darpublic.files.wordpress.com · 2013-01-31 · 1/31/2013 1 pilihantopikpilihan topik matematika...
TRANSCRIPT
1/31/2013
1
PilihanPilihanPilihanPilihan TopikTopikTopikTopik
MatematikaMatematikaMatematikaMatematika
Sudaryatno Sudirham
1 2
• Fungsi dan Grafik
• Fungsi Linier
• Gabungan Fungsi Linier
• Mononom dan Polinom
• Bangun Geometris
• Fungsi Trigonometri
• Gabungan Fungsi Sinus
• Fungsi Log Natural, Eksponensial,
Hiperbolik
• Koordinat Polar
3
• Turunan Fungsi Polinom
• Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
• Turunan Fungsi Trigonometri, TrigonometriInversi, Logaritmik, Eksponensial
• Integral
• Integral Tak-Tentu Fungsi-Fungsi
• Persamaan Diferensial Orde-1
• Persamaan Diferensial Orde-2
• Matriks
• Bilangan dan Peubah Kompleks
• Permutasi dan Kombinasi
• Aritmatika Interval
Fungsi dan Grafik
4
Fungsi
5
Apabila suatu besaran y
memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x
maka dikatakan bahwa
y merupakan fungsi x
(Pembahasan Tentang Fungsi dan Grafikdibatasi pada fungsi dengan peubah bebas tunggal
yang berupa bilangan nyata)
panjang sebatang batang logam (= y)
merupakan fungsi temperatur (= x)
Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan
)(xfy =
y disebut peubah tak bebas
nilainya tergantung x
x disebut peubah bebas
bisa bernilai sembarang
Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupabilangan nyata.
Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang dibahas dalam pelajaran mengenai bilangan kompleks.
Walaupun nilai x bisa berubah secara bebas, namun nilai xtetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi
Contoh:
6
1/31/2013
2
Domain
Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi.
a brentang terbuka
a < x < b a dan b tidak termasuk dalam rentang
rentang setengah terbuka a b
a ≤≤≤≤ x < b a masuk dalam rentang, tetapi b tidak
rentang tertutup a b
a ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ b a dan b masuk dalam rentang
Ada tiga macam rentang nilai yaitu:
7
Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku
P[2,1]
Q[-2,2]
R[-3,-3]
S[3,-2]
-4
-3
-2
-1
1
2
3y
0-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
IV
III
III
sumbu-x
sumbu-y
Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebutsumbu-x dan sumbu tegak yang kita sebut sumbu-y.
Bidang terbagi dalam 4 kuadranyaitu Kuadran I, II, III, dan IV
(koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes)
Posisi titik pada bidangdinyatakan dalam
koordinat [x, y]
8
Kurva dari Suatu Fungsi
xy 5,0=
Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y
x -1 0 1 2 3 4 dst.
y -0,5 0 0,5 1 1,5 2 dst.
x
y
∆∆
9
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
-1
0 1 2 3 4 x
y
∆x∆y
P
RQ
xy 5,0=Kurva
Titik P, Q, R, terletak pada kurva
Kemiringan kurva:
Kita lihat fungsi:
(kita baca: “delta x per delta y”)
Kekontinyuan
Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut.
Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:
(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;
(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai
yang kita baca: limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).
)()(lim cfxfcx
=→
10
Contoh:
y = 1/x
y = 1/x
y
x
-1
0
1
-10 -5 0 5 10
Tak terdefinisikan di x = 0
y = u(x)1y
x00
Terdefinisikan di x = 0
yaitu y|x=0 = 1
(y untuk x = 0 adalah 1)
(y untuk x = 0 tidak dapatditentukan nilainya)
11
Simetri
1. Jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
2. Jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
3. Jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
12
1/31/2013
3
Contoh:
y = 0,3x2
y = 0,05x3
y2 + x2 = 9
x
-6
-3
0
3
6
-6 -3 0 3 6
y
tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y
tidak berubah bila x diganti −x
tidak berubah jika:x diganti −xx dan y diganti dengan −x dan −yx dan y dipertukarkany diganti dengan −y
(simetris terhadap sumbu-y)
(simetris terhadap titik [0,0])
13
Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit
8
1
1
22
2
22
=++
=
==+
yxyx
xy
xy
yx
)(xfy =Pernyataan fungsi
Pernyataan bentukimplisit
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas xakan memberikan satu atau lebih nilai
peubah-tak-bebas y
dapat diubah ke bentuk eksplisit
/1
1 2
xy
xy
xy
=
=−=
0)8( 22 =−++ xxyy
2
)8(4
2
22 −−±−=
xxxy
disebut bentuk eksplisit.
-8
-4
0
4
8
-4 -2 0 2 4
x
y
14
Fungsi Bernilai Tunggal
Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
0
4
8
-1 0 1 2 3 4x
y25,0 xy =
0
0,8
1,6
0 1 2x
y
xy +=
-1,6
-0,8
00 1 2
x
y xy −=
-0,8
0
0,8
0 1 2 3 4x
y xy 10log=
0
2
4
-4 -2 0 2 4x
y
2xxy ==
Contoh:
15
Fungsi Bernilai Banyak
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3
x
y
xy ±=
Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memilikilebih dari satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas
-10
-5
0
5
10
0 1 2 3x
y
xy /12 = xy /1±=
Contoh:
16
Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas
Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas:
),,,,( vuzyxfw =
Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya
2222 zyx ++=ρ
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai
222 zyx +++=ρ
17
Sistem Koordinat Polar
Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan sumbu-y, kita mengenal pula sistem
koordinat polar.
Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ
Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut
θ= sinry
θ= cosrx
22 yxr +=
)/(tan 1 xy−=θx
P
θ
r
y
rsinθ
rcosθ
18
1/31/2013
4
Contoh:
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1
y
x
r
θ
P[r,θ]
Bentuk ini disebut cardioid
)cos1(2 θ−=r
19
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1 0 1 2 3x
y
r
θ
P[r,θ]y = 2
2=θrContoh:
20
Fungsi Tetapan
Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai x dari −∞ sampai +∞.
ky =
x
-4
0
5
-5 0 5
y y = 4
5.3−=y
Contoh:
21
Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0]
mxy =
kemiringan garis lurus
∆∆
==" delta"
" delta" :dibaca , kemiringan
x
y
x
ym
0
1
2
-1
0 1 2 3 4 x
y
∆x∆y
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4 x
y
y = 0,5x
y = x
y = 2x
y = -1,5x
m > 0
m < 0
Contoh:
garis lurus melalui [0,0]
22
Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus
y = 2x
y − 2 = 2x
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 0 1 2 3 4x
y
mxby =− )(
y = 2x
y =2(x–1)
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
)( axmy −=Secara umum, persamaan garis lurusyang tergeser sebesar
b ke arah sumbu-y positif adalah
menunjukkanpergeseran sebesar a
ke arah sumbu-x positif
titik potongdengan sumbu- y
titik potongdengan sumbu- x
bmxy +=amxy ′+=
Bentuk umum persamaan garis lurus
pergeseran kearah sumbu-y
pergeseran kearah sumbu-x
menunjukkanpergeseran sebesar b
ke arah sumbu-y positif 23
Contoh:
Persamaan garis: xy 24 −=−
202
40
12
12 −=−−=
−−=
∆∆=
xx
yy
x
ym
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
memotong sumbuy di 4
memotong sumbux di 2
atau )2(2 −−= xy42 +−= xy
dapat dilihat sebagai garismelalui (0,0) yaitu
y = -2xyang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x
24
1/31/2013
5
12
12
xx
yym
−−=
xxx
yymxy
11
12
−−==
Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik
[x1,y1]
[x2,y2]
-4
-2
0
2
4
6
8
-1 0 1 3x
y
2
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
[1,4]
[3,8] 213
48
12
12 =−−
=−−
=xx
yym
persamaan garis: xby 2=− atau )(2 axy −=
24 =− b )3(28 a−=
2=b 1−=a
xy 22=− )1(2 += xy
22 += xy
Contoh:
Persamaan garis lurusmelalui [0,0] yang sejajardengan garis yang melalui
P dan Q
P
Q
Garis ini harus digeserhingga melalui P dan Q
25
Perpotongan Garis Lurus
111 bxay += 222 bxay +=
2211 bxabxa +=+
2P2P1P1P
21
12P
atau
bxaybxay
aa
bbx
+=+=⇒
−−=⇒
Contoh:84dan 32 21 −=+= xyxy
5,5843221 =→−=+→= xxxyy
1435,5232 =+×=+= xy
Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y1 maupuny2.
Dua garis:
Koordinat titik potong P harus memenuhi:
dan
-30
-20
-10
0
10
20
30
-10 -5 0 5 10
y
x
y2
y1
P
xP
yP
Titik potong: 14] P[(5,5),
26
Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata
Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a
maF = atvtv += 0)(
]]]]anoda katoda
l
Contoh:
Contoh:
e
e
m
Fa =
Beda tegangan antara anoda dan katoda dalamtabung katoda adalah V
Kuat medan listrik:l
VE =
Gaya pada elektron:l
eVeEFe ==
Percepatan pada elektron:
gaya fungsi linier dari V
percepatan fungsi linier dari Fe
Apakah percepatan elektron fungsi linier dari V ?
27
Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier daripanjang tarikan.
Contoh:
kxF =
Contoh:Dalam sebatang konduktor sepanjang l, akan mengalir arus listrik sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan tegangan sebesar V. Arus merupakan fungsi linier dari tegangan.
R
VGVi ==
RG
1=
A
lR ρ=
RA
V
A
ij ==
gaya panjang tarikankonstanta pegas
konduktansi resistansi
kerapatan arusresistivitas
G dan R adalah tetapan
Luas penampang konduktor
panjangkonduktor
28
Contoh:
materimasuk di xa
materikeluar di x
xa x
Ca
Cx
∆x
Peristiwa difusi mencapaikeadaan mantap,jika
konsentrasi materi Ca di xa dan Cx di x bernilai konstan
Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.
Peristiwa difusi: materi menembus materi lain
dx
dCDJ x −=
gradienkonsentrasi
koefisien difusi
Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier dari gradien konsentrasi
Fluksi materi yang berdifusi ke arah x
29
Fungsi Anak Tangga
0untuk 0
0untuk 1)(
<=≥=
x
xxu
)(xkuy =
muncul pada x = 0
amplitudo
Fungsi ini memiliki nilai yang terdefinisi
di x = 0
Fungsi anak tangga satuan
Secara umum
0
2
0 5x
y
1
1)(xuy =
)(xuy =
Contoh:
-4
0
5
0 5x
y)(5,3 xuy =
)(5,2 xuy −=30
1/31/2013
6
)( axkuy −=Fungsi anak tangga tergeser
-4
0
5
0 5x
y
1
)1(5,3 −= xuy
Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif
Contoh:
31
Fungsi Ramp )(xaxuy =
0
1
2
3
4
5
6
-1 0 1 2 3 4x
y y1 = xu(x)y2 = 2xu(x)
y3 = 1,5(x-2)u(x-2)
Fungsi ramp tergeser: )()( gxugxay −−=
Fungsi ramp satuan : )(xxuy =
Contoh:
kemiringan a = 1
kemiringan
Fungsi ini baru muncul pada x = 0karena ada faktor u(x) yang
didefinisikan muncul pada x = 0(fungsi anak tangga)
Pergeseransearah sumbu-x
32
Pulsa Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatunilai x1 tertentu dan menghilang pada x2 > x1
)()( 21 xxauxxauy −−−= :persamaan
12 xx −:pulsalebar
{ })2()1(2 −−−= xuxu
y1=2u(x-1)
y2 = −2u(x−2)
y1 + y2 = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)
lebar pulsa
-2
-1
0
1
2
-1 0 1 2 3 4x
perioda
x
y
Deretan Pulsa:
Contoh:
33
Perkalian Ramp dan Pulsa
{ } )()()( 21 xxuxxuAxmxuy −−−×=
{ })()( 21 xxuxxumAxy −−−=
ramp pulsahanya mempunyai nilaidalam selang lebarnya
y1=2xu(x)
y2=1,5{u(x-1)-u(x-3)}
y3 = y1 y2
0
2
4
6
8
10
-1 0 1 2 3 4 5x
y
Contoh:
maka y jugaakan bernilaidalam selang
lebar pulsa saja
34
y2 = {u(x)-u(x-b)}
y1 = mxu(x)
y3 = y1 y2
= mx{ u(x)-u(x-b)}
0
2
4
6
8
10
-1 0 1 2 3 4 5
yy
xb
Contoh:
35
Gabungan Fungsi Ramp
.......)()()()()( 2211 +−−+−−+= xxuxxcxxuxxbxaxuy
Contoh:
y1= 2xu(x)
y2= −2(x−2)u(x−2)
y3= 2xu(x)−2(x−2)u(x−2)y
-8
-4
0
4
8
12
0 1 2 3 4 5x
Kemiringan yang berlawananmembuat y3 bernilai konstanmulai dari x tertentu
36
1/31/2013
7
y1=2xu(x)
y2= −4(x−2)u(x−2)
y3= 2xu(x)−4(x−2)u(x−2)
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5x
y
y2 lebih cepat menurun dari y1 makay3 menurun mulai dari x tertentu
Contoh:
37
y1= 2xu(x)
y2= −4(x-2)u(x-2)
y3= {2xu(x)−4(x-2)u(x-2)}{ u(x-1)-u(x-3)}
-10
-5
0
5
10
15
0 1 2 3 4 5x
y
Pulsa ini membuat y3 hanyabernilai dalam selang 1≤ x ≤ 3
Contoh:
38
4. Mononom dan Polinom
Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn
Mononom Pangkat Dua: 2kxy =
y = x2
y = 3x2y = 5x2y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3 -2 -1 0 1 2 3x-100
-80
-60
-40
-20
0-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y
x
210xy −=
22xy −=
Contoh:
y memiliki nilai maksimum
Karena x2 ≥ 0,makajika k > 0 → y > 0
jika k < 0 → y < 0
y memiliki nilai minimum
39
y1 = 10x2
y2 = 10(x−2)2
y3 = 10(x−2)2 + 30
Pergeseran kurva mononom pangkat dua
-5 -3 3 5x0
50
100
-1 1
y
Pergeseran ke arahsumbu-x positif
Pergeseran ke arahsumbu-y positif
40
Mononom Pangkat Genap pada umumnya
y2 = 2x4
y3 = 2x6
y1 = 2x2
0
1
2
3y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x
0
2
4
6
8
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = x6
y = 3x4
y = 6x2 y
x
Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai
kurva di sekitar titik puncak
Jika kurva-kurva ini memilikinilai k yang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k]
Koordinat titik potong antara kurva( ) 1223dan 2
236
3dan 6 :Kurva
4
242
42
===→
=→=
==
yx
xxx
xyxy
41
( ) 813dan 3
33
3dan :Kurva
6
246
46
===→
=→=
==
yx
xxx
xyxy
Contoh:
Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y
Mononom Pangkat Ganjil
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y = 2x y = 2x5
y = 2x3
y
x
Pangkat ganjil terendah: linier
Jika kurva-kurva ini memilikinilai k yang sama maka mereka
berpotongan di titik P[1,k]
Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik[0,0] yaitu titik yang merupakan
titik belok
Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]
42
1/31/2013
8
Mononom Pangkat Tiga
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
-2 -1 0 1
y
-5 -4 -3 2 3 4 5x
33xy −=32xy =
Mononom pangkat tiga
Simetris terhadap [0,0]
y = 10(x−2)3
y = 10(x−2)3 + 100
y = 10x3
-5 -3 3 5x
-600
-400
-200
0
200
400
600
-1 1
y
Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah
sumbu-x positif
Pergeseran ke arahsumbu-y positif
43
Polinom Pangkat Duacbxaxy ++= 2
y1=2x2
y3=13
y2=15x
x-10
y
-150
0
150
0 10
13152 2 ++= xxy
y1=2x2
y4 = 2x2+15x
y2=15xx = −15/2
y
-150
0
150
0 x-10 10
Kurva masing-masingkomponen (mononom)
dari polinom:
Penjumlahan mononompertama dan ke-dua: xxy 152 2 +=
Perpotongan dengan sumbu-x
2
151520 2 −=⇒+= xxx
44
Polinom
y4 = 2x2+15x
−15/2
x
y
-150
0
150
-10 0
sumbu simetri
−15/4
10
y4 = 2x2+15x
x
y
-150
0
150
-10 0
sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13
10
Sumbu simetri dari xxy 152 2 +=
memotong sumbu-x di: 4
15−=x
Penambahan komponen y3 = 13 memberikan:
13152 2 ++= xxy
45
Koordinat titik puncak:
125,15134
1515
4
152
75,34/152
−=+
−+
−=
=−=
y
x
y = ax2 +bx +c
y = ax2
y
x0
0
Polinom Pangkat Dua secara umum
x2x1
Sumbu simetri:
a
bx
2−=
a
acb
a
bxa
ca
b
a
bxa
cxa
bxay
4
4
2
42
22
22
2
−−
+=
+−
+=
+
+=
Pergeseran ke arah kiri sumbu-x
Pergeseran ke arah negatif sumbu-y
−−a
acb
4
42
46
Penjumlahan: y3 = y1 + y2
-2000
0
2000
-10 0 10x
y
y1
y2
20080194 233 −−+= xxxy
Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua
dcxbxaxy +++= 23
Mononom pangkat tiga (y1)Dan
Polinom pangkat dua (y2)
-2000
0
2000
-10 0 10
y
x
y1 = 4x3
2008019 22 −−= xxy
y3 memotong sumbu-x di 3 titik
Hal ini tidak selalu terjadiTergantung dari nilai koefisien y1
47
2000
-10 10
y2
y1
y3 = y1 + y2
-2000
Kasus:a kurang positifPenurunan kurva y1 di daerah x
negatif tidak terlalu tajamKurva terlihat hanya memotong
sumbu-x di 2 titikTitik potong ke-3 jauh di sumbu-x
negatif
-2000
2000
-10 15
y1
y2
y3 = y1+y2
Kasus:a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif
sangat tajamTak ada titik potong dengan sumbu
di daerahx negatifHanya ada satu titik potong di x
positif
31 axy =
48
dcxbxaxy +++= 23
31 axy =
1/31/2013
9
y3 = y1 + y2
y1
y2
-2000
0-10 0 15
2000
dcxbxaxy +++= 23
49
y3 = y1 + y2
-2000
0
2000
-10 0 15
331 kxaxy −==
dcxbxy ++= 22
a < 0Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif
Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat
• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;
• jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.
• jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
50
Simetri
Nilai Peubah
Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari ydan x yang kita perhatikan
Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks
Contoh:122 =+ xy
21 xy −±=
Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0
11 ≤≤− y
Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang
11 ≤≤− x
Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang
51
Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat
Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-ydiperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikiantidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-xmaupun sumbu-y
Contoh:
122 =+ xy
Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[−1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,−1]
xy = 1
Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y
52
Asimptot
Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkinmenyentuhnya, disebut asimptot
Contoh:
10)( 222 +=− xxxy)1(
102
−+
±=xx
xy
tidak boleh < 0 agar x(x−1) > 0
haruslah x < 0 atau x > 1
Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva
-4
0
4
-4 0 4
y
x
53
Jarak Antara Dua Titik
Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka
22 )()(PQ qpqp yyxx −+−=
Contoh:
-4
-2
2
4
6
8
-1 0 1 2 3 4x
y
0
[1,4]
[3,8]
20)48()13(PQ 22 =−+−=
54
1/31/2013
10
Parabola Bentuk kurva 2kxy = disebut parabola
[0,0]
y
x
y=kx2
P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-yy = −p garis sejajar sumbu-xR terletak pada garis y
ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR
Q disebut titik fokus parabolaGaris y disebut direktrik
Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya
xppyy
xpy
xp
222
22
22
2
)(
)PR(PQ
++−=
+−=
+−= py )(PR +=
pyxppyy +=++− 222 2p
xy
4
2=
pk
4
1=k
p4
1=
2
4
1x
py =
P[x,y]
Q[0,p]
R[x,−p]
55
Contoh:
Parabola 25,0 xy =
dapat kita tuliskan
22
5,04
1
2
1xxy
×==
Direktrik: 5,0−=−= py
Titik fokus: Q[0,(0,5)]
56
LingkaranLingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap satu titik tertentuyang disebut titik pusat lingkaran
Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r
22 yxr += 222 ryx =+
persamaan lingkaranberjari-jari r
berpusat di [0.0]
222 )()( rbyax =−+−Pergeseran titikpusat lingkaransejauh a kearah sumbu-xdan sejauh b ke arah sumbu-y
Persamaan umum lingkaranberjari-jari r berpusat di (a,b)
57
-1
1
-1 1
0,5
0,5
[0,0] x
y
r = 1
122 =+ yx
r
222 )5,0()5,0( ryx =−+−
Contoh:
58
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jar ak terhadap dua titik tertentu adalah konstan
Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fok us dari elips
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x
y22)(XP ycx ++=
22)(XQ ycx +−=
( )aycxycx
a
2)()(
misalkan kita 2XQXP
2222 =+−+++⇒
=+
22)( ycxxa
ca +−=−
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx +−++−−=++
2222 )(2)( ycxaycx +−−=++
22222
22 22 yccxxx
a
ccxa ++−=+− 1
22
2
2
2=
−+
ca
y
a
x
kwadratkan
kwadratkan
sederhanakan
22 2 2XQXP :PXQ segitiga di caca >→>=+
12
2
2
2=+
b
y
a
x
222 cab −=
59
12
2
2
2=+
b
y
a
x
60
X[x,y]
P[-c, 0] Q[c, 0] x
y[−a,0] [a,0]
[0,b]
[0,−b]
sumbu panjang = 2a
sumbu pendek = 2b
Elips tergeser
1)()(
2
2
2
2=
−+
−b
qy
a
px 122 =→= aa
5,012 =→= bb1
-1
0-1 0 1 2x
y
15,0
)25,0(
1
)5,0(2
2
2
2=−+− yx
5,0=p
25,0=q
1/31/2013
11
HiperbolaHiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik ya ng selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah k onstan
X(x,y)
P[-c,0] Q[c,0]
y
x
22)(XP ycx ++=22)(XQ ycx +−=
aycxycx
XQXP
2)()( 2222 =+−−++
=−2222 )(2)( ycxaycx +−+=++
22)()/( ycxaxac +−=−
122
2
2
2
=−
−ac
y
a
x
Dalam segitiga PXQ, selisih (XP−XQ) < PQ
→ 2c < 2a → c2 − a2 = b2
12
2
2
2
=−b
y
a
x
kwadratkan dan sederhanakankwadratkan
persamaan hiperbola61
12
2
2
2
=−b
y
a
x
+∞
−∞
X(x,y)
-c c
y
x
[-a,0] [a,0]
Kurva tidak memotong sumbu-y
Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = −a dan x = a
222 acb −=
62
Kurva Berderajat Dua
Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah be ntuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua
Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah
022 =+++++ FEyDxCyBxyAx
Persamaan parabola: pEAFDCB 4 ;1 ;0 −======
Lingkaran: ;1 ;1 ;0 ===== CAEDB F = −1
Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas.
Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini
63
Perputaran Sumbu Koordinat
Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x
aayaxayax 2)()()()( 2222 =−+−−+++
22 )()( ayaxayx −+−=−+
22 axy =
Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,
2222 )()(2)()( ayaxaayax −+−+=+++
Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x. -5
0
5
-5 0 x
y
P[-a,-a]
Q[a,a]
y
x
X[x,y]
64
Untuk menjelaskan fungsi trigonometri, kitagambarkan lingkaran-satuan, r = 1
Fungsi sinus
PQPQ
sin ==θr
Fungsi Cosinus
OQOQ
cos ==θr
Fungsi Tangent
θθ==θ
cos
sin
OQ
PQtan
θ−=−=′
=θ− tanOQ
PQ
OQ
QP)tan(
Fungsi Cotangent
θθ==θ
sin
cos
PQ
OQcot
θ−=−
=′
=θ− cotPQ
OQ
QP
OQ)cot(
Fungsi Secan
Fungsi Cosecan
OQ
1
cos
1sec =
θ=θ
PQ
1
sin
1csc =
θ=θ
P
Q
θO[0,0]
-1
1
-1 1 x
y
r = 1
P’
-θ
θ+θ= 22 cossin1
65
Relasi-Relasi
sinα
α
-1
1
-1 [0,0] 1 x
y
β
cosα
cosα cosβ
cosα sinβ
βsinα sinβ
sinα cosβ
66
1/31/2013
12
Relasi-Relasi
sinα
α
-1
1
-1 [0,0] 1 x
y
β
cosα
cosα cosβ
cosα sinβ
βsinα sinβ
sinα cosβ
)sin( β+α βα+βα= sincoscossin
)cos( β+α βα−βα= sinsincoscos
βα+βα=β−αβα−βα=β−α
sinsincoscos)cos(
sincoscossin)sin(Karena
β−=β− sin)sin(
β=β− cos)cos(
67
Contoh:
αα=αα+αα=α+α=α cossin2sincoscossin)sin()2sin( a).
α−α=αα−αα=α+α=α 22 sincossinsincoscos)cos()2cos( b).
α+α= 22 sincos1
α=+α 2cos21)2cos(
1cos2)2cos( 2 −α=α
α−=−α 2sin21)2cos(α−=α 2sin21)2cos(
α−α=α 22 sincos)2cos(c).
68
βα+βα=β+α sincoscossin)sin(
2
)sin()sin(cossin
β−α+β+α=βα
2
)cos()cos(coscos
β−α+β+α=βα
βα+βα=β−α sinsincoscos)cos(
2
)cos()cos(sinsin
β+α−β−α=βα
βα−βα=β+α sinsincoscos)cos(
βα+βα=β−α sinsincoscos)cos(
Contoh:
βα−βα=β−α sincoscossin)sin(
d).
βα=β−α+β+α cossin2)sin()sin(
e). βα−βα=β+α sinsincoscos)cos(
βα=β−α+β+α coscos2)cos()cos(
f).
βα=β+α−β−α sinsin2)cos()cos(
69
Kurva Fungsi Trigonometri Dalam Koordinat x-y
perioda
-1
0
1
0 x
y
2ππ−πx
y
-1
0
1
0−π π 2π−2π
perioda
)2/cos()sin( π−== xxy
pergeseran fungsi cosinus sejauhπ/2 ke arah sumbu-x positif
Contoh:oooo 34cos)9056cos(56sin =−=
70
)sin(xy = )cos(xy =
Fungsi Sinus Fungsi Cosinus
Fungsi Trigonometri Normal
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3π/4 0-π/2 π/4 π/2 3π/4-π/4
Fungsi Tangent
θ=
θθ=θ
cot
1
cos
sintan
71
asimptot
Rentang: -π/4 < tanθ < π/4π/4 < tanθ < 3π/4dst.
Lebar rentang: π/2
θθ
cos
sin -3
-2
-1
0
1
2
3
0-3π/4 -π/2 -π/4 π/4 π/2 3π/4
Fungsi Cotangent
θ=
θθ=θ
tan
1
sin
coscot
asimptot
Rentang: 0 < tanθ < π/2-π/2 < tanθ < 0dst.
Lebar rentang: π/2
θθ
cos
sin
72
1/31/2013
13
Fungsi Secan
Fungsi Cosecan
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
-3
-2
-1
0
1
2
3
-1,5π -π -0,5π 0 0,5π π 1,5π
)cos(
1)sec(
xxy ==
)sin(
1)csc(
xxy ==
Rentang: -π/2 < tanθ < π/2π/2 < tanθ < 3π/2dst.
Lebar rentang: π
Rentang: 0 < tanθ < π-π< tanθ < 0dst.
Lebar rentang: π
asimptot
73
Sinus Inversi
x
xy1sin
atau arcsin−=
=
x
y
-10
10
−π
π
2π
−2π
-0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-1 -0,5 0 0,5 1x
y
Kurva lengkap
Kurva nilai utama
-π/2 < sin-1x <π/2
-1 < x < 1
yx
1
21 x−
xy 1sin−=
2
2
1tan
1cos
x
xy
xy
−=
−=
Sudut y yang sinusnya = x
xy =sin
74
Fungsi Trigonometri Inversi
Cosinus Inversi
x
y
-10
10
−π
π
0
0,25π
0,5π
0,75π
1π
-1 -0,5 0 0,5 1x
y
Kurva lengkap
Kurva nilai utama
0 < cos-1x < π
-1 < x < 1
xy 1cos−=
y
x
121 x−
xy 1cos−=
x
xy
xy
2
2
1tan
1sin
−=
−=
yx cos=
75
Tangent Inversi xy 1tan−=
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1,5π
-π
-0,5π
0
0,5π
π
1,5πy
x
-0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-10 -5 0 5 10x
y
2tan
21 π
<<π
− − xKurva lengkap
Kurva nilai utama
yx tan=
yx
1
21 x+
xy 1tan−=
2
2
1
1cos
1sin
xy
x
xy
+=
+=
76
Cotangent inversi
xy 1cot−=
dengan nilai utama
π<< − x1cot0
0
0,5π
1π
-10 -5 0 5 10
y
x
π<< − x1cot0
Kurva nilai utama
yx cot=
y
x
121 x+
xy 1tan−=
2
2
1cos
1
1sin
x
xy
xy
+=
+=
77
Secan Inversi
xxy
1cossec 11 −− ==
dengan nilai utama
π≤≤ − x1sec0
0
0,25π
0,5π
0,75π
π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
y
π<< − x1sec0
Kurva nilai utama
yx sec=
y
x
1
21 x+
xy 1sec−=
2
2
1tan
1cos
1sin
xy
xy
x
xy
+=
=
+=
78
1/31/2013
14
Cosecan Inversix
xy1
sincsc 11 −− ==
2csc
21 π≤≤π− − x
y
-0,5π
-0,25π
0
0,25π
0,5π
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
Kurva nilai utama
dengan nilai utama
2csc
21 π
≤≤π
− − x
yx csc=
y
x1
21 x+
xy 1csc−=
2
2
1
1tan
1cos
1sin
xy
x
xy
xy
+=
+=
=
79
Banyak peristiwa terjadi secara siklis sinusoidal yang merupakan fungsi waktu, seperti misalnya gelombang cahaya, gelombang radio
pembawa, gelombang tegangan listrik sistem tenaga, dsb
Oleh karena itu kita akan melihat fungsi sinus dengan menggunakan waktu, t, sebagai peubah bebas
Tiga besaran karakteristik fungsi sinus
)2sin(
)sin(
0 θ+π=θ+=tfA
xAy
sudut fasa
frekuensi siklusamplitudo
Selain frekuensi siklus, f0, kitamengenal juga frekuensi sudut, ω0, dengan hubungan
2 00 fπ=ω
80
Hubungan antara frekuensi siklus dan perioda adalah:
00
1
Tf =
Karena fungsi sinus adalah fungsi periodik makagabungan fungsi sinus juga merupakan fungsi
periodik walaupun tidak berbentuk sinus.
T0
-A
0
A
0 t
y
Ts
T0
-A
0
A
0 t
y
Fungsi sinus adalah fungsi periodik yaitu fungsi yang memenuhi hubungan
)()( 0 tfTtf =−
perioda
81
Contoh:
y
y = 3 cos 2f0t-4
0
4
-5 15 t
y
y = 1 + 3 cos 2f0t-4
0
4
-5 15 t
))2(2cos(22cos31 00 tftfy ππ −−−−++++====
y
t
-4
0
4
-5 15
)4/)2(2cos(22cos31 00 πππ ++++−−−−++++==== tftfy
-4
1
-5 15
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukan olehbesaran karakteristik fungsi sinus penyusunnya
Perbedaan amplitudo, frekuensi, dan sudut fasamenentukan bentuk gelombang gabungan
82
Bentuk kurva gabungan fungsi sinus ditentukanjuga oleh jumlah komponen sinus yang terlibat
Komponen-komponen sinus yang terlibat dalampembentukan gelombang gabungan disebut harmonisa
Komponen sinus dengan f0 disebut komponen fundamental
Di atas komponen fundamental adalah
Harmonisa ke-2 dengan frekuensi 2f0Harmonisa ke-3 dengan frekuensi 3f0Harmonisa ke-4 dengan frekuensi 4f0 dst.
