end end k toc plot(X, H, X, Z) ylim([-0.5 2.5]) end

3. Code untuk metode Biseksi

function S = coba(x) tic N = length(x); z = ones(1,N); g = 9.81; q = 4.42; h_0 = 2.0; u_0 = 2.21; Fr_0 = u_0/sqrt(g*h_0); k=0; for i=1:N z(i) = fungsiB1(x(i)); end

function xR = bisecting(xR,xL,H) while ((xR - xL) > 10^-14) xM = xL + (xR - xL) / 2.0; if (xL^3+xL^2*(H-1.0-Fr_0^2/2.0)+Fr_0^2/2.0) * (xM^3+xM^2*(H-

1.0-Fr_0^2/2.0)+Fr_0^2/2.0) > 0 xL = xM; else xR = xM; k=k+1; end end end

wA = zeros(1,N); uA = zeros(1,N); hA = zeros(1,N);


57

H = zeros(1,N); for i=1:N H(i) = z(i)/h_0; y1 = bisecting(1.0,0.5,H(i)); hA(i) = y1*h_0; wA(i) = hA(i)+z(i); uA(i) = q/hA(i); k end QA = hA.*uA; S = [wA;QA;uA]; toc figure(1) plot(x,wA,'b*', x,z,'k.'); ylim([-0.5 2.5]) end

%fungsiB for Test case II from HE-43/97/016/B %Momentum equation source term calculation - 1D codes function B=fungsiB1(x) if x >8 && x<12 B=0.2-0.05*(x-10)^2; else B=0; end end

clc clear x=10%0:1:25; coba(x);


metode newton termodifikasi untuk pencarian akar...

Documents