fungsi dan grafik diferensial dan integral · pdf file2 sudaryatno sudirham, fungsi dan...

1

Sudaryatno Sudirham

Darpublic

Studi Mandiri

Fungsi dan Grafik

Diferensial dan Integral

2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Hak cipta pada penulis, 2010

SUDIRHAM, SUDARYATNO

Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral

Oleh: Sudaryatmo Sudirham

Darpublic, Bandung

fdg-1110

edisi Juli 2011

http://www.ee-cafe.org

Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.

Fax: (62) (22) 2534117

3

BAB 6

Fungsi Trigonometri

6.1. Peubah Bebas Bersatuan Derajat

Berikut ini adalah fungsi-fungsi trigonometri dengan sudut θ sebagai peubah-bebas.

.sin

1csc ;

cos

1sec

sin

coscot ;

cos

sintan

cos ;sin

65

43

21

θ=θ=

θ=θ=

θ

θ=θ=

θ

θ=θ=

θ=θ=

yy

yy

yy

(6.1)

Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kita gambarkan lingkaran-

satuan, yaitu lingkaran berjari-jari satu. Bentuk lingkaran ini

diperlihatkan pada Gb.6.1. Kita menggunakan referensi arah positif

berlawanan dengan arah jarum jam; artinya sudut θ makin besar jika jari-jari r berputar berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Gb.6.1. Lingkaran berjari-jari 1.

O

P

Q

θ

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

r

P’

-θ


Fungsi sinus. Dengan membuat jari-jari r = OP = 1, maka

PQPQ

sin ==θr

(6.2)

PQ = 0 pada waktu θ = 0o, dan membesar jika θ membesar sampai mencapai maksimum PQ = 1 pada waktu θ = 90o. Kemudian PQ menurun lagi dan mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 180o. Sesudah itu PQ menjadi negatif (arah ke bawah) dan mencapai minimum PQ = −1 pada waktu θ = 270o, kemudian meningkat lagi mencapai PQ = 0 pada waktu θ = 360o. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 720o. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Kejadian satu siklus kita sebut satu perioda. Secara singkat

kita memperoleh

0360sin ;1270sin

;0180sin ;190sin ;00sin

oo

ooo

=−=

===

Fungsi Cosinus. Karena telah ditetapkan r = 1, maka

OQOQ

cos ==θr

(6.3)

OQ = 1 pada waktu θ = 0, dan mengecil jika θ membesar sampai mencapai minimum OQ = 0 pada waktu θ = π/2. Kemudian OQ meningkat lagi tetapi negatif dan mencapai OQ = −1 pada waktu θ = π. Sesudah itu OQ mengecil dan tetap negatif dan mencapai minimum OQ

= 0 pada waktu θ = 1,5π, kemudian meningkat lagi mencapai OQ = 1 pada waktu θ = 2π. Setelah itu keadaan akan berulang, dan satu siklus berikutnya terjadi pada waktu θ = 4π. Kejadian berulang lagi dan demikian seterusnya. Secara singkat

1360cos ;0270cos

;1180cos ;090cos ;10cos

oo

ooo

==

−===

Pada Gb.6.1, jika sin(θ) = PQ dan cos(θ) = OQ, sedangkan dalil Pitagoras memberikan PQ

2 + OQ

2 = OP

2 =1, maka

1)(cos)(sin 22 =θ+θ (6.4.a)

Dari Gb.6.1. dapat kita peroleh juga

5

θ−=−

=′

=θ− sinPQQP

)sin(rr

(6.4.b)

θ==θ− cosOQ

)cos(r

(6.4.c)

Pada segitiga siku-siku OPQ maupun OP’Q sisi tegak selalu lebih kecil

dari sisi miring. Oleh karena itulah sinθ maupun cosθ akan bernilai antara −1 dan +1.

Fungsi Tangent.

OQ

PQtan =θ (6.4.d)

θ−=−

=′

=θ− tanOQ

PQ

OQ

QP)tan( (6.4.e)

Nilai tanθ akan menjadi 0 jika θ = 0o, dan akan menuju +∞ jika θ menuju 90

o karena pada waktu itu PQ juga ∞ dan tan(−θ) akan menuju −∞ pada

waktu θ menuju −90o. Jadi tanθ bernilai antara −∞ sampai +∞.