Gabungan fungsi sinus juga mungkin mengandung fungsitetapan yang disebut komponen searah
83
sinus dasar(fundamental).
Contoh:Gabungan fungsi sinus yang membentuk gelombang persegi
hasil penjumlahan sampai pada harmonisa ke-21.
harmonisa-3 dan
sinus dasar + harmonisa-3. harmonisa-5 dan
sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5.
harmonisa-7 dan
sinus dasar + harmonisa-3 + harmonisa-5 + harmonisa-7.
84
1/31/2013
15
SpektrumJika gabungan fungsi sinus membentuk gelombang periodik
yang tidak berbentuk sinus (non-sinus) maka bentuk gelombangnon-sinus dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus
Komponen-komponen sinus itu membentuk suatu spektrum.
Ada dua spektrum yaituSpektrum Amplitudo dan Spektrum Sudut-fasa
Makin tinggi frekuensi harmonisa, makin rendah amplitudonya.
Frekuensi tertinggi, fmaks, adalah frekuensi harmonisa yang amplitudonya sudah dapat diabaikan.
Frekuensi terendah, fmin, adalah frekuensi komponen fundamental yaitu 1, atau 0 jika spektrum mengandung komponen searah
Lebar Pita
Lebar pita frekuensi suatu spektrum adalah selang frekuensiyang merupakan selisih fmaks dan fmin
85
Contoh:
)42cos(5,7)2/22cos(15)2cos(3010 000 π+π+π−π+π+= tftftfy
Frekuensi 0 f0 2 f0 4 f0
Amplitudo 10 30 15 7,5
Sudut fasa − 0 −π/2 π
86
0
10
20
30
40
0 1 2 3 4 5Frekuensi [×f0]
Am
plitu
do
0
π/2
2π
0 1 2 3 4 5
Sud
ut F
asa
Frekuensi [×f0]
−π/2
−2π
Spektrum Sudut-fasaSpektrum Amplitudo
Suatu persamaan gelombang:
Deret Fourier
Penguraian suatu sinyal periodik menjadi suatu spektrum sinyal tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier
[ ]∑ π+π+= )2sin()2cos()( 000 tnfbtnfaatf nn
fungsi periodik
Koefisien Fourier
Contoh:
1 0 ; 2/
ganjil 0 genap; 1
/2
/
1
2
0
≠==
=−
π=
π=
nbAb
nann
Aa
Aa
n
nn
T0
t
y
87
Contoh:
Contoh:
T0
A
t
y
nb
nann
Aa
Aa
n
nn
semuauntuk 0
ganjil 0 genap; 1
/4
/2
2
0
=
=−
π=
π=
nn
Ab
na
Aa
n
n
semuauntuk
semuauntuk 0
2/0
π−=
==
T0
A
t
y
88
Bilangan Natural
Logaritma natural adalah logaritma dengan menggunakan basis bilangan e
Bilangan e ini, seperti halnya bilangan π, adalah bilangan-nyatadengan desimal tak terbatas. Sampai dengan 10 angka di belakangkoma, nilainya adalah
e = 2,7182818284
1ln =e
aeaea == lnln
89
Kurva y = ln x
Fungsi Logaritma Natural
Definisi ln x
x
ln x
t0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
y
1/tluas bidang antara fungsi 1/t dan sumbu-xyang dibatasi oleh t = 1 dan t = x
∫=x
dtt
x1
1ln
1 2 3 4x
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
0
yy = ln x
1ln =e
e = 2,7182818284…..
e
90
1/31/2013
16
Sifat-Sifat
1 untuk negatif bernilai ln
ln
1ln
lnln
;lnlnln
lnlnln
<=
==
−=
+=
xx
xe
e
xnx
axa
x
xaax
x
n
91
Fungsi Eksponensial
Antilogaritma Antilogaritma adalah inversi dari logaritma
yx ln=
Fungsi Eksponensialxey =
Fungsi eksponensial yang sering kita jumpai adalah fungsieksponensial dengan eksponen negatif
0 ; )( ≥= − xxuey ax
Faktor u(x) membuat fungsi ini muncul pada x = 0
Namun demikian faktor ini biasa tidak lagi dituliskandengan pengertian bahwa fungsi eksponensial tetapmuncul pada t = 0
92
Kurva Fungsi Eksponensial
x0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 40
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
ye− x
e−2x
Makin negatif eksponen fungsiini, makin cepat ia menurun
mendekati sumbu-x
axey −=
93
Penurunan kurva fungsi eksponensial ini sudah mencapai sekitar 36% dari nilai awalnya (yaitu nilai pada x = 0), pada saat x = 1/a
Pada saat x = 5/a, kurva sudah sangat menurun mendekati sumbu-x, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari nilai awalnya
Oleh karena itu fungsi eksponensial biasa dianggap sudah bernilai nol pada x = 5/a
Persamaan umum fungsi eksponensial dengan amplitudo Adengan waktu sebagai peubah bebas adalah
)()( / tuAetuAey tat τ−− ==
yang dituliskan dengan singkat τ−− == /tat AeAey
τ = 1/a disebut konstanta waktu
makin kecil τ, makin cepat fungsi eksponensial menurun
Pada saat t = 5τ, nilai fungsi sudah di bawah 1% dari A
fungsi eksponensial dianggap sudah bernilai nol pada t = 5τ
94
Gabungan Fungsi Eksponensial
1/1
τtAey −−−−====2/
2τtAey −−−−====
(((( ))))21 // ττ tt eeAy −−−−−−−− −−−−====
t/τ
A
0 1 2 3 4 5
95
DefinisiKombinasi tertentu dari fungsi eksponensial membentuk
fungsi hiperbolik, seperti
cosinus hiperbolik (cosh) dan sinus hiperbolik (sinh)
2sinh ;
2cosh
xxxx eex
eex
−− −=+=
Fungsi hiperbolik yang lain
xx
xx
xx
xx
ee
ee
x
xx
ee
ee
x
xx −
−
−
−
−+==
+−==
sinh
coshcoth ;
cosh
sinhtanh
xxxx eexx
eexx −− −
==+
== 2
sinh
1csch ;
2
cosh
1sech
96
1/31/2013
17
Kurva-Kurva Fungsi Hiperbolik
xey2
11 =
xey −−=2
12
x
y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
2sinh
xx eexy
−−==
97
xy sinh=
y
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
2cosh
xx eex
−+=
xey2
11 =
98
xy cosh=
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
y
x
xxy
cosh
1sech ==
99
xy sinh=
x
y
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2
xy csch =
xxy
sinh
1csch ==
100
xy coth=
x
y
0
0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2 -1 1 2
x
xxy
cosh
sinhtanh ==
x
xxy
sinh
coshcoth ==
101
untuk sinhx dan coshx terdapat hubungan
14
4
4
2
4
2 sinhcosh
222222 ==+−−++=−
−− xxxx eeeexx
1sincos 22 =+ xx
Jika untuk sin x dan cosx kita kenal hubungan:
Identitas
Beberapa Identitas: 1sinhcosh 22 =− vv
vv 22 sechtanh1 =−
vv 22 csch1coth =−
vevv =+ sinhcosh
vevv −=− sinhcosh
102
1/31/2013
18
Relasi Koordinat Polar dan Koordinat Sudut-siku
θ= sinP ry
θ= cosP rx
P[r,θ]
[0,0] x
y
θ
r
xP
yPP(xP ,yP)•
103
Persamaan Kurva Dalam Koordinat Polar
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[0,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
222 cyx =+
[0,0] x
y
Dalam koordinat polar persamaan ini menjadi
222 )sin()cos( crr =θ+θ
θr
104
a
[0,0] x
y
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,0] dalam koordinat sudut-siku adalah
222)( cyax =+−
θr
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi
222 )sin()cos( crar =θ+−θ
105
Persamaan lingkaran berjari-jari c berpusat di O[a,b] dalam koordinat sudut-siku adalah
222 )()( cbyax =−+−
Dalam koordinat polar perswamaan ini menjadi
222 )sin()cos( cbrar =−θ+−θ
b
a
[0,0] x
y
θ
r
106
Contoh:
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1
y
x
r
θ
P[r,θ]
Bentuk ini disebut cardioid
)cos1(2 θ−=r
107
Contoh:
θ
y
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
-5 -3 -1 1 3 5
r
P[r,θ]
θ= cos162r
108
1/31/2013
19
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
-1 0 1 2 3x
y
θ = π θ = 2πθ = 3π θ = 4π
r
θ
P[r,θ]y = 2
2=θr
Contoh:
109
Persamaan Garis Lurus
O
y
x
l1
a
r
θ
P[r,θ]
arl =θcos :1
110
O
y
x
b
l2
brl =θsin :2
r
θ
P[r,θ]
111
α
l3
O
y
x
β
a
A
r
θ
P[r,θ]
arl =θ−β )cos( :3
112
l4
O
y
x
β
a
r
θ
P[r,θ] arl =β−θ )cos( :4
113
Parabola, Elips, Hiperbola
θ−=
cos1
krParabola:
Eksentrisitas
θ+==
cosPD
PF
rk
resEksentrisitas:
D
B
θr
P[r,θ]
F
titik fokusDengan pengertian eksentrisitas ini
kita dapat membahas sekaligus parabola, elips, dan hiperbola.
Elips:
1=se
θ−=
cos1 s
s
e
ker
θ+=θ+= cos)cos( rekerker sss
1<seθ−
=θ−
×=cos2cos5,01
5,0 kkr (misal es = 0,5)
Hiperbola: 1>seθ−
×=cos21
2 kr (misal es = 2)
x
y
A
direktriks
k
114
1/31/2013
20
Lemniskat dan Oval Cassini
F1[a,π] F2[a,0]
P[r,θ]
rθ θ = 0θ = π
θ = π/2
Kurva-kurva ini adalah kurva pada kondisi khusus, yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang hasil kali jaraknya terhadap dua titik tertentu bernilai konstan
( ) ( ) ( )θ++=
θ++θ=
cos2
cossinPF22
2221
arar
rar ( ) ( ) ( )θ−+=
θ−+θ=
cos2
cossinPF22
2222
arar
rar
221 PFPF b=×Misalkan
( ) ( ))cos21(2
cos2cos222244
22224
θ−++=
θ−+×θ++=
raar
ararararb
θ−+= 2cos2 2244 raar
)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=
Buatb dana berrelasib = ka θ−+= 2cos2 224444 raarak )1(2cos20 44224 karar −+θ−=
115
Lemniskat )1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=
116
Kondisi khusus: k = 1
θ= 2cos2 22 ar
θ = 0θ = π
θ = π/2
-0,6
-0,2
0
0,2
0,6
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Kondisi khusus: k > 1, misal k = 1,1
θ = 0θ = π
θ = π/2
-1
-0,5
0
0,5
1
-2 -1 0 1 2
Kurva dengan a = 1
Oval Cassini
Kondisi khusus: k < 1, misalkan k = 0,8
θ = 0θ = π
θ = π/2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
-2 -1 0 1 2
)1(2cos2cos 42222 kaar −−θ±θ=
117
DiferensiasiDiferensiasiDiferensiasiDiferensiasi
118
Kita telah melihat bahwakemiringan garis lurus adalah
)(
)(
12
12
xx
yy
x
ym
−−=
∆∆=
Bagaimanakah dengan garis lengkung?
∆x∆y
0
1
2
-1
0 1 2 3 4 x
y
119
Pengertian-Pengertian
P1
∆y
∆x
x
yP2
y = f(x)
Jarak kedua titik potong semakin keciljika ∆x di perkecil menjadi ∆x*
Pada kondisi ∆x mendekati nol, kita peroleh
)()()(
limlim00
xfx
xfxxf
x
y
xx′=
∆−∆+=
∆∆
→∆→∆
Ini merupakan fungsi turunan dari
)(xf di titik P
Ekivalen dengan kemiringan garis singgung di titik P
P1∆y*
∆x*
x
y y = f(x)
∗2P
Garis Lengkung
Garis lurus dengan kemiringan ∆y/∆xmemotong garis lengkung di dua titik
120
1/31/2013
21
(x1,y1)
(x2,y2)
x
y
f ′(x) di titik (x1,y1) adalah turunan y di titik (x1,y1),
f ′(x) di titik (x2,y2) adalah turunan y di titik (x2,y2)
),(xfy =Pada suatu garis lengkungkita dapat memperoleh turunannya di berbagaititik pada garis lengkung tersebut
121
maka dikatakan bahwa fungsi f(x) “dapat didiferensiasi di titik tersebut”
x
y
x ∆∆
→∆ 0limJika pada suatu titik x1 di mana benar ada
Penurunan ini dapat dilakukan jika y memang merupakan fungsi x. Jika tidak, tentulah penurunan itu tidak dapat dilakukan.
x
yy
dx
d
dx
dy
x ∆∆==
→∆ 0lim)(
Jika dalam suatu domain suatu fungsi f(x) dapat di-diferensiasidi semua x dalam dalam domain tersebut
kita katakan bahwa fungsi f(x) dapat di-diferensiasi dalam domain.
kita baca “turunan fungsi y terhadap x”
122
kxfy == )(0
00)()(
lim0
0 =∆
=∆
−∆+=′→∆ xx
xfxxfy
x
Contoh:
xxfy 2)(11 ==
222)(2
lim)(0
1 =∆∆=
∆−∆+=′
→∆ x
x
x
xxxxf
x
Contoh:
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5x
yxy 21 =
2)(1 =′ xf
Fungsi ramp
Fungsi tetapan
123
Mononom2
22 2)( xxfy ==
xxxx
xxxxx
x
xxxxf
x
xx
4)222(lim
2)2(2lim
2)(2lim)(
0
222
0
22
02
=∆+×=∆
−∆+∆+=∆
−∆+=′
→∆
→∆→∆
Turunan fungsi mononom pangkat 2 berbentuk mononompangkat 1 (kurva garis lurus)
Contoh:
333 2)( xxfy ==
2222
0
33323
0
33
03
623232lim
2)33(2lim
2)(2lim)(
xxxxx
x
xxxxxxx
x
xxxxf
x
x
x
=∆+∆×+×=∆
−∆+∆+∆+=
∆−∆+=′
→∆
→∆
→∆
Turunan fungsi mononom pangkat 3 berbentuk mononompangkat 2 (kurva parabola)
Contoh:
124
nmxxfy == )(
)1()( −×=′ nxnmy
Secara umum, turunan fungsi mononom
adalah
kxfy =′=′ )(
Jika n = 1 maka kurva fungsi berbentuk garis lurus
dan turunannya berupa nilai konstan,
nmxy =
)(xfy ′=′Jika n > 1, maka turunan fungsi akan merupakan fungsi x,
nmxy =
Fungsi turunan ini dapat diturunkan lagi dan kita mendapatkan fungsi turunan berikutnya, yang mungkin masih dapat diturunkan lagi
)(xfy ′′=′′ turunan dari )(xfy ′=′
)(xfy ′′′=′′′ turunan dari )(xfy ′′=′′*) Untuk n berupa
bilangan tak bulat akandibahas kemudian
*)
125
dx
dyxfy =′=′ )( disebut turunan pertama,
2
2)(
dx
ydxfy =′′=′′ turunan kedua,
3
3)(
dx
ydxfy =′′′=′′′ turunan ke-tiga, dst.
344 2)( xxfy ==
12
;12)2(6
;6)3(2
4
)12(4
2)13(4
=′′′==′′
==′−
−
y
xxy
xxy
Contoh:
126
1/31/2013
22
nmxxfy == )(Kurva fungsi mononom yang memiliki beberapa turunan
akan berpotongan dengan kurva fungsi-fungsi turunannya.
-100
0
100
200
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4xy =
34xy =′
212xy =′′ xy 24=′′′
24=′′′′y
212xy =′′34xy =′
Contoh:34xy =′ 212xy =′′ xy 24=′′′ 24=′′′′y
4xy = dan turunan-turunannya Fungsi
127
Contoh: 24)(11 +== xxfy
{ } { }4
242)(4lim)(1 =
∆+−+∆+=′
→∆ x
xxxxf
xx
f1(x) = 4x + 2
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2x
y
4)('1 =xf Turunan fungsi inisama dengan
turunan f(x)=4x karena turunan daritetapan 2 adalah 0.
Secara Umum: Jika F(x) = f(x) + K maka Fʹ(x) = f′ (x)
128
Polinom
)2(4)(22 −== xxfy 84)(2 −= xxf
4)(2 =′ xf
)2(4)(2 −−−−==== xxf
4)(2 ====′′′′ xf
-15
-10
-5
0
5
10
-1 0 1 2 3 4x
y
Contoh:
129
Contoh: 524)( 233 −+== xxxfy
{ } { }28224
5245)(2)(4lim
22
03
+=+×=∆
−+−−∆++∆+=′
→∆xx
x
xxxxxxy
x
5245)( 2344 −++== xxxxfy
{ } { }281522435
5245 5)(2)(4)(5lim
22
2323
04
++=+×+×=∆
−++−−∆++∆++∆+=′
→∆
xxxx
x
xxxxxxxxxy
x
Contoh:
Secara Umum:
Turunan fungsi polinom, yang merupakan jumlah beberapa mononom, adalah jumlah turunan masing-masing mononom dengan syarat setiap mononom yang membentuk polinom itu
memang memiliki turunan.
130
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
dx
dy +== )(
)(
))(()(
vwvwwvvw
wwvvyy
∆∆+∆+∆+=∆+∆+=∆+
x
wv
x
vw
x
wv
x
vwvwvwwvwv
x
yyy
x
y
∆∆∆+
∆∆+
∆∆=
∆−∆∆+∆+∆+
=∆
−∆+=
∆∆
)()(
vwy =Jika
maka
131
Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi
Contoh:
44422323
3018126362)32(
xxxxxxxdx
xxdy =+=×+×=
×=′
56xy = 430xy =′Turunan adalah
Jika dipandang sebagai perkalian dua fungsi
dx
duvw
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
duv
dx
dvuw
dx
dwuv
dx
uvdw
dx
dwuv
dx
wuvd
dx
uvwd
)()()(
)( )(
)())(()(
++=
++=+==
Jika uvwy =
56xy =
44442
222
3012126)4)((3x
)6)(2()1)(32()(
xxxxxx
xxxxxdx
uvwd
dx
dy
=++=×+
×+×==
Contoh:Jika dipandang sebagai perkalian tiga fungsi
132
1/31/2013
23
vvvvy ××== 2361Contoh:
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dvvv
dx
dy
5
4555
22345
32
23231
6
2
)()()(
=
++++=
++
++=
++=
dx
dvv
dx
dv
dv
dv
dx
dv 566
6==
dx
dvnv
dx
dv nn
1−=
Contoh ini menunjukkan bahwa
Secara Umum:
133
Fungsi Yang Merupakan Pangkatdari suatu Fungsi
Contoh: 2332 )1()1( −+= xxy
)12()1)(1(6
)1()1(6)1()1(6
2)1(3)1()3)(1(2)1(
)1()1(
)1()1(
3223
22233322
22232332
3223
2332
−++−=
+−+−+=
+−+−+=
+−+−+=
xxxxx
xxxxxx
xxxxxx
dx
xdx
dx
xdx
dx
dy
Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi
134
Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi
w
vy = 1−= vwy
−=
+−=+−=
+==
=
−−
−−−
dx
dwv
dx
dvw
w
dx
dv
wdx
dv
w
v
dx
dvw
dx
dvvw
dx
dvw
dx
dwv
dx
vwd
w
v
dx
d
dx
dy
2
212
111
1
1
)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
w
v
dx
d
−=
atau
Jadi:
135
Fungsi Rasional 3
2 3
x
xy
−=
4
2
6
244
6
223
9)93(2
)3)(3()2(
x
x
x
xxx
x
xxxx
dx
dy
+−=−−=
−−=
Contoh:
22 1
xxy +=
3
2 22
4
2102
xx
xxx
dx
dy −=×−×+=
Contoh:
1dengan ;1
1 22
2≠
−+= x
x
xy
2222
33
22
22
)1(
4
)1(
2222
)1(
2)1(2)1(
−−=
−−−−=
−+−−=
x
x
x
xxxx
x
xxxx
dx
dy
(agar penyebut tidak nol)Contoh:
136
(v adalah fungsi yang bisa diturunkan)
q
pn = dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0Bilangan tidak bulat
dx
dvpv
dx
dyqy pq 11 −− =
Jika y ≠ 0, kita dapatkandx
dv
qy
pv
dx
vd
dx
dyq
pqp
1
1/ )(−
−==
( ) )/(1/1 qppqqpq vvy −−− ==
dx
dvv
q
p
dx
dvv
q
p
dx
dv
qv
pv
dx
vd
dx
dy
qp
qpppqpp
pqp
1)/(
)/()1()/(
1/
)(
−
+−−−
−
=
===
sehingga
qpn vvy /== pq vy =
Formulasi ini mirip dengan keadaan jika n bulat,hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.
137
Fungsi Berpangkat Tidak Bulat
Kaidah rantai
)(tfx = dapat diturunkan terhadap t,
)(xFy = dapat diturunkan terhadap x dan Jika
( ) )()( tgtfFy == dapat diturunkan terhadap t menjadimaka
dt
dx
dx
dy
dt
dy =
Apabila kita mempunyai persamaan
maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan parametrik, dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan persamaan yang berbentuk
)(dan )( tfytfx ==
)(xFy =
138
Fungsi Parametrik danKaidah Rantai
1/31/2013
24
Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisitnamun sebagian yang lain tidak.
Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunanfungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di
atas.
Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalambentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi
implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapatdidiferensiasi terhadap x.
139
Fungsi ImplisitFungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh
822 =++ yxyxContoh:
yxdx
dyyx
dx
dyy
dx
dxy
dx
dyxx
−−=+
=+++
2)2(
022
yx
yx
dx
dy
2
2
++−=
0)2( ≠+ yx kita peroleh turunanJika
140
434 434 =−+ yxyx
0124)3(44
0)3()4(
44
3323
43
33
=−++
=−++
dx
dyyy
dx
dyyxx
dx
yd
dx
xdy
dx
dyxx
Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh
Contoh:
)(3
)(32
33
yxy
yx
dx
dy
−+−=
0)( 32 ≠− yxy kita dapat memperoleh turunanUntuk
141
x
xxxxxx
xxx
dx
xd
dx
dy
∆−∆+∆=
∆−∆+==
sinsincoscossin
sin)sin(sin
xy sin= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
xdx
xdcos
sin =
142
Turunan Fungsi Trigonometri
x
xxxxxx
xxx
dx
xd
dx
dy
∆−∆−∆=
∆−∆+==
cossinsincoscos
cos)cos(cos
xy cos= maka Jika
Untuk nilai yang kecil, Δx menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x. Oleh karena itu
xdx
xdsin
cos −=
143
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 222
2sec
cos
1
cos
)sin(sincos
cos
sintan ==−−=
=
xxx
xxx
x
x
dx
d
dx
xd 222
2csc
sin
1
sin
)(coscossin
sin
coscot −=−=−−=
=
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdtansec
cos
sin
cos
)sin(0
cos
1sec22
==−−=
=
xxx
x
x
x
xdx
d
dx
xdcotcsc
sin
cos
sin
)(cos0
sin
1csc22
−=−=−=
=
144
1/31/2013
25
Contoh:
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada kapasitor ini adalah
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
dt
dvCi C
C =
( ) ampere 400cos160,0400sin200102 6 ttdt
d
dt
dvCi C
C =××==
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
vC iC
vC
iC
t [detik]
145
Contoh:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus iL = −0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
dt
diLv L
L =
( ) tttdt
d
dt
diLv L
L 400sin200 400400sin2,05,2400cos2,05,2 =×××=−×==
vL
iL
vL iL
-200
-100
0
100
200
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 t[detik]
146
xy 1sin−= yx sin= ydydx cos=
ydx
dy
cos
1=21
1
xdx
dy
−=x
1
21 x−
y
ydx
dy
sin
1−= 21
1
xdx
dy
−
−=
x
1 21 x−y
xy 1cos−= yx cos= ydydx sin−=
147
Turunan Fungsi Trigonometri Inversixy 1tan−= yx tan= dy
ydx
2cos
1=
ydx
dy 2cos=21
1
xdx
dy
+=x
1
21 x+y
xy 1cot−= yx cot= dyy
dx2sin
1−=
ydx
dy 2sin−= 21
1
xdx
dy
+−=
x
1
21 x+y
148
xy 1sec−=y
yxcos
1sec == dy
y
xdx
2cos
)sin(0 −−=
1
1
1
1
sin
cos
2
22
2
−=
−×==
xx
x
x
xy
y
dx
dy
1
x12 −xy
xy 1csc−=y
yxsin
1csc == dy
y
xdx
2sin
)(cos0−=
1
1
1
1
cos
sin
2
22
2
−
−=
−×−=
−=
xx
x
x
xy
y
dx
dy1
x
12 −x
y
149
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdcos
)(sin)(sin ==
dx
dvv
dx
dv
dv
vd
dx
vdsin
)(cos)(cos −==
Jika v = f(x), maka
dx
dvv
dx
dv
x
xx
v
v
dx
d
dx
vd 22
22sec
cos
sincos
cos
sin)(tan =+=
=
dx
dvv
v
v
dx
d
dx
vd 2cscsin
cos)(cot −=
=
dx
dvvv
dx
dv
v
v
vdx
d
dx
vdtansec
cos
sin0
cos
1)(sec2
=+=
=
dx
dvvv
vdx
d
dx
vdcotcsc
sin
1)(csc −=
=
150
Fungsi Trigonometri dari Suatu Fungsi
1/31/2013
26
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(sin
−=
−
dx
dw
wdx
wd
2
1
1
1)(cos
−−=
−
dx
dw
wdx
wd2
1
1
1)(tan
+=
−
dx
dw
wdx
wd2
1
1
1)(cot
+−=
−
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(sec
2
1
−=
−
dx
dw
wwdx
wd
1
1)(csc
2
1
−−=
−
Jika w = f(x), maka
151
Turunan Fungsi Logaritmik
)0( 1
ln)(1
>== ∫ xdtt
xxfx
xxf ln)( = didefinisikan melalui suatu integralFungsi logaritmik
luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam selang antara t = 1 dan t = x
x t
1/x
1/t
x +∆x 1/(x+∆x)
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4
y
∫=x
dtt
x1
1
ln
∆=
∆−∆+= ∫
∆+ xx
xdt
txx
xxx
dx
xd 11)ln()ln(ln
Luas bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (Δx × 1/x). Namun jika Δx
makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (Δx × 1/x); dan jika Δx
mendekati nol luas tersebut sama dengan (Δx × 1/x).
xdx
xd 1ln =
ln(x+∆x)−lnx
Tentang integral akan dipelajari lebih lanjut
152
Turunan Fungsi Eksponensial
xey = xexy == lnln
penurunan secara implisit di kedua sisi
11ln ==
dx
dy
ydx
yd
xeydx
dy ==atau
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
xey =′ xey =′′ xey =′′′ dst.
.
dx
dve
dx
dv
dv
de
dx
de vvv
==)(xvv =Jika
xey1tan−
=2
tan1tan
1
tan1
1
x
e
dx
xde
dx
dy xx
+==
−− −
153
dx dan dy didefinisikan sebagai berikut:
Turunan fungsi y(x) terhadap x dinyatakan dengan formulasi
)(lim0
xfx
y
dx
dy
x′=
∆∆
=→∆
Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika dx≠ 0, sama dengan turunan fungsi yterhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas dan y merupakan fungsi dari x: )(xFy =
dxxFdy )('=2). dy, yang disebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dxyang dinyatakan dengan
1). dx, yang disebut sebagai diferensial x, adalah bilangan nyata dan merupakan peubah bebas lain selain x;
154
Diferensial dx dan dy
Penjelasan secara grafis
Pdx
dy
θ
y
x
Ini adalahpeubah bebas
Ini adalah fungsi(peubah tak bebas)
dxxFdy )('= Pdx
dy
θ
y
x
Jika dx berubah, maka dyberubah sedemikian rupasehingga dy/dx samadengan kemiringan garissinggung pada kurva
θ= tandx
dy dxdy )(tanθ= adalah besar perubahan nilai ysepanjang garis singgung di
titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx
adalah laju perubahan yterhadap perubahan x.
155
Pdx
dyθ
x
y
Pdx
dy
θ
x
y
Pdx
dy
θ
x
y
Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”.
Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.
Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam tabel berikut.
Dalam tabel ini v adalah fungsi x.
konstan ;0 == cdx
dc
dx
dvc
dx
dcv =
dx
dw
dx
dv
dx
wvd +=+ )(
cdvdcv =
konstan ;0 == cdc
dwdvwvd +=+ )(
dx
dvw
dx
dwv
dx
dvw += wdvvdwvwd +=)(
2w
dx
dwv
dx
dvw
dx
w
vd −
=
2w
vdwwdv
w
vd
−=
dx
dvnv
dx
dv nn
1−= dvnvdv nn 1−=
1−= nn
cnxdx
dcx dxcnxcxd nn 1)( −=
DiferensialTurunan Fungsi
156
1/31/2013
27
Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.
1).Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri tabel), kemudian dikalikan dengan dx.
2). Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan tabel)
Contoh: 653 23 −+−= xxxy
563 2 +−=′ xxy
dxxxdy )563( 2 +−=sehingga
Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas
dxxx
dxxdxdxxdxdxdxddy
)563(
563 )6()5()3()(2
223
+−=
+−=−++−+=
157
Integral danPersamaan Diferensial
158
Bahasan akan mencakup
1. Integral Tak Tentu2. Integral Tentu3. Persamaan Diferensial
159
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x
tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan
)(xfdx
dy =
Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti inidisebut persamaan diferensial.
036
652
222
2
2
=++
++=
yxdx
dyxy
dx
yd
xxdx
dy
Contoh persamaan diferensial
Pengertian-Pengertian
160
1. Integral Tak Tentu
)(xFy =Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat
memenuhi
)()(
xfdx
xdF =
)(xfdx
dy =Tinjau persamaan diferensial
[ ]0
)()()(+=+=
+dx
xdF
dx
dK
dx
xdF
dx
KxFdKarena maka
KxFy += )(fungsi juga merupakan solusi
161
Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum
KxFdxxf +=∫ )()(
dxxfxdF )()( =
Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak
tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari
)()(
xfdx
xdF =
162
dapat dituliskan
1/31/2013
28
45xdx
dy=
dxxdy 45=
dxxxd 45 5)( =
Kxxddxxy +=== ∫∫ 554 )(5
Cari solusi persamaan diferensial
ubah ke dalam bentuk diferensial
Kita tahu bahwa
Contoh:
oleh karena itu
163
Carilah solusi persamaan
yxdx
dy 2=
Contoh:
dxyxdy 2= kelompokkan peubah sehinggaruas kiri dan kanan mengandung
peubah berbedadxxdyy 22/1 =−
( ) dyyyd 2/12/12 −= dxxxd 23
3
1 =
( )
= 32/1
3
12 xdyd
Jika kedua ruas diintegrasi
23
12/1
3
12 KxKy +=+
KxKKxy +=−+= 312
32/1
3
1
3
12
164
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini
dapat memperingan upaya pendugaan tersebut.
Kydy +=∫
1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K.