Nilai tanθ = 1 bila θ = 45o karena pada waktu itu PQ = OQ; tan(−θ) = −1 jika θ = −45o. Lihat pula kurva pada Gb.6.5.

Fungsi Cotangent.

PQ

OQcot =θ (6.4.f)

θ−=−

=′

=θ− cotPQ

OQ

QP

OQ)cot( (6.4.g)

Nilai cotθ akan menuju +∞ jika θ menuju 0o karena PQ akan menuju 0 walau OQ menuju 0; cotθ = 0 jika θ = 90o karena OQ = 0.

Sebaliknya cotθ akan menuju −∞ jika θ menuju −0 karena P’Q akan menuju −0; cotθ = 0 jika θ = −90o karena P’Q menuju −∞. Lihat pula kurva Gb.6.6.


Fungsi Secan dan Cosecan

OQcos

1sec

r=

θ=θ (6.4.h)

PQsin

1csc

r=

θ=θ (6.4.i)

Nilai secθ menuju ∞ jika θ menuju 90o karena OQ menuju 0 dan secθ = 1 pada waktu θ = 0o karena pada waktu itu OQ = r atau cosθ = 1. Sementara itu cscθ akan menuju ∞ jika θ menuju 0 karena sinθ menuju 0. Lihat pula Gb.6.7.

Relasi-Relasi. Relasi-relasi yang lain dapat kita turunkan dengan

mengunakan Gb.6.2., yaitu

Gb.6.2. Relasi-relasi

βα−βα=β+α

βα+βα=β+α

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin( (6.5)

Karena β−=β− sin)sin( dan β=β− cos)cos( maka kita peroleh pula

βα+βα=β−α

βα−βα=β−α

sinsincoscos)cos(

sincoscossin)sin( (6.6)

sinα

α

-1

1

-1 [0,0] 1 x

y

β

cosα

cosα cosβ

cosα sinβ

β

sinα sinβ

sinα cosβ

7

6.2. Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y

Bilangan-nyata dengan desimal yang tidak terbatas,

π, digunakan untuk menyatakan besar sudut dengan satuan radian. Jumlah radian dalam sudut θ didefinisikan dengan persamaan

θ==θ rsr

s , (6.7)

Jika θ = 360o maka s menjadi penuh satu keliling lingkaran, atau s = 2πr . Jadi jumlah radian dalam sudut 360

o adalah 2π. Dengan demikian maka

ukuran sudut

rad. adalah 180 o1 π=θ

rad. 0,5adalah 90 o2 π=θ

rad. )180/(adalah 1 o3 π=θ dst.

Fungsi Sinus. Dengan menggunakan satuan radian, fungsi trigonometri

akan kita gambarkan pada sistem koordinat x-y, yang kita ketahui bahwa

sumbu-x adalah sumbu bilangan-nyata, termasuk π. Bentuk kurva fungsi sinus

)sin(xy = (6.8)

terlihat pada Gb.6.3. yang dibuat untuk nilai x dari −2π sampai +2π.

Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai nilai nol pada x = π atau θ = 180o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = 1,5π atau θ = 270o, kembali nol pada x = 2π atau θ = 360

o; inilah satu perioda.

Gb.6.3. Kurva fungsi sinus dalam dua perioda.

x

y

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0−π π 2π −2π

θ s r


Fungsi Cosinus. Kurva fungsi cosinus

)cos(xy = (6.9)

terlihat pada Gb.6.4. Fungsi ini mencapai nilai maksimum +1 pada x = 0

atau θ = 0o, mencapai nilai nol pada x = π/2 atau θ = 90o, mencapai minimum −1 (arah negatif) pada x = π atau θ = 180o, kembali nol pada x = 1,5π atau θ = 270o, dan ke nilai maksimum +1 lagi setelah satu perioda, 2π.

Gb.6.4. Kurva fungsi cosinus.

Fungsi sinus maupun fungsi cosinus adalah fungsi periodik dengan

perioda sama sebesar 2π, dengan nilai maksimum dan minimum yang sama yaitu +1 dan −1. Perbedaan antara keduanya terlihat, yaitu

)cos()cos( sedangkan )sin()sin( xxxx −=−−= (6.10)

Fungsi sinus simetris terhadap titik-asal [0,0], dan disebut memiliki

simetri ganjil. Fungsi cosinus simetris terhadap sumbu-y dan disebut

memiliki simetri genap.