∫∫ = dyaady
2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan
1 jika ,1
1−≠+
+=
+
∫ nKn
ydyy
nn
3. Jika bilangan n ≠ −1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).
165
Penggunaan Integral Tak Tentu
Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang.
Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang
dimiliki oleh K.
kurva 210xy =adalah kurva bernilai tunggal
50
100
-5 -3 -1 1 3 5x
y = 10x2
y
50
100
-5 -3 -1 1 3 5
K1
K2
K3
yi = 10x2+Ki
y
x
Kxdxx +=∫ 2
310
3
10kurva
adalah kurva bernilai banyak
166
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal.
Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai
30 =sPosisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4.
Contoh:
tatv 3==kecepatan percepatan waktu
dt
dsv =Kecepatan adalah laju perubahan jarak,
dt
dva =Percepatan adalah laju perubahan kecepatan,
.
vdtds =
∫ +=+== KtKt
atdts 22
5,12
3
274 =ssehingga pada t = 4 posisi benda adalah
K+= 03 3=KKondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 35,1 2 += ts
167
Luas Sebagai Suatu Integral
)(xfy =Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q.
Contoh:y = f(x) =2
y
x0
2
p x x+∆x q
Apx ∆Apx
)(2 xfx
Apx ==∆
∆atau
2)(lim0
===∆
∆→∆
xfdx
dA
x
A pxpx
xKxdxdAA pxpx +=== ∫∫ 22
Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p
Kp += 20 pK 2−=atau
xApx ∆=∆ 2
pxApx 22 −= )(222 pqpqApq −=−=
168
1/31/2013
29
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang qxp ≤≤
p x x+∆x q
y
x
y = f(x)
0
f(x)f(x+∆x )
Apx ∆Apx
∆Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan
∆Apx = f(x)∆x atau ∆Apx = f(x+∆x)∆x
xxxfxxfxxfApx ∆∆+≤∆≤∆=∆ )()()( 0
x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+∆x
Jika ∆x → 0: )(lim0
xfdx
dA
x
A pxpx
x==
∆
∆
→∆KxFdxxfdAA pxpx +=== ∫∫ )()(
] qppq xFpFqFA )()()( =−=
169
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep
dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit.
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Bidang dibagi dalam segmen-segmen
Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas
segmen
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk)×∆xk
Luas tiap segmen dihitung
sebagai f(xk+∆x)×∆xk
Ada dua pendekatan dalam menghitung luas segmen
170
2. Integral Tentu
kkkkkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ )()()( 0
k
n
kk
n
kkk
n
kkk xxxfxxfxxf ∆∆+≤∆≤∆ ∑∑∑
=== 110
1
)()()(
Jika ∆xk → 0 ketiga jumlah ini mendekatisuatu nilai limit yang sama
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0 p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas tiap segmen dihitungsebagai f(xk)×∆xk
Luas tiap segmen dihitungsebagai f(xk+∆x)×∆xk
Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka
Nilai limit itu merupakan integral tentu
171
∫=q
ppq dxxfA )(
] )()()()( pFqFxFdxxfA qp
q
ppq −=== ∫
p x2 xk xk+1 xn q
y
x
y = f(x)
0
Luas bidang menjadi
172
Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh y=f(x) dan sumbu-x dari p sampaix, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi
dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x.
Definisi
xxy 123 −=Luas antara dan sumbu-x dari x = −3 sampai x = +3.
Contoh:
xxy 123 −=
-20
-10
0
10
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
75,33)5425,20(0
64
)12(
0
3
240
3
3
=−−−=
−=−=
−−∫ x
xdxxxAa
75,33)0(5425,20
64
)12(
3
0
243
0
3
−=−−=
−=−= ∫ x
xdxxxAb
5,67)755,33(75,33 =−−=−= bapq AAA
173
Luas BidangContoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi
mengenai Apx, formulasi
( )))()( pFqFdxxfAq
p−== ∫
tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x
p
q
y
xA4
A1
A2
A3
y = f(x)
( )))()( pFqFdxxfAq
ppq −== ∫
4321 AAAAApq +−+−=
174
1/31/2013
30
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva
)(11 xfy = )(22 xfy =berada di atas
p q
y
x0
y1
y2
x x+∆x
∆Apx
{ } xxfxfAA pxsegmen ∆−=∆= )()( 21
Rentang qxp ≤≤dibagi dalam n segmen
{ }∑∑∆−=
=∆−=
xqx
px
n
segmen xxfxfA )()( 211
jumlah semua segmen:
{ }∫∑ −==∞→ q
p
n
segmenpq dxxfxfAA )()(lim 211
Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga ∆x menuju nol kita sampai pada suatu limit
175
{ } ] 30)12(186)2(4( 32
3
2=−−==−−= +
−+
−∫ xdxApq
41 =y 22 −=yJika dan
berapakah luas bidang antara y1 dan y2
dari x1 = p = −2 sampai x2 = q = +3.
Contoh:
21 xy = 42 =yJika dan
berapakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.
2 ,24 212
21 ==−==⇒=→= qxpxxyy
3
32
3
16
3
16
3
88
3
88
34)4(
2
2-
32
2
2
=−−=
−−−−
−
−=−= ∫−
xxdxxApq
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y2
y1y2
di atas y1
y
x
176
221 +−= xy xy −=2Jika dan
berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2.
Contoh:
Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva
22
811 ;1
2
811
02atau 2
2
2
2
1
2221
=−
+−−==−=−
++−==
=++−−=+−→=
qxpx
xxxxyy
5,4 22
1
3
142
3
8
223
)2(
2
1
232
1
2
=
−+−
−−
++−=
++−=++−=
−−∫ x
xxdxxxApq
-4
-2
0
2
4
-2 -1 0 1 2
y1 di atasy2
y1
y2
y
x
177
Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ?
Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka
yang memberikan dt
dwp = ∫= pdtw
[kWh]hour Watt kilo 8,0
[Wh]r Watt.hou800100 10080
8
0
8
0
=
==== ∫∫ tdtpdtw
Penerapan Integral
Contoh:
Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah
178
dt
dqi = ∫= idtq
coulomb 625,02
25,1
2
05,005,0
5
0
5
0
25
0===== ∫∫ ttdtidtq
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5detik ?
sehingga
Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah
Contoh:
Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.
179
Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume.
Balok
∆x
Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+∆x) adalah luas irisan di sebelah kanan
maka volume irisan ∆V adalah
xxxAVxxA ∆∆+≤∆≤∆ )()(
Volume balok V adalah ∑ ∆=q
p
xxAV )(
luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+∆x).
Apabila ∆x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: ∑ ∆≈
q
p
xxAV )(
Jika ∆x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka : ∫∑ =∆=
→∆
q
p
q
pox
dxxAxxAV )()(lim
180
Volume Sebagai Suatu Integral
1/31/2013
31
Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x
y
x
∆x
O Q
P
A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP.
[ ] ∫∫∫ π=π==hhh
dxxmdxxrdxxAV0
22
0
2
0)()(
m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q.
3
3
PQ/OQ)(
32
3232
kerucuth
rhhm
V π=π=π=
Jika garis OP memotong sumbu-y makadiperoleh kerucut terpotong
181
Rotasi Bidang Sembarang
y
x
∆x
0 a b
f(x)
( ) ( )22 )()()( xfxrxA π=π=
( )∫ π=b
adxxfV 2)(
Rotasi Gabungan Fungsi Linier
Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping initerdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.
y
x
∆x
0 a b
f2(x)f1(x)
f3(x)
182
Pengertian
Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:
1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.
2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.
xex
y
dx
yd
dx
yd =+
+
+
12
5
2
22
3
3
Contoh:
adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi.
183
3. Persamaan Diferensial Orde-1Solusi
Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatu persamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut oleh f(x) dan turunannya.
0=+− −− xx keke
xkey −= 0=+ ydt
dyadalah solusi dari persamaan
xkey −=xke
dt
dy −−=karena turunan adalah
dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan kita peroleh
Contoh:
Persamaan terpenuhi.
Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang mengandung n tetapan sembarang.
184
Pemisahan Peubah
Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaandiferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk
0)()( =+ dxxgdyyf
Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang K, yaitu
∫∫ =+ Kdxxgdyyf ))()(
Suku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda
185
Persamaan Diferensial Orde-1 Dengan Peubah Yang Dapat Dipisahkan
yxedx
dy −=
0=− dxedye xy
y
x
e
e
dx
dy =Persamaan ini dapat kita tuliskan
yang kemudian dapat kita tuliskan sebagaipersamaan dengan peubah terpisah
Kee xy =− Kee xy +=sehingga atau
Contoh:
Kdxedye xy =− ∫∫Integrasi kedua ruas memberikan:
186
1/31/2013
32
Contoh:xydx
dy 1=
0=−x
dxydy
Kx
dxydy =− ∫∫
Pemisahan peubah akan memberikan bentuk
Kxy =− ln2
2
Kxy ′+= 2ln
atau
x
dxydy = atau
Integrasi kedua ruas:
187
Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu
Suatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan dalam bentuk
=x
yF
dx
dy
Ini dapat dijadikan sebagai peubah bebas baru
x
yv =
vxy =
dx
dvxv
dx
dy +=)(vFdx
dvxv =+
0)(
=−
+vFv
dv
x
dx
Pemisahan peubah:
yang akan memberikan
dan
vvFdx
dvx −= )(
x
dx
vvF
dv=
−)(
atau:
188
Contoh: 02)( 22 =++ xydydxyx
02)1(2
22 =++ xydydx
x
yxUsahakan menjadi homogen
dyx
ydx
x
y2)1(
2
2−=+
)/()/(2
)/(1 2xyF
xy
xy
dx
dy =+−=
Peubah baru v = y/x
vxy =
dx
dvxv
dx
dy += v
v
dx
dvxv
2
1 2+−=+
v
v
v
vv
dx
dvx
2
31
2
1 22 +−=+−−=
x
dx
v
vdv −=+ 231
2 031
22
=+
+v
vdv
x
dxPeubah terpisah atau
)(2
1 2vF
v
v
dx
dy =+−=
189
Kita harus mencari solusi persamaan ini untuk mendapatkanv sebagai fungsi x.
031
22
=+
+v
vdv
x
dx
dx
xd
x
)(ln1 =
)6(31
1
)31(
)31(
)31ln()31ln(2
2
2
22v
vdv
vd
vd
vd
dv
vd
+=+
++=+Kita coba hitung
KKvx ′==++ ln3
1)31ln(
3
1ln 2
0)31ln(
3
1 2=++ dv
dv
vd
x
dx
KKvx ′==++ ln)31ln(ln3 2
Kvx ′=+ )31( 23
( ) Kxyx ′=+ 23 )/(31 ( ) Kyxx ′=+ 22 3
Suku ke-dua ini berbentuk 1/x dan kita tahu bahwa
Hasil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubahbentuk persamaan menjadi
Integrasi ke-dua ruas:
190
Dalam persamaan diferensial linier, semua suku berderajat satu atau nol
P dan Q merupakan fungsi x atau tetapan
Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana P adalah suatu tetapan. Hal ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan
pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.
Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan secara umum sebagai
)(tfbydt
dya =+
Dalam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f(t) tidak terlalu bervariasi. Mungkin ia bernilai 0, atau mempunyai bentuk sinyal utama yang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan sinus. Kemungkinan lain adalah bahwa ia
merupakan bentuk komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.
QPydx
dy=+Oleh karena itu persamaan diferensial orde satu yang
juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk:
191
Persamaan Diferensial Linier Orde Satu Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada peristiwa transien (atau peristiwa peralihan) dalam rangkaian listrik.
Cara yang akan kita gunakan untuk mencari solusi adalah cara pendugaan
Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan jumlah dari solusi khusus dan solusi homogen. Solusi khusus adalah
fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkan solusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan
homogen
0=+ bydt
dya
Peubah y adalah keluaran rangkaian (atau biasa disebut tanggapan rangkaian) yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai
a dan b ditentukan oleh nilai-nilai elemen yang membentuk rangkaian.
Fungsi f(t) adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi
penggerak.
192
1/31/2013
33
Hal ini dapat difahami karena jika f1(t) memenuhi persamaanyang diberikan dan fungsi f2(t) memenuhi persamaan homogen,
maka y = (f1+f2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan,sebab
( )
0
)(
11
22
11
2121
++=+++=
+++
=+
bfdt
dfabf
dt
dfabf
dt
dfa
ffbdt
ffdaby
dt
dya
Jadi y = (f1+f2) adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan kita sebut solusi total. Dengan kata lain solusi total adalah jumlah
dari solusi khusus dan solusi homogen.
193
Solusi Homogen
Persamaan homogen 0=+ bydt
dya
Jika ya adalah solusinya maka
0=+ dta
b
y
dy
a
a
Integrasi kedua ruas memberikan
Kta
bya =+ln
sehingga
Kta
bya +−=ln
taba
Kta
b
a eKey )/(−+−==
Inilah solusi homogen
194
)(tfbydt
dya p
p =+
Bentuk f(t) ini menentukan bagaimana bentuk yp.
tKtKytAtftAtf
KeyAetf
KyAtf
ytf
scp
tp
t
p
p
ω+ω=→ω=ω=
==→==
==→==
=→=
αα
sincos cos)(atau , sin)( Jika
aleksponensi al,eksponensi)( Jika
konstan konstan,)( Jika
00)( Jika
Jika solusi khusus adalah yp , maka
Dugaan bentuk-bentuk solusi yp yang tergantung dari f(t) inidapat diperoleh karena hanya dengan bentuk-bentuk sepertiitulah persamaan diferensial dapat dipenuhi
Jika dugaan solusi total adalahThis image cannot currently be displayed.
Masih harus ditentukan melalui kondisi awal.
195
Dari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan
01000 =+ vdt
dv
Carilah solusi total jika kondisi awal adalah v = 12 V.
Contoh:
Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t) = 0. Solusi khusus bernilai nol.
01000 =+ dtv
dv
Ktv +−= 1000ln
ta
Kt eKev 10001000 −+− ==
Penerapan kondisi awal: aK=12
Solusi total: V 12 1000tev −=
196
Contoh: Suatu analisis rangkaian memberikan persamaan
1210 3 =+− vdt
dv
Dengan kondisi awal v(0+) = 0 V , carilah tanggapan lengkap.
Solusi homogen: 010 3 =+−a
a vdt
dv0103 =+ dt
v
dv
a
a
taa eKv 1000−=
Solusi khusus: 12=pv karena f(t) = 12
Solusi total (dugaan):t
atotal eKv 100012 −+=
Penerapan kondisi awal: aK+= 120 12−=aK
Solusi total: V 1212 1000ttotal ev −−=
197
Contoh:
tvdt
dv10cos1005 =+
Pada kondisi awal v = 0 V, suatu analisis transien
menghasilkan persamaan
Carilah solusi total.
Solusi homogen: 05 =+ aa v
dt
dv05 =+ dt
v
dv
a
a
Ktva =+ 5ln taa eKv 5−=
Solusi khusus: tAtAv scp 10sin10cos +=
ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 =+++−
ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 =+ 100510 =+ cs AA
010sin510sin10 =+− tAtA sc 0510 =+− sc AA
8=sA 4=cA
Solusi total (dugaan): taeKttv 510sin810cos4 −++=
Penerapan kondisi awal: aK+= 40 4−=aK
Solusi total : tettv 5410sin810cos4 −−+=198
1/31/2013
34
Mengenai Persamaan Diferensial Orde-2
Silahkan Lihat di Buku
Analisis Rangkaian Listrik Jilid-2
199
Di buku yang sama dapat dibaca juga
Transformasi Laplacedan
Transformasi Fourier
MatriksDan
Sistem Persamaan Linier
200
Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.
Contoh:
123
421
302
baris
kolomNama matriks: huruf besar cetak tebal,
=123
421
302
A
=
203
142B
Contoh:
Notasi:
Bilangan ini bisa berupabilangan nyata atau kompleks.
Kita akan melihat matriksberisi bilangan nyata.
201
Elemen Matriks
Isi suatu matriks disebut elemen matriks
Contoh:
=
203
142B
2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenenmatriks yang membentuk baris
2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemenmatriks yang membentuk kolom
Ukuran Matriks
Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen
Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k
Contoh:
=
203
142B adalah matriks berukuran 2×3
202
=123
421
302
A
b = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3
Nama Khusus
Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar .
Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom .
Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris .
Matriks dengan b ≠ k disebut matrik segi panjang
Contoh:
=
203
142B
b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3
=
4
2p k = 1
vektor kolom [ ]423=q b = 1 vektor baris
Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal
203
Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai
[ ]bk
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
A
elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama
Diagonal Utama
204
1/31/2013
35
Matriks Segitiga
Contoh:
Matriks segitiga bawah :
−=343
011
002
1T
Matriks segitiga atas :
−=
300
310
122
2T
Ada dua macam matriks segitiga yaitu
matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas
Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol.
Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
205
Matriks Diagonal
Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.
Contoh:
=000
010
002
D
206
Matriks Satuan
Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemenyang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.
Contoh:
IA =
=100
010
001
Matriks NolMatriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.
207
Anak matriks atau sub-matriks
=
203
142B
[ ]142 [ ]203- Dua anak matriks 1× 3 , yaitu:
3
2
0
4
2
1- Tiga anak matriks 2× 1, yaitu:
- Enam anak matriks 1× 1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];
- Enam anak matriks 1× 2 yaitu: [ ]42 [ ]12 [ ]14
[ ]03 [ ]23 [ ]20
03
42
23
12
20
14- Tiga anak matriks 2×2 yaitu:
Contoh:
Matriks B memiliki:
208
Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor
=123
421
302
A
=
3
2
1
a
a
a
Adapat kita pandang sebagai matriks
dengan anak-anak matriks berupa vektor baris
[ ]3021 =a [ ]4212 =a [ ]1233 =a
dapat kita pandang sebagai matriks [ ]321 aaaA =
=3
1
2
1a
=2
2
0
2a
=1
4
3
3a
dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom
Contoh:
Contoh yang lain:
=123
421
302
A
209
Kesamaan Matriks
Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.
A = B
=
03
42AJika
=
03
42Bmaka haruslah .
Contoh:
210
1/31/2013
36
Matriks Negatif
Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). .
Contoh:
=
03
42A
−−−
=−03
42A
211
PenjumlahanPenjumlahan dua matriks hanya didefinisikan
untuk matriks yang berukuran sama
Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen-
elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama
ABBA +=+
( ) ( )CBACBA ++=++
=
03
42 A
=
22
31B
Jika
=+
25
73BAmaka
Sifat-sifat penjumlahan matriks:
Contoh:
212
Pengurangan Matriks
Pengurangan matriks dapat dipandang sebagaipenjumlahan dengan matriks negatif
A0A =+
0AAAA =−+=− )(
=
03
42 A
=
22
31B
−=
−−−−
+
=−
21
11
22
31
03
42BA
Contoh:
213
Perkalian Matriks
=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
A
BAAB ≠
214
=
pqmp
q
q
aaa
aaa
aaa
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
B
Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q
maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.
Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor
baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B
Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.
Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.
Perkalian matriks tidak komutatif .
Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar
Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks b erukuran m××××nadalah matriks berukuran m××××n yang seluruh elemennya bernilai a kali.
aA = Aa
=×
=
×646
462
244
2
323
231
122
323
231
122
2
Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut
( ) BABA aaa +=+
( ) AAA baba +=+
[ ] ( )AA abba =
Contoh:
215
Perkalian Internal Vektor (dot product)
[ ]32=a
=
3
4bvektor baris: vektor kolom:
.
Contoh:
2 kolom
2 baris
Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris
vektor b.
Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan .
[ ] [ ] [ ]1733423
4 32 =×+×=
=•= bac
Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukantetapi memberikan hasil yang berbeda
[ ]
=
××××
=
=•=
96
128
3323
342432
3
4abd
perkalian internal dapat dilakukan
Perkalian matriks tidak komutatif.216
1/31/2013
37
Perkalian Matriks Dengan Vektor
=
43
12A
=
3
2bMisalkan dan
dapat dikalikan2 kolom
2 baris
=
×+××+×
=
••
=
==
18
7
3423
3122
2
1
2
1
ba
bab
a
aAbC
Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukankarena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.
Contoh:
217
Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar
=
43
12A
=
35
24Bdan
Contoh:
dapat dikalikankolom = 2
baris = 2
Matriks A kita pandang sebagai
=
2
1
a
aA
Matriks B kita pandang sebagai [ ]21 bbB =
[ ]
=
×+××+××+××+×
=
••••
=
==
1832
713
34235443
31225142
2212
211121
2
1
baba
bababb
a
aABC
218
Perkalian dua matriks persegi panjang
=
231
342A
=32
34
21
Bdan
dapat dikalikankolom = 3
baris = 3
=
×+×+××+×+××+×+××+×+×
=
==
1717
2525
323321224311
333422234412
32
34
21
231
342ABC
Contoh:
219
=
2
1
a
aA [ ]21 bbB =
[ ]
••••
=
==
2212
211121
2
1 baba
bababb
a
aABC
Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah
,
sehingga
.
Dalam operasi perkalian matriks:
matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris
matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom
Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom
220
( ) ( ) ( )BAABBA aaa ==
( ) ( )CABBCA =
( ) BCACCBA +=+
( ) CBCABAC +=+
Sifat-sifat perkalian matriks
b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠ BA
a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan
Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.
c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.
221
Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×nadalah suatu matriks AT yang berukuran n×m dengan kolom-
kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT
[ ]bk
mnmm
n
n
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22221
11211
A
[ ]pq
mnnn
m
m
a
aaa
aaa
aaa
=
=
L
LLLL
L
L
21
22212
12111
TA
Jika
maka
222
1/31/2013
38
Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom.
Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.
[ ]
=⇒=3
4
2
342 Taa
[ ]345
3
4
5T =⇒
= bb
Contoh:
223
Putaran Jumlah Dua Vektor Baris
Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor
[ ] [ ]231dan 342 == ba
[ ]573=+ ba
( ) TTT
2
3
1
3
4
2
5
7
3
baba +=
+
=
=+
( ) TTT baba +=+
Jika
maka
Secara umum :
Contoh:
224
Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom
Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali p utaran
masing-masing dengan urutan dibalik
[ ]
==2
3
1
dan 342 ba
[ ]233412 ×+×+×=ab
Jika
maka
Contoh:
[ ] [ ] TTT
3
4
2
231233412 abab =
=×+×+×=
225
Contoh:
Jika [ ]231dan
3
4
2
=
= ba
maka
×××××××××
=233313
243414
223212
ab
( ) [ ] TTT 342
2
3
1
232422
333432
131412
abab =
=
×××××××××
=
Secara umum : ( ) TTT abab =
226
Contoh:
Putaran Matriks Persegi Panjang
=
231
342A
=23
34
12TAJika maka
=
ma
a
A L
1
[ ]TT1
TmaaA L=
Jika matriks A dinyatakan sebagai susunan dari vektor baris
maka
[ ]maaaA L21=Jika matriks Adinyatakan dengan vektor kolom
=
ma
a
A L
1Tmaka
227
Putaran Jumlah Matriks
Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putar an masing-masing matriks.
Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.
( ) TTT BABA +=+
[ ]maaA L1= [ ]mbbB L1=
[ ]mm babaBA ++=+ L11
Jika
Dengan demikian
dan
maka
( )( )
( )TT
T
T1
T
T1
TT
T1
T1
T
T11
T BA
b
b
a
a
ba
ba
ba
ba
BA +=
+
=
+
+=
+
+=+
mmmmmm
LLLL
228
1/31/2013
39
Putaran Hasil Kali Matriks
Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kal i putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini t elah kita lihat
pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kol om.
( ) TTT ABAB =
=
ma
a
A L
1
[ ]nbbB L1=
••
••=
nmnm
n
baba
baba
AB
L
LLL
L 111
Jika dan
maka
[ ] TT1
1111T ABaa
b
b
baba
baba
AB =
=
••
••= m
nnmnm
n
LL
L
LLL
L
Dengan demikian maka
229
Matriks Simetris
Jika
dikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring.
BB −=T
Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila
AA =T
Karena dalam setiap putaran matriks nilaielemen-elemen diagonal utama tidak berubah, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika
elemen diagonal utamanya bernilai nol.
Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata.
230
Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.
Bentuk umum:
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
=++
=++=++
L
L
L
11
22121
11111
. . . . . . . . . . .
Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1 ….xn.
Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan bilangan-bilangan yang diketahui.
Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol
Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen
231
Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1 …xn yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0.
Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:
a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?
b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi?
c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?
d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?
232
Operasi Baris
mnmnm
nn
nn
bxaxa
bxaxa
bxaxa
=++
=++=++
L
L
L
11
22121
11111
. . . . . . . . . . .
Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut operasi baris sebagai berikut:
a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.
c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.
b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.
233
Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah
=
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
LL
L
LLLL
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks
atau secara singkat bAx =
=
=
=
mnmnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
LL
L
LLLL
L
L
2
1
2
1
21
22221
11211
; ; bxA
dengan
234
1/31/2013
40
Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi
=
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
|
|
|
|
~
21
222221
111211
L
LLLLL
L
L
A
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut
a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.
b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain.
c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.
235
Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.
Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir
inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks gandengan yang lama.
Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan
asalnya.
Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.
236
Eliminasi Gauss
Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.
Suatu sistem persamaan linier:
Contoh:
0234
8253
024
8
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:
=
−−−−
−−−
0
8
0
8
2341
2531
0241
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
237
Matriks gandengnyaadalah:
−−−−
−−−
0|2341
8|2531
0|0241
8|0011
Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.
1) baris (
1) baris (
baris1) (
pivot
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
+−+
−−−
−−
Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
238
Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah
8|2330
0|2520
8|0230
8|0011
−−−
−−
2) (-baris
2) baris 2/3(
(pivot)
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
+
−−−
−−
239
Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperolehbilangan bulat
0|2100
3/16|23/4500
8|0230
8|0011
−−−
−−
0|2100
16|61100
8|0230
8|0011
−−
−−
240
1/31/2013
41
0|2100
16|61100
8|0230
8|0011
−−
−−
Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:
3 baris 11
pivot
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
+×
−−
−
241
Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks:
1616
16611
823
8
==−
=−=−
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xxyang dengan substitusi mundur akan memberikan:
12 ; 4 ; 2 ; 1 ==== ABCD xxxx
Hasil terakhirlangkah ketigaadalah:
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
−−
−
Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:
=
−−
−
16
16
8
8
16000
61100
0230
0011
D
C
B
A
x
x
x
x
242
Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu
Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi.
Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyakdengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.
Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.
Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.
Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.
243
Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi
823
024
8
−=+−=−+−
=−
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
Matriks gandeng:
−−−−
−
8|230
0|241
8|011
Eliminasi Gauss:
−−−
−
8|230
8|230
8|011
−−
0|000
8|230
8|011
Contoh:
244
Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :
00
823
8
==−
=−
CB
BA
xx
xx
3/)28( CB xx +=Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan
3/)28(8 CA xx ++=yang kemudian memberikan
Karena xC tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xA dan xB jika kita menentukan nilai xC lebih dulu
245
Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi
1023
024
8
−=+−=−+−
=−
CB
CBA
BA
xx
xxx
xx
Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan
−−−−
−
10|230
0|241
8|011
−−−
−
10|230
8|230
8|011
−−
−
2|000
8|230
8|011
Contoh:
246
1/31/2013
42
Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah
20
823
8
−==−
=−
CB
BA
xx
xx
Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris
terakhir.
Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.
247
Bentuk Eselon
Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk eselon.
−−
000
230
011
−−
−
2|000
8|230
8|011
dan
Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah
′′
′
+
m
r
rrnrr
n
n
b
b
bkk
bcc
baaa
|0
|
|0
|
|
|0
|
1
2222
111211
M
L
M
LLL
LLL
Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah
248
dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk
m
r
rnrnrrr
nn
nn
b
b
bxkxk
bxaxc
bxaxaxa
′=
′=′=++
′=++=+++
+
0
0
1
22222
11212111
M
L
M
LLLL
LLLL
dengan 0 , 0 ,0 2211 ≠≠≠ rrkaa , dan r ≤ n
a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.
b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.
c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.
nr = mr bb ′′+ ,,1 K
nr < mr bb ′′+ ,,1 K
nr = nr < mr bb ′′+ ,,1 K
Perhatikan bentuk ini:
249
Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika
sama dengan nol atau tidak ada.
mr bb ′′+ ,,1 K
Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika .nr =
Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng.
Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.
nr <Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.
250
Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor
Misalkan maaa , , 21 L
adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk].
Kita tinjau suatu persamaan vektor
02211 =+++ mmccc aaa L
Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1 … cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah
bebas linier.
Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu
tidak bebas linier.
251
Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam
kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk
dapat dipenuhi.
Vektor a1 misalnya, dapat dinyatakan sebagai
01
21
21 =−−−= m
m
c
c
c
caaa L
karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol
Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak
bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain.
252
1/31/2013
43
Contoh: Dua vektor baris [ ]21321 =a [ ]26242 =adan
Vektor a1 dan a2 adalah bebas linier karena
[ ] [ ] 026242132 212211 =+=+ cccc aa
hanya akan terjadi jika 021 == cc
Ambil vektor ketiga [ ]42643 =a
Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3
sebagai [ ] [ ]4264213222 13 === aa
Vektor a1, a2 dan a3 juga tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai
[ ] [ ] [ ]42642624 02132 202 213 =+=+= aaa
Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.
253
Rank MatriksDengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks.
Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank matriks A disingkat rank A.
Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.
Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks
baru sama dengan rank matriks asalnya.
Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir
eliminasi Gauss.
Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas
linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi.
Bagaimana menentukan rank suatu matriks?
254
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah
−−
−
16000
61100
0230
0011
−−
−
16|16000
16|61100
8|0230
8|0011
dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan
banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4
Contoh:
255
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah
Contoh:
−−
000
230
011
−−
0|000
8|230
8|011dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rankmatriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih
kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.
256
Contoh:
Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah
−−
000
230
011
−−
−
2|000
8|230
8|011dan
Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak
adanya solusi.
257
Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.
c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.
a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rankmatriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;
b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rankmatriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;
258
1/31/2013
44
Sistem Persamaan Homogen
Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk
0
. . . . . . . . . . .
0
0
2211
2222121
1212111
=+++
=+++=+++
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
L
L
L
Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah
=
0|
|
0|
0|
~
21
22221
11211
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
L
LLLLL
L
L
A
259
Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan
′
′′′′′
=′
0|000
|
0|0
0|
~ 222
11211
mn
n
n
a
aa
aaa
LLLLL
L
L
A
Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan
berbentuk
0
0
0
2222
1212111
=′
=′++′=′++′+′
nmn
nn
nn
xa
xaxa
xaxaxa
M
L
L
Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .
0=nx
nr <
260
Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial
0234
0253
024
0
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah
−−−−
−−−
0|2341
0|2531
0|0241
0|0011
−−
−
0|16000
0|61100
0|0230
0|0011
Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi
016
0611
023
0
==−
=−=−
D
DC
CB
BA
x
xx
xx
xx0==== ABCD xxxxyang akhirnya memberikan
Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan nr =
Contoh:
261
Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial
06134
0253
024
0
=+−+−=−+−
=−+−=−
DCBA
DCBA
CBA
BA
xxxx
xxxx
xxx
xx
Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah
Contoh:
−−−−
−−−
0|61341
0|2531
0|0241
0|0011
−−
−
0|0000
0|61100
0|0230
0|0011
eliminasi Gauss:
Sistem persamaan menjadi
00
0611
023
0
==−
=−=−
DC
CB
BA
xx
xx
xx
262
1=Dx
33
12 ;
33
12 ;
11
6 === ABC xxx
Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh
.