Dengan memperbandingkan Gb.6.3. dan Gb.6.4 kita lihat bahwa fungsi

sinus dapat dipandang sebagai fungsi cosinus yang tergeser sejajar

sumbu-x sebesar π/2. Oleh karena itu fungsi sinus dapat kita nyatakan dalam cosinus

)2/cos()sin( π−== xxy (6.11)

Fungsi Tangent. Selanjutnya kita lihat fungsi

)cos(

)sin()tan(

x

xxy == (6.12)

perioda

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 x

y

2π π −π

9

Karena cos(x) = 0 pada x = +π/2 dan −π/2, maka tan(x) bernilai tak hingga pada x = +π/2 dan −π/2.

Fungsi Cotangent. Fungsi ini adalah kebalikan dari fungsi tangent.

)tan(

1

)sin(

)cos()cot(

xx

xxy === (6.13)

Karena sin(x) = 0 pada x = 0, maka cot(x) bernilai tak hingga pada x = 0.

Lihat Gb.6.6.

Gb.6.6. Kurva y = cot (x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

y

Gb.6.5. Kurva )tan(xy ====

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π


Fungsi Secan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi cosinus.

)cos(

1)sec(

xxy == (6.14.a)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.a. Perhatikan bahwa sec(x) bernilai

1 pada x = 0 karena pada nilai x itu cos(x) juga bernilai 1.

Fungsi Cosecan. Fungsi ini adalah kebalikan fungsi sinus.

)sin(

1)csc(

xxy == (6.14.b)

Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.6.7.b. csc(x) bernilai ∞ pada x = 0 kara pada nilai x ini sin(x) bernilai 0.

(a) y = sec(x)

(b) y = csc(x)

Gb.6.7. Kurva y = sec(x) dan y = csc(x)

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π

11

Soal-Soal: Skets kurva fungsi-fungsi berikut:

xy sin2= ; xy 2sin3= ; xy 3cos2= ;

)4/2cos(3 π+= xy ; )3/tan(2 xy =

6.3. Fungsi Trigonometri Inversi

Sinus Inversi. Jika fungsi sinus kita tuliskan )sin(xy = , maka fungsi

sinus inversi dituliskan sebagai

xyxy 1sinatau arcsin −== (6.15)

Perhatikan bahwa sin−1x bukan berarti 1/sinx, melainkan inversi sinus x

yang bisa kita baca sebagai: y adalah sudut yang sinusnya sama dengan

x.

Karena fungsi sinus adalah periodik dari −∞ sampai +∞ maka fungsi

xy 1sin−= tidaklah bernilai tunggal. Kurva fungsi ini terlihat pada

Gb.6.8.a.

Ia akan terlihat bernilai tunggal jika kita membatasi nilai y; kita hanya

meninjau fungsi sinus inversi pada 22

π≤≤

π− y . Dengan pembatasan ini

maka kita hanya terlibat dengan nilai-nilai utama dari sin−1x. Jadi nilai

utama xy 1sin−= terletak pada 2

sin2

1 π≤≤

π− −

x . Kurva fungsi

xy 1sin−= yang dibatasi ini terlihat pada Gb.6.8.b.

Perhatikanlah bahwa pada x = 0, y = sin−1x = 0 karena pada y = 0 sin(y) =

0 = x. Pada x = 1, y = sin−1x = π/2 karena sin(y) = sin(π/2) = 1 = x.

Contoh: π== − 5,0)1(sin 1y ;

π−=−= − 5,0)1(sin 1y

6)5,0(sin 1 π== −y ;

6)5,0(sin 1 π

−=−= −y


a) b)

Gb.6.8. Kurva y = sin−1x

Jika kita bandingkan Gb.6.8. (fungsi sinus inversi) dengan Gb.6.3.

(fungsi sinus) terlihat bahwa jika sumbu-y pada Gb.6.8. kita gambarkan

horizontal sedangkan sumbu-x kita gambarkan vertikal, maka kita akan

memperoleh bentuk kurva fungsi sinus pada Gb.6.3. pada rentang

22

π≤≤

π− y , yaitu rentang di mana kita membatasi nilai y pada fungsi

sinus inversi, atau rentang nilai utama fungsi sinus inversi.

Cosinus Inversi. Fungsi cosinus inversi kita peroleh melalui hubungan

xxy11

sin2

cos−− −

π== (6.16)

Hubungan ini berasal dari relasi segitiga siku-siku. Jika sudut lancip

segitiga siku-siku adalah α dan β, maka α−π=β 2/ dan β=α cossin .

Oleh karena itu jika x=αsin maka x=βcos sehingga

xx 11 sin2/2/cos −− −π=α−π=β=

x

y

-1 0

10

−π

π

2π

−2π -0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-1 -0,5 0 0,5 1x

y

13

Karena dengan pembatasan 22

π≤≤

π− y pada fungsi sinus inversi

memberikan 2

sin2

1 π≤≤

π− −

x maka nilai-nilai utama dari x1cos− akan

terletak pada π≤≤ − x1cos0 . Gb.6.9.b. memperlihatkan kurva fungsi

cosinus inversi pada nilai utama.

Perhatikan bahwa jika sumbu-x digambar vertikal sedang sumbu-y

digambar horizontal, kita dapatkan fungsi cosinus seperti pada Gb.6.4.

dalam rentang π≤≤ x0 .

a) b)

Gb.6.9. Kurva xy 1cos−=

Tangent Inversi. Fungsi tangent inversi adalah

xy 1tan−= (6.17)

dengan nilai utama 2

tan2

1 π<<

π− − x

Untuk fungsi ini, nilai )2/(π±=y tidak kita masukkan pada

pembatasan untuk y karena nilai tangent akan menjadi tak hingga pada

nilai y tersebut. Gb.6.10.a. memperlihatkan kurva xy 1tan−= lengkap

sedangkan Gb.6.10.b. dibatasi pada nilai π<<π− 5.05,0 y .

x

y

-1 0

10

−π

π

0

0,25π

0,5π

0,75π

1π

-1 -0,5 0 0,5 1x

y


a) b)

Gb.6.10. Kurva xy 1tan−=

Jika kita mempertukarkan posisi sumbu-x dan sumbu-y pada Gb.6.10.b

ini, kita akan memperoleh kurva pada Gb.6.5. yaitu kurva fungsi tangent,

dalam rentang

2tan

2

1 π<<

π− −

x

Inilah batas nilai-nilai utama fungsi tangent inversi.

Cotangent inversi. Fungsi ini diperoleh melalui hubungan

xxy11

tan2

cot−− −

π== (6.18)

dengan nilai utama π<< − x1cot0

0 dan π tidak masuk dalam pembatasan y karena pada nilai tersebut y menjadi tak hingga.

Hubungan (6.18) diperoleh dari segitiga siku-siku. Jika sudut lancip

segitiga siku-siku adalah α dan β, maka α−π=β 2/ dan β=α cottan .

Oleh karena itu jika x=αtan maka x=βcot sehingga

xx 11 tan2/2/cot −− −π=α−π=β=

Kurva fungsi cotangent inversi terlihat pada Gb.6.11.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1,5π

-π

-0,5π

0

0,5π

π

1,5π

y

x

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-10 -5 0 5 10x

y

15

Gb.6.11. Kurva xy 1cot−=

Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y Gb.6.11. ini akan memberikan

bentuk kurva fungsi cotangent pada Gb.6.6.

Fungsi Secan Inversi. Selanjutnya kita memperoleh fungsi secan inversi

xxy

1cossec 11 −− == (6.19)

dengan nilai utama π≤≤ − x1sec0 .

Gb.6.12. Kurva xy 1sec−=

Fungsi Cosecan Inversi.

xx

1sincsc 11 −− = (6.20)

dengan nilai utama 2

csc2

1 π≤≤

π− −

x

0

0,5π

1π

-10 -5 0 5 10

y

x

0

0,25

0,5π

0,75π

π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4


Pertukaran posisi sumbu-x dan sumbu-y pada gambar kurva kedua fungsi

terakhir ini juga akan memberikan bentuk kurva fungsi non-konversinya.

Gb.6.12. Kurva xy 1csc−=

Hubungan Fungsi-Fungsi Inversi. Hubungan antara fungsi inversi

dengan fungsi-fungsi non-inversi dapat kita cari dengan menggunakan

gambar segitiga siku-siku.

1). Dari fungsi xy 1sin−= , yaitu sudut y yang sinus-nya adalah x

dapat kita gambarkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama

dengan 1 seperti terlihat di bawah ini.

Dari gambar ini selain fungsi xy 1sin−= dan xy =sin , kita

dapat peroleh

21cos xy −= , 2

1

tan

x

xy

−= , dst.

2). Dari fungsi cosinus inversi xy 1cos−= dapat kita gambarkan

segitiga siku-siku seperti di bawah ini.

x 1

21 x−

y

y

-0,5π

-0,25π

0

0,25π

0,5π

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x

17

Selain xy =cos dari gambar ini kita dapatkan

21sin xy −= , x

xy

21tan

−= , dst.

3). Dari fungsi xy 1tan−= , kita gambarkan segitiga seperti di

bawah ini.

Selain xy =tan , kita peroleh

21

sin

x

xy

+= ,

21

1cos

x

y

+= , dst

4). Dari fungsi xy 1sec−= kita gambarkan

Dari gambar ini kita peroleh

21tan xy −= , x

xy

1sin

2 −= , dst.

x 12 −x

y

1

x

1

21 x+

y

x

1 21 x−y


Soal-Soal:

1) Dari fungsi xy 1cot−= tentukan ysin dan ycos

2) Dari fungsi xy 1csc−= tentukan ytan dan ycos

19

BAB 7

Gabungan Fungsi Sinus

7.1. Fungsi Sinus Dan Cosinus

Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal, seperti misalnya

gelombang cahaya, gelombang radio pembawa, gelombang tegangan

listrik sistem tenaga, dsb. Peristiwa-peristiwa itu merupakan fungsi

waktu, sehingga kita akan melihatnya dengan menggunakan waktu

sebagai peubah bebas, dengan simbol t, satuan detik.

Dalam peristiwa sinusoidal, jumlah siklus yang terjadi setiap detik

disebut frekuensi siklus, dengan simbol f , dengan satuan Hertz (1 Hz = 1

siklus per detik). Jadi jika fungsi sinus memiliki perioda T0 maka

00

1

Tf = (7.1)

Sebagaimana dikemukakan di bab sebelumnya, kita menggunakan

jumlah radian untuk menyatakan sudut. Karena satu siklus perubahan

sudut bersesuaian dengan perubahan sebesar 2π radian, maka f siklus per detik bersesuaian dengan 2πf radian per detik. Jadi di samping frekuensi siklus f kita memiliki frekuensi sudut dengan simbol ω, dengan satuan radian per detik. Relasi antara frekuensi siklus (f) dengan frekuensi sudut

(ω), dan juga dengan perioda (T0), adalah

00

22

Tf

π=π=ω (7.2)

Suatu fungsi cosinus yang memiliki amplitudo (nilai puncak) A

dituliskan sebagai

π=ω=

0

2coscos

T

tAtAy (7.3)

Catatan: Sebelum kita lanjutkan pembahasan kita, ada sedikit catatan

yang perlu dicermati. Di bab sebelum ini kita menyatakan fungsi

sinus )sin(xy = atau fungsi cosinus )cos(xy = dengan x sebagai

peubah bebas dengan satuan radian. Pada (7.3) kita menyatakan

fungsi cosinus ty ω= cos dengan t sebagai peubah bebas dengan

satuan detik. Faktor ω-lah yang membuat satuan detik menjadi radian; ω disebut frekuensi susut, satuan rad/detik.


Gb.7.1. memperlihatkan kurva fungsi cosinus. Jika fungsi cosinus ini kita

geser ke arah positif sebesar ¼ perioda kita akan mendapatkan fungsi

sinus. Gb.7.2.

π=ω=

π−ω=

0

2sinsin

2cos

T

tAtAtAy (7.4)

Gb.7.1. Fungsi cosinus

π=ω=

0

2coscos

T

tAtAy

Gb.7.2. Fungsi sinus

π−ω=

π=ω=

2cos

2sinsin

0

tAT

tAtAy

Pergeseran fungsi cosinus sebesar Ts diperlihatkan pada Gb.7.3.

Persamaan kurva cosinus tergeser ini adalah

( )

π−

π=−ω=

00

22coscos

T

T

T

tATtAy s

s

T0

-A

0

A

0 t

y

T0

-A

0

A

0 t

y

21

Gb.7.3. Fungsi cosinus tergeser

Kita perhatikan bahwa puncak pertama fungsi cosinus menunjukkan

pergeseran. Pada Gb.7.1. pergeseran adalah nol. Pada Gb.7.3. pergeseran

adalah Ts . Pada Gb.7.2. pergeseran adalah π/2 yang kemudian menjadi kurva fungsi sinus. Jadi akan sangat mudah menuliskan persamaan suatu

fungsi sinusoidal sembarang, yaitu dengan menuliskannya dalam bentuk

cosinus, dengan memasukkan pergeseran yang terjadi yaitu yang

ditunjukkan oleh posisi puncak yang pertama.

Untuk selanjutnya, peristiwa-peristiwa yang berubah secara sinusoidal

kita nyatakan dengan menggunakan fungsi cosinus, yang dianggap

sebagai bentuk normal

Perhatikanlah bahwa Ts adalah pergeseran waktu dalam detik, sehingga

fungsi sinusoidal dengan pergeseran Ts kita tuliskan (Gb.7.3)

( )sTtAy −ω= cos

yang dapat pula kita tuliskan

( )sTtAy ω−ω= cos

Pada penulisan terakhir ini, ωTs mempunyai satuan radian, sama dengan

satuan ωt. Selanjutnya

0

2

T

TT ss

π=ω=ϕ (7.5)

disebut sudut fasa dari fungsi cosinus dan menunjukkan posisi puncak

pertama dari fungsi cosinus. Fungsi cosinus dengan sudut fasa ϕ kita tuliskan

( )ϕ−ω= ty cos (7.6)

T0

-A

0

A

0 t

y

Ts


Jika ϕ = π/2 maka kita mempunyai fungsi sinus. Jadi untuk mengubah fungsi sinus ke dalam format normal (menggunakan fungsi cosinus) kita

menambahkan pergeseran sebesar π/2 pada fungsi cosinus.

7.2. Kombinasi Fungsi Sinus.

Dalam tinjauan selanjutnya, jika disebut fungsi sinus, yang dimaksudkan

adalah fungsi sinus yang dinyatakan dalam bentuk normal, yaitu cosinus.

Fungsi sinus adalah fungsi periodik. Fungsi-fungsi periodik lain yang

bukan sinus, dapat dinyatakan sebagai jumlah dari fungsi-fungsi sinus.

Atau dengan kata lain suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi

jumlah dari beberapa komponen sinus, yang memiliki amplitudo, sudut

fasa, dan frekuensi yang berlainan satu sama lain. Dalam penguraian itu,

fungsi akan terdiri dari komponen-komponen yang berupa komponen

searah (nilai rata-rata dari fungsi), komponen sinus dengan frekuensi

dasar f0 , dan harmonisa yang memiliki frekuensi harmonisa nf0 .

Sebaliknya dapat juga dikatakan bahwa jumlah dari beberapa fungsi

sinus yang memiliki amplitudo, frekuensi, serta sudut fasa yang

berlainan, akan membentuk fungsi periodik, walaupun bukan berbentuk

sinus. Gb.7.4. memperlihatkan beberapa bentuk fungsi periodik; bentuk

fungsi-fungsi periodik ini tergantung macam komponen sinus yang

menyusunnya.

Frekuensi harmonisa adalah nilai frekuensi yang merupakan kelipatan

bulat n dari frekuensi dasar f0. Frekuensi f0 kita sebut sebagai frekuensi

dasar karena frekuensi inilah yang menentukan perioda T0 = 1/f0 .

Frekuensi harmonisa dimulai dari harmonisa kedua (2fo), harmonisa

ketiga (3f0), dan seterusnya, yang secara umum kita katakan harmonisa

ke-n mempunyai frekuensi nf0 .

7.3. Spektrum Dan Lebar Pita.

Spektrum. Jika kita menghadapi suatu fungsi periodik, kita bisa

mempertanyakan bagaimana komponen-komponen sinusoidalnya.

Bagaimana penyebaran amplitudo dan sudut fasa setiap komponen, atau

dengan singkat bagaimana spektrum fungsi tersebut. Kita juga

mempertanyakan bagaimana sebaran frekuensi dari komponen-

komponen tersebut.

23

Gb.7.4. Beberapa fungsi periodik.

Berikut ini kita akan melihat suatu contoh fungsi yang dinyatakan

dengan persamaan

( ) ( ) ( )tftftfy )4(2cos5,7)2(2sin152cos3010 000 π−π+π+=

Fungsi ini merupakan jumlah dari satu komponen konstan dan tiga

komponen sinus. Komponen konstan sering disebut komponen

berfrekuensi nol karena y(t) = A cos(2πft) = A jika f = 0. Komponen sinus yang pertama adalah komponen sinus dasar karena komponen

inilah yang mempunyai frekuensi paling rendah tetapi tidak nol. Suku

ketiga dan keempat adalah harmonisa ke-2 dan ke-4; harmonisa ke-3

tidak ada.

Fungsi ini dinyatakan dengan campuran fungsi sinus dan cosinus. Untuk

melihat bagaimana spektrum fungsi ini, kita harus menuliskan tiap suku

dengan bentuk yang sama yaitu bentuk normal (standar). Telah dikatakan

-4

1

-5 15

)4/)2(2cos(22cos31 00 πππ ++++−−−−++++==== tftfy

y

y = 1 + 3 cos 2f0t -4

0

4

-5 15 t

))2(2cos(22cos31 00 tftfy ππ −−−−++++====

y

t

- 4

0

4

- 5 15

y

y = 3 cos 2f0t -4

0

4

-5 15 t


di depan bahwa bentuk normal pernyataan fungsi sinusoidal adalah

menggunakan fungsi cosinus, yaitu )2cos( ϕ+π= ftAy .

Dengan menggunakan kesamaan

)2/2cos()2sin( π−π=π ftft dan )2cos()2cos( π+π=π− ftft

persamaan fungsi di atas dapat kita tulis

)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 π+π+π−π+π+= tftftfy

Dalam pernyataan terakhir ini semua suku telah kita tuliskan dalam

bentuk standar, dan kita dapat melihat amplitudo dan sudut fasa dari tiap

komponen seperti dalam tabel berikut.

Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0

Amplitudo 10 30 15 7,5

Sudut fasa − 0 −π/2 π

Fungsi yang kita ambil sebagai cintoh mungkin merupakan pernyataan

suatu sinyal (dalam rangkaian listrik misalnya). Tabel ini menunjukkan

apa yang disebut sebagai spektrum dari sinyal yang diwakilinya. Suatu

spektrum sinyal menunjukkan bagaimana komposisi baik amplitudo

maupun sudut fasa dari semua komponen cosinus sebagai fungsi dari

frekuensi. Sinyal yang kita bahas ini berisi empat macam frekuensi, yaitu

: 0, f0 , 2f0 , dan 4f0. Amplitudo dari setiap frekuensi secara berturut-turut

adalah 10, 30, 15, dan 7,5 satuan (volt misalnya, jika ia adalah sinyal

tegangan). Sudut fasa dari komponen sinus yang berfrekuensi f0 , 2f0 dan

4f0 berturut turut adalah 0, −π/2, dan π radian.

Dari tabel tersebut di atas kita dapat menggambarkan dua grafik yaitu

grafik amplitudo dan grafik sudut fasa, masing-masing sebagai fungsi

frekuensi. Grafik yang pertama kita sebut spektrum amplitudo (Gb.7.5.a)

dan grafik yang kedua kita sebut spektrum sudut fasa (Gb.7.5.b).

25

Gb.7.5.a. Spektrum Amplitudo

Gb.7.5.b. Spektrum sudut fasa.

Penguraian fungsi periodik menjadi penjumlahan harmonisa sinus, dapat

dilakukan untuk semua bentuk fungsi periodik dengan syarat tertentu.

Fungsi persegi misalnya, yang juga periodik, dapat diuraikan menjadi

jumlah harmonisa sinus. Empat suku pertama dari persamaan hasil uraian

fungsi persegi ini adalah sebagai berikut :

....)2/72cos(7

)2/52cos(5

+

)2/32cos(3

)2/2cos(

00

00

+π−π+π−π

π−π+π−π=

tfA

tfA

tfA

tfAy

Dari persamaan ini, terlihat bahwa semua harmonisa mempunyai sudut

fasa sama besar yaitu –π/2; amplitudonya menurun dengan meningkatnya frekuensi dengan faktor 1/n; tidak ada komponen konstan dan tidak ada

harmonisa genap. Tabel amplitudo dan sudut fasa adalah seperti berikut.

0

π/2

2π

0 1 2 3 4 5

Sudut Fasa

Frekuensi [×f0]

−π/2

−2π

0

10

20

30

40

0 1 2 3 4 5

Frekuensi [×f0]

Amplitudo


Frekuensi: 0 f0 2f0 3f0 4f0 5f0 .. nf0

Amplitudo: 0 A 0 A/3 0 A/5 .. A/n

Sudut Fasa: - -π/2 - -π/2 - -π/2 .. -π/2

Gb.7.6. berikut ini memperlihatkan bagaimana fungsi persegi dibangun

dari harmonisa-harmonisanya.

a) b)

d)

c)

e)

Gb.7.10. Uraian fungsi persegi.

a). sinus dasar. b). harmonisa-3 dan sinus dasar + harmonisa-3.

c). harmonisa-5 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.

d). harmonisa-7 dan sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 +

harmonisa-7. e) hasil penjumlahan yang dilakukan sampai pada

harmonisa ke-21.

Lebar Pita. Dari contoh fungsi persegi di atas, terlihat bahwa dengan

menambahkan harmonisa-harmonisa pada sinus dasarnya kita akan

makin mendekati bentuk persegi. Penambahan ini dapat kita lakukan

terus sampai ke suatu harmonisa tinggi yang memberikan bentuk fungsi

yang kita anggap cukup memuaskan artinya cukup dekat dengan bentuk

yang kita inginkan.

Pada spektrum amplitudo, kita juga dapat melihat bahwa makin tinggi

frekuensi harmonisa akan makin rendah amplitudonya. Hal ini tidak

hanya berlaku untuk fungsi persegi saja melainkan berlaku secara umum.

Oleh karena itu secara umum kita dapat menetapkan suatu batas

27

frekuensi tertinggi dari suatu fungsi periodik, dengan menganggap

amplitudo harmonisa-harmonisa yang frekuensinya di atas frekuensi

tertinggi ini dapat diabaikan. Batas frekuensi tertinggi tersebut dapat kita

tetapkan, misalnya frekuensi harmonisa yang amplitudonya tinggal 2%

dari amplitudo sinus dasar.

Jika batas frekuensi tertinggi kita tetapkan, batas frekuensi terendah juga

perlu kita tetapkan. Batas frekuensi terendah adalah frekuensi sinus dasar

jika bentuk fungsi yang kita tinjau tidak mengandung komponen konstan.

Jika mengandung komponen konstan maka frekuensi terendah adalah

nol. Selisih dari frekuensi tertinggi dan terendah disebut lebar pita (band

width).


Soal-Soal: Fungsi Sinus, Gabungan Sinus, Spektrum

1. Tentukan persamaan bentuk kurva fungsi sinus berikut ini

dalam format cosinus )cos( sxxAy −= :

a). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0, frekuensi

siklus 10 siklus/skala.

b). Amplitudo 10, puncak pertama terjadi pada x = 0,02,

frekuensi siklus 10 siklus/skala.

c). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa 0o, frekuensi sudut 10

rad/skala.

d). Amplitudo 10, pergeseran sudut fasa +30o, frekuensi sudut

10 rad/skala.

2. Carilah spektrum amplitudo dan sudut fasa dari fungsi gabungan

sinus berikut ini

80002sin2,0 40002cos220002sin54 ttty π+π−π+=

Dengan mengambil batas amplitudo harmonisa tertinggi 5%,

tentukan lebar pita fungsi ini.

3. Ulangi soal sebelumnya untuk fungsi berikut.

8000cos2 20002sin2-)6010002cos(3o

ttty π+π−π=


5000cos02,01500cos2.0

500cos300cos2100cos10

tt

ttty

++

++=


20002cos2,0 15002cos2

10002cos35002cos1010

tt

tty

π+π+

π+π+=

29

Referensi

1. Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut

Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan

dalam buku ini.

2. George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison

Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika

di ITB, tahun 1963 - 1964.

3. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,

ISBN 979-9299-54-3, 2002.

4. Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.

5. Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.

fungsi dan grafik diferensial dan integral · pdf file2 sudaryatno sudirham, fungsi dan...

Documents