Solusi ini membentuk vektor solusi
=
1
11/6
33/12
3312
1
/
x
yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan menghasilkan vektor nol b = 0
=
−−
−
=
0
0
0
0
1
6/11
12/33
12/33
0000
61100
0230
0011
1Ax
263
Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya akan diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu
33=Dx
12 33
33
18
12
12
xx =
=
Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol
Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk
1xx cc =
dengan c adalah skalar sembarang
264
1/31/2013
45
Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2.
111213 3433
33
18
12
12
1
11/6
33/12
33/12
xxxxxx =+=
+
=+=
Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai
∑= cj xx
265
Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n − r), yaitu selisih antara
banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya
unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.
Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat
diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.
Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu.
Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar dengan vektor x1 .
266
Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2
04107
0254
0254
0
=+−+−=−+−
=+−+−=−
DCBA
DCBA
DCBA
BA
xxxx
xxxx
xxxx
xxContoh:
Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah
−−−−
−−−
0|41071
0|2541
0|2541
0|0011
−−
0|0000
0|0000
0|2530
0|0011
Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi
00
00
0253
0
==
=+−=−
DCB
BA
xxx
xx
267
0dan 1 == DC xx
5/3 ; 3/5 == AB xx
Jika kita memberi nilai
kita akan mendapatkan
.
=
0
1
3/5
3/5
1x adalah salah satu vektor solusi
Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor 0b =
=
+−+−
=
−−
=
0
0
0
0
0
0
0550
3/53/5
0
1
3/5
3/5
0000
0000
2530
0011
1Ax
268
Jika Ax1 = 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan
0xA =11k 0xA =12k
,
dan 0)( 111211211 ==+=+ xAxAxAxA ckkkk
Dengan kata lain, jika x1 adalah vektor solusi, maka
)( , , 12111211 xxxx kkkk +
adalah juga vektor-vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilai .0dan 1 == DC xx
269
1dan 0 == DC xx 3/2−=Bx
3/2−=Ax
Jika akan kita peroleh
dan yang membentuk vektor solusi
−−
=
1
0
3/2
3/2
2x
Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti
)( , , 22212221 xxxx llll +
Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah
21 xxx lk +=
Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.
270
1/31/2013
46
Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r
akan membentuk ruang vektor berdimensi (n − r).
271
Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan
Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian
pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n × n.
Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan
matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A−1
sehingga definisi ini memberikan relasi
11 −− == AAIAA
Jika A berukuran n × n maka A−1 juga berukuran n × n dan demikian pula matriks identitasnya.
272
Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks
adalah unik atau bersifat tunggal.
Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PAdan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin
terjadi jika P = Q.
QQIAPQQAPPAQIPP ====== )()(
Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singulardan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.
273
Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien
A ada, atau jika matriks A tak singular.
Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari
kebalikan matriks A jika ia tak singular.
Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak
homogen, yaitu
bAx =
Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh
bAxIxbAAxA 111 −−− ==→=
274
Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n × n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa
vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A−1 sama dengan n. Dengan perkataan lain
matriks A yang berukuran n × n tak singular jika rank A = n
dan akan singular jika rank A < n.
Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.
IAX =
Jika X adalah kebalikan matriks A maka
275
[ ]IAA =~
[ ]HU
[ ]HU
[ ]XI
Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan
A~
Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada
matriks gandengan ini berubah menjadi
dengan U berbentuk matriks segitiga atas.
yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada Usehingga U berbentuk matriks identitas I.
Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada
Langkah akhir ini akan menghasilkan
276
1/31/2013
47
Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks
−−=
142
223
221
A
Kita bentuk matriks gandengan [ ]IA
[ ]
−−=
100|142
010|223
001|221
IA
Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini
1 baris 2
1 baris3
pivot
102|580
013|480
001|221
×+×−
−−−
277
2 baris
pivot
111|100
013|480
001|221
+
−−−−
Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan
)8/1(
111|100
08/18/3|2/110
001|221
−×
−−
baris35.0
3 baris2
111|100
2/18/58/7|010
223|021
×−×−
−−−−−
2 baris2
111|100
2/18/58/7|010
18/68/10|001 ×−
−−−
−−
278
Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu
−−−
−−=−
111
2/18/58/7
18/68/101A
Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya
=
−−
0
0
8
142
223
221
3
2
1
x
x
x
vektor solusinya adalah
−=
−−−
−−=
−−=
−
8
7
10
0
0
8
111
2/18/58/7
18/68/10
0
0
8
142
223
221
1
3
2
1
x
x
x
279
Kebalikan Matriks Diagonal
Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.
=
−
nnnn a
a
a
a
/100
00
00/1
00
00
00 111
11
LL
Kebalikan Dari Kebalikan Matriks
Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.
( ) AA =−− 11
280
Kebalikan Dari Perkalian Matriks
Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.
( ) 111 −−− = ABAB
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut
( )( ) 1−= ABABI
( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) 111111
11
111111
−−−−−−
−−
−−−−−−
===
=
===
ABABIABBBAB
ABBA
ABIBABBAAABABAIA
281
BILANGAN KOMPLEKS
282
1/31/2013
48
Definisi
283
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan komplekssebagai berikut
Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan
),( yxz =
yzxz == Im Re
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.
kita tuliskan
bagian nyata (real part) dari z
bagian khayal (imaginary part) dari z
Bilangan Nyata
284
Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata
yang hanya dapat di angankan seperti π. Walaupun hanya dapatdiangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan
angka desimal yang tak diketahui ujungnya.
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatusumbu yang disebut sumbu nyata,
| | | | | | | |
-2 -1 0 1 2 3 4 5
m
Tinjaulah suatu fungsi xy =
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif
namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatubilangan imajiner (khayal)
j=−1
285 286
Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya
seterusnya dan 11010
155
×=×=
maka bilangan imajiner j = √−1 menjadi satuan daribilangan imajiner, misalnya
seterusnya dan 99 imajiner
3 3 imajiner
2 2 imajiner
j
j
j
===
Pernyataan Bilangan Kompleks
287
Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyatadan komponen imajiner dan dituliskan
jbaz +=
bagian nyata
bagian imajinerbilangan kompleks
Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks
yang dibatasi olehsumbu nyata (diberi tanda Re) dansumbu imajiner (diberi tanda Im)
yang saling tegaklurus satu sama lain
setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks(x,,y)
dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya
288
1/31/2013
49
289
ρ
a Re
Im
jb
θ
cosθρ=a
θρ= sinb
)sin(cos θ+θρ= jz
disebut argumen
disebut modulus
=θ= −a
bz 1tan arg
22 modulus baz +=ρ=
)sin(cos22 θ+θ+= jbaz
• jbaz +=
Diagram Argand
CONTOH
290
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
431 jz +=
Sudut dengan sumbu nyata adalah
o11 1,53)3/4(tan ≈=θ −
Pernyataan z1 dapat kita tuliskan
( )( )oo
oo221
1,53sin1,53cos5
1,53sin1,53cos43
j
jz
+=
++=
CONTOH
291
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
( )oo2 20sin20cos10 jz +=
Pernyataan ini dapat kita tuliskan
( ))4,34,9)34,094,0(10
20sin20cos10 oo2
jj
jz
+=+≈+=
Kesamaan Bilangan Kompleks
292
22 ba +=ρ merupakan nilai mutlakModulus
Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknyamempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda.
Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika merekamempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar.
Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagianimajiner yang sama besar..
Negatif dari Bilangan Kompleks
293
Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalahnilai negative dari kedua komponennya
jbaz += jbaz −−=−Jika maka
jbaz +=•
Re
Im
a
jb
jbaz −−=−
θo180+θ
ρ
ρ
•
CONTOH
294
o11 3,56)4/6(tan ==θ −
ooo2 3,2361803,56 =+=θ
Sudut dengan sumbu nyata
z1 dapat dinyatakan sebagai
( )( )oo
oo221
3,56sin3,56cos2,7
3,56sin3,56cos64
j
jz
+=
++=
( )( ) 696,383,055,02,7
)1803,56sin()1803,56cos(2,7 oooo1
jj
jz
−−=−−=+++=−
641 jz +=Jika 6412 jzz −−=−=maka
1/31/2013
50
Konjugat Bilangan Kompleks
295
Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z*
yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponenimajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.
jbazjbaz −=+= ∗ maka Jika
jbaz +=•
Re
Im
ρ
θ
θ−
jb
jb−
a
jbaz −=• ∗
CONTOH:
296
65 jz +=Jika 65 jz −=∗maka
Sudut dengan sumbu nyata
o1 2,50)5/6(tan ==θ −
o2,50−=θ∗
z dapat dinyatakan sebagai
( )( )oo
oo22
2,50sin2,50cos8,7
2,50sin2,50cos65
j
jz
+=
++=
( )oo 2,50sin2,50cos8,7 jz −=∗
65* jz −=•
Re
Im
65 jz +=•
CONTOH:
297
65 jz −−=Jika 65 jz +−=∗maka
•−−= 65 jz
Re
Im
•+−=∗ 65 jz
65 jz −=Jika 65 jz +=∗maka
65 jz −=•
Re
Im
65 jz +=• ∗
Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
298
Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangankompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyatadan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.
Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan
komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.
)()(
)()(
2121
221121
bbjaa
jbajbazz
+++=+++=+
)()(
)()(
2121
221121
bbjaa
jbajbazz
−+−=+−+=−
1. Operasi-Operasi Aljabar
CONTOH:
299
43dan 32 21 jsjs +=+=
75
)43()32(21
j
jjss
+=+++=+
11
)43()32(21
j
jjss
−−=+−+=−
Diketahui
Perkalian Bilangan Kompleks
300
212121
21212121
221121
2
))(())((
bbajbaa
bbajbajbaa
jbajbazz
−+=−++=
++=
Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kitamelakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukanperkalian komponen per komponen
22
2211
))((
ba
bjbajbaa
jbajbazz
+=
++−=
−+=× ∗
∗= 12 zzJika
Perhatikan:
( ) 222
22
22111
baba
jbazzz
+=+=
+==× ∗
1/31/2013
51
CONTOH:
301
43dan 32 21 jzjz +=+=
176
12986
)43)(32())(( 21
j
jj
jjzz
+−=−++=
++=
CONTOH: 32dan 32 121 jzzjz −==+= ∗
1394
9664
)32)(32())(( 11
=+=++−=
−+=∗
jj
jjzz
( ) 1394322
222111 =+=+==∗ zzz
Pembagian Bilangan Kompleks
302
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jikapembagian itu dikalikan dengan 1
122
22 =−−
jba
jba
CONTOH: 43dan 32 21 jzjz +=+=
25
1
25
18
43
)98()126(
43
43
43
3222
2
1 jj
j
j
j
j
z
z+=
+
+−++=−−×
++=
22
22
12212121
22
22
22
11
2
1
)()(
ba
ababjbbaa
jba
jba
jba
jba
z
z
+−++=
−−×
++=
Fungsi Eksponensial Kompleks
303
Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensialxey =
merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata
Jika z adalah bilangan kompleks θ+σ= jz
fungsi eksponensial kompleks didefinisikan
riil aleksponensi fungsi adalah dengan
; )sin(cos)(
σ
σθ+σ θ+θ==
e
jeeejz
Melalui identitas Euler θ+θ=θ sincos je j
fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan
θσ= jz eee
Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar Bentuk Polar
304
Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah
θρ= jez
θ=∠= zzarg
Re
Im
•
θ
ρθρ= jez
CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5
Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya ∠z = 0,5 rad
Bentuk sudut sikunya adalah:
8,48,8)48,088,0( 10
)5,0sin5,0(cos 10
jj
jz
+=+=+=
Re
Im
5,05 jez =•
rad 5,010
CONTOH:
305
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4
543 || 22 =+=ρ=zModulus
Argumen rad 93,03
4tan 1 ==θ=∠ −z
Representasi polar z = 5e j0,93Re
Im
93,05 jez =•
rad 93,0
5
CONTOH: Misalkan 02 jz +−=
Modulus 204 || =+=ρ=z
Argumen ( ) π±=−=θ − 2/0tan 1 tidak bernilai tunggal
Di sini kita harus memilih θ = πrad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata −2
Re
Im
π= jez 2
2−•
CONTOH:
306
Misalkan 20 jz −=
Modulus 240 || =+=ρ=z
Argumen ( ) 2/0/2tan 1 π−=−=θ −
komponen imajiner: −2komponen nyata: 0
Representasi polar adalah
2/2 π−= jez
.
Re
Im
2/2 π−= jez2j− •
1/31/2013
52
Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks
307
Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.
)(21
2121
21
21
))((θ+θ
θθ
ρρ=
ρρ=j
jj
e
eezz )(
2
1
2
1
2
1 21
2
1θ−θ
θ
θ
ρρ=
ρρ= j
j
j
ee
e
z
z
CONTOH:
Misalkan z1 = 10 e j0,5 dan z2 = 5 e j0,4
9,04,05,021 50510 jjj eeezz =×=
1,04,0
5,0
2
1 25
10 jj
je
e
e
z
z==
Manfaat Bentuk PolarKonjugat Kompleks
308
argumen konjugat berlawanan denganargumen bilangan kompleks asalnya
Re
Im θρ=• jez
θ−∗ ρ=• jez
θθ−
[ ] ( )( )
*
**
*
* atau ||*))((
2
1
2
1
2121
2
**
z
z
z
z
zzzz
ss|z|zzz
=
=
==
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut
CONTOH:
309
4,02
5,01 5dan 10 jj ezez ==
25
100 10 10
22
5,05,011
=
=×=∗
−∗
zz
eezz jj
[ ] [ ] [ ]9,04,05,0
9,09,04,05,021
505 10
0505 5 10jjj
jjjj
eee
eeeezz−−−
−∗∗∗
=×=
==×=
[ ]1,0
4,0
5,0
1,01,04,0
5,0
2
1
2 5
10
052 5
10
jj
j
jjj
j
ee
e
eee
e
z
z
−−
−
−∗∗∗
==
==
=
Misalkan
Permutasi dan Kombinasi
310
Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponenyang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap kelompok
urutan komponen diperhatikan
Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan Bdan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya
terdiri dari 2 huruf
Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah
BA
AB
dan diperoleh 2 kelompok
Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempatiposisi pertama yaitu A atau B
Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satukemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B
Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satukemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu A
311
1. PermutasiMisalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C
Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf ada lah:
ACB
ABC B
CA
BAC C
BA
CAB
diperoleh 6 kelompok
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamatinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua
Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertamadan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua
maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempatiposisi terakhir yaitu posisi ketiga
Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah
6123 =××
312
Jumlah kemungkinankomponen yang
menempati posisi pertama Jumlah kemungkinankomponen yang
menempati posisi kedua
Jumlah kemungkinankomponen yang
menempati posisi ketiga
1/31/2013
53
Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf
ada24 kelompok
Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1
313
ABCD BACD CDAB DABCABDC BADC CDBA DACBACBD BCAD CABD DBCAACDB BCDA CADB DBACADCB BDAC CBAD DCABADBC BDCA CBDA DCBA
jumlah kelompok yang mungkin dibentuk
4×3×2×1=24 kelompokyaitu:
Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangundari n komponen
yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah
!1.........)2()1( nnnn =××−×−×
314
Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n!dan kita tuliskan
!nPnn =Kita baca : n fakultet
Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkandengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,
tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang masin g-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n
kn P
Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan
Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah
123424 =×=P
315
Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatanpada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3.
Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.
Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan
1212
123424 =
××××=P
Secara Umum:
)!(
!
kn
nPkn −
=
Contoh:
30561234
123456
)!26(
!626 =×=
××××××××=
−=P
Contoh:
360345612
123456
)!46(
!646 =×××=
××××××=
−=P
316
Kombinasi merupakan pengelompokan sejumlah komponenyang mungkin dilakukan tanpa mempedulikan urutannya
317
Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu
ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA
namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu
ABC
karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan
ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
2. KombinasiOleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n
komponen haruslah sama denganjumlah permutasi nPk
dibagi dengan permutasi k
Kombinasi k dari sejumlah n komponendituliskan sebagai nCk
Jadi
! )!(
!
! kkn
n
k
PC kn
kn ×−==
318
1/31/2013
54
Contoh:
Berapakah kombinasi dua-dua dari empat hurufA, B, C, dan D
61212
1234
!2)!24(
!4
!224
24 =××××××=
×−== P
C
319
yaitu:
Jawab:
AB
AC
AD
BC
BD
CD
Distribusi Maxwell-Boltzman
Setiap tingkat energi dapat ditempati olehelektron mana saja
dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi
Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkatenergi yang diskrit; kita sebut
dst. 321 EEE
320
Contoh Aplikasi
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harusterdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada
dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah
dst.
elektron terdapat di
elektron terdapat di
elektron terdapat di
33
22
11
nE
nE
nE
maka jumlah cara penempatan elektron di E1
merupakan permutasi n1 dari N yaitu
)!(
!
11 1 nN
NPP Nn −
==
321
Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari(N−n1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1
)!(
)!(
21
1)(2 12 nnN
nNPP nNn −−
−== −
)!(
)!(
321
21)(3 213 nnnN
nnNPP nnNn −−−
−−== −− dst.
Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari(N−n1−n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2
322
Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 inisudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara
satu elektron dengan elektron yang lain
Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari Nyaitu
!)!(
!
!n
1111
1
nnN
NPC
Nn
−==
Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.
!)!(
)!(
!)!(
221
1
21
)(2
12
nnnN
nN
nN-n
PC
nNn
−−−== −
!)!(
)!(
!)!(
3321
21
3331
)(3
213
nnnnN
nnN
nnnnN
PC
nnNn
−−−−−=
−−−= −−
dst.
323
Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability
Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst.maka probabilitas tingkat-tingkat energi
dst.
elektron ditempati
elektron ditempati
elektron ditempati
33
22
11
nE
nE
nE
adalah
dst.
333
222
111
3
2
1
CgF
CgF
CgF
n
n
n
=
=
=
Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektronseperti di atas adalah:
!.....!!
............... ....
321
321321321321
321
321
nnn
gggCCCgggFFFF
nnnnnn ===
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Maxwell-B oltzmann
324
1/31/2013
55
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contohini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan inidi buku-e
“Mengenal Sifat Material”
325
TkEii
BiegZ
Nn /−=
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kitapada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann
Jumlah elektron padatingkat energi Ei
temperatur
konstanta Boltzmann
tingkat energi ke-i
probabilitas intrinksiktingkat energi ke-i
fungsi partisi
∑ β−=i
Ei
iegZ
326
Distribusi Fermi-Dirac
Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energiyang diskrit, misalnya kita sebut
dst. 321 EEE
Setiap tingkat energi mengandungsejumlah tertentu status kuantum
dan tidak lebih dari dua elektron beradapada status yang sama.
Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkatenergi menjadi probabilitas intrinksik tingkat
energi yang bersangkutan
Yang berarti menunjukkan jumlahelektron yang mungkin berada di suatu
tingkat energi
327
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harusterdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,
yaitu
dst.
elektron terdapat di
elektron terdapat di
elektron terdapat di
33
22
11
nE
nE
nE
328
Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektr on adalah:
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dir ac namun kita tidakmembicarakan lebih lanjut karena proses selanjutnya tida k menyangkut
permutasi dan kombinasi
Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkatE1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst
!)!(
!
111 nnN
NC
−=
!)!(
)!(
221
12 nnnN
nNC
−−−=
!)!(
)!(
3321
213 nnnnN
nnNC
−−−−−= dst.
Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untukmenempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi
)!(!
!
111
11 ngn
gF
−=
!)!(
!
222
22 nng
gF
−=
!)!(
!
333
33 nng
gF
−= dst.
∏ −==
i iii
ii ngn
gFFFFF
)!(!
!...321
329
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contohini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutanini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga
330
1/31/2013
56
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kitapada formulasi distribusi Fermi Dirac
1/)( +=
− TkEEi
iBFie
gn
Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T →→→→ 0
0)(untuk
0)(untuk 0lim /)(
0
>−∞=
<−=−→
Fi
FiTkEE
T
EE
EEe BFi
Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkatenergi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat
elektron di atas EF
EF inilah yang disebut tingkat energi Fermi.
331
Aritmatika Interval
332
Pengantar
Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.
Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasiinterval.
333
Cakupan Bahasan
� Pengertian-Pengertian Interval
� Operasi-Operasi Aritmatika Interval
� Sifat-Sifat Aritmatika Interval
Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan
Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *)
*) Lihat pula “Fungsi dan Grafik”
Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan
Contoh:
Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri
(interval tertutup).
334
1. Pengertian-Pengertian Interval
Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai
)}(:{ xpxS =
menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk
menentukan apakah x benar merupakan elemen dari S
atau tidak
menunjukkan kumpulan yang kita tinjau
menunjukkan sembarang elemen
dari S
335
Contoh
}11090 ,:{ ≤≤∈= xRxxS
R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata
11090 ,)( ≤≥∈= xRxxp
336
1/31/2013
57
Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞
kita tuliskan
} ,, , ,:{ +∞<<<∞−∈≤≤∈= baRbabxaRxxX
Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval
Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.
Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan hanya dengan batas-batas interval.
Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan batas-
batas intervalnya.
337
],[ xxX =
Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut
kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval.
Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum) x dan batas atas (nilai maksimum) kita tuliskanx
0(x )
interval Xbatas bawah batas atas
x
338
Degenerasi
Suatu interval mengalami degenerasi jika
dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.
Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)
suatu bilangan nyata.
xx =
339
Lebar Interval
Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata
xxXw −=)(
]15 ,6[=X 9615)( =−=Xw
Contoh:
(0
)x
w(X)
x
340
Titik Tengah
Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah
2/)()( xxXm +=
Contoh:
}10 ,4{=X 72/)104()( =+=Xm→ titik tengah
Radius
Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval
Contoh:
}10 ,4{=X
→ radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3.
2/)(Xw
341
Kesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.
Kesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.
],[ xxX = ],[ yyY =Jika dan
YX = yxyx == dan maka jika dan hanya jika
Urutan
Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y, yx <
Contoh
X = {6, 10} dan Y = {13, 18}
→ X < Y.
0(x
) ( )X Yx y y
Dalam contoh ini juga w(X) < w(Y)
342
1/31/2013
58
Nilai Absolut
Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya
} , max{ xxX =
Contoh
X = {−8, 4}
8} 4 , 8 max{ =−=X
343
Jarak
Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya
|}| , |max{|),( yxyxYX −−=ρ
Contoh
X = {2,6}, Y = {8,18}
12|}186||,82max{| ),( =−−=ρ YX
0( )x
( )
X Y
xy − xy −
x yy
Di sini
|||| yxyx −>−
344
Simetri
Suatu interval X disebut simetris jika xx =−
Contoh: X = {−5, 5}
0(x )
X
x
Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.
Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.
Ia bukan degenerate interval.
345
Irisan
Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.
Irisan antara interval X dan interval Y adalah
}],min{ },,[max{ yxyxYX =∩
Contoh: X = {2, 9} dan Y = {6, 18} 9] ,6[=∩YX
0(x )( )
X Y
y x y
YX ∩
Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval
Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.
346
Gabungan
Gabungan antara interval X dan Y adalah
}]maks{ },,[min{ y,xyxYX =∪
Contoh: X = [2, 9], Y = [6, 18] 18] ,2[=∪YX
0(x )( )
X Y
y x y
YX ∪
Jika irisan dari X dan Y tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.
Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya
gabungan itu akan terdiri dari dua interval yang berbeda.
347
Inklusi
Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika
)()(dan YwXwYX ≤≤atau
YX ⊆ yxxy ≤≤ dan jika dan hanya jika
Contoh: a). X = {5, 12} dan Y = {4, 16} → YX ⊆
0(x )( )
X
Y
xy y
b). X ={−5, 2} dan Y = {−7, 7}
0(x )( )
X
Y
y x y
348
1/31/2013
59
Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:
Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif.
Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif.
Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol.
Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif, sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol
bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.
349
2. Operasi-Operasi Aritmatika Penjumlahan
Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai
} , :{ YyXxyxYX ∈∈+=+
Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval
Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan
adalah jumlah dari batas atas
Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.
] ,[ yxyxYX ++=+
350
0(x ) ( )
X Y
( )
X+Y
x y y
yx + yx +
] ,[ yxyxYX ++=+
Jumlah interval juga merupakan interval.
],[ yyY =Jika dan , maka],[ xxX =
tidak merupakan sebuah interval karena X < Y.
X dan Y adalah duainterval yang terpisah.
YX ∪Penjumlahan berbeda dengan
penggabungan. Penggabungan dua interval tidak selalu
menghasilkan suatu interval.
351
Contoh: X = {2, 6} dan Y = {9, 14}
→ X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]
Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan .
Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan
biasa.
Perbedaan penjumlahan dan gabungan
Contoh: X = [2, 4], Y = [3, 6] 6] ,2[=∪YX
10] ,5[=+YX
0(x
)( )
X Y
y x y
YX ∪
(z )z
YX +352
Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai
} ,{ XxxX ∈−=−
yang dapat kita tuliskan
] ,[] ,[ xxxxX −−=−=−
0(x )
X
)− x
(
− X
x− x
Batas atas −X adalah x−
Batas bawah −X adalah x
353
Contoh: a). X = [2, 6] → −X = [−6, −2]
0(x )
X
)− x
(
− X
x− x
b). X = [−2, 6] → −X = [−6, 2]
0(x
)
X
)− x
(
− X
x− x
354
1/31/2013
60
Pengurangan
Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X
dengan negatif interval Y
] ,[],[],[ yxyxyyxxYX −−=−=−
Contoh: X = [2, 6] dan Y = [7, 12]
→ X − Y = [2, 6] − [7, 12] = [2− 12, 6 − 7] = [−10, −1]
0(x ) ( )
X Y( )
X−Y
( )y− y− x y y
yx − yx −
Dalam contoh ini X < Y dan hasil pengurangan X − Y merupakan interval negatif.
355
Perkalian Interval
Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai
} , :{ YyXxxyYX ∈∈=⋅
yang dapat dituliskan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅
Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah
maupaun batas atas dari interval hasil kali.
Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada
sumbu bilangan nyata
356
Pada interval X selalu dipenuhi relasi xx ≤maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisix x
0≥x 0≥xjika maka
0≤x 0atau 0 ≤≥ xxjika maka
Demikian juga pada interval Y
0≥y 0≥yjika maka
0≤y 0atau 0 ≤≥ yyjika maka
357
Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinanperkalian interval, yaitu:
interval positif kali interval positif
interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya
interval negatif kali interval negatif
perkalian dua interval yang keduanya mengandung nol
358
Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah:
] ,[
0dan 0
yx yxYXZ
yx
=⋅=
≥≥x y y0
( )x
( )X Y
1).
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≥≤3).x y y0
( )x
( )X Y
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≥<<2). x y y0
( )x
( )X Y
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≤4).
x y y0( )x
( )X Y
359
6). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≥yy x x0
( ) ( )Y X
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≥7).yy x x0
( ) ( )Y X
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≤<<y y x x0( ) ( )
Y X8).
}] ,maks{ }, ,min{[
0dan 0
yxyxyxyx
YXZ
yyxx
=⋅=
<<<<
9). y yx x0( )( )
Y X
5). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≤x y y 0
( )x
( )X Y
360
1/31/2013
61
Contoh dan Penjelasan
]6 ,4[ ]3 ,1[ == YX
361
]18 ,4[=⋅YX
Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atassedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.
Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalianbilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil
bilangan positif.
] ,[
0dan 0
yx yxYXZ
yx
=⋅=
≥≥x y y0
( )x
( )X Y
1).
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
]8 ,4[ ]2 ,1[ =+−= YX
]16 ,8[ +−=⋅YX
] , [
0 dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≥<<2). x y y0
( )x
( )X Y
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawahnegatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batasbawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas ataskarena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
362
]4 ,1[ ]1 ,3[ =−−= YX
]1 ,12[ −−=⋅YX
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali
batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batasbawah interval positif
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≥≤3).x y y0
( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
363
]3 ,1[ ]2 ,4[ −=−−= YX
]4 ,12[ +−=⋅YX
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≤4).
x y y0( )x
( )X Y
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batasbawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
364
]1 ,4[ ]5 ,7[ −−=−−= YX
]82 ,5[=⋅YX
Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkaliadalah hasilkali kedua batas atas.
Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah.
5). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≤x y y 0
( )x
( )X Y
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai Nilai terbesar
yang bisa dicapai
365
]1 ,3[ ]4 ,1[ −−== YX
]1 ,12[ −−=⋅YX
6). ] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yx
=⋅=
≤≥yy x x0
( ) ( )Y X
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas
bawah interval negatif dan batas atas interval positif.
Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batasbawah interval positif
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
366
1/31/2013
62
]1 ,3[ ]5 ,2[ −== YX
]5 ,15[−=⋅YX
] , [
0dan 0
yxyxYXZ
yyx
=⋅=
<<≥7).yy x x0
( ) ( )Y X
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawahnegatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batasbawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang
lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas ataskarena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecilyang bisa dicapai
Nilai terbesar yang bisa dicapai
367
] ,[
0dan 0
yxyxYXZ
yxx
=⋅=
≤<<y y x x0( ) ( )
Y X8).
]2 ,5[ ]3 ,1[ −−=−= YX
]5 ,15[−=⋅YX
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batasbawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅Formula umum:
Nilai terkecil yang bisa dicapai
Nilai terbesaryang bisa dicapai
Contoh dan Penjelasan
368
]1 ,4[ ]5 ,2[ −=−= YX
]8 ,20[8}] ,5{maks },20,2[min{ −=−−=⋅YX
}] ,maks{ }, ,min{[
0dan 0
yxyxyxyx
YXZ
yyxx
=⋅=
<<<<
9). y yx x0( )( )
Y X
Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum
} , , , { maks }, , , , [min{ yxyxyxyxyxyxyxyxYX =⋅
369
Akan bernilai negatif sehinggatak mungkin menjadi
batas maksimum
Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi
batas minimum
Contoh dan Penjelasan Kebalikan Interval
Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai
} :/1{1
XxxX
∈=
Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka
]/1 ,/1[1
xxX
=
Contoh: X = [2, 10] → 1/X = [0.1, 0.5]
Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.
Keadaan demikian ini belum akan kita lihat.
370
Pembagian Interval
Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara Xdengan kebalikan Y.
]/1 ,/1[] ,[1
xxxxY
XY
X ⋅=⋅=
Contoh: X = [4, 10], Y = [2, 10]
→ X/Y = [4, 10] [0.1, 0.5] = [0.4, 5]
371
Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan
biasa yang sudah kita kenal.
Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilanganbiasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika
interval. Ternyata memang demikian.
Akan tetapi muncul juga perbedaan-perbedaan yang sangat menyolok.
372
3. Sifat-Sifat Aritmatika Interval
1/31/2013
63
} , :{ YyXxyxYX ∈∈+=+
} , :{ YyXxxyYX ∈∈=⋅
373
Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai
Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.
XYYXZYXZYX +=+++=++ ;)()(
YXXYZXYYZX == ;)()(
Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:
[0, 0] dan [1, 1]
yang dituliskan sebagai 0 dan 1
Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1
Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalamaritmatika interval:
X − X ≠ 0 dan X / X ≠ 1 jika w(X) > 0
]1 ,1)[(] ,[ −=−−=− XwxxxxXX
0 jika ]/ ,/[/
0 jika ]/ ,/[/
<=>=
XxxxxXX
XxxxxXX
374
Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:
X (Y + Z) = XY + XZ
Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:
1) Jika Y dan Z adalah interval simetris;
2) Jika YZ > 0
Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:
[0, 1] (1-1) = 0
tetapi
[0, 1] − [0, 1] = [−1, 1]
375
Kuliah Terbuka
PilihanPilihanPilihanPilihan TopikTopikTopikTopik MatematikaMatematikaMatematikaMatematika
Sudaryatno Sudirham
